Készítette: Vidra Gábor 6 modul Koordinátageometria 1 Az egyenes
Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok Az egyenes jellemző adatainak ismerete, azok kapcsolata Az egyenes egyenleteinek ismerete, a megadott adatok alapján a célszerűbb egyenlet használata A háromszög nevezetes vonalainak tudatos áttekintése 8 óra 11 évfolyam Vektorok, vektorműveletek a koordinátasíkon Korábbi tanulmányok a vektorokról Egyenesek kölcsönös helyzetének ismerete Általános iskolából a lineáris függvény és grafikonjának ismerete A háromszögek nevezetes vonalai: szögfelező, szakaszfelező merőleges, magasságvonal, súlyvonal Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények értelmezésének kiterjesztése Folytatásként a kör egyenlete, és a kör és egyenes kölcsönös helyzete
Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számítás: Alakzat pontjainak koordinátái közötti kapcsolatok kiszámolása Zsebszámológép biztos használata Mennyiségi következtetés: A tanulók biztos eligazodása a koordinátasíkon Ismert adatokból logikus rend szerint ismeretlen adatok meghatározása Nagyon fontos a jó vázlat elkészítése, melyen az ismert adatokat célszerű színessel kiemelni A mennyiségek folytonosságának, fogalmának továbbfejlesztése Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: A feladatok várható eredményének becslése, különösen a szöveges feladatok esetén Koordinátákkal adott feladatok esetén az eredmények ellenőrzése a koordináta-rendszerben Szöveges feladatok, metakogníció: A geometriai feladok algebrai megoldása során keletkező hamis gyökök kiválasztásának képessége Szövegértelmezés továbbfejlesztése, a lényegkiemelő képesség fejlesztése A valóság tárgyainak geometriai modellezéséhez szükséges képességek fejlesztése Csoportmunkában a társak jó gondolatainak megismerése, elfogadása, helytelen következtetések cáfolata Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Egyszerűsítések felfedezése az ábrázolásból, az ábra és a számítás kapcsolatának elmélyítése A geometriai feladatok megoldási tervének elkészítési képessége A geometriai feladatok algebrai eszközökkel történő megoldásának képessége Geometriai fogalmak segítségével az absztrakciós képesség fejlesztése Induktív, deduktív következtetés: Összefüggések, képletek felfedezése gyakorlati tapasztalatból kiindulva, azok általánosítása és alkalmazása más esetekben
Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 4 AJÁNLÁS A modult úgy állítottuk össze, hogy az új anyag felfedezése korábbi ismeretekre támaszkodjon, amelyeket a modult megelőző vektorok modulban már megismertünk A mintapéldák a felfedezett új tudáselemek gyakorlati (koordinátageometriai) alkalmazását jelentik, ezért egyrészt a bemutató segítségével, csoportmunkában javasoljuk átvenni azokat, másrészt a tanulók a megoldás során ne használják a Tanulók könyvét Az ábrák színkódosak: kékkel jelöltük a megadott adatokat és pirossal azokat, amelyeket meg kell határozni a feladat megoldása során Az ellenőrzés párban módszer alkalmazásakor a feladatmegoldó vázlatot is készíthet és számol, míg ellenőrző társa a koordináta-rendszerben megszerkeszti a pontos ábrát és leolvassa a megoldást Általában hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy a szöveget kék vagy fekete tollal írják, az ábrákat pedig grafittal és színes ceruzával készítsék el, vonalzót használva A koordinátageometria feladatok során az alapszerkesztéseket (például merőleges szerkesztése) már nem körzővel és vonalzóval végezzük, hanem kihasználjuk a négyzetrács adta lehetőségeket és a vonalzón a beosztást TÁMOGATÓ RENDSZER A modulhoz a következő eszközök készültek: bemutató, amely tartalmazza az elméleti anyagot, a mintapéldákat és az eszközök alkalmazásához szükséges információkat; 61 kártyakészlet: csoportalakításhoz, amelyhez egyenesek rajzát vetítünk ki a tanulóknak meg kell találniuk azokat a társaikat, akiknek a kártyáján ugyanahhoz az egyeneshez tartozó pont található; 6 kártyakészlet: feldarabolt négyzetek, az egyenessel kapcsolatos alapfeladatok gyakorlásához; 6 igaz-hamis totó: 1+1 igaz-hamis kérdés az egyenes jellemzőiről (irányvektor, normálvektor, iránytényező); 64 diagnosztika a párhuzamos és merőleges egyenesekkel kapcsolatos ismeretek ellenőrzéséhez Nem kell minden feladatot megoldani a modulból A tanulócsoport igényeinek és tudásszintjének megfelelően lehetőségünk van differenciálásra és arra is, hogy a modul anyagát a heti óránál nagyobb óraszámban tanuló diákokkal is fel tudjuk dolgozni
Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 5 JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS 1 Az egyenes pontjai 1 mintapélda frontálisan, csoportalakítás a 61 kártyakészlettel, 6 kártyakészlettel egyenesek vizsgálata Feladatok megoldása 1 1 feladatokból egyenesek ábrázolása, leolvasása, egyenes pontjai Az egyenes egyenletei mintapélda csoportban (rejtvény), alakzat egyenlete (frontális tanári magyarázat), az egyenesek jellemzői (csoportban felfedezés), egyenesegyenletek 4 Egyenesek egyenletének felírása 1 1 alapfeladatokból, lehetőleg csoportmunkában 5 Az egyenes egyenleteinek alkalmazásai 6 totó ellenőrzéshez, mintapélda (csoportban), 7 feladatokból 6 Egyenesek kölcsönös helyzete Egyenesek metszéspontjának meghatározása (frontális tanári magyarázat), párhuzamos és merőleges egyenesek (4 mintapélda a tapasztalatszerzéshez), 8 6 alapfeladatok közül 7 Feladatok megoldása 65 triminó és 64 diagnosztika (csoportban), 5 és 6 mintapélda (frontális), 7 44 feladatokból 8 Vegyes feladatok 45 61 feladatok közül válogatunk (javasolt: tükrözéses feladatok, háromszöggel és négyzettel kapcsolatosak) ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK Középszint Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét Egyenesek metszéspontjának számítása Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit Elemi háromszög- és négyszög-geometriai feladatok megoldása koordinátageometriai eszközökkel Emelt szint Az egyenes egyenletének levezetése különböző kiindulási adatokból a síkban
Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 6 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszköz/Feladat/ Gyűjtemény I Az egyenes pontjai, ábrázolása 1 Ráhangolódás (frontális) Metakogníció, figyelem 1 mintapélda (bemutató) Csoportalakítás Kooperáció, kommunikáció, 61 kártyakészlet metakogníció, számolás Egyenesek vizsgálata (feldarabolt négyzetek, majd annak egy része) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, számolás, becslés, rendszerezés, 6 kártyakészlet (előbb a teljes, majd csak egy része) kombinatív gondolkodás 4 Egyenes ábrázolása, leolvasása, meredekség (tanári összefoglaló, Rendszerezés, figyelem, deduktív és induktív Bemutató frontális) következtetés 5 Feladatok megoldása (csoportmunkában) Kooperáció, kommunikáció, számolás, becslés, kombinatív gondolkodás 1 1 feladatokból válogatunk
Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 7 II Az egyenes egyenlete 1 Egyenes pontjai közötti kapcsolat felfedezése (csoportmunkában) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, számolás, becslés, kombinatív gondolkodás Görbe, egyenes egyenlete (frontális tanári magyarázat) Rendszerezés, figyelem, deduktív és induktív következtetés Az egyenes irányjellemzőinek felfedezése (csoportmunkában ötletroham, majd frontális tanári magyarázat irányszög, irányvektor, metakogníció, deduktív és induktív kö- Kooperáció, kommunikáció, normálvektor, iránytényező) vetkeztetés, számolás, becslés, ábrázolás 4 Az egyenes egyenleteinek ismertetése (frontális tanári magyarázat) Rendszerezés, figyelem 5 Egyenesek egyenletével kapcsolatos alapfeladatok (csoportmunkában, javasolt az ellenőrzés párban módszer) Deduktív és induktív következtetés, szá- Kooperáció, kommunikáció, figyelem molás, becslés, ábrázolás Matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása 6 Igaz-hamis totó (ellenőrzés, csoportmunka) Kooperáció, kommunikáció, metakogníció, deduktív és induktív következtetés, számolás 7 Az egyenes egyenleteinek alkalmazásai (feladatmegoldás csoportmunkában) metakogníció, számolás, becslés, ábrázo- Kooperáció, kommunikáció, lás Matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása mintapélda Bemutató Bemutató, függvénytábla 1 1 alapfeladatok közül válogatunk 6 totó mintapélda csoportban, majd 7 feladatokból válogatunk
Matematika A 11 évfolyam 6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 8 III Egyenesek kölcsönös helyzete 1 Egyenesek metszéspontjának meghatározása (frontális tanári magyarázat) Deduktív és induktív következtetés, számolás, figyelem, példakövetés, rendszerezés, Párhuzamos és merőleges egyenesek (tapasztalatszerzés csoportmunkában, kommunikáció, kooperáció majd tanári összefoglaló) Feladatok megoldása (tetszőleges módszerrel) Számolás, becslés, ábrázolás, képletek alkalmazása 4 Részösszefoglalás, ellenőrzés (csoportmunka, javasolt: Számolás, figyelem, rendszerezés, kooperáció, diákkvartett) kommunikáció, metakogníció 5 Iránytényezővel kapcsolatos mintapéldák (frontális feladatmegoldás) Számolás, becslés, ábrázolás, képletek alkalmazása, figyelem, deduktív és in- duktív következtetés 6 Iránytényezővel kapcsolatos feladatok megoldása (tetszőleges Számolás, becslés, ábrázolás, képletek módszerrel, javasolt csoportmunka: ellenőrzés párban) alkalmazása Bemutató 4 mintapélda, bemutató 8 6 alapfeladatok közül válogatunk 64 triminó, 65 diagnosztika 5 és 6 mintapélda 7 44 feladatok közül válogatunk IV Vegyes feladatok 1 Nehezebb feladatok megoldása (frontális feladatmegoldás; javasolt: tükrözéses feladatok, háromszöggel és négyzettel kapcsolatosak) Metakogníció, figyelem, számolás, becslés, ábrázolás, matematikai szöveg értése, képletek alkalmazása 45 61 feladatok közül válogatunk
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 9 I Az egyenes pontjai, ábrázolása Módszertani megjegyzés: Az első órán nincs szükség a Tanulók könyvére A tanár a modulhoz készített bemutatót és kártyakészleteket használja, a diákok az eszközöket és a füzetüket A koordináták és a velük kapcsolatos tevékenységek átszövik a mindennapjainkat még akkor is, ha ezzel nem vagyunk tisztában Mobiltelefonok használata, műholdas helymeghatározás, ábrák, képek, honlapok monitoron történő megjelenítése, adó-vevő antennák telepítése, csillagok tanulmányozása, robottevékenységek tervezése: mind-mind olyan feladat, amikor szükség van a koordinátákra mint a helymeghatározás vagy a mozgások leírásának legalapvetőbb eszközére Ebben a modulban megismerjük azokat a problémákat a koordinátageometriából, amelyeket egyenesekkel tudunk megoldani A koordináta-rendszert tartalmazó síkot koordinátasíknak nevezzük Ha kiegészítjük egy origón áthaladó, mindkét koordinátatengelyre merőleges z tengellyel (számegyenessel), akkor térbeli koordináta-rendszert kapunk A koordináta-rendszer x tengelyét abszcisszatengelynek, y tengelyét ordinátatengelynek nevezzük A koordinátasíkon minden pontot egy rendezett (azaz nem felcserélhető) valós számpár jellemez A számpár első tagját abszcisszának, második tagját ordinátának nevezzük Ezek a pont koordinátái Pont ( abszcissza; ordináta ) Módszertani megjegyzés: Az 1 mintapélda feldolgozását a Tanulók könyvében megjelenttől eltérően oldjuk meg Ennek az az oka, hogy a tanulókat rávezessük: egy pont akkor eleme egy egyenesnek, ha koordinátáit behelyettesítve igazzá teszik az egyenes egyenletét Ezt egymás utáni tanári kérdésekkel világítjuk meg, amelyeket természetesen nem írtunk bele a tanulói példányba, de a modulhoz tartozó bemutatón megtalálhatók Mintapélda 1 Döntsük el, hogy a P(1; 0), az R( ; 6) és az S(0; 40) pont eleme-e az e : y = x egyenesnek? Megoldás: Aki tud egyenest ábrázolni, az a P és R pontról valószínűleg könnyen el tudja dönteni, hogy rajta van-e, vagy sem Azonban a 40 mint koordiná-
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 10 ta általában kívül esik azon a tartományon, amit ábrázolni szoktunk, ezért találnunk kell egy másik módszert az eldöntésre Tanári kérdés lehet: Az ábrán látható az e egyenes grafikonja Olvassuk le az e egyenes néhány pontját! (0; ), ( 1; 4), (, 6), (; ), (; 4), Mondjunk további pontokat, amelyek az egyenesen találhatók! Mi a módszer, ami alapján dolgozhatunk? Egy pont akkor eleme egy egyenesnek, ha a pont megfelelő koordinátáit az egyenes egyenletébe behelyettesítve, az egyenes egyenlete igazzá válik Másképpen fogalmazva egy pont akkor van rajta az egyenesen, ha a pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét Az S(0; 40) pont koordinátáit behelyettesítve az e egyenes egyenletébe: 40 = 0 állítást kapjuk, ami nem igaz Az S pont koordinátái nem teszik igazzá az egyenes egyenletét, ezért S nem eleme e egyenesnek Ezzel szemben a P(1; 0) pont esetében 0 = 1 valóban fennáll, vagyis P e Hasonlóan: R e, mert 6 ( ) Csoportalakítás 61 kártyakészlettel Módszertani megjegyzés: A továbbiakban a tananyagot csoportbontásban célszerű feldolgozni Csoportbontáshoz használjuk a 61 kártyakészletet A tanulók feladata az, hogy megtalálják azokat a társaikat, akik a kártyájukon ugyanarra az egyenesre illeszkedő pontot kaptak 9 egyenes, és hozzá 6 kis kártya van a kártyakészletben Minden kártya számozott, így könynyen kivehetők azok a kártyák, amelyekre nincs szükség (mert 6-nál kevesebb tanuló van) Az egyenesek egyenleteit javasoljuk kivetíteni, a bemutatóban található dia segítségével A modulvázlatban megtalálható az eredmény Feldarabolt négyzetek (6 kártyakészlet) Módszertani megjegyzés: A következő feladat csoportmunka: minden csoport megkapja a 6 kártyakészletet, amelyben 8 egyenes grafikonja, egyenlete, tengelymetszetei és pontja alkot
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 11 egy négyzetet A feladat az, hogy az összetartozó kártyákat csoportosítva, mind a 8 nagyobb négyzetet rakják ki A modulvázlatban megtaláljuk az eredményt Egyenesek vizsgálata (6 kártyakészlettel) Módszertani megjegyzés: Most csak a 6 kártyakészletből az egyenesek egyenleteit és grafikonját tartalmazó kártyákkal dolgozunk 1 Mind a 8 egyenletből fejezzék ki a tanulók y-t Vizsgálják meg, hogy mi lehet a kapcsolat az y = mx + b alakú egyenlet és az egyenes grafikonja között! Az egyenesek grafikonjának elkészítésekor az egyenes egyenletének y = mx + b alakját használtuk általános iskolában m jelenti a meredekséget, b pedig azt az értéket, ahol az egyenes metszi az y tengelyt A meredekség megmutatja, hogy ha az egyenes egyik pontjától 1 egységgel x irányba lépünk, akkor y irányba hány egységet kell lépnünk egy másik pont megjelöléséhez Például az y = x 5 egyenes esetén m =, b = 5 Ábrázoláskor az y tengelyen 5 értékhez bejelöljük az egyenes egy pontját Az egyenes egy másik pontját kapjuk, ha 1-et jobbra, -őt felfelé lépünk a meredekségnek megfelelően Ekkor az (1; ) pontba érünk Megjegyzés: A koordináta-rendszerben egy egyenest úgy is ábrázolhatunk, hogy meghatározzuk két tetszőleges pontjának koordinátáit, ezeket kijelöljük és összekötjük Módszertani megjegyzés: A következő feladatok megoldását diákkvartett keretében javasoljuk Feladatok 1 Döntsd el, hogy eleme-e az e egyenesnek a P pont! 1) e : x y = 6, P(5; 4); ) e : x + 4y = 10, P( ; ); ) e : y + x 5 = 0, P( 1; ); 4) e : x = y + 6, P(; 14) Megoldás: Igen: 1) és ), nem: ) és 4)
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 1 Válaszd ki, hogy p mely értéke mellett illeszkedik az A(4, ) pont az e : x + py = 0 egyenesre! a) 4; b) 0,5; c) 0,5; d) 4; e) 0 Megoldás: d) 4 Válaszd ki a megadottak közül az e : x 5y = 4 egyenes y tengellyel alkotott metszéspontját! 4 4 4 4 a) ; b) ; c) 0 ; ; d) ; 0 ; e) (; 0) 5 5 4 Megoldás: c) 0 ; 5 4 A P(4; 6) pont illeszkedik az y = mx + egyenesre Mennyi az egyenes meredeksége? a) 4; b) Megoldás: d) 4 4 ; c) ; d) ; e) 4 4 5 Melyik értéknél metszi az e : x y = p egyenes az y tengelyt, ha az egyenes átmegy az R(6; 7) ponton? a) ; b) ; c) ; d) ; e) Megoldás: b) Módszertani megjegyzés: A következő feladatokban az egyenesek jellemző adatainak, valamint egyenletének leolvasása és ábrázolása a cél Több olyan feladat is előfordul, amelyeket később számítással, és nem leolvasással kell megoldani (akkor majd határozd meg vagy számítsd ki lesz a feladat kitűzésében), és erre a jövőben figyelnünk kell Érettségin nem fogadják el az egyenes egyenletének leolvasását, azonban a legtöbb koordinátageometriai feladat ellenőrzésében segít, ha biztonsággal ábrázolnak egyeneseket és olvassák le az egyenleteket a koordináta-rendszerből
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 1 6 Add meg az 5 x + y = 1 egyenes tengelymetszeteit (vagyis azokat az értékeket, amelyeknél az egyenes metszi a tengelyeket), és még - pontját ábrázolás nélkül! Megoldás: (,4; 0) és (0; 1) 7 Határozd meg az 5 x y = 10 egyenes metszéspontját az x tengellyel! Megoldás: (; 0) 8 Adott egy háromszög három csúcsa: A( 9; 4), B(; 4) és C(11; 4) Olvasd le az oldalegyeneseinek jellemző adatait és írd fel azok az egyenleteit! Megoldás: y = 4 ; y = x + ; y = x + 7 9 Adott egy háromszög oldalegyeneseinek egyenlete: y + x + 4 = 0; x = y 7; y + x = 4 Ábrázold koordináta-rendszerben a háromszöget, add meg csúcspontjainak koordinátáit, és határozd meg a háromszög területét! Megoldás: A csúcspontok leolvashatók: ( 6; 1), ( 1; 6), (4; 4) A terület 7,5 területegység 10 Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége, és a) az y tengelyt az A(0; ) pontban metszi! b) az x tengelyt a (4; 0) pontban metszi! Megoldás: Használjuk az y = mx + b alakot, behelyettesítve az adott pont koordinátáit a) = 0 + b, ahonnan b = Az egyenes egyenlete: y = x + b) 0 = 4 + b, ahonnan b = 8 Az egyenes egyenlete: y = x + 8 11 Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége 0,4, és átmegy az (5; 1) ponton! Megoldás: y = mx + b 1 = 0,4 5 + b, ahonnan b = Az egyenes egyenlete: y = 0,4x 1 Adott egy háromszög három csúcsa: A( 5; ), B(; ) és C(; 1) a) Lehet-e az e : x = y + 1egyenes a háromszög egyik oldalegyenesének egyenlete?
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 14 b) Lehet-e az f : x = y egyenes a háromszög egyik súlyvonalának egyenlete? Megoldás: a) Nem, mert nincs olyan pont a megadottak között, amely illeszkedik az egyenesre b) Igen, mert AB felezőpontja ( 1,5; 0,5), ami C-vel együtt igazzá teszi f egyenletét
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 15 II Az egyenes egyenlete Rejtvény Módszertani megjegyzés: A következő mintapéldát csoportoknak adjuk fel, hogy a keresett összefüggéseket megvitassák egymás között Ötletként javasolhatjuk a tanulóknak, hogy használják a koordináta-rendszert és az előző anyag tapasztalatait Mintapélda Megadunk néhány pontot, amelyek egy-egy egyenesen vannak Keressünk összefüggést a pontok koordinátái között! a) A( ; 1), B(4; ), C(10; 5); b) A(5; ), B( ; ), C(11; ); c) A( 4; 1), B( 4; ), C( 4; 5); d) A(0; 4), B( ; 6), C(1; 4) Megoldás: A három pont egy egyenesen fekszik Ábrázolás után leolvashatjuk az egyenesek egyenleteit: a) x = y 5 ; b) y = ; c) x = 4 ; d) x + y = 1 A koordinátageometriában a pontokat mindig koordinátáikkal jellemezzük Az alakzatoknak végtelen sok pontja lehet (egyenesek, körök, parabolák stb), ezért nem lehet egy alakzatot úgy megadni, hogy a pontjait felsoroljuk Helyette megadjuk azt, hogy milyen szabály érvényes az alakzat pontjainak koordinátáira Például az e: x = y 5 összefüggés egy egyenest ad meg, és minden kétismeretlenes, elsőfokú egyenlet (x és y ismeretlenekkel) megfeleltethető egy egyenesnek a koordinátasíkon Úgy is fogalmazhatunk, hogy 1 az egyenes minden pontjának két koordinátájára érvényes az egyenletében megadott összefüggés (vagyis az e pontjainak x és y koordinátájára érvényes, hogy x = y 5 ), ugyanakkor csak az egyenesen találhatók olyan pontok a koordinátasíkon, amelyeknek koordinátáira érvényes az összefüggés (vagyis az összes pont, amelynek x és y koordinátájára x y = 5 fennáll, rajta van az e egyenesen) Megjegyzés: Sok alakzat egyenlete az egyenes egyenleténél algebrailag bonyolultabb Az alábbi ábra példákat mutat görbékre és egyenleteikre:
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 16 Általánosságban egy alakzat egyenletén olyan egyenletet értünk, amelyet az akakzat pontjainak koordinátái, és csakis azok tesznek igazzá Másképpen fogalmazva, egy alakzat egyenletét pontjainak koordinátái kielégítik, és a pontjain kívül semmilyen más pont koordinátái nem elégítik ki Ha az alakzat egyenlete y = 4, akkor a pontjai (x; 4) alakúak, ahol x végigfutja a valós számok halmazát Ez az alakzat egy x tengellyel párhuzamos egyenes Egy alakzat egyenlete alkalmas arra is, hogy ha egy pontjának megadjuk az egyik koordinátáját, akkor az egyenletből meghatározhatjuk a másik koordináta értékét Például ha a pont a x y = 5 egyenes egyik pontja, és a pont y koordinátája 1, akkor ezt behelyettesítve az egyenletbe, megkapjuk a pont x koordinátáját: x 1 = 5 x =, vagyis a pont a (; 1) Megjegyzés: A számítógépek a görbéket ugyanilyen elv alapján tárolják és ábrázolják: részgörbékre bontják, és a képpontok helyett a görbék egyenleteinek megfelelő kifejezéseket, kiszámított állandókat tárolják Az egyenes irányának jellemzői Módszertani megjegyzés: Javasoljuk, hogy csoportmunkában a tanulók keressenek további jellemzőket, amelyek meghatározhatják az egyenesek irányát Szögek, vektorok jöhetnek számításba, azonban hagyjuk, hogy ezeket ők maguk találják ki A Tanulók könyvét nem nyithatják ki Javasolt módszer: ötletroham Ha végképp nem megy, akkor keresztkérdésként feltehetjük ezeket:
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 17 1 Mi a kapcsolat az y = x 4 egyenes, az (1; ) vektor és a (; 6) vektor között? Mi a kapcsolat az y = x + egyenes, a ( ; 1) vektor és a (4; ) vektor között? Mi a kapcsolat az y = x + egyenes, a (; ) vektor és 45 között? Az egyenes irányát jellemző mennyiségek: irányvektor, v(v 1 ; v ): olyan vektor, amely az egyenessel párhuzamos, és hossza nem nulla; normálvektor, n(a; B): olyan vektor, amely az egyenesre merőleges, és hossza nem nulla; irányszög, α: az egyenesnek az x tengely pozitív irányával bezárt szöge, nagysága 90 < α 90 ; meredekség, m: például az y = mx + b alakú egyenes egyenletéből határozhatjuk meg; azt mutatja meg, hogy az x tengely pozitív irányába egységnyit lépve mennyit emelkedik vagy süllyed az egyenes Az egyenes meredekségének két másik elnevezését is használjuk: iránytényező és iránytangens A meredekség az egyenes irányszögének tangensével egyenlő: m = tg α Megjegyzés: Nem minden egyenesnek van meredeksége 90 -nak nincs tangense, ezért az x = állandó egyenletű, y tengellyel párhuzamos egyenesek esetén iránytényezőről nem beszélhetünk
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 18 Az egyenes egyenletei Módszertani megjegyzés: Az egyenesek egyenletei a függvénytáblában megtalálhatók Szoktassuk rá diákjainkat, hogy a feladat adatainak megfelelő összefüggést megtalálják, és azt helyesen alkalmazzák Egyszerűsége miatt a normálvektoros és az iránytényezős egyenleteket használjuk a megoldások során, de természetesen ez nem kötelező Az egyenes egyenletének felírásához szükségünk van az egyenes egy pontjára, amit P 0 (x 0 ; y 0 )-lal jelölünk Ezenkívül vagy egy másik pont, vagy egy olyan adat, amelyik az egyenes irányát jellemzi A v(v 1 ; v ) irányvektorú, P 0 (x 0 ; y 0 ) ponton átmenő egyenes egyenlete (röviden irányvektoros egyenlet): v ( x x ) = v ( y ), átalakított formájában vx v1 y = vx0 v1 y0 0 1 y0 Az n(a; B) normálvektorú, P 0 (x 0 ; y 0 ) ponton átmenő egyenes egyenlete (röviden normálvektoros egyenlet): Ax + By = Ax 0 + By0 Az m iránytangensű, P 0 (x 0 ; y 0 ) ponton átmenő egyenes egyenlete (röviden iránytényezős egyenlet): y y = m x ) 0 ( x0 Ezt átalakítva kapjuk a jól ismert y mx + b = alakot ( b ) = y 0 mx 0 Megjegyzések: 1 Ha P 1 ( x1 ; y1 ) és P ( x ; y ) az egyenes két pontja, akkor egy irányvektor a pontok koordinátáiból is meghatározható: v (v 1 ; v ) = v (x x 1 ; y y 1 ) Az egyenes egyenletei egymásból levezethetők A meredekség és az irányvektor között találjuk a következő kapcsolatot: m v y 1 = tgα = = v1 x x1 Ezt beírva az iránytényezős egyenletbe: y y = ( x ) v 1 -el szorozva v ( y y ) = v ( x ) 1 0 x0 y v 0 x0 v1, vagyis az irányvektoros egyenlet adódik
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 19 A normálvektoros egyenlet is levezethető az irányvektoros egyenletből Ehhez azt használjuk fel, hogy a normálvektort +90 -kal vagy 90 -kal elforgatva az egyenes egy irányvektorát kapjuk: n(a; B) (B; A) v 1 helyébe B -t, v helyébe ( A) -t helyettesítünk az irányvektoros egyenletbe, és átalakítjuk: A x x = B y y Ax + By = Ax + ( ) ( ) By 0 0 0 0 4 Az ismertetett egyenleteken kívül az egyenesnek több egyenlete is ismeretes Az egyenes egyenletének általános alakja: Ax + By + C = 0, ahol A, B és C állandók (A és B közül legfeljebb az egyik lehet 0, azaz A + B 0) Térben ez kiegészül az Ax + By + Cz + D = 0 alakra ( A + B + C 0 ) Módszertani megjegyzés: Érdeklődő diákok figyelmét felhívhatjuk további példákra Az egyenes egyenletének létezik tengelymetszetes alakja, Hesse-féle normálalakja, paraméteres egyenletrendszere stb, valamint a függvénytáblában megtalálható a két adott ponton átmenő egyenes egyenlete is A következő feladatok megoldásához javasoljuk a csoportmunkát, például az ellenőrzés párban módszert az ellenőrző tanuló megrajzolja az egyenest a koordináta-rendszerben Önálló munka esetén kérjük az ábra elkészítését is az egyenes egyenletének felírásán kívül Feladatok 1 Határozd meg a következő egyenesek meredekségét, irányszögét, valamely irányvektorát és normálvektorát! Megoldás: 1 a) m = tgα = α 6, 6, v(; 1), n(1; ) vagy n( 1; ); b) m = tgα = α 1, 7, v(; ), n(; ) vagy n( ; ); c) m = tgα = α 146,, v(; ), n(; ) vagy n( ; )
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 0 14 Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek irányvektora v, és átmegy a megadott ponton! a) v(; 5), A(1; ); b) v( ; 7), B(0; ); c) v(0; 4), C(0; 0); d) v( ; ), D( 4; 6) Megoldás: a) 5x y = 4 ; b) 7x + y = 6 ; c) x = 0 ; d) x + y = 10 15 Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek normálvektora n, és átmegy a megadott ponton! a) n( ; 5), A(; 0); b) n(0; ), C(0; 0); c) n(5; 10), B( ; 4); d) n( ; ), D( ; ) Megoldás: a) x + 5y = 9 ; b) y = 0; c) x + y = 6; d) x + y = 5 16 Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek meredeksége m, és átmegy a megadott ponton! a) m = 4, A(4; ); b) m = 1, B( ; ); c) m =, C(4; ); d) m = 0, D( ; ) Megoldás: a) y = x 5 ; b) y = x 4 ; c) y = x + ; d) y = 4 17 Írd fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelynek irányszöge α, és átmegy a megadott ponton! a) α = 45, A ( ; 4) ; b) α = 15, P(0; ) ; c) α = 60, C (5; 1) ; d) α = 141,, R(5; 6) Megoldás: a) y = x + 7 ; b) y = x + ; c) y = x 1 5 ; d) y = 0,8x + 10 18 Határozd meg a következő egyenesek irányszögét, valamely irányvektorát és normálvektorát! a) e : x y = 5 ; b) f : 4y 7 = x ; c) g : x + 7 = 0; d) h : y = Megoldás: Egy normálvektor leolvasható az Ax + By = Ax 0 + By0 alakból, a meredekség pedig v az y = mx + b alakból, de a feladat másképpen is megoldható, például m = v 1 A = B Eredmények: a) n(; 1), v(1; ), m = ; b) n(; 4), v(4; ), m = 0,5; c) n(1; 0), v(0; 1), m nincs; d) n(0; 1), v(1; 0), m = 0
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 1 19 Az egyenes négy irányjellemző adatából (α, m, v és n) egyet megadtunk Add meg a többi jellemző értékét! a) m = ; b) v( ; 7); c) n( 5; ); d) α = 66, 04 Megoldás: a) v 1 ;, n ; 1, α, 7 ; b) n(7; ), 7 m =, α 11, ; 5 c) v(; 5), m =, α 11 ; d) m, 5, v(1;,5), n(,5; 1) 6 igaz-hamis totó: igaz-hamis kérdések az egyenes jellemzőiről Módszertani megjegyzés: Minden csoport kap egyet a totóból, amelyet adott időre kell kitölteni Javasoljuk, hogy ezután a tanár maga javítsa ki így kap egyfajta képet arról, hogy a tanulók mennyire értik az anyagot Mintapélda Adott A( 4; 1), B(4; 5) és C(4; 5) Írjuk fel az ABC háromszög néhány nevezetes vonalának egyenletét: m c magasság, s a súlyvonal és k c középvonal egyenletét keressük Megoldás: Az egyenesek egyenletéhez olyan vektorokat keresünk, amelyek párhuzamosak az adott egyenessel vagy merőlegesek rá m c felírásához az AB vektort használjuk, mert merőleges m c -re, így normálvektor: n = AB ( b1 a1; b a ) = AB(8; 4) n(8; 4) m c : C(4; 5) Ax + By = Ax + By 8x + 4y = 8 4 4 5 m c 0 : x + y = 0 / : 4 s a egyenes párhuzamos AF vektorral Az AF -t meghatározzuk, ez a keresett súlyvonal egyenesének egyik irányvektora Az egyenes egyenletének meghatározásához mindegy, hogy az A vagy az F pont koordinátáit helyettesítjük be, ugyanazt az eredményt kapjuk
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató b + c b + c 1 1 A felezőpont: F ; = F( 4; 0) AF s a ( f1 a1; f a ) = AF(8; 1) v(8; 1) : F(4;0) v x v y = v x 1 x 8y = ( 1) 4 8 0 s a : x + 8y = 4 0, v y k c középvonallal párhuzamos az AB, és a középvonal átmegy az F felezőponton Mivel ( 8; 4) AB, ezért a normálvektor: n(4; 8) k c n(4; 8) : F(4;0) Ax + By = Ax 4x 8y = 4 4 + c : x y = 4 0 1 + By 0 ( 8) 0 0 / : 4 Feladatok 0 Készíts vázlatot, majd írd fel az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! a) A( 1; 5), B(5; 1); b) A( ; ), B(7; 4); 8 10 c) A( ; 1), B(1; 7); d) A ;, B ; 1 Megoldás: a) F(; ), n = AB ( 4; 4), y = x ; b) 5 x y = 1; c) x y = 5 ; d) x y = 1 1 Adott egy háromszög három csúcsa: A(; 5), B(0; 4), C( 4; 4) Lehet-e az e : y = x + 7 egyenes a háromszög egyik magassága? Megoldás: Segít az ábrázolás, mert megsejthető belőle, hogy melyik oldalhoz tartozó magasság lehet az e egyenes BC ( 4;8), az e egyenes normálvektora (1; ), vagyis e merőleges BC oldalra A koordinátái igazzá teszik e egyenletét, ezért A illeszkedik e-re, és így e az ABC háromszög A-beli magassága Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik a tengelyeket az A és B pontokban metszi! a) A(; 0), B(0; 6); b) A( 4; 0), B(0; ); c) A( 6; 0), B(0; 5); d) A(; 0), B(0; 5) Megoldás: a) v = ( ; 6) AB n(6; ); bármelyik ponttal: x + y = 6 ; b) y = x + 4 ; c) 6 y + 5x + 0 = 0 ; d) 5 x y = 15
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató Mekkora területű háromszöget vág le a tengelyekből az az egyenes, amely az AB vektorral párhuzamos, és átmegy a P ponton? a) A(; 5), B(4; ), P( ; 1); b) A(1; 4), B( ; ), P(4; 4) Megoldás: a) v = ( ; ) AB n(; ); az egyenes: x + y = 11, tengelymetszetei: 11 x =, 11 1 11 11 11 y =, a terület: T = = 10, 1 te; 1 b) v = ( ; ) AB n(; ); az egyenes: x y = 4, tengelymetszetei: x =, 4 1 4 4 y =, a terület: T = = 1, te 4 Egy háromszög oldalfelező pontjai P( ; 0), Q(0; ) és R(; ) Határozd meg a háromszög oldalait alkotó egyenesek egyenleteit! Megoldás: Például a PR irányvektorú, Q-n áthaladó egyenes az egyik oldalegyenes A keresett egyenletek: x + y = 10; y = x + 6; x 5y = 10 5 Adott A(; 4), B( 5; 4) és C(0; ) Írd fel az ABC háromszög legrövidebb oldalának és a hozzá tartozó nevezetes vonalaknak (oldalfelező merőleges, magasság, súlyvonal, középvonal) az egyenleteit! Megoldás: A legrövidebb oldal az AC Egyenlete: y = x +, az oldalfelező merőleges: x + y =,5, a magasságvonal: y = x, a súlyvonal: 6 x 1y =, a középvonal: x + y = 6 6 Bizonyítsd be, hogy A( 7; 0), B( 1; ) és C(8; 5) egy egyenesbe eső pontok! 1 Megoldás: Meghatározva az AB és AC vektorokat megállapítható, hogy ezek egymás skalárszorosai: AB ( 6; ) és ( 15; 5) 5 AC, AC = AB, így párhuzamos vektorok Mivel kezdőpontjuk megegyezik, a három pont egy egyenesbe esik Megoldás: Felírjuk bármelyik kettőn átmenő egyenes egyenletét ( y = x + 7 ) és a harmadik pont koordinátáit behelyettesítve megmutatjuk, hogy azok igazzá teszik az egyenletet 7 Adottak az A( 5; 4), B(1; 0) és C( 11; 6) pontok Bizonyítsd be, hogy ez a három pont nem esik egy egyenesbe! Megoldás: Az AB egyenes egyenlete: x + y = A C koordinátái nem teszik igazzá az egyenletet
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 4 III Egyenesek kölcsönös helyzete Egyenesek metszéspontja Két metsző egyenes metszéspontja mindkét egyenesre illeszkedik, ezért a metszéspont koordinátái igazzá teszik mindkét egyenes egyenletét Az egyenesek (és bármely két görbe) metszéspontját úgy határozzuk meg, hogy megoldjuk az egyenleteikből álló egyenletrendszert Feladatok 8 Egy négyzet A csúcsából kiinduló két oldalának egyenlete y = x 4 és y + x = Válaszd ki az A csúcs az origótól mért távolságát az alábbiak közül! a) 6; b) 7; c) 8; d) 9; e) 10 Megoldás: A(6; 8), és 10 egység a távolság: e) 9 Készíts vázlatot, majd határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad az e és f egyenes metszéspontján, és még egy adott P ponton! Megoldás: a) : x + y = 1; f : y + 5 = x; P( ; 1) e ; b) : y = x + 1; f : y + 1 = x; P( 1; ) e ; c) : y = x + 17; f : 4y + x = 6; P( ; 1) e a) Az egyenletrendszer megoldása után a metszéspont: ( ; 1) b) A metszéspont: ( 7; 4) c) A metszéspont: ( 4; 4,5) R, a megoldás: x 4y = 5; R, a megoldás: 4y + 7x = 10 R, a megoldás: y = 1;
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 5 0 Adott a háromszög három csúcsa: A( 5; 5), B(7; 1), C( 1; 7) Határozd meg az C csúcshoz tartozó magasság talppontját! Megoldás: A talppont: T = c m Az m c egyenes normálvektora: AB ( 1; 4), és az egyenes c átmegy az C csúcson Egyenlete: m c : x y = 4 A c oldal egyenlete: c : x + y = 10, metszéspontjuk: T (,;,6) 1 Adott a háromszög három csúcsa: A(0; 6), B( 6; ), C(4; ) Határozd meg a következő pontokat: a) Az a oldalhoz tartozó magasság és a b oldalhoz tartozó súlyvonal metszéspontja; b) A c oldalhoz tartozó magasság és a c oldalhoz tartozó középvonal metszéspontja; c) A háromszög magasságpontja; Megoldás: a) m a = BC( 10; 4) ( 0; 6) n : ma :5x y = 1 ; A a1 + c1 a + c ; ( ; ) ; s : y = F = F b Az egyenletrendszert megoldva, a keresett pont: ( 1,6; ) b) Hasonlóan: m : x + y = 8; k : x y = c c A metszéspont: 0 ; 1 1 c) M = m a mc, a magasságpont: 1 19 M ; 4
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 6 Párhuzamos és merőleges egyenesek Mintapélda 4 Módszertani megjegyzés: a bemutató segítségével érdemes kivetíteni a mintapéldát, vagy sokszorosítva kiadni a csoportoknak Egy háromszög csúcsai: A(0; ), B(8; ), C( 4; 5) a) Írjuk fel a C csúccsal szemközti oldalegyenes (c), a c oldalhoz tartozó magasság (m) és oldalfelező merőleges (f), valamint a c oldallal párhuzamos középvonal (k) egyenletét! b) Határozzuk meg c, k, m és f egyenesek valamely irányvektorát, valamely normálvektorát és meredekségét! c) Hasonlítsuk össze az előbb kapott értékeket és keressünk szabályt: mikor párhuzamos egymással két egyenes, illetve mikor merőleges egymásra két egyenes? Megoldás: 90 a) AB ( b a b a ) AB( 8; 6) (6; 8) 1 1; a + c a + c 1 1 AC felezőpontja: ; = ( ; 1) a + b a + b 1 1 AB felezőpontja: ; = ( 4; 0),, v = AB(8; 6) c : c : x 4y = 1 A(0; ) v = AB(8; 6) k : c : x 4y = 10 (-; 1) = AB(8; 6) m : n n = AB(8; 6) c : 4x + y = 9 f : c : 4x + y = 16 A(0; ) (4; 0) b) A normálvektorokat leolvassuk az egyenesek Ax + By = Ax 0 + By0 alakú egyenletéből: n c (; 4); n k (; 4); n m (4; ); n f (4; ) A normálvektort 90 -kal elforgatva kapunk irányvektorokat: v c (4; ); v k (4; ); v m (; 4); v f (; 4) A meredekségeket leolvashatjuk, ha az egyenesek egyenleteit y = mx + b alakúra átalakítjuk, de használhatjuk az v m = v 1 összefüggést is: m c = 4 4 4 m k = m m = m f = ; 4 ; ;
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 7 c) Egymással párhuzamos egyenesek esetén az irányvektorai, illetve a normálvektorai is párhuzamosak (egymás skalárszorosai) Irányvektora azonban végtelen sok lehet egy egyenesnek, ezért célszerű az iránytényezők között is összefüggést megfogalmazni (mármint ha van az egyenesnek iránytényezője) Természetesen a párhuzamos egyenesek irányszöge megegyezik, míg a merőleges egyenesek irányszögének különbsége 90 Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha iránytényezőjük megegyezik: e f m e = m Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha iránytényezőjük egymás negatív reciproka: e f m f e 1 = m f A fenti feltételrendszer csak iránytényezővel rendelkező egyenesekre érvényes (A merőleges esetben egyik iránytényező sem nulla) Feladatok 4 Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik merőleges az f : y = x + 4 7 egyenesre, és átmegy a P(; 6) ponton! Megoldás: A keresett egyenes iránytényezője: után: 7 x + 4y = 45 7 m =, egyenlete 4 7 45 y = x + 4 4 rendezés Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik párhuzamos az f : 4y + x = 1, egyenessel, és átmegy a P( 5; ) ponton! Megoldás: Leolvassuk a normálvektort: n f (1; 4), ez a keresett egyenes normálvektora is egyben Felírva a normálvektoros egyenletet, a megoldás: x + 4 y = 4 Az e egyenes egyenlete: 4y = px 5
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 8 a) Igaz-e, hogy p = esetén e párhuzamos az f : y + 1 = 4x egyenessel? b) p milyen értéke mellett lesz e merőleges az f : y + = 1x egyenesre? Megoldás: a) Átalakítva az egyenes egyenletét: = p 5 4 x p y, vagyis a meredekség p = esetén 4 4 4 1 4 a meredekség f meredeksége: f : y = x miatt Mivel a két meredekség 4 nem egyenlő, az egyenesek nem párhuzamosak b) f : y = 4x A merőlegesség feltétele az, hogy a meredekségek egymás negatív p 1 reciprokai legyenek: = p = 1 4 4 5 Az alábbi egyenesek közül melyik merőleges az y + x = 5 egyenesre? e : y = x + 1 1 f : y = x + g : y = x 1 h : y = x i : y = x Megoldás: f 6 Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad e : y = x + 10és f : y + x = 5 egyenesek metszéspontján, és párhuzamos a g : y = x + egyenessel! Megoldás: e és f metszéspontja az egyenletrendszer megoldása után: P( 1; ) g normálvektora: (; ) lesz a keresett egyenes normálvektora A végeredmény h : x y = 11 7 Határozd meg annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik áthalad e : y + x = 1és f : y + = x egyenesek metszéspontján, és merőleges a g : y + x = 5 egyenesre! Megoldás: e és f metszéspontja az egyenletrendszer megoldása után: P(1; 1) g normálvektora (; ), ezt 90 -kal elforgatva (; ) lesz a keresett egyenes normálvektora A végeredmény h : x y = 5
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 9 64 triminó Az eddigi feladatok összefoglalásaként használhatjuk a 64 triminót, csoportmunkában 65 diagnosztika Diagnosztikai céllal javasoljuk a 65 következő kérdéssort, amelyet diákkvartettben is feldolozhatunk A bemutató tartalmazza a feladatokat, de feladatlapot is találunk az eszköz leírásánál A feladat ismertetése után adjunk időt a csoportoknak, hogy a választ megbeszélhessék, majd a tanár jelére a csapatok szóvivői egyszerre, feltartott ujjaik számával jelzik a megoldás számát Ha több megoldás is van, akkor mindkét kézzel jelez egy-egy jó megoldást a jó megoldások száma egyik kérdés esetében sem több kettőnél Olyan feladatok következnek, amelyekben az iránytényezőt célszerű használni Mintapélda 5 Határozzuk meg a következő két egyenes hajlásszögét: e : y = x 7 és f : y = x + 6 4 Megoldás: A feladat megoldásához célszerű felrajzolni az egyeneseket és az ábrán megvizsgálni a hajlásszögüket, amelyek nagysága az iránytangensekből számítható: tgα1 = α1 6, 4 és tgα = α 6, 87 4 A két szög összege adja a hajlásszöget: α1 + α 100, Mivel ez 90 -nál nagyobb, ezért a megoldás 180 100, = 79, 7 Mintapélda 6 Határozzuk meg a következő két egyenes távolságát: e : y = x 4 és f : y = x + 1 Megoldás: Észrevehetjük, hogy a két egyenesnek egyenlő az iránytényezője, ezért párhuzamosak Az f egyenes egyik tetszőleges pontját (P) kiválasztva, ezen át merőlegest állítunk az e egyenesre (g) és meghatározzuk e és g metszéspontját (R) Végül kiszámítjuk a PR távolságot (d)
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 0 ( ; 6) P g : y 6 = = m = R = e g e : x + y = 8 g : x + y = ( x ) g : x + y 68 50 R ; 1 1 196 d = PR = ( p1 r1 ) + ( p r ) PR =, 9 1 Megoldás: Tekintsük az ábrán látható ABC derékszögű háromszöget, melynek α szöge az egyenesek irányszögével egyenlő: m = tgα = α 56, Az AB távolság meghatározásához tudjuk, hogy AC = 7 egység, és az ABC háromszögből szögfüggvénnyel kiszámítjuk a keresett távolságot: d = AC cosα, 9 Megjegyzés: Mindkét megoldási módszernek van előnye és hátránya Az első megoldás több számolással (és ezzel együtt több hibázási lehetőséggel is) jár, viszont pontos irracionális értéket kapunk A második esetben rövidebb, egyszerűbb a számítás, de a kerekítések (és a lehetséges kerekítési hibák) miatt előfordulhat, hogy az előzőnél kevésbé pontos megoldást kapunk Feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladatokat javasoljuk csoportmunkában, ellenőrzés párban módszerrel feldolgozni Az ellenőrző tanuló a koordináta-rendszerben rajzol, hogy a végén a számított és a leolvasott értékeket összevethessék 8 Határozd meg az origó és az adott egyenesek távolságát, ha a) y +1 = x ; b) y = 4 x + 10; c) 5 x + 8y = 16 ; d) x = 8y + 1 1 1 Megoldás: a) y = x 4 tgα = α 18, 4, d = 4 cosα,8 Hasonlóan számítva, a következő közelítő értékeket kapjuk: b),4; c) 1,7; d) 1,5
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 1 9 Határozd meg a P pont és az e egyenes távolságát, ha a) P( 4; 4), e : x = ; b) P( 4; 7), e : y = x + ; c) P( 4; 1), e : x + y = 16 Megoldás: a) Egyszerűbb esetekben leolvasható a távolság: 7; b) Felírjuk az adott P ponton áthaladó, e-re merőleges egyenes egyenletét (f), majd a metszéspont (R) kiszámítása után meghatározzuk a PR távolságot Megjegyzés: A távolság kiszámításához használhatjuk azokat a derékszögű háromszögeket, amelyek átfogóját a rajzon szaggatott vonallal jelöltük ( 0,5;,5), d = = 40,5 6, 4 f : y = x +, R PR ; 68 79 c) f : y = x + 10, R ;, d = PR = 7, 5 1 1 1 40 Határozd meg e és f egyenesek hajlásszögét! a) e : y = x + 7, f : y + x = 5 ; b) e : y = x + 1, és az f egyenes áthalad a P(0; 4) és R( ; ) pontokon Megoldás: a) Meghatározzuk az ábrán látható szögeket a két egyenes 1 hajlásszögéből: tgα1 = α1 6, 57 és tg( α ) = α 56, 1 A két szög összege a megoldás: α 8, 9 b) Hasonlóan járunk el, mint az a) esetben, csak előbb f egyenletét meg kell határoznunk f y = x 4 α 71, 57 : α1, 69, ahonnan a hajlásszög: α 74, 7 (két egyenes hajlásszöge 0 és 90 közé esik)
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 41 Határozd meg e és f egyenesek távolságát, ha a) e : y = x 5; f : y = x + ; b) e : 5y + 4 = x; f : x + 7 = 5y ; c) e : 4x + y = ; f : 4x + y = 1 Megoldás: a) Tekintsük azt a derékszögű háromszöget, amely átfogójának végpontjai az egyenesek y tengellyel alkotott metszéspontjai, hossza 8 egység Az irányszög m = tg α = miatt α 71, 6, és d = 8 cosα,5 Hasonlóan számítva: 11 b) m = tgα = α 1,8, d = cosα, 0 ; 5 5 4 10 m = tgα = α 16,9, d = α c) sin( 180 ), 7 4 Egy négyzet A csúcsából kiinduló két oldalának egyenlete y x = 15és y = x 15 Válaszd ki az A csúcs az origótól mért távolságát az alábbiak közül! a) 6; b) 9 5 ; c) 8; d) 45 ; e) 10 Megoldás: A( 6; ), és 45 egység a távolság: d) 4 Egy négyzet két oldalegyenesének egyenlete: x + 5y = 10 és x + 5y = 15 Határozd meg a négyzet területét! Megoldás: A négyzet oldalának hossza a két egyenes távolsága (d) Az egyenesek iránytényezője, ahonnan az ábrán jelölt szög: 5 α 1, 0 A keresett távolság: d = 5cosα 4, 9, a négyzet területe: d 18, 4 te
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 44 Egy szabályos hatszög két oldalegyenesének egyenlete: 4 y = x + 18 és 4y = x 1 Határozd meg a hatszög területét! 1 0 Megoldás: tg α = α 14, 0, és d = cosα 7, 8 4 4 d 7,8 = m = r r = 4,0, T = 6 r 45,9 te 4 45 Egy repülő a megfigyelő radar képernyőjén az e : 4y + x = 7 egyenletű egyenesen halad Mellette mindkét oldalon, tőle 4 egység távolságban két másik repülő nyomvonala látható Határozd meg a másik két repülő útjának egyenletét! 7 Megoldás: Átalakítva e : y = x, 4 4 4 tg α = α 6, 87, t = = 5, így a két párhuzamos 4 cosα 1 egyenes egyenlete: y = x + x + 4y = 1és 4 4 7 y = x x + 4y = 7 4 4
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 4 IV Vegyes feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladatok egyik célja a gyakorláson kívül az algoritmikus gondolkodás elsajátítása A feladatok megoldásának kezdetén átgondoljuk a lépéseket, vagyis egy stratégiát dolgozunk ki, amely után már csak a konkrét számításokat kell elvégezni A feladatok megoldásához érdemes vázlatot készíteni úgy, mint ahogyan a síkgeometriai feladatok megoldása során tesszük, és a megoldás menetét a kész ábra alapján könnyebb megtalálni Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a szerkesztett ábrák nem jelentik a megoldás ellenőrzését, de útmutatónak és becslésre megfelelőek Például az egyenes kiszámított egyenletét y = mx + b alakra hozzuk, és összevetjük a szerkesztett ábra megfelelő egyenesével Javasoljuk a következő feladatok megoldását önállóan, esetleg tanári segítséggel végezni 46 Adott az egyenlőszárú háromszög alapjának két végpontja: A( 1; 1) és B( 5; 5), a harmadik (C) csúcs az e : y + = x egyenesre illeszkedik Határozd meg C koordinátáit! Megoldás: AB felezőpontja: F( ; ), ( 4; 6) BA az alap felezőmerőlegesének normálvektora f : x y = 1 C = e f, az egyenletrendszert megoldva C(; 6)-nak adódik 47 Adott egy háromszög két csúcsa: A( 5; ) és B(9; 6), valamint a súlypontja S(; 1) a) Határozd meg a hiányzó C csúcsot! b) Határozd meg a háromszög oldalegyeneseit! Megoldás: a) A súlypont képletéből C(; 6) b) Az oldalegyenesek: a : 1x + 7y = 66, b : 9x 7y = 4, c : x + 14y = 57 48 A P pontot tükröztük az e egyenesre Határozd meg a tükörkép (P ) koordinátáit! a) e : y + 4x = 9, P( 4; ) ; b) : y + 6 = x, P( 6; ) Megoldás: Felírjuk a P-n átmenő, e-re merőleges f egyenes egyenletét, majd kiszámoljuk e és f metszéspontját (K) PK -t K-ból felmérve kapjuk P koordinátáit 90 f a) n ( 4; ) n ( ; 4) e e
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 5 ( ; 4) ( 4; ) n f : f : x = y + P Az eredmény: P (1,; 0,4) 90 b) n ( ; 1) n ( 1; ) e f ( 1; ) ( 6; ) n f : f : x + y = P Az eredmény: P ( ; 0) ; K e f K( 1,4; 1,7 ), PK(,6; 1,) = ; ; K e f K( 1, 5; 15, ), PK( 4, 5; 15, ) = ; 49 Egy tűzoltó helikopter repül a B(8; 6) bázisról a T( 4; ) tűzesethez, miközben vizet vesz fel az y = 1egyenletű folyóból Határozd meg a folyónak azt a pontját, amelyet a lehető legrövidebb út megtétele közben érintenie kell! Megoldás: T pontot tükrözzük az y = 1egyenesre (T ), felírjuk f egyenletét és meghatározzuk y = 1és f metszéspontját (P) 90 T ( 4; 4), T ' B( 1; 10) n(10; 1) f egyenlete: 5 x 6y = 4, a keresett pont koordinátái: P ; 1 5 50 Egy biliárdasztal egyik sarkához rögzített koordináta-rendszerben a piros golyó az A(4; 4) pontban, a kék golyó a B(16; 10) pontban áll A pirossal a falat (x tengelyt) érintve kell eltalálni a kék golyót a) Milyen egyenletű egyenes mentén kell elindítani a piros golyót? b) A faltól számítva milyen szögben indítsuk a piros golyót?
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 6 Megoldás: A pontot tükrözzük az x tengelyre az ábra szerint, így kapjuk A pontot A és B pontokon átmenő e egyenes egyenletét kell felírni, majd megvizsgálni a hajlásszögét 5 A ' 4; 4, e : 7x = 6y + 5 P ; 0 és A(4; 4) pontok egyenese: 7 x + 6y = 5 7 a) ( ) 7 b) e hajlásszöge: m = α 49, 4, ekkorának kell lennie az indítási szögnek, a gurítás iránya ekkora szöget zár be az x tengellyel (a 6 fallal) 51 Egy biliárdasztal egyik sarkához rögzített koordináta-rendszerben a piros golyó az A(; 10) pontban, a kék golyó a B(16; 4) pontban áll A pirossal mindkét falat (y, majd x tengelyt) érintve kell eltalálni a kék golyót a) Milyen egyenletű egyenes mentén kell elindítani a piros golyót? b) Milyen szögben indítsuk a piros golyót? Megoldás: A pontokat tükrözzük a koordináta-tengelyekre az ábra szerint, így kapjuk az A és B pontokat Ezen a két ponton átmenő e egyenes segítségével kell felírni az AM egyenes egyenletét, majd megvizsgálni a tengelyekkel bezárt hajlásszögét a) A '( ; 10), B' ( 16; 4), e : 7x + 9y = 76 e metszés- 76 pontja az y tengellyel: 0 ;, a keresett egyenes 9 ezen és az A ponton megy keresztül Az eredmény: 7x 9y = 76 7 b) e meredeksége, irányszöge β = 14,1, 90 α 7,9 α 5, 1 szöget zárjon be a golyó útja az y tengelyen levő 9 fallal 5 Egy háromszög két csúcsának koordinátái A( 5; 5) és B(1; 6), és a harmadik csúcsnál levő szöget az y = egyenes felezi Határozd meg a harmadik csúcs koordinátáit! Megoldás: B pontot tükrözzük az y = egyenesre: B (1; ), és az AB egyenes egyenletének felírása után meghatározzuk
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 7 az y = egyenessel vett metszéspontját Az egyenes egyenlete: x y = 5, a keresett pont: C(9; ) 5 Adott az A( 5; ) és B(7; 6) pont Határozd meg az x tengelynek azt a P pontját, amelyre az APB törött vonal hossza a lehető legrövidebb! Megoldás: B-t tükrözzük az x tengelyre (B ) Az x tengely bármelyik Q pontjára AQB és AQB törött vonal hossza egyenlő (a tengelyes tükrözés távolságtartása miatt) AQB akkor a legrövidebb, ha az A, Q és B egy egyenesen vannak Felírjuk az AB egyenes egyenletét: x + 4y =, és ennek x tengellyel vett metszéspontja, a ( 1; 0) pont a megoldás 54 Állítsunk az e : y = x + 4 egyenesre merőlegest a 4 abszcisszájú pontjában Ennek az egyenesnek melyik lesz az a pontja, amelynek az ordinátája kétszer akkora, mint az abszcisszája? Megoldás: x = 4 behelyettesítése után adódik az e egyenes P(4; 4) pontja e normálvektora ( 1; ), ezt 90 -kal elforgatva kapjuk a keresett f egyenes normálvektorát: (; 1), amiből f : x + y = 1 y = x behelyettesítése után a megoldás: (; 6) 55 Egy négyzet átlójának egyenese e : 5y = x + 1, egyik csúcsa A(; 7) Határozd meg a négyzet többi csúcsát! Megoldás: Felírjuk az A ponton átmenő, e egyenesre merőleges f egyenletét, majd kiszámoljuk a metszéspontjukat (K) AK és 90 -os elforgatottjai segítségével felírjuk a négyzet B és D csúcsát 90 e : x + 5y = 1 n e f ( 5; 1) ( ; 7) n f : f : 5x + y = 8 A 1 K = e f K ; ( 1; 5) n ( 5; 1)
Matematika A 11 évfolyam Tanári útmutató 8 AK 15 1 1; AK ( k a k a ) ; ; AK -t K pontból felmérve kapjuk a C(0; 8) csú- 15 csot Ha 90 -kal elforgatjuk AK -t: ; és ezt, valamint az ellentettjét felmérjük K- ból kapjuk a másik két csúcsot: B( 6; 1) és D(9; ) 56 Az A(; 6) pont és e : x + y = 5 egyenesre tükrözött képe (C) egy négyzet szemközti csúcsait adják Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! Megoldás: Meghatározzuk f egyenletét, kiszámoljuk e és f metszéspontját (K), majd AK vektort használva kapjuk a négyzet hiányzó csúcsait n e 90 f ( 1; ) n ( ; 1) ( ; 1) ( ; 6) f n : f : y = x A ; ( 1; ), ( ; 4) K = e f K AK Az eredmények: C( 1; ), B( ; 4), D(5; 0) 57 A( ; 6) a négyzet egyik csúcsa, e : 18x 4y = 5 az egyik középvonala Határozd meg a hiányzó csúcsokat! Megoldás: Az e-re merőleges, A-ra illeszkedő f felírása után kiszámoljuk e és f metszéspontját (F), AF -et F-ből felmérve kapjuk B-t AB = AF és ezt 90 -kal elforgatva, majd az A és B pontokból felmérve számítjuk a további csúcsokat (Két négyzetet kapunk) n e 90 18 f ( ; 4) n ( 4; 18) ( 4; 18) ( ; 6) n f : f : x + 9y = 50 ; A (,5; 5), ( 4,5; 1) F = e f F AF Az eredmények: B(7; 4), C 1 (5; 5), D 1 ( 4; ), C (9; 1), D (0; 15)
6 modul: Koordinátageometria 1 Az egyenes Tanári útmutató 9 58 Egy háromszög egyik csúcsa A( 6; 0), másik két csúcson átmenő magasságvonal egyenlete m b : 9x + 5y = 4 és : 5x y = 0 Határozd meg a háromszög hiányzó csúcsainak koordinátáit! Megoldás: A b egyenes merőleges m b -re és áthalad az A csúcson m b normálvektora: (9; 5), ezt 90 -kal elforgatva kapjuk az (5; 9) vektort, amelyik b normálvektora b egyenlete: 5x 9y = 0, és C = b, ahonnan C(; 5) Hasonlóan, B( 1; ) m c m c 59 A g : y + x = 6 egyenesnek melyik pontja van egyenlő távolságra az e : y = x + 10 és f : y = x 6 párhuzamos egyenesektől? 1 1 Megoldás: Átalakítva e : y = x + 5, f : y = x, így a középpárhuzamosuk egyenlete 1 h : y = x + 1 A keresett pont: h g, az egyenletrendszert megoldva (; ) adódik 60 Adott a háromszög B( 6; 6) csúcsa, valamint az a oldalhoz tartozó súlyvonalának és Megoldás: magasságvonalának egyenlete: s : 9x 8y + 6 = 0, m :5y = 4x + 6 Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit! A = s a m A(6; 10); a m a -ra merőleges, B csúcson áthaladó a oldalegyenes egyenlete a : 5x + 4y = 6, F = a s F( ; 1) C-t úgy kapjuk, hogy a BF (4; 5) vektort felmérjük F-ből: C(; 4) a a a