MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 8. évfolyam eszközök tanárok részére 1. félév

A kiadvány az Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterve alapján készült. A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen. Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné Szakmai tanácsadó: Szeredi Éva Alkotószerkesztő: Vépy-Benyhe Judit Grafika: Pusztai Julianna Lektor: Makara Ágnes Felelős szerkesztő: Teszár Edit Szerzők: Benyhe László, Lénárt István, Mendelovics Zsuzsa, Orosházi Katalin, Pusztai Julianna, Szeredi Éva,, Vépy-Benyhe Judit Educatio Kht. 2008.

tartalomjegyzék 0811. modul 1. melléklet........................................................................... 1 0811. modul 2. melléklet........................................................................... 2 0812. modul 3. melléklet Önértékelő lap............................................................ 3 0812. modul 4. melléklet Feladatok................................................................ 4 0812. modul 5. melléklet Becslési táblázat........................................................... 5 0812. modul 6. melléklet Feldolgozható szövegek.................................................... 9 0812. modul 7. melléklet Borítékos segítség......................................................... 13 0813. modul 1. melléklet........................................................................... 14 0813. modul 2. melléklet Kérdés-felelet............................................................. 15 0813. modul 3. melléklet Mintapéldák szakértői csoportnak.......................................... 16 0813. modul 4. melléklet Borítékos feladatsor A G................................................... 18 0813. modul 5. melléklet Önértékelő lap............................................................ 22 0813. modul FELMÉRŐ............................................................................ 23 0821. modul 1. melléklet DOMINÓ................................................................ 25 0821. modul 2. melléklet Algebrai osztókártya...................................................... 29 0821. modul 3. melléklet Algebrai osztókártya...................................................... 31 0821. modul 4. melléklet........................................................................... 32 0821. modul 7. melléklet Puzzle-játék elemei........................................................ 34 0832. modul felmérő............................................................................ 42 0841. modul 2. melléklet FÓLIA................................................................... 43 0841. modul 3. melléklet FÓLIA................................................................... 44 0842. modul 2. melléklet FÓLIA................................................................... 46 0842. modul 3/A melléklet.......................................................................... 47 0842. modul 3/B melléklet FÓLIA................................................................. 49 0843. modul felmérő............................................................................ 50 0852. modul 1. melléklet FÓLIA................................................................... 51 0852. modul 2. melléklet FÓLIA................................................................... 52 0852. modul 3. melléklet FÓLIA................................................................... 54 0852. modul 4. melléklet FÓLIA................................................................... 55 0854. modul felmérő............................................................................ 56 0854. modul 1. melléklet FÓLIA................................................................... 60 0854. modul 2. melléklet FÓLIA................................................................... 61

0811. modul 1. melléklet Matematika A 8. évfolyam tanároknak A hatszög átlóinak a száma Egy olyan szám, aminek a 10-szerese 2-vel kevesebb, mint 92 Az 1,6 hatszorosánál 0,6-del kevesebb A 72 nyolcadrésze A 2 cm és 3 cm oldalú téglalap területének a mérőszáma Egy olyan szám, aminek a negyede a 15 tizedrésze A 0,7 nyolcszorosánál 0,4-del több A 9 2 3 része Az a szám, amely a 7 abszolút értékénél 4-gyel kisebb A térfogat mértékegységeinek hatványkitevője Egy olyan szám, aminek a nyolcszorosa 4-gyel több, mint 20 A 0,4 ötszörösénél 1-gyel több A 70-nek az 1 10 -szerese Egy egyenlő szárú háromszög kerületének a mérőszáma, ha az alap 3 cm, a szárak pedig 2 cm hosszúak Egy olyan szám, aminek az ellentettje 1-gyel több, mint 8 Az 1,2 felének a tízszeresénél 1-gyel több A 0,6 tízszeresénél 2-vel kevesebb A 24 hatodrésze A 16 cm 2 területű négyzet oldalának mérőszáma Egy olyan szám, aminek a kétszerese a 16 fele Az 1,4-nél 0,6-del nagyobb szám négyszerese A 10-nek a 4 5 része A 2 harmadik hatványa Egy olyan szám, ami 3-mal több, mint a 15 harmada Egy olyan szám, aminek a fele, a 10 negyede A 0,8 felének a 10-szeresénél 1-gyel több A 35-nek az 1 7 -szerese Annak a sokszögnek az oldalszáma, amelynek 5 átlója van A terület mértékegységeinek hatványkitevője 0,25-nak a nyolcszorosa 1 ellentettjénél 3-mal nagyobb Az a szám, melynek kétszerese 11-gyel több 3 ötszörösénél

0811. modul 2. melléklet Matematika A 8. évfolyam tanároknak 2 3 4 5 6 7 8 9

0812. modul 3. melléklet Önértékelő lap Matematika A 8. évfolyam tanároknak Igyekezz őszinte válaszokat adni a kérdésekre, hogy ha szükséges, segíthessünk, és segíthess. A betűjelek a tangram gyakorló feladatoknak felelnek meg. Tegyél i jelzést minden sorban abba az oszlopba, aminek megállapítása igaz rád. Ismeretanyag Tudom Értem, de még gyakorolnom kell Nem értem, segítséget kérek A 1-nél nagyobb számok normálalakja B Hatványalak, szorzatalak C Zárójelezés hatványoknál D A hatványérték kiszámítása E Együttható és kitevő megkülönböztetése F Azonos alapú hatványok szorzása és osztása G Szorzat és hányados hatványozása, azonos kitevőjű hatványok szorzása és osztása Igyekezz őszinte válaszokat adni a kérdésekre, hogy ha szükséges, segíthessünk, és segíthess. A betűjelek a tangram gyakorló feladatoknak felelnek meg. Tegyél i jelzést minden sorban abba az oszlopba, aminek megállapítása igaz rád. Ismeretanyag Tudom Értem, de még gyakorolnom kell Nem értem, segítséget kérek A 1-nél nagyobb számok normálalakja B Hatványalak, szorzatalak C Zárójelezés hatványoknál D A hatványérték kiszámítása E Együttható és kitevő megkülönböztetése F Azonos alapú hatványok szorzása és osztása G Szorzat és hányados hatványozása, azonos kitevőjű hatványok szorzása és osztása Igyekezz őszinte válaszokat adni a kérdésekre, hogy ha szükséges, segíthessünk, és segíthess. A betűjelek a tangram gyakorló feladatoknak felelnek meg. Tegyél i jelzést minden sorban abba az oszlopba, aminek megállapítása igaz rád. Ismeretanyag Tudom Értem, de még gyakorolnom kell Nem értem, segítséget kérek A 1-nél nagyobb számok normálalakja B Hatványalak, szorzatalak C Zárójelezés hatványoknál D A hatványérték kiszámítása E Együttható és kitevő megkülönböztetése F Azonos alapú hatványok szorzása és osztása G Szorzat és hányados hatványozása, azonos kitevőjű hatványok szorzása és osztása

0812. modul 4. melléklet Feladatok Matematika A 8. évfolyam tanároknak A. A vegyészek szerint a fa és a szén minden hőfokon egyesül, de alacsony hőfokon olyan lassan, hogy nem tudjuk figyelemmel kísérni. A kémiai reakció sebességének törvénye szerint, ha a hőmérséklet 10 C-kal csökken, a reakció sebessége a felére esik vissza. Ha 1 g fa 600 C-os lángban 1 másodperc alatt ég el, akkor mennyi idő alatt ég el 1 g fa 20 C-on? B. Ha minden napot csak úgy különböztetünk meg, hogy derűs vagy borús, hány különböző hét lehetséges? Biztos, előfordulhat vagy lehetetlen, hogy egy éven belül két hét egyforma? 1 év = 52 hét. A kérdés tehát az, hogy 52-nél több, vagy kevesebb a különböző hetek száma? C. Egy orosz hivatalban régi páncélszekrényre bukkantak. A kulcsot is megtalálták, de nem ismerték a zár titkát. Az ajtón 5 db koncentrikus kör mentén a régi orosz abc 36 betűje szerepelt. A zár akkor nyitható, ha az öt körön egy bizonyos sugár mentén a középponttól kifelé haladva egy konkrét betűsor helyezkedik el. Ha egy beállítás 3 másodpercig tart, biztos-e, hogy 10 munkanapon belül kinyitják a zárat? D. Régen a kerékpárok hatjegyű rendszámot kaptak. Egy babonás ember félt a nyolcas számtól, ezért olyan rendszámot szeretett volna, amelyben nincs nyolcas. Úgy gondolkodott, hogy mivel 10 számjegy van, és abból számára csak egy szerencsétlen, és ez a nyolcas, 90%-os eséllyel szerencsés rendszámot kap. Igaza volt-e? E. Vajon hányféle sakkjátszma lehetséges? Képes lenne e egy ember az élete során az összes lehetséges játszmát lejátszani, ha 90 évig élne, napi 8 órát játszana, és másodpercenként lépne egyet? F. Melyik a lehető legnagyobb szám, amit 3 db hármasból, ill. amit 3 db négyesből állíthatunk elő, azzal a feltétellel, hogy csak a három számjegyet használhatjuk. G. Weöres Sándor Elmehetsz a világba című verse 2 versszakból áll. Az első versszak így szól: Elmehetsz a világba híredér, Rólad cincog a zsákban az egér! De szomorú valóban ugyebár: rólad ordít az ólban a szamár! Hányféleképpen lehetne megírni a második versszakot, ha abban is az első és második, valamint a harmadik és negyedik sor rímel, és a második versszakban is ugyanazok a szavak szerepelhetnek, mint az elsőben? Feltétel, hogy a névelők és a de kötőszó nem választható el attól a szótól, amely előtt az első versszakban áll. H. Ha a nyolcadikosok bizonyítványában 11 tantárgy szerepelne, és a diákok mindegyikből öt különféle osztályzatot kaphatnának, a következő állítások közül melyik lenne igaz? a) Egy 30 fős osztályban biztosan van legalább két gyerek, akinek egyforma a bizonyítványa b) Magyarországon biztosan van legalább két olyan ember, akinek a nyolcadikos bizonyítványában mind a 11 tantárgyból ugyanolyan osztályzata van. I. Hány osztója van az 1200-nak?

0812. modul 5. melléklet Becslési táblázat Matematika A 8. évfolyam tanároknak Jel A probléma megfogalmazása Becslés A B C D E F G H I Mennyi idő alatt ég el 1 g fa 20 C-on? Hány különböző hét lehetséges? Hányféle beállítása lehetséges a zárnak? Hányféle nyolcas mentes hatjegyű rendszám lehet? Kb. hányféle sakkjátszma lehetséges? Melyik a lehető legnagyobb szám, ami három db egyforma számjegyből építhető fel? Hányféleképpen írható meg a második versszak? Hányféle nyolcadikos bizonyítvány lehetséges? Hány osztója van az 1200-nak? Hármasból: Négyesből: Becslési táblázat / A A 2. csoport becslése 3. csoport becslése 4. csoport becslése 5. csoport becslése 6. csoport becslése 7. csoport becslése 8. csoport becslése 9. csoport becslése Becslési táblázat / B B 2. csoport becslése 3. csoport becslése 4. csoport becslése 5. csoport becslése 6. csoport becslése 7. csoport becslése 8. csoport becslése 9. csoport becslése

0812. modul 5. melléklet Becslési táblázat Matematika A 8. évfolyam tanároknak Becslési táblázat / C C 2. csoport becslése 3. csoport becslése 4. csoport becslése 5. csoport becslése 6. csoport becslése 7. csoport becslése 8. csoport becslése 9. csoport becslése Becslési táblázat / D D 2. csoport becslése 3. csoport becslése 4. csoport becslése 5. csoport becslése 6. csoport becslése 7. csoport becslése 8. csoport becslése 9. csoport becslése Becslési táblázat / E E 2. csoport becslése 3. csoport becslése 4. csoport becslése 5. csoport becslése 6. csoport becslése 7. csoport becslése 8. csoport becslése 9. csoport becslése

0812. modul 5. melléklet Becslési táblázat Becslési táblázat / F Matematika A 8. évfolyam tanároknak F 2. csoport becslése 3. csoport becslése 4. csoport becslése 5. csoport becslése 6. csoport becslése 7. csoport becslése 8. csoport becslése 9. csoport becslése Becslési táblázat / G G 2. csoport becslése 3. csoport becslése 4. csoport becslése 5. csoport becslése 6. csoport becslése 7. csoport becslése 8. csoport becslése 9. csoport becslése Becslési táblázat / H H 2. csoport becslése 3. csoport becslése 4. csoport becslése 5. csoport becslése 6. csoport becslése 7. csoport becslése 8. csoport becslése 9. csoport becslése

0812. modul 5. melléklet Becslési táblázat Matematika A 8. évfolyam tanároknak 8 Becslési táblázat / I I 2. csoport becslése 3. csoport becslése 4. csoport becslése 5. csoport becslése 6. csoport becslése 7. csoport becslése 8. csoport becslése 9. csoport becslése

0812. modul 6. melléklet Feldolgozható szövegek A: Matematika A 8. évfolyam tanároknak A vegyészek szerint a fa és a szén minden hőfokon egyesül, de alacsony hőfokon olyan lassan, hogy nem tudjuk figyelemmel kísérni. A kémiai reakció sebességének törvénye szerint, ha a hőmérséklet 10 C-kal csökken, a reakció sebessége a felére esik vissza. Ha 1 g fa 600 C-os lángban 1 másodperc alatt ég el, akkor mennyi idő alatt ég el 1 g fa 20 C-on? Perelman Szórakoztató algebra című könyve alapján Ha 10 C-onként felére esik a reakció sebessége, akkor ez azt jelenti, hogy 10 C-onként megduplázódik a reakcióidő. 600 C helyett 20 C, az 58 10 C-os hőmérsékletcsökkenés, azaz 58-szor duplázódik meg a reakcióidő. Ha 600 C-on 1 g fa 1 s alatt ég el, akkor 20 C-on 1 g fa 1 s 258 s alatt ég el. Mekkora szám ez? 2 58 = 2 60 2 = 260 2 2 = 1 2 2 260 = 1 4 (210 ) 6 Mivel 2 10 = 1024 1000 = 10 3, nem követünk el nagy hibát, ha 2 10 helyett 10 3 -nal számolunk. A reakcióidő tehát kb. 1 4 (103 ) 6 s = 1 4 1018 s = 0,25 10 18 s = 2,5 10 17 s lenne. Mivel 1 év 365 24 3600 s 3 10 7 s, a 2,5 10 17 s 8 10 9 év. Azaz 1 g szén 20 C-on kb. 8 milliárd év alatt égne el. B: Ha minden napot csak úgy különböztetünk meg, hogy derűs vagy borús, hány különböző hét lehetséges? Biztos, előfordulhat vagy lehetetlen, hogy egy éven belül két hét egyforma? Perelman Szórakoztató algebra című könyve alapján 1 év = 52 hét A kérdés tehát az, hogy 52-nél több, vagy kevesebb a különböző hetek száma? H d. b. K. d. K. b. K. d. K. b. Sz. d. Sz. b. Sz. d. Sz. b. Sz. d. Sz. b. Sz. d. Sz. b. Egy hét napjait tekintve a hétfő lehet derűs vagy borús (2-féle). Mindkettőhöz kétféle kedd csatlakozhat (ez már2 2-féle lehetőség). Minden kedd után kétféle szerda (2 2 2-féle lehetőség), minden szerdához kétféle csütörtök (2 2 2 2-féle lehetőség) stb. egészen a 7. napig, vasárnapig, amikor is már 2 2 2 2 2 2 2 = 27 = 128-féle lehetőség alakul ki. Ez pedig 2 év 24 hét kb. Tehát előfordulhat, de nem biztos nem is lehetetlen, hogy egy éven belül két hét a derűs és borús napok szempontjából egyforma legyen.

0812. modul 6. melléklet Feldolgozható szövegek Matematika A 8. évfolyam tanároknak 10 C: Egy orosz hivatalban régi páncélszekrényre bukkantak. A kulcsot is megtalálták, de nem ismerték a zár titkát. Az ajtón 5 db koncentrikus kör mentén a régi orosz abc 36 betűje szerepelt. A zár akkor nyitható, ha az öt körön egy bizonyos sugár mentén a középponttól kifelé haladva egy konkrét betűsor helyezkedik el. Ha egy beállítás 3 másodpercig tart, biztos-e, hogy 10 munkanapon belül kinyitják a zárat? Perelman Szórakoztató algebra című könyve alapján Az első körön 36-féle betű állítható be, ezek mindegyike a második körön 36-féleképpen folytatható (ez már 36 2 -féle lehetőség). A harmadik körön minden előző lehetőséghez 36-féle új betű csatlakozhat (36 3 -féle lehetőség), amelynek mindegyikét a negyedik körön 36-féle betű követheti (36 4 -félénél tartunk), végül minden eddigi betűnégyes végén 36-féle utolsó betű állhat az ötödik sorban (36 5 -féle ötbetűs betűsor). Tehát 36 5 = (6 2 ) 5 = 6 10 = 60 466 176-féle betűsor lehetséges. Ha minden betűsor beállítása 3 s-ig tart, akkor az összes betűsor beállításához 3 60 466 176 s = 181 398 528 s-ra van szükség. 10 munkanap az 10 8 3600 s = 288 000 s Az összes számsor kiforgatásához 10 munkanap helyett 6298,56 munkanapra lenne szükség. Persze nem lehetetlen az a szerencse, hogy valaki akár elsőre éppen a jót találja meg, csak kicsi a valószínűsége. D: Régen a kerékpárok hatjegyű rendszámot kaptak. Egy babonás ember félt a nyolcas számtól, ezért olyan rendszámot szeretett volna, amelyben nincs nyolcas. Úgy gondolkodott, hogy mivel 10 számjegy van, és abból számára csak egy szerencsétlen, és ez a nyolcas, 90%-os eséllyel szerencsés rendszámot kap. Igaza volt-e? Perelman Szórakoztató algebra című könyve alapján Mivel a nyolcast nem akarjuk, a hatjegyű szám első számjegye 9-féle lehet. Mindegyik eset 9-féle második számjeggyel folytatható (9 9-féle lehetőség), ezek mindegyike 9-féle harmadik számjeggyel (9 9 9-féle lehetőség) és így tovább, mire a hatodik számjegyhez érünk, jól látszik, hogy 9 6 -féle hatjegyű szám jöhet létre. Ha feltételezzük, hogy a rendszám csupa nulla nem lehet, ez akkor is 9 6 1 = 531 440-féle lehetséges rendszám. Ha a nyolcast is megengednénk, akkor a lehetséges rendszámok száma 10 6 1 = 999 999 lenne. A szerencsés rendszámok száma ennek csupán kb. 53%-a, tehát a szerencsés rendszámok aránya sokkal kisebb, mint azt a büszke, de babonás biciklitulajdonos gondolta. Alap: 999 999 Százalékérték: 531 440 Százalékláb: 531 440 : 9999,99

0812. modul 6. melléklet Feldolgozható szövegek Matematika A 8. évfolyam tanároknak 11 E: Vajon hányféle sakkjátszma lehetséges? Képes lenne e egy ember az élete során az összes lehetséges játszmát lejátszani, ha 90 évig élne, napi 8 órát játszana, és másodpercenként lépne egyet? Perelman Szórakoztató algebra című könyve alapján Hogy mennyi a lehetséges sakkjátszmák száma, azt pontosan kiszámítani nem tudjuk, de egy belga matematikus megkísérelte legalább körülbelül meghatározni: Az első lépésnél a világossal játszó játékosnak 20 lépési lehetősége van ( a 8 gyalog 16 lépése mivel első lépésnél egyet vagy kettőt léphet, és plusz a két ló 2-2 lépése. Világos bármelyik lépésére sötét ugyanezen 20 ellentétes lépések egyikével válaszolhat. Ha világos minden lépését összevetjük a sötét minden lépésével, akkor a világos és a sötét első lépése után 20 20 = 400 különböző sakkjátszma lehetséges, pedig még mindkét játékos csak egyet lépett. Az első lépés után a lehetséges lépések száma is növekszik. A számítások egyszerűsítése érdekében a következő átlagos helyzetet vesszük alapul: 1. Az első öt lépésnél minden játékosnak 20-20 lépési lehetősége van. 2. A következő lépéseknél mindkét játékosnak 30-30 lépése lehet. Tegyük fel azon kívül, hogy a sakkjátszmák átlagosan 40 lépésből állnak. Az első öt lépés tehát = (20 20) 5 -féleképpen lehetséges, és ezek mindegyikét a hátralevő 35 lépés során (30 30) 35 -féleképpen lehet folytatni. A lehetséges játszmák száma tehát (20 20) 5 (30 30) 35. De mekkora szám ez? (20 20) 5 (30 30) 35 = (20 2 ) 5 (30 2 ) 35 = 20 10 30 70 = (2 10) 10 (3 10) 70 = 2 10 10 10 3 70 10 70 = 2 10 3 70 10 80 Mivel 2 10 = 1024, nem követünk el nagy hibát, ha helyette 1000 = 10 3 -nal számolunk. Mivel 3 2 = 9, helyette 10-zel, és mivel 3 4 = 81, helyette 8 10-zel számolhatunk. 2 10 3 70 10 80 = 2 10 3 2 3 68 10 80 = 2 10 3 2 (3 4 ) 17 10 80 10 3 10 8 17 10 17 10 80 = (2 3 ) 17 10 101 = 2 51 10 101 = = 2 (2 10 ) 5 10 101 = 2 (10 3 ) 5 10 101 = 2 10 116 Egy olyan számról van szó, amelyben a kettes után 116 db nulla következik. Ennyiféle sakkpartit feltételezhetünk kb. Ha feltesszük, hogy a Föld minden lakója éjjel-nappal sakkozna, mégpedig úgy, hogy minden játékos másodpercenként lépne egyet, még akkor is kb. 10 100 évszázadra lenne szükség az összes lehetséges parti lejátszásához. F: Melyik a lehető legnagyobb szám, amit 3 db hármasból, ill. amit 3 db négyesből állíthatunk elő, azzal a feltétellel, hogy csak a három számjegyet használhatjuk. Perelman Szórakoztató algebra című könyve alapján a) Hármasokkal: 333; 33 3 ; 3 33 ; 3 33 3 5 = 243 < 333 <3 6 = 729; 3 9 < 33 3 = 35 937 < 3 10 = 59 049; 3 33 = 3 27 Ebből következik, hogy a legnagyobb szám: 3 33 b) Négyesekkel: 444; 44 4 ; 4 44 ; 4 44 4 4 = 256 < 444 < 4 5 = 1024; 4 10 < 44 4 = 3 748 096 < 4 11 = 4 194 303; 4 44 =4 256 Ebből következik, hogy négyesek esetén a legnagyobb 4 44.

0812. modul 6. melléklet Feldolgozható szövegek Matematika A 8. évfolyam tanároknak 12 G: Weöres Sándor: Elmehetsz a világba című verse 2 versszakból áll. Az első versszak így szól: Elmehetsz a világba híredér, Rólad cincog a zsákban az egér! De szomorú valóban ugyebár: rólad ordít az ólban a szamár! Hányféleképpen lehetne megírni a második versszakot, ha abban is az első és második, valamint a harmadik és negyedik sor rímel, és a második versszakban is ugyanazok a szavak szerepelhetnek, mint az elsőben? Feltétel, hogy a névelők és a de kötőszó nem választható el attól a szótól, amely előtt az első versszakban áll. Imrecze Zoltánné Reiman István Urbán János Fejtörő feladatok felsősöknek című feladatgyűjteménye alapján Az 1. és 2. sor lehetséges rím párjai: világba zsákban és híredér az egér. Az első sorban a rímelő szón kívül 2, a második sorban a rímelő szón kívül 3 szó van, ezek azonos rím párok esetén 2 illetve 3 2 1=6-féleképpen sorakozhatnak fel. Ez 2 6=12-féle első két sort jelent egy rím párral és újabb 12-t a másikkal. Összesen 2 12-féle első két sor. A 3. 4. sor lehetséges rím párjai: ugyebár szamár és valóban az ólban. A 3. sorban is két szó van a rímelőkön kívül, és a 4.-ben is három a rímelőkön kívül. Ez azt jelenti, hogy a 3. 4. sor is 2 12-féleképpen alakulhat. A négy sor lehetséges változatainak száma tehát 2 12 2 12, de ebben az első versszak is benne van. A második versszak tehát 4 12 2 1 = 576 1 = 575-féleképpen írható meg ugyanezekből a szavakból. H: Ha a nyolcadikosok bizonyítványában 11 tantárgy szerepelne, és a diákok mindegyikből öt különféle osztályzatot kaphatnának, a következő állítások közül melyik lenne igaz? a) Egy 30 fős osztályban biztosan van legalább két gyerek, akinek egyforma a bizonyítványa b) Magyarországon biztosan van legalább két olyan ember, akinek a nyolcadikos bizonyítványában mind a 11 tantárgyból ugyanolyan osztályzata van. Imrecze Zoltánné Reiman István Urbán János Fejtörő feladatok felsősöknek című feladatgyűjteménye alapján Pl. magyarból ötféle jegy lehetséges, ezek mindegyikéhez 5-féle történelem osztályzat társulhat (5 5 = 5 2 -féle lehetőség, amelyek mindegyikéhez 5-féle matematika jegy társulhat (5 3 ), pedig ez még csak három tantárgy. 11 tantárgy esetén a bizonyítványok 5 11 -féleképpen alakulhatnak. Ez 48 828 125-féle bizonyítvány. a) A lehetséges bizonyítványok száma több, mint 30, ezért nem biztos hogy lesz két egyforma, de persze véletlenül lehetséges. b) Magyarország lakóinak száma kb. 10 7, és ez kevesebb, mint 5 11, vagyis az sem biztos, hogy van két olyan magyar, akinek egyforma a bizonyítványa, de véletlenül lehetséges. I: Hány osztója van az 1200-nak? Egy szám összes osztója előállítható prímtényezőiből szorzással. Mivel az 1200 prímtényezős alakja 2 4 3 5 2, osztói ezekből a prímtényezőkből állíthatók elő. A kettő 5-féle hatványkitevővel szerepelhet, mert a 0. hatványon is lehet, ez az 5-féle lehetőség 2-féleképpen folytatható, mert a 3-nak kétféle hatványa szerepelhet: a 0. és az 1. Ez már 10-féle lehetőség, de ezek mindegyike az 5-nek 3-féle hatványával folytatható. Ez összesen 5 2 3 = 30-féle lehetőség. Ennyi osztója van az 1200-nak. Aki nem hiszi, írja fel mind a harminc osztót. Én megtettem. Tényleg annyi.

0812. modul 7. melléklet Borítékos segítség Matematika A 8. évfolyam tanároknak 13 Borítékos segítség hatvány hatványozásához: 1. Az egyik hatványt írd fel szorzat alakban! 2. Az így megmaradó hatványt vagy hatványokat is írd fel szorzat alakban! 3. A kapott azonos tényezőjű szorzatot írd fel hatvány alakban! 4. Keress összefüggést az eredeti hatványkitevők, és az eredményül kapott hatvány hatványkitevője között! Borítékos segítség azonos kitevőjű hatványok szorzásához: 1. Írjátok fel a hatványokat szorzat alakban! 2. Csoportosítsátok másképp a tényezőket! (Legyen egyforma kéttényezős szorzatok szorzata!) 3. Az új egyenlő tényezőjű szorzatot írjátok fel hatvány alakban! 4. Keressétek ki a hatványértéket a hatványtáblázatból! Borítékos segítség azonos kitevőjű hatványok osztásához: 1. Írjátok fel a számlálót is és a nevezőt is szorzat alakban! 2. Alakítsátok a kifejezést úgy, hogy egyenlő törtek szorzata legyen! (Gondoljatok arra, hogy törtet törttel hogyan szoroztunk? 3. Ha lehet, egyszerűsítsétek a törteket! 4. Az egyenlő tényezők szorzatát írjátok fel hatvány alakban! 5. Keressétek ki a táblázatból a hatványértéket! Borítékos segítség szorzat hatványozásához: 1. Írd fel a hatványt szorzat alakban! 2. Csoportosítsd másképpen a tényezőket! 3. Az új egyenlő tényezőjű szorzatokat írd fel hatvány alakban! 4. Keresd ki a hatványok értékét a hatványtáblázatból! 5. Végezd el a hatványértékek szorzását! Borítékos segítség hányados hatványozásához: 1. Írd fel a hatványt szorzat alakban! 2. A számlálók szorzatát is és a nevezők szorzatát is írd fel hatvány alakban! 3. Keresd ki a hatványok értékét! 4. Esetleg végezd el az osztást!

0813. modul 1. melléklet Matematika A 8. évfolyam tanároknak 14 gyakran néha soha mindig Elmondtam csoporttársaimnak a véleményemet, az ötleteimet Kértem a csoporttársaimtól tanácsot, véleményt, ötletet Összefoglaltam a csoport véleményét, gondolatait az osztály számára Segítettem a tanulásban a csoport más tagját Jól éreztem magam a csoportmunka során Úgy éreztem, hogy könnyebben tanulok csoportban, mint egyedül Új órán új tanulópárral dolgoztam Egyéb észrevétel:....................................................................................... gyakran néha soha mindig Elmondtam csoporttársaimnak a véleményemet, az ötleteimet Kértem a csoporttársaimtól tanácsot, véleményt, ötletet Összefoglaltam a csoport véleményét, gondolatait az osztály számára Segítettem a tanulásban a csoport más tagját Jól éreztem magam a csoportmunka során Úgy éreztem, hogy könnyebben tanulok csoportban, mint egyedül Új órán új tanulópárral dolgoztam Egyéb észrevétel:....................................................................................... gyakran néha soha mindig Elmondtam csoporttársaimnak a véleményemet, az ötleteimet Kértem a csoporttársaimtól tanácsot, véleményt, ötletet Összefoglaltam a csoport véleményét, gondolatait az osztály számára Segítettem a tanulásban a csoport más tagját Jól éreztem magam a csoportmunka során Úgy éreztem, hogy könnyebben tanulok csoportban, mint egyedül Új órán új tanulópárral dolgoztam Egyéb észrevétel:.......................................................................................

0813. modul 2. melléklet Kérdés-felelet Matematika A 8. évfolyam tanároknak 15 x + 7 = 12 x = 5 x 3 = 5 x = 8 4 5 + x = 1 x = 1 5 x 2 3 = 1 3 x = 1 4 x = 2 x = 2 1 x = 5 6 x = 1 6 5 + x = 6 x = 11 3 7 x = 3 x = 7 4 5 : x = 1 5 x = 4 x 3 = 4 x = 12 3 x = 9 x = 3 x : 3 = 1 9 x = 1 3 x 4 = 10 x = 2,5 0,8 + x = 1,2 x = 0,4 7 x = 10 x = 3 x : 4 = 1 8 x = 1 2

0813. modul 3. melléklet Mintapéldák szakértői csoportnak Matematika A 8. évfolyam tanároknak 16 1. x 2 3 = 4 / + 3 x 2 3 = 4 / 2 x 2 = 7 / : 1 x 6 = 8 / + 6 2 x = 14 x = 14 Ellenőrzés: bal oldal: 14 2 3 = 7 3 = 4 jobb oldal: 4 2. 2 3 x + 1 4 = x 3 / x 2 3 x + 1 4 = x 3 / 12 1 3 x + 1 4 = 3 / 1 4 8x + 3 = 12x 36 / 8x 1 3 x = 13 4 x = 39 4 = 9 3 4 Ellenőrzés: / : 1 3 3 = 4x 36 / +36 4x = 39 / : 4 x = 39 4 = 9 3 4 bal oldal: 2 3 39 4 + 1 4 = 13 2 + 1 4 = 6,5 + 0,25 = 6,75 jobb oldal: 9 3 4 3 = 6 3 4 = 6,75 3. 3 x + 5 2 = x + 1 / zárójelbontás 3 x + 5 2 = x + 1 / 2 3 x 2 5 2 = x + 1 / összevonás 6 (x + 5) = 2(x + 1) / zárójelbontás 1 2 x 2 = x + 1 / + x 6 x 5 = 2x + 2 / összevonás 2 1 2 = 3 x + 1 / 1 1 x = 2x + 2 / +x / 2 2 1 2 = 3 2 x / : 3 2 3x = 1 / : 3 x = 1 3 x = 1 3 Ellenőrzés: bal oldal: 3 1 3 + 5 : 2 = 3 14 3 : 2 = 3 2 1 3 = 2 3 jobb oldal: 1 3 + 1 = 2 3

0813. modul 3. melléklet Mintapéldák szakértői csoportnak Matematika A 8. évfolyam tanároknak 17 4. 4 5 x 1 1 2 + x / x 4 5 x 1 1 2 + x / 10 1 5 x 1 1 2 / + 1 8x 10 5 + 10x / 10x 1 5 x 3 2 / : 1 5 2x 10 5 / +10 x 15 2 = 7,5 2x 15 / : ( 2) x 7,5 Ellenőrzés: x = 7,5 bal oldal: 4 5 ( 7,5) 1 = 6 1 = 7 jobb oldal: 1 2 7,5 = 0,5 7,5 = 7 x = 10 bal oldal: 4 5 ( 10) 1 = 8 1 = 9 jobb oldal: 1 2 10 = 9,5 x = 5 bal oldal: 4 5 ( 5) 1 = 4 1 = 5 jobb oldal: 1 2 5 = 4,5 x bal oldal jobb oldal bal oldal jobb oldal 7,5 7 7 i 10 9 9,5 i 5 5 4,5 h

0813. modul 4. melléklet Borítékos feladatsor A G Matematika A 8. évfolyam tanároknak 18 A: Illesszétek össze azokat az egyenleteket, amelyeknek ugyanaz a megoldása! 3 4 (x 1) 1 2 (5 x) = 1 2 5 6 (x 8) = 6 x 3 2 2 3 x = 1 7x = 4 (x 2) + (x + 1) + 5 2 x + 7 = 9 x 5 x + 4 = 4 x 11 7 x + 1 2 3 x 4 = 1 9 (x 1) 2x + 3 2 = 3 x 1,8 3,5 (x 2) 1 2 x = x 2 5 3 2 x = 1

0813. modul 4. melléklet Borítékos feladatsor A G Matematika A 8. évfolyam tanároknak 19 B: 1. Határozzátok meg a következő műveletek eredményét a lehető legrövidebb idő alatt! Számológépet nem, de hatványtáblázatot használhattok. 128 2187 = 152 587 890 625 : 1 953 125 = 10 000 000 000 : 9 765 625 = 823 543 117 649 = 21873 = 2. Állapítsátok meg, hogy milyen számot kell a betűk helyére írni, hogy az állítás igaz legyen? 2 8 = a 4 2 12 = b 3 4 c = 8 2 5 4 = 25 d 5 6 = 125 e 3 f = 6 2

0813. modul 4. melléklet Borítékos feladatsor A G Matematika A 8. évfolyam tanároknak 20 C: Írjatok két szöveges feladatot, amelynek matematikai fordítása a következő két egyenlet: 1. 2 x + x + (2 x 2) + 1 + [(2 x 2) + 1] = 33 2. (8 x 12) + x + 4 (8 x 12) = 760 D: Oldd meg a szöveges feladatokat, és végezd el a szöveg szerinti ellenőrzést! 1. Mint tudjuk, Micimackó volt már szorult helyzetben többször is, sőt! Beszorult helyzetben is volt. Legokosabb barátja Róbert Gida segítségét akarta kérni, de ő nagyon messze tartózkodott a baleset helyszínétől. Az állatok összefogtak, hogy megvigyék a hírt neki. Nyuszi lefutotta az út negyedrészét, onnan Malacka döcögött tovább, és derekasan megtette az út hatodát. Kiss és üzletfelei az út egyötödén repültek. Még Füles is kivette részét a mentő akcióból, amikor is nagy sóhajtozások közepette ugyan, de megtette az út tizenketted részét. Ám így is maradt Bagolynak 1,2 km. Milyen messze volt Róbert Gida? 2. A matematika tanár a három nyolcadik osztályban egy napon íratott dolgozatot. 66 db dolgozat kijavítása várt rá. Még aznap kijavított belőle valamennyit, másnap 5-tel többet, a harmadik napon pedig csak feleannyit, mint az elsőn. Még így is maradt a negyedik nap reggelére 11 db javítanivaló dolgozat. Hány dolgozatot javított az egyes napokon? Ha van idő, számold ki azt is, mennyi időt töltött dolgozatjavítással, ha egy dolgozatra átlagosan 15 percet kellett szánnia? E: Nyitott mondatok hibás megoldásai vannak a borítékban. Fogalmazzátok meg írásban, hogy milyen hibát követett el a megoldó, majd oldjátok meg a nyitott mondatokat helyesen! 1. 71 + 9 a = 41 a / + a 71 + 9 a = 41 / 71 9 a = 30 / : 9 a = 3 1 3 2. 3. 4. 35 (2 b + 5) + 3 b = 10 7 (3 b 2) 5 35 2 b + 5 + 3 b = 10 21 b 2 5 b + 40 = 3 21 b 22 b = 30 b = 1 39 4 2c 5 c 2 = 5 4 c + 1 8 c 10 c = 25 c + 1 2 c = 26 c c = 26 2 d + 5 d 4 3 d + 5 4 3 d 9 d 3

0813. modul 4. melléklet Borítékos feladatsor A G Matematika A 8. évfolyam tanároknak 21 F: Oldjátok meg, és ellenőrizzétek az egyenleteket! a) 5a 13 = 11 a b) 5 2b + 7 + 6b = b 8 + b + 14 c) 3 (c + 2) = 2 (2 c) + 27 d) 20 (d 5) + 12d + 11 = 30 (d 4) 7 (d 4) 15 G: Oldjátok meg, és ellenőrizzétek az egyenleteket! a) a 1 2 = 3 4 a + 5 b) b 5 4 b 2 = 1 2 5 b c) c + 6 = 6 11c 25 d) d 1 6 + d + 3 6 = 12 15 2 d 4

0813. modul 5. melléklet Önértékelő lap Matematika A 8. évfolyam tanároknak 22 Tegyél i jelzést minden sorban abba az oszlopba, aminek megállapítása igaz rád. Ismeretanyag Lebontogatással egyenletet, egyenlőtlenség megoldása Tudom Értem, de még gyakorolnom kell Nem értem, segítséget kérek Zárójelbontás Összevonás A mérleg elv alkalmazása Szöveg lefordítása a matematika nyelvére Az egyenletmegoldás ellenőrzése Az egyenlőtlenség megoldásának ellenőrzése Szöveges feladat ellenőrzése szöveg szerint A megoldáshalmaz ábrázolása számegyenesen Tegyél i jelzést minden sorban abba az oszlopba, aminek megállapítása igaz rád. Ismeretanyag Lebontogatással egyenletet, egyenlőtlenség megoldása Tudom Értem, de még gyakorolnom kell Nem értem, segítséget kérek Zárójelbontás Összevonás A mérleg elv alkalmazása Szöveg lefordítása a matematika nyelvére Az egyenletmegoldás ellenőrzése Az egyenlőtlenség megoldásának ellenőrzése Szöveges feladat ellenőrzése szöveg szerint A megoldáshalmaz ábrázolása számegyenesen

0813. modul FELMÉRŐ/A Matematika A 8. évfolyam tanároknak 23 felmérő Név: 8. évfolyam Egyenletek, egyenlőtlenségek A CSOPORT 1. Anna és Béla barátok. Ha Annának a Ft-ja van, írd fel algebrai kifejezéssel, hogy mennyi pénze van Bélának, ha a) 5 Ft-tal több, mint Annának. b) 5-ször annyi, mint Annának. c) kettejüknek összesen 450 Ft-juk van. d) pénze Anna pénzének 125%-a. Írd fel a matematika nyelvén, ha A) a) és c) állítás egyszerre igaz B) b) és c) állítás egyszerre igaz C) d) és c) állítás egyszerre igaz Számítsd ki, hogy ezekben az esetekben külön-külön mennyi pénze volna a két jó barátnak? 2. Végezd el a lehetséges összevonásokat: a) 5 a a 2 + 2 a + a 2 7 = b) 2 3 b b + 4 5 b 3 + 1 3 x = Számítsd ki mindkét algebrai kifejezés helyettesítési értékét, ha a = 5 7 b = 4 2 7 x = 2 3. Melyik több, mennyivel és hányszor? 10 a)( 2) 3 3 5 3 b) 54 20 5 3 4 c) (3 2 ) 3 3 5 2 4. Oldd meg és ellenőrizd! a) 2 (a 3) 7 = 3(2 a) (a + 1) b) 3 4 b + 1 3 = 2 b 1 6 5. Gondoltam egy számot. Ha a kétszeresénél öttel nagyobb számot megszoroztam hárommal, akkor a gondolt szám háromszorosánál 18-cal nagyobb számot kaptam. Melyik számra gondoltam?

0813. modul FELMÉRŐ/B Matematika A 8. évfolyam tanároknak 24 felmérő Név: 8. évfolyam Egyenletek, egyenlőtlenségek B CSOPORT 1. Csilla és Dénes barátok. Ha Csillának c Ft-ja van, írd fel algebrai kifejezéssel, hogy mennyi pénze van Dénesnek, ha a) 3 Ft-tal kevesebb, mint Csillának. b) 3-szor annyi, mint Csillának. c) kettejüknek összesen 360Ft-juk van. d) pénze Csilla pénzének 50%-a. Írd fel a matematika nyelvén, ha A) a) és c) állítás egyszerre igaz B) b) és c) állítás egyszerre igaz C) d) és c) állítás egyszerre igaz Számítsd ki, hogy ezekben az esetekben külön-külön mennyi pénze volna a két jó barátnak? 2. Végezd el a lehetséges összevonásokat: a) a 2 7 a + 14 a 7 a 2 = b) 4 5 b 3 + 2 3 b + 1 2 x b = Számítsd ki mindkét algebrai kifejezés helyettesítési értékét, ha a = 5 7 b = 4 2 7 x = 2 3. Melyik több, mennyivel és hányszor? a) b) 15 3 5 3 ( 3)2 27 9 2 3 4 3 3 c) 8 2 (2 2 ) 2 4. Oldd meg és ellenőrizd! a) 7 (a + 1) = 2 (a 3) 3 (2 a) b) b 1 6 + 1 3 = 2 3 4 b 5. Gondoltam egy számot. Ha a kilencszeresénél héttel kisebb számot kettővel megszoroztam, akkor a gondolt szám háromszorosánál 4-gyel nagyobb számot kaptam. Melyik számra gondoltam?

0821. modul 1. melléklet DOMINÓ Matematika A 8. évfolyam tanároknak 25 2(x+3) ( y+2 x) b by+2bx 4k+40 2 (2 k+20) 80 30+80 7 80 37 (15+n) 4 60+4n y (b+m) by+my 6 (2 x 9) 12x+( 54) 4n 17y 68ny 8 (7x 6) 56x 48 (R+D) 2 R 2+D 2 6 (3 7) 18 7 6 (8 2x) 48 12x (3 x) 2

0821. modul 1. melléklet DOMINÓ Matematika A 8. évfolyam tanároknak 26 6 2 x ( 15) 46 46 8 46 23 3a 3b 3(a b) ( 5a) 2 25a 2 10y 10z 100yz 6k+18 6 (k+3) 4 x 2 2 x 2 x(2 x 1) 19 73 20 73 73 ty+ny (t+n) y 43m+9m 52m 2u+4u 6u (3k 2 c)m 3km 2 cm (5 2 x) 3

0821. modul 1. melléklet DOMINÓ Matematika A 8. évfolyam tanároknak 27 15 6x 3 (2 a a) 3a mc 2 m (c 2 1) m (3 x) (-2) 2 x 6 (3 ab) 2 6 2 ab 3m 4m 12m 2 29 47 30 47 47 H (OH ) H 2 O 3 ( y 2) ( 6)+3y (R CD) CD R 101 27 100 27+27 w 3 w w w 63 5

0821. modul 1. melléklet DOMINÓ Matematika A 8. évfolyam tanároknak 28 (63 10):2 (D R) NS DNS R NS 57 (10:3) (57 10):3 A B C C B A 6+2 x

0821. modul 2. melléklet Algebrai osztókártya Matematika A 8. évfolyam tanároknak 29 a a 2 a 3 b b 2 b 3 ab a 2 b a 3 b ab 2 ab 3 a 2 b 2 a 3 b 2 a 2 b 3 a 3 b 3 2a 2a 2 2a 3 2b 2b 2 2b 3 2ab 2a 2 b 2a 3 b

0821. modul 2. melléklet Algebrai osztókártya Matematika A 8. évfolyam tanároknak 30 2ab 2 2ab 3 2a 2 b 2 2a 3 b 2 2a 2 b 3 2a 3 b 3 4a 4 b 5 6a 2 b 2 6a 2 b 3 8ab 2 2a 3 b

0821. modul 3. melléklet Algebrai osztókártya Matematika A 8. évfolyam tanároknak 31 Kiegészítő táblázat az Algebrai osztókártyákhoz Segítség a tanároknak az adott játék irányításához, ellenőrzéséhez. Algebrai Osztókártyák (kiemelésnek megfelelő) osztói Kiegészítő táblázat 1. 6a 2 a a 2 2a 2a 2 2. 8ab 2 a b 2a 2b b 2 ab 2b 2 2ab ab 2 2ab 2 3. b 3 b b 2 b 3 4. 6a 2 b 2 a a 2 b b 2 ab 2a 2a 2 2b 2b 2 2ab a 2 b ab 2 a 2 b 2 2a 2 b 2ab 2 2a 2 b 2 5. 4a 4 b 5 a a 2 a 3 b 2a 2a 2 2a 3 2b b 2 b 3 ab 2b 2 2b 3 2ab a 2 b 2a 2 b a 3 b 2a 3 b ab 2 a 2 b 2 a 3 b 2 ab 3 a 2 b 3 a 3 b 3 2ab 2 2a 2 b 2 2a 3 b 2 2ab 3 2a 2 b 3 6. 2a 3 b a a 2 a 3 b 2a 2a 2 2a 3 2b ab 2ab a 2 b a 3 b 2a 2 b 2a 3 b 2a 3 b 3

0821. modul 4. melléklet/1 Matematika A 8. évfolyam tanároknak 32 Összefoglaló megoldás-táblázat a PUZZLE-játékhoz: Segítség a tanároknak a játék ellenőrzéséhez. A csoport, G csoport B csoport, H csoport C csoport D csoport E csoport F csoport fehér (a+3) 4 = 4a+12 (a+3) 4 = 4a+12 (a+3) 4 = 4a+12 (a+3) 4 = 4a+12 (a+3) 4 = 4a+12 (a+3) 4 = 4a+12 kék (b+4) b = b 2 +4b (b+4) b = b 2 +4b (b+4) b = b 2 +4b (b+4) b = b 2 +4b (b+4) b = b 2 +4b (b+4) b = b 2 +4b világos-narancs (a+b) a = a 2 +ab (a+b) a = a 2 +ab (a+b) a = a 2 +ab (a+b) a = a 2 +ab (a+b) a = a 2 +ab (a+b) a = a 2 +ab szürke (a+4) (b+3) = = ab+3a+4b+12 (a+4) (b+3) = = ab+3a+4b+12 (a+4) (b+3) = = ab+3a+4b+12 (a+4) (b+3) = = ab+3a+4b+12 (a+4) (b+3) = = ab+3a+4b+12 (a+4) (b+3) = = ab+3a+4b+12 világos-zöld (a +4) b = ab+4b (b+3) 3=3b+9 (b+3) 4 = 4b+12 (b+3) a = ab+3a (b+3) b = b 2 +3b (b +4) a = ab+4a világos-türkiz rózsaszín (a+3) (b+4) = = ab+4a+3b+12 (a+b) (b+4) = = ab+4a+b 2 +4b (a+4) (b+4) = = ab+4a+4b+16 (a+b) (b+3) = = ab+3a+b 2 +3b (a+3) (a+3) = = a 2 +3a+3a+9 (a+b) (a+4) = = a 2 +4a+ab+4b (a+3) (a+4) = = a 2 +4a+3a+12 (a+b) (a+3) = = a 2 +3a+ab+3b (a+4) (a+4) = = a 2 +4a+4a+16 (b+3) (b+4) = = b 2 +4b+3b+12 (b+3) (b+3)= = b 2 +3b+3b+9 (b+4) (b+4) = = b2 +4b+4b+16 barackszínű (b+4) 3=3b+12 (b+4) 4=4b+16 (a+b) 3 = 3a+3b (a+b) 4=4a+4b (a+b) b = ab+b 2 (a+3) (b+3) = = ab+3a+3b+9 levendula (a+3) 3=3a+9 (a +3) b = ab +3b (a+3) a = a 2 +3a (a+4) a = a 2 +4a (a+4) 3 = 3a+12 (a+4) 4 = 4a+16 vörös (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2 (a+b) (a+b) = =a 2 +ab+ab+b 2 (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2 (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2 (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2 (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2

0821. modul 4. melléklet/2 Matematika A 8. évfolyam tanároknak 33 Összefoglaló megoldás-táblázat a PUZZLE-játékhoz: Segítség a tanároknak a játék ellenőrzéséhez. A csoport, G csoport B csoport, H csoport C csoport D csoport E csoport F csoport fehér 32 32 32 32 32 32 kék 12 12 12 12 12 12 világos-narancs 35 35 35 35 35 35 szürke 45 45 45 45 45 45 világos-zöld 18 15 20 25 10 30 világos-türkiz 48 54 64 72 81 25 rózsaszín 42 35 63 56 30 36 barackszínű 18 24 21 28 14 40 levendula 24 16 40 45 27 36 vörös 49 49 49 49 49 49

0821. modul 7. melléklet Puzzle-játék elemei Matematika A 8. évfolyam tanároknak 34 PUZZLE-játék elemei Az A csoport kirakandó téglalapjai! Nem szabad szétvágni!

0821. modul 7. melléklet Puzzle-játék elemei Matematika A 8. évfolyam tanároknak 35 PUZZLE-játék elemei Az B csoport kirakandó téglalapjai! Nem szabad szétvágni!

0821. modul 7. melléklet Puzzle-játék elemei Matematika A 8. évfolyam tanároknak 36 PUZZLE-játék elemei Az C csoport kirakandó téglalapjai! Nem szabad szétvágni!

0821. modul 7. melléklet Puzzle-játék elemei Matematika A 8. évfolyam tanároknak 37 PUZZLE-játék elemei Az D csoport kirakandó téglalapjai! Nem szabad szétvágni!

0821. modul 7. melléklet Puzzle-játék elemei Matematika A 8. évfolyam tanároknak 38 PUZZLE-játék elemei Az E csoport kirakandó téglalapjai! Nem szabad szétvágni!

0821. modul 7. melléklet Puzzle-játék elemei Matematika A 8. évfolyam tanároknak 39 PUZZLE-játék elemei Az F csoport kirakandó téglalapjai! Nem szabad szétvágni!

0821. modul 7. melléklet Puzzle-játék elemei Matematika A 8. évfolyam tanároknak 40 PUZZLE-játék elemei Az G csoport kirakandó téglalapjai! Nem szabad szétvágni!

0821. modul 7. melléklet Puzzle-játék elemei Matematika A 8. évfolyam tanároknak 41 PUZZLE-játék elemei Az H csoport kirakandó téglalapjai! Nem szabad szétvágni!

0832. modul felmérő Matematika A 8. évfolyam tanároknak 42 felmérő Név: 8. évfolyam Szöveges feladatok 1. A Fábián család havi nettó jövedelme 480 000 Ft. Az apa 23%-kal többet keres, mint az anya. Külön-külön mennyi a nettó jövedelmük? 2. Minden hónapban előre megtervezik, hogy mire mennyit fognak költeni. Számold ki a januári költségvetésük tételeit! Rezsire (fűtés, villany, víz, gáz, csatorna, közös költség, stb.) a jövedelem 2 -öd részét. 15 Élelemre a jövedelem 55%-át. Mozira a jövedelem 0,5%-át. Ruházkodásra a jövedelem 4%-át. Utazásra (benzin) a jövedelem 3 -ed részét. 50 3. A többit a nyaralásra teszik félre. Vajon a megspórolt pénz hány %-a a havi jövedelmüknek? 4. Ha minden hónapban ennyit spórolnának meg, mennyi pénzük gyűlne össze egy év múlva? 5. Ha a következő évben január 3-án az összegyűjtött pénzt egy évre lekötnék az egyik bankban évi 8%-os kamatra, mennyi pénzt kapnának az év végén? 6. Ebből a pénzből nyaralni mennek a nyáron. Autóval kelnek útra. Azonban, mielőtt elindultak volna, az egyik ismerősük megkérte Fábiánékat, hogy egy nagyobb csomagot vigyenek el a zalaegerszegi vasútállomásra. Így a csomag miatt az autóban egy személlyel kevesebben férnek el. Emiatt az idősebb fiú vonattal megy, és a családjával csak Zalaegerszegen találkozik. Mennyivel később indulhat a család az autóval, ha a vonat átlagsebessége 50 km/h, menetideje 3,5 óra, és Fábiánék általában 70 km/h sebességgel mennek (természetesen vigyáznak arra, hogy ne késsék le a vonat érkezését)? 7. A család a nyaralás alatt barlangtúrázni is szeretne. Előre megvásárolnak egy nagy zseblámpát. Óvatosságból visznek magukkal egy tartalék elemet is. Meddig maradhatnának a barlangban a tartalékelemmel, ha a zseblámpájukban egyszerre két izzó ég, és ha csak az egyik izzó égne, akkor 12 óra alatt, ha csak a másik égne, akkor 18 óra alatt merítené ki az elemet? 8. Az útra kétféle pogácsát visznek magukkal. Az egyiknek kilogrammja 1200 Ft, a másiké 900 Ft. Összesen 3 kg-ot vásároltak, és 3100 Ft-ot fizettek. Mennyit vettek külön az egyikből és külön a másikból?

0841. modul 2. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 43 Az ábrán látható ABCD négyzet négy oldalán négy pontot kijelölünk az ábrának megfelelően. Mekkora a besatírozott síkidom területe? Mekkorák az oldalai?

0841. modul 3. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 44

0842. modul 3/A melléklet Matematika A 8. évfolyam tanároknak 47 a = 10 cm a = 15 cm a = 1,3 m a = 26 dm b = 8 cm b = 9 cm b = 1,2 m b = 100 cm c = 6 cm c = 12 cm c = 0,5 m c = 240 cm a = 10 cm a = 8 cm a = 80 dm a = 16 mm b = 26 cm b = 17 cm b = 100 dm b = 34 cm c = 24 cm c = 15 cm c = 60 dm c = 3 cm a = 40 cm a = 30 cm a = 0,8 m a = 2,4 cm b = 30 cm b = 16 cm b = 1,5 m b = 1,8 cm c = 50 cm c = 34 cm c = 1,7 m c = 0,3 cm a = 7 cm a = 100 cm a = 1,5 dm a = 27 dm b = 5 cm b = 50 cm b = 1,2 dm b = 100 cm c = 3 cm c = 60 cm c = 0,5 dm c = 2400 mm

0842. modul 3/A melléklet Matematika A 8. évfolyam tanároknak 48 a = 8 cm a = 20 cm a = 4,7 km a = 3,6 cm b = 13 cm b = 27 cm b = 7,1 km b = 49 mm c = 9 cm c = 15 cm c = 3,8 km c = 0,028 m a = 60 cm a = 20 cm a = 7,2 cm a = 550 cm b = 50 cm b = 14 cm b = 4,5 cm b = 2 m c = 90 cm c = 27 cm c = 9,1 cm c = 56 dm a = 8 cm a = 80 cm a = 3,5 cm a = 470 cm b = 11 cm b = 90 cm b = 1,5 cm b = 50 dm c = 9 cm c = 40 cm c = 3,4 cm c = 6,7 m a = 8 cm a = 3,6 cm a = 4 cm a = 76 mm b = 5 cm b = 6,8 cm b = 5 dm b = 3,9 cm c = 1 cm c = 2,4 cm c = 3 cm c = 0,36 dm

0842. modul 3/B melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 49 I. derékszögű háromszög, α = 90 J. derékszögű háromszög, b = 90 K. derékszögű háromszög, g = 90 L. tompaszögű háromszög, α > 90 M. tompaszögű háromszög, b > 90 N. tompaszögű háromszög, g > 90 O. hegyesszögű háromszög P. nem háromszög

0843. modul felmérő Matematika A 8. évfolyam tanároknak 50 felmérő Név: 8. évfolyam Négyzetgyökvonás, Pitagorasz-tétel 1. Mekkora a derékszögű háromszögek harmadik oldala? 4 dm 9 m?? 85 cm 12 m 2. Mekkora a négyzet átlója, ha oldala 3 m? 3. Milyen messze van egymástól a koordináta rendszerben az A (0; 0) és a B (5; 12) pont? 4. Egy hosszú létra a falnak van támasztva. A létra alja a faltól 1,1 méterre van. Ha felmászunk a tetejére, a talpunk 3 méter magasan lesz a talajtól. Milyen hosszú a létra? 5. Számolj! Egy tizedes jegy pontosságra kerekíts! 10000 = 540 = 0,81 = 0,023 =

0852. modul 1. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 51 Ellenőrző fólia az 1. feladatlaphoz 7. Szerkessz 60º-os, 120º-os, 30º-os, 15º-os szögeket! Milyen szögeket lehet még így a 60º-os szög felezésével illetve többszörözésével szerkeszteni?

0852. modul 2. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 52 Ellenőrző fólia a 2. feladatlaphoz /1. 1. Szerkessz olyan háromszöget, amelynek adott a három oldala: Értékelés: vázlatrajz színezve, jó szerkesztésmenet: szerkesztés: összesen: 1 pont 1 pont 2 pont 2. Szerkessz háromszöget, amelynek adott két oldala és általuk közbezárt szöge! Értékelés: vázlatrajz: szögmásolás: háromszög: összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont

0852. modul 2. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 53 Ellenőrző fólia a 2. feladatlaphoz /2. 3. Szerkessz háromszöget egy oldalból és két szögből! A szögeket is szerkeszd! c = 7 cm; a = 30 ; b = 120 Értékelés: vázlatrajz: két szögszerkesztés: összesen: 1 pont 2 pont 3 pont

0852. modul 3. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 54 Ellenőrző fólia a 7. feladatlaphoz 4. Szerkessz háromszöget, amelynek két oldala és egy szöge a következő: a = 5 cm; c = 3,8 cm; g = 45º. ha két oldal és a kisebbikkel szemközti szög adott, a szerkesztés nem egyértelmű: két megoldás lehetséges. (Két nem egybevágó háromszög.)

0852. modul 4. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 55 Négyszögek szerkeszthetősége A négyszögfajták szerkesztéséhez szükséges független adatok száma:

0854. modul felmérő/a Matematika A 8. évfolyam tanároknak 56 felmérő Név: 8. évfolyam Geometriai ismétlés A CSOPORT 1. Döntsd el, hogy igazak, vagy hamisak a következő állítások! Hamis állítás esetén mondj ellenpédát, vagy indokold véleményedet! a) Az egyenlőszárú háromszög alapon fekvő szögei legfeljebb 90 -osak. b) Ha egy deltoid középpontosanszimmetrikus, akkor az négyzet. c) Minden négyzet trapéz. d) Ha egy paralelogramma átlói egyenlő hosszúak, akkor az téglalap. 2. Szerkessz rombuszt, amelynek oldala 4,2 cm és egyik szöge 45! A még szükséges adatok mérésével számítsd ki a kerületét, területét! a = 4,2 cm α = 45

0854. modul felmérő/a Matematika A 8. évfolyam tanároknak 57 3. A következő feladatban geometriai alakzatok nevei, valamint terület- és térfogatképletek szerepelnek. Kösd össze az összetartozókat! Téglalap Négyzetes hasáb Háromszög Paralelogramma alapú hasáb Téglatest Rombusz a m a 2 a m a m test a 2 m test e f 2 a b c a b 4. Egy kisüzem víztárolót épít. Két terv közül kell választania. Mindkét tervben a tároló magassága 5 m, de az egyik egy 1,6 m átmérőjű henger, a másik pedig négyzetes hasáb formájú, amelynek alapéle 1,42 m. Melyiket válasszák, melyik tárolóba férne több víz?

0854. modul felmérő/b Matematika A 8. évfolyam tanároknak 58 felmérő Név: 8. évfolyam Geometriai ismétlés B CSOPORT 1. Döntsd el, hogy igazak, vagy hamisak a következő állítások! Hamis állítás esetén mondj ellenpédát, vagy indokold véleményedet! a) Az egyenlőszárú háromszög szárszöge nem lehet tompaszög. b) Ha egy deltoid középpontosan szimmetrikus, akkor az rombusz. c) Minden egyenlőszárú trapéz paralelogramma. d) Ha egy paralelogramma átlói nem egyenlő hosszúak, akkor az nem lehet téglalap. 2. Szerkessz paralelogrammát, amelynek oldalai 4,1 cm és 5,5 cm, egyik szöge 30! A még szükséges adatok mérésével számítsd ki a kerületét, területét! a = 4,1 cm b = 5,5 cm α = 30

0854. modul felmérő/b Matematika A 8. évfolyam tanároknak 59 3. A következő feladatban geometriai alakzatok nevei, valamint terület- és térfogatképletek szerepelnek. Kösd össze az összetartozókat! Négyzet Háromszög alapú hasáb r 2 π m test e f 2 Henger a m a 2 m test Deltoid a m a Kocka a 3 Paralelogramma a 2 4. Egy 50 cm átmérőjű, 5 m hosszú hengerfából téglalap keresztmetszetű gerendát faragtak. A gerenda két szélességmérete 25 cm és 32 cm. A gerenda készítése közben hány m³ fa forgácsolódott el?

0854. modul 1. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 60 Mértékegységek Hosszúságegységek: 1 mm < 1 cm < 1 dm < 1 m 10 10 10 Területegységek: 1 mm 2 < 1 cm 2 < 1 dm 2 < 1 m 2 < 1 a < 1 ha < 1 km 2 10 2 10 2 10 2 10 2 10 2 10 2 1000 2 Térfogategységek: 1 mm 3 < 1 cm 3 < 1 dm 3 < 1 m 3 < 1 km 3 10 3 10 3 10 3 1000 3 1 ml < 1 l < 1 hl < 10 hl 10 3 10 2 10

0854. modul 2. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 61 Ellenőrző fólia a 4. feladatlaphoz/1. 1. 36 m 10 m 2 m 29 m 2 m T park = 29 36 = 1044 (m 2 ); T út = 2 29 + 2 36 2 2 = 126 (m 2 ); T virág = 10 2 p 314,16 (m 2 ); T fű = T park T út T virág 603,84 m 2 604 (m 2 ) vagy T fű = (utak nélküli parknegyede) 4 = (13,5 17 102 p ) 4 vagy 4 T fű = 27 34 10 2 p 2. falfelület: 51,52 6 = 45,52 (m 2 ); V = 58,24 m 3 tehát elég.

0854. modul 2. melléklet FÓLIA Matematika A 8. évfolyam tanároknak 62 Ellenőrző fólia a 4. feladatlaphoz/2. 3. Egyenlőszárú derékszögű háromszög, Pitagorasz-tétel: b² + b² = 36 (dm²); b² = 18 dm² T = b b 2 = b2 2 = 9 (dm2 ); V = T m test = 180 dm 3 = 180 l 4. 20 cm 4 5 része: 16 cm = 1,6 dm V = 0,9 2 p 1,6 4,071 (dm 3 ) 4 (l) 5. T palást = d p m 16,5 (m 2 ) 6. V = (20 + 5) 4,5 : 2 2000 = 112 500 (m 3 )