Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a = 4 (c) c = 5 ; c a = (d) a = 5; c b = 16 (e) b = 1; c b = 1 (f) c a = ; c b = 5 (g) c a = 5 1 ; b = 1 (h) m c = 4; a = 5 Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. (a) c a = 1,8; c b =, (d) a = 5; c b = 16 c = c a + c b = 1,8 +, = 5 a = c c a = 5 1,8 = 9 a = b = c c b = 5, = 16 b = 4 = 4 = 6 (b) c = 10; c a = 4 c b = c c a = 10 4 = 6 a = c c a = 10 4 = 40 a = 10 b = c c b = 10 6 = 60 b = 15 = 10 15 = 10 6 c = c a + c b a = (c a + c b ) c a 5 = c a + 16 c a / 75 = c a + 16c a 0 = c a + 16c a 75 D = 16 4 ( 75) = 4 16 + 4 c a = = c = c a + c b = + 16 = 5 b = c c b = 5 16 = 5 4 5 = (e) b = 1; c b = 1 0 = 50 = 0 (c) c = 5 ; c a = c b = c c a = 5 = 16 a = c c a = 5 = 5 a = 5 b = c c b = 5 16 b = 5 4 5 = 0 = 50 = 0 b = c c b 1 = c 1 / : 1 c = 169 1 c = c a + c b 169 1 = c a + 1 / 1 c a = 169 144 1 = 5 1 a = c c a = 169 1 5 = 65 1 1 1 a = 1 5 1 = 845 88 = 65 1
(f) c a = ; c b = 5 c = c a + c b = + 5 = 7 a = c c a = 7 = 14 a = 14 b = c c b = 7 5 = 5 b = 5 = = 14 5 = 7 10 (g) c a = 5 1 ; b = 1 c = c a + c b b = (c a + c b ) c b ( ) 5 144 = 1 + c b c b / 1 1 144 = 5c b + 1c b / 1 144 0 = 1c b + 5c b 187 D = 5 4 1 ( 187) = 1 5 + 1 c b = = 144 1 1 c = c a + c b = 5 1 + 144 1 = 169 1 = 1 a = c c a = 1 5 1 = 5 a = 5 = 5 1 = 0 (h) m c = 4; a = 5 c a = a m c = 5 4 = 9 c a = c = a = 5 c a = 5 c b = c c a = 5 = 16 b = c c b = 5 16 b = 5 4 5 = 0 = 50 = 0. Bizonyítsuk, hogy a derékszögű ABC háromszögben a szokásos jelölést megtartva c a = a c b b összefüggést. a b = c c a c c b = c a c b. Az M a k(s; r) körön kívül fekszik és a k kör legközelebbi pontjától p távolságra van. Az M pontból a k körhöz húzott t 1, t érintők T 1, T pontokban érintik a kört. A T 1 T egyenes a kört U 1 U szeletekre osztja. Állapítsuk meg a körszeletek m 1, m magasságát. SMT 1 derékszögű háromszögre felírjuk a befogótételt: r = (r m 1 ) (r + p) = r + rp m 1 (r + p) / r + m 1 (r + p)
Másrészt m = r m 1 = r rp rp m 1 (r + p) = rp / : (r + p), m 1 = rp r + p. = r(r + p) rp r + p = r + rp rp r + p = r + rp r + p = r(r + p) r + p 4. Egy ABCD téglalap méretei AB = a, AD = b = a. Milyen arányban osztja fel az M pont a BD átló hosszát, ha az M pont az A-ból a BD egyenesre húzott k merőleges rtalpontja. c a c b = c c a c c b = a b = ( a 4 Az M pont a BD átlót 4 : 1 arányban osztja. a ) = a a = 4 5. Adott a k(s; r) kör és az AB átmérő. Szerkesszünk a körhöz az A pontban t érintőt, és számítsuk ki annak a k 1 körnek a sugarát, amely átmegy a B ponton, érinti a t érintőt és középpontja a k körön van. Az ABC derékszögű háromszögre felírva a befogótételt: Látjuk, hogy ez egy másodfokú egyenlet: r 1 = r (r r 1 ) r 1 = 4r rr 1 / + rr 1 4r r 1 + rr 1 4r = 0, D = (r) 4 ( 4r ) = 4r + 16r = 0r = 4 5r = Mivel csak pozitív megoldás lehetséges, ezért r 1 = r + 5r = r ( ) 5 r = r 5 1 ( 5 r). 6. Adott az ABCD téglalap, melynek méretei AB = a, BC = b. Jelöljük M-mel a B pontból az AC egyenesre húzott k merőleges talpontját, és számítsuk ki az AM, CM, BM szaaszok hosszát az a, b oldalak segítségével.
c = a + b c = a + b a = c AM AM = a c = a a + b b = c CM CM = b c = b a + b BM = AM CM = BM = ab a + b a a + b b a + b 7. Milyen távolságra van a k(s; r) kör középpontjától az az M pont, amelyből a k körhöz húzott érintők derékszöget zárnak be? Mi a Mértani helye az adott feltételt teljesítő M pontnak? AM BS négyzet. Az SM B derékszögű háromszögre felírjuk Pitagorasz tételét: d = r + r = r d = r 8. A k 1 (S 1 ; r 1 ) és k (S ; r ) körök kívülről érintik egymást. Számítsuk ki a közös t érintőjük T 1, T érintési pontjaival határolt szakasz nagyságát. Legyen T S T 1 T. Ekkor S 1 S T derékszögű háromszögre felírjuk Pitagorasz tételét: d + (r 1 r ) = (r 1 + r ) d + r 1 r 1 r + r = r 1 + r 1 r + r d = 4r 1 r d = r 1 r 9. Szerkesszük meg Euklidész magasságtételének felhasználásával az alábbi husszúságú szakaszokat: (a) 10 (b) 1 (c) 4 (d) 18 Írjuk le a szerkesztés menetét. A szerkesztésnél felhasználjuk Euklidesz magasságtételét: m c = c a c b
(a) 10 Legyen m c = 10 = 5, ekkor AB = 7. Szerkesztés menete: AB = 7, k az AB fölé szerkesztett félkör, T az AB-re illeszkedik, AT =, BT = 5, t a T ponton áthaladó AB-re merőleges egyenes, C a t egyenes és a k kör metszéspontja, T C = 10 (b) 1 Legyen m c = 1 = 7, ekkor AB = 10. Szerkesztés menete: AB = 10, k az AB fölé szerkesztett félkör, T az AB-re illeszkedik, AT =, BT = 7, t a T ponton áthaladó AB-re merőleges egyenes, C a t egyenes és a k kör metszéspontja, T C = 1 (c) 4 Legyen m c = 4 = 6 4, ekkor AB = 10. Szerkesztés menete: AB = 10, k az AB fölé szerkesztett félkör, T az AB-re illeszkedik, AT = 4, BT = 6, t a T ponton áthaladó AB-re merőleges egyenes, C a t egyenes és a k kör metszéspontja, T C = 4 (d) 18 Legyen m c = 18 = 6, ekkor AB = 9. Szerkesztés menete: AB = 9, k az AB fölé szerkesztett félkör, T az AB-re illeszkedik, AT =, BT = 6, t a T ponton áthaladó AB-re merőleges egyenes, C a t egyenes és a k kör metszéspontja, T C = 18
10. Milyen x valós szám esetén derékszögű az a háromszög, melynek oldalai: (a) 1, 1, x (b) x, x + 5, x + 10 (a) 1, 1, x I. eset: (c) 7, x, x + 1 (d) x, x + 1, x + (e) x, x + 18, x x = 1 + 1 = 144 + 169 = 1 x = 1 II. eset: x + 1 = 1 / 1 x = 5 x = 169 144 = 5 (b) x, x + 5, x + 10 x + (x + 5) = (x + 10) x + x + 10x + 5 = x + 0x + 100 / x 0x 100 x 10x 100 = 0 D = 10 4 ( 100) = 500 x = 10 + 10 5 = 5 ( 1 + ) 5 (c) 7, x, x + 1 I. eset: 7 + x = (x + 1) 49 + x = x + x + 1 / x 1 48 = x x = 4 II. eset: x + (x + 1) = 7 x + x + x + 1 = 49 / 49 x + x 48 = 0 / : x + x 4 = 0 D = 1 4 ( 4) = 97 x = 1 + 97 (d) x, x + 1, x + x + (x + 1) = (x + ) x + x + x + 1 = x + 4x + 4 / x 4x 4 x x = 0 x = + 4 D = ( ) 4 ( ) = 16 = 4 =
(e) x, x + 18, x I. eset: x + (x + 18) = (x ) x + x + 6x + 4 = 4x 8x + 4 / 4x + 8x 4 x + 44x + 0 = 0 x x 160 = 0 / : ( ) D = ( ) 4 ( 160) = 114 x = + 4 81 = 11 + 81 II. eset: x + (x ) = (x + 18) x + 4x 8x + 4 = x + 6x 4 / x 6x 4 4x 46x 0 = 0 / : x x 160 = 0 D = ( ) 4 ( 160) = 1809 x = + 1809 11. Az ABC háromszög két oldalának hossza a = 5 cm, b = 0 cm, a harmadik oldalhoz tartozó magasság m c = 4 cm. Számítsuk ki a c oldal hosszát. Az AT C derékszögű háromszögre felírjuk Pitagorasz tételét: x + 4 = 0 / 4 x = 900 576 = 4 x = 18 Az BT C derékszögű háromszögre felírjuk Pitagorasz tételét: y + 4 = 5 / 4 y = 65 576 = 49 x = 7 c = x + y = 18 + 7 = 5 1. Mekkora a négyzet oldala, ha átlója cm-rel hosszabb az oldalánál?
Pitagoras tételét felírva: a + a = (a + ) a 4a 4 = 0 a = a + 4a + 4 / a 4a 4 D = ( 4) 4 ( 4) = = a = 4 + 4 ( = 1 + ) ( 4 ) 1. Mekkora az r sugarú körbe írt négyzet oldala? Pitagoras tételét felírva: a + a = (r) a = 4r / : a = r a = r 14. Mekkora a téglalap köré írt körének sugara, ha a téglalap oldalai a és b? Pitagoras tételét felírva: (r) = a + b 4r = a + b / : 4 r = a + b 4 a + b r = 15. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 8 dm és 18 dm. Számítsuk ki a köré írt körének sugarát. Pitagoras tételét felírva: (r) = 8 + 18 4r = 64 + 4 = 88 / : 4 r = 97 r = 97 16. Egy rombusz kerülete 1 m, átlóinak aránya : 4. Határozzuk meg az átlók hosszát. A rombusz oldalának hossza a = 1 4, átlóinak aránya f e = e, ekkor f = 4 4
Pitagoras tételét felírva: ( e ) + ( f ) = 4e + 4f = 1 ( ) 1 / 16 4 4e + 4 9e 16 = 1 / 4 16e + 9e = 4 5e = 4 / : 5 e = 4 5 e = 5, f = 4 5 = 10 17. Egy húrtrapéz alapjai 7 cm, illetve 4 cm, szárai, 5 cm. Mekkora a trapéz magassága? Pitagoras tételét felírva: ( ) ( ) 5 m + = m + 9 4 = 5 / 9 4 4 m = 4 m = 18. Bizonyítsuk be, hogy egy derékszögű trapézban az átlók négyzetenek különbsége megegyegyizik az alapok négyzeteinek különbségével. Az ABD és ACD derékszögű háromszögekre felírjuk pitagorasz tételét: d + a =f d + c =e a c =f e 19. Határozzuk meg, mekkora részekre osztja az egyenlő szárú derékszögű háromszög befogóját a szemköztö szög szogfelezője.
Legyen AD a szögfelező, továbbá x = CD, y = BD. C tükörképe a szögfelezőre C, ami az AB átfogóra illeszkedik. Ekkor DC = DC = x, AC = AC = a, C D = C B = x, AB = a + x. Az ABC derékszögű háromszögre felírjuk Pitagorasz tételet: (a + x) = a + a a + ax + x = a / a x + ax a = 0 D = ( a) ( a ) = 4a + a = 5a x = a + a 5 x + y = a y = a x = a a + a 5 = 4a a 5 0. Igazoljuk, hogy a derékszögű ABC háromszög m c magasságára teljesül: m c = ab, ahol a, b a háromszög két befogója, c pedig a háromszög c átfogója. a = c c a c a = a c b = c c b c b = b c m c = c a c b = a c b c m c = ab c 1. Adott az ABCD téglalap. AB = 5 cm, BC = cm. Számítsuk ki a D pont távolságát az AC átlótól. d = ab c = c = 5 + = 4 ab a + b = 15 4 4 4 = 15 4 4