Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4; E; 12; B; 1; A; 9; G DEFINÍCIÓ: (Vonal) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben az élek nem ismétlődhetnek, de a csúcsok igen, vonalnak nevezzük. Egy lehetséges vonal: D; 4; E; 12; B; 11; G; 9; A; 1; B; 2; C Megjegyzés: Abban az esetben, ha a vonal kezdőpontja megegyezik a végpontjával, akkor zárt vonalról, ellenkező esetben pedig nyílt vonalról beszélünk. DEFINÍCIÓ: (Út) A G gráf egy élsorozatát, amelyben az élek és a csúcsok sem ismétlődhetnek, útnak nevezzük. 1
Egy lehetséges út: H; 7; G; 9; A; 1; B; 10; F; 5; E; 4; D Megjegyzés: Szemléletesen: Az út olyan vonal, amely sehol sem metszi önmagát. Az út hossza alatt az út által tartalmazott élek számát értjük. DEFINÍCIÓ: (Távolság) Egy G gráf két csúcsának távolságán az azokat összekötő legrövidebb út hosszát értjük. Megjegyzés: Ha két csúcsot nem köt össze út, akkor a két pont távolságát végtelennek tekintjük. DEFINÍCIÓ: (Átmérő) Egy G gráf csúcsai közötti távolság maximumát a gráf átmérőjének nevezzük. Jele: diam(g). DEFINÍCIÓ: (Kör) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben az élek és a csúcsok sem ismétlődhetnek, kivéve a kezdő és végpontokat, melyek megegyeznek, körnek nevezzük. Egy lehetséges kör: B; 1; A; 9; G; 6; F; 10; B 2
Megjegyzés: Szemléletesen: A kör olyan út, melynek kezdő és végpontja megegyezik. A kör hossza alatt a kör által tartalmazott élek számát értjük. DEFINÍCIÓ: (Összefüggő gráf) Egy G gráfot összefüggőnek nevezünk, ha bármely csúcsból vezet bármely másik csúcsba út. Megjegyzés: Szemléletesen: Az összefüggő gráf nem tartalmaz izolált csúcsot. TÉTEL: Ha egy összefüggő gráfban minden csúcs fokszáma legalább 2, akkor a gráfban van kör. TÉTEL: Ha egy egyszerű gráf bármely csúcspontjának foka legalább k (k > 1), akkor van a gráfban egy legalább k + 1 hosszúságú kör. TÉTEL: Egy összefüggő gráfban bármely kör élét elhagyva összefüggő marad. TÉTEL: Az n csúcsú összefüggő, egyszerű gráfnak legalább n 1 darab éle van. TÉTEL: Ha egy n csúcsú összefüggő gráfban n nél kevesebb él van, akkor a gráf tartalmaz elsőfokú csúcsot. 3
DEFINÍCIÓ: (Fagráf) Egy összefüggő, egyszerű G gráfot fa gráfnak nevezünk, ha nem tartalmaz kört. Megjegyzés: Egy fagráf bármely két pontját összekötve, a kapott gráfban már lesz kör. Egy fagráf bármely élét elhagyva, a kapott gráf már nem lesz összefüggő. Ezek alapján az n pontú összefüggő gráfok közül a fagráfnak van a legkevesebb éle és a fa gráf a maximális élszámú körmentes gráf. A fagráf elsőfokú csúcsait leveleknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Feszítő fa) Egy G gráf feszítőfájának nevezzük a G - t, ha G fa és részgráfja G nek, illetve G minden csúcsa G - nek is csúcsa. Megjegyzés: Minden egyszerű, összefüggő gráfnak van feszítő fája. TÉTEL: Egy n csúcsú fagráfnak pontosan n 1 éle van. TÉTEL: Egy fagráf bármely két csúcsa között pontosan egy út létezik. TÉTEL: Bármely fagráfban van legalább két elsőfokú csúcs. TÉTEL: (Cayley) Az n csúcspontú K n teljes gráf különböző feszítőfáinak a száma: n n 2. 4
Utazó ügynök problémája: Az utazó ügynök problémája azt jelenti, hogy a kereskedelmi utazónak adott városokat kell bejárnia, oly módon, hogy minden városba csak egyszer megy el, és végül visszatér a cégének székhelyére. Mivel egy - egy útnak jól meghatározott útiköltsége is van, így több út esetén célszerű azt az utat választania, melynek költsége minimális. Súlyozott gráf minimális feszítőfájának keresése: Egy gráfot súlyozottnak nevezünk, ha minden éléhez hozzá van rendelve egy valós szám. A gráf feszítőfáját minimálisnak mondjuk, ha az éleihez rendelt súlyok összege minimális. Kruskal - algoritmus: Először válasszuk a gráf éleiből a minimális súlyú e 1 et. Ezt követően a megmaradó élekből válasszuk a minimális súlyú e 2 t úgy, hogy az előzőleg választott éllel ne alkosson kört. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg tudunk olyan minimális súlyú élt kiválasztani, mely az előzőleg választott élekkel nem alkot kört. Amennyiben több ilyen él nem létezik, akkor az algoritmus véget ért. Prim - algoritmus: Először válasszuk ki a gráf egy tetszőleges v 1 csúcsát. Ezután kiválasztunk az erre a csúcsra illeszkedő élek közül egy minimális súlyú e 1 et, s legyen ennek a másik végpontja v 2. A következő lépésben a v 1, illetve v 2 csúcsokra illeszkedő élek közül választunk egy minimális súlyú e 2 t úgy, hogy az előzőleg választott éllel ne alkosson kört, s legyen ennek a másik végpontja v 3. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg van a gráfnak még választható pontja. Amennyiben a gráf csúcsai elfogytak, akkor az algoritmus véget ért. DEFINÍCIÓ: (Komponens) Egy G gráfnak az összefüggő maximális részgráfjait G komponenseinek nevezzük. A részgráf maximális abban az értelemben, hogy nem lehet növelni G csúcsainak vagy éleinek hozzá vételével, mert akkor már nem lenne összefüggő. 3 komponensű gráf: Megjegyzés: Szemléletesen: A komponensek egy nem összefüggő gráf összefüggő részei. 5
DEFINÍCIÓ: (Erdő) Egy G gráfot erdőnek nevezünk, ha komponensei fák. TÉTEL: Ha egy gráf erdő és k komponensből áll, akkor a csúcsok és élek számának különbsége k. DEFINÍCIÓ: (Euler vonal) A G gráf egy vonalát Euler vonalnak nevezzük, ha a gráf minden élét tartalmazza. Egy lehetséges Euler vonal: F; 6; A; 1; B; 2; C; 3; D; 4; E; 8; B; 7; F; 5; E Megjegyzés: A zárt Euler vonallal rendelkező gráfot Euler gráfnak nevezzük. TÉTEL: Egy összefüggő gráfnak pontosan akkor van zárt Euler - vonala, ha minden csúcsának fokszáma páros. TÉTEL: Egy összefüggő gráfnak pontosan akkor van nyílt Euler - vonala, ha pontosan kettő páratlan fokszámú csúcsa van. (Ekkor éppen ez a két csúcs az Euler vonal kezdő, illetve végpontja.) DEFINÍCIÓ: (Hamilton út) A G gráf egy útját Hamilton útnak nevezzük, ha a gráf minden csúcsát tartalmazza. 6
Egy lehetséges Hamilton út: A; 1; B; 7; F; 5; E; 4; D; 3; C DEFINÍCIÓ: (Hamilton kör) A G gráf egy körét Hamilton körnek nevezzük, ha a gráf minden csúcsát tartalmazza. Egy lehetséges Hamilton kör: D; 3; C; 2; B; 1; A; 6; F; 5; E; 4; D TÉTEL: Ha egy egyszerű, összefüggő gráfnak n csúcsa van (n > 2) és minden csúcsának a foka legalább n, akkor van a gráfnak Hamilton - köre. 2 TÉTEL: Ha egy egyszerű, összefüggő gráfnak van olyan k csúcsa, melyek törlése után k + 1 komponensére esik szét, akkor nincs a gráfnak Hamilton - köre. TÉTEL: Ha egy egyszerű, összefüggő gráfnak van olyan k pontja, melyek törlése után k + 2 komponensre esik szét, akkor nincs a gráfnak Hamilton útja, s így Hamilton - köre sem. Megjegyzés: Általános esetben Hamilton kör és Hamilton út keresésére ma sem ismert igazán jó algoritmus. A fentebb közölt két utolsó tételben a feltétel csak szükséges és nem elégséges, azaz előfordulhat, hogy akkor sincs a gráfban Hamilton kör vagy Hamilton út, ha csak k komponensre esik szét. 7
Síkba rajzolható gráfok, gráfok színezése DEFINÍCIÓ: (Síkgráf) Egy G gráfot síkba rajzolható gráfnak (síkgráfnak) nevezünk, ha úgy ábrázolhatjuk a síkon, hogy éleinek a csúcsokon kívül nincs közös pontjuk, vagyis az élek nem keresztezik egymást. Topológikus bővítés szűkítés: Gráfok síkba rajzolhatóságát nem befolyásolja, ha valamely élükön egy új másodfokú csúcspontot veszünk fel (bővítés), vagy ha valamely két élét a gráfnak, amelyek ugyanarra a másodfokú csúcsra illeszkedtek egybeolvasszuk, s a csúcsot töröljük (szűkítés). DEFINÍCIÓ: (Topológikusan izomorf) A G gráfot a G gráffal topológikusan izomorfnak nevezzük, ha G - ből véges sok topológikus szűkítéssel, illetve bővítéssel G - vel izomorf gráf állítható elő. DEFINÍCIÓ: (Tartomány) Egy G gráfnak azon minimális köreit, melyek a belsejükben már nem tartalmaznak a gráfnak semmilyen pontját, tartományoknak (országoknak) nevezzük. Két tartományt szomszédosnak szokás nevezni, ha van közös élük. Három ház három kút probléma: Egy mezőn három házat építettek és a lakóknak három kutat ástak. Mivel a kutak gyakran kiszáradnak, ezért minden házból minden kúthoz utat kell építeni. Ám a házak lakói haragban vannak egymással. Megépíthetőek - e az utak úgy, hogy ne keresztezzék egymást? 8
Kuratowski féle gráfok: Az öt csúcsú teljes gráfot és a három ház három kút gráfot együttesen Kuratowski féle gráfoknak nevezzük. TÉTEL: (Euler - formula) Ha egy gráf síkgráf, akkor teljesül, hogy c e + t = k + 1, ahol e az élek, c a csúcsok, t a tartományok és k a komponensek számát jelöli. TÉTEL: A Kuratowski - féle gráfok nem rajzolhatóak síkba. TÉTEL: (Kuratowski - tétele) Egy gráf pontosan akkor síkgráf, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely topológikusan izomorf az öt csúcsú teljes gráffal vagy a három ház három kút gráffal. Megjegyzés: Szemléletesen: Egy G gráf akkor és csak akkor síkgráf, ha nem tartalmaz olyan részgráfot, amely vagy ötcsúcsú teljes gráffá vagy három ház három kút gráffá vonható össze. A gráf összevonásán a másodrendű csúcsok megszüntetését értjük. TÉTEL: Ha egy G gráf síkba rajzolható, akkor van olyan síkba rajzolása, melyben minden él egyenes szakasz. TÉTEL: Ha G egyszerű, síkba rajzolható gráf, akkor a minimális fokszáma legfeljebb 5. TÉTEL: Ha G egyszerű, síkba rajzolható gráf és pontjainak száma legalább 3, akkor teljesül, hogy e 3c 6, ahol e az élek és c a csúcsok számát jelöli. TÉTEL: Ha G egyszerű, síkba rajzolható gráf, melynek minden köre legalább 4 hosszú és csúcsainak száma legalább 4, akkor teljesül, hogy e 2c 4, ahol e az élek, c a csúcsok számát jelöli. 9
Sztereografikus projekció: A sztereografikus projekcióval a síkon ábrázolhatunk egy gömbre rajzolt gráfot és fordítva, egy síkba rajzolt gráfot izomorf módon ábrázolhatunk a gömbön. Térképészetben gyakran használt eljárás, hogy egy G gömb és egy S sík pontjai között létesítünk egy megfeleltetést. Amennyiben a G gömbünk egy D pontban érinti a síkot, akkor a D pont átellenes pontja legyen E. A sík valamely P pontjának gömbi megfelelőjét úgy kapjuk meg, hogy a P - t E - vel összekötő egyenesnek vesszük a G gömbbel vett metszéspontját, s ezt jelöljük P - vel. Poliéderek: A poliéder egy olyan térbeli test, amelyet minden oldalról síkok határolnak. Megjegyzés: A poliéder élei és csúcsai olyan szabályos síkgráfot alkotnak, melyben minden csúcspont fokszáma egyenlő és minden tartományt ugyanannyi él határol. Szabályos poliéderek: Szabályosnak nevezünk egy konvex poliédert, ha minden lapja egybevágó szabályos sokszög és minden testszöglete is szabályos, azaz élei, élszögei és lapszögei egyenlők. Összesen 5 szabályos poliéder létezik, s ezek a következők: Tetraéder: Hexaéder: (Kocka) 10
Dodekaéder: Oktaéder: Ikozaéder: Szabályos poliéderek tulajdonságai: Fokszám Tartományokat határoló élek Csúcs Él Tartomány Típus 3 3 4 6 4 Tetraéder 3 4 8 12 6 Kocka 3 5 20 30 12 Dodekaéder 4 3 6 12 8 Oktaéder 5 3 12 30 20 Ikozaéder TÉTEL: (Euler féle poliéder tétel) Ha egy egyszerű poliéder csúcsainak száma c, lapjainak száma l, és éleinek száma e, akkor teljesül, hogy c + l e = 2. 11
DEFINÍCIÓ: (k színezhető gráf) Egy G síkgráfot k - színezhetőnek nevezünk, ha tartományait ki lehet festeni k színnel úgy, hogy bármely két szomszédos tartomány különböző színű. 2 színnel kiszínezhető gráf DEFINÍCIÓ: (Kromatikus szám) A k számot a G gráf kromatikus számának nevezzük, ha a gráf csúcsai kiszínezhetőek k színnel úgy, hogy az éllel összekötött csúcsok színei különbözőek lesznek. Jele: χ (G). Kromatikus szám: 3 DEFINÍCIÓ: (Kromatikus index) A k számot a G gráf kromatikus indexének (élkromatikus számának) nevezzük, ha a gráf élei kiszínezhetőek k színnel úgy, hogy a szomszédos élek, azaz egy csúcsra illeszkedő élek színei különbözőek lesznek. Jele: χ e (G). Kromatikus index: 3 DEFINÍCIÓ: (Páros gráf) Egy G gráfot páros gráfnak nevezünk, ha a csúcsai két színnel kiszínezhetőek úgy, hogy azonos színű csúcsokat nem köt össze él. TÉTEL: Ha a G páros gráf, akkor bármely körének az éleinek száma páros. TÉTEL: Ha a G gráf egyszerű, akkor χ (G) (G) + 1. TÉTEL: (Vizing) Ha a G gráf egyszerű, akkor χ e = (G) vagy χ e = (G) + 1. 12
Duális gráf: Egy G gráf minden T i tartományában vegyünk fel egy u i pontot. Legyen az e s olyan éle G - nek, mely a T i és T j tartományok határán fekszik, s ekkor vezessen e s él u i - ból u j - be. Az így felvett csúcsok és az őket összekötő élek alkotják a G duális gráfját. A fekete gráf duálisa a piros gráf. Megjegyzés: Térképek színezésénél szokásos eljárás az, hogy szomszédos országokat különböző színekkel színeznek ki. Ha az adott síkbarajzolható G gráf duálisa G, akkor a G gráf k színnel való színezhetősége G - re vonatkozólag azt jelenti, hogy G csúcsait ki lehet színezni k színnel úgy, hogy szomszédos csúcsok színei különbözőek (bármely élének két végpontja különböző színű). A színezési probléma duális gráfra való átfogalmazása lehetőséget ad arra, hogy tetszőleges gráf színezhetőségéről beszéljünk. Színezés esetén egyszerű gráfokról célszerű beszélni: párhuzamos élek nem változtatják meg a csúcsok színezhetőséget, hurokél esetén pedig a csúcs nem színezhető ki semmire, mert szomszédos önmagával. TÉTEL: (Ötszín - tétel) Bármely síkbarajzolható sokszöggráf kiszínezhető öt színnel. Négyszín - sejtés: A négyszín sejtés alatt azt értjük, hogy minden térkép kiszínezhető legfeljebb négy színnel úgy, hogy egy - egy él mentén a szomszédos tartományok színe különböző legyen. Keneth Appel és Wolfgang Haken 1976 - ban közölte, hogy sikerült bizonyítaniuk a négyszín - tételt. A lehetséges konfigurációk ezreit tárták fel, melyek leírása mintegy 1000 oldalt tett ki a segédtételek bizonyításával. A feltárt konfigurációk többsége olyan bonyolult volt, hogy hagyományos módon történő ellenőrzésük meghaladta az ember teljesítőképességét, így a bizonyítást csak a kor nagyteljesítményű számítógépeinek alkalmazásával (kb. 1200 órás gépidő felhasználásával) tudták végrehajtani. A matematikusok egy része ma is vitatja azt, hogy egy tételnek a számítógépes bizonyítása elfogadható - e. Bizonyításukban azóta többször is találtak hibát, de azok javíthatónak bizonyultak. Azt azonban be lehet látni, hogy legalább 4 szín kell a síkbeli gráfok kiszínezéséhez (pl.: tetraéder síkba rajzolt gráfja). 13
1. Rajzolj olyan fagráfot, amelyben a csúcsok fokszáma: 1; 1; 1; 1; 2; 2; 4! Egy lehetséges összefüggő, körmentes fagráf a következő: 2. Döntsük el, hogy melyik fa az alábbi gráfok közül! Mennyi a levelek a száma? Mivel a második gráfban van kör, a harmadik gráf pedig nem összefüggő, így azok nem fagráfok. Az első gráfban a levelek (első fokú csúcsok) száma 4, a harmadikban pedig 5. 3. Mennyi pontja és mennyi levele lehet annak a fának, amelyben a pontok fokszámainak összege 16? Mivel a fokszámok összege 16, így az élek száma 16 = 8, a csúcsok száma pedig: 8 + 1 = 9. 2 Mivel minden fának van legalább két elsőfokú csúcsa, így a levelek száma ezek alapján lehet 2; 3; 4; 5; 6; 7 vagy 8. 4. Lehetséges e 30 gépet összefüggő hálózatba kötni 28 kábellel? A rendszert tekintsük gráfként. A minimális összefüggő gráfok a fagráfok. Mivel egy 30 csúcsú fa gráfnak 30 1 = 29 éle van, így nem lehetséges a megvalósítás. 14
5. Írjuk fel a 3960 prímtényezős felbontását és ábrázoljuk fagráffal! A 3960 prímtényezős felbontása: 3960 = 2 3 3 2 5 11. Egy lehetséges fagráf a következő: 6. Mennyi pontból áll az az erdő, melynek 5 fájában összesen 16 él van? Az erdő olyan gráf, melynek komponensei fák. Legyen a komponensek csúcsainak a száma: a; b; c; d; e. Ekkor az élek száma: a 1; b 1; c 1; d 1; e 1. Ebből felírható a következő egyenlet: (a 1) + (b 1) + (c 1) + (d 1) + (e 1) = 16. Ezek alapján kapjuk, hogy a + b + c + d + e = 21, vagyis a csúcsok száma 21. 7. Rajzolj olyan erdőt, amely 4 komponensből és 10 csúcsból áll! Mennyi éle van? Az élek száma 10 4 = 6. Egy lehetséges erdő a következő: 15
8. Határozd meg a következő gráf egy minimális súlyú feszítőfáját! A minimális súlyú feszítőfát a Kruskal -, illetve Prim algoritmussal határozhatjuk meg. Kruskal algoritmussal: Először válasszuk ki az 1 súlyú éleket úgy, hogy ne alkossanak kört az előzőleg kiválasztott élekkel: AB EI KL. Ezt követően válasszuk ki a 2 súlyú éleket az előzőhöz hasonlóan: AE CD FG GH IJ HK. Ezután válasszuk ki a 3 súlyú élt: JK. A 4 súlyú éleket nem választhatjuk, mert kört alkotnának korábbi élekkel. Végül válasszuk az 5 súlyú BC élt. A további 6, 7 és 8 súlyú éleket már nem választhatjuk, mert bármelyik élt is választanánk, a gráfban lenne kör. Ezek alapján egy minimális súlyú feszítőfa a következő: Prim algoritmussal: Először válasszunk ki tetszőlegesen egy csúcsot, legyen ez most az F csúcs. Az erre illeszkedő minimális súlyú él az FG él. Ezt követően az F és G csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él a GH él. Ezután az F, G, H csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él a HK él. Ezt követően az F, G, H, K csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él a KL él. Ezt követően az F, G, H, K, L csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él a JK él. Ezután az F, G, H, J, K, L csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él az IJ él. Ezt követően az F, G, H, I, J, K, L csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él az EI él. Ezután az E, F, G, H, I, J, K, L csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él az AE él. Ezt követően az A, E, F, G, H, I, J, K, L csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él az AB él. Ezután az A, B, E, F, G, H, I, J, K, L csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él a BC él. Végül az A, B, C, E, F, G, H, I, J, K, L csúcsokra illeszkedő minimális súlyú él a CD él. Mivel a gráfnak nincs több csúcsa, így az algoritmus végére értünk. Ezzel a módszerrel ugyanazt a feszítő fát kaptuk vissza, mint az előző algoritmussal. Ezek alapján a feszítő fa minimális súlya: 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 = 23. 16
9. Keress maximális költségű favázat az alábbi gráfban! A maximális súlyú feszítőfát a Kruskal - és Prim algoritmussal szintén meghatározhatjuk. Kruskal algoritmussal: Először válasszuk ki a 9 súlyú éleket úgy, hogy ne alkossanak kört az előzőleg kiválasztott élekkel: CH EI. Ezt követően válasszuk ki a 8 súlyú éleket az előzőekhez hasonlóan: BH CD EF EH (a DI t nem választhatjuk, mert akkor lesz kör). A 6 súlyú élt nem választhatjuk, mert akkor kört alkotna korábbi élekkel. Ezután válasszuk ki az 5 súlyú élt: AB. Végül a két 4 súlyú él közül válasszuk ki az egyiket, legyen ez a BG él. A másik élt, illetve a 3, 2 és 1 súlyú éleket már nem választhatjuk, mert bármelyik élt is választanánk, a gráfban lenne kör. Ezek alapján egy minimális feszítőfa a következő: Prim algoritmussal: Először válasszunk ki tetszőlegesen egy csúcsot, legyen ez most a G csúcs. Az erre illeszkedő egyik maximális súlyú él az AG él. Ezt követően az A és G csúcsokra illeszkedő maximális súlyú él az AB él. Ezután az A, B, G csúcsokra illeszkedő maximális súlyú él a BH él. Ezt követően az A, B, G, H csúcsokra illeszkedő maximális súlyú él a CH él. Ezt követően az A, B, C, G, H csúcsokra illeszkedő egyik maximális súlyú él a CD él. Ezután az A, B, C, D, G, H csúcsokra illeszkedő egyik minimális súlyú él a DI él. Ezt követően az A, B, C, D, G, H, I csúcsokra illeszkedő maximális súlyú él az EI él. Végül az A, B, C, D, E, G, H, I csúcsokra illeszkedő maximális súlyú él az EF él. Mivel a gráfnak nincs több csúcsa, így az algoritmus végére értünk. Ezzel a módszerrel a következő feszítőfát kaptuk: 17
Ezek alapján mind a két feszítőfa maximális súlya: 9 + 9 + 8 + 8 + 8 + 8 + 5 + 4 = 59. 10. Van e olyan fagráf, melyben van nyitott Euler vonal? Mivel a nyitott Euler - vonal feltétele két páratlan fokú csúcs létezése, s minden fában van legalább két elsőfokú csúcs, így a lehetséges gráfban lennie kell két elsőfokú csúcsnak, s több páratlan fokú csúcs nem lehet benne. Ebben az esetben viszont a fa nem tartalmazhat elágazást, vagyis egy ilyen lehetséges gráf a következő: 11. Van e olyan gráf, amelyben van zárt és nyílt Euler vonal is? Mivel a nyílt Euler vonal feltétele az, hogy legyen benne pontosan két páratlan fokú csúcs, a zárt Euler vonal feltétele pedig, hogy csak páros fokú csúcsok lehetnek a gráfban, így nincs ilyen gráf. 12. Van e olyan séta, amely út, de nem vonal? Nincs, mert ha egy séta nem vonal, akkor van olyan él melyen kétszer is áthalad, vagyis annak végpontjain is, így nem lehet út. 18
13. A 18. században Königsberg városát a Pergel folyón 7 híd kötötte össze (lásd: ábra). a) Vasárnaponként a város lakói szívesen sétálgattak, és felvetették a következő kérdést: lehetséges - e, hogy valaki a lakásából indulva minden hídon átsétáljon, majd hazaérkezzen úgy, hogy egyik hídon se menjen át egynél többször? (A problémával Eulerhez fordultak, aki a szentpétervári akadémia tanára volt.) b) Van - e olyan városrész, amelyből indulva bejárhatjuk a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjünk át, de nem kell feltétlenül visszaérkeznünk a kiindulási helyre? c) Legkevesebb hány hidat kell építeni, és hova, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudjuk járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjünk át, és nem kell feltétlenül visszaérkeznünk a kiindulási helyre? d) Legkevesebb hány hidat kell építeni és hová, hogy legyen olyan városrész, amelyből indulva be tudjuk járni a hidakat úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer menjünk át és visszaérkezzünk a kiindulási helyre? Tekintsük azt a gráfot, mely a város részeit szemlélteti: a csúcsok a szigetek és partokat jelölik, az élek pedig a hidakat. a) A kérdést megfogalmazhatjuk úgy is, hogy van - e az adott gráfnak zárt Euler - vonala? Mivel a gráfban szerepel páratlan fokszámú csúcs, ezért ez az eset nem lehetséges. 19
b) A kérdést megfogalmazhatjuk úgy is, hogy van - e az adott gráfnak nyílt Euler - vonala? Mivel 4 olyan csúcs van, melynek fokszáma páratlan, ezért ez az eset sem teljesülhet. c) Mivel akárhova építünk egy hidat, akkor már csak két csúcs fokszáma lesz páratlan, így bárhová is építünk egy hidat, lesz a gráfban nyílt Euler vonal. d) Ebben az esetben 2 hidat kell építenünk két - két különböző városrész között, mert akkor minden csúcs fokszáma páros lesz, s így a gráfban lesz zárt Euler vonal. 14. Lerajzolhatóak - e a következő ábrák a ceruza felemelése nélkül úgy, hogy minden vonalon pontosan egyszer haladjunk végig? A feladatot átfogalmazva az a kérdés, van-e a gráfokban nyílt Euler vonal? Az első, negyedik és ötödik gráfban minden csúcs fokszáma páros, ezért van zárt Euler vonala, tehát még az is lehetséges, hogy a kiindulási pontba visszatérjünk. A harmadik gráfban a páratlan fokú csúcsok száma pontosan 2, ezért található benne nyílt Euler vonal, így az ábra lerajzolható, s ezen két csúcs valamelyikéből kell indulnunk. A második és hatodik gráfban a páratlan fokú csúcsok száma 4, így azokat nem lehet lerajzolni a ceruza felemelése nélkül. 20
15. Legalább hányszor kell felemelni a ceruzát és egy másik pontban folytatni a rajzolást, hogy megrajzoljuk az ábrát úgy, hogy egyik szakaszt se rajzoljuk át egynél többször? A felemelés miatt új éleket kell az ábrába rajzolnunk úgy, hogy a gráfban legyen legalább nyílt Euler vonal. Mivel a páratlan fokszámú csúcsok száma 8, ezért minimum 3 élt be kell rajzolnunk ahhoz, hogy végig tudjunk menni rajta minden élt érintve. Az új éleket csak páratlan fokszámú csúcsokhoz húzhatjuk, s egy ilyen csúcshoz csak egy új él tartozhat, ezáltal egy olyan gráfot kapunk, melyben a páratlan fokszámú csúcsok száma pontosan 2 lesz. Egy ilyen lehetséges megoldás a következő: Amennyiben 4 élt is behúzunk a páratlan fokú csúcsokhoz az előzőeknek megfelelően, akkor akár a kezdőpontba is érkezhetünk végül. Egy ilyen lehetséges megoldás a következő: 21
16. A térképen látható városrész pirossal jelzett utcáit egy meleg nyári nap estéjén locsoló kocsival locsolják. Lehetséges - e, hogy a locsoló kocsi minden utcán végigmenjen, de egyik utcán se menjen végig egynél többször? A térképet gráfként tekintve, a feladat szerint egy nyílt Euler vonalat kell bejárnia a kocsinak. Mivel a páratlan fokszámú csúcsok száma 10, így ez nem lehetséges. 17. Betörőt fogtak a bankban, melynek alaprajza az ábrán látható. A betörőt a széf kinyitása közben fülelték le, és a biztonsági rendszer segítségével megállapították, hogy mire odáig eljutott, minden ajtón pontosan egyszer ment át. Melyik helyiségben van a széf? Tekintsük azt a gráfot, amelyben a csúcsok a helyiségeket, az élek az ajtókat szemléltetik. A gráfban pontosan 2 csúcs fokszáma páratlan, ezért található benne nyílt Euler - vonal. Mivel a rabló a B helyiségből indult, ezért a széf csak H - ban lehet. 22
18. Az ábra 9 falu közötti úthálózatot mutatja, az utakra írt számok a falvak távolságát jelentik kilométerben. Az utak állapotát ellenőrzik, ezért egy autó indul az A faluból, és végigjárja az összes utat. Milyen útvonalat válasszon, hogy az összes útszakaszt megnézze és a lehető legrövidebb úton visszatérjen A - ba? Mivel csak a legrövidebb élek csúcsainak fokszáma páratlan, ezért elegendő, ha ezzel a 3 éllel húzunk párhuzamos éleket, s akkor már minden csúcs fokszáma páros lesz, vagyis a gráf tartalmazni fog zárt Euler vonalat. Ezek alapján a legrövidebben úgy tudunk körbemenni az utakon, ha a 3 legkisebb útszakaszt kétszer járjuk be. 23
19. Határozd meg a kocka gráfjának az átmérőjét! A kocka egy lehetséges gráfja a következő: A gráf átmérője a csúcsok közötti távolságok maximuma, vagyis kocka esetén a testátló, azaz A és G távolsága. Ezek alapján a kocka átmérője: diam (G) = 3. 20. Tekintsük egy kocka csúcsait és éleit egy gráf csúcsainak, illetve éleinek. a) Végig mehet - e egy légy a kocka élein úgy, hogy minden csúcsot egyszer érint? b) Végig mehet - e egy légy a kocka élein úgy, hogy minden élen egyszer megy át? c) Hány testátlót kell felvenni a kockában, hogy a légy végigmehessen az éleken és a testátlókon úgy, hogy minden élen és testátlón pontosan egyszer haladjon végig? A kockának megfelelő gráfot ábrázolhatjuk a következőképpen: a) A kérdés átfogalmazva az, hogy van - e a gráfban Hamilton - út? A gráfban található Hamilton kör is, ami azt jelenti, hogy a légy akár vissza is tud térni a kiindulási pontba. Egy ilyen lehetséges bejárás a következő: 24
b) A kérdés átfogalmazva az, hogy van - e a gráfban nyílt Euler - vonal? Mivel a gráfban minden csúcs fokszáma páratlan, ezért nincs nyílt Euler vonala, tehát nem tud a légy végighaladni az összes élen a feltételnek megfelelően. c) Amennyiben a 4 testátlóból behúzunk tetszőlegesen hármat, akkor már csak két csúcsnak lesz a fokszáma páratlan, tehát lesz nyílt Euler vonal a gráfban. Továbbá, ha mind a 4 testátlót behúzzuk, akkor minden csúcs fokszáma páros lesz, tehát lesz zárt Euler vonala is a gráfnak, s akkor a kiindulási pontba is visszatérhet a légy. 21. Van e Hamilton - kör a szabályos poliéderek gráfjaiban? Tekintsük a szabályos poliéderek síkba rajzolt gráfjait, s a jelöljük piros vonallal egy egy lehetséges Hamilton kört az adott gráfban. Tetraéder: Hexaéder: (Kocka) Dodekaéder: 25
Oktaéder: Ikozaéder: 22. A 4 x 4 es sakktáblát be lehet - e járni egyetlen lóval lóugrásokkal úgy, hogy mindig olyan mezőre lépünk, melyen korábban még nem jártunk? Tekintsük a sakktáblát egy gráfként, melyben a csúcsok a tábla mezőit jelölik az élek pedig azt, hogy a lóval merre léphetünk az adott mezőről. A kérdés az, hogy van e a gráfban Hamilton út? Mivel a 4 sarok fokszáma 2, a másik 8 szélső csúcs fokszáma 3 és a 4 belső csúcs fokszáma pedig 4, így töröljük a 4 fokszámú csúcsokat, a rájuk illeszkedő élekkel együtt. 26
Mivel a 4 csúcs törlése után a gráf 6 komponensre esik szét, így nincs a gráfban Hamilton út, vagyis nem lehetséges a sakktábla ilyen típusú bejárása. 23. Az 5 x 5 ös sakktáblát be lehet - e járni egyetlen lóval lóugrásokkal oly módon, hogy mindig olyan mezőre lépünk, melyen korábban még nem jártunk? Tekintsük a sakktáblát egy gráfként, melyben a csúcsok a tábla mezőit jelölik az élek pedig azt, hogy a lóval merre léphetünk az adott mezőről. A kérdés az, van - e a gráfnak Hamilton útja? Mivel a 4 sarok fokszáma 2, a sarkok melletti csúcsok fokszáma 3, a többi (középső) szélső csúcsok fokszáma 4, a belső csúcsok fokszáma 4 és 6, illetve a középső (3. sor 3. oszlop) csúcs fokszáma pedig 8, így töröljük a 6 fokszámú csúcsokat, s a rájuk illeszkedő éleket. 27
Mivel a 4 pont törlése után a gráf 5 komponensre esik szét, így biztosan nincs Hamilton kör benne. Ezután töröljük a 8 fokszámú csúcsot is, a rá illeszkedő élekkel együtt. Ezzel egy kört kapunk, s a komponensek száma továbbra is 5 marad. Amennyiben törlünk még egy további pontot, s a rá illeszkedő éleket, akkor továbbra is 5 komponensünk marad. Ezt folytatva, sosem fogunk tudni annyi csúcsot törölni, hogy a gráfunk kettővel több komponensre essen szét, mint amennyi a törölt csúcsok száma. Ezek alapján nem zárható ki, hogy az eredeti gráfban van - e Hamilton út. A próbálgatások után látható, hogy a bejárás többféleképpen teljesíthető: indulhatunk valamely sarokból vagy a tábla közepéről is. A kezdő vagy utolsó mezőnek azonban mindenképp a sarokban kell lennie, mert ellenkező esetben a sarkokra csak egy zárt körben léphetünk rá. Egy megfelelő bejárás: 28
24. Bejárhatja - e a huszár a 8 x 8 as sakktáblát úgy, hogy minden mezőre pontosan egyszer lépjen, és utolsó lépéssel visszatérjen a kiindulási ponthoz? Bejárhatja - e a sakktáblát úgy, hogy az utolsó lépésként nem kell visszatérnie a kiindulási ponthoz? Tekintsük a sakktáblát egy gráfként, melyben a csúcsok a tábla mezőit jelölik az élek pedig azt, hogy a lóval merre léphetünk az adott mezőről. A kérdés az, van-e a gráfnak Hamilton útja, vagy Hamilton - köre? Mivel a 4 sarok fokszáma 2, a sarkok melletti csúcsok fokszáma 3, a többi szélső csúcsok fokszáma 4, a,,belső négyzet sarkainak fokszáma 4 és a többi szélső csúcsának fokszáma 6, illetve a legbelső 16 csúcs fokszáma pedig 8, így töröljük a belső 8 fokszámú csúcsokat, s a rájuk illeszkedő éleket. 29
Mivel a 16 csúcs törlése után is egy összefüggő gráfot kapunk, így nem lehet megoldani azt, hogy több komponensre essék szét, mint ahány csúcsot törlünk. Így a korábban közölt összefüggésekkel nem zárható ki egyértelműen, hogy a gráfnak van Hamilton útja, vagy Hamilton köre. Próbálgatások után találhatunk olyan bejárást, ahol nem térünk vissza a kezdő mezőre: Amennyiben azt szeretnénk, hogy körbe is tudjunk menni a táblán, akkor célszerű lehet a következő megközelítést tekintenünk. Bontsuk szét a sakktáblát két (alsó és felső) 4 x 8 as táblára. A feladat ekkor az, hogy a 4 x 8 as táblán találjunk olyan Hamilton utat, melynek végpontjai úgy helyezkednek el, hogyha a másik táblán is megtesszük ugyanazt az utat, akkor a két Hamilton út végpontjai lóugrásnyi távolságra legyenek egymástól. Az alábbi ábrán néhány esetet tekintünk különböző színek segítségével. Így tehát a feladat az, hogy olyan Hamilton utat keressünk a 4 x 8 - as táblán, melynek végpontjai úgy helyezkednek el, mint az alábbi tábla azonos színei. Próbálgatások után található olyan Hamilton - út mely végpontjai a fenti piros mezők lesznek. 30
Ekkor a 8 x 8 - as tábla egy lehetséges körbejárása a következő: 25. Átlós lépés nélkül be tudja - e járni a király a sakktáblát úgy, hogy minden mezőre pontosan egyszer lépjen, és utolsó lépéssel visszatérjen a kiindulási ponthoz, ha a sakktábla 4 x 4 - es; 5 x 5 - ös vagy 8 x 8 - as? Bejárhatja - e a feltételek mellett a sakktáblát akkor, ha utolsó lépésként nem kell visszatérnie a kiindulási ponthoz? Tekintsük először a 4 x 4 - es táblát. A gráf csúcsai jelölik a mezőket, míg az élek a király lehetséges lépéseit egy adott mezőről. Mivel a sarok pontok fokszáma 2, a többi szélső pont fokszáma 3, míg a belső pontok fokszáma pedig 4, így nem tudunk törölni annyi pontot, hogy több komponensre essen szét a gráf, vagyis nem zárható ki a Hamilton út, vagy Hamilton kör léte. Próbálgatások után egy egy lehetséges bejárás a következő: 31
Tekintsük ezután az 5 x 5 - ös táblát. A sarok pontok fokszáma 2, a többi szélső pont fokszáma 3, míg a belső pontok fokszáma pedig 4. Töröljünk 12 pontot úgy, hogy csak az átlós pontok, s a négyzet oldalainak középső pontjai maradjanak meg. Ebben az esetben 13 komponensre esik szét a gráfunk, tehát nem lesz Hamilton körünk, de Hamilton utunk lehetséges. Egy lehetséges bejárás: 32
Tekintsük ezután hasonló módon a 8 x 8 - as táblát. A sarok pontok fokszáma 2, a többi szélső pont fokszáma 3, míg a belső pontok fokszáma pedig 4. Mivel nem lehetséges úgy törölni pontokat, hogy több komponensre essen szét, ezért az összefüggések alapján nem zárható ki a Hamilton út vagy Hamilton kör megléte. Próbálgatások után egy egy lehetséges bejárás a következő: 26. Egy téglalap alakú gyümölcsös kertben 5 sorban és 6 oszlopban helyezkedik el 30 almafa. A kert egyik sarkában lévő gyümölcsfán egy sárgarigó, a vele átellenes sarokban lévő gyümölcsfán egy barnakánya ül. 30 percenként átrepülnek a kert valamely szomszédos fájára, de mindig csak a téglalap oldalaival párhuzamosan repülnek. Lehetséges - e, hogy valamelyik almafán együtt üljenek? 33
Tekintsük azt a gráfot, melynek csúcsai a fákat, az élek pedig a madarak lehetséges útjait jelölik egy adott fáról. A kertben lévő fákra a két madár ellentétes lépésszámban tud csak eljutni, vagyis egy adott fára a sárgarigó csak páros, míg a barnakánya csak páratlan számú ugrással juthat el. Ezek alapján sosem lehetnek azonos fán egyszerre. 27. Tizenkét fiú levelez. Mindegyik fiú legalább két másikkal tartja a kapcsolatot. Valamelyikük elküld egy hírt az egyik ismerősének. Az is elküldi egy ismerősének, de nem annak, akitől kapta. Más forrásból a fiúk nem jutnak a hírhez. a) Biztosan eljut - e a hír mindenkihez, mielőtt visszajut olyanhoz, aki már tudta? b) Igaz - e, hogy a hír biztosan visszajut egy olyan fiúhoz, aki már tudta? c) Legkevesebb hány fiúhoz jut el a hír? a) Gráfként tekintve a példát, tudunk olyan kört rajzolni, mely nem megy át az összes ponton. Ezek alapján nem biztos, hogy eljut mindenkihez a hír. b) Mivel mindenki továbbadja a hírt egy társának, s a fiúk száma véges, így biztosan visszajut a hír olyanhoz, aki már tudott róla. c) Hárman biztosan megtudják, de ekkor már bezárulhat a kör. 34
28. Az alábbi gráfok közül melyek rajzolhatók síkba? Az első gráfból törölve 2 élt, a harmadik gráfból pedig topológikus szűkítéssel három ház három kút gráfhoz jutunk, s így az eredeti gráfok sem rajzolhatóak síkba. A második gráfból elhagyva a 2 fokszámú csúcsot és a rá illeszkedő éleket az 5 csúcsú teljes gráfhoz jutunk, ezért nem rajzolható síkba ez a gráf sem. A negyedik gráf síkbarajzolható, s egy ilyen síkbarajzolás a következő: 35
29. Egy nagyváros három vasútállomását és két autóbusz - pályaudvarát köztes megálló nélküli földalatti vasútvonalakkal kívánjuk összekötni úgy, hogy ezek ne keresztezzék egymást. (Nem szükséges egyenes pályát kialakítani.) a) Tervezd meg az összekötetést a pályaudvarok alábbi elhelyezkedése esetén úgy, hogy minden vasútállomásról vezessen vonal minden autóbusz pályaudvarhoz! (vasútállomás: ; buszpályaudvar: ) b) Tervezd meg a fenti feltételek figyelembevételével a földalatti vasúthálózatot úgy, hogy a vasútállomások és az autóbusz - pályaudvarok között is legyen közvetlen kapcsolat! a) Egy egy lehetséges összeköttetés a következő: b) Ez nem lehetséges, mert akkor minden csúcsból minden csúcsba vezetne él, s ez megegyezne az 5 csúcsú teljes gráffal, mely nem rajzolható síkba. 30. Színezd ki az alábbi gráf éleit úgy, hogy a szomszédos élek színe különböző legyen! Legalább mennyi színre van szükség? 36
Mivel a gráfban a legnagyobb fokszám 4, így biztosan kell 4 szín a kiszínezéshez. Ennyi elegendő is hozzá, s egy ilyen lehetséges kiszínezés a következő: 31. Határozzuk meg azt a minimális számot, ahány színnel az alábbi gráfok csúcsai kiszínezhetőek úgy, hogy szomszédos csúcsok színe különböző legyen! Az első gráfot nem tudjuk kiszínezni két színnel, mert van benne olyan kör, mely páratlan hosszú. A gráf 3 színnel azonban kiszínezhető, s egy ilyen lehetséges kiszínezés a következő: Mivel a második gráfban minden kör páros hosszúságú, így a gráf páros gráf, azaz két színnel kiszínezhető. Egy ilyen lehetséges kiszínezés a következő: 37
32. Minimálisan mennyi színnel lehet kiszínezni a szabályos poliéderek csúcsait, illetve éleit úgy, hogy két szomszédos csúcs, illetve az egy csúcshoz illeszkedő élek különböző színűek legyenek? Az élek kiszínezhetőségét a csúcsok fokszáma határozza meg. Egy egy lehetséges színezés a következő: Tetraéder: Hexaéder (Kocka): Dodekaéder: Oktaéder: 38
Ikozaéder: Ezek alapján a tetraéder csúcsai 4, élei 3; a hexaéder (kocka) csúcsai 2, élei 3; a dodekaéder csúcsai 3, élei 3; az oktaéder csúcsai 3, élei 4; az ikozaéder csúcsai 4, élei 5 színnel színezhetjük ki minimálisan. 33. Színezd ki az alábbi vaktérképeken Európa, Ázsia, Afrika, Észak Amerika és Dél - Amerika országait úgy, hogy minden egymással határos ország különböző színű legyen, az óceánokkal határos területek ne legyenek világoskék színűek, továbbá a különálló szigeteket nem tekintjük semelyik országgal határosnak. Legkevesebb mennyi színnel teljesíthető ez a színezés, s legkevesebb mennyi színnel lehetne kiszínezni az egész világtérképet? 39
40
41
A könnyebb áttekinthetőség kedvéért a kontinenseken, az óceánnal nem határos területeknél világoskék helyett használjunk lila színt. Egy egy ilyen lehetséges színezés a következő: 42
43
A fentiekben összesen 4 színt (piros, zöld, sárga, lila) használtunk minden kontinensnél. Az azonban látható, hogy amennyiben az egész világtérképet szeretnénk így kiszínezni, ahhoz is elegendő lenne 4 szín, mert a lila területek világoskékkel is kiszínezhetőek. 34. Egy 17 csúcsú teljes gráf éleit három színnel (piros, kék, zöld) színezzük. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges színezés esetén találunk egyszínű háromszöget! A gráf minden csúcsából 16 él indul ki, s így biztosan lesz 6 ugyanolyan színű él közöttük. Tekintsük a gráf A csúcsát, s legyen a 6 azonos színű él piros. Ezen élek végpontjai legyenek rendre B; C; D; E; F; G. Amennyiben a B; C; D; E; F; G csúcsok között halad további piros él, akkor az előzőek alapján lesz egy piros háromszög a gráfban. Tegyük fel, hogy a 6 csúcs között nem vezet több piros él. Ekkor a B; C; D; E; F; G teljes gráfot két színnel kell kiszíneznünk. Mivel egy csúcsából 5 él indul ki, így biztosan lesz 3 ugyanolyan színű él közöttük. Tekintsük a gráf B csúcsát, s legyen a 3 azonos színű él kék. Ezen élek végpontjai legyenek rendre C; D; E. Amennyiben ezen 3 csúcs között vezet kék él, akkor a B vel együtt kék háromszöget alkotnak. Ellenkező esetben, ha a 3 csúcs között minden él zöld, akkor viszont egy zöld háromszöget alkotnak. Ezek alapján látható, hogy biztosan lesz a gráfban egyszínű háromszög. 44
35. Bizonyítsd be, hogy egy n csúcsú fa gráfnak n 1 éle van! Ha ágnak tekintünk egy élt egyik végpontjával, akkor minden fa ágakat hajtva növekszik (plusz egy él plusz egy csúcs), mert ettől még egyszerű és összefüggő marad a gráf, de a kezdő pontját is hozzá kell számolni, így a pontok száma eggyel több, mint az éleké. 36. Bizonyítsd be, hogy a három ház három kút gráf nem rajzolható síkba! Jelöljék az A; B; C csúcsok a házakat, az X; Y; Z csúcsok pedig a kutakat. Először kössünk össze két házat két kúttal, s így keletkezik egy zárt négyszög. A harmadik ház vagy a négyszög belsejébe, vagy azon kívülre esik, s kössük össze azt is az eddigi kutakkal: Mindkét esetben három részre bontjuk a síkot a vonalakkal, ezért a harmadik kutat bárhová is helyezzük el, mindig lesz egy olyan ház, mely ettől élek mentén el lesz szeparálva, vagyis nem rajzolható síkba a gráf. Brósch Zoltán 45