Középpontos hasonlóság szerkesztések

Középpontos hasonlóság szerkesztések 1. Adott az AV B konvex szög és a belsejében egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy egyenest úgy, hogy a szög száraiból kimetszett szeletek aránya 3 : 4 legyen. Legyen V M = 4 és V N = 3, ahol M a V A, míg N a V B félegyenesre illeszkedik. Ekkor a V M N és a V MN háromszögek középpontosan hasonlók, a hasonlóság középpontja V. Ezért az MN M N. A szerkesztés során elegendő megszerkeszteni az M, N pontokat. A P ponton áthaladó M N egyenessel párhuzamos egyenes a szög száraiból olyan szeleteket metsz ki, amelyek aránya 3 : 4 lesz. (a) Adatok felvétele: AV B konvex szög és belsejében egy P pont; (b) V M = 4, M a V A félegyenesre illeszkedik; (c) V N = 3, N a V B félegyenesre illeszkedik; (d) a keresett p M N és áthalad a P ponton. 2. Adott az AV B = 60 szög és a szög belsejében fekvő M pont. Húzzunk az M ponton át egy p egyenest úgy, hogy MY : MX = 2 : 3 legyen, ahol X és Y a V A és a V B száraknak a p egyenessel alkotott metszéspontjai. Ha tekintjük az M középpontú, k = 2 3 arányú középpontos hasonlóságot, akkor az X pont képe Y pont lesz, emiatt a V X egyenes q képe áthalad az Y ponton. Elegendő tehát ezt a q egyenest megszerkeszeteni, ugyanis a V B félegyenessel való metszéspontja az Y pontot adja meg. (a) Adatok felvétele: AV B = 60 -os szög és belsejében egy M pont; (b) q egyenes a V A egyenes M középpontú k = 2 3 arányosságú középpontos hasonlóság képe; (c) Y a q egyenes és a V B félegyenes metszéspontja; (d) Y M egyenes, ami a keresett p egyenes. 3. Adott az AV B = 60 -os szög. Szerkesszünk a belsejében egy M pontot úgy, hogy az a V csúcstól 5 cm-re legyen és a V B, V A száraktól való távolság aránya 3 : 4 legyen. Ha a szög belsejében felveszünk egy tetszőleges M pontot, ameky a szög száraitól 4, illetve 3 egységnyire van, akkor a V pontú középpontos hasonlóság miatt az M pont illeszkedik a V M félegyenesre. Másrészt a feladat értelmében az M pont a k (V ; r = 5 cm) körre is illeszkedik.

(a) Adatok felvétele: AV B = 60 szög; (b) k (V ; r = 5 cm) kör; (c) p egyenes a V A egyenestől 4 egységnyi távolságra van; (d) q egyenes a V B egyenestől 3 egységnyi távolságra van; (e) M pont a p és q egyenes metszéspontja; (f) M a k kör és a V M félegyenes metszéspontja. 4. Adott a k(s, r) kör és a kör két sugara. Szerkesszünk a k körbe olyan húrt, amelyet az adott két sugár három egyenlő részre oszt. A keresett AB húr a két sugár által meghatározott szög t szögfelezőjére merőleges. Vegyünk egy tetszőleges a t szögfelezőre merőleges A B szakaszt, amelyet a két húr harmadol (ez könnyen megszerkeszthető). Ekkor a S pontra nézve az A B és az AB szakaszok középpontosan hasonlóak. Emiatt a körre illeszkedő A pont az SA, B pont pedig az SB félegyenesre illeszkedik. (a) Adatok felvétele: k (S; r) kör, r 1, r 2 sugár; (b) t a húrok által meghatározott szög szögfelezője; (c) p egyenes a t egyenesre merőleges; (d) A és B pont úgy, hogy a két sugár harmadolja az A B szakaszt; (e) A pont az SA félegyenes és a k kör metszéspontja; (f) B az SB félegyenes és a k kör metszéspontja; (g) AB szakasz. 5. Adott két pár metsző egyenes p, q és m, n X, Y metszéspontjaik azonban nem rajzolhatók meg. Szerkeszd meg az XY egyenest. Legyen O a sík egy pontja, ami megrajzolható a lapon. Vegyük azt az O pontú k arányú középpontos hasonlóságot, amelymél a p és q, illetve az m és n egyenesek képeinek metszéspontja már megrajzolható. Akkor ezek metszéspontjain áthaladó e egyenes is megszerkeszthető. Ez az e egyenes a középpontos hasonlóság miatt párhuzamos lesz a keresett e egyenessel, amely az e ismeretében megszerkeszthető.

(a) Adatok felvétele: p, q, m, n egyenesek; (b) O pont (a középpontos hasonlóság középpontja); (c) Q pont a q egyenesre illeszkedik, Q pedig a OQ szakaszra; (d) q, p, m, n egyenesek rendre a q, p, m, n egyenesek O középpontú k = OQ OQ arányú középpontos hasonlóság képei; (e) X, Y rendre a p és q, illetve m és n egyenesek metszéspontja; (f) jelölje e az X Y egyenest; (g) a keresett e egyenes az e egyenes O középpontú k = OQ OQ arányú középponos hasonlóság képe. 6. Adott az AV B hegyesszög és az M belső pontja. Szerkesszük meg az MXY törött vonalat úgy, hogy az X pont a V A, az Y pont pedig a V B félegyenesre illeszkedjen, XY merőleges a V B félegyenesre és XY = 2MX. Legyen Y a V B szár tetszőleges pontja, X pedig a V B szárra merőleges Y ponton áthaladó egyenes és a V A szár metzéspontja. Ekkor X Y XY, emiatt az X Y és az XY szakaszok középpontosan hasonlók, melynek középpontja a V csúcspont. Ekkor az M pont M képe rajta van ( egyrészt a V M félegyenesen, másrészt a k X ; r = X Y 2 körre. Ezt felismerve már könnyen megszerkeszthető a keresett M XY töröttvonal, hiszen a középpontos hasonlóság miatt MX M X. ) (a) Adatok felvétele: AV B hegyesszög, belsejében az M pont; (b) Y a V B szárra illeszkedik; (c) X a V A szárra illeszkedik és X Y merőleges a V B szárra; ( (d) k X ; r = X Y 2 ) kör; (e) M pont a k kör és a V M félegyenes metszéspontja; (f) MX szakasz, X a V B szárra illeszkedik és MX M X ; (g) Y X szakasz, Y a V B szárra illaszkedik és XY X Y ; A feladatnak két megoldása van. 7. Ismert, hogy két kör mindig középpontosan hasonló. Szerkesszük meg ezen középpontos hasonlóság középpontját! A keresett hasonlósági középpontot jelölük O-val. Mivel az S középpont képe S, ezért az O pont az SS egyenesre illeszkedik. A k kör egy r = ST sugarának képe egy vele párhuzamos k -beli r = S T sugár lesz. Az O pont a T T egyenesre is ileszkedik, ezért a két egyenes metszéspontja adja a megszerkesztendő O pontot.

(a) Adatok felvétele: k (S; r) és k (S ; r ) kör; (b) SS egyenes; (c) r sugár; (d) r r sugár; (e) T és T rendre az r és k, illetve r sugár és k közös pontja; (f) a keresett O pont a T T és SS egyenesek metszéspontja. A feladatnak két megoldása van. 8. A p szelő a k kört két részre osztja. Szerkesszünk ezekbe olyan négyzeteket, amelyeknek két csúcsa a p egyenesen van. Legyen O az AB szakasz középpontja. Rajzoljuk meg az A B C D négyzetet úgy, hogy az A B szakasz illeszkedjen a P Q húrra, továbbá az O pont a szakasz felezőpontja legyen. Ekkor az A B C D és az ABCD négyzetek az O pontra nézve középpontosan hasonlóak. Ebből következik, hogy a C pont illeszkedik az OC egyenesre, valamint a k körre. Hasonlóan a D pont illeszkedik az OD egyenesre és a k körre. Ezt tudva már könnyen megszerkeszthető a keresett négyzet. (a) Adatok felvétele: k (S; r) kör és a P Q húrja; (b) O a P Q szakasz középpontja; (c) A az OQ szakasz belső pontja; (d) B az OP szakasz pontja, B O = A O; (e) A B C D négyzet; (f) C pont a C O egyenes és a k kör metszéspontja; (g) D pont a D O egyenes és a k kör metszéspntja; (h) a szerkesztendő ABCD négyzet, A és B pont a P Q szelőre illeszkedik. A feladatnak két megoldása van. 9. Szerkesszünk egy körcikkbe olyan téglalapot, amelynek méretei 3 : 4 arányban vannak. Legyen AD : AB = 3 : 4. Nyilvánvalóan a P OQ t szögfelezője az ABCD téglalapnak szimmetriatengelye. Tekintsük az A B szakaszt, amelynek a t egyenes felezőmerőlegese, és A az OP, B pedig az OQ szakaszra illeszkedik. E főlé megrajzoljuk az ABCD téglalappal hasonló A B C D téglalapot. Ekkor a két téglalap középpontosan hasonló lesz az O pontra nézve. Így a D pont az OD egyenes és a P Q ív metszésponja, C pont pedig az OC egyenes és a P Q ív metszéspontja lesz.

(a) Adatok felvétele: Adatok felvétele: az OQP körcikk; (b) t a körcikk tengelye; (c) A az OP szakasz belső pontja; (d) A B szakasz, B az AQ szakaszra illeszkedik, valamint a t az A B szakasz felezőmerőlegese; (e) A B C D téglalap, A D : A B = 3 : 4; (f) D az OD és a P Q ív metszéspontja; (g) C az OC és a P Q ív metszéspontja; (h) DA szakasz a DC-re merőledes és az A pont az OP szakaszra illeszkedik; (i) CB szakasz a DC-re merőledes és a B pont az OQ szakaszra illeszkedik; (j) ABCD téglalap. 10. Adott hegyesszögű ABC háromszögbe szerkesszünk négyzetet úgy, hogy két szomszédos csúcsa az AB oldalon, további csúcsai a BC, ill. az AC oldalon legyenek. Rajzoljuk meg a P Q R S négyzetet úgy, hogy P és Q pont az AB szakaszra illeszkedjen, S pont pedig az AC szakaszra. Ekkor a P Q R S és a P QRS négyzetek középpontosan hasonlóak, a hasonlóság középpontja az A pont lesz. Emiatt az R pont az AR félegyenes és a BC szakasz metszéspontja lesz. Ennek ismeretében a P QRS négyzet már könnyen megszerkeszthető. (a) Adatok felvétele: ABC hegyesszögű háromszög; (b) P az AB szakasz belső pontja; (c) P S szakasz AB-re merőleges és S az AC-re illeszkedik; (d) P Q R S négyzet, Q a P B szakaszra illeszkedik; (e) R az AR félegyenes és a BC szakasz metszéspontja; (f) RQ merőleges az AB-re és Q illeszkedik rá; (g) P QRS négyzet, P az AB-re, S az AP -re illeszkedik. 11. Adott két metsző egyenes a és b továbbá az adott egyenesek egyikét sem érintő k kör. Szerkesszünk olyan kört amely érinti az a, b egyeneseket és a k kört. A szerkesztendő kört jelöljük k 1 -gyel. Ekkor a k és a k 1 kör az O 1 érintési pontra nézve középpontosan hasonlóak. Mivel az a és a b egyenes érinti a k 1 kört, ezért ezen egyenesek ugyanezen középpontos hasonlóság által vett képük érintik a k kört. Ezeket könnyű megszerkeszteni, ugyanis az egyenesek képei középpontos hasonlóság esetén velük párhuzamos egyenesek lesznek. Az így kapott a és b egyenesek V metszéspontja az a és b egyenesek V pontjának a képe lesz. Ez azt jelenti, hogy a középpontos hasonlóság O 1 középpontja a V V egyenes és a k kör metszéspontja lesz. Ezt ismerve már könnyen megszerkeszthető a keresett k 1 kör.

(a) Adatok felvétele: a és b metsző egyenesek, egyik egyenest se érintő k (S; r) kör; (b) a érinti a k kört és párhuzamos az a egyenessel, az érintési pont a T pont; (c) b érinti a k kört és párhuzamos a b egyenessel; (d) V az a és b egyenesek metszéspontja; (e) O 1, ill. O 2 a k kör és a V V egyenes metszéspontja; (f) T 1, ill T 2 a T O 1, ill. T O 2 félegyenes és az a egyenes metszéspontja; (g) S 1, ill. S 2 az a egyenesre merőleges T 1, ill. T 2 ponton áthaladó egyenes és az SO 1, ill SO 2 félegyenes metszéspontja; (h) k 1 (S 1 ; r 1 = S 1 T 1 ), ill. k 1 (S 2 ; r 2 = S 2 T 2 ) kör. 12. Adott a koordinátarendszerben a k kör, melynek középpontja S = [5; 3] és sugara r = 1, 5 cm. Szerkesszünk olyan kört, amely érinti koordinátatengelyeket és a k kört. Valójában ugyanaz a feladat mint az előzőben, csak abban különbözik az előzőtől, hogy itt a szög derékszög. (a) Adatok felvétele: k (S; r) kör; (b) p, ill. p egyenes érinti a k kört, párhozamos az x tengellyel. Az érintéi pont a T, ill. a T pont; (c) q, ill. q egyenes érinti a k kört, párhozamos az y tengellyel; (d) p és q, ill. p és q metszéspontja V, ill. a V pont; (e) O 1, ill. O 3 a V 1 V, illv 1 V és a k kör metszéspontja, ahol V 1 jelöli az origót; (f) T 1, ill. T 3 a T O 1, ill. az O 3 T félegyenes és az x tengely metszéspontja; (g) S 1, ill. S 3 az x tengelyre merőleges T 1, ill. T 3 ponton áthaladó egyenes és az SO 1, ill. az O 3 S félegyenes metszéspontja; (h) a megszerkesztendő k 1 (S 1 ; r 1 = S 1 T 1 ), ill. k 3 (S 3 ; r 3 = S 3 T 3 ) kör. A feladatnak négy megoldása van (mi csak két megoldást szerkesztettünk meg). 13. Adott két metsző egyenes p, q valamint az adott egyenesek egykén sem fekvő M pont. Szerkesszünk két olyan egybevágó kört, amelyek az M pontban érintik egymást, az egyik kör a q, a másik kör pedig a p egyenest érinti.

Legyen a keresett két kör a k 1 és a k 2. Ezek a körök az M pont szerint szimmetrikusak. Ezért a q egyenes M pontra vonatkozó q tükörképe érinti a k 1 kört. q egyenes a p egyenest O pontban metszi. Ha szerkesztünk egy olyan 1 kört amely érinti a p és a q egyenest, akkor ez a k 1 kör a k 1 körrel az O pont szerint középpontosan hasonló lesz. Az M pont képe az OM félegyenes és a k 1 kör metszéspontja lesz. Ezt ismerve már könnyen megszerkeszthető a k 1 kör S 1 középpontja, majd a k 1, ill. a k 2 kör is. (a) Adatok felvétele: p és q metsző egyenes, M pont; (b) q a q egyenes M pontra vonatkozó tükörképe; (c) t a p és q egyenesek szögfelezője; (d) S 1 a t szögfelezőre illeszkedik; (e) T érintési pont a q egyenesre illeszkedik és S 1T a q -re merőleges; (f) k 1 (S 1; r 1 = S 1T ); (g) O a p és q egyenes metszéspontja; (h) M pont az OM félegyenes és a k 1 kör metszéspontja; (i) S 1 pont a t egyenes és az M ponton áthaladó M S 1 egyenessel párhuzamos egyenessel való metszéspontja; (j) k 1 (S 1 ; r 1 = S 1 M); (k) S 2 az S 1 pont M pontra vonatkozó tükörképe; (l) k 2 (S 2 ; r 2 = S 2 M); 14. Adott az a, b párhuzamos egyenes, valamint az a egyenesre illeszkedő A, ill. a b egyenesre illeszkedő B pont, úgy hogy a két pont távolsága nagyobb, mint a két egyenes távolsága. Szerkesszünk két olyan egymást kívülről érintő kört, hogy az egyik kör az a egyenest az A, a másik kör a b egyenest a B pontbanérinti és a két kör sugarának az aránya 1 : 2 legyen. A keresett két kör legyen a k A és a k B, egymást az O pontban érintsék. Ekkor az O pontra vontakozólag a két kör középpontosan hasonló és a hasonlóság aránya k = 1 2. Ezért az O pont az AB szakasz harmadoló pontja, hiszen A pont képe B, és OB : OA = 1 : 2. A k A kör középpontja az AO szakasz felezőmerőlegesére illeszkedik és az a egyenest az A pontban érinti. Ezeket ismerve már könnyen megszerkeszthető a két kör. (a) Adatok felvétele: a, b egyenes, a, ill. b egyenesre illeszkedő A, ill B pont; (b) O az AB egyenes harmadaloló pontja, AO = 2BO (c) t A az AO szakasz felezőmerőlegese; (d) S A a t A egyenes és a q egyenesre merőleges A ponton áthaladó egyenes metszéspontja; (e) k A (S A ; r A = S A A); (f) t B az OB szakasz felezőmerőlegese; (g) S B a t B egyenes és az S A O félegyenes metszéspontja; (h) k B (S B ; r B = S B O).

15. Adottak az a, b metsző egyenesek és az egyik egyenesre sem illeszkedő M pont. Szerkesszük meg az M ponton áthaladó és a két egyenest érintő kört. Szerkesszünk olyan k kört amely mindkét egyenest érinti, középpontja az M pontot tartalmazó szögtartományban legyen. Jelölje továbbá O az a és b egyenesek metszéspontját. A k és k kör az O pont szerint középpontosan hasonlók, ezért az M pont képe egyrészt illeszkedik a k körre, másrészt az OM félegyenesre is. Ezt ismerve a k kör középpontja megszerkeszthető (a t szögfelező és az M ponton áthaladó S M egyenessel párhuzamos egyenes metszéspontja), így a k kör is. (a) Adatok felvétele: a és b metsző egyenes, M pont; (b) t az a és b egyenesek által meghatározott M pontot tartalmazó szög szögfelezője; (c) S a t szögfelezőre illeszkedik; (d) T a b egyenesre illeszkedik, S T a b egyenesre merőleges; (e) k (S ; r = S T ) kör; (f) O az a és b egyenes metszéspontja, a középpontos hasonlóság középpontja; (g) M az OM félegyenes és a k kör metszéspontja; (h) S pont az M ponton áthaladó S M egyenessel párhuzamos egyenes és a t egyenes metszéspontja; (i) k (S; r = SM) kör. A feladatnak két megoldása van. 16. Adott a p egyenes, a k kör és a körre illeszkedő A pont. Szerkesszük meg az ABCD paralelogrammát, ha az AV B = 60, b pont a k körre, D pont pedig a p egyenesre illeszkedik, továbbá AB : AD = 2 : 1 legyen. 17. Adott két metsző kör. Szerkeszük meg az ABCD téglalapot, ha az A pont az egyik metszéspontban van, B pont az egyik körre, D pont a másik körre illeszkedik, továbbá AB : AD = 2 : 3 legyen. Ha a D pontot az A pont körül az óramutató járásával megegyezően 90 -kal elforgatjuk, majd vesszük az A középpontú k = 2 arányú középpontos hasonlóságot, akkor a B pontot kapjuk. Ha ugyanezt a két transzformációt elvégezzük a k 1 körre (vagyis a forgatást és a középpontos hasonlóságot), akkor a kapott k 1 kör áthalad a B ponton, hiszen az eredeti k 1 kör áthalad a D ponton. Nincs más dolgunk mint a k 1 kört megszerkeszteni, megkeresni a k 2 -vel való B metszéspontot. Az A és B ismeretében már könnyen megszerkeszthető az ABCD téglalap. (a) Adatok felvétele: k 1 (S 1 ; r 1 ) és k 2 (S 2 ; r 2 ) kör; (b) A a k 1 és k 2 kör metszéspontja; (c) S 1 pont az S 1 pont A pont körüli 90 -os elforgatotja; (d) S 1 pont az S 1 pont A pontra vonatkozó k = 2 arányú középpontos hasonlóság képe; (e) k 1 (S 1 ; r 1 = S 1 A) kör; (f) B pont a k 1 és k 2 kör metszésptja; (g) ABCD téglalap, D a k 1 körre illeszkedik.