MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 009. május 5. KÖZÉPSZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x 1x 4 0 Az egyenlet gyökei 1, 5 és 8. ) Számítsa ki a 1 és 75 számok mértani közepét! A mértani közép: 0. ) Egy négytagú csoportban minden tagnak pontosan két ismerőse van a csoport tagjai között. Szemléltessen gráffal egy ilyen ismeretségi rendszert! (Az ismeretség kölcsönös.) Például: 4) Döntse el az alábbi két állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! a) Az függvény periódusa. b) Az x sin x x x sin x x függvény periódusa. a) igaz b) hamis Összesen: pont 5) A 9.B osztály létszáma fő. Közülük először egy osztálytitkárt, majd egy titkárhelyettest választanak. Hányféleképpen alakulhat a választás kimenetele? 1 99 -féleképpen.
6) Adja meg a A kifejezés értéke 4. log 81kifejezés pontos értékét! 7) Egy mértani sorozat első tagja -, a hányadosa -. Adja meg a sorozat ötödik tagját! Írja le a megoldás menetét! n 1 a a q n 1 5 1 a 5 A sorozat ötödik tagja: -48. Összesen: pont 8) Írja fel 4 és 80 legkisebb közös többszörösét! Számítását részletezze! 4 4 80 5 A legkisebb közös többszörös: 4 5 40 9) Az A és a B halmazok a számegyenes intervallumai: B ; 0 A B 1, 5; 0 B A ; 1. Adja meg az A B és a B A halmazokat! 10) Adja meg a metszéspontjának koordinátáit! M 09 ;. Összesen: pont A 1, 5; 1, (4 pont) Összesen: 4 pont x y 18 egyenletű egyenes és az y tengely 11) Egy kisüzem 6 egyforma teljesítményű gépe 1 nap alatt gyártaná le a megrendelt csavarmennyiséget. Hány ugyanilyen teljesítményű gépnek kellene dolgoznia ahhoz, hogy ugyanennyi csavart 4 nap alatt készítsenek el? 18 gépnek kellene dolgoznia.
1) Egy gömb alakú gáztároló térfogata 5000 m. Hány méter a gömb sugara? A választ egy tizedesre kerekítve adja meg! Írja le a számítás menetét! (4 pont) Ha a gömb sugara r, akkor: r 15000 4 ebből r 11994 15000 4 A gömb sugara 10,6 m. 4r 5000,,, Összesen: 4 pont
II/A. 1) Egy 000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon élők kor és nem szerinti megoszlása (ezer főre) kerekítve az alábbi volt: Korcsopor t (év) Férfiak száma (ezer fő) Nők száma (ezer fő) 0 19 114 1158 0 9 1471 14 40 59 147 1458 60 79 685 104 80-75 170 a) Melyik korcsoport volt a legnépesebb? A táblázat adatai alapján adja meg, hogy hány férfi és hány nő élt Magyarországon 000. január elsején? b) Ábrázolja egy közös oszlopdiagramon, két különböző jelölésű oszloppal a férfiak és a nők korcsoportok szerinti megoszlását!(5 pont) c) Számítsa ki a férfiak százalékos arányát a 0 évnél fiatalabbak korcsoportjában, valamint a legalább 80 évesek között! (4 pont) a) A 0-9 éves korcsoport volt a legnépesebb ( 89 ezer fő). 479 ezer (4 79 000) férfi és 551 ezer (5 51 000) nő élt az országban. b) (5 pont)
c) A 0 évnél fiatalabb férfiak száma 114 ezer, a korcsoport lélekszáma 7 ezer fő volt, tehát a férfiak százalékos aránya: 114 7,, % 0 51 51 A legalább 80 éves férfiak száma 75 ezer, a korcsoport lélekszáma 45 ezer fő volt, tehát a férfiak százalékos aránya: 75 45,, % 0 06 0 6 Összesen: 1 pont 14) Egy vetélkedőn részt vevő versenyzők érkezéskor sorszámot húznak egy urnából. Az urnában 50 egyforma gömb van. Minden egyes gömbben egyegy szám van, ezek különböző egész számok 1-től 50-ig. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy az elsőnek érkező versenyző héttel osztható sorszámot húz? A vetélkedő győztesei között jutalomként könyvutalványt szerettek volna szétosztani a szervezők. A javaslat szerint Anna, Bea, Csaba és Dani kapott volna jutalmat, az egyes jutalmak aránya az előbbi sorrendnek 1: : : 4. Közben kiderült, hogy akinek a teljes jutalom megfelelően ötödét szánták, önként lemond az utalványról. A zsűri úgy döntött, hogy a neki szánt 16000 forintos utalványt is szétosztják a másik három versenyző között úgy, hogy az ő jutalmaik közötti arány ne változzon. b) Összesen hány forint értékű könyvutalványt akartak a szervezők szétosztani a versenyzők között, és ki mondott le a könyvutalványról? (6 pont) c) Hány forint értékben kapott könyvutalványt a három versenyző külön-külön? a) Mivel 1-50-ig 7 darab 7-tel osztható szám van, az első versenyző 7 50 valószínűséggel húz 7-tel osztható számot. b) Ha a jutalom ötödrésze 16000 forint, akkor a teljes jutalmat 80000 forintra tervezték. Az arányok szerint 1 egység a teljes jutalom 10-ed része, egy egység 8000 forintot ér. Bea kapott volna 16000 forintot, így ő mondott le a jutalomról. c) Mivel 1: : 4 arányban osztották szét a könyvutalványokat, Anna 10000, Csaba 0000, Dani pedig 40000 forint értékben kapott könyvutalványt. Összesen: pont
15) Valamely derékszögű háromszög területe 1 cm, az hegyesszögéről pedig tudjuk, hogy tg. a) Mekkorák a háromszög befogói? (8 pont) b) Mekkorák a háromszög szögei, és mekkora a köré írt kör sugara? (A szögeket fokokban egy tizedesjegyre, a kör sugarát cm-ben szintén egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (4 pont) a) A befogók aránya :. Az egyik befogó x, a másik x. a háromszög területe: x x 1. a b. x 4. A (pozitív) megoldás: b A befogók hossza 6 cm és 4 cm. b) Az hegyesszög 56, a másik hegyesszög,7 -os. A derékszögű háromszög átfogója (Pitagorasz tétele szerint), a kör sugara (az átfogó fele):. Összesen: 1 pont x. 1, 6 cm a 5 7, cm
II/B. 16) A következő kérdések ugyanarra a 0 oldalú szabályos sokszögre vonatkoznak. a) Mekkorák a sokszög belső szögei? Mekkorák a külső szögek? b) Hány átlója illetve hány szimmetriatengelye van a sokszögnek? Hány különböző hosszúságú átló húzható egy csúcsból? (6 pont) c) Milyen hosszú a legrövidebb átló, ha a szabályos sokszög beírt körének sugara 15 cm? A választ két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (8 pont) a) A belső szögek 16 -osak, a külső szögek 18 -osak. b) Az összes átlók száma 0 17 170 Szemközti csúcsokat összekötő átlóból 10 van, (ezek egyenese 1 1 szimmetriatengely) szemközti oldalak felezőpontját összekötő szimmetriatengelyből szintén 10, tehát összesen 0 szimmetriatengelye van a sokszögnek. Egy csúcsból 17 átló húzható, ezek között 8 8 páronként egyenlő hosszú, tehát 9 különböző hosszúságú átló húzható egy csúcsból. c) A szabályos 0-szög egy oldalához tartozó O (konvex) középponti szög 18 -os. tg9 a 15 a 0 tg9 a 4,75 cm A legrövidebb átló egy 16 szárszögű egyenlő szárú háromszögből számolható ki, amelynek szárai 4,75 cm hosszúak. sin81 d 4,75 d 9,5 sin81 d 4, 75 sin 81 9,8 cm A 15 9 9 d Összesen: 17 pont B C
17) A valós számok halmazán értelmezett f másodfokú függvény grafikonját úgy kaptuk, hogy a g: v ; 4, 5 vektorral eltoltuk. 1 g : g( x) x függvény grafikonját a a) Adja meg az f függvény hozzárendelési utasítását képlettel! b) Határozza meg f zérushelyeit! (4 pont) c) Ábrázolja f grafikonját a [; 6] intervallumon! (4 pont) Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenséget! d) 1 5 x x a) A függvény hozzárendelési szabálya: b) A c) 1 f x x, 4 5 0,5 x 4,5 0 0,5 x 4,5 0 egyenletet kell megoldani. (6 pont) x1 5 x 1 (4 pont) d) Átrendezve az egyenlőtlenséget, éppen az 1; 0; 1; ; ; 5. ennek az egész megoldásai: A feladat megoldható grafikusan is. f x 0 alakhoz jutunk. Összesen: 17 pont
18) Egy ruházati nagykereskedés raktárában az egyik fajta szövetkabátból már csak 0 darab azonos méretű és azonos színű kabát maradt; ezek között 9 kabáton apró szövési hibák fordulnak elő. A nagykereskedés eredetileg darabonként 17 000 Ft-ért árulta a hibátlan és 11 000 Ft-ért a szövési hibás kabátokat. A megmaradt 0 kabát darabját azonban már egységesen 14 000 Ft-ért kínálja. Egy kiskereskedő megvásárolt 15 darab kabátot a megmaradtakból. Ezeket egyenlő valószínűséggel választja ki a 0 kabát közül. a) Számítsa ki, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott kabátok között legfeljebb 5 olyan van, ami szövési hibás! (A valószínűséget három tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (10 pont) b) Legfeljebb hány hibás kabát volt a 15 között, ha a kiskereskedő kevesebbet fizetett, mint ha a kabátokat eredeti árukon vásárolta volna meg? (7 pont) a) A vásárolt kabátok között biztosan lesz legalább 4 selejtes. Tehát annak a valószínűségét kell kiszámítani, hogy 4 vagy 5 selejtes kabát lesz a 15 között. Az egyes esetek valószínűségét a (valószínűség kombinatorikus kiszámítására megismert összefüggés szerinti) A 15 kabátot 911 16 411 16 p4 0,008 15504 911 186 510 valószínűsége 0 15504 15 k p n -féleképpen egyenletet kell megoldani. n lehet kiválasztani a 0 közül, esetben lesz a kabátok között 4 selejtes, ennek valószínűsége. esetben lesz a kabátok között 5 selejtes, ennek 186 p5 0,089 15504. Annak a valószínűsége, hogy legfeljebb 5 szövési hibás kabát lesz a 15 között, egyenlő a két valószínűség összegével: p p p 4 5 151 15504 0, 098 b) Ha a megvásárolt kabátok között x db szövési hibás volt, akkor eredetileg Ft-ot kellett volna fizetnie. 11000x 17000 15 x A kiskereskedő 14000 15 10000 forintot fizetett, 11000x 17000 15 x 10000 így 55 6x 10 45 x 7,5 6 Legfeljebb 7 szövési hibás kabát volt a 15 között. Összesen: 17 pont