A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag

A pentominók matematikája Síkbeli és térbeli alakzatok 4. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 10 18 év pentominók adott tulajdonságú alakzatok építése szimmetrikus alakzatok egybevágó alakzatok adott irányú nagyítás kombinatorika A pentominó geometriai fejtörő játékot a ma is élő Solomon Wolf Golomb amerikai matematikus találta fel, még egyetemista korában. Először egy 1953-as matematikai szemináriumon mutatta be. A pentominó elnevezést is ő találta ki. 1954-ben egy amerikai matematikai szaklapban publikálta. Az első feladványok, cikkek, könyvek is tőle származnak, amivel a tudóstársadalom érdeklődését felkeltette az új geometriai probléma iránt. Egyre gyakrabban foglalkoztak matematikai előadásokon a pentominóval. Egymás után jelentek meg más szerzők cikkei is ebben a témában. Hamarosan a nyilvánosság körében is elterjedt, és egyre népszerűbb, kedvelt játék lett. A pentominó népszerűsége részben annak köszönhető, hogy a készlettel megoldható feladatok nehézségi szintje nagyon különböző lehet, a legegyszerűbb, kisgyerekek által is percek alatt megoldható feladatoktól kezdve a néhány órás vagy többnapos komoly fejtörést igénylő, igazi kihívást jelentő feladatokig. Sajnos Magyarországon közel sem olyan népszerű a pentomi nó, mint Nyugat-Európában, az Amerikai Egyesült Államokban és Japánban. Hazánkban az ebben a témában megjelent könyvek és cikkek száma nagyon kevés. A játékhoz szükséges készletek választéka is csekély. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 1

A pentominóval való időtöltés kiválóan csiszolja az agyat, egyben sikerélményt ad, és szórakoztat. A pentominó fejleszti a kreativitást, a logikus gondolkodást és a geometriai szemléletet. Nagyon alkalmas szakköri foglalkozásokra, beadni való versenyfeladatok kitűzésére, játékos, egyéni és csoportos versenyekre. A pentominó az iskolai tanításban is jól használható, többféle célra is. A kombinatorikus készség fejlesztésére kiválóan alkalmas. Jól használható szemléltetőeszközként a geometria oktatásában például a szimmetrikus alakzatok vagy az egybevágóságok, sokszögekkel kapcsolatos fogalmak (oldal, csúcs, él) tanításához, a területfogalom fejlesztéséhez, ami játékossá, változatossá és egyben érthetőbbé teheti a geometriaórákat. A különböző elemlerakás-kombinációk előre kigondolásán és megtervezésén keresztül más stratégiai játékok (sakk, dámajáték, go) eredményesebb műveléséhez is hozzásegít. A sikeres pentominózás ezenkívül elég nagy mértékű alakzatokon belüli tájékozódási képességet igényel, ami növeli az általános tájékozódási képességet a mindennapi életben is. Ennek nagy hasznát lehet venni például utazásoknál és kirándulásoknál az útvonalak ésszerű tervezésével. A pentominó ezenkívül számos tudományos kutatási feladatot is ad, az általános iskolások számára is kutatható nyitott kérdésektől a matematikusoknak való megoldatlan problémákig. A feladatok listája 1. Alakzatok kirakása (kombinatorikus gondolkodás, megkülönböztetés, csoportosítás, türelem) 2. Kirakható alakzatok építése téglalapokból (kombinatorikus gondolkodás, kreativitás, türelem) 2 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

3. Pentominóelemek nagyítása (rendszeralkotás, kombinatorikus gondolkodás) 4. Egy kirakásból többet! (kreativitás, kombinatorikus gondolkodás) Módszertani tanácsok A pentominóval alapvetően egyénileg tevékenykednek a gyerekek, de dolgozhatnak csoportokban is. Azonban ilyenkor is fontos, hogy minden gyerek kezében legyen egy teljes készlet (melléklet). Sőt, az a jó, ha egy csoporton belül többféle, különböző színű vagy anyagú készlettel dolgoznak, hogy az elemek ne keveredjenek. A pentominóval való megismerkedés után szükség van arra, hogy a diákoknak legyen idejük játszani vele. Mivel a kirakási feladatok időigényesek, erre jó módszer az, hogy ezeket szorgalmi feladatnak tűzzük ki, először egyszerűbbeket, majd fokozatosan egyre nehezebbeket. A kombinatorikus és szimmetriával kapcsolatos feladatsorok órai munkára valók. A hozzájuk kapcsolódó kirakási feladatok otthonra, szakkörre, versenyfeladatnak adhatók. A feladatok inspirálhatják a gyerekeket, hogy ők maguk is tovább kérdezzenek, egy-egy kis témakört kikutassanak. Biztassuk őket erre, nagyon fontos és kissé elhanyagolt terület az iskolában a kérdezés képességének a fejlesztése. Megoldások, megjegyzések 1. Alakzatok kirakása 1. A 12 pentominóelem: Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 3

Ne felejtsük el hangsúlyozni a gyerekeknek, hogy az egybevágó, tükrözéssel, forgatással egymásba vihető elemek nem számítanak különbözőnek. A további munkához szüksége lesz minden gyereknek egy-egy pentominókészletre. Ezt a gyerekek maguk is elkészíthetik kemény papírból. 2. A feladat egyik megoldása a több mint ezer megoldás közül. 3. Az 1-es nehézségi szintű feladatok egy-egy lehetséges megoldása: a) b) c) 4. A 2-es nehézségi szintű feladatok egy-egy lehetséges megoldása: a) b) 4 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

c) d) 5. A feladatok egy-egy lehetséges megoldása: a) b) c) d) e) 2. Kirakható alakzatok építése téglalapokból 1. A 60 hatféleképpen állítható elő két pozitív egész szám szorzataként (1 60; 2 30; 3 20; 4 15; 5 12; 6 10), tehát hatféle 60 területű téglalap van. Ezek közül két téglalap (az 1 60-as és a 2 30-as) nem rakható ki a 12 elemű pentominókészlet felhasználásával. Ez könnyen belátható akkor, ha a következő elemek valamelyikét akarjuk elhelyezni az előbb említett két téglalapba. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 5

Ezek mind olyan pentominóelemek, amelyekhez legalább 3 egység széles téglalap szükséges, hogy elférjenek benne. Itt látható 1-1 példa az 5 12-es, a 4 15-ös és a 3 20-as téglalap kirakására. (A 6 10-es téglalap kirakását már a az 1. feladatsor 2. feladatánál közöltük.) Tehát összesen 4-féle különböző téglalap létezik, ami a 12 elemű pentominókészletből kirakható. 2. a) Egy lehetséges kirakás: b) A két egybevágó téglalap területe 30-30 egység. Ilyen téglalapból 4-féle van: 5 6-os, 3 10-es, 2 15-ös és 1 30-as. A téglalapokat vagy a hosszabb, vagy a rövidebb oldaluk mentén ragaszthatjuk össze. Ennek megfelelően: 2 db 5 6-os téglalapból álló (6 1) + (5 1) = 9-féle van. 2 db 3 10-es téglalapból álló (10 1) + (3 1) = 11-féle van. 2 db 2 15-ös téglalapból álló (15 1) + (2 1) = 15-féle van. 2 db 1 30-as téglalapból álló 30 1 = 29-féle van. 6 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Összesen 9 + 11 + 15 + 29 = 64-féle, a megadott feltételeknek megfelelő alakzatot lehet kirakni. 19 kirakható alakzat van közöttük. A 2. feladatban adott, egymásra csúsztatott téglalappároson kívül itt vannak a további kirakható egymásra csúsztatott téglalappárosok is 1-1 lehetséges kirakással: Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 7

Az utolsó 2 speciális esetben csak olyan kirakás lehetséges, amelyben a két téglalapot külön-külön rakjuk ki. Ez a feladat azonban már szerepelt, ugyanaz, mint az 1. feladatlap 4. a) példája. c) A többi, 64 19 = 45 lehetőség nem rakható ki a pentominókészlettel. 3. a) A három egybevágó téglalap területe 20-20-20 egység. Ilyen téglalapból 3-féle van: 4 5-ös, 2 10-es és 1 20-as. A téglalapokat vagy a hosszabb, vagy a rövidebb oldaluk mentén ragaszthatjuk össze, ezenkívül vannak egyenes és cikcakkos téglalap-elrendezések is. Ennek megfelelően: 3 db 4 5-ös téglalapból álló 2 [(5 1) + (4 1)] = 14-féle van. 3 db 2 10-es téglalapból álló 2 [(10 1) + (2 1)] = 20-féle van. 8 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

3 db 1 20-as téglalapból álló 2 (20 1) = 38-féle van. Összesen 14 + 20 + 38 = 72-féle, a megadott feltételeknek megfelelő alakzatot lehet kirakni. Ezek közül 15-öt lehet kirakni, ezeknek egy-egy lehetséges kirakását is megmutatjuk. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 9

b) A többi 57-féle alakzat nem rakható ki a pentominó készlettel. 3. Pentominóelemek nagyítása Az 5 1-es pentominóelem nagyításai a korábban lerajzolt téglalapkirakások között találhatók meg. A többi pentominóelem nagyításai táblázatos formában: Pentomi nóelem A nagyítás mértéke 2 6-os 3 4-es 4 3-as 6 2-es nem rakható ki 10 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

nem rakható ki nem rakható ki nem rakható ki nem rakható ki az alap-pentominóelem átlós szimmetriája miatt a 4 3-as nagyítás egybevágó a 3 4-es nagyítással nem rakható ki nem rakható ki nem rakható ki Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 11

nem rakható ki az alap-pentominóelem átlós szimmetriája miatt a 4 3-as nagyítás egybevágó a 3 4-es nagyítással az alap-pentominóelem átlós szimmetriája miatt a 6 2-es nagyítás egybevágó a 2 6-os nagyítással nem rakható ki nem rakható ki az alap-pentominóelem átlós szimmetriája miatt a 4 3-as nagyítás egybevágó a 3 4-es nagyítással nem rakható ki 4. Egy kirakásból többet! 1. A feladat megoldásával részben a szimmetria felfedezését, a tükrözés gyakorlását és a kombinatorikai készséget fejleszthetjük. A feladatnak 8 különböző megoldása van, az egybe- 12 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

vágó alakzatokat kétféleképpen rakhatjuk ki, és mindegyik esetben 2 2-féle kirakást kaphatunk azáltal, hogy cserélgetjük az elemeket a szimmetrikus részletekben. 2. a) 37 ilyen lehetőség van, ebből 6 alakzat lyukas. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 13

A feladat remekül használható a szimmetriák tanításakor. Közös órai megbeszélés után feladható egyéni gyűjtőmunkának, de csoportversenynek is. Az a csapat győz, aki adott idő alatt a legtöbb szimmetrikus alakzatot találja meg. b) A tükrözés fontos és szép tulajdonságát fedezhetik fel a gyerekek azáltal, hogy két tengelyesen szimmetrikus elemet illesztenek össze. Észrevehetik, hogy ha az öszszeillesztéskor a két alakzat szimmetriatengelye egybeesik, akkor mindig szimmetrikus alakzatot kapnak. c) Egyetlen ilyen lehetőség van: 3. Nagyon sok lehetőség van, néhányat bemutatunk itt. 14 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Ez a feladat is igen alkalmas az egybevágóságok fogalmának, az egybevágó alakzatok felismerésének, azok tulajdonságainak mélyebb és tudatosabb megértésére, megfogalmazására. Az 1. a) feladathoz hasonlóan használható közös, egyéni és csoportos munka formában is. 4. a) Itt a két, egymástól független belső kirakásszám-szaporító szimmetriát világos- és sötétszürkével jelöltük. Ezek felhasználásával összesen 2 2 = 4 különböző kirakást lehet csinálni. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 15

b) Itt a két egybevágó alakzatrész világos- és sötétszürkével van jelölve. Ez összesen 2 kirakási lehetőséget jelent. 16 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Síkbeli és térbeli alakzatok Kombinatorikus gondolkodás 1.4 1. Alakzatok kirakása A poliominók speciális alakzatok, melyek egybevágó négyzetekből épülnek fel. Két egybevágó négyzetet teljes oldaluk mentén összeragasztva duominót, röviden dominót kapunk. Három négyzetből épülnek fel a triominók (triminók). Ezekből már két különböző alakú is van. Négy négyzet összeragasztásával tetrominókat kapunk. A pentominók öt egybevágó, teljes oldaluk mentén összeillesztett négyzetből álló alakzatok. Öt kis négyzetből 12 különböző pentominót lehet készíteni. Ez azt jelenti, hogy az egybevágó tükrözéssel, forgatással egymásba vihető eseteket nem tekintjük különbözőnek. 12 ilyen alakzat alkotja a pentominókészletet. 1. Próbáld meg négyzetrácsos papíron megrajzolni az összes lehetséges, különböző pentominót. 2. A pentominókkal kapcsolatban talán a legismertebb feladat a 6 10-es téglalap kirakása a készlet összes elemének felhasználásával. Bebizonyították, hogy ezt 2339-féleképpen lehet kirakni 12 különböző pentominóelemből. Ezek közül 1-et is nehéz megtalálni, de próbáld meg! Ez a feladat elég nehéz, ezért könnyen lehet, hogy első próbálkozásra nem sikerül. Érdemes ezért előbb néhány sokkal egyszerűbb feladatot megoldanod. 10 18. év Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 17

Síkbeli és térbeli alakzatok Kombinatorikus gondolkodás 1.4 10 18. év 3. Próbálkozz 1-es nehézségi szintű feladatokkal! Rakd ki a bal oldali alakzatot a megadott négy pentominó felhasználásával! a) 18 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Síkbeli és térbeli alakzatok Kombinatorikus gondolkodás 1.4 b) 10 18. év c) Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 19

Síkbeli és térbeli alakzatok Kombinatorikus gondolkodás 1.4 10 18. év 4. Most már kicsit nehezebb, 2-es nehézségi szintű feladatok következnek. Rakd ki a szürke alakzatot a megadott pentominókkal! a) b) 20 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Síkbeli és térbeli alakzatok Kombinatorikus gondolkodás 1.4 c) 10 18. év d) Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 21

Síkbeli és térbeli alakzatok Kombinatorikus gondolkodás 1.4 13 18. év 5. Következzen néhány nehezebb feladat! Az alakzatok kirakásához a teljes pentominókészletet fel kell használnod. a) Ez 3-as nehézségű: b) Ez 4-es nehézségű: c) Ez már 5-ös : d) Íme egy 6-os : e) Itt egy 7-es nehézségű (csak profiknak!): 22 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Síkbeli és térbeli alakzatok Kombinatorikus gondolkodás 1.4 2. Kirakható alakzatok építése téglalapokból 1. Az 1. feladatlap 2. feladata egy 6 10 = 60 területű téglalap kirakása volt. Persze más 60 területű egész oldalú téglalapok is vannak. Hányféle, és ezek közül vajon mindegyik kirakható? 2. a) Rakd ki ezt az alakzatot! 12 18. év b) A fenti alakzatot két egybevágó, 30 területegységnyi téglalap összeillesztésével nyertük. (Természetesen úgy illesztettünk, hogy a kis négyzetek továbbra is teljes oldalukkal találkozzanak.) Hányféle, 60 területű, összefüggő alakzatot lehet 2 egybevágó, egymással párhuzamos állású téglalapból kirakni úgy, hogy az eredményül kapott alakzat ne egy újabb téglalap legyen? c) Van-e ezek között olyan, ami biztosan nem rakható ki a pentominókészlet segítségével? 3. a) Hányféle 60 területű összefüggő alakzatot lehet 3 egybevágó, egymással párhuzamos állású téglalapból kirakni úgy, hogy az eredményül kapott alakzat tengelyesen vagy középpontosan szimmetrikus legyen, de ne legyen egy újabb téglalap? b) Van-e olyan közöttük, amely biztosan nem rakható ki 12 különböző pentominóelemből? Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 23

Síkbeli és térbeli alakzatok Rendszeralkotás 1.4 3. Pentominóelemek nagyítása 12 18. év Szép és érdekes alakzatokat kaphatunk úgy is, hogy egy-egy pentominóelemet, ami 5 egység területű, felnagyítunk 12-szeresére, persze vigyázva arra, hogy továbbra is egész oldalú alakzatot kapjunk. Könnyen belátható, hogy ezt csak úgy tudjuk megtenni, ha az egyik irányban és a rá merőleges irányban más-más arányban nagyítunk. (Például az egyik irányban 3-, a másik irányban 4-szeresre nagyítjuk az elemet.) Könnyen látható, hogy az így kapott alakzat nem lesz matematikai értelemben hasonló az eredetihez, de az alakja tisztán felismerhető marad. Az alábbi ábra egy 6 2-es nagyítást mutat, azaz a kiválasztott pentominót vízszintes irányban a 6-szorosára, függőleges irányban a 2-szeresére növeltük. (Így a terület 12-szeresére nőtt: 5 területegység volt, 60 területegység lesz.) Felmerülhet a kérdés, hogy a nagyítással kapott alakzatok kirakhatók-e az eredeti pentominókészlettel. (Ez a példaként bemutatott alakzat például igen. Próbáld ki!) Vajon az összes pentominóelemnek ki lehet rakni a 2 6-os, 3 4-es, 4 3-as és 6 2-es nagyításait a 12 elemű pentominókészlet összes elemének a felhasználásával? Ha nem, akkor mely elemeknél, mely típusú nagyításokat nem lehet kirakni? 24 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Síkbeli és térbeli alakzatok Kreativitás 1.4 4. Egy kirakásból többet! Az ábrán látható kirakásnak az az érdekessége, hogy egy kis szemfülességgel könnyen lehet sokféle más kirakást is csinálni belőle. Kétféle kirakás-szaporító trükk is rejtőzik az ábrában. 13 18. év Az egyik trükk lényege, hogy észrevesszük a kirakás szimmetrikus részeit. Tengelyesen szimmetrikus a kékkel, a sárgával és a pirossal beszínezett rész is. Nyilvánvaló, hogy ezeket a részleteket tengelyesen tükrözve ismét jó kirakást kapunk. Bár a piros tükrözésekor nem kapunk új megoldást, hiszen ott az elemek önmagukba mennek át, a kék és a sárga részlet tükrözése azonban új kirakást eredményez. Azt is észrevehetjük, hogy a piros rész és a sárga rész egybevágó, ez pedig azt jelenti, hogy a két részletet felcserélve ismét egy újabb kirakáshoz jutunk. 1. Hányféle különböző kirakást kaphatunk ezeknek a felcserélési lehetőségeknek a kihasználásával? Könnyebben felismerheted ezeket a lehetőségeket, ha megpróbálsz két pentominóelemből szimmetrikus alakzatot vagy négy elemből egybevágó alakzatpárokat építeni. Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 25

Síkbeli és térbeli alakzatok Kreativitás 1.4 13 18. év 2. Próbálj 2 különböző pentominóelem felhasználásával tengelyesen vagy középpontosan szimmetrikus alakzatokat alkotni úgy, hogy a) a 2 elem közül legalább az egyik ne legyen tengelyesen szimmetrikus! b) a 2 elem mindegyike legyen tengelyesen szimmetrikus, és a szimmetriatengelyek essenek egybe! c) a 2 elem közül mindkét elem legyen tengelyesen szimmetrikus, de az eredményül kapott 10 területű alakzat szimmetriatengelye egyik alkotóelemének szimmetriatengelyével se essen egybe! 3. Próbálj meg 4 különböző pentominóelemből kirakni két egybevágó alakzatot! 4. a) Ez a kirakás két, egymástól független belső kirakásszám-szaporító szimmetriát tartalmaz. Találjuk meg ezeket a szimmetriákat, és a segítségükkel készítsünk új kirakásokat! b) Ez a kirakás két egybevágó alakzatrészt tartalmaz. Találjuk meg ezeket az egybevágó alakzatrészeket, és a segítségükkel készítsünk egy új kirakást! c) Ezeknek az ötleteknek a segítségével próbálj meg a már megoldott feladataidból új kirakásokat készíteni! 26 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)

Síkbeli és térbeli alakzatok MELLÉKLET 1.4 Pentominókészlet (kétféle méretben) Fejlesztő matematika (5 12. évf.) 27

Az Ön jegyzetei, kérdései*: * Kérdéseit juttassa el a RAABE Kiadóhoz! 28 Fejlesztő matematika (5 12. évf.)