I. MECHANIKA (Klasszikus mechanika)

I. MECHANIKA (Klasszikus mechanika) I.1. A mechanika ága Klasszikus mechanika olan közelíés, amel a közönséges (mako) méeű és sebességű (fénsebességnél jóval kisebb) ágak mozgásával foglalkozik: Klasszikus mechanika Mikoméeű (elemi észek) Kvanummechanika Fénsebességhez közeli Relaiviáselméle Relaiviszikus kvanummechanika Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 1

I. Méékendszeek A mozgások ében és időben jászódnak le Þ Menniségek: Menniségek = méékszám + méékegség Kezdeben eljesen önkénes vol a megválaszásuk (fon, láb, sb) ÞFancia foadalom emészees méékendsze ÞSI A mechanikában használ méékegségek (Sseme Inenainal d' Unie = SI) Hosszúság: mée, m (Sevesi ősmée Ü a fén úja 1/9979458 s ala), Tömeg: kilogamm, kg (Sevesi plainahenge ömege), Idő: Másodpec, s ( a 133 ömegszámú Ce aom megfelelő sugázása 919631770 peiódusának időaama), Síkszög: Radián, ad (a kö sugaával megegező köívhez aozó szög), Tészög: Szeadián, s (a gömbsugá négzeével egenlő eülehez aozó középponi észög). Ezek az alapmenniségek, használaosak decimális öészeik (deci, ceni, milli, mikó, nanó) és öbbszööseik (.., hekó, kiló), az időnél a pec, és az óa. Számazao menniségek. Fizikai definició alapján. Például: Sebesség ú m sebesség m = = idő s, Gosulás = = idő s m Eő = ömeg gosulás = kg = newon s sb. Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA

I.3. Az anagi pon kinemaikája Anagi pon: kiejedése nincs, ömege van, Û közelíés Mozgás leíása: vonakozaási endsze = koodináaendsze z k j i Az () helveko eg égöbé í le (vekook vasagon jelölve, íásban képleben felülhúzva, _ ). P z Deékszögű, jobbsodású koodináaendsze: P az anagi pon, () a helveko az idő függvéne. () = ()i + ()j + z()k,, z a koodináák i, j, k az egségvekook () P (+D ) Ds = ú D = elmozdulás P' pála A D a D ala a P ponból a P' ponba öénő elmozdulás : veko A Ds az ívhossz a D ala mege ú: skalá A sebesség: időegség ala mege ú: egenesvonalú egen-lees mozgása igaz. Álalános esebe a sebesség az () helveko idő szeini első deiválja, azaz szinén veko lesz: v = lim D d = = D d Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 3

gakan jelölik ponal is (időszeini deivál). Koodináákkal: d d dz v = i + j + k = i + j+ z k = v i + v j+ vz k d d d v = v = v + v + v z a sebesség nagsága. Dimenziója: hosszúság/idő, méékegsége: m/s A gosulás: időegség alai sebességválozás egenleesen gosuló mozgása igaz. Álalában a sebesség első (a helveko második) deiválja: a dv = = d d d vag a = v = A gosulás deékszögű koodináaendszeben: a() = () i+ j+ z() k = a i+ a j+ a k a = a = a + a + a z. z Dimenziója: sebesség/idő = hosszúság/időnégze, m/s. Legegszeűbb ese: állandó gosulással endelkező, egen-leesen válozó mozgás. Legen a gosulás a (gaviációs gosulás) ovábbá = 0 = 0 és v = v 0 kezdei feléelek. A gosulás: dv a ( ) = ebből d v = g d. d Kiinegálva és a v(=0) = v 0 v ( ) = a + b a v(=0) = v 0 kezdei feléel mia v ( ) + v = a 0 b = v 0. A sebesség pedig a helveko deiválja azaz Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 4

d v ( + v d ) = = a 0. Kiinegálva a ömegpon hele min az idő függvéne pedig: ( + ) = a + v0 0. Eszein a D = () - 0, azaz az elmozdulás veko mindig az a gosulás és a v 0 kezdei sebesség álal meghaáozo síkban van Þ síkmozgás: leíásához elegendő az, koodináa-endsze. Speciális eseek: 1. Szabadesés (Galileo Galilei, Pisai fede oon) h () A gosulás: a = (0, -g, 0). A kezdei feléelek: 0 = (0, h, 0) v 0 = (0, 0, 0). A mozgásegenle: h g ()= - g v Az esési idő ( = 0): A végsebesség: m = h g vm = gm = gh.. Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 5

. Fede hajíás v 0 a A koodináák min az idő függvénei: l A pála egenlee eg paabola: A epülési ávolság ( = 0): h () () a = (0, -g, 0) 0 = (0, 0, 0) v 0 = (v 0 cosa, v 0 sina,0) v 0 = kezdei sebesség nagsága a = az engellel bezá szög : ( ) = ( v0 cosa) g ( ) = - + ( v0 sina) g ( ) = - + ga v 0 cos a v 0 cosa sina v0 l= = sin a g g Ado v 0 kezdősebességnél akko epül a legmesszebbe, ha a = 45 0 A epülési idő ( = 0): A epülési magasság (h = ( m /): v m = 0 sina g h v sin a g = 0 A valóságos pála a levegő közegellenállása mia az un. balliszikus pála Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 6

A mozgás leíása polákoodináákkal (síkmozgás) ()=()cosj() j () Pála ()=()sinj() ()=()(cosj()i + sinj()j ) A sebesség az -nek a szeini első (szoza), a gosulás a második deiválja: Speciális esee a kömozgás: R j R = konsans j ( ) = w( ) szögsebesség e = cosj()i + sinj()j adiális egségveko e = -sinj()i + cosj()j angenciális eg.veko Sebesség: v()=rw()(-sinj()i + cosj()j)=rw() w() e angenciális iánú Gosulás: a() = - Rw (cosj( ) i + sinj( ) j+ Rw( -sinj( ) ι + cosj( ) j) azaz a() = -Rw e + Rwe van adiális (befele muaó) és angenciális komponense is. Ha w = cons. egenlees kömozgás. Ekko a gosulásnak nincs angenciális komponense, az a kö középponja felé mua: keülei sebesség v = Rw cenipeális gosulás: v a cp = Rw a=rw a = R Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 7

Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 8

I.. Az anagi pon kineikája A kineika feladaa a mozgás közvelen okainak ismeeében a mozgás meghaáozása. (Ókoi felfogás: a nugalom a emé-szees, a mozgás endellenes)þ(galileo Galilei, Isaac Newon) aiómák (Newon aiómák): 1. A eheelenség övéne (Newon I. aiómája): Minden es megaja egenes vonalú egenlees mozgásá vag nugalmi állapoá, mindaddig míg más esek ennek megválozaásáa nem kénszeíik Þ Teheelenség. Kövekezméne: A mozgás a emészees, a nugalom elaív, Ineciaendsze: olan koodináaendsze, ahol événes az I. aióma. (ha eg van akko számalan van: minden hozzá képes egenes vonalú egenlees mozgás végző). Közelíés (pld. a Földhöz ögzíe).. Az eő (kölcsönhaás) övéne (Newon II. aiómája): a mozgás megválozása más esekkel való kölcsönhaás Þ mééke az eő (F). A sebesség megválozása aános a ese haó eővel: dv d = 1 F m az aánossági énező ecipoka a ömeg, az m. Az fejezi ki, hog a es mennie áll ellen az eőnek, mennie akaja mozgásá megaani. Minél nagobb annál inkább, íg az m a mozgás megaóképességének, a eheelenségnek a mééke, íg ez a ömege a es eheelen ömegének nevezzük. Az előzőek szein: m d d = m = F Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 9

komponensekén eg-eg másodendű diffeenciálegenlee (összesen háom) jelen, m = F m = F m z = amik F(F,F,F z ) ismeeében, az emlíe kezdei feléelek melle ((=0)= 0 ( 0, 0, z 0 ) és v(=0)=v 0 (v 0, v 0, v 0z )) megoldhaók. 3. Eő elleneő övéne (Newon III. aiómája): Minden eővel szemben fellép eg uganolan nagságú, de ellenées iánú elleneő. F z F A F A A F A = - F A 4. Az eők szupepozíciójának elve: Ha eg ese öbb eő ha, akko ezek haása heleesíheő az eedőjük haásával, azaz: F = F 1 + F +...+ F n. ennek és a II. aióma felhasználásával: m = F = å F i a dinamika alapegenlee. Az eő számazao menniség, méékegsége N (Newon) = kgm/s. Az impulzus: a mozgásmenniség p = mv jobban jellemzi a ese, mivel az eő haásáa ez válozok meg, Ennek megválozása aános az eővel (impulzuséel): dp d d( mv) = = F d Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 10

a Newon II. övénének álalánosabb megfogalmazásá jeleni, mivel a ömeg is válozha a mozgás közben (Foma-I vesenauó) A 1 közöi impulzusválozás (eőlökés) aános lesz az eő inegáljával: p( )- p( 1) = ò Fd 1 amel aalmazza egben az impulzus megmaadásának éelé is, uganis, ha eg ese haó eők eedője F = 0, akko az előzőből p()= állandó. Az impulzus I-vel is jelöljük. A munka A munka az eőnek az elmozdulás iánába eső veüleének és az elmozdulásnak (ú) szozaa. Állandó eő és egenes pála eseén igaz. a F s F s D W = F s s II=s W = IFI IDI cosa W = F D a ké veko skalászozaa Amenniben az eő nem állandó, akko a pálá az A és pon közö felbonjuk n db D i elemi elmozdulásoka, amelekhez aozó F i állandónak ekinheő, íg az elemi munka: DW i = F i D i. A eljes munka a pála A és ponja közö az előzőek összege, azaz: Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 11

W = FD Þ Fd = ( F d + F d + F dz) A n å ò ò i i i= 1 A g z finomíva a feloszás ámeg inegálba (vonalmeni inegál). Ééke álalában nemcsak az A és végponokól függ, hanem aól is, hog milen g göbe menén végezzük az inegálás (vagis az úól is). Mivel d=vd ezé a munka az alábbi módon is felíhaó: W = ò Fd = A ò A Fv d. Számazao menniség, egsége: J(Joule)=Nm= kgm /s. A mozgási enegia Hog eg es mozgásállapoa hogan válozik, az nemcsak az eőkől, hanem azok munkájáól is függ Þ munkavégzőképesség = enegia. Az F=ma eő munkája az előzőek szein: W = Fd = mavd = ò ò ò A uganis d æ 1 ç v d è A A d d æ ç è 1 ö mv d mv ø = é 1 ë ê ù û ú ö 1 d ( ) d v v v 1 æ v dv v dv v dv z = + + z = z ø + d + d ö ç = va è d ø. Amenniben a W = O, azaz nincs munkavégzés, akko 1 mv = consans a mozgó ese jellemző menniség, ami kineikus (mozgási) enegiának nevezünk. Amenniben a es sebessége v 1 -ől ( 1 időpillanaban) v - e ( időpillanaban) válozik, munkavégzés öénik: A Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 1

1 1 mv - mv1 = W ha W>0 azaz v >v 1 a esen végeznek munká ha W<0 azaz v < v 1 a es végez munká A feni összefüggés munkaéelnek hívjuk. A nehézségi eő munkája Mozogjon eg m ömegpon a gaviációs ében, a = (0,-g,0). 1 mg 1 F = (0, -mg, 0) 1 = ( 1, 1, z 1 ) = (,, z ) z A munka az előzőek alapján: ò ò W = Fd = ( F d+ F d+ F dz) = mg( - ) 1 g z 1 láhaó, hog az csak a magasságkülönbségől függ és függelen aól, hog milen úon juounk az 1 ponból az -be. Az mg mennisége az anagi pon poenciális (helzei) enegiájának nevezzük. A munkaéel éelmében ez a munka a mozgási enegia megválozaásáa fodíódik, íg a keő összeveve: 1 1 mv - mv1 = mg1 - mg. Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 13

Áendezve eg fonos megmaadási éel kapunk: 1 1 mv + mg = mv1 + mg 1 mv + mg = consans 1 azaz a mechanikai enegia megmaadásának a éele. A megmaadási éel nemcsak nehézségi eő eseén événes. Minden olan eseben fennáll, amiko az eő munkája csak a ké pon helzeéől függ és nem függ az úól (köinegálja zéus). Az ilen eő konzevaív eőnek nevezzük (ilenek még, öbbek közö az elekomos és a mágneses eők). Ekko événes a mechanikai enegia megmaadásának éele. Az F() eő eg veko-veko függvén, ezé a é minden ponjához endelheő eg-eg veko, amelek un. vekoee alkonak, ami eőének nevezünk. Az E éeősséggel jellemezheő, ami az egségni ömegű (ölésű) pona haó eő és íg: F = m E Konzevaív eő(é) eseén a éeősség előállíhaó eg F() veko skalá függvén eljes deiváljakén, azaz (definíció szein annak negaív) gadiensekén: E = -gadf( ) = F F F -(,, ) z azaz veko lesz, amel a legnagobb poenciálválozás iáná-ba mua. Az F() függvén az eőé (skalá) poenciáljának hívjuk, akko léezik, ha oe=0 (egenéékű a köinegál zéussal). Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 14

Tölö észecskék mozgása elekomágneses mezőben Vákuumban viszonlag kis sebességgel (fénsebesség haodánál kisebb, a elaiviszikus effekus elhanagolhaó) ponszeű észecskék mozgása, meleke haó gaviációs eő szinén elhanagolhaó. A q ölése haó eő a Loenz eő: F=qE+q(v) E a villamos éeősség, a mágneses indukció, v a észecske sebessége. Speciális eseeke vizsgálunk: Elekomos ében öénő mozgás. A mozgásegenle: m = qe kezdősebesség: v 0 a) a kezdősebesség páhuzamos a éeősséggel: v 0 (v 0,0,0), E(E,0,0) akko a(a,0,0), ahol a=qe/m egenesvonalú, egenleesen gosuló, (ha a kezdősebesség és az eő egiánú) mozgás, illeve egenleesen lassuló (ha ellenées iánú). Az elekomos eőé (gaviáció analógiájáa) munkája: W 1, = ò qed= -q( F -F1) = qu ahol 1 U = F 1 - F poenciálkülönbség Ha az elekon 1V poenciálkülönbségen áfu akko 1eV=1,6 10-19 J enegiáa esz sze, ami az enegiaegségkén aomfizikában gakan használunk. b) a kezdősebesség szöge zá be a éeősséggel, akko a pála a fede hajíásnál megisme paabolapála lesz. Ha ez a szög 90 0 -os, akko: -q qe = v 0 E az eléíés aános az E-vel, azaz az elekomos éeősséggel (poenciállal) Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 15

Kaódsugácsőben a felgosío elekonoka ké egmása meőleges lemezpá éíi el és iánba. A vizszines eléíőe un. fűészezgés kapcsolnak, míg a függőlegese a vizsgál jele. Mágneses ében öénő mozgás A mágneses mező munkája: W = ò q( v) d = ò q( v) vd 1, = 1 1 0 azaz a mágneses é nem válozaja meg a észeske sebességének a nagságá, csak az iáná. Háom ese: a) vii ekko a észecskée haó eő 0, ehá a sebesség nem válozik b) v^ ebben az eseben a észecskée haó eő meőleges lesz annak sebességée (cenipeális eő), azaz a észecske kömozgás végez, azaz: v qv = m v ebből a pála sugaa: = ( q/ m) q köfekvenciája w = p T = m az un. cikoonfekvencia. p p A köülfodulási idő: T = = w ( q/ m ) függelen a észecske sebességéől és csak a q/m-ől, a észecske fajlagos öléséől függ. Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 16

c) A v szöge zá be -vel. A sebességveko v(v 0 cosb, v 0 sinb). A mozgás eg állandó meneemelkedésű csavamozgás lesz, ahol a pála sugaa: v sin = ( q/ m) 0 b köülfodulási idő pedig: p T = ( q/ m ) ezen idő ala a észecske a függőleges iánban h ávolsága ju, íg a meneemelkedés: h = ( v Ezen az elven működik pl. a TV képcső eléíője. 0 pv 0 cosb cosb ) T = ( q/ m) Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 17

Pedüle (impulzusmomenum) Az m ömegű anagi pona haó F eőnek eg eszőleges 0 pona vonakozao nomaéka (momenuma) a fogaónomaék (eő eő kaja): ïïsina a a F M=ïFïïïsina amel veko, azaz ké veko vekoiális (veko eedménező szozaa: F = M. Hasonló módon éelmezhejük az m anagi pon impulzusának a nomaéká is, pedüleé, impulzusmomenumá: mv = p = L képezzük a pedüle idő szeini deiváljá: d L d d d( mv = ( mv) = mv + ) d d d d az első ag 0 és a második pedig a fogaónomaék, íg dl d = M a végeedmén a pedüleéel (analóg az impulzuséellel). Amenniben M=0, akko L=állandó veko, a pedüle megmaadásának a éele (vö. az impulzus megmaadása éelével). Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 18

Kénszemozgás Az anagi pon mozgásá gakan geomeiai feléelek koláozzák Þ kénszemozgás. Nézzük például a legegszeűbb esee a lejő 0 s N G -N F a G a súleő N a nomóeő -N a nomóeő elleneeje F a ese haó eő A ese haó eő: F = G + (-N) és F = G sina páhuzamos a lejő síkjával. A mozgásegenle: g m s = mg sina s = sina. A maemaikai inga : eg ömegpon leng eg felfüggesze fonalon. Az eő F = -mgsina a l F G a A mozgásegenle: mla =- mg sin a g Kis kiééseke: + a a = 0 l Megoldása: a=a 0 sin(w+j) ahol: w = g l T = p l g A lengési idő csak az inga hosszáól függ, nem függ a kiéés nagságáól. Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 19

Súlódás A vízszines lapa heleze es csak eg bizonos eő haásáa mozdul el, a mozgó es lassul Þ súlódás = súlódó eő. A súlódás az okozza, hog a es hozzánomódik a felülehez, íg nagsága aános a nomóeővel, azaz: ïsï = m ïnï. iána páhuzamos a felüleel. A m a súlódási egühaó, függ a felüleől. Tapadási súlódás: megindulásko Csúszási súlódás: kisebb a apadásinál. Közegellenállás Közegben mozgó ese ha még eg eő, mivel a mozgó esnek "defomálni kell" a közege. Ez az eő: K = -c v c =aql aános a sebességgel, az aánossági énező függ a közeg anagi minőségéől (a) a mozgó ág keeszmeszeéől (q) és a l alakénezőől (amel síklapnál 1, gömbnél 0,6 és cseppnél 0.3). A mozgásegenle: m = F + K illeve m + c = F. Példa: a vízbe eje es sebessége (ejőenős, sb.) s K=-cv F=mg m v + cv = mg c v + m v = elsőendű inhomogén diffeenciálegenle - c a homogén megoldása: v = ce m az inhomogén eg paikuláis megoldása: v= íg =mg/c c g Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 0

- c mg m A diffeenciálegenle a eljes megoldás: v = ce + c, ahol a kezdei feléelből, azaz: c mg =- c Íg a vízbe eje es sebessége v mg æ = ç1 - c è c - e m ö ø a sebesség eg daabig nő, majd állandó maad. Lakne: FIZIKA I. MECHANIKA 1