Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 ) e) (0 0) f) ( 0) 5 g) 8 + i) 4 4 c 5 vektorok tükörképének koordinátáit, ha azokat h) ( 5). Határozd meg az a ( ), b ( ) és ( ) tükrözzük a) az x tengelyre! b) az y tengelyre! c) az origóra! d) az origón áthaladó és az x tengely pozitív felével 45 -os szöget bezáró egyenesre! 4 5 c 8 vektorokat 90 -kal elforgatjuk. Határozd meg az elforgatott. Az a ( ), b ( ) és ( ) helyvektorok koordinátáit! Írd fej azokat a vektorokat is, amelyek az eredeti vektorokból 90 -os elforgatással adódnak! a 5, b ( 4 ) és c ( 58). Számítsd ki a következő vektorok koordinátáit! a) a + b a + b + c b) a c c) a b d) a + b e) 4. Legyen az ( ) Ábrázold a kapott helyvektorokat! 5. Egy háromszög csúcsai: A(8 ), B(6 9), C(4 ) Határozd meg az AB, BC, CA koordinátáit. Rajzold meg az AB -ral, BC - ral és a CA -ral egyenlő helyvektorokat! Számítsd ki a három vektor összegének koordinátáit! Számítsd ki a három vektor hosszát! 6. A koordináta-rendszer origójából egy négyszög csúcsaihoz vezető vektorok rendre a(), b(8), c(86) és d(6). Mutasd meg, hogy a négyszög négyzet, és számítsd ki az oldalak hosszát! 7. Egy háromszög oldalfelező pontjainak koordinátái (-), (46) és (5). Határozd meg a háromszög csúcsainak koordinátáit! 8. Egy rombusz hosszabbik átlója kétszerese a rövidebbik átlójának. A rövidebbik átló végpontjainak koordinátái (-7) és (5). Határozd meg a másik két csúcs koordinátáit és a rombusz területét! 9. Paralelogramma csúcsai-e az alábbi pontok: (-0), (-, (5) és (-7)? 0. Egy paralelogramma két csúcsának koordinátái A(7-) és B(0), a középpontjának koordinátái K(6). Számítsd ki a másik két csúcs koordinátáit, az átlók és az oldalak hosszát!. Egy négyzet két szomszédos csúcsának helyvektorai a(5-) és b(-4. Írd fel a többi csúcs helyvektorait!. Egy négyzet átlóinak metszéspontjának koordinátái (-47), ebből a pontból az egyik oldal felezőpontjába mutató vektor koordinátái (-5). Add meg a négyzet csúcsaiba mutató helyvektorokat és a négyzet területét!
Az egyenes egyenlete. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek a. irányvektora v ( P ( ) ponton b. irányvektora v ( 5) P ( 0 ponton c. irányvektora v ( 9) P ( 70) ponton d. irányvektora v ( 50) P ( ) ponton P 4 e. irányvektora ( 0) v ( ) 4. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek a. normálvektora n( P( ) ponton b. normálvektora n( ) P( 0 ponton c. normálvektora n( P( 70) ponton d. normálvektora n( 0) P( ) ponton e. normálvektora n( 0) P( 4) 5. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek a. áthalad a P ( ) és P ( pontokon b. áthalad a P ( 4 ) és P ( pontokon c. áthalad a P ( 7) és P ( pontokon d. áthalad a P ( ) és P ( pontokon 0 P 0 4 pontokon! e. áthalad a P ( ) és ( ) 6. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek a. meredeksége P ( ) pontokon 5 b. meredeksége P ( 4 ) pontokon c. meredeksége = P 7 pontokon d. meredeksége e. meredeksége = m ( ) ( ) P pontokon m ( 0 ) P pontokon! 7. Add meg a következő egyenesek irányvektorát, normálvektorát! Rendezd át az egyenes egyenletét úgy, hogy fejezd ki belőle az y ismeretlent, és add meg az egyenes meredekségét, és hogy hol metszi az y tengelyt! a. x 4y = v ( ) n ( ) y = b. x + 5y v ( ) n ( ) y = c. 4 y x = v ( ) n ( ) y = d. 6x = 8y 6 v ( ) n ( ) y = e. 0 5y + 5 n y = x v ( ) ( ) 8. Az egyenes négy irányjellemző adatából (α, m, v és n) egyet megadtunk. Add meg a többi jellemző értékét! a. b. v( 7) c. n( 5 ) d. α = 66,04.
9. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek a. irányvektora v( 5) b. normálvektora n( 4 ) P( -) pontot! és egy pontja a P(- 5) pont. c. áthalad a P(- ) és P (4-5) pontokon! d. irányszöge 60, és egy pontja A(40) e. egy pontja P(- ) és meredeksége - f. két pontja A(-4 -) és B(5 6) g. Számítsd ki a fenti egyeneseknek a tengelyekkel közös pontjaik koordinátáit. h. Ábrázold a fenti egyeneseket koordinátarendszerben! 0. a) Add meg az e: x 7y = egyenes egy normálvektorát, egy irányvektorát és a meredekségét! b ) Számold ki annak a pontnak a második koordinátáját, melynek első koordinátája 7, és rajta van az e egyenesen! c ) Rajta van-e az A(- ) pont az e egyenesen?. Ábrázold az egyeneseket koordinátarendszerben! a: 4x + y - b: y = x + c: x 5y 5 e: x + y + 4 f: y = -x - d: y = x +. Egy háromszög három csúcsának koordinátái: A(7 ), B(- 8), C( -5). Írd fel az A csúcsból induló súlyvonal és az a oldalhoz tartozó középvonal egyenletét!. Milyen messze van a ( ) (Talppont: T ( 0), távolság: 5) P pont az e : 4 x y = egyenletű egyenestől? A, egyik átlójának egyenlete e : 5 x + y = 8. Adja meg az oldalegyeneseinek egyenletét! (Csúcsok: B ( ), C(, D ( 6 ), AB : 6 x + 9y = 5, BC : 9x = 5, CD : 6 x + 9y = 8, DA = 9 x = 66) 4. Egy négyzet egyik csúcsának koordinátái ( 7) 5. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A ( 5), B ( 86) és C( 8) induló súlyvonal a B csúcsból induló magasságvonalat? ( s a : 0 x + 5y = 60, : 4x + y = 4, metszéspont az A pont.) m b 6. Egy derékszögű háromszög két csúcsának koordinátái A( ) és B ( 7 ) egyenlete x y =. Adja meg a háromszög területét és kerületét!. Hol metszi az A csúcsból 7. Írd fel az egyenes egyenletét, amely az AB vektorral párhuzamos, és átmegy a P a. A( 5), B(4 ), P( ) b. A(, B( ), P(4., egyik befogójának 8. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos az f : 4y + x = egyenessel, és átmegy a P( 5) 4 9. Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik merőleges az f : y = x + 4 egyenesre, és 7 átmegy a P ( 6)
Körre vonatkozó feladatok 0. Egy rádióadó helye a koordináta-rendszerben a P(5 pont, és az adás egység sugarú körben fogható. Döntsd el az alábbi pontokról ábrázolás nélkül, hogy azokban fogható-e a rádióadás? A( 8, B(0 7), C( 0 0), D(0 8), E(6 ), F(6 ), G( 6).. Írd fel annak a körnek az egyenletét, melynek a. középpontja az origó, sugara 0 egység b. középpontja a C(-) pont, sugara 4 c. középpontja a C(0) pont, sugara 0 d. egy átmérőjének két végpontja A(-- és B(6)!. Írjd fel az A( 6 és B( ) végpontú AB szakasz Thalész-körének egyenletét!. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelyik az ( + ) + ( y a. kétszer akkora sugarú b. áthalad az A( 5) x körrel koncentrikus, és 4. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C pont, és érinti az e egyenest! a. C ( 0 0),e : y = 6 b. C ( ),e : x = c. C ( ),e : 4x y = 7 d. C ( 6,e : x 4y = 6 5. Határozzuk meg a következő körök középpontját és sugarát! a. x + y + 0x 5 b. x + y x y c. x + y + 4x + y + d. x 7x + y + y +, 5 6. Válasszuk ki az alábbi egyenletekből a köregyenleteket! a. x + y + 0x + 9 b. 8x + 8y 4x + y + 9 c. x y x + y + d. x + y + 4x + y 7. Határozd meg a következő egyenletekkel megadott körök középpontját, sugarát! a. x + y 4x + 89 b. x + y +, 5x + 5y + 85, c. 4x + 4y + 8x 8y d. x + 4x + y 8y B, és középpontja illeszkedik a y = x + 6 egyenesre. Válaszd ki, hogy a következő egyenletek közül melyik lehet k egyenlete! 8. A k kör két pontja A ( ) és ( 67) a. x + y x y 6 b. x + y + 4x 8y 6 c. x + y 4x 8y 5 d. x + y 8x + 6y + 5 9. Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek érintője az = 4 P 54 pont, és a sugara 7 egység. Az egyenletet összeg alakban add meg! 40. Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely felezi a x + y + 0x + 4y + 4 egyenletű kör A pontra! területét, és illeszkedik az ( 5) y egyenes, azon az érintési pont a ( )
4. Az ABC derékszögű háromszög átfogójának két végpontja: A és B. A harmadik csúcsról tudjuk, hogy valamelyik koordinátatengelyre illeszkedik. Határozd meg a háromszög harmadik csúcsát! (Ügyelj a megoldások számára is!) a. A ( 7 7),B( ) b. A ( 6),B( 4 6) c. A ( 5 ),B( 5 6) d. A( 6),B( 6 ) Kör és egyenes 4. Írjuk fel annak a körnek az egyenletét, amelyik érinti mindkét koordinátatengelytz a. A ( 8) b. B ( 8 ) c. C( 4) d. D ( 8 9) 4. Írd fel a k kör P pontjába húzható érintőjének egyenletét! k : x + y + = 5, P 5 a. ( ) ( ) ( ) b. k : ( x ) + ( y ) 0, P( 7 ) c. x + y + 8x + y 7, P( 8 ) d. x + y + 8x 4y 5, P( 4 ). 44. Írd fel az x + y = 69 egyenletű kör 5 abszcisszájú pontjaiba húzható érintők egyenletét! 45. Egy kör átmegy az A( 6 ) és ( B pontokon. Az e : x + 7y = egyenletű egyenes átmegy a kör középpontján. Írd fel a kör egyenletét! 46. Határozd meg az ( ) + ( y + 5) x és az a. y + x = 5 b. x + y = c. x + y = egyenletű egyenes metszéspontjainak a számát! 47. Az ( x ) + ( y + ) = 5 egyenletű körnek mely pontjai vannak egyenlő távolságra az ( 8) B ( 0 pontoktól? A és a 48. Határozd meg a kör és egyenes kölcsönös helyzetét az alábbi feladatokban! Ha az egyenes metsző vagy érintő, akkor határozd meg az érintési, illetve a metszéspontokat is! a. ( x + ( y + ) = 5 és y = x + b. ( ) + ( y + 5) 0 x és x = 7 c. x + y + 6x + 4y és y = x 4 d. ( 6) + ( y + 9) = 69 x és x + y =. 49. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának két csúcsa A ( 5) és B ( 0 ) x + y x 90 egyenletű körön található. a. Melyek a háromszög harmadik csúcsának koordinátái? b. Határozd meg a háromszög(ek) súlypontját! c. Határozd meg a háromszög alapjának hosszát! d. Mekkora a háromszög(ek) területe?, a harmadik csúcs az