4. előadás Vektorok
Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához hozzárendel egy P pontot, azaz a tér pontjait (P,P ) típusú rendezett párokba osztja. Az ugyanahhoz a φ eltoláshoz tartozó párok egymással párhuzamos, egyenlő hosszú és egyirányú szakaszokkal szemléltethetők.
Vektorok bevezetése Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. Az ugyanazt az eltolást előállító vektorokat egyenlő (azonos) vektoroknak mondjuk. Két vektor tehát akkor egyenlő, ha hosszuk egyenlő, párhuzamosak, egyirányúak.
Vektorok bevezetése A (P,Q) rendezett párnak megfelelő vektor PQ P a vektor kezdőpontja, Q a végpontja. Szokás ezt P-ből Q-ba mutató vektornak is nevezni. Általában félkövér betűvel, vagy aláhúzással jelöljük a vektorokat: a = a = PQ
Vektorok bevezetése A vektorok egyenlősége ekvivalenciareláció. Reflexív: a=a Szimmetrikus: ha a=b akkor b=a Tranzitív: ha a=b és b=c akkor a=c Az ekvivalenciaosztályokat szabad vektoroknak nevezzük.
Vektorok bevezetése A vektor hosszát a vektor abszolút értékének is mondjuk. Az abszolút értékre ugyanazt a jelet használjuk, mint számok esetén: a : az a vektor hossza
Vektorok bevezetése A műveletek értelmezésénél mindig meg kell gondolni, hogy a műveletek eredménye nem függ-e attól, hogy az egyenlő vektorok halmazából mely vektorokkal végezzük el a műveleteket. A vektorműveleteket egyúttal a szabad vektorok vagyis az ekvivalenciaosztályok közt is értelmezzük.
Összeadás, kivonás a + b : az a végpontjából felmérjük b-t, majd a kezdőpontját összekötjük b végpontjával. Paralelogrammaszabály
Összeadás, kivonás Tétel: Vektorok összeadása kommutatív, asszociatív, létezik nullelem, azaz tetszőleges vektorokra igaz, hogy: a + b = b + a ( a + b )+ c = a + ( b + c) a + 0 = a
Összeadás, kivonás A kommutativitás és az asszociativitás miatt ugyanazokat a vektorokat tetszőleges sorrendben összeadva mindig ugyanazt az összegvektort fogjuk kapni. Speciálisan, ha néhány vektor összege 0, akkor tetszőleges sorrendben összeadva őket, mindig 0-t fogunk kapni.
Összeadás, kivonás Az a és b vektorok különbsége az az a-b vektor, melyhez b-t adva a-t kapunk. b + ( a b ) = a
Összeadás, kivonás a ellentettje az a a -val jelölt vektor, melyet a-hoz adva 0-t kapunk. Vektor és ellentettje egyenlő hosszú, párhuzamos és ellentétes irányítású. a + (-b) = a - b 0 a = - a Tétel: A tér vektorai az összeadásra nézve Abel csoportot alkotnak
Vektor szorzása számmal Az a vektort a λ valós számmal szorozva a λa -val jelölt vektort kapjuk. Definíció: λa az a vektor, amely párhuzamos a val, hossza λ a, iránya pedig megegyezik a irányával, ha λ > 0, és azzal ellentétes, ha λ < 0. (Ha λ = 0, akkor λa = 0.) 1a = a, (-1)a = -a.
Vektor szorzása számmal Tétel: Minden λ és μ valós számra valamint a és b vektorra teljesül, hogy: 2) (λμ)a = λ(μa) = μ(λa) 3) λ(a + b) = λa + λb 4) (λ+μ)a = λa +μa Bizonyítás: 1. és 3. esetszétválasztással, felhasználva, hogy (-1)a = -a.
Vektor szorzása számmal 2. : középpontos hasonlósággal, az ábra alapján: Következmény: A tér szabad vektorai vektorteret alkotnak a valós számok teste felett.
Ismétlés lineáris algebrából Lineáris kombináció: Σλ i a i Lineárisan összefüggő, illetve lineárisan független vektorok: Σλ i a i =0 csak akkor, ha minden i: λ i =0. Generátorrendszer, bázis, dimenzió.
Dimenzió Tétel: A tér két vektora pontosan akkor lineárisan összefüggő, ha párhuzamos. Bizonyítás: Ha λ 1 a 1 + λ 2 a 2 = 0, és valamelyik λ i 0, akkor az egyik vektor a másik skalárszorosa, azaz a vektorok párhuzamosak. Ha viszont a vektorok nem párhuzamosak és egyik λ i sem 0, akkor λ 1 a 1 és λ 2 a 2 különböző irányú vektorok, ezért összegük nem lehet 0.
Dimenzió Definíció: Vektorok egy halmazát egysíkú vektoroknak nevezzük, ha van olyan sík, mellyel a halmaz minden vektora párhuzamos. Tétel: 1. Ha a, b és c egysíkú vektorok, a és b nem párhuzamosak, akkor c előállítható a és b lineáris kombinációjaként. 2. Ha a, b és c nem egysíkú vektorok, akkor a tér tetszőleges v vektora előállítható a, b és c lineáris kombinációjaként.
Dimenzió Bizonyítás: Valamely közös O kezdőpontból felmérve a vektorokat egyértelműen előállítható az ábrán látható paralelogramma, illetve paralelepipedon.
Dimenzió Ezért egyértelműen léteznek olyan α, β és γ számok, melyekre c = αa+βb, illetve v = αa+βb+γc teljesül. Következmény: Az egysíkú vektorok kétdimenziós, a tér összes vektorai pedig háromdimenziós vektorteret alkot a valós számok felett.
Helyvektorok Ha rögzítjük az O kezdőpontot, akkor a tér pontjai és az O kezdőpontú vektorok közt természetes módon megadható egy bijekció: P OP Ezek az O ponthoz tartozó helyvektorok. Bármely v vektorhoz és O ponthoz pontosan egy olyan P pont létezik, melyre v = OP.
Koordinátarendszer Egyenesen: Kezdőpont és valamely 0-tol különböző vektor, a; Síkon: Kezdőpont és két nem párhuzamos vektor, a és b; Térben: Kezdőpont és három nem egysíkú vektor, a, b és c megad egy koordinátarendszert. Az adott vektorok alkotják a bázist. Ha v = αa+βb+γc, akkor v koordinátái (α,β,γ), v komponensei pedig αa, βb és γc.
Koordinátarendszer Ha v 1 koordinátái (α 1,β 1,γ 1 ), v 2 koordinátái pedig (α 2,β 2,γ 2 ), akkor tetszőleges λ 1 és λ 2 valós számok esetén λ 1 v 1 +λ 2 v 2 koordinátái (λ 1 α 1 + λ 2 α 2, λ 1 β 1 + λ 2 β 2, λ 1 γ 1 + λ 2 γ 2 ). v 1 = (α 1,β 1,γ 1 ), v 2 = (α 2,β 2,γ 2 ) λ 1 v 1 +λ 2 v 2 =(λ 1 α 1 +λ 2 α 2,λ 1 β 1 +λ 1 β 1, λ 1 γ 1 +λ 2 γ 2 ).
Koordináterendszer Ha a koordinátarendszer kezdőpontja O, a bázisvektorok a, b és c, továbbá OP = αa+βb+γc, akkor a P pont koordinátái (α,β,γ). Egyenesen 1, síkban 2 térben pedig 3 koordinátája van minden pontnak. Ha A=(a 1,a 2,a 3 ), B=(b 1,b 2,b 3 ), akkor az AB vektor koordinátái (b 1 -a 1,b 2 a 2,b 3 -a 3 ).
Descartes-féle koordinátarendszer A bázisvektorok páronként merőleges egységvektorok. i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1). Megállapodás: síkban i-t j-be pozitív 90 fokos forgatás viszi; térben i,j,k ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkot.
SZÜNET
Osztóviszony Definíció: A és B két különböző, rögzített pont. Ha P az AB egyenes B-től különböző tetszőleges pontja, akkor az AP és PB irányított szakaszok hányadosa az (ABP) osztóviszony. (ABP) = AP / PB. Az osztóviszony értéke pozitív, ha P a nyílt AB szakaszon van, 0 ha P=A, negatív a többi esetben.
Osztóviszony Állítás: Ha P befutja az AB egyenes B-től különböző pontjait, akkor (ABP) minden (-1)-től különböző valós értéket pontosan egyszer vesz fel. Bizonyítás: Azonosítsuk AB-t a számegyenessel úgy, hogy A=0, B=1. Ekkor P=x esetén (ABP) = x/(1-x). Ezt a függvényt pedig ismerjük. A B P 1 x
Osztóviszony Indítsunk egy tetszőleges O pontból helyvektorokat. Ha (ABP) = λ/μ, akkor AP = λ/μpb, azaz μ(p-a)= λ(b-p) p= (μa + λb)/ (λ+μ)
Súlypont Definíció: Az A 1,A 2,,A k pontokhoz rendeljük hozzá a λ 1, λ 2,, λ k valós számokat, melyek összege 1. Ekkor a pontrendszer súlyozott súlypontja az az S pont, melynek helyvektorára s = λ 1 a 1 + λ 1 a 2 + +λ k a k
Súlypont Tétel: Az előző definíció jó, azaz S nem függ a helyvektorok kezdőpontjának megválasztásától. OO = p s = λ 1 (a 1 -p) + λ 2 (a 2 -p) + +λ k (a k -p) = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + +λ k a k (λ 1 +λ 2 + +λ k )p = s - p
Súlypont Tétel: Ha egy súlyozott pontrendszer pontjait két diszjunkt részhalmazra, R 1 -re és R 2 -re osztjuk, R i súlypontja S i, az R i -ben lévő pontokhoz tartozó súlyok összege μ i 0, akkor a teljes pontrendszer S súlypontja az S 1 S 2 egyenesen van, és (S 1 S 2 S) =μ 2 /μ 1.
Ezért (S S S) =μ /μ. Súlypont Bizonyítás: Legyen R 1 = {A 1,A 2,,A k }, R 2 ={A k+1,a k+2,,a m }, a súlyok pedig λ 1, λ 2,, λ k és λ k+1, λ k+2,, λ m. Ekkor s 1 = (λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + +λ k a k )/(λ 1 +λ 2 + +λ k ), s 2 =(λ k+1 a k+1 +λ k+2 a k+2 +...+λ m a m )/(λ k+1 +λ k+2 + +λ m ) Ha μ 1 = λ 1 +λ 2 + +λ k és μ 2 = λ k+1 +λ k+2 + +λ m, akkor s = μ 1 s 1 + μ 2 s 2.
Súlypont Következmények: 2. Ha az AB szakasz felezőpontja F, akkor f=(a+b)/2. 3. Bármely háromszög oldalainak felezőpontját a szemközti csúccsal összekötő szakaszok (a háromszög súlyvonalai) egy ponton mennek át. Ez a háromszög súlypontja. A súlypont harmadolja a súlyvonalakat.
Súlypont 1. Bármely tetraéder lapjainak súlypontját a szemközti csúccsal összekötő szakaszok (a tetraéder súlyvonalai) egy ponton mennek át. Ez a tetraéder súlypontja. A súlypont negyedeli a súlyvonalakat. Bizonyítás: s = (a+b+c)/3 = (2(a+b)/2+c)/3 = (2(b+c)/2+a)/3 = (2(c+a)/2+b)/3. Tetraédernél ugyanígy: s = (a+b+c+d)/4.
Súlypont 2. Bármely tetraéderben a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszok egy ponton (a tetraéder súlypontján) mennek át. 3. Bármely négyszögben a szemközti élek felezőpontjait összekötő szakaszok, valamint az átlók felezőpontjait összekötő szakaszok egy ponton (a négyszög súlypontján) mennek át.
Súlypont Bizonyítás: s = (a+b+c+d)/4 =(2(a+b)/2+2(c+d)/2)/4= (2(a+c)/2+2(b+d)/2)/4= (2(a+d)/2+2(b+c)/2)/4.
Ceva tétele Tétel: Az ABC háromszög oldalszakaszain lévő A, B, C pontokat a szemközti csúcsokkal összekötő szakaszok pontosan akkor mennek át egy ponton, ha (ABC )(BCA )(CAB )=1.
Ceva tétele Bizonyítás: Először tegyük fel, hogy (ABC )(BCA )(CAB )=1. Legyen (ABC )=μ/λ és (BCA )=ν/μ. Ekkor a feltétel szerint (CAB )=λ/ν. Ezért c = (λa + μb)/(λ+μ), a = (μb + νc )/(μ+ν), b = (λa + νc)/(λ+ν) Tehát az AA, BB, CC szakaszok mind átmennek azon az S ponton, melyre s = (λa+μb+νc)(λ+μ+ν) = ((λ+μ)c +νc)/(λ+μ+ν) = ((μ+ν)a + λa)/(λ+μ+ν) = ((λ+ν)b +μb)/(λ+μ+ν).
Ceva tétele Megfordítva: ha a szakaszok mind átmennek az S ponton, akkor legyen (ABC )=μ/λ és (BCA )=ν/μ, valamint (CAB )=λ /ν. Ha λ =λ, akkor készen vagyunk. Ha λ λ, akkor legyen B a CA oldal azon pontja, melyre (CAB )=λ/ν. Ekkor a tétel már bizonyított fele szerint a BB szakasz átmegy az AA és CC metszéspontján, azaz S-en. Ez viszont azt jelenti, hogy B =B.
Ceva tétele Ha az ABC háromszög oldalegyenesein lévő A, B, C pontokra teljesül, hogy (ABC )(BCA )(CAB )=1, akkor az A, B, C pontokat a szemközti csúcsokkal összekötő szakaszok vagy egy ponton mennek át, vagy párhuzamosak.