(expectation) õþ: (mean)

Hasonló dokumentumok
x = 10±0.1 y = 5±0.02 z = 20±0.4

Å Ò Ñ Ò Ð Þ ËÞ Ð Á ØÚ Ò ÄÌ Ã Ñ ÁÒØ Þ Ø Ôº ½



á é é é é é é é é á é é é é á ú ó é ő á ő á é ű é á ó é é ő é ú ő á é é őá é é é é é é é á ő ö ő ö é á é ő é éé é é é á ő á é ő é á ó á ú á á é á é őí

ű ü Á

Å Ò Ñ Ò Ð Þ ËÞ Ð Á ØÚ Ò ÄÌ Ã Ñ ÁÒØ Þ Ø Ôº ½

LEGYEN MÁS A SZENVEDÉLYED!


2 Å Ø Ð ÒØ Þ Ó Ý Ý Ö Ð ØÖ ÒÞ Ø Ú Þ ÑÑ ØÖ Ù ÐÐ ØÚ ÓØ Ñ Þ äþ Ð Ñ Þ Ñ Ö Ð Ò Ñ Ð Å Ø Ð ÒØ Þ Ó Ý Ý Ö Ð ÒØ Þ ÑÑ ØÖ Ù ÐÐ ØÚ ØÖ ÓØ Ñ Þ äþ Ð Ñ Þ Ñ Ö Ð Ò Ñ Ð Å

E0 sin ωt, D = ǫ. σ ν2πǫ, ǫ 1, σ ( ) 1 s.

) 89: ;!"# `a b c `a "# H 8 # - 67 N8 NT K 6 *7 N QN = 8 E * M 8 () N 8 #? - 8 b M 8 b % -8 b *? - b $%& ' & ()* +, && %( )* +,- +.! )+ #! ( *'

Ð Þ Ù Þ Ø Ö Ý ÐÓ ÞØ Þ Ø Ö Ý Ø ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ý Ð Ô Ö ÀÓ Ý Ò Ñò Þ ÙÒ Ú ÖÞÙÑ Ð ÔÚ Ø Ó ÐÑ Ø Ö ÒÝ Ñ Þ Ò Ö Ö Ú Ø º

é ő é ó á é ő ó í á á é ö é á é í é á á é é ű á é ö ö ö ó é ü ö ö ő é ó é ő á í á é í é é á á é í ű ö é Í é ü ö é ó é ü á ű é á ö á Í é ő é á á ó ő é

Ψ = α 0 > +β 1 > ØÓÚ α 2 + β 2 = 1. Ψ = cos θ 2 0 > +eiϕ sin θ 2 1 >

í á á á í á á á ő í ő ö ö ó ó á á ü á á ö í ó á á ö ű á ú á ü á ö á ő ő ő á á ő ő á á ő ő á ő á í á ó á í ó ó á í ó ö á ö í á í ő ö í ó ö í űö ű ó ö ü

!" #$%& ' % '( ) # # '( KLMNO!./0 1 5 H `a )5,) ) ( ;E ) \ J& ] ) 1.^ <B5 ` A) c HE )`7? ; ^ ) : ;;/,!] ) 1.` A ^ N0< ;:)I >? 7) >S,-Q 1. M "2 1.` A M

Ð Þ Ù Þ Ø Ö Ý ÐÓ ÞØ Þ Ø Ö Ý Ø ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ý Ð Ô Ö ÀÓ Ý Ò Ñò Þ ÙÒ Ú ÖÞÙÑ Ð ÔÚ Ø Ó ÐÑ Ø Ö ÒÝ Ñ Þ Ò Ö Ö Ú Ø º

á ü ö ö ö ő í á ő ú á á ó í á ö öá á á ö á á á ő ö í ú ű ű ö ú í í ű ő á ő ü ó á ó ő í ííá ö á ó á ő ű ö ű á á á á ü í ő á í á á ü í á á í á á á ó ű ö

ó í ó é é ó ö é ö ű ó é é é á é é é ú ő é á é ó ö á é é é é á á ö ú ő é é í é á ő é ú Ö í ö á á ú é é á á ö ú ő é á á á é é ó ö ú ő é ö ű ő é ő ó ű ő

¹ÐÓ Ó ¹ ÐÔ Ö ÓÐ Ô ÓÐ Ø ÓÖÓ È Ø Ö Ä ÑÔ ÖØ Å Ø Å Ò ÓÖ ¾¼¼ º½¾º½½º ÓÖÓ È Ø Ö Ä ÑÔ ÖØ Å Ø Å Ò ÓÖ ¹ ÐÔ Ö ÓÐ Ô ÓÐ Ø

ó ó É ö ó ó é á á ö ü ű ó ö ö ő é é é ű ó á é é é ű ó é á á é ö é í é á ő é á íí ó é á á í á ő é ü á ó ő á é ó é á á á ó é é ü ő ú é é ő ó ó ő á é é ő

½º Å rot H = 0, H t2 H t1 = 0 H t2 = H t1, ¾º Å div D = ρ D n2 D n1 = η. º Å rot E = 0 E t2 E t1 = 0, º Å div B = 0 B n2 B n1 = 0.

THE LITERARY WORKS OF ŚRĪMANTA ŚAṄKARADEVA AND MAHĀPURUṢA MĀDHAVADEVA

Készült a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központjának támogatásával november

(rot. j n df. Hd s = F. H) n df = F. j n df = n j n df, Hd s = ni.

öáá á á í ó á á á á é á á ó á íí ó á é ó ó á é á ó é é ó ó É Í Í á é á á á á é é í á í ó á ó é á é éé á ó á á í á Ú éá á á é ó ö ü é Í á é é ó ó é ö é

É É É é é é é é í ű ó é É ö á ó é ő ő í ó á ö ő é ö ö é ó í í ú í é é í íú ó í ó é ő é ö é í é é ó é á á é á á ó ő ű é é ő ő ő í ó é é é í é é ó á Ű é

VÁLASZLAP ..BF.. KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA Kezdő feladat: KockaKobak Országos Matematikaverseny MINTA 2012.

ö ú í á á í ö á á í á í őí á í á á őí á á ő á ó ü ő á á í á í á ő á á ő ő á ű ő ö ú ú ő ő ö ő á á á í ó ö ő ő ö á ó á á í á ó á á ű ó ü á á ő ö á á á

ËÔ ÑÊ Ò À ÓÒÐ Ö ÆÝ ÐÚÑÓ ÐÐ Ã Ö ÐÑ ËÙÑÑ ÖÝ Ï Ô Ñ ÞòÖ Ñ Þ Ö ÐÓ ÒÝ Ã ÖÓÐÝ ÄÌ ÁÃ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ó ØÓÖ Á ÓÐ ÅÌ Ë Ì ÃÁ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÃÙØ Ø Ð ÓÖ Ø Ö ÙÑ Ì Ñ Ú Þ Ø º ÒÞ Ö

E F O P

í í ó ö ö í é ű é é é é é é ó é ó ó ü ö í ő í ü ö í é ö ö é í é é ü ö í ü é í é í ó ö ö ö Ó í ó ó ö í ő óá Ü ü ö í ü ü é ő ű é é é é é ü í é é í é é ö




X 1 (x i ) º. X 1 (], b]) º. ], a 1 ], ]a 1, a 2 ],...,]a p 1, a p ], ]a p, + ], j=1. i i

,- (.,-- /0 & # )11.!"#$%&'! "#$%&' ()*+,-. /01. * : ; 4 DED1 5 $< :1 F GHIJK LMNOE => PQ/RS LMNO TUVW XYS + $< 9:+ LMNO Z9 [\ ]^_`

rot H = j, 1. div D = ρ, 2. rot E = 0, 3. div B = 0. 4.

ÙS #!Ë 3H )*+,- r Q# m 89:; 9 K6700'9:;6Õp 4G550 q 6 µ # m89:; 700 RS& ÚÒ

D = ǫ0 ǫ r. ½º Å rot H = j + ρ v + D. rot H = j + ρ v + ǫ 0 ǫ r. Erot H = E j Eρ v Eǫ 0 ǫ r. ρ( v, E) = Erot H Hrot E ( j, E) ǫ 0 ǫ r

ľ ú ő ö ü ö ľü ő ľ ő ö ü ú ö ľ í ü ú í ö ľĺ ő ű ľ ö ü ľü ę đí ą ó ő ő ü ú í ľ í í ý đ ę öľ ü í ú í ó í ő ó í ő ő ö ö ú í í ö ö ľü ú í í ľ ľ Ü Ü í í ľ

C qe.rrrc ocboeitur t BHelpettrr leps,qoboro orerlecrbehhofo u. 09 yrbepx\aehhh fljrahob oopa3obatenbhbix MepoIIpHtTr{fi u otokhpobok 3a pyoexom

á ö á Ö á á ő ü á á ö á ó ő ő ö á ö á á á ö á ö á ő í á ű ő ü á ö á ő á á á á ó ó Ó ö ö á ő á ő ö á á ö á ő á ő ö á á á á á á ű ő ö á áá ü ő á Ó á í ü

é é ö í Ü ö é ő é é Í Í é é é ű é ő é é ő í ő Ű é é é é ö í é ö ö é ö é é é é ő é ű ő é é Úé é ö ö é Ü ö é ő é éü Ú í í ő ö é é é é é í é é ő é é őé é

ö É É Ö É Ő É ü ŕŕ ő ő ő í í ü í ú ü ö É É É É Ő É É Ő É É É É ő ö í ď

Ì ÖØ ÐÓÑ ½ Ú Þ Ø ¾ Ã Ð Ò Ð Ö ÞÓÐ Ñ Ó ËÞ Ò Ö ÞÓÐ Æ ÒÝ Ú ÒÝ Þ Ù Þ ÈÖÓ Ö ÑÓ Þ Ó Ð Ð

Együttműködési ajánlat Szemléletformálási programok KEHOP Véglegesített pályázat 3.1 (Forrás: Javasolt cselekvés


ö á á á í á áá í ü í á á öá ü á í á á á ö ü áí á ó í á í ő í ü á ö ú á á á ö ó ó á í á á í á ü á ö ó ö ő í á ü í á ü á ó í ó á ü í ű á á á á á á áá á

KockaKobak Országos Matematikaverseny 7. osztály


*) )!"!#$%&' % $ $%&!"$%!"&! &(& % : ]Q : 4B% & c!"n & ' # &# PU '! ; T 89 ( =? >!" 7 1 / 7= 67 9 P <?!" b!" = L WM?!" 3 01!"BP =01!"N P " H!" - /!" c


Heart ra te correc ti on of t he QT interva l d ur i ng e xercise

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31


ö é ö ó é é é ó é é é ő ó ü é ű é í ü é é ó é é é ö é é ó é é ü é ó é é é é ú ó é ő ő é é é ü é é é É ó í ú ü é é ő Ő é í é é é é é ő é ő ű é ó ö ö é

ö Ö ő Í ú ö ö ö ö ő ó ó Ö ú ó ü ó ö Ö ő ö ö ö ő ő ő ö ó ö ő ö ö ö őö ö őö ü ö ö ö ő ö ö ő ő ó ö ö Í ö ú ő ö ó ö ü ó ö ő ó ú ö őí ó ó ó ű ö ű ö ö ő ő ű

é á áí ő ö é á á á á á á á á é ő ú í á á á é á á ö é é ö é őí á é é í é é ó ö é é ü é é é ő á ű ö é é é é é ű é ö é é á ú á é é í ő ö ö é á ó é é í ő

ÓÑ Ã Ø Ð ÔÚØ Ó ÐÓÑ Þ Ð Ü Ò Ö ÔÓÐ ÒÓÑ ÐÓ Ö ÓÑÓÐ ÃÓÑ Ò ØÓÖ Ù Ñ Þ Ö Ð ÓÑ ÒÚ Ö Ò Ó Ð ÓÒÝ Ñ ÒÞ ØÓÔÓÐ ÓÑ Ò ØÓÖ ËØ Ô Þ Ò Ö Ê ÒÝ Ð Ö Å Ø Ñ Ø ÃÙØ Ø ÒØ Þ Ø ¾¼¼

é ü ü ő ü ő é ú é é é é é ő í é ő Í ő ü é é í é í é ő í ó é é í é é ő ó í ó é í í é ő Í ú ó ó í é ű í ó é í é ő é é í ó é í í óé í éé ő ó ü é ő úé é ú

Együttműködési ajánlat Kulturális intézmények a köznevelés eredményességéért EFOP Véglegesített pályázat 3.0 (Forrás:

t = 0 R i L i s i s + u v 3R + u v u u v = 3u 4 + 3R 4 i s R = 0 u Li L R u = 4R 3 i L +R i s = i L i L + u 2R + u u v dt = 7R 3L i L + R L i s


í á ó á é é é é á á ö é ő í é í ű á é é é é ő é ľĺ í á ľ é éľ ü ó ö é é ö ö é é é ó é é ő ő é á ű é ó ľ í ę é í á ź Ń é ľ á á ő é é đá áľ ľ ľ é á é ú

Í é é ö é é é ő ü ö é é é é ü ö ö é é é ő é é ü ü ö Í ú ü ö é ü Á éí É ü é ú é é é ű é é é Í é ő ú é é é úö é é ö é ú é ö ö Í é é ö é é éé ü é Í é é é





À Ì ÒØ Ö ÖÓÑ ØÖ ÞÒ Ð Ø Ò Þ ÓÒ Þ Ò Ã Ö Å Ò Þ Ù ÅË ½º Ú ÓÐÝ Ñ ¾¼½½º Ó Ø Ö ½ º

fi*ggrfifi*rfi # qüt4t aas g gg E.H EüI Í,* El gql ühe Hfi {l ajr s<t ñrli 3il Éd ; I.e! Ffd 'á ru ;Én 5c'ri n ír^ -Ei =: t^ úu o 4


Megoldások augusztus 8.



ę ú Ĺ ý ú ó ý ó ő ő ü Í ő ę ó ę í ó ó ź ő ź ő ź í í ő ö ü ú ő ö ö ü ü ó í í ő ő í Ĺ Ĺ ó ú í ö ö ő ó í ő ő ó ó ę ő í ö ó źú Í ő í ú ö ú ó í ő ő ő ź ő í

@ A B C. N*ª ÙWæ? > & ( ) ; Ä ( o 2 ø H BC )ÙD"i E = ; 2 ª Ù W æ. )'(-{Ë;Ä (= E #¹z2ª ÙW #ÑI*.øU Y*t _*b x > W Ò G ø 2 e f. '({Â U=1 üè2 ¾eëa~;;!

Í Í Í ű Í ö Ú Ú ö ö É ö ö Í É ö ö ő Á Ö ő ő Ü Í Í É Í Í É Í ö ú ö ú ö Í Á Á Ö Í


Ú Þ Ø Þ Ô Ð Ò Þ Ú Ñ Ò ÞÔÓÒØ Þ ¹ Ö Ô Ø Ø ÞÓØØ Þ Ð Ö Ú Þ Ð ØÓ Òº ËÞ ÑÐ Ð Ø Ò Þ ÐÚ Þ Ú ÐØÓÞ Ð ÑòÚ Ð Ø Ð Ð Ð Ô Ø ØØ ÓÐÝ Ò Ð¹ ÓÖÓÞ ØÓ Ñ ÐÝ ÓØØ Ø ÔÙ Ð Ö Ø Ò

KockaKobak Országos Matematikaverseny 5. osztály

ö É Á ó ó á é á ó ö á É É ö ó

Å Ò Ñ Ò Ð Þ ËÞ Ð Á ØÚ Ò ÄÌ Ã Ñ ÁÒØ Þ Ø Ôº ½

ö ő ő ú ő ó ű ő ő ó ö ű ú ü ó ő ú ő ő ő ű Ö ő Á Ö ő ő ő ő ó ü ő ő őő ö í ü Ó ö ő Ó Ö ü ö í ü ú Ö ő ú ó ő Ö Ó ő ő ő ő í ő í ó ő ő ú ó í ü ő ő ő ó ó í ő

é í ź ü ź é ę í é ő ő é ö ü ő é ü é í é é é ö ű ö é ő é ö ó ó é é é ę é ö é ę é ź é é Í ź ö ó Á ó ź é é Í é ö é ó ó ó ő ź ó ź ź é é ó é ű ü í ó í ő ź


ő ó ú í í ő í đ ź ő ź ő í ő ő ő ę ő ď ő ő ő ő őđ ó ý đ đ ő ő ü ő Í ő ö ő ö ö í ó ő ź ó ź ź í ü ó í í í í ő ő ź í ź ö ź Í ö ź źů ó ó ó í ő í í Á ó ö ő

Haladó lineáris algebra

Áfa 4 Sílér, Felelős szerkesztő és laptulajdonos: Kun Béla. d. u. fél öt órakor a vásárféri pályán mérkőzést t a r t a n a k a


f ij = f i. f.j Ö f 11 = 49 f 12 = 64 f 13 = 84 f 1. = 197

ú ź ő í ü ź ü ź ź í ź ü ö ú ę í ő ź ź ö ő ő í ę ú ő É ů ę í ő í ý ú í ä ő í í í ű ő ö ü źű ő ź ú ő ü í Ĺ í í í ő í ő ę ő ő í ú ő ü ź ę ę ő ő ý ö ź ü í

ő ö ó ü ü ó ö é é ó é ü é é ő ö ö Ö ó é é ó ö ó ő ö é ő ö é ő ö é ő ö é ő ó ó ó í é é ü ő í ö ö ö í é ő ü é ö é ő ő é é ó é ó ü ó é ő é é íé í ő é é é

a 11 a a 1n a n1 a n2... a nm b 2, x :=

ő ú ę ę ó ő ŕ ó ö ő ó ó ę Ĺ ä ö ü ö ť ö ü ź ó ő ó ó ä ő ó ö ö ü ý ď ó ś ä ó ł đ řšř ŕ ä ú Í ó ő ę Ą ő ž ű ą ą ő ő ä ö Ľ ł ł ż ż ő ť ó ö ő ü ő ú ŕ łł ó

Á Á Ó É Á Ó É É Á Á ó ó é á ú í á á é á Á ó ű á ó í ó á á á ú ö űú é é ö ö ű ö ő á é ö ö é é ú ő á ú ő á ü á á ú ü á é ö ú ú á á á ú í á é ő é ó é é é

Á ó ú ó Í Í Á ú ö

Együttműködési ajánlat A társadalmi kohézió erősítése az egyházak közösségfejlesztő tevékenységének bővítésével EFOP Pályázati tervezet 2.

Átírás:

(expectation) õþ: (mean) õþ:. ½Ó Æ Æø 4.1 îñ :. X ( ) a 1,a 2,,a n, Ǒ 1 n pa 1 ` `a n q.

èñ : Í (Ó). X ǑÐ º, ǑP px x k q p k, @k. Ó, a 1 ` `a n ÿ k x k n k, Î õþ: n k tm : 1 ď m ď n,a m x k u., n k n «p k, 1 n pa 1 ` `a n q «ÿ x k p k. k

Ð º. ř k x k p k ă 8, Ã ÿ x k p k k ǑX ( ), ÈǑEX. ( Đ, ùþ4.1.1.) ř k x k p k 8, Ã X Đ. 4.1.5. x k p 1q k2k k, p k 1 2k, k ě 1.

È x` x _0, x p xq _0. ř k x k p k è þ è Ù, Ǒ EX ř k x kp k ǑX. ( Đ ). Æ: X d Y, ÃEX EY. ±:

4.1.1. Bernoulli. E1 A P paq. 4.1.3. Ø. (1) X ě 0, EX ûþ. (2) x k k: (3) Ç : kp k k λk k! e λ λ λk 1 pk 1q! e λ λp k 1, k ě 1. EX 8ÿ 8ÿ k p k k 0 l 0 λ λl l! e λ λ.

X êã : Ý : EX EX 8ÿ P px ě nq n 1 8ÿ kp k k 1 8ÿ k 1n 1 8ÿ P px ą nq. n 0 kÿ p k 8ÿ 8ÿ p k. n 1k n 4.1.4.. P px ą nq q n, @n ě 0. EX 8ÿ q n n 0 q0 1 q 1 p.

º. Ð ± : x 0 ă x 1 ă ă x n, ÿ ş x ppxqdx ă 8, Ã i x i ppx i q x i Ñ ż ż xppxqdx xppxqdx. ǑX ( ), ÈǑEX. ( Đ, ùþ4.1.2.)

ş x ppxqdx îǒ8 î, ż EX xppxqdx. 4.1.13., EX ûþ. ppxq 1 π 1 1 `x 2.

X ě 0, Ã Ý : EX ż 8 0 EX, agpaq ď ż 8 0 Gpxqdx. xppxqdx xgpxq 8 0 ` ż 8 a yppyqdy. ż 8 0 Gpxqdx, 4.1.12. X Exppλq. ż 8 0 P px ą xqdx ż 8 0 e λx dx 1 λ.

è ì». X ě 0. Æ è: Y 1 n rnxs. : X Y ď 1 n, EX EY ď 1 n. Ç EY: EY 8ÿ k 1 ˆ 1 n P Y ě k n 8ÿ l 0 ˆ 1 n P X ą l Ñ n ż 8 0 Gpxqdx.

ù Æ è: Ŷ Y 1 n. EŶ 8ÿ è X: k 0 ˆ k F n ş xdf pxq. ˆk `1 n F ˆk Ñ n ż 8 0 xdf pxq.

Lebesgue-Stieltjes : max i x i. ż xdf pxq : lim ş x df pxq ă 8, Ã Ñ0 ÿ i x i pf px i`1 q F px i qq. ż xdf pxq ǑX, ÈǑEX. ( Đ, ùþ4.1.3.) ùþ Ð º º èç.

X ě 0, Ã EX ż 8 0 P px ą xqdx. EX Ǒ8, ÃEX : EX` EX. ( ûþ) Đ : ż EX ă 8 iff E X ă 8 iff x df pxq. X º(i.e., P p X ď Mq 1), Ã Đ. ð Æ.

ï X c, ÃEX c. Æ : X ě Y, ÃEX ě EY. : EpaXq aex, EpX `Yq EX `EY. X ě 0 EX 0, ÃX 0. (1) P px ą 1 n q 0: 0 EX ě EX1 txą 1 n u ě E1 n 1 txą 1 n u 1 ˆX n P ą 1. n (2) P px ą 0q lim n P `X ą 1 n 0.

X ě 0 EX ă 8, Ã (1) xgpxq: (2) EX 1 txąxu : lim xgpxq lim EX 1 txąxu 0. xñ8 xñ8 ż 8 0 ż x 0 ż x ż 8 ď 2 Gpyqdy ď 2 Gpyqdy Ñ 0. x{2 x{2 P p ą yqdy P px ą xqdy ` ż 8 0 ż 8 x P px ą x,x ą yqdy P px ą yqdy.

X ě 0, Ã lim EX 1 txďxu Ñ EX. xñ8 (1) EX ă 8: EX 1 txąxu Ñ 0. (2) EX 8: @M, ż M EX 1 txďxu ě ¹M Ñ 8, ě Ñ 0 ż M 0 ż M 0 P py ă X ď xqdy P px ą yqdy MP px ą xq P px ą yqdy. px Ñ 8q. lim EX 1 txďxu 8. xñ8

ø : Y fpxq, ÃEY ş R 1 fpxqdf X pxq. (ù Ò4.1.1 ŵ) Ð º: EfpXq ÿ k fpx k qp k. p4.1.18q º: Ôá: ż EfpXq fpxqppxqdx. p4.1.20q R 1 EfpXq ÿ ż fp x k qp k, EfpXq f p xqpp xqd x. k

Ô Ã EpXY q pexqpey q.. X, Y Ô ð º, Ã ij EXY xyp X pxqp Y pyqdxdy. Jensen (4.3.7): ûø ϕ, EϕpXq ě ϕpexq.. EX 2 ě pexq 2. Eφ(X) φ(ex) EX

4.1.11. X Npµ,σ 2 q, õ EX. Z Np0,1q, Đ, Z d Z, à EZ Ep Zq EZ ñ EZ 0. Z : X µ σ Np0,1q. EX Epµ `σzq µ. è», X µ d µ X E X ă 8, ÃEX µ.

4.1.16. á. X 1 A1 ` `1 An, ÃEX ř i P pa iq. X Bpn,pq ùx HpN,M,nq, EX np, (p M N ). X d X 1 ` `X n, X i Bp1,pq. ê Ã( 1.5.6) n ñ², n ²ñ, 1 ñ.. N ö, Þ Î p, 1 p, X ÒÆ». EX C 3 N pp3 ` p1 pq 3 q.

ËÃÓ 15. ξ 1,,ξ n i.i.d.,, Ý : E ξ 1` `ξ k ξ 1` `ξ n k n. Ýß: E E E keξ neξ k n. pξ 1,,ξ n q d pξ i,,ξ n,ξ 1,,ξ i 1 q, fp xq : x 1 ři x i. ξ i ξ 1 ` `ξ n d ξ 1 ξ 1 ` `ξ n, @i. ξ 1 ξ 1` `ξ n º, Đ, ÈǑµ. : k ÿ ξ i, E k ξ 1 ` `ξ n ÿ ξ i E kµ. ξ 1 ` `ξ n µ 1 nñ i 1 i 1 k n, nµ E ξ 1 ` `ξ n ξ 1 ` `ξ n 1.

. E Y ă 8. px,y q ðð / º: ϕpxq : ÿ y j P py y j X xq, j ż yp Y X py xqdy. px,y q ðð / º, EpY Xq ϕpxq, ϕp xq ÿ ż y j P py y j X xq, yp Y X py xqdy. j Y ³ÙX : EpY Xq : ϕpxq. : E`apXq `bpxqy X apxq `bpxqepy Xq.

: EY EEpY Xq EϕpXq. (4.2.59) Ð º: EϕpXq ÿ i ϕpx i qp px x i q ÿ i,j y j P px x i,y y j q EY. º: ż EϕpXq ij ϕpxqp X pxqdx yp X,Y px,yqdxdy EY. E EpY X, W ˇ qˇ W EpY W q. Ê Ep W q, EpY X, W q ÊpY Xq.

ËÃ 43. Þ ý» Î p ÞǑÖý. ý X Đ, Y Öý. EY. LpY X nq Bpn,pq: EpY X nq np ñ EpY Xq Xp. EY EEpY Xq pex. ξ ξ 1,ξ 2, i.i.d., X, Đ. Y ξ 1 ` `ξ X ñ EY pexq peξq. L`pξ 1,,ξ X q X n L`pξ 1,,ξ n q.

. Polya. b, r. Þ è, è ûè c. B n ½n ð, ÃP pb n q ÈX n n, Y n à Ð, P pb n`1 X n iq Xn b`r`nc. i b `r `nc : y i. b b`r. P pb n`1 q ÿ i ÿ i P px n iqp pb n`1 X n iq P py n y i qy i EY n.

X n`1 X n `c 1 Bn`1 : EpX n`1 X n q X n `c Y n Y n pb `r ` pn `1qcq, EpY n`1 X n q Y n. Ùð, EY n`1 EY n EY 0 b b `r. P pb n`1 q EY n b b`r, @n ě 0.

. U 1,U 2, i.i.d. Up0,1q. ÈS n U 1 ` `U n. EX, X : inftn : S n ě 1u. ¹X a : inftn : S n ě au. Èfpaq EX a. æfp1q. X a. È ˆX b : inftn 1 : U 2 ` `U n ě bu, Ã X a 1 tu1 ěau `1 tu1 ăaup1 ` ˆX a U1 q 1 `1 tu1 ăau ˆX a U1. ˆX b U 1 Ô, ˆX b d Xb., Er1 tu1 ăau ˆX a U1 U 1 xs Ep1 txăau ˆX a x q 1 txăau fpa xq.

fpaq 1 ` şa 0 fpyqdy, 0 ă a ď 1: fpaq e a : Ep1 tu1 ăau fpa U 1 qq ż a 0 fpa xqdx. f 1 paq fpaq ñ plnfpaqq 1 1 ñ fpaq Ce a. Ǒfp0q 1, C 1. EX fp1q e.

à«4.2 ૳ E X ă 8. EpX EXq 2, à ǑX à«(variance), ÈǑvarpXq ùdpxq. σ X : a varpxq ǑX ÁÇ«/à«(standard deviation). (ùþ4.2.1) (moment): EX k, EpX EXq k, Ee ax. (ùþ4.2.5)

Ç : E X ă 8, px EXq 2 X 2 2pEXq X ` pexq 2, varpxq EX 2 pexq 2. à«: EX 2 ă 8. à«ù : E X ă 8, EX 2 8 varpxq EpX EXq 2 8. à«ð Æ: X d Y ÃvarpXq varpy q. õþ:. varpxq 0, Ã X EX.

: varpa `bxq EpbX bexq 2 b 2 varpxq. ÁÇÞ: X X µ, EX 0, varpx q 1. σ

4.2.1. & 4.2.2. X Bp1,pq, X 2 X, varpxq p p 2 pq. Y d 1 A1 ` `1 An, A 1,,A n. (1) Y 2 ř i,j 1 A i 1 Aj ř i,j 1 A i A j, (2) EY 2 ř i,j P pa ia j q. varpy q ÿ P pa i A j q i,j ÿ P pa i q i 2.

4.2.3. X P pλq. varpxq EX 2 pexq 2. (1) EXpX 1q: 8ÿ k 0 kpk 1q λk k! e λ 8ÿ l 0 (2) EXpX 1q `EX λ 2 `λ, varpxq λ 2 λ. λ 2λl l! e λ λ 2.

4.2.4. X Upa,bq. U Up0,1q: X Upa,bq, varpxq: EU 2 ż 1 0 x 2 dx 1 3, varpuq 1 12. U X a b a Up0,1q. varpa ` pb aquq pb aq2. 12

4.2.5. X Npµ,σ 2 q. ÁÇ. Z : X X µ σ Np0,1q. : EZ 2? 2 ż 8 2π 0 x 2 e x2 2 dx 2? 2 ż 8 e x2 2 dx 1. 2π 0 varpxq varpµ `σzq σ 2 varpzq σ 2.? 2π ż 8 0 xde x2 2

Chebyshev s (4.2.10): Ý : P paq E1 A. P p X EX ě εq ď varpxq ε 2, @ε ą 0. Y ě 1 A, Ú, ÙðP paq ď EY.. Y px EXq2 ε 2 Y ě 0; Y A ě 1. ; Y X EX r ε. (Markov )(5.2.22) r. X ě 0, ÃP px ě Cq ď EX{C.. P px ě Cq ď Ee apx Cq, a ą 0.

Æ૳ EX 2,EY 2 ă 8. (ùþ4.2.3) EpX EXqpY EY q. ǑX, Y Æà«(covariance), ÈǑcovpX,Y q ùσ X,Y. à«: varpx `Yq E 2 px `Yq pex `EY q varpxq `varpy q `2EpX EXqpY EY q. Ô Ã varpx `Yq varpxq `varpy q.

Ç : px EXqpY EY q XY pexq Y X pey q ` pexq pey q. Ùð, covpx,y q EXY EXEY. Î ø, X ax `c, Ỹ by `dñ covp X,Ỹ q ab covpx,y q.

Cauchy-Schwarz s (ùò4.2.1): pexy q 2 ď EX 2 EY 2. ä 0 ă EX 2,EY 2 ă 8. Đ : XY ď 1 2 px2 `Y 2 q. ø : fptq EptX `Yq 2 pex 2 qt 2 `2pEXY qt `EY 2 ě 0. iff Dt 0 fpt 0 q 0 iff Y t 0 X. t 0 EXY EX 2, fpt 0q EX2 EY 2 pexy q 2 EX 2. Hölder s : 0 ă k,l ă 8, 1 k ` 1 l 1, EXY ď pe X k q 1{k pe Y l q 1{l.

. L 2 0 tx : EX2 ă 8,EX 0u. L 2 0 ð èñ. Ë. iff ³. Đ: Æθ: xx,y y : EXY covpx,y q. }X}? EX 2 σ X. xx,y y }X} }Y } cosθ ñ cosθ covpx,y q σ X σ Y.

0 ă σ 2 X,σ2 Y ă 8. ρ X,Y : σ X,Y σ X σ Y covpx,y q a varpxqvarpy q. ǑX, Y ( ) ³, ßÈǑρ. (ùþ4.2.3) X ax `c, Ỹ by `d, à ρ X,Ỹ ρ X,Y (ab ą 0) ù ρ X,Y (ab ă 0). ρ ď 1: ρ X,Y ρ X,Y covpx,y q. ρ 1 iff Y X iff Y ax `b, a ą 0; ρ 1 iff Y X iff Y ax `b, a ă 0. ρ EX Y xx,y y cosθ.

à ³: covpx,y q 0, ą 0, ă 0. à ³ (ùþ4.2.4): ρ 1, 1. à ³.! : X Np0,1q, Y X 2.

4.2.8. U Up0,2πq. X cosu, Y cospu `aq. Y cosû d X, Û Up0,2πq. à«: EX 0, EX 2 1 2. EX 2 1 ż 2π cos 2 θdθ 1 2π 0 2 Æ૳. ρ X,Y cosa: covpx,y q EXY 1 ż 2π cosθcospθ `aqdθ 1 2π 0 2 cosa. a 0: Y X, ρ 1, ³. a π: Y X, ρ 1, à ³. a π 2 ù 3π 2 : ρ 0, ³, ð.

. A, B ð( ). A, B Ã ³: P pabq ą ă P paqp pbq. covp1 A,1 B q E1 A 1 B E1 A E1 B P pabq P paqp pbq. A, B ³ iff A B Ô. ( ï4.2.5). A» èð ¼, B» ð ¼. è, ³( ) vs è, Ã ³. P pabq P paqp pbq ď 1 4. (4.2.31), ËÃè45. ρ A,B : P pabq P paqp pbq a P paqp1 P paqq a P pbqp1 P pbqq. p4.2.30q

.. px,y q ç, Ãρ X,Y ρ (4.2.28). 1 ppx,yq a e 1 2p1 ρ 2 pu2 2ρuv`v2 q q, 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2, u x µ 1 σ 1, v y µ 2 σ 2. ùò3.2.1, X Npµ 1,σ 2 1 q, Y Npµ 2,σ 2 2 q. U : X, V : Y çǒˆppu,vq. ρ X,Y EX Y ρ. (4.2.28) ij u v ˆppu,vqdudv ż ż 1 u v?? a e 1 2p1 ρ 2 ppu ρvq2`p1 ρ2 qv 2 q q dudv 2π 2π 1 ρ 2 ż ρv v 1? 2π e v2 2 dv ρez 2 ρ.

px,y q Ð. Ã X,Y ³(ρ 0) iff Ô (p X,Y px,yq p X pxq p Y pyq). 4.2.9. X,Y Np0,1q, ρ X,Y 0,. ppx,yq ppxqppyq ` 1 2π e π2 gpxqgpyq ppxq 1? 2π e x2 2, gpxq cosx 1t x ăπu.

X px 1,,X n q T Æ: : EX pex 1,,EX n q T, Æà«Å: Σ pσ ij q nˆn, σ ij covpx i,x j q. (4.2.18). Σ ù:, x T Σ x ÿ σ ij x i x j ÿ x i x j EpX i µ i qpx j µ j q i,j i,j Σ ù : ÿ E x i px i µ i q i 2 ÿ x i px i µ i q 0, pa.s.q ñ x 1 x n 0. i, Σ ùiff 1,X 1,,X n ³..

: EY 2 ă 8. 1. ŷ P R Qp q, µ: Qpvq : EpY vq 2 }Y v} 2, @v P R. Á: áǒ0. Y v py ŷq ` pŷ vq, @v. Qpvq Qpŷq ` pŷ vq 2 `2pŷ vq EpY ŷq. ŷ EY. (4.2.8). µǒ µ, v 0 Đ EpY ŷq 2 EY 2 Eŷ 2 varpy q.

2. â, ˆb P R Qpa,bq : E`Y pa `bxq 2, a,b P R., EX 0, EX 2 1. â EpY ˆbXq EY: Y pa `bxq py bxq a. ¹Y 0 Y EY, ÃÞǑ ˆb fp q. ( ) µ á. fpbq Qpâ,bq EpY 0 bxq 2. Y 0 bx py 0 ˆbXq à pˆb bqx. fpbq fpˆbq ` pˆb bq 2 `2pˆb bq EpY 0 ˆbXqX. ˆb EXY 0 covpx,y q. E`Y â ˆbXq 2 EY02 EpˆbXq 2 Ç», ρ X,Y 1 Y â `ˆbX. 1 ρ 2 X,Y σy 2.

3. ˆψp q Qp q. Qpψq EpY ψpxqq 2, ψp q EψpXq 2 ă 8. µ: Y ψpxq py ˆψpXqq à pˆψpxq ψpxqq., E E`Ep Xq E ˆψpXq EpY Xq ϕpxq. è, `EpY Xq ˆψpXq. E`Y ϕpxq 2 EY 2 EϕpXq 2.

4.4 ½ø ñ, á ð êã á. P px kq p k, k ě 0. 8ÿ p k s k, s P r 1,1s k 0 ǑX ½ø (generating function), ÈǑg X psq ùgpsq. Ä : gpsq Es X p 0 `p 1 s `p 2 s 2 ` `p k s k `. ½ø ǑÜ : X d Y iff g X g Y. g pkq p0q p k k!, @k ě 0.

gpsq p 0 `p 1 s `p 2 s 2 ` `p k s k ` Es X. : s P p 1,1q, g 1 psq p 1 `2p 2 s ` `kp k s k 1 ` EXs X 1, g 2 psq 2p 2 ` `kpk 1qp k s k 2 ` EXpX 1qs X 2. g plq psq EXpX 1q px l`1qs X l., EX g 1 p1q : lim sñ1 g1 psq, pex ă 8 or EX 8 q EX 2 g 2 p1q `g 1 p1q. 4.4.4. X Gppq. gpsq 8ÿ q k 1 ps k k 1 ps 1 qs.

: X Y, Ãg X`Y psq g X psqg Y psq. 4.4.5. X Bpn,pq. 4.4.6. X P pλq. Es X`Y Es X s Y Es X Es Y. g λ psq g n psq pq `psq n. 8ÿ k 0 s k λk k! e λ e λps 1q.

: ξ ξ 1,ξ 2, i.i.d., W. (1) : ¹X ξ 1 ` `ξ W, Ãg X g W g ξ. Eps X W kq Eps ξ1` `ξ k W kq E g ξ psq k. (2) : : Es X EpEps X W qq E `g ξ psq W g W pg ξ psqq g W g ξ psq. EX gxp1q 1 gw 1 pg ξ p1qqgξ 1 p1q EW Eξ. EX EppEpX W qq EpW Eξq EW Eξ.

Ø : W P pλq, Ã X ξ 1 ` `ξ W ½ø Ǒ X Ð Ø. g X psq exp tλ pg ξ psq 1qu. 4.4.10. W P pλq, ξ Bp1,pq. g X psq exp tλ pq `ps 1qu e λpps 1q. : X,Y,ξ Ô, ξ Bp1,pq. ¹ Ã g W p g X ` p1 pq g Y. W X 1 tξ 1u `Y 1 tξ 0u,

4.5 Æø Ee itx EcosptXq `? 1EsinptXq, @t P R ǑX Æø (characteristic function), ÈǑf X ptq ùfptq. x `iy px,yq. e itx pcosptxq,sinptxqq. ï1. fp0q 1. }fptq} }Ee itx } ď E}e itx } 1. ϕ : x `iy ÞÑ }x `iy} a x 2 `y 2 ðø.

ï2. f èç : (1) } } : (2) @M ą 0, }fpt `εq fptq} ď E}e ipt`εqx e itx } E}e iεx 1}. EY EY 1 t X ďmu `EY 1 t X ąmu. (3) M P p X ą Mq ă δ 4, Ã ď2 P p X ą Mq ă δ 2, ď max x ďm }eiεx 1} ď εm ă δ 2, p ε ă δ 2M q.

ï3. f ù: @t 1,,t n P R, ¹a ij fpt i t j q, Ã A pa ij q nˆn ù, i.e. piq ĀT A, piiq ÿ a ij λ i λ j ě 0, @λ 1,,λ n P C. i,j Ý(i): Èt t j t i. fp tq Ee ip tqx Ee itx fptq. p4.5.13q Ý(ii): ÿ a ij λ i λ j ÿ Ee ipt i t j qx ÿ λ i λ j E λ j e it jx i,j i,j j 2 ě 0.

Bochner-KhinchineùÒ(ùÒ5.2.9): f : R Ñ C Ú fp0q 1,, ù, ÃĐ X f f X. & è (ùò4.5.1 4.5.2): ż T e ity e itx F pxq F pyq lim fptqdt, @x,y P CpF q. T Ñ8 T it (ùò4.5.3) ş }fptq}dt ă 8. Ã ø F ppxq F 1 pxq 1 ż 2π e itx fptqdt. p4.5.25q.

ï4. : X Y, Ãf X`Y ptq f X ptqf Y ptq. (1) X Bpn,pq, f n ptq pq `pe it q n p1 `ppe it 1qq n. (2) X P pλq, f λ ptq e λpeit 1q. : X,Y,ξ Ô, ξ Bp1,pq. ¹W Xξ `Yp1 ξq, Ãf W pf X ` p1 pqf Y. ï5. EX k Đ, Ãf pkq p0q i k EX k, fptq 1 `f 1 p0qt ` f 2 p0q 2! ï6. f ax`b ptq Ee itax`itb e itb f X patq. t 2 ` ` f pkq p0q t k `opt k q. k!

4.5.5. X Npµ,σ 2 q. Z X Np0,1q: ( Ç ) X µ `σz: f Z ptq? 1 ż 2π? 1 ż 2π e x2 2 `itx dx e 1 2 px itq2`1 2 pitq2 dx e t2 2. f X ptq Ee itpµ`σzq e itµ 1 2 σ2 t 2.

á å Æø Æø : f X p tq Ee i t X Ee ipt 1X 1` `t nx nq. : f X p tq Ñ F X p xq. ï( ). Æ:, f X ptq f X,Y pt,0q. X Y iff f X,Y pt,sq f X ptqf Y psq. X Y ñ f X`Y ptq f X ptqf Y ptq..

ê Þ. 4.6 µ P R n ( å), Σ Ǒn ˆn ùå. È ç: p X p xq X px 1,,X n q T Np µ,σq. " * 1? n a 2π Σ exp 1 2 p x µqt Σ 1 p x µq. n ááç Z pz 1,,Z n q T Np 0,Iq. ç: p Z p zq 1? 2π n exp», Z 1,,Z n i.i.d., Np0,1q. " 1 2 } z}2 *.

Z Np 0,Iq, A ê Þ, Ã Y : µ `A Z Np µ,σq, pσ AA T.q Ý: py p yq p B z Z p zq B y Cexpt 1 2 } z}2 u. } z} 2 }A 1 p y µq} 2 p y µq T A 1,T A 1 p y µq X Np µ,σq. A? Σ. Ã, D V Ú: p y µq T paa T q 1 p y µq. X d Y ñ V : A 1 p X µq d Z. V Np 0,Iq, X µ `A V. è, X ê Þ Ðn á.

Ô Æø. Np 0,Iq: f Z p tq Ee i t Z nź Ee it kz k k 1 nź k 1 e t2 k {2 e 1 2 } t} 2. Np µ,σq: X µ `A Z, A? Σ, AA T Σ. f X p tq Ee i t p µ`a Zq e i t µ Ee ipat tq Z " e i t µ e 1 2 }AT t} 2 exp i t µ 1 * 2 t T Σ t. µ P R n, Σ nˆn ù. X Æø Ǒ, Ã X ÐÔ Np µ,σq. Ǒ X Ǒè Ô å. µ `A Z Np µ,σq, A? Σ. Σ ê Þvs Þ. Ô å û ÐÔ.

Æ. X Np µ,σq. ( Σ ù.) X d µ `AZ : Y, A pa ij q nˆn? Σ. : EX µ. EX i EY i Epµ i `a i1 Z 1 ` `a in Z n q µ i. Æà«Å: pσ ij q pcovpx i,x j qq Σ. covpx i,x j q E ÿ k ÿ a ik Z k a jl Z l ÿ ik a jl ˆEZ k Z l k,la l ÿ k a ik a jk σ ij.

ùò (ùò4.6.6) X Np µ,σq iff @a 1,,a n P R, Y : ř n k 1 a kx k Npµ,σ 2 q. ñ: Ee ity Ee ipta 1,,ta nq X exp it ř n k 1 a kµ k 1 2 t2` a T Σ a (. ð: (1) Æ: EX 2 i ă 8. ¹E X µ ; X Æà«ÅǑΣ. Ð µ EY ř n k 1 a kµ k, σ 2 covpy,y q a T Σ a. (2) Æø : Ee i t X Ee i 1 řn k 1 t kx k exp " " exp i t µ 1 * 2 t T Σ t. iµ 1 2 σ2 * p a tq

Æ. Í : Y Np ν,σ 11 q: X py 1,,Y r ; W r`1,,w n q T, µ pν 1,,ν r ; w r`1,,w n q T. Σ11 Σ 12 Σ. Σ 21 Σ 22 f Y p sq f X p s; 0q exp " i s ν 1 * 2 st Σ 11 s. Y i W k ³, @i ď r ă k ( Σ 12 0 ) ô Y W : Σ 12 0 ñ f X p s; uq f Y p sqf W p uq.

Σ nˆn Þ ì». X Np 0,Σq. : Đ V Np 0,I nˆn q M nˆn X M V. ÈA pa ij q nˆn? Σ, Z Np 0,I nˆn q, Ã X d A Z : py 1,,Y r ; W r`1,,w n q T. r rankpaq ě 1. ¹ α i pa i1,,a in q. ä r ½ α 1,, α r ³, α k b k1 α 1 ` `b kr α r, k r `1,,n. W B pn rqˆr Y: Yi α i Z, i ď r, W k α k Z b k1 Y 1 ` `b kr Y r, k r `1,,n.

X k a.s. b k1 X 1 ` `b kr X r, k r `1,,n. X k pb k1 X 1 ` `b kr X r q d W k pb k1 Y 1 ` `b kr Y r q 0. px 1,,X r q T d Y py 1,,Y r q T Â Z Ð : Ǒ α 1,, α r ³, ˆΣ rˆr ÂÂT Σ 11 í, Â rˆn pa ij q 1ďiďr,1ďjďn. Σ ê Þì» ÂĐ, px 1,,X r q T C rˆr V,, V Np 0,I rˆr q. : V pv 1,,V r ;V r`1,,v n q T Np 0,I nˆn q X M V,, M C 0 BC 0.

. X py 1,,Y r ;W r`1,,w n q T Np µ,σq. Σ11 Σ 12 Σ. Σ 21 Σ 22 Y Ð, Σ 11 ê Þ. Lp W Y yq. ä E X 0, ÃĐ X E X. Á: B pn rqˆr V p W B Y q Y ³, covpy i,v k q EY i V k 0, i ď r ă k. µö: py 1,,Y r ;V r`1,,v n q T ÐÔ, Ä Y V Ô.

Æà«: i ď r ă k, covpv k,y i q E W k ÿ b kj Y j Y i jďr σ ki ÿ b kj σ ji pσ 21 BΣ 11 q ki. jďr B Σ 21 Σ 1 11. Ùð Y V, W B Y ` V. V W BY Np 0, Σ 22 q, EV k V l E W k ÿ b kj Y j V l EW k W l ÿ b lj Y j jďr ñ Σ 22 Σ 22 Σ 21 Σ 1 11 Σ 12. : Y y, W B y ` V, Lp W Y yq NpB y, Σ 22 q. jďr

. ËÃÒ 41. p X,Y px,yq, ppx,yq 1 2π exp " 1 2 (1) ppx,yq ÞǑÁÇ». `2x2 `y 2`2xy 22x 14y`65 *. ³ á, σ 2 1 1, σ2 2 2, σ 12 1: 2x 2 `1 y 2 `2xy 22x 14y ` apx µ 1 q 2 `cpy µ 2 q 2 `bpx µ 1 qpy µ 2 q, a b{2 2 1 1 1 Σ 1 ñ Σ. b{2 c 1 1 1 2 ³ è á, µ 1 4, µ 2 3: 22 2aµ 1 bµ 2 ; 14 2cµ 2 bµ 1.

ËÃÒ 41 ( ). ppx,yq 1 " 2π exp 1 `2x2 `y 2 `2xy 22x 14y`65 *. 2 (3) p X Y px yq. 1 p X Y px yq 9 ppx,yq: Ĉ y?, 2πˆ1{2 " p X Y px yq C y exp 1 # Ĉyexp * q 2 p2x2 `2py 11qx 1 ˆ x 1 p11 yq 2 ˆ1{2 2 2+.

( Ä ). Đ : : (1) ç. σ 2 1 1, σ2 2 2, σ 12 1, µ 1 4, µ 2 3. Σ 1 : Σ 1 ˆ2 p 1q ˆ p 1q 1, 1 1 Σ ñ Σ 1 1 2 1 1 2 1 1 1. p X,Y px,yq: # 1 2 1 2π? 1 exp 1 px 4,y 3q 2 1 1 x 4 y 3 +.

( Ä, ). Đ : : (2) p X Y px yq. σ 2 1 1, σ2 2 2, σ 12 1, µ 1 4, µ 2 3. ÈX 0 X EX X 4, Y 0 Y EY Y 3. λ W : X 0 λy 0 Y 0 ³(, ), λ EX 0 Y 0 {EY 2 0 X µ 1 λpy µ 2 q à px 0 λy 0 q. covpx,y q{varpy q 1{2. î EW 0, varpw q EX 2 0 λ2 EY 2 0 σ2 1 λ2 σ 2 2 1 2. Ä X: X µ 1 W `λpy µ 2 q, X W ` pµ 1 λµ 2 q `λy W Y 2 ` 11 2. : Y y, X W y 2 ` 11 2, LpX Y yq N pp11 yq{2, 1{2q.

è», е X, µ Y, σ X, σ Y, σ X,Y. : p X X`Y px yq,p X Y `a1 Z 1` `a nz n px yq,. (1) Đ X 0 : X µ X, Y 0 : Y µ Y, Ŷ0 Ŷ ˆµ., ˆµ EŶ µ X `µ Y ùµ Y `a 1 EZ 1 ` `a n EZ n. (2) λ W 0 : X 0 λŷ Ŷ ³, µ λ σ X,Ŷ. σŷ, Ŷ î, EW 0, σ 2 W σ 2 X λ 2 σ 2 Ŷ. (3) Ùð, X µ X `W `λpŷ ˆµq. (4) Ŷ y, X W `µ X `λpy ˆµq, LpX Ŷ yq Npµ X `λpy ˆµq,σ 2 W q.

2024 © DocPlayer.hu Adatvédelmi irányelvek | Szolgáltatási feltételek | Visszajelzés