MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Matematika középszint 11 ÉRETTSÉGI VIZSGA 01. október 16. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölve a hibákat és a hiányokat.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül.. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba. 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon.. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók, hacsak az útmutató másképp nem rendelkezik. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek.. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 4. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 5. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 6. Egy feladatra adott többféle megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 7. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 8. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 9. A vizsgafeladatsor II. B részében kitűzött feladat közül csak feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetőleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 11 / 14 01. október 16.

I. 1. a = 104. pont 6. { 1;;4;5 } Összesen: pont A = { ;;5;6 } B =. Összesen: pont x = 16 pont Összesen: pont A megfelelő képletbe történő jó behelyettesítésért, de hibás számításért jár. Ha nem vagy hibásan szerepel a halmazok elemeinek a felsorolása, de egy jó Venn-diagramot felrajzol a vizsgázó, akkor ot kaphat. x = 4 megállapítása ot ér. 4. A kollégista fiúk számát ábrázoló körcikkhez tartozó középponti szög 45. Ez a 60 -nak 8 1 része. A kollégista fiúk száma: 60. 5. A kiválasztandó tanulók száma: 5 pont Nem bontható. Összesen: pont 6. A keresett számot x-szel jelölve, 5 a szám 5 része: x. 6 6 5 x 0, = 1 6 x = 186 írásbeli vizsga 11 / 14 01. október 16.

7. A) igaz B) hamis C) igaz D) hamis 8. A feltételeknek megfelelő gráf. 1- Összesen: 4 pont pont Összesen: pont Ha a rajzolt gráfra a három feltételből csak kettő teljesül, akkor a vizsgázó ot kap. 9. f értékkészlete: [ ;] g értékkészlete: [ 1;1] Összesen: pont Az értékkészlet bármilyen más alakban történő helyes megadása esetén járnak a pontok. 10. Az a + b vektor hossza 4 cm. pont Összesen: pont jár, ha a vizsgázó ábrájáról kiderül, hogy ismeri vektorok összeadásának módját. 11. első megoldás A (szabályos) tizenkétszög belső szögeinek összege: ( 1 ) 180 = = 1800, így egy belső szöge 150. 11. második megoldás A szabályos tizenkétszög középpontjából két szomszédos csúcshoz húzott szakasz 0 -os szöget zár be egymással. Az így keletkező egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögei 75 -osak. A szabályos tizenkétszög egy belső szöge ennek kétszerese: 150. írásbeli vizsga 11 4 / 14 01. október 16.

11. harmadik megoldás Egy konvex sokszög külső szögeinek az összege 60, így a szabályos tizenkétszög egy külső szöge 0, vagyis egy belső szöge 150. 1. 6 1 94,5 = b 1 1 94,5 1 6 b =1,5 1 A képletért (behelyettesítés nélkül) nem jár pont. írásbeli vizsga 11 5 / 14 01. október 16.

II. A 1. a) A BC oldalegyenes egy irányvektora a BC ( 1; 9) vektor. Ezzel az egyenes egyenlete: 9x + 1y = 9 9 + 1 ( ), azaz: 9 x + 1y = 45 ( x + 4y = 15). 1. b) első megoldás A BC oldallal párhuzamos középvonal az AB és az AC oldal felezőpontját összekötő szakasz. Az AB oldal felezőpontja: F ( AB,5; ), az AC oldal felezőpontja: F AC (,5;,5). A középvonal hossza: 6 + ( 4,5) = 7, 5. 1. b) második megoldás A BC oldallal párhuzamos középvonal hossza fele a BC oldal hosszának. A BC oldal hossza: 1 + ( 9) = 15. A középvonal hossza: 7,5. 1. c) első megoldás Az ABC háromszög oldalainak hossza: AB = 15, BC = 15, AC = 50. A C csúcsnál lévő belső szöget jelölje γ. Alkalmazva a koszinusztételt: pont 15 = 5 + 50 15 50 cosγ cosγ = ( 0,7071) (Mivel 0 < γ < 180, így) γ = 45. Összesen: 6 pont A BC oldalegyenes normálvektora például a (9; 1) vektor. Ha csak oldal hossza helyes, akkor a vizsgázó ot kap. írásbeli vizsga 11 6 / 14 01. október 16.

1. c) második megoldás CB ( 1; 9), CA ( 1; 7) A vektorok hossza: CB = 15, CA = 50. (A skalárszorzat definíciója szerint:) CB CA = 15 50 cosγ. Másrészt: CB CA = 1 1+ ( 9) ( 7) = 75. 1 Ezekből cosγ = ( 0,7071). (Mivel 0 < γ < 180, így) γ = 45. Összesen: 6 pont 14. a) Ha három színt akarunk felhasználni, akkor a kitűző mezői különböző színűek lesznek. Az egyik (például a legbelső) mezőt 5-féle, a mellette levőt 4-féle, a harmadikat -féle színnel színezhetjük ki. Így 5 4 = 60 -féle háromszínű kitűzőt készíthetünk. Ez a pont akkor is jár, ha helyes volt. 14. b) első megoldás 5 Az ötből két színt = = 10 -féleképpen választhatunk ki. A három mező közül a két egyszínűt háromféleképpen lehet kiválasztani, és mindegyik esethez kétféle színezés tartozik, ez összesen 6 lehetőség. A kétszínű kitűzők száma így 10 6 = 60. Összesen: 5 pont Ha a vizsgázó csak azt a két esetet találja meg, amikor szomszédos mezők nem azonos színűek, akkor ot kap. 14. b) második megoldás A kitűzőt egy vagy kettő vagy három színnel lehet kiszínezni. írásbeli vizsga 11 7 / 14 01. október 16.

A kitűző minden mezőjét ötféleképpen színezhetjük ki, így összesen 5 5 5 = 15-féleképpen színezhetjük ki a kitűzőt. Egyszínű kitűzőből 5-félét lehet készíteni. A kétszínű kitűzők számát megkapjuk, ha az összes lehetséges kiszínezés számából levonjuk az egyszínű és háromszínű kitűzők számát. A kétszínű kitűzők száma így 15 5 60 = 60. Összesen: 5 pont 14. c) A kitűző minden mezőjét ötféleképpen színezhetjük ki, így összesen 5 5 5 = 15-féle színezés lehetséges. A megadott három szín 1 = 6 kitűzőn szerepel. A kérdéses valószínűség tehát kedvező esetek száma p = = összes eset száma 6 = ( = 0,048). 15 Összesen: 4 pont 15. a) f ( ) = 0,5 x + x +,5 =,5 x = 1 15. b) A függvény hozzárendelési utasítását átalakítva: x + x +,5 = ( x + 1) +,5. A függvény minimuma a,5. Az értékkészlet: [,5; [ Ez a pont jár, ha a helyesen megadott értékkészletből derül ki a függvény minimuma. Az értékkészlet bármilyen más alakban történő helyes megadása esetén is jár ez a pont. írásbeli vizsga 11 8 / 14 01. október 16.

15. c) Rendezés után: x x 1,75 < 0. Az x x 1,75 = 0 egyenlet gyökei: 1 7 x 1 = és x =. Mivel a másodfokú kifejezés főegyütthatója pozitív, ezért az egyenlőtlenség megoldása: pont 1 7 < x <. pont Összesen: 6 pont Ha a vizsgázó az intervallum végpontjait is a megoldáshalmaz részének tekinti, akkor legfeljebb ot kaphat. II. B 16. a) első megoldás Jelöljük x-szel azt, hogy Stefi hány percet beszélt csúcsidőben ( 0 < x < 10 ) és y-nal azt, hogy hány forintot kell fizetni a telefonálásért percenként csúcsidőben ( 5 < y ). A feladat szövege alapján felírható egyenletrendszer: xy = 000. (10 x)( y 5) = 000 A zárójeleket felbontva: 10 y xy 5 10 + 5x = 000. Az egyik ismeretlent kifejezve: 000 y =. x Behelyettesítés után: 000 10 + 5x = 7000. x Rendezve: 5x 7000x + 40 000 = 0. pont * * * * A másodfokú egyenlet két gyöke: x = 40 1 és 40 * A 40 nem megoldása a feladatnak, mivel összesen 10 percet beszélt. * Stefi 40 percet beszélt csúcsidőben mobiltelefonján a kérdéses időszakban. Ellenőrzés a szöveg alapján. Összesen: 1 A csúcsidős percdíj 50 Ft, a csúcsidőn kívüli 5 Ft. írásbeli vizsga 11 9 / 14 01. október 16.

A *-gal jelölt 6 pontot a következő gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó: A zárójeleket felbontva: 10 y xy 5 10 + 5x = 000. xy = 000 -t behelyettesítve és rendezve: 4 y + 5x = 1400 Ebből x-et kifejezve és az első egyenletbe helyettesítve: ( 80 4,8 y ) y = 000. Rendezve: 4,8 y 80y + 000 = 0. A másodfokú egyenlet két gyöke: y = 50 és 5 1 y =. A 5 nem megoldása a feladatnak (mert ekkor y 5 < 0 lenne). 16. a) második megoldás Jelöljük x-szel azt, hogy Stefi hány percet beszélt csúcsidőben ( 0 < x < 10 ), ekkor tudjuk, hogy csúcsidőn kívül ( 10 x) percet töltött telefonálással. Tudjuk, hogy csúcsidőben és csúcsidőn kívül egyaránt 000 Ft-ért beszélt, így a percdíj csúcsidőben 000 Ft, x 000 csúcsidőn kívül pedig 10 x Ft. 000 000 A feladat szövege értelmében: 5 =. x 10 x pont Mindkét oldalt x ( 10 x) -szel beszorozva: 000 (10 x) 5x(10 x) = 000x. Rendezve: 5x 7000x + 40 000 = 0. A másodfokú egyenlet két gyöke: x = 40 1 és 40 A 40 nem megoldása a feladatnak, mivel összesen 10 percet beszélt. Stefi 40 percet beszélt csúcsidőben mobiltelefonján a kérdéses időszakban. Ellenőrzés a szöveg alapján. Összesen: 1 Ez a pont akkor is jár, ha A csúcsidős percdíj 50 Ft, a csúcsidőn kívüli 5 Ft. írásbeli vizsga 11 10 / 14 01. október 16.

16. b) Ha az első hónap után n hónappal az új előfizetők száma már elérte a 0 000-et, akkor n 10000 1,075 = 0000. (Mivel a tízes alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növekvő, ezért) Ha ez a gondolat a megoldás során derül ki, akkor is jár ez a pont. n lg 1,075 = lg n 9,58 A bevezetés hónapja utáni 10. hónapban, tehát novemberben várható, hogy az új előfizetők száma eléri a 0 000-et. Összesen: 6 pont Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó hónapról hónapra (akár ésszerű kerekítésekkel) jól kiszámolja az új előfizetők számát és ez alapján jó választ ad, akkor jár a 6 pont.. Ha a vizsgázó megoldása során egyenlőtlenséggel számol egyenlet helyett, akkor a megfelelő pontok járnak. 17. a) Jó ábra az adatok feltüntetésével. ábra nélkül helyes adatokkal dolgozik a vizsgázó. A gúla magassága: M = 1 ( = 6 10,9) (cm). A gúla oldallapjának a 1 cm-es oldalhoz tartozó magassága szintén 1 cm. 1 A gúla felszíne: A = 1 + 4 = = 4 cm. 1 6 A gúla térfogata: V = 499 cm. Összesen: 7 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó valamelyik válaszában nem kerekít vagy rosszul kerekít, akkor a feladatban összesen legfeljebb ot veszítsen. írásbeli vizsga 11 11 / 14 01. október 16.

17. b) első megoldás Az adott sík a gúlát egy csonkagúlára és egy az eredetihez hasonló gúlára vágja szét, ahol a hasonlóság aránya λ =. A hasonló testek térfogatának aránya: V levágott gúla 8 = =, V 7 eredeti gúla Így a csonkagúla és az eredeti gúla térfogatának aránya 19:7, azaz a keletkező testek térfogatának aránya 8:19. Összesen: 5 pont 17. b) második megoldás (A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai miatt) a levágott gúla alapéle 1 = 8 (cm), magassága 6 = 4 ( 6, 9cm), 8 4 térfogata: V = ( 147, 8 cm ). V levágott gúla 8 4 8 = =, V 1 6 7 eredeti gúla Így a csonkagúla és az eredeti gúla térfogatának aránya 19:7, azaz a keletkező testek térfogatának aránya 8:19. Összesen: 5 pont 17. c) első megoldás (A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai miatt) a csonkagúla fedőéle 1 = 8 (cm), alapéle 1 cm. 1 Egy oldallapjának magassága 1 = 4 (cm). 1 + 8 Egy oldallapjának területe: T = 4 = 40 (cm ). A csonkagúla felszíne: A = 1 + 8 + 4 40 = = 68 cm. Összesen: 5 pont írásbeli vizsga 11 1 / 14 01. október 16.

17. c) második megoldás (A középpontos hasonlósági transzformáció tulajdonságai miatt) a csonkagúla fedőéle (egyben a levágott kis gúla alapéle) 1 = 8 (cm). A csonkagúla és a kis gúla felszínének összege (az a) részben kapott eredmény felhasználásával): 4 + 8 = 560(cm ). A kis gúla hasonló a nagy gúlához, a hasonlóság aránya, így a kis gúla felszíne: 4 = 19 (cm ). A csonkagúla felszíne: 560 19 = 68 cm. Összesen: 5 pont 18. a) Az életkorok átlaga: 17 + 18 + 19 +... + 5 + 6 + 1 = 89 Más, ésszerűen és helye- 1 = (, év). sen kerekített érték (pl. 1 év) is elfogadható. Összesen: pont 18. b) (A 1 játékosból 9 olyan van, aki 0 évnél idősebb, így) azoknak az eseteknek a száma, amikor nincs 9 a kiválasztott 7 játékos között 0 évnél fiatalabb:. 7 Azoknak az eseteknek a száma, amikor egy játékos 0 évnél fiatalabb (és 6 játékos 0 évnél idősebb): 4 9 pont. 1 6 Az A esemény bekövetkezése szempontjából kedvező esetek számát a fenti két szám összege adja: 9 9 + 4 = 6 + 6 = 7. 7 6 írásbeli vizsga 11 1 / 14 01. október 16.

1 Az összes esetszám:. 7 9 9 + 4 7 6 A kérdéses valószínűség: P (A) = = 1 7 7 = ( 0,168). 1716 Összesen: 8 pont 18. c) (A legidősebb és legfiatalabb játékos életkorának különbsége csak egyféleképpen lehet 1 év, ha) a legidősebb játékos ( a 6 =) 1, a legfiatalabb pedig ( a 1 =) 19 éves. A móduszból következik, hogy a játékosok közül ketten (a és a ) évesek. Mivel hat játékos van, ezért a medián a és a 4 számtani közepe, azaz az egyik játékos ( a 4 =) 4 éves (és pont ilyen korú játékos valóban van a csapatban). 118 + a Az átlagból következik, hogy 5 = 4, 6 vagyis ez a játékos ( a 5 =) 6 éves (és ilyen korú játékos valóban van a csapatban). Összesen: 7 pont Megjegyzés: Ha a vizsgázó indoklás és ellenőrzés nélkül adja meg a hat játékos életkorát helyesen, akkor pontot kaphat (egy hiba esetén jár, több hiba esetén nem jár pont). Ha ellenőrzi is, hogy a megadott adatok valóban megfelelnek a feladat feltételeinek, akkor további pontot kaphat. írásbeli vizsga 11 14 / 14 01. október 16.