Szigma, XXXV. (2004) 1-2. 1 DETERMINISZTIKUS ES VAL OSZ IN } US EGI ELOSZT ASI ELJ AR ASOK 1 TASN ADI ATTILA Budapesti Corvinus Egyetem Matematika Tansz ek Az eletben sz amtalan olyan esettel tal alkozunk, amikor egy j osz ag ir anti kereslet meghaladja a rendelkez esre all o k ³n alatot. P eldak ent eml ³thetjÄuk a k arp otl asi ig enyeket, egy cs}odbement c eg hitelez}oinek ig enyeit, valamely szerv atäultet es ere v ar o betegek sor at stb. Ilyen helyzetekben valamilyen elj ar as szerint oszthatjuk el a sz}ukäos mennyis eget a szerepl}ok käozäott. Szok as megkäuläonbäoztetni a determinisztikus es a sztochasztikus eloszt asi elj ar asokat, j ollehet sok esetben csak a determinisztikus elj ar asokat alkalmazz ak. Azonban igazs agoss agi szempontb ol gyakran haszn alnak sztochasztikus eloszt asi elj ar asokat is, mint p eld aultette azt az EgyesÄult Allamok hadserege a m asodik vil agh abor u v eg et käovet}oen a käulfäoldäon allom asoz o katon ainak visszavon asakor, illetve a vietnami h abor u sor an beh ³vand o szem elyek kiv alaszt asakor. Egy kor abbi cikkben [6] egy determinisztikus eloszt asi elj ar ashoz hozz arendeltäuk azokat a sztochasztikus eloszt asi elj ar asokat, amelyek v arhat o ert ekben azonos eloszt ast eredm enyeznek az adott determinisztikus elj ar assal. Ezek käozäul kitäuntetettek azok a sztochasztikus eloszt asi elj ar asok, amelyek szem elyenk ent a legkisebb sz or as u eloszt assal j arnak. Ilyen elj ar asok l etez ese biztos ³tott [6, 1. t etel]. Ez az adott determinisztikus eloszt asi elj ar ashoz t ars ³tott minim alis varianci aj u elj ar as. Mind a determinisztikus, mind a sztochasztikus eloszt asi elj ar asokat szok as igazs agoss agi, invariancia es m as t ³pus u tulajdons agokkal jellemezni. P eld aul egy term eszetes igazs agoss agi käovetelm eny sztochasztikus eloszt asi elj ar asokkal szemben, hogy az eloszt as v arhat o ert ekben ig eny ar anyos legyen. Az ig enyek es az elosztand o mennyis egek eg esz ert ek}us ege mellett megvizsg aljuk, hogy melyek azok a nevezetes tulajdons agok, amelyek egy determinisztikus eloszt asi elj ar asr ol szäuks egszer}uen,, atäoräokl}odnek" a hozz arendelt minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asokra. Ehhez el}obb az 1. szakaszban de ni aljuk az eloszt asi probl em at, a determinisztikus eloszt asi elj ar asokat es sz amos nevezetes tulajdons agot. Majd a 2. szakaszban t argyaljuk a sztochasztikus eloszt asi elj ar asokat es 1. szakaszban bevezetett tulajdons agok sztochasztikus megfelel}oit. Ezek ut an a 3. szakaszban megvizsg aljuk, hogy egy determinisztikuseloszt asi elj ar as mely tulajdons agai ÄorÄokl}odnek at a hozz aja rendelt minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asokra. V egäul a 4. szakaszban räoviden Äosszefoglaljuk az el ert eredm enyeket. 1 Akutat astazotka(f043496)t amogatta. Be erkezett: 2004.szeptember26. e-mail: attila.tasnadi@math.bke.hu.
2 Tasn adi Attila 1 Determinisztikus modellkeret JelÄolje IN a nem negat ³v eg esz sz amok, IR + a nem negat ³v val os sz amok halmaz at es legyen N a lehets eges szerepl}ok egy v eges halmaza. Egy elem}u halmazok eset en sokszor elhagyjuk majd a halmazt jeläol}o kapcsos z ar ojeleket, ³gy p eld aul fig helyett altal aban csak egyszer}uen i-t ³runk, ahol ez nem vezet f elre ert eshez. Vektorok koordin at ait als o indexszeljeläoljäuk. Tetsz}oleges N ½ N, x 2 IR N es M ½ N eset en vezessäuk be az x M = P i2m x i es x M = (x i ) i2m jeläol eseket. Legyen tov abb a x M ;x NnM = x. Egy eloszt asi probl ema az N; t;(x i ) i2n h armassal ³rhat o le, ahol N ½ N a szerepl}ok halmaza, t 2 IN azn-beli szerepl}ok r esz ere elosztand o mennyis eg es x i 2 IN az i 2 N szerepl}o ig enye. 2 Az altal anoss ag megszor ³t asa n elkäul feltehetjäuk, hogy x N > t, mivel ellenkez}o esetben mindenki megkaphatja az altala ig enyelt teljes mennyis eget. Egy r determinisztikus eloszt asi elj ar as b armely N; t;(x i ) i2n eloszt asi probl em ahoz hozz arendel egy y 2 IR N + eloszt ast, melyre y N = t es 0 y i x i minden i 2 N-re. Ekkor azt ³rjuk, hogy r (N;t; x) = y. 1.1 Axi om ak A käovetkez}okben a determinisztikus eloszt asi elj ar asok h et nevezetes tulajdons ag at vesszäuk sorra. Jogos elv ar as, hogy egy szerepl}o ig eny enek megnäoveked ese, a täobbiek ig eny enek v altozatlans aga mellett, ne vezessen a megnäovekedett ig eny}u szerepl}o r eszesed es enek csäokken es ehez. Ez az ugynevezett kereslet-monotonit as. 1.1 axi oma. Az r determinisztikus eloszt asi elj ar as kereslet-monoton, ha ³ ³ Nni ³ x i ^x i ) r i N;t; x i ; x r i N; t; ³^x Nni i ;x minden N ½ N, i 2 N, t; x i ; ^x i 2 IN es x Nni 2 IN Nni eset en. A kereslet-monotonit assal valamelyest anal og a k ³n alat-monotonit as, a- mely szerint a k ³n alat näoveked es evel senkinek sem csäokkenhet a r eszesed ese. 1.2 axi oma. Az r determinisztikus eloszt asi elj ar as k ³n alat-monoton, ha t t 0 ) r i (N;t; x) r i (N; t 0 ; x) minden N ½ N, i 2 N, t; t 0 2 IN es x 2 IN N eset en. Term eszetes igazs agoss agi käovetelm eny, hogy az azonos ig eny}u szerepl}ok azonos mennyis egekben r eszesäuljenek. 1.3 axi oma. Az r determinisztikus eloszt asi elj ar as kiel eg ³ti az egyenl}o elb an as elv et, ha x i = x j ) r i (N; t;x) = r j (N; t;x) 2 Itt ugynevezettdiszkr eteloszt asiprobl em akraszor ³tkozunk.
Determinisztikus es val osz ³n}us egi eloszt asi elj ar asok 3 minden N ½ N, i; j 2 N, t 2 IN es x 2 IN N eset en. AkÄovetkez}o n egy struktur alis tulajdons ag interpret aci oja nem olyan term eszetes, es megkäovetel esäuk nem is minden helyzetben indokolt. A konzisztencia szerint az eloszt asi elj ar asnak, a szerepl}ok ig enyteljes ³t esi sorrendj et}ol fäuggetlenäul, ugyanazt az eloszt ast kell eredm enyeznie. 1.4 axi oma. Az r determinisztikus eloszt asi elj ar as konzisztens, ha r i (N; t;x) = r i ³ N n j;t r j (N; t;x);x Nnj minden N ½ N, i; j 2 N, i 6= j, t 2 IN es x 2 IN N eset en. A konzisztencia megkäovetel ese indokolt lehet olyan helyzetekben, amelyekben a szerepl}ok folyamatosan jelentik be ig enyeiket es az ig enyeik teljes ³t ese is folyamatosan täort enik. Erdekes p elda a konzisztencia term eszetes megkäovetel es ereegy parlament mand atumainak teräuletiegys egenk enti eloszt asa. Ennek jobb meg ert ese c elj ab ol gondoljunk arra, hogy az EgyesÄult Allamokhoz az elm ult evsz azadokban folyamatosan csatlakoztak ujabb es ujabb allamok. Az egyes allamok k epvisel}ohelyeinek sz ama nem fäugghetett az allamok bel ep esi sorrendj et}ol. 3 Hasonl o helyzet allhat el}o az Eur opai Uni o orsz againak Uni os parlamentbeli mand atumainak sz am ³t asakor, hiszen a jäov}oben is sz am ³thatunk ujabb tagfelv etelekre. AkÄovetkez}o tulajdons ag megkäoveteli, hogy azonos eredm enyre vezessen a k ³n alat k et l ep esben täort en}o eloszt asa es a k ³n alat egy l ep esben täort en}o eloszt asa. A k et l ep esben täort en}o eloszt as alatt az ertend}o, hogy az els}o l ep esben sz etosztunk egy adott mennyis eget, majd a m asodik l ep esben p otl olagosan egy tov abbi mennyis eget puszt an a fennmarad o ig enyek ismeret eben. 1.5 axi oma. Az r determinisztikus eloszt asi elj ar as alulr ol el}o all ³that o, ha 0 t 0 t x N ) r (N;t; x) = r (N; t 0 ; x) + r (N;t t 0 ;x r (N; t 0 ; x)) minden N ½ N, minden t; t 0 2 IN es minden x 2 IN N eset en. Az alulr ol el}o all ³that os ag azt jelenti, hogy a p otl olagos mennyis egek eloszt asa sor an, a m ultat gyelmen k ³vÄul hagyva is, ugyanahhoz az eloszt ashoz jutunk. Tov abb a, ha a sz etoszt as p arhuzamosan täort enik p eld aul täobb telephelyen keresztäul, akkor az egym ast ol fäuggetlenäul m}ukäod}o egys egek, mind ugyanazon eloszt asi elj ar assal dolgozva, puszt an a fennmarad o ig enyekre vonatkoz o inform aci o folyamatos kicser el es evel, az ig enyek kiel eg ³t es enek sorrendj et}ol fäuggetlenäul, ugyanazt az eloszt ast eredm enyezik. Az alulr ol el}o all ³that os aggalrokon a feläulr}ol el}o all ³that os ag, mivel az eloszt as k et l ep esben es egy l ep esben täort en}o v egrehajt as anak egyfajta invarianci aj at käoveteli meg. A feläulr}ol el}o all ³that os ag eset eben azonban k epzeljäuk el, hogy el}oszäor t ul nagy mennyis eget osztottunk sz et es a val oj aban rendelkez esre nem all o k ³n alatot ut olag kell visszavonnunk a m ar elosztott mennyis egek ismeret eben. 3 Errevonatkoz oanr eszletesebbenolvashatunkbalinski esyoung[1],illetveyoung[10] käonyveiben.
4 Tasn adi Attila 1.6 axi oma. Az r determinisztikus eloszt asi elj ar as feläulr}ol el}o all ³that o, ha 0 t t 0 x N ) r (N;t; x) = r (N; t;r (N;t 0 ;x)) minden N ½ N, t;t 0 2 IN es x 2 IN N eset en. Az utols o tulajdons ag, amellyel foglalkozni k ³v anunk az Äondualit as tulajdons aga. Ennek teljesäul ese azt jelenti, hogy az adott elj ar as alkalmaz asa ugyanarra az eredm enyre vezet, ha a rendelkez esre all o mennyis eget osztjuk sz et vagy pedig a hi anyt (t ulkeresletet) vonjuk le a szerepl}ok ig enyeib}ol. 1.7 axi oma. Az r determinisztikus eloszt asi elj ar as kiel eg ³ti az Äondualit as tulajdons ag at, ha r(n;t; x) = x r(n;x N t; x) minden N ½ N, t 2 IN es x 2 IN N eset en. 1.2 Nevezetes determinisztikus elj ar asok Elemz esäunk sor an n egy nevezetes determinisztikus elj ar asra lesz szäuks egäunk. El}oszÄor h arom val os ert ek}u elj ar as le ³r as aval kezdäunk. Tal an az egyik legnevezetesebb determinisztikuseloszt asi elj ar asaz ugynevezett ar anyos eloszt asi elj ar as (proportional method), mely szerint a k ³n alatb ol mindenki kereslet evel ar anyosan r eszesäul. Form alisan pro(n;t; x) = t x N x; ha x N > 0. Megjegyzend}o, hogy b armely eloszt asi elj ar as eset en x N = 0- b ol szäuks egszer}uen r(n; t;x) = 0 käovetkezik. Az ar anyos eloszt asi elj ar as sz amos erdekes jellemz ese megtal alhat o täobbek käozäott Moulin [3] attekint}o munk aj aban. Az ar anyos eloszt asi elj ar as k et erdekes es az altalunk ismertetett tulajdons agok seg ³ts eg evel is erthet}o jellemz es et adta Young [9], amely szerint az ar anyos eloszt asi elj ar as az egyetlen alulr ol el}o all ³that o es Äondu alis, illetve az egyetlen feläulr}ol el}o all ³that o es Äondu alis eloszt asi elj ar as. Az ar anyoss ag elv evel szemben az egyenl}os eg elve all, amelyet legink abb az ugynevezett egyenletes nyeres eg elj ar as (uniform gains method) testes ³t meg. Az egyenletes nyeres eg elj ar as azonos mennyis eget juttat azoknak a szerepl}oknek, akiknek ig enyei el erik a ert eket, m ³g a ert ekn el kisebb ig eny}u szerepl}oket marad ektalanul kiel eg ³ti. Form alisan ug i (N; t;x) = minf ; x i g; ahol a ert eke a P i2n minf ; x ig = t egyenl}os eg altal meghat arozott. Az egyenletes vesztes eg elj ar as (uniform losses methods) ak arcsak az el}oz}o elj ar as az egyenl}os eg elv ere ep ³t, azonban a kiel eg ³tetlen ig enyeket igyekszik egyenl}oen sz etter ³teni. Form alisan ul i (N; t;x) = maxfx i ¹;0g;
Determinisztikus es val osz ³n}us egi eloszt asi elj ar asok 5 ahol P i2n maxfx i ¹;0g = t. Moulin [2] megmutatta, hogy pro-n k ³vÄul m eg pontosan az ug es ul elj ar asok azok, amelyek egyszerre konzisztensek, alulr ol el}o all ³that oak, feläulr}ol el}o all ³that ok, sk ala invari ansak 4 es teljes ³tik az egyenl}o elb an as elv et. A negyedik nevezetes eloszt asi elj ar as a priorit asi szab aly, amely a szerepl}oket azig enyäukt}ol es a k ³n alatt ol fäuggetlen fontoss agisorrendberendezi, majd az ig enyeket mindig ezen sorrend szerint el eg ³ti ki. Igy egy alacsonyabb fontoss ag u szerepl}o csak akkor r eszesäulhet az elosztand o mennyis egb}ol, ha az Äosszes n ala fontosabb szerepl}o ig enye marad ektalanul teljes ³thet}o. M ar a de n ³ci oja alapj an l athat o, hogy a priorit asi szab aly a kor abban de ni alt h arom determinisztikus eloszt asi elj ar assal ellent etben,,igazs agtalan". Megjegyzend}o m eg, hogy a priorit asi szab aly az altalunk de ni alt probl em akra eg esz ert ek}u eloszt asokat eredm enyez. Moulin [2] determinisztikus eloszt asi elj ar asokat vizsg alva kimutatta, hogy a priorit asi szab aly tulajdons agai alapj an kit}untetett szerepet täolt be, mivel az egyetlen olyan eg esz ert ek}u eloszt asi elj ar as, amely kiel eg ³ti egyszerre az 1.4-1.6. axi om akat. Ez egy meglehet}osen negat ³v eredm eny, hiszen a priorit asi szab aly egy nem igazs agos eloszt asi elj ar as. Az ismertetett n egy nevezetes eloszt asi elj ar as erdekesebb jellemz esei megtal alhat ok Moulin [3] es Thompson [8] attekint}o munk aiban. 2 Val osz ³n}us egi modellkeret A val osz ³n}us egi modellkeretben m ar csak diszkr et eloszt asokat engedäunk meg. JelÄolje N;t;x a lehets eges eloszt asok halmaz at, azaz N;t;x =! 2 IN N ª j! N = t;8i 2 N : 0! i x i ; es jeläolje P ( N;t;x ) az N;t;x halmaz hatv anyhalmaz at. A ½ val osz ³n}us egi eloszt asi elj ar as minden egyes N;t; (x i ) i2n eloszt asi probl em ahoz hozz arendel egy az ( N;t;x ; P ( N;t;x )) t eren ertelmezett val osz ³n}us egi m ert eket, amelyet ½ N;t;x -szel jeläoläunk. Tov abb a jeläolje ekkor ½ i N;t;x az i 2 N szerepl}onek jutatott mennyis eg eloszl as at, amely a ½ N;t;x megfelel}o peremeloszl asa. VegyÄuk sorra a determinisztikus modellkeretben t argyalt h et tulajdons ag kiterjeszt eseit. Ehhez el}oszäor is szäuks egäunk lesz a sztochasztikus dominancia rel aci ora. Azt mondjuk, hogy a (f0;1;... ;ng;p (f0;1;... ;ng)) t eren ertelmezett ¹ es º val osz ³n}us egi m ert ekek käozäul º sztochasztikusan domin alja 5 ¹-t, ha 8k 2 f0;1;... ;ng : ¹(fk; k + 1;...;ng) º (fk;k + 1;...; ng): 4 Ask alainvarianciaszerintazeloszt asnemfäugghetatt ol,hogymilyenm ert ekegys egben m erjäuk amennyis egeket. 5 Ez a fajta sztochasztikus dominancia els}orend}u sztochasztikus dominancia n even ismeretes.
6 Tasn adi Attila A sztochasztikus dominancia rel aci o jeläol es ere a ¹ szimb olumot haszn aljuk. Teh at ¹ ¹ º azt jeläoli, hogy º sztochasztikusan domin alja ¹-t. Ellen}orizhet}o, hogy ¹ egy parci alis rendez es. A kereslet-monotonit as kiterjeszt ese szerint, ha egy eloszt asi probl em aban egy szem ely ig enye näovekszik a täobbiek ig eny enek v altozatlans aga mellett, akkor b armely mennyis egn elnemkisebb mennyis egekhezlegal abb ugyanakkora val osz ³n}us eggel kelljutnia, mint ig eny enek megnäoveked ese el}ott. 2.1 axi oma. A ½ sztochasztikus eloszt asi elj ar as kereslet-monoton, ha x i ^x i ) ½ i N;t;(x i ;x Nni ) ¹ ½i N;t;(^x i ;x Nni ) minden N ½ N, i 2 N, t; x i ; ^x i 2 IN es x Nni 2 IN Nni eset en. Egy sztochasztikus eloszt asi elj ar as determinisztikus, ha minden N;t; (x i ) i2n eloszt asi probl ema eset en l etezik egy olyan! 2 N;t;x, hogy ½ N;t;x (!) = 1. Ennek alapj an a 2.1 axi oma az 1.1 axi oma kiterjeszt ese. Akereslet-monotonit ashoz hasonl o m odon kiterjeszthet}o a k ³n alat-monotonit as is. 2.2 axi oma. A ½ sztochasztikus eloszt asi elj ar as k ³n alat-monoton, ha t t 0 ) ½ i N;t;x ¹ ½i N;t 0 ;x minden N ½ N, i 2 N, t; t 0 2 IN es x 2 IN N eset en. Az egyenl}o elb an as elv enek kiterjeszt ese szerint k et azonos ig eny}u szem ely azonos eloszl asok szerint r eszesäul a sz}ukäos mennyis egb}ol. 2.3 axi oma. A ½ sztochasztikus eloszt asi elj ar as kiel eg ³ti az egyenl}o elb an as elv et, ha x i = x j ) ½ i N;t;x = ½ j N;t;x minden N ½ N, i; j 2 N, t 2 IN es x 2 IN N eset en. A 2.2-2.3 axi om ak nyilv an rendre az 1.2-1.3 axi om ak kiterjeszt esei. T erjäunk most r a a n egy struktur alis invariancia tulajdons ag kiterjeszt eseire. 2.4 axi oma. Konzisztencia: ½ i N;t;x (! i) = minfx X j;t! ig k=0 ½ i Nnj;t k;x Nnj (! i )½ j N;t;x (k) teljesäuljäon minden N ½ N, i; j 2 N, i 6= j, t 2 IN, x 2 IN N es! i 2 f0;1;... ;minfx i ;tgg eset en. A käovetkez}o lemma biztos ³tja, hogy a 2.4 axi oma val oban az 1.4 axi oma egy kiterjeszt ese. 2.1 lemma. Ha ½ determinisztikus es konzisztens, akkor a vele ekvivalens r determinisztikus eloszt asi elj ar as is konzisztens.
Determinisztikus es val osz ³n}us egi eloszt asi elj ar asok 7 Bizony ³t as. Mivel ½ determinisztikus, ½ N;t;x (!) = 1 valamely! 2 N;t;x mellett. Ez ert ½ i N;t;x (! i) = 1 azaz r i (N; t;x) =! i, ½ j N;t;x (k) = 0 minden k 2 f0;1;... ;x j g n f! j g-ra es ½ j N;t;x (! j) = 1 azaz r j (N; t;x) =! j. Felhaszn alva ½ konzisztenci aj at ½ i Nnj;t! j;x (! Nnj i ) = 1 ad odik. Ezek alapj an ³ Nnj ³ Nnj r i (N;t; x) =! i = r i N n j;t! j ; x = r i N n j; t r j (N; t;x);x minden N ½ N, i 6= j 2 N, t 2 IN es x 2 IN N eset en. Teh at r konzisztens. Most n ezzäuk az alulr ol el}o all ³that os ag kiterjeszt es et. 2.5 axi oma. Alulr ol el}o all ³that os ag: X 0 t 0 t x N ) ½ N;t;x (!) =! 0 2 N;t 0 ;x! 0! ½ N;t 0 ;x (! 0 )½ N;t t 0 ;x! 0 (!!0 ) teljesäuljäon minden N ½ N, t; t 0 2 IN, x 2 IN N es! 2 N;t;x eset en. Meg kell mutatnunk, hogy a sztochasztikus eloszt asi elj ar asokra most megfogalmazott alulr ol el}o all ³that os ag val oban az alulr ol el}o all ³that os ag egy kiterjeszt ese. 2.2 lemma. Ha ½ determinisztikus es alulr ol el}o all ³that o, akkor a ½-val ekvivalens r determinisztikus eloszt asi elj ar as alulr ol el}o all ³that o. Bizony ³t as. Mivel ½ determinisztikus, ez ert l eteznek olyan! 2 N;t;x es! 0 2 N;t 0 ;x eloszt asok, amelyekre ½ N;t;x (!) = 1 es ½ N;t 0 ;x (! 0 ) = 1. Teh at r (N; t;x) =! es r (N;t 0 ;x) =! 0. Ez ert a 2.5 axi oma Äosszeg enek csak egyetlen! 0 2 N;t 0 ;x eloszt ashoz tartoz o t enyez}oje nem nulla. Erre az! 0 eloszt asra a 2.5 axi om ab ol ad od oan!! 0 es ½ N;t t 0 ;x! 0 (!!0 ) = 1. Ez ert r (N;t t 0 ;x! 0 ) =!! 0. Teh at az! es! 0 eloszt asok ½ altal egy ertelm}uen meghat arozottak, es ³gy teljesäulnek az al abbi egyenl}os egek. r (N; t;x) =! =! 0 +!! 0 = r (N;t 0 ;x) + r (N; t t 0 ; x! 0 ) = = r (N;t 0 ;x) + r (N; t t 0 ; x r (N;t 0 ;x)) minden N ½ N halmazra, minden t;t 0 2 IN elosztand o mennyis egre es minden olyan x 2 IN N ig enyvektorra, amelyre 0 t 0 t x N teljesäul. A feläulr}ol el}o all ³that os agot az al abbi m odon terjesztjäuk ki. 2.6 axi oma. FelÄulr}ol el}o all ³that os ag: 0 t t 0 x N ) ½ N;t;x (!) = X! 0 2 N;t 0 ;x!! 0 ½ N;t 0 ;x (! 0 )½ N;t;! 0 (!) teljesäuljäon minden N ½ N, t; t 0 2 IN, x 2 IN N es! 2 N;t;x eset en.
8 Tasn adi Attila Az al abbi lemma szerint a 2.6 axi oma val oban az 1.6 axi oma egy kiterjeszt ese. 2.3 lemma. Ha ½ determinisztikus es feläulr}ol el}o all ³that o, akkor a vele ekvivalens r determinisztikus eloszt asi elj ar as feläulr}ol el}o all ³that o. Bizony ³t as. ½ determinisztikus volta miatt l eteznek olyan! 2 N;t;x es! 0 2 N;t 0 ;x eloszt asok, amelyekre ½ N;t;x (!) = 1 es ½ N;t 0 ;x (! 0 ) = 1. Teh at r (N;t; x) =! es r (N; t 0 ;x) =! 0. A 2.6 axi om ab ol kifoly olag!! 0 es ½ N;t;! 0 (!) = 1 (azaz r (N; t;! 0 ) =!). Ez ert r (N;t; x) =! = r (N; t;! 0 ) = r (N; t;r (N;t 0 ;x)) minden N ½ N, t 2 IN es x 2 IN N eset en. Moulin t etele [2] szerint a priorit asi szab aly az egyetlen olyan determinisztikus eloszt asi elj ar as, amely kiel eg ³ti az 1.4-1.6 axi om akat. A sztochasztikus modellkeretben viszont l eteznek a priorit asi szab alyon k ³vÄul tov abbi olyan sztochasztikuseloszt asi elj ar asok, amelyek egyszerre kiel eg ³tik a 2.4-2.6 axi om akat. Ez ert a sztochasztikus eloszt asi elj ar asokkal szemben megfogalmazunk egy tov abbi igazs agoss agi käovetelm enyt, amely szerint a szerepl}oknek legal abb v arhat o ert ekben az ar anyos r eszesed esäukhäoz kell jutniuk. 2.7 axi oma. Ar anyos v arhat o r eszesed es: Xx i k=0 k½ i N;t;x (k) = x i teljesäuljäon minden N ½ N, i 2 N, t 2 IN es x 2 IN N eset en. A determinisztikus modellkeretben ad od o negat ³v eredm eny feloldhat o, ha az eloszt as folyamata sor an megengedjäuk a v eletlent, azaz az eloszt asban r esztvev}o szerepl}oknek juttatott mennyis egek val osz ³n}us egi v altoz ok. A val osz ³n}us egi modellkeretben Moulin [4] täobbf elek eppen karakteriz alja az ugynevezett ar anyos eloszt asi elj ar ast, amely szerint az elosztand o egys egeket ugy sorsoljuk ki a szerepl}ok käozäott egym as ut an, hogy minden egyes szerepl}o a fennmarad o ig enyekkelar anyosval osz ³n}us egekkeljuthat az eppen kisorsoland o egys eghez. Az ar anyos eloszt asi elj ar as ak arcsak a priorit asi szab aly konzisztens, alulr ol el}o all ³that o es feläulr}ol el}o all ³that o. Moulin [4] megadja a val osz ³n}us egi modellkeretben a h arom invariancia tulajdons agnak (konzisztencia, alulr ol el}o all ³that os ag es feläulr}ol el}o all ³that os ag) egyidej}uleg eleget tev}o eloszt asi elj ar asok halmaz at. L enyeg eben az ezen halmazba tartoz o elj ar asok a szerepl}oket priorit asi oszt alyokba sorolj ak es az ³gy ad od o priorit asi oszt alyokon beläul engedik csak meg a visszatev eses mintav etelen alapul o ar anyos eloszt as alkalmaz as at. 6 V egäul megadjuk az Äondualit as kiterjeszt es et. 6 A pontosan k et szerepl}ot tartalmaz opriorit asi oszt alyokon beläul azar anyos eloszt asi elj ar ason k ³vÄulm asfajtaeloszt asielj ar asismegengedhet}o. t x N
Determinisztikus es val osz ³n}us egi eloszt asi elj ar asok 9 2.8 axi oma. A ½ sztochasztikus eloszt asi elj ar as Äondu alis, ha ½ N;t;x = x ½ N;xN t;x minden N ½ N, t 2 IN es x 2 IN N eset en. 3 Minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asok tulajdons agai El}oszÄor a [6]-ban bevezetett minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asok ismertet es evel kezdjäuk. Legyen r egy adott determinisztikus eloszt asi elj ar as. JelÄoljeE(r) azon sztochasztikus eloszt asielj ar asok halmaz at, amelyek v arhat o ert ekben r-rel azonos eloszt asokat eredm enyeznek b armely eloszt asi probl em ara. Az E(r) halmazbeli legkisebb varianciaäosszeg}u sztochasztikus eloszt asi elj ar asokat h ³vjuk az r-hez rendelt minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asoknak. Form alisan, ½ egy r-hez rendelt minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar as, ha b armely eloszt asi probl ema eset en 8¹ 2 E(r) : 8i 2 N : V ar ½ i N;t;x V ar ¹ i N;t;x : JelÄolje E mv (r) az r-hez rendelt minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asok halmaz at. A [6]-beli 1. t etel alapj an minden r eloszt asielj ar ashoz rendelhet}o legal abb egy minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar as. Tov abb a b armely E mv (r)- beli elj ar as egy adott (N; t;x) eloszt asi probl em an al az i 2 N szerepl}onek y i := br i(n;t; x)c, illetve y i +1 mennyis eget juttat 1 r i(n;t; x)+br i (N;t; x)c, illetve u i := r i (N; t;x) br i (N;t;x)c val osz ³n}us eggel. Teh at ½ i N;t;x (y i ) = 1 u i es ½ i N;t;x (y i + 1) = u i : (1) Most r at erhetäunk annak meg allap ³t as ara, hogy a bevezetett h et determinisztikus tulajdons ag käozäul melyek sztochasztikus kiterjeszt eseit }orzik meg a minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asok. El}oszÄor azokkal a tulajdons agokkal kezdäunk, amelyek egy r determinisztikus elj ar asr ol,, atäoräokl}odnek" a hozz aja rendelt E mv (r)-beli minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asokra. Nyilv an, ha r kereslet-monoton, akkor (1) alapj an b armely ½ 2 E mv (r) is kereslet-monoton, mivel 8k 2 f0;1;...;x i g : kx kx ½ i N;t;x (l) ½ i N;t;^x (l) l=0 teljesäul minden x i > ^x i es x Nni = ^x Nni eset en. Hasonl oan igazolhat o a k ³n alat-monotonit as ÄorÄokl}od ese. Az egyenl}o elb an as elv enek atäoräokl}od es enek teljesäul ese is nyilv anval o hiszen, ha r kiel eg ³ti az egyenl}o elb an as elv et, akkor (1) szerint azonos x i es x j ig enyek eset en y i = y j es u i = u j. VegyÄunk most egy Äondu alis r determinisztikus eloszt asi elj ar ast, egy ½ 2 E mv (r) sztochasztikus eloszt asi elj ar ast, egy (N; t;x) eloszt asi probl em at, es l=0
10 Tasn adi Attila legyen i 2 N. Ekkor a ½ N;xN t;x eloszt as sor an i a z i = br i (N; x N t; x)c mennyis eghez s i = 1 r i (N; x N t;x) + br i (N; x N t;x)c val osz ³n}us eggel jut, m ³g a z i +1 mennyis eghez pedig 1 s i val osz ³n}us eggel. Ha u i > 0, akkor x i z i = x i br i (N;x N t;x)c = x i bx i r i (N; t;x)c = = b r i (N;t; x)c = br i (N;t; x)c + 1 = y i + 1: Ez ert x i (z i + 1) = y i. Tov abb a ha u i > 0, akkor ½ N;xN t;x (z i + 1) = 1 s i = r i (N;x N t;x) br i (N;x N t; x)c = = r i (N;t; x) b r i (N; t;x)c = = 1 (r i (N; t;x) br i (N; t;x)c) = 1 u i = ½ N;t;x (y i ): Ebb}ol m ar ½ N;xN t;x (z i ) = ½ N;t;x (y i + 1) is käovetkezik. Az u i = 0 esetben pedig käozvetlenäul ad odik az Äondualit as teljesäul ese. ÄOsszegezve bel attuk a käovetkez}o all ³t ast. 3.1 all ³t as. Az r kereslet-monotonit asa, k ³n alat-monotonit asa, egyenl}o elb an as elv enek teljesäul ese es Äondualit asa ÄorÄokl}odik b armely r-hez rendelt ½ 2 E mv (r) sztochasztikus eloszt asi elj ar asra. Sajnos a bevezetett täobbi h arom tulajdons ag egyike sem ÄorÄokl}odik szäuks egszer}uen egy r determinisztikus eloszt asi elj ar asr ol egy ½ 2 E mv (r) sztochasztikus eloszt asi elj ar asra. Ezt a negat ³v eredm enyt egy-egy ellenp eld an mutatjuk meg. Azar anyosdeterminisztikuselj ar ashoz rendelt minim alisvarianci aj u elj ar asokat [6]-ban igazs agos marad ek eloszt asi elj ar asoknak neveztäuk el. [6]-ban megtal alhat o ez ut obbi t ³pus u elj ar asok k et jellemz ese is. Egy E(pro)-beli elj ar as kiel eg ³ti a 2.7 axi om at. [2] alapj an pro konzisztens, alulr ol el}o all ³that o es feläulr}ol el}o all ³that o. Bel atjuk, hogy egy ½ 2 E mv (pro) sztochasztikus eloszt asi elj ar as s erti a 2.4-2.6 axi om akat. Igy ezen tulajdons agok nem ÄorÄokl}odnek pro-r ol ½ 2 E mv (pro)-ra. Ismeretes [4, 7], hogy egyetlen olyan sztochasztikus eloszt asi elj ar as l etezik, amely egyszerre kiel eg ³ti a 2.5 es a 2.7 axi om akat, illetve a 2.6 es a 2.7 axi om akat. Ez az ugynevezett ar anyos val osz ³n}us egi eloszt asi elj ar as, amely l enyeg eben egy visszatev es n elkäuli mintav etelen keresztäul sorsolja ki a sz}ukäos mennyis eget a keresletäukkel megegyez}o sz am u sorsjegyekkel ell atott szerepl}ok käozäott. 7 Mivel az ar anyos val osz ³n}us egi elj ar as nem eleme E mv (pro)-nak, ez ert egy E mv (pro)-beli elj ar as semmik eppen sem alulr ol el}o all ³that o, illetve feläulr}ol el}o all ³that o. Megmutatjuk m eg, hogy az igazs agos marad ek eloszt asi elj ar asok nem konzisztensek. Ehhez tekintsäuk a käovetkez}o p eld at. Legyen N = f1;2;3g, t = 4 es x = (1;2; 3). Ez esetben ½ N;t;x ((0; 2;2)) = 1=3, ½ N;t;x ((1;1;2)) = 2=3, ½ f1;3g;3;(1;3) ((0;3)) = 1=4, ½ f1;3g;3;(1;3) ((1;2)) = 3=4, ½ f1;3g;2;(1;3) ((0; 2)) = 1=2, ½ f1;3g;2;(1;3) ((1;1)) = 1=2, ½ 2 N;t;x (1) = 2=3 es ½2 N;t;x (2) = 1=3. A konzisztencia s eräul es et mutatja a ½ 3 N;t;x (2) = 1 6= 2 3 = 2 3 3 4 + 1 1 3 2 = ½2 N;t;x (1)½ f1;3g;3;(1;3) ((1;2)) + ½ 2 N;t;x (2)½ f1;3g;2;(1;3) ((0; 2)) eset. 7 Azelj ar asr olr eszletesebben olvashat o[4]-ben,illetve[7]-ben.
Determinisztikus es val osz ³n}us egi eloszt asi elj ar asok 11 A m ar bevezetett ug-vel es ul-lel jeläolt determinisztikus elj ar asok sztochasztikus megfelel}oi 8 a fair sorba all asi es a fair sorba all asi* elj ar asok, amelyek r eszletes elemz es et Moulin es Stong [5] v egezte el. A fair sorba all asi elj ar asszerint azelosztand o mennyis eget täobb fordul oban osztjuk el ugy, hogy minden egyes fordul oban a m eg ig enyekkel rendelkez}o szerepl}oket v eletlen sorrendben egy-egy egys eghez juttatjuk a m eg el nem osztott egys egekb}ol. A fair sorba all asi* elj ar as hasonl o m odon rendeli a hi anyokat a szerepl}okhäoz. KÄonnyen meggy}oz}odhetäunk arr ol, hogy a fair sorba all asi elj ar as egy ug-hez rendelt, m ³g a fair sorba all asi* elj ar as egy ul-hez rendelt minim alis varianci aj u elj ar as. Moulin es Stong [5] k et sztochasztikus eloszt asi elj ar asa alapj an p eld akat tal altunk olyan esetekre, amelyekben a konzisztencia es feläulr}ol el}o all ³that os ag, illetve a konzisztencia es alulr ol el}o all ³that os ag ÄorÄokl}odik. V egäuln ezzäunk egy p eld at mindh arom struktur alisinvariancia tulajdons ag ÄorÄokl}od es ere. Ehhez tekintsäuk a priorit asi szab alyt mint egy determinisztikus es mint egy (degener alt) sztochasztikuseloszt asi elj ar ast. Ismert, hogy a priorit asi szab aly (l asd Moulin [2]) teljes ³ti mindh arom struktur alis invariancia tulajdons agot. Tov abb a käonnyen bel athat o, hogy a priorit asi szab alynak Äonmaga egy minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asa. 4 Ä Osszefoglal as H et nevezetes tulajdons ag seg ³ts eg evel megvizsg altuk a [6]-ban bevezetett minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asok tulajdons agait. Egyr eszt meg allap ³tottuk, hogy ha egy determinisztikus eloszt asi elj ar as kereslet-monoton, k ³n alat-monoton, teljes ³ti az egyenl}o elb an as elv et es Äondu alis, akkor a hozz arendelt minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asok is teljes ³tik ugyanezen tulajdons agokat. M asr eszt p eld akon keresztäul megmutattuk, hogy a konzisztencia, alulr ol el}o all ³that os ag es feläulr}ol el}o all ³that os ag altal aban nem,,äoräokl}odik" egy determinisztikus eloszt asi elj ar asr ol egy hozz atartoz o minim alis varianci aj u eloszt asi elj ar asra. Irodalom 1. Balinski,M.L.,Young,H.P.,Fair Representation:Meeting the Idealof One Man, One Vote, secondedition. Brookings InstitutionPress, Washington, D.C.,(2001). 2. Moulin,H.,Priorityrules andother asymmetric rationingmethods,econometrica,68(2000)643{684. 3. Moulin,H.,Axiomatic Cost and Surplus-Sharing.In:Arrow,K.J.,Sen,A.K., Suzumura, K., (eds.), Handbook of Social Choice and Welfare, Volume 1. North-Holland, Amsterdam,(2002) 289{357. 4. Moulin,H.,The Proportional Random Allocation Of Indivisible Units,Social ChoiceandWelfare,19(2002)381{413. 5. Moulin,H.,Stong,R.,Fair QueuingandOther Probabilistic AllocationMethods,MathematicsofOperationsResearch,27(2002) 1{30. 8 Abban az ertelemben,hogyugyanazont ³pus u nevezetestulajdons agokatel eg ³tikki.
12 Tasn adi Attila 6. Tasn adi,a.,on Probabilistic RationingMethods,Mathematical Social Sciences,44(2002)211{221. 7. Tasn adi, A., Az ar anyos eloszt asi elj ar as egykarakteriz aci oja, Alkalmazott MatematikaiLapok,21(2004)261{267. 8. Thompson,W.,Axiomatic and Game-Theoretic Analyisis of Bancruptcyand TaxationProblems: asurvey, MathematicalSocial Sciences, 45(2003) 249{ 297. 9. Young,H.P.,Distributive Justice in Taxation,JournalofEconomicTheory, 44(1988)321{335. 10. Young, H. P., Equity, in Theory and Practice. Princeton University Press, Princeton,(1994). DETERMINISTIC AND PROBABILISTIC RATIONING METHODS We investigatedthe minimal variance methods introducedintasn adi[6]basedon sevenpopular axioms. We proved that if adeterministic rationingmethodsatis es demandmonotonicity,resource monotonicity,equal treatment ofequals and self-duality, thanthe minimalvariance methods associatedwiththe givendeterministic rationingmethodalsosatis es demandmonotonicity,resource monotonicity, equal treatment of equals andself-duality. Furthermore, we foundthat the consistency, the lower compositionandthe upper compositionof adeterministic rationingmethod does not imply the consistency, the lower composition and the upper composition of aminimal variance method associated withthe given deterministic rationingmethod.