Tartalomjegyzék A tér lineáris leképezései síkra... Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria... 9 Összemetszési eljárások... 5 Fotogrammetria... 0 Kinematikus geometria... 5
A tér lineáris leképezései síkra Az ábrázoló geometria célja: A háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelmű és egyértelműen rekonstruálható módon történő ábrázolása egy előre rögzített képsíkon. A háromdimenziós térben lévő alakzatokat a kétdimenziós síkon ábrázolva az alkalmazott leképezés (általában vetítés) elfajuló lesz. Ezért használunk több vetületet (pl. Mongeprojekció), vagy egy vetület mellett még más információkra is szükségünk van (pl. kótás projekció). Az ábrázoló geometriában a leképezések lineáris tulajdonsága azt jelenti:. pont képe pont. egyenes képe általában egyenes (kivételes esetben pont) 3. illeszkedéstartás A nemlineáris leképezések megkülönböztetése az alapján történik, hogy az egyenes képe nem egyenes, hanem más alakzat. Például:. Ciklografikus leképezés: Egy térbeli ponthoz a képsíkon egy olyan irányítással ellátott kört rendelünk, melynek a középpontja a térbeli pont merőleges vetülete a síkon, a sugara egyenlő a pont képsíktól mért távolságával, és az irányítás attól függ, hogy a pont a képsík fölött, vagy alatt helyezkedett el. Ezeket az irányítással ellátott köröket ciklusoknak nevezzük. Egy egyenes képe ezek alapján ciklusok egy halmaza.. Netz-projekció: Adott két kitérő egyenes, és egy térbeli pontot úgy képezünk le a képsíkra, hogy vesszük a kitérő egyenesek adott pontra illeszkedő transzverzálisát, és azzal elmetsszük a képsíkot. Egy egyenes leképezésénél a három kitérő egyenes által adott egyköpenyű hiperboloidot (esetleg nyeregfelületet) metsszük a képsíkkal. Tehát egy egyenes képe általában kúpszelet. A térnek a síkra történő lineáris leképezései három csoportba sorolhatók:. Kétképsíkos eljárás. Nyomelemes eljárás 3. Axonometrikus leképezés Akár az is előfordulhat, hogy egy pont képe nem pont lesz. Olyan leképezéssel, ahol pont képe nem egyenes a projektív geometriában találkozhattunk. Síkon egy nemelfajuló másodrendű görbe által indukál pólus-poláris kapcsolat ilyen volt. A sík bármely pontjához ez a leképezés a görbére vonatkozó poláris egyenest rendeli. Egy egyenes pontjaihoz ily módon egy sugársor rendelődik. Ennek a leképezésnek a térbeli megfelelője, ha a térben egy nemelfajuló másodrendű felület megadás után egy ponthoz a felületre vonatkozó polársíkot rendeljük. Az előbbi pólus-poláris, illetve pólus-polársík kapcsolatok nem képezték le a teret a síkra!!
Főtéralakzat Kitüntetett alakzat a térben, amely a teret felfeszíti, és meghatározza az adott leképezést, speciális koordináta-rendszerként viselkedik. Főképalakzat A képsíkon egy olyan adathalmaz, amelyből a főtéralakzatra egyértelműen tudunk következtetni, a térbeli szerkesztések síkon való elvégzését teszi lehetővé, de nem síkbeli koordinátarendszer. ( Főtéralakzat képe ) Főtéralakzat: Π és Π síkpár, metszésvonaluk: m Mindkét síkhoz tartozik egy-egy centrum: C és C. A főtéralakzat egyértelmű visszaállításához ismernünk kell a C Π - től és C Π -től való távolságát, valamint a Π, Π síkok szögét. A leképezés leírása (alapelem a pont ábrázolása):. Kétképsíkos eljárás A térbeli pontokat a C ponton keresztül a Π síkra, és a C ponton keresztül a Π síkra vetítjük. P tetszőleges pont a térben. P : P képe a Π síkon, PC egyenes metszéspontja a Π síkkal P : P képe a Π síkon, PC egyenes metszéspontja a Π síkkal Magpontok: A C C egyenes elmetszi a síkokat, ezek a metszéspontok a centrumok megfelelő képei: C képe a Π síkon: C C képe a Π síkon: C A P és P pontok rendezetten helyezkednek el a síkokon, amely azt jelenti, hogy PC és PC egyenesek a síkok m metszésvonalán metszik egymást. (Ezek az egyenesek a PC és PC vetítősugarak síkjának a Π, Π síkokkal vett metszésvonalai.) Ezzel az eljárással bármely térbeli ponthoz egyértelműen hozzárendeltünk egy pontpárt. Ha megadunk egy Q és Q rendezett pontpárt a Π, Π síkokon, akkor a QC és QC egyenesek metszik egymást, és keletkezett metszéspont Q. Vagyis egy rendezett pontpárhoz egyértelműen hozzátartozik egy térbeli pont. (A fenti leképezés kölcsönösen egyértelmű!) 3
Ahhoz, hogy az ábrázolást egy síkon elvégezhessük, szükségünk lesz egy Π képsíkra és egy hozzá tartozó C centrumra. Miután előállítottuk a Π, Π síkokon egy alakzat képeit, a C centrumból a Π, Π síkokat (magpontokkal, metszésvonalukkal) a Π síkra vetítjük. A magpontok vetületeit is magpontoknak fogjuk nevezni. Főképalakzat: A síkok m metszésvonalát és magpontok képét kell megadni. Az ábrán egy pont ábrázolását mutattam meg. Speciális esetek:.. Monge-projekció.. Kavalier-axonometria.3. Perspektíva.. Monge-projekció Főtéralakzat: A Π, Π síkok egymásra merőlegesek, a C, C centrum a megfelelő síkra merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont. A leképezés során egy adott P pont képeit úgy állítjuk elő, hogy a C, C centrumokból, merőlegesen vetítjük a megfelelő síkra. A PC és PC vetítősugarak síkja minden esetben merőleges a Π, Π síkokra. Mivel a C, C centrumok a végtelenben vannak, ezért a magpontok is a végtelenben vannak. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π -vel, a hozzá tartozó C centrum egy 45º-os képsíkszögű (és a síkok metszésvonalára merőleges) irány által kijelölt végtelen távoli pont. A Π, Π síkok egyesítése úgy történt, hogy a Π síkot egy a metszésvonaluk körüli forgatással egyesítettünk a Π -vel. Ezt a beforgatást helyettesítjük a C -ből való vetítéssel. 4
Főképalakzat: A Π képsíkon megadjuk a Π, Π síkok metszésvonalának képét, melyet x, -vel jelölünk. Mivel a magpontok végtelentávoliak voltak, ezért a C -ből való vetítés után a képeik is végtelentávoliak lesznek, méghozzá az x, -re merőleges irány jelöli ki. Ezért a Mongeprojekcióban a rendezőegyenesek merőleges a x, - re. Főtéralakzat: A Π, Π síkok egymásra merőlegesek, a C, C centrum a megfelelő síkra merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont. (Ugyanaz, mint a Mongeprojekciónál.).. Kavalier-axonometria A leképezés során egy adott P pont képeit úgy állítjuk elő, hogy a C, C centrumokból, merőlegesen vetítjük a megfelelő síkra. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π -vel, a hozzá tartozó C centrum egy Π-hez képest ferde (síkok metszésvonalára nem merőleges) irány által kijelölt végtelen távoli pont. Ha egy derékszögű koordinátarendszert úgy csatolunk a főtéralakzathoz, hogy az y tengely a Π, Π síkok metszésvonala, akkor a két magpont az x és z tengelyek végtelentávoli pontja. Főképalakzat: A Π képsíkon az előbbi kooordinátarendszer vetületeit adjuk meg. Most egy pont ábrázolását bemutatva megadjuk a P és P pontok P + és P + vetületeit. Mivel a térben magpontok végtelentávoliak, ezért a vetületeik is végtelen távoliak, a képsíkon x + és z + egyenesek végtelen távoli pontjai, a rendezők az y + egyenesen megtörnek. A P + és P + pontokból előállíthatjuk a P pont C -ből való P + vetületét, melyet a P pont axonometrikus képének nevezünk. 5
Főtéralakzat: A Π, Π síkok egymásra merőlegesek, a C a Π síkra merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont, C pedig véges helyzetű..3. Perspektíva (gyakorlati perspektíva) A leképezés során egy adott P pont képeit úgy állítjuk elő, hogy a C, C centrumokból vetítjük a megfelelő síkra. A Π sík (az ún. alapsík) vízszintes helyzetű, erre helyezzük az ábrázolandó tárgyakat. A Π sík függőleges helyzetű, melyen az alakzat centrális vetületét állítjuk elő. A Π, Π síkok metszésvonala az alapvonal. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π -vel, a hozzá tartozó C centrum pedig a C -vel. A C-ből való vetítés során az alaprajzok, azaz az alakzat első képe a Π-re vetítődik, a második képek helyben maradnak. Főképalakzat: A Π képsíkon megadjuk az alapvonalat, a C centrum merőleges vetületét és a distanciát. Az ábrán egy alapsík fölött elhelyezkedő P pont ábrázolását látjuk. Főtéralakzat: Π és Π síkok, metszésvonaluk: m A főtéralakzat egyértelmű visszaállításához ismernünk kell a Π, Π síkok szögét. A leképezés leírása (alapelem az egyenes ábrázolása): Egy egyenest a Π, Π síkokkal alkotott metszéspontjaival (nyompontok) adjuk meg. Egy síkot a Π, Π síkokkal alkotott. Nyomelemes eljárás 6
metszésvonalaival (nyomvonalak) adjuk meg. A nyomvonalak az m egyenesen metszik egymást. Pontot közvetlenül nem tudunk megadni, csak egyenesen! Ezzel az eljárással bármely egyeneshez egyértelműen hozzárendeltünk egy pontpárt, és bármely síkhoz hozzárendeltünk egy metsző egyenespárt. A főtéralakzat visszaállítása után megadunk egy N és N nyompontpárt, akkor a rájuk illeszkedő egyenest két pontjával egyértelműen megadtuk. Egy olyan n, n nyomvonalpár, melyek az m egyenesen metszik egymást, egyértelműen felfeszítenek egy síkot. Ahhoz, hogy az ábrázolást egy síkon elvégezhessük, szükségünk lesz egy Π képsíkra és egy hozzá tartozó C centrumra. Miután előállítottuk a Π, Π síkokon egy alakzat képeit, a C centrumból a Π, Π síkokat (metszésvonalukkal) a Π síkra vetítjük. Főképalakzat: A síkok m metszésvonalának képét kell megadni. Most az ábrán egy síkot ábrázoltam. Speciális esetek:.. Kótás projekció.. Centrális projekció.. Kótás projekció Főtéralakzat: Π, Π párhuzamos síkok, m végtelen távoli egyenes. A Π sík a (0)-szintsík, a Π az ()-es szintsík. Leképezés: Egy tetszőleges egyenes az N és N pontokban metszi a Π, Π síkokat, ezek a pontok a (0)-s és () kótájú pontjai az egyenesnek. Egy tetszőleges sík az n és n egyenesekben metszi a Π, Π síkokat, ezek az egyenesek a (0)-s és () kótájú szintvonalai az adott síknak. Ezzel az eljárással egy egyeneshez egyértelműen hozzárendeltünk egy pontpárt és egy síkhoz egy párhuzamos egyenespárt. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π -gyel, a hozzá tartozó C centrum a merőleges irány által kijelölt végtelen távoli pont. Főképalakzat: Mivel a Π képsíkon m képe végtelen távoli egyenes, ezért nem kell megadnunk más adatot. A képsíkon egy sík és egy rá illeszkedő egyenest ábrázoltam. 7
.. Centrális projekció Főtéralakzat: Π általános helyzetű sík Π végtelen távoli sík Leképezés: Egy tetszőleges egyenes az N és N pontokban metszi a Π, Π síkokat, nyompontja és végtelen távoli pontja az egyenesnek. Egy tetszőleges sík az n és n egyenesekben metszi a Π, Π síkokat, nyomvonala és végtelen távoli egyenese az adott síknak. A Π képsík (a rajzunk síkja) megegyezik a Π -gyel, a hozzá tartozó C centrum véges helyzetű. Főképalakzat: A Π képsíkon megadjuk a C centrum merőleges vetületét és a distanciát. A képsíkon egy síkot és egy rá illeszkedő egyenest adtam meg. 8
Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Ennél a leképezésnél a projektív teret szeretnénk úgy megjeleníteni egy képsíkon, hogy az axonometrikus leképezést (paralel axonometriát) speciális esetként megkaphassuk. A paralel axonometria abból a gondolatból indult ki, hogy az affin tér affin leképezését 4 általános helyzetű pont és azok képei meghatározzák, ezért az affin teret az ax. képsíkon úgy jelenítettük meg, hogy 4 általános helyzetű térbeli pontnak a képsík 4 általános helyzetű pontját kijelöltük. Ezek a pontok az origó és a koordinátatengelyek egységpontjainak képei. (O, E x, E y, E z ) ezek után a tengelyek irányában osztóviszony segítségével a mérés lehetővé válik. Az általánosítás alapgondolata az lehetne, hogy a projektív tér projektív leképezését 5 általános helyzetű pont és azok képei meghatározzák, tehát a képsíkon 5 általános helyzetű pont kijelölése jelentené a leképezés megadását. Ez azonban nem működik, mert ha kijelölnénk az O, V x, V y, V z és E (egységpont) képét a képsíkon, akkor a tengelyek mentén még nem tudnánk mérni projektív módon, azaz kettősviszonnyal. Ezért az általánosítás útja az lehet, hogy olyan adathalmazzal képezzük a teret a síkra, hogy a tengelyek mentén projektív eszközökkel mérhessünk. Ehhez a tengelyenként három-három pontot kell figyelni. Főtéralakzat: Egy térbeli derékszögű koordinátarendszert adunk meg, ahol a tengelyeken az origó és egységponton kívül a távoli pontot is kitüntetjük. Ekkor bármely pont megfelelő koordinátája kettősviszonnyal mérhető fel a tengelyre. { O, E x, E y, E z, V x, V y, V z } Főképalakzat: Az előbbi hét pont képét illeszkedéstartó módon kijelöljük a képsíkon, pl. O, E x, V x kollineáris ponthármas legyen. A tengelyek végtelen távoli pontjának képét nem kell a végtelenben választanunk! A baloldali ábrán az egységkocka képe látható. 9
Kruppa I. tétele (alaptétel) 90 Az axonometrikus leképezés projektív általánosításában fellépő tengelykereszt mindig tekinthető egy megfelelően elhelyezett ortonormált bázis centrálprojekciója projektív megfelelőjeként. Másként fogalmazva: Egy térbeli objektum képe ebben az általánosított leképezésben mindig projektív a térbeli alakzat valamely meghatározott centrálprojekciójához. Bizonyítás: Egy tetszőlegesen megadott tengelykereszt esetén alkalmazzunk egy olyan projektív leképezést, ahol a tengelykereszt képe eléggé speciális lesz. * * Azt írjuk elő, hogy a z* és y* egymásra merőleges legyen, V y és V z végtelen távoli, * * és az E y és E z pontok az origótól egyenlő távolságra legyenek! * Ey E y * Ez Ez * * * megadja a leképezést, az x*, E x és V x szerkeszthető. Vy Vy * Vz Vz Mostmár csak azt kell belátni, hogy a kapott új tengelykereszt egy térbeli koordinátarendszer centrális projekciója. A térbeli koordinátarendszer y és z tengelyének válasszuk a képsíkba rajzoltakat, az x tengely a képsíkra merőlegesen állítható be! A térbeli * E x pontot az Ex -gal összekötő egyenes illeszkedik a vetítési centrumra, ugyanígy a V Vx összekötő egyenese is. A vetítés centruma az előbbi két egyenes metszéspontja. * x 0
Ekkor a centrális projekció főpontja a V, a distanciát * x megkapjuk, ha az x tengely vetítősíkját a képsíkba forgatjuk. F. Hohenberg nevezte el az ax. leképezés projektív általánosítását centrálaxonometriának, míg az eredetit paralelaxonometriának. Kruppa I. tételét lehet általánosítani: Tétel: Ha az iránypontok nem esnek egy egyenesre, akkor a térbeli objektum cax. képe affin az objektum egy meghatározott centrálprojekciójához. Ennél tovább, azaz hasonlóságig nem lehet élesíteni!! Természetesen a cax. tengelykereszt megadható úgy, hogy centrális projekciót adjon, pl. ha a perspektívát (gyakorlati perspektívát) tekintjük. Keressünk olyan feltételeket, amikor a cax. ábra mikor lesz centrális projekció! Észrevételek: Az EEE x y z és VVV x y z csúcsaikra nézve perspektívek oldalaikra nézve is azok, a perspektivitás tengelye: h. Határozzuk meg a h harmonikus pólusát a VVV x y z -re. Ez a súlypont általánosítása, azaz (VxVz) = és (VyVz34) =. A következő elempárok egy korrelációt határoznak meg: Vx VyV z Vy VxVz négy általános helyzetű pont Vz VxVy H h és a megfelelő négy általános helyzetű egyenes.
Kruppa II. tétele: Egy előre megadott cax. tengelykereszt egy térbeli koordinátarendszer (ortonormált bázis) centrálrpojekciója pontosan akkor, ha a fenti korreláció vezetőkúpszelete euklideszi értelemben vett elsőfajú képzetes kör. Tekintsük a gyakorlati perspektíva tengelykeresztjét. Jellemzői: V, x V y végesben van, és a VV x y z, V z végtelen távoli. Keressünk feltételt arra, hogy ez a tengelykereszt mikor lesz egy térbeli koordinátarendszer centrális projekciója. Tétel (Stiefel; 947, 97) Annak szükséges és elegendő feltétele, hogy a gyakorlati perspektíva tengelykeresztje egy térbeli ortonormált bázis centrális projekciója legyen az, hogy Biz: ahol e táv. = OEx táv., f ExVx f h j ( e) ( g) ( i) + =, = táv., g= OEy táv., h = EyVy táv., i= OEz táv., j= VxVy Tekintsük egy i oldalú kocka centrális projekcióját! Jelöljük az e, f, g, h, i, j szakaszokat, és legyen a + b = j. a = x és b y (C)V = (C)V ; ekkor Az elsőfajú képzetes kör homogén koordinátákban: x + x + x = 0, jellemző tulajdonsága, 3 hogy minden polárháromszöge valós. Egy ilyen polárháromszög a VVV x y z. A tételben szereplő képzetes kör valós reprezentánsa éppen a distanciakör lesz.
Az O(E x)ex és V(C)E x x hasonlóak f = a. e i Az O(E y)ey és V(C)E y y hasonlóak h = b. g i f h a + b j Négyzetre emelés és összegzés után: + = = e g i i tételben adott feltétel. Most nézzük fordítva: f h j Teljesül az ( e) ( g) ( i), azaz teljesül a + =, akkor az kell belátni, hogy a tengelykereszt centrális projekcióból származik. Tekintsük a gyakorlati perspektíva tengelykeresztjét! Az xy síkon az O, E x, E y pontok egy egységnyi oldalú négyzet csúcsai, melynek a negyedik csúcsa az ExV y és E yv x egyenesek metszéspontja. Legyen ez az E pont. A rajzunkon az OExEE y egy általános négyszög, ezért megadható olyan centrális kollineáció, amelyben a képe négyzet lesz. A szemköztes oldalak V, x V y metszéspontjait összekötő egyenes lesz a kollineáció ellentengelye (ennek a képe a végtelen távoli egyenes). A kollineáció tengelye ezzel párhuzamos, most haladjon át az O ponton. A centrumot úgy kell kijelölni, hogy biztosítsuk az oldalak és az átlók merőlegességét is, azaz a VxV y és UW szakaszok fölé írt Thalész körök metszéspontja. Meghatározzuk a képnégyzetet, ahol az képét s jelöli, Természetesen r=s. Jelölje: a = CVx és b = CVy. A vonalkázott háromszögek hasonlóságából a f f = a = r r e e OE x szakasz képét r, az OE y 3
A pontozott háromszögek hasonlóságából: b h = s g A CVxVy derékszögű: Ezekből következik: f h j = a + b = r + s e g r A feltétellel összevetve az és a + b = j h b = s g, i -tel osztva: j r f s h = +. i i e i g s mennyiségek -gyel egyenlők s=r=i. i i Ekkor keressük meg a bázist és a vetítési rendszert. A kollineáció centrumából állítsunk merőlegest az ellentengelyre, ez lesz a C főpont, és CC távolság a distancia. Az xy tengelyek síkja merőleges a rajzunk síkjára és áthalad a kollineáció tengelyén, az OE x, OE y szakaszok a rajz síkja mögött vannak, a z tengely a rajzunk síkjában van, és merőleges a kollineáció tengelyére. Tétel (Szabó J. H. Stachel H. Vogel): Jelölje az iránypontok VVV x y z háromszögének szögeit rendre: α, β, γ, továbbá a tengelyeken lévő szakaszok legyenek: e= OEx, f = ExVx, g= OEy, h = EyVy, i= OEz, j= EzVy. A megadott tengelykereszt pontosan akkor centrálprojekciója egy térbeli ortonormált bázisnak, ha e g i : : = tan α : tan β : tanγ. f h j 4
Összemetszési eljárások Az Eckhart-féle összemetszési eljárás Tekintsük egy térbeli alakzat két ax. képét, melyeket egy képsíkon helyezünk el. Az alakzat egy P pontjának képei az egyes ax. képeken: P és P. Ezen kívül a síkon adjunk meg az ax. képekhez egy i és i egyenespárt (i és i nem párhuzamosak), melyeket a P pont egy új képének meghatározására használunk: A P ponton keresztül az i -gyel, a P ponton át az i -vel párhuzamost húzunk, majd megkeressük az egyenesek metszéspontját. Ez a P pont összemetszéssel nyert képe, melyet P S -sel jelölünk. A P P S leképezést Eckhart-féle összemetszési eljárásnak nevezzük. Fontos megemlíteni, hogy a felhasznált ax. képek között szerepelhetnek elfajult képek is, melyek nem szemléletes képei az alakzatnak. Például: Monge-képként nyert felülnézeti vagy homlokzati vetületek, vagy ezekből egy affinitással nyert képek is. Ha paralelvetületeket vagy azok affin képeit használjuk és a fent leírt módon párhuzamos egyenesnyalábokkal metsszünk azokat össze, akkor a keletkezett kép mindig osztóviszonytartó. Tétel: A párhuzamos összemetszéssel szemben az osztóviszony invaráns. Biz: Tekintsük a térbeli alakzat három egy egyenesre illeszkedő pontját, és azok képeit az ax. képeken. Az ax. képen szintén kollineáris ponthármasokat találunk, mivel egyenestartó képeket használunk. Ekkor a térbeli pontok osztóviszonyára teljesül: (ABC)=(A B C )=(A B C ). Párhuzamos összemetszéssel határozzuk meg az A S és C S pontokat, majd a megfelelő irányok segítségével vetítjük a B és B pontokat. Be kell látni, hogy a sugarak metszéspontja éppen az A S C S egyenesre esik. Ehhez azt használjuk fel, hogy a párhuzamos vetítéssel szemben az osztóviszony invariáns. Tétel: Egy térbeli alakzat Eckhart-féle eljárással szerkesztett képe az adott alakzat axonometrikus képe. (azaz egy paralelvetülethez affin kép) 5
Példák: mozgathatók. Ortogonális ax. esetén a a tengelykereszt felvétele során a koordinátasíkokat a nyomvonal mentén a képsíkba forgatjuk, ezáltal az ábrázolandó alakzat felülnézetét és egy oldalnézetét látjuk való nagyságban. U. Graf-tól származik az az eljárás, hogy nem kell meghatározni az alakzat koordinátasíkokra eső vetületét (visszaforgatással) és azokból előállítani az ax. képet, hanem tengelyes affinitások irányát felhasználva összemetszéssel tudjuk az ax. képet megszerkeszteni. És ha az ábra túlságosan zsúfolt, akkor ezekben az irányokban a beforgatott oldalnézetek még el is Monge-féle vetületekből is elő tudunk állítani ax. képet, ha az i és i irányokat Monge-ban úgy tekintjük, mint egy i egyenes két képét, akkor az összemetszéssel nyert kép nem mást, mint egy i irányú vetülete az eredeti alakzatnak a koincidenciasíkra. Pontosabban ennek a vetületnek az affin képét látjuk, mert a 45º-os állású koincidenciasík még a képsíkokra is vetítve van. Ha az előbbi eljárásban az i és i az x -vel egyenlő szöget zár be, és ezt a szöget a derékszöghöz közelítjük, akkor az összemetszéssel nyert kép, azaz a P és P -ből kapott P S pont éppen a P P szakasz felezési pontja. Ezt tovább is általánosíthatjuk: nemcsak a felezési pontokból álló alakzat lesz ax. kép, hanem bármely osztópont-halmazból is. 6
Az összemetszési eljárás jól használható: Gömbölyű alakzatok kontúrpontjainak meghatározására Ha azt a kívánalmat akarjuk kielégíteni, hogy egy kockába írt gömb összemetszett képének kontúrja kör legyen. (Ortogonális axonometriában volt a kontúr kör.) De fontos, hogy két Monge-képből Kavalier-ax.-t nem lehet előállítani! Tétel: (F. Hochenberg, 97) Ha egy síkon elhelyezzük egy térbeli alakzat két ax. képét, és egy P pont P és P képét összekötő szakasz P F felezési pontját meghatározzuk, akkor a P F pontok halmaza szintén az alakzat ax. képét adja. (A kiinduló két ax. kép lehet elfajuló is!) Megjegyzés: Ha elfajuló képeket használunk, akkor úgy kapunk ax. képet, hogy szinte nem is használunk szerkesztővonalakat. A centrális összemetszési eljárás Tekintsük egy térbeli alakzat két cax. (centrálaxonometrikus) képét, melyeket egy képsíkon helyezünk el. Az alakzat egy P pontjának képei az egyes cax. képeken: P és P. Ezen kívül a síkon adjunk meg az cax. képekhez egy S és S pontpárt, melyeket a P pont egy új képének meghatározására használunk: A P S és P S egyenesek metszéspontját megkeressük. Ez a P pont összemetszéssel nyert képe, melyet P S -sel jelölünk. A cax. képek lineáris képek, amely azt jelenti, hogy egyenestartó módon készültek. Ezért ha egy g egyenes g és g képet megkeressük a cax. képeken és a g pontjainak képeit az S és S -vel összekötjük, akkor egymáshoz projektív sugársorokat kapunk. A megfelelő sugarak metszéspontjai adják az összemetszéssel készülő képet, amely a projektív sugársorok miatt egy egyenes vonatkozásában kúpszelet (másodrendű görbét) ad. (Steiner I. tétele) Vagyis általában egyenes képe már nem egyenes, hanem kúpszelet, és így a kapott kép már nem lineáris, hanem kvadratikus. Bizonyos esetekben előfordulhat, hogy a két említett sugársor perspektív kapcsolatban van, ekkor egy térbeli egyenes összemetszéssel nyert képe egyenes. Ez egy ábrán belül időnként előfordulhat, de nem minden esetben. A főtétel Köberl-től származik. (950) A centrális összemetszéssel kapott kép a térbeli objektum egy bizonyos (meghatározott) Netz-projekciójához projektív. 7
Ennek tételnek az élesítési lehetősége, hogy jó lenne a Netz-projekcióhoz projektív tulajdonságot Netz-projekcióhoz affinra cserélni. W. Wunderlich: Azt állította, hogy az ábrázoló geometriában a centrális összemetszési eljárásnak nincs gyakorlati haszna. Akkor lenne hasznos, ha lineáris képre (azaz cax.-ra) vezetne. F. Bjeere (945) Szükséges és elegendő feltételt adott arra, hogy a centrális összemetszési eljárás cax.-t adjon. Ezzel a feltétellel az lesz a gond, hogy nagyon nehéz két, már legyártott cax. képre teljesíteni. Természetesen, ha speciálisan ehhez készülnek a cax. képek, akkor a feltétel teljesíthető: A két cax. képet úgy kell elhelyezni, hogy az egymásnak megfelelő pontokat (azaz ugyanannak a térbeli pontnak a képeit) összekötő egyenesek mindannyian egy rögzített fix ponton menjenek át és az S, S pontokat összekötő egyenes is haladjon át ezen a fix ponton. Példa (teljesíti a Bjeere által adott feltételt) 8
A példát Bereis publikálta az Osztrák Katonai Archivumban 95-ben. Egy alakzat Mongebeli második és harmadik képét tekintsük, ahol az egymásnak megfelelő pontokat összekötő egyenesek (rendezők) egymással párhuzamosak, ezért a fix pont a végtelen távolban van. Egy rendező állású egyenesen felvesszük az S és S pontokat, melyek sorrendben C pont második és harmadik képét jelentik. Ekkor az összemetszéssel készített kép nem más, mint a térbeli alakzat C-ből való centrális vetületének merőleges vetülete a képsíkokra. A középpontos vetület képsíkja a K, K 3 rendszer koincidenciasíkja, és az itt keletkező vetületet vetítjük merőlegesen a Monge-képsíkokra. Ha a P S pontokra egy x 3 tengelyű és karakterisztikájú ortogonális tengelyes affinitást alkalmazunk, akkor eredeti méretben állítjuk vissza a centrális vetületet. Az alábbi ábrán is a Bjeere által adott feltétel teljesül. Itt a K, K rendszerben ábrázolt kocka centrális vetületének affin képe látható, centrális összemetszéssel készült a kép. 9
Fotogrammetria Egy térbeli alakzat perspektív képének előállításához megadjuk az alakzatot méreteivel, illetve rendezett merőleges vetületeivel (Monge-képével), a perspektív rendszert (azaz a képsíkot és a vetítési centrumot), és keressük az alakzat centrális képét. Ha e szerkesztést megfordítjuk, azt kapjuk, hogy valamely alakzat centrális képéből, képeiből (fénykép, perspektíva) határozzuk meg térbeli helyzetét, alakját, továbbá állítjuk elő az alakzat méreteit. Ezt a fordított irányú geometriai szerkesztést hívjuk centrális rekonstrukciónak. A rekonstruált alakzat lehet egyedi tárgy, vagy akár a föld felszínének egy tereprészlete is. Ez utóbbi esetben a centrális rekonstrukció általában a térképkészítést szolgálja. Általános esetben a centrális rekonstrukció a fotogrammetriának a geometriai alapját fekteti le. A széleskörű alkalmazásokkal együtt járt a megoldásokhoz szükséges optikai és mechanikai eszközök nagyarányú fejlődése. Ezenkívül mind jobban előtérbe kerültek a számítási eljárások, s ezek a szerkesztéseket háttérbe szorították. De mindezen eszközök, eljárások a centrális projekció és a projektív geometria elvein alapulnak, és tételeire támaszkodnak, ezért a fotogrammetria tanulmányozásához ezek elengedhetetlenek. A fotogrammetria feladata Térbeli tárgyakról készített fényképek alapján azokat nagyságra és helyzetre nézve meghatározza. A fotogrammetria igen fontos szerepet játszik a térképkészítésnél (elsősorban a légi felvételek alapján készített térképeknél) és a földméréstanban (geodéziában). Ezen kívül fel lehet használni épületek, hidak, gépeke égitestek, természeti tünemények (felhők, villámok) alakjának, méretének meghatározására, a fényképek alapján, sőt a biológiában is alkalmazásra találhat a röntgenfelvételek pontos kiértékelésénél. Tájolási adatok A centrális projekcióval kapcsolatos tanulmányainkból tudjuk, hogy egyetlen képből, további adatok ismerete nélkül, a térbeli tárgyat visszaállítani nem lehet. Ehhez szükséges ismerni a centrumot (főpont és distancia segítségével) továbbá még más adatok (az eddigiek szerint az irányelemek, vagy a tárgy ortogonális képe, vagy a felvétel, illetőleg a tárgy egyéb adatainak) ismeretére is szükség van. A fotogrammetriában a felvételre és a tárgyakra vonatkozó adatokat tájolási adatoknak nevezik. A pusztán a fényképre vonatkozó adatokat, azaz a főpontot és a distanciát belső tájolási adatoknak, a többi adatokat (a tárgyak méretére, helyzetére, a fényképhez való helyzetére, több felvétel esetén azok kölcsönös helyzetére vonatkozókat) külső tájolási adatoknak nevezik. Magpontok Kevesebb tájolási adatra van szükség, ha több felvételt (képet) készítünk egy tárgyról. A gyakorlatban is ezt az utat követjük, ilyenkor legalább két képet veszünk egy tárgyról. 0
Vizsgáljuk az egy tárgyról készített két kép közötti kapcsolatot. Tulajdonképpen ez a két képsíkosábrázolási eljárás általános vizsgálatát jelenti. Legyen Π és Π a két képsík és C ill. C a hozzájuk tartozó két centrum. A két képsík metszésvonalát jelölje m. A C C egyenest kettős vetítősugárnak nevezzük, mert ha úgy tekintjük, akkor a C centrumot vetíti a C -ből, ha másként tekintjük, akkor a C pontot vetíti a C centrumon keresztül. A C C egyenesnek a Π képsíkkal való metszéspontja C, és a Π képsíkkal való metszéspontja C. A C és C pontokat magpontoknak nevezzük. Egy térbeli pont képei úgy keletkeznek, hogy a PC egyenessel az első képsíkot elmetsszük, ez lesz a P, és a PC egyenessel a második képsíkot metszve a P pontot kapjuk. Az ábra alapján igaz: Ha egy pont két képét a megfelelő magpontokkal összekötjük, akkor ezek a két képsík metszésvonalán metszik egymást. (Ebben az esetben az történik, hogy tekintjük a [PC C ] síkot. Ez a Π és Π képsíkokkal három általános helyzetű síkot ad a térben, melyekről tudjuk, hogy egy közös pontjuk van, és ezen a páronként vett metszésvonalak áthaladnak.) Ha egy alakzat különböző pontjainak első ill. második képét összekötjük az első, ill. második magponttal, akkor a magpontok körül sugársorokat kapunk. A sugarak egymáshoz rendelése a következő: a megfelelő sugarak ugyanannak a térbeli pontnak a képeire illeszkednek. (Eredeti helyzetben ezek a képsíkok metszésvonalán metszik egymást.) Tétel: A magpontokkal, mint tartópontokkal bíró sugársorok projektív kapcsolatban vannak. (Az eredeti helyzetben e sugársorok perspektívek voltak, a projektív vonatkozás a perspektív helyzet megbontása; a felvételek külön való kezelése esetén is megmaradt)
A fotogrammetria főtétele Finsterwalder tétele: Két belső tájolási adatokkal ellátott felvétel a térbeli alakzatot hasonlóság erejéig meghatározza. Bizonyítás: Gyarmati: Ábrázoló geometria II.jegyzet 05. oldal. A magpontok meghatározása Az alaptétel bizonyításában fontos szerepet kapnak magpontok, ezért fontos lehet a fényképeken ezek előállítása. Fontos megemlíteni, hogy magpontokról csak több fénykép esetén beszélhetünk. A magpontok keresése a következő projektív-geometriai problémát jelenti: Adva van a két felvételen n darab azonosítható pontpár, azaz egy ilyen megfelelő pontpár ugyanannak a térbeli pontnak a vetülete az egyik, ill. a másik felvételen. (Az A n térbeli pontnak az egyik felvételen az A n, a másik felvételen az A n felel meg.) Keressük a az első felvétel azon C és a másik felvétel azon C pontját, melyekből az A i ill. az A i pontokat vetítve egymáshoz projektív sugársorokat kapunk. A magpontok meghatározása csak. n=7 esetre lehetséges és ez harmadfokú egyenlethez vezet három megoldással. A megoldások közül csak egy felel meg a geometriai feladatnak. Így a magpontok általában nem szerkeszthetők körzővel és vonalzóval. Ha a kapott három megoldás mind valós, akkor egy nyolcadik pont hozzávételével a tényleges pont is kiválasztható. Ellenben már öt általános helyzetű (azonosítható) pontpárból szerkeszthetők a magpontok, ha a belső tájolási adatok ismeretesek. Ezek gyakorlati feladatok esetén legtöbbször rendelkezésre is állnak. Lássuk a magpontok szerkesztését (persze csak vázlatosan), ha a két felvételen négy egy síkban fekvő általános helyzetű pont képei azonosíthatók. (A pontok ne vetítősíkban legyenek!) A négy általános helyzetű pont képei A, B, C, D, és A, B, C, D. A vetítés tulajdonsága miatt ezek is általáros helyzetű pontnégyesek (nem vetítősíkban vannak a térbeli pontok). A magpontokat azon az alapon szerkeszthetjük meg, hogy azokban a másik képhez tartozó vetítősugarak metszik egymást; pl. C -ben a C -n átmenő két vetítősugár első képe metszi egymást. Legyen L, L az alakzat egy további pontjának azonosított két képe. Az L -höz
tartozó vetítősugár az ABCD síkot az M pontban metszi, melynek második képére: L = M. Tudjuk, hogy egy sík és a centrális képe között centrális kollineációs vonatkozás van. Ebből következik, hogy egy síknak két centrális projekciós képe között is kollineáció áll fenn. Ezt alkalmazzuk az ABCD síkra, akkor a kollineációt a 7., tétel szerint a (A, A ) (B,B ), (C,C ) és (D,D ) pontpárok határozzák meg. Ennek alapján elő tudjuk állítani az M megfelelőjét, az M pontot. (Erre egy gyors eljárás lehet a papírcsíkos eljárás, lásd Projektív geom. jegyzet) Az LM egyenes egy második vetítősugár első képe, ezért áthalad C ponton. Ahhoz, hogy a C pontot meg is tudjuk határozni, még egyszer alkalmazni kell az eljárást, ha még egy második vetítősugár első képe a rendelkezésünkre áll, akkor metszéspontként kapjuk a C magpontot. Hasonló eljárással nyerhetjük a C magpontot is. Rekonstrukció külső tájolási adatokból Néhány klasszikus feladat:. Adott egy horizontális síkban fekvő téglalap fényképe, hol a téglalap oldalainak aránya: :3. Határozzuk meg a vetítés belső tájolási adatait (főpont és distancia) és állítsuk vissza a téglalapot a térbe!. Adott egy horizontális síkban fekvő rombusz fényképe. Határozzuk meg a vetítés belső tájolási adatait (főpont és distancia) és állítsuk vissza a rombuszt a térbe! 3. Adott egy horizontális síkban fekvő a oldalú négyzet fényképe. Határozzuk meg a vetítés belső tájolási adatait (főpont és distancia)és állítsuk vissza a négyzetet a térbe! 4. Adva van egy négyoldalú derékszögű hasáb centrális képe (fényképe). Határozzuk meg a C főpontot és a d distanciát! 3
A szemben fekvő élek metszéspontja adja a hasáb éleinek iránypontjait. A Q x, Q y, Q z pontok elhelyezkedéséből következtethetünk arra, hogy valóban centrális projekcióval készült-e a kép. Ha a három pont hegyesszögű háromszöget határoz meg, mint most az ábrán, akkor a feladat folytatható és a vetítés centruma megadható. (Ha nem hegyesszögű a háromszög, akkor a kép nem középpontos vetítésből származik.) A projekció C főpontja az iránypontok háromszögének magasságpontja. Ekkor a distancia azon derékszögű háromszög + + befogója, amelynek átfogója a CC = C C távolság és a másik befogója a CC +. 4
Kinematikus geometria Strommer: Ábrázoló geometria 469. o. Petrich: Ábrázoló geometria 8-30. o. Dr. Vaskó Lászlóné: Ábrázoló geometria 63-30. o. Az olyan geometriai alakzatokat, melyek pontjainak egymástól való távolsága, és így kölcsönös helyzetük mozgás (helyváltoztatás) közben változatlan, merev rendszereknek nevezzük. A merev rendszer egy-egy pontját kiválasztva, azok a mozgás során egymás után más-más helyzeteket foglalnak el. Ezen helyzetek összessége a pont pályája. Legegyszerűbb mozgások:. Egyenes vonalú haladó mozgás (transzláció): A Rendszer pontjai egymással párhuzamos egyeneseken, egyező irányban, egyenlő pályákat írnak le.. Tengely körüli fogás (rotáció): A rendszer két pontja és ezzel az azokat összekötő egyenes valamennyi pontja változatlan helyzetű. Ezt az egyenest tengelynek nevezzük. A rendszer többi pontja olyan körpályán mozog, melynek a síkja merőleges a tengelyre, és a kör középpontja a tengelyre esik. A merev rendszerek mozgásai során a következő eseteket vizsgáljuk:. A pontrendszer síkmozgása, amelynél a rendszer pontjai olyan pályákat írnak le, melyek egy bizonyos síkkal (a mozgás síkjával) párhuzamos síkban fekszenek.. A pontrendszer gömbi mozgása, amelynél a rendszer egy pontja változatlan, és a többi pontnak e ponttól mért távolsága változatlan, ezért a többi pont egy-egy meghatározott gömbfelületen mozog. Ezek a gömbfelületek koncentrikusak, és a középpontjuk a fix pont, ezért ezt a mozgást pont körüli mozgásnak is nevezik. 3. A pontrendszer általános mozgása, amelynél a rendszer mozgása semmilyen korlátozásnak sincs alávetve, csak annak, hogy a pontok egymáshoz viszonyított helyzete ne változzon meg. (Ennek a vizsgálatakor felhasználjuk a sík és gömbi mozgás eredményeit.) Síkmozgás visszavezetése síkbeli mozgásra Tekintsük a rendszernek a mozgás síkjával párhuzamos síkmetszeteit. Minden ilyen síkmetszet a mozgás során mindig a saját síkjában marad. Egy ilyen metszet helyzete és mozgása az egész rendszer helyzetét és mozgását meghatározza, ezért a merev rendszer síkmozgását visszavezethetjük síkbeli merev rendszer saját síkjában való mozgására. A síkbeli merev rendszer saját síkjában való mozgása során két pont pályájának ismerete után a többi pont pályája meghatározható. Síkbeli mozgás főtétele: A síkbeli merev rendszer két nem eltolással származtatott helyzete közötti kapcsolat mindig megadható egy pont körüli forgatással. Biz: Az ABC és ABC egy-egy pillanatban mutatja a rendszer mozgását. Azt, hogy milyen pálya mentén jutott az A az A -be, B a B -be 5
...stb. nem tudjuk, csak azt, hogy az adott pillanatban már ott van. Az AA és BB felezőmerőlegese az O pontban metszi egymást, ezért OA = OA és OB = OB, ezért O körül az A pont A -be, a B a B -be forgatható. O körül az AB szakasz az A B szakaszba forgatható. Az AB szakaszhoz kötött C pont az A B szakaszhoz hasonlóan kötött C -be forgatható. Tétel A mozgás pillanatnyi helyzetében a pályanormálisok egy ponton haladnak át. Ezt a pontot momentán pólusnak nevezzük. Mozgassuk vissza a kiinduló helyzetbe az ABC -t a pályák mentén. Minden pillanatban az AA és BB felezőmerőlegese meghatározza az O pontot. Ha az A tart az A-hoz, akkor az AA szelő határhelyzete az A pont pályájának A-beli érintője lesz, az AA felezőmerőlegeséből a pálya normálisa lesz. Hasonlóan ehhez a BB szelőből B-beli érintő, a BB felezőmerőlegeséből pályamormális. B pont pályája A pont pályája Az O pont határhelyzete O*, amely a mozgás kezdeti állapotában a momentán pólus. A C pont pályaérintője az O*C (pályanormális) egyenesre C-ben állított merőleges. Fontos, hogy a momentán pólus ismeretében a rendszer bármely pontjának pályaérintője meghatározható az adott pillanatban. Tétel A mozgó AB egyenes a mozgás minden pillanatában haladjon át a sík egy rögzített O pontján. Az egyenes O-t fedő pontja legyen C. Ekkor az AB egyenes mozgásakor a C pályagörbéjének O-beli érintője maga az eredeti egyenes. 6
Gördülő- és siklómozgás Legyen az f és g két egymást érintő síkgörbe, az f fix, a g a mozgó görbe. Definíció Ha a g mozgása során a g-n lévő érintési pont változatlan, míg az f- n lévő folytonosan változik, akkor az ilyen mozgást siklómozgásnak (csúszómozgásnak) nevezzük. Definíció Ha a g mozgása során a g-n lévő és az f-n lévő érintési pont is folytonosan változik, és bármely két rögzített helyzet között mindkét görbén egyenlő ívek vannak, akkor az ilyen mozgást gördülő mozgásnak nevezzük. GG = FF. A g pontjainak pályáit rulettáknak nevezzük. Tétel Gördülő mozgás esetén a momentán pólus mindig a görbék érintkezési pontja. Példák: Nézzük a következő speciális síkbeli mozgást. A pályagörbe két egymásra merőleges a és b egyenes. A pályagörbéken mozog az AB szakasz két végpontja. Az AB egyenes tetszőleges P pontja ellipszist ír le, amelynek fél nagytengelye PB, fél kistengelye pedig PA. A tengelyek egyenese a és b. Az ábrán a mozgás nyolc állapota látható. Ha a P pont felezi az AB szakaszt, akkor a P által leírt alakzat egy kör, melynek a sugara az AB szakasz fele. Feladat: Igazoljuk az előbbi pályák ellipszis és kör voltát analitikusan! 7
Közönséges ciklois Ha egy kört (mint gördülő görbét) egy egyenes mentén (mint fixgörbén) végiggördítünk, a körhöz rögzített pont cikloist ír le. Ha a leíró pont a gördülő kör kerületén helyezkedik el, akkor csúcsos (vagy közönséges) cikloist kapunk. Legyen a leíró pont a B pont, amely a kiinduló helyzetben az egyenessel való érintkezési pont. A kört felosztjuk egyenlő részekre, itt egyenlő részre, a kör kerületét az ívek átmérésével felmérjük az alapegyenesre. Jelöljük a kör osztáspontjait B, B, B,..., B gyel, az egyenesét pedig A, A, A,..., A gyel. Az azonos indexű pontok a későbbiekben fedésbe kerülnek. Kiinduló helyzetben a kör B pontja esik egybe az egyenes A pontjával. Megrajzoljuk a gördülő kör egyes helyzeteit, összesen itt -t, s ezeken a körökön a leíró pont újabb helyzeteit. Pl. vegyük azt a helyzetet, amikor a gördülés során a B 5 pont az A 5 ponttal esik össze. Ekkor a leíró pont helyzete B 5 B távolsággal a körön kijelölhető. A ciklois ezen pontjához tartozó érintőjét megrajzolhatjuk, ha a B 5 =A 5 momentán pólussal összekötjük a B pontot, a erre B-ben merőlegest emelünk. Ezzel a módszerrel meghatározhatók a leíró pont további helyzetei, s az adott helyzeteknek megfelelően a görbe érintői. Ha megfigyeljük azt, hogy a gördülés során pl. a B pont új helyzetében olyan magasra emelkedett, mint amilyen magasról például a B 5 pont lesüllyedt, akkor adódik a következő szerkesztés: A gördülő kör B, B, B 3,..., B pontjaiból meghúzzuk az alapgörbével párhuzamos szintvonalakat, amelyekre B pont emelkedik akkor, amikor B, B, B 3,..., B pontok az alapgörbe megfelelő pontjával fedésbe kerülnek. Lemérjük a kör egy osztáspontjának a leíró ponttól való távolságát, például BB 5 t, s ezzel a körzőnyílással az A 5 pontból elmetsszük a B 5 ponton át rajzolt szintvonalat. Ezzel kijelöltük B pont új helyét. Az érintőt a már ismert módon rajzoltuk. Meg kell jegyeznünk, hogy a görbe A illetve A pontjában, a görbe csúcspontjában, ahol az érintési pont és a leíró pont összeesnek, az érintő merőleges az egyenesre. 8
Nyújtott ciklois Ha egy kör egyenesen való gördülése során a leíró pont a körön belül fekszik, akkor nyújtott cikloist (trochois) kapunk. Egy pont szerkesztése: A gördülő kört részre osztjuk, majd az egyenesen kijelöljük azokat a pontokat, melyekkel ezek a pontok fedésbe kerülnek a mozgás során. A gördülő körrel koncentrikus rajzolunk a leíró ponton keresztül, és ezt is felosztjuk egyenlő részre. Ez utóbbi osztáspontokból párhuzamos egyeneseket húzunk az egyenessel az előbb ismertetett meggondolás alapján. A szintvonalak akkor használhatók, ha (fentről kezdve): a 6-os pontok érintkeznek a 7-es vagy az 5-ös pontok érintkeznek a 8-as vagy az 4-es pontok érintkeznek a 9-es vagy az 3-ös pontok érintkeznek a 0-es vagy az -es pontok érintkeznek a -es vagy az -es pontok érintkeznek a -es pontok érintkeznek. Most a P pont azon helyzetét szerkesztjük, amikor a kör 4-es pontja és az egyenes 4-es pontja érintkezik. Lemérjük, hogy a kiinduló helyzetben a P és a kör 4-es pontjának távolságát, majd az egyenes 4-es pontjából ezzel a sugárral elmetsszük a megfelelő szintvonalat. Az egyenesen lévő 4-es pont most momentán pólus, a görbe t érintője a P4 egyenesre merőleges. Hurkolt ciklois Ha a leíró pont a gördülő körön kívül fekszik, akkor hurkolt ciklois keletkezik. Egy pont szerkesztése: Ugyanúgy szerkesztjük, mint a nyújtott ciklois egy pontját, annyi különbséggel, hogy a mozgó körön kívül helyezkedik el a P-n áthaladó, előzővel koncentrikus kör. 9
Epiciklois Ha a fixgörbe kör, és a gördülő kör az alapkör kerületén kívül gördül, akkor a gördülő körhöz rögzített pont csúcsos epicikloist ír le. Az ábráról leolvasható a görbe pontjainak szerkesztése, ami teljesen megegyezik a közönséges cikloisnál bemutatott szerkesztéssel. A gördülő kört felosztottuk egyenlő részre. Az egyes ívdaraboknak megfelelő távolságokat átmértük a fixkör kerületére is. Megrajzoltuk a gördülő kört új helyzeteiben. Ha a B pont azon helyzetét szeretnénk meghatározni, amikor a 3-as pontok érintkeznek, akkor az induló helyzetben körzőnyílásba vesszük a B3 távolságot, majd a fixgörbe 3-as pontjából elmetsszük a gördülő kör megfelelő helyzetét. 30
Nyújtott epiciklois Ha a leíró pont a gördülő körben van, akkor nyújtott epicikloist kapunk. A görbe pontjainak szerkesztése az előbbi leírás alapján szerkeszthető annyi különbséggel, hogy most nem a mozgó kör helyzeteit, hanem a vele koncentrikus, B- áthaladó kör új helyzeteit rajzoljuk meg, és ezeket metsszük a megfelelő távolságokkal. Hurkolt epiciklois Ha a leíró pont a gördülő körön kívül van, akkor a kapott görbe hurkolt epiciklois. A hurkolt cikloisnál megmutatott eljáráshoz hasonlóan szerkeszthetjük meg a hurkolt epiciklois pontjait. Az ott alkalmazott szintvonalakat koncentrikus szintkörök helyettesítik. 3
Hipociklois A fixgörbe és gördülő görbe most is kör, de most a fix kör kerületén belül gördül a másik kör. A gördülő görbéhez rögzített pontok hipocikloist írnak le. A leíró pont helyzete szerint ez ismét háromféle lehet, csúcsos, nyújtott, illetve hurkolt hipociklois. Pontjainak szerkesztése hasonló módon történik, mint az eddigiek. A görbe pontjaihoz húzott érintők ugyanúgy szerkeszthetők; mint a közönséges cikloisnál. A momentán pólust (az alapkör és gördülő kör érintési pontja) összekötjük a hozzátartozó epiilletve hipociklois ponttal, s ezen összekötő egyenesre merőlegest állítva megrajzoljuk a görbe érintőjét. Mind az epicikloisnál, mind pedig a hipocikloisnál a gördülő kör egy teljes körülfordulása után a leíró pont ismét az alapkörre jut és minden további körülfordulás alatt leírt görberész az előbbiekkel egybevágó. Az egy körülfordulás alatt leírt görberészt itt is egy menetek, vagy ágnak nevezzük. Az alap- és gördülő kör kerületének aránya megegyezik a sugarak arányával, így ha az alapkör sugara,, 3-szorosa a gördülő kör sugarának, akkor a görlék,, 3 menete (ága) van. Ha a sugarak r:r aránya racionális, a kapott görbe algebrai, egyébként transzcendens. A következő ábrákon hárommenetű csúcsos, nyújtott és hurkolt hipocikloist ábrázoltunk. A görbék egy-egy pontjában a már ismertetett módon meg is szerkesztettük az érintőt. 3
33
Az egymenetű csúcsos epiciklois neve kardiois (szívvonal). A négymenetű csúcsos hipociklois neve statrois (csillaggörbe). 34
Körevolvens Ha a fixgörbe kör, gördülő görbe pedig egyenes, az egyeneshez rögzített pontok evolvenst írnak le. Körön gördített egyeneshez rögzített pontok körevolvenst, egyéb görbén gördített egyenes pontjai általános evolvenst írnak le. Maga az evolvens lefejtő görbét jelent, akár más ismert görbe lefejtését is meghatározhatjuk. A körevolvens is a leíró pont helyzetétől függően háromféle lehet: csúcsos evolvens, ha a leíró pont a gördülő egyenesen van; nyújtott körevolvens, ha a leíró pont a gördülő egyenesnek az alapkörrel ellenkező oldalán van hurkolt körevolvens, ha a leíró pont a gördülő egyenesnek az alapkörrel egyező oldalán van A csúcsos evolvens egyes pontjainak szerkesztése: Az fix kört egyenelő részekre osztjuk, most 4 egyenlő részre. Az osztáspontokban meghatározzuk a kör érintőjét, majd minden érintőre felmérjük az érintési pont és a B pont közötti körív hosszát. A B-vel átellenes pontban már a fél kerületet kell felmérni. A momentán pólus mindig az aktuális érintkezési pont, ezért a B pont pályájának érintője a mindig merőleges a megfelelő köréirintőre. 35
Nyújtott körevolvens Hurkolt körevolvens 36
Az evolvens transzcendens görbe. A hurkolt körevolvens különleges esete az, amikor a leíró pont kiinduló helyzete az alapkör középpontjába esik. Az ily módon létrejött rulettát Archimedes-féle csigavonalnak nevezzük. Az evolvens görbe a műszaki gyakorlatban igen sokszor előfordul, mint fogaskerekek foggörbéje. 37
Térbeli merev rendszer mozgása Síkmozgás A merev rendszer pontjai egy adott síkkal párhuzamos síkon (síkokon) mozognak. Tekintsünk a térben két egyenlő hosszúságú szakaszt: AB-t, és ABt. Ezek mozgással fedésbe hozhatók. Mivel a pontok pályáját nem ismerjük, csak ezt a két állapotot, ezért a sok lehetséges mozgás egy síkmozgással helyettesíthető. Meghatározhatjuk azt a síkállást, amellyel párhuzamos síkokban mozognak a pontok. A síkállást az AA és BB vektorok feszítik fel, az A pont az ezzel párhuzamos Σ -val jelölt síkban, a B a A Σ síkban mozog. A B Σ A, Σ B, és minden velük párhuzamos síkban a síkbeli mozgásra vonatkozó tételek érvényesek. Az A pont az A-be forgatható minden olyan pont körül, amelyek a pontoktól egyenlő távolságra vannak. Ezeket a pontokat az AA szakasz felezőmerőleges síkja tartalmazza. Hasonló tulajdonsággal rendelkezik a BB szakasz felezőmerőleges síkja is. Mindkét sík a Σ A, körül emiatt az A pont az A-be, B a Σ B síkokra merőleges, ezért a t metszésvonaluk is. A t egyenes B -be és az AB szakasz bármely osztópontja az AB megfelelő osztópontjába forgatható. A t egyenest momentán tengelynek nevezzük, és az egyes Σ -kban lévő momentán pólusokat gyűjti össze. Gömbi mozgás Ebben az esetben egy AB szakasz úgy mozog a térben, hogy az A pontnak egy O ponttól mért távolsága nem változik, és ugyanez igaz a B pont esetén is. Ez azt jelenti, hogy az A pont egy O középpontú gömbön, és a B pont is egy ilyen gömbön mozog. Az AB szakasz a fenti mozgás során az AB helyzetbe került. Tekintsünk egy O középpontú gömböt, és a szakaszokat az O-ból a gömbre vetítjük. Ekkor az A, B, A, B pontoknak rendre az A, B, A, B pontok felelnek meg, a szakaszok vetületei AB, AB főkörívek lesznek. Az A egy főkörív mentén az A-be, egy másik főkörív mentén a B B-be forgatható. Tekintsük AA és BB főkörívek 38
felezőmerőleges síkjait. Ezek m metszésvonala áthalad az O ponton, mivel a felezőmerőleges síkok is áthaladtak az O-n. Az m egyenes körül az AB, AB főkörívek egymásba forgathatók, és ezzel az eredeti AB és A B szakaszok is egymásba forgathatók. A gömbi mozgás mindig helyettesíthető olyan tengely körüli forgatással, ahol a tengely egy rögzített ponton áthalad. Általános mozgás Párhuzamos síkokban fekvő, egybevágó és párhuzamos oldalakkal bíró háromszög megfelelő pontjait összekötő egyenesek egymással párhuzamosak. Így ezek egyetlen eltolással fedésbe hozhatók. Ezt tapasztaljuk, ha egy hasáb párhuzamos síkokkal alkotott metszeteit figyeljük. Ha két egybevágó háromszög egy megfelelő pontpárja egybeesik (vagyis ez a pont nem is mozdul el), akkor egyetlen tengely körüli forgatással a háromszögek fedésbe hozhatók. A forgástengely áthalad a fixen hagyott ponton, ezt tapasztaltuk a gömbi mozgás során. Ha két egybevágó háromszög általános helyzetű, azaz nem áll fenn az előbbi két eset egyike sem, akkor egyetlen eltolással elérhető, hogy egy megfelelő pontpár fedésbe kerüljön, és ezután egy tengely körüli forgatással maguk a háromszögek is fedésbe hozhatók. Ha az eltolás iránya megegyezik a forgástengely irányával, akkor tulajdonképpen egy csavarást hajtunk végre. Csavarás közben a pontok (például a háromszög csúcspontjainak) csavartengelytől mért távolsága és az egyenesnek (mondjuk a háromszög oldalegyeneseinek) a csavartengellyel bezárt szöge nem változik meg. A pontok pályái hengeres csavarvonalívek, melyeknek közös a tengelyük. f Határozzuk meg a csavartengelyt! Adottak az ABC és ABC egymáshoz viszonyítva általános háromszögek. Toljuk el a háromszögeket a tér egy pontjába úgy, hogy ott egy egymásnak megfelelő pontpár fedésbe kerüljön, mondjuk az A és A. Ebben a helyzetben a két háromszög egy forgatással fedésbe hozható, a forgatás f tengelye áthalad az A = A ponton. A csavartengely párhuzamos lesz ezzel a forgástengellyel. A csavartengely pontos helyének meghatározásához az eredeti helyzetben lévő háromszögeket f-fel párhuzamosan egy f-re merőleges síkra vetítjük. Mivel ezzel a síkkal az eredeti háromszögek egyenlő szöget zárnak be, a vetületeik is egybevágóak lesznek. 39