Csörg Katalin Mária A geometriai transzformáció fogalmának nomítása BSc szakdolgozat Témavezet : Juhász Péter Számítógéptudományi Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Budapest, 2013.
Tartalomjegyzék 1. Bevezet 4 2. Geometriai transzformációk 7 2.1. Deníciók.................................. 7 2.2. Tulajdonságok, csoportosítás........................ 9 2.3. Tételek.................................... 11 3. Geometriai transzformációk az iskolában 12 3.1. Általános iskolás ismeretek......................... 12 3.1.1. Alsó tagozat............................. 12 3.1.2. Fels tagozat............................ 13 3.2. Középiskolai ismeretek........................... 14 4. Feladatok 15 4.1. Villámkérdések............................... 15 4.2. Példák geometriai transzformációkra................... 16 4.3. t 2 az identitás................................ 18 4.3.1. Bevezet kérdések.......................... 18 4.3.2. t 2 az identitás............................ 20 4.3.3. Hasonló feladatok.......................... 23 4.3.4. Áttekintés.............................. 24 4.4. El re adott egyenes............................. 25 4.4.1. Bevezet kérdések.......................... 25 2
TARTALOMJEGYZÉK 3 4.4.2. El re adott egyenes......................... 26 4.4.3. Áttekintés.............................. 33 5. Összefoglalás 34
1. fejezet Bevezet A geometriai transzformációk témaköre a matematikának egy olyan területe, amely az általános iskolai és a gimnáziumi oktatás során az els osztálytól kezdve szinte minden évben el térbe kerül. Kezdve onnantól, hogy alsó tagozatban a tengelyes tükrözést még valódi tükör használatával végzik, egészen odáig, hogy transzformációkkal kapcsolatos tételeket mondanak ki és bizonyítanak be azok segítségével. A tananyag felépítése eleinte a képi gondolkodásra épül, bevezetésére a kivágott téglalap szimmetriatengelyeinek meghajtása, az egybevágó háromszögek fedésbe hozása, vagy a térkép mint a város kicsinyített képe ad alkalmas eszközt kezünkbe. Kés bbi években a fogalom fokozatosan b vül, majd a diákok eljutnak arra a pontra, ahol a transzformáció fogalmát már függvényként deniálják. Diákokra jellemz gyakori tulajdonság, hogy a tanulás során sok esetben kategorizálnak, vagyis, ha matematika órán egy zikai példa kerül el, azt gondolják, annak nem itt van a helye. Ez a jelenség nem csak a különböz tantárgyak esetében gyelhet meg, hanem egy adott tantárgyon belüli témakörök között is. Matematikai szempontból a geometriai transzformációk és a függvények kapcsolatát szeretném kiemelni. A kategorizált gondolkodásmód miatt sok esetben (annak ellenére, hogy denícióban kimondják), nem tudatosul bennük, hogy a transzformáció egy speciális függvény. Ezzel kapcsolatban a probléma azon a ponton is fölmerülhet, hogy a függvény szó jelentésével sincsenek tökéletesen tisztában, vagyis nem a hozzárendelés mivoltát, hanem
FEJEZET 1. BEVEZETŽ 5 egy-egy függvénygrakont értenek alatta. A tapasztalat alapján a diákok fejében a geometriai transzformáció fogalma csupán alakzatról szól, amelynek képe szintén (esetleg az eredetinél kicsit torzabb, de ahhoz hasonlító) alakzat. Gyakran konkrét példákban gondolkoznak, ide sorolják az egybevágóságokat, a hasonlóságokat és még esetleg a mer leges vetítést, vagy a mer leges anitást is. Úgy gondolom, ez els sorban azzal magyarázható, hogy a transzformációk gyakorlati alkalmazása során (például sokszög szimmetriatengelyeinek megkeresésekor, vagy egy tétel bizonyításakor) alapvet en a konkrét alakzatokra és azok képének el állítására van szükség. Nehéz elszakadni a gondolattól, hogy transzformáció nem csak az lehet, ahol a sík minden pontjának egyetlen mondatban össze tudjuk foglalni, hol lesz a képe, hanem adott esetben hosszú és bonyolult feltételeket is szabhatunk arra nézve. (Hasonló szemlélet van jelen bennük a függvények témakörével kapcsolatban is, ahol az, hogy egy függvény valamilyen feltétel miatt többfelé ágazik, már okozhat problémát.) Szakdolgozatom célja, hogy ezt, a diákokban kialakult durva fogalmat, kicsiszolja, nomítsa, illetve rávezesse ket arra, hogy mennyi szépség és lehet ség rejlik a geometria ezen területén. Az érint legesen és a részletesen megoldott, az egyszer és a komolyabb gondolkodást igényl feladatok alábbi összeállítása alkalmas önálló munkára, vagy szakkörön való feldolgozásra. Utóbbi esetben a vezet tanárnak fontos feladata megítélni, hogy az adott kérdés feltétele után mit árulhat el, mihez adhat ötletet, vagy hogyan tudná elvezetni a diákot egy egyszer bb kérdés feladásával a probléma megoldásához. A feladatok sorrendjét úgy állítottam össze, hogy az el zmények segítséget nyújtsanak egy-egy újabb példa során, azonban folyamatosan szükség legyen az új és kreatív ötletekre is. Pedagógiája arra az alapgondolatra épül, hogy ha megoldunk egy feladatot, akkor a következ lépésben nehezítsünk azon annyit, hogy az el z ötlet már ne legyen használható, és gondoljuk át ismét a kérdést. Amennyiben így már bebizonyosodik, hogy nincs megoldása, valamit könnyítsünk azon, és végül jussunk el ahhoz a
FEJEZET 1. BEVEZETŽ 6 határig, hogy tisztán lássuk a problémakör mibenlétének kulcsát. Ez egyrészt érdekes lehet a matematikai tartalom szempontjából, másrészt a diákokban nagy mértékben fejleszti az önálló kérdésfeltevés képességét, a hétköznapi életben pedig az összetettebb problémák alapvet okainak megértését. Szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Juhász Péternek, aki els sorban a konkrét feladatok felvetésével, az általam kidolgozott példák nehézségi szintjének megállapításával (oktatási szempontból), valamint rendszeres konzultációkkal segítette munkámat.
2. fejezet Geometriai transzformációk 2.1. Deníciók Szakdolgozatom elején ismertetem azokat a deníciókat, melyek pontos kimondása és megértése megalapozhatja a geometriai transzformációkkal kapcsolatos helyes gondolkodásmódot. [1] [2] 2.1.1. Deníció (Geometriai transzformáció). Olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. 2.1.2. Deníció. Legyenek H 1 és H 2 ponthalmazok, f : H 1 H 2 leképezés. Azt mondjuk, hogy f egybevágóság, ha A, B H 1 -re: d(f(a), f(b)) = d(a, B). 2.1.3. Deníció. Két ponthalmaz, H 1 és H 2 egybevágó, ha létezik H 1 H 2 egybevágóság. 2.1.4. Deníció (Síkbeli egybevágósági transzformáció). Az egész síkot síkra képez egybevágóság. 2.1.5. Deníció. Legyenek H 1 és H 2 ponthalmazok, f : H 1 H 2 leképezés, λ > 0. Azt mondjuk, hogy f λ arányú hasonlóság, ha A, B H 1 -re: d(f(a), f(b)) = λd(a, B).
2.1. Definíciók 8 2.1.6. Deníció. Két ponthalmaz, H 1 és H 2 hasonló, ha létezik H 1 H 2 hasonlóság. 2.1.7. Deníció (Síkbeli hasonlósági transzformáció). Az egész síkot síkra képez hasonlóság. 2.1.8. Deníció (Osztóviszony). Legyenek A, B pontok a sík egy irányított egyenesének két különböz alappontja, P pedig egy, az egyenesen lév, P B tetsz leges pont. Ekkor A és B alappontok P -re vonatkozó osztóviszonya: (ABP ) := AP P B, ahol AP és P B irányított szakaszok el jeles hossza. 2.1.9. Deníció (Anitás). Olyan H 1 H 2 leképezés, amely bijektív és egyenestartó. 2.1.10. Deníció (Tengelyes anitás). Olyan anitás, amelynek van tengelye, ahol a tengely olyan egyenes, melynek minden pont képe önmaga. 2.1.11. Deníció. A P pont és annak P képe által meghatározott egyenest a tengelyes anitás irányának nevezzük, amely lehet a tengellyel párhuzamos, a tengelyre mer leges, vagy a tengellyel szöget bezáró. Ekkor rendre párhuzamos, mer leges, vagy ferde anitásról beszélünk. 2.1.12. Deníció (Anitás aránya). Legyen f egy t 1 tengely tengelyes anitás, melynek iránya nem párhuzamos t-vel. Vegyünk fel egy P / t pontot, és annak P = f(p ) képét, P P egyenes és t metszéspontját jelöljük M-mel. Ekkor a számot az anitás arányának nevezzük. λ = P M P M Legyen g egy t 2 tengely tengelyes anitás, melynek iránya párhuzamos t-vel. Vegyünk fel egy Q / t pontot, és annak Q = f(q) képét, Q mer leges vetületét t-re jelöljük N-nel. Ekkor a számot az anitás arányának nevezzük. λ = QQ QN
2.2. Tulajdonságok, csoportosítás 9 2.1.13. Deníció (Inverzió). Legyen k egy O középpontú r sugarú kör az S síkon. Ekkor k-ra vonatkozó inverziónak nevezzük az I k : S \ {0} S \ {0} leképezést, ahol I k (P ) = P az OP félegyenesnek azon pontja, amelyre OP OP = r 2. 2.1.14. Deníció (Szögtartás). Szögtartónak nevezzük azokat az f transzformációkat, amelyekre igaz, hogy A, B, C R 2 pontra: ABC = A B C, ahol A = f(a), B = f(b), C = f(c). 2.2. Tulajdonságok, csoportosítás Síkbeli egybevágósági transzformációk fajtái: Bizonyítható, hogy a sík összes egybevágósági transzformációja a következ négy valamelyikébe tartozik. 1. Pont körüli forgatás: Legyen O a sík egy pontja, α pedig egy 0 α < 360 szög. Ekkor az O pont körüli forgatáson azt a transzformációt értjük, amely O pontot xen hagyja, és P O pontra P pont képe az a P pont, amelyre OP = OP és P OP = α 2. Tengelyes tükrözés: Legyen t a sík egy tetsz leges egyenese (szimmetriatengely). Ekkor a t egyenesre vonatkozó tengelyes tükrözésen azt a transzformációt értjük, amely a t tengely pontjait xen hagyja, és P / t pontra P képe az a P P pont, amelyre d(p, t) = d(p, t). 3. Eltolás: Adott egy v vektor. Ekkor a v vektorral való eltoláson azt a transzformációt értjük, amely a sík egy tetsz leges P pontjához azt a P pontot rendeli, amely a v vektorral párhuzamos, annak irányával megegyez félegyenesen van, és P P = v.
2.2. Tulajdonságok, csoportosítás 10 4. Csúsztatva tükrözés: Adott egy e egyenes és egy v vektor, melyre v e és v 0. Ekkor az e tengelyhez és v vektorhoz tartozó csúsztatva tükrözésen az e tengelyre való tükrözés és a v vektorral való eltolás kompozícióját értjük. Egy normál gimnáziumi osztályban az utolsót (a csúsztatva tükrözést) nem tanítják, így érdekes kérdés lehet számukra, hogy a három transzformáción kívül van-e a síkon más egybevágóság. Ha észreveszik, hogy egybevágóságok egymásutánja szintén egybevágóság, akkor megpróbálkozhatnak az ismert háromból el állítani újabbakat. A tanár feladata, hogy ha egy diák olyan transzformációt talál ki, ami már szerepel a korábbiak között, és csak el állítási módjában különbözik azoktól, rávezesse arra, hogy miért nem mondott újat. Némi gondolkodás és próbálkozás eredményeképpen észrevehetik, hogy egy tengelyes tükrözés és egy eltolás egymásutánja a korábbiaktól eltér egybevágósági transzformációt eredményez. A negyedik egybevágóság után a diákokban természetesnek adódhat az a kérdés, hogy van-e még síkbeli egybevágóság ezeken kívül. Ezen a ponton érdemes elárulni, hogy nincs, vagyis a síkban összesen 4 különböz egybevágóság létezik. A bizonyítást esetleg szakkörön fel lehet építeni. Amennyiben a diákok a középpontos tükrözést is az egybevágósági transzformációk közé szeretnék sorolni, tudatosítani kell bennük, hogy ez már szerepelt, hiszen speciális esete a pont körüli forgatásnak. Síkbeli hasonlósági transzformációk néhány fontos tulajdonsága: 1. Egyenestartó: Minden egyenes képe egyenes. 2. Párhuzamosságtartó: Párhuzamos egyenesek képei is párhuzamos egyenesek. 3. Szögtartó: ABC = A B C 4. Osztóviszonytartó: (ABP ) = (A B P )
2.3. Tételek 11 2.3. Tételek Az alábbi három tétel ([1]) közvetlen kapcsolatot teremt bizonyos síkbeli transzformációk és a lineáris algebra között. A tételeket nem bizonyítom, a harmadik tételt fogom felhasználni. 2.3.1. Tétel. Az R 2 R 2 egybevágósági transzformációk ekvivalensek az x A x+ v alakú leképezésekkel, ahol A R 2 2 ortogonális mátrix, v pedig tetsz leges eltolásvektor. 2.3.2. Tétel. Az R 2 R 2 hasonlósági transzformációk ekvivalensek az x λa x + v alakú leképezésekkel, ahol A R 2 2 ortogonális mátrix, v pedig tetsz leges eltolásvektor. 2.3.3. Tétel. Az R 2 R 2 anitások megegyeznek az x A x + v alakú leképezésekkel, ahol A R 2 2 invertálható mátrix, v pedig tetsz leges eltolásvektor.
3. fejezet Geometriai transzformációk az iskolában Ennek a fejezetnek célja, hogy röviden ismertesse a geometriai transzformációkkal kapcsolatos általános iskolai és gimnáziumi tananyagot. Kiemelném bel le azt, hogy a geometriai transzformáció függvényként való értelmezése a tanterv szerint már hetedik osztályban el kerül, azt követ en pedig minden évben ezt a függvényfogalmat b vítik. Ennek ellenére a tapasztalat azt mutatja, hogy a gyakorlati oktatás során jóval kevesebb hangsúlyt kap. 3.1. Általános iskolás ismeretek 3.1.1. Alsó tagozat Cél: a játékos szemléltetések hatására els sorban a képi gondolkodás fejlesztése, kés bbi fogalmak megalapozása, és egy geometriai szemléletmód kialakítása, amelynek köszönhet en a diákok otthonosan mozognak majd a fels tagozatos geometriában. 1. és 2. évfolyam: A különböz alakzatok szétválogatása azok geometriai tulajdonságaik alapján, illetve a tengelyesen szimmetrikus síkidomok felismerése és vizsgálata.
3.1. Általános iskolás ismeretek 13 3. évfolyam: Transzformációs szabályok felismerése (pl.: egybevágóság, tükrözés, nagyítás, kicsinyítés stb.) Tengelyesen tükrös alakzatok rajzolása, illetve adott síkidomok szimmetriatengelyeinek ábrázolása. 4. évfolyam: Transzformációk végrehajtása (pl.: tükrözés, forgatás, eltolás), illetve a hasonlósági és az egybevágósági transzformációk megkülönböztetése az egyéb transzformációktól. 3.1.2. Fels tagozat 5. évfolyam: Korábban tanultak ismétlése, egyszer bb szerkesztések végrehajtása körz és vonalzó használatával. Alakzatok távolságának meghatározása, a körrel és a gömbbel, mint (adott tulajdonságú) ponthalmazzal való megismerkedés. 6. évfolyam: A geometriai transzformációk részletesebb és tényszer bb vizsgálatának megkezdése. Feladatuk a pont, szakasz, egyenes, félegyenes, szög, és egyéb geometriai alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése, illetve a síkra szimmetrikus térbeli alakzatok megismerése is. Itt kerül sor a négyszögek speciális típusainak, és azok tulajdonságainak megtanulására, a háromszögegyenl tlenség kapcsán pedig felmerül a bizonyítás igénye. 7. évfolyam: Geometriai transzformációk értelmezése, mint pont-pont függvény. Részletesebb megismerkedés konkrét egybevágósági transzformációkkal (tengelyes és középpontos tükrözés, eltolás, forgatás), ezek felhasználásával síkidomok képeinek megszerkesztése. A szabályos sokszögek és azok szimmetriáinak vizsgálata, illetve az egyállású szögek, csúcsszögek, kiegészít szögek, stb. felismerése. 8. évfolyam: Az eddig tanult transzformációk rendezése és szélesebb kör alkalmazása. Hasonlóság arányának értelmezése, az egybevágóság, mint a hasonlóság speciális esete. Háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapesetei,
3.2. Középiskolai ismeretek 14 illetve egyéb síkidomok hasonlóságának feltételei. Ismételt kitérés a transzformációk függvényként való értelmezésére. [3] 3.2. Középiskolai ismeretek 9. évfolyam: Geometriai transzformáció fogalma, mint függvény. A tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, x alakzat, invariáns alakzat, identitás, tengelyesen szimmetrikus alakzat, középpontosan szimmetrikus alakzat, és a pont körüli forgatás deniálása. A deníciók mellett mindezek széles kör alkalmazása a különböz geometriai tételek kapcsán (pl.: a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, vagy a súlypont 1 : 2 arányban osztja a súlyvonalakat). Ekkor történik az ívmértékkel és a vektorokkal, illetve ennek kapcsán az eltolással, mint geometriai transzformációval való megismerkedés. [4] 10. évfolyam: Tételek a geometriai transzformációk alkalmazásaként, pl.: párhuzamos szel k tétele, szögfelez tétel. Hasonlóság, majd a hasonlóság széles kör alkalmazása különböz tételek kapcsán, hasonló síkidomok területének aránya, illetve hasonló testek térfogatának aránya. Középpontos kicsinyítés és nagyítás alkalmazása, illetve a háromszögek hasonlósági alapeseteinek részletezése. [5] 11. évfolyam: Ebben az évben nincs új tananyag a geometria ezen területér l. [6] 12. évfolyam: A transzformációk rendszerez összefoglalása: minden addig tanult deníció, illetve az azok kapcsán el került legfontosabb tételek. Új anyagrész ebben az évben sincs. [7]
4. fejezet Feladatok 4.1. Villámkérdések A geometriai transzformációkkal kapcsolatos fogalomkör b vítéséhez els ként érdemes az alábbi néhány gyors kérdést átgondolni, diákoknak tanítva pedig villámkérdésként feltenni. Kérdések: 1. Soroljon fel 5 darab síkbeli transzformációt! 2. Mondjon példát olyan geometriai transzformációra, amely egyenestartó, de nem szögtartó! 3. Igaz-e, hogy egy geometriai transzformáció során egy tetsz leges háromszögnek a képe háromszög? 4. Van-e olyan geometriai transzformáció, amelynél a sík bármely 2 pontja A és B esetén fennáll, hogy d(a, B ) < 1? (A pont képe az A pont, B pont képe pedig a B pont.)
4.2. Példák geometriai transzformációkra 16 Válaszok: 1. A korábban megbeszélt 4 darab egybevágósági transzformáció ide tartozhat, ezen kívül lehet még írni hasonlósági transzformációkat, vagy megadható teljesen általános (x, y) (f(x, y), g(x, y)) alakú transzformációt is. 2. Pl.: mer leges vetítés. 3. Nem igaz, például a mer leges vetítésnél egy háromszög képe nem lesz háromszög. 4. Van. Vegyük például azt a transzformációt, amely minden pontot egy megadott P pontba képez. Ekkor A és B pont esetén A = P és B = P, tehát: d(a, B ) = d(p, P ) = 0 < 1. 4.2. Példák geometriai transzformációkra Miután a villámkérdések kapcsán szó volt néhány egyszer transzformációról, gondolkozzunk el azon, hogy a következ példákban szerepl geometriai transzformációk milyen érdekes tulajdonságokkal rendelkeznek. Ebben a felsorolásban nem törekedtem az adott transzformáció minden tulajdonságát bemutatni, csupán gondolatébreszt nek szántam a továbbiakhoz. 4.2.1. Példa. Tekintsük azt a transzformációt, amely egy (x, y) koordinátájú pontot az origó körül 45 -kal pozitív irányba forgat, ha x és y Q, és helybenhagy, ha x vagy y / Q. Ekkor bármely négyzet képe az alábbi ábrán látható alakzat lesz (aminek nem áll el minden pontja).
4.2. Példák geometriai transzformációkra 17 4.2.2. Példa. Tekintsük azt a transzformációt, amely egy (x, y) koordinátájú pontot az ( 1, 1 ) pontba képez ha x és y / Q, és helybenhagy, ha x vagy y Q. Ekkor a 4.1. x y ábrán szemléltettem néhány szakasz képét. (szintén nem áll el minden pont.) 4.1. ábra. Szakaszok és képeik A fenti szakasz pontjainak képe egy szakasz és egy hiperbola ág mentén, a lenti szakaszok pontjainak képei pedig egy-egy félegyenes mentén helyezkednek el. 4.2.3. Példa. Tekintsük azt a transzformációt, amely egy (x, y) koordinátájú pontot az (x cos y, x sin y) koordinátájú pontba képez. Ekkor egy egyenes képe egyenes, ha y állandó, kör, ha x állandó, és spirál egyébként. 4.2. ábra. Egyenesek és képeik
4.3. t 2 az identitás 18 4.2.4. Példa. Legyen a vizsgált transzformációnk az inverzió. A 4.3. ábra néhány különleges alakzat inverz képét szemlélteti. 4.3. ábra. Alakzatok inverz képe 4.3. t 2 az identitás 4.3.1. Bevezet kérdések Kérdés 1. Van-e olyan geometriai transzformáció, amelynek a négyzete a helybenhagyás? 2. Van-e olyan geometriai transzformáció, amelynek a köbe a helybenhagyás? 3. Van-e olyan geometriai transzformáció, amelynek a negyedik hatványa a helybenhagyás? 4. Mit mondhatunk el általában ezekr l a transzformációkról? Hányadik hatványig érdemes vizsgálni ket? 5. Egy t transzformáció négyzete az identitás. Lehet-e t olyan transzformáció, amely nem egybevágóság? 6. Egy t transzformáció négyzete a 180 -os forgatás. Lehet-e t olyan transzformáció, amely nem egybevágóság?
4.3. t 2 az identitás 19 7. Egy t transzformáció négyzete egy v vektorral való eltolás. Lehet-e t olyan transzformáció, amely nem egybevágóság? Válasz: 1. Van. Pl.: identitás, tengelyes tükrözés, 180 -os forgatás stb. 2. Van. Pl.: identitás, 120 -os forgatás. 3. Minden olyan megoldás jó, amelynek a második hatványa az identitás, azon kívül pl. a 90 -os forgatás. 4. Irányítás szempontjából páros hatványúak lehetnek irányítástartók és irányításváltók is, a páratlan hatványúak viszont csak irányítástartók, hiszen egy irányításváltó transzformációt páratlanszor elvégezve irányításváltó transzformációt kapunk, viszont a helybenhagyás irányítástartó. Észrevehet továbbá az is, hogy ha egy t transzformáció k-adik hatványa az identitás, akkor ugyanaz a t transzformáció megoldása lesz annak a feladatnak, amikor k valamely többszörösér l van szó. Ennek alapján tehát a prímszámok esetén lesz a legérdekesebb a kérdés. 5. Igen. Legyen a sík két különböz pontja A és B. Vegyük azt a transzformációt, amely az A ponthoz a B pontot, a B ponthoz pedig az A pontot rendeli, a sík többi pontját pedig helybenhagyja. 6. Igen. Tekintsünk a síkon egy tetsz leges O középpontú r > 0 sugarú k kört. Legyen t az a transzformáció, amely x k pontot az O középpont körül 90 - kal pozitív irányba és x / k pontot pedig az O pont körül 90 -kal negatív irányba forgat. (Ld. 4.4. ábra bal oldala.) 7. Igen. Vegyünk a síkon két különböz párhuzamos egyenest, e-t és f-et. Az e egyenesen lév pontokat e-re mer leges irányban képezzük az f egyenesre, az f egyenesen lév pontokat pedig az ábrának megfelel en toljuk az e egyenesre. A sík többi pontjára pedig alkalmazzuk a v 2 vektorral való eltolást. (Ld. 4.4. ábra jobb oldala.)
4.3. t 2 az identitás 20 4.4. ábra. Forgatás és eltolás 4.3.2. t 2 az identitás 4.3.1. Feladat. Egy t transzformáció négyzete az identitás. Lehet-e t olyan folytonos transzformáció, amely nem egybevágóság? Megoldás. A keresés során azt a technikát alkalmazzuk, hogy egy (a feladatban feltettnél) er sebb állítást látunk be, vagyis jelen esetben az anitások között keresünk olyat, amelynek a négyzete az identitás. Ezt megtehetjük, hiszen az anitások mind folytonosak. A 2.3.3. tétel alapján az anitások megegyeznek az f(x) = A x + v alakú leképezésekkel, ahol A R 2 2 invertálható mátrix, v pedig tetsz leges eltolásvektor. Az f(x) = A x leképezések az el bb említett anitásoknak egy részhalmaza. Ha találnánk egy megfelel A mátrixot, akkor a feladattal készen lennénk. Legyen A = a c b d a keresett transzformáció mátrixa. Négyzete: A 2 = a c b d a c b d = a2 + bc ab + bd ac + cd bc + d 2 = 1 0 0 1 Mivel az identitásnak, mint transzformációnak az egységmátrix felel meg, és két mátrix akkor és csak akkor egyenl, ha a megfelel pozíciókban lév elemek azonosak, emiatt
4.3. t 2 az identitás 21 a következ egyenletek adódnak: a 2 + bc = 1 ab + bd = b(a + d) = 0 d 2 + bc = 1 ac + cd = c(a + d) = 0 Második oszlop egyenletei alapján a következ két eset lehetséges: 1. eset: 2. eset: b = 0 és c = 0 vagy a + d = 0 a=-d Az els oszlopban lév egyenletek felhasználásával: a 2 = 1 d 2 = 1 a 2 + bc = 1 és ( a) 2 + bc = 1 a = ±1 d = ±1 a 2 = 1 bc a = ± 1 bc 1. eset: Az itt meghatározott feltételek miatt 4 különböz mátrixot kapunk megoldásként. 1. 1 0 0 1 2. -1 0 0 1 3. 1 0 0-1 4. -1 0 0-1 identitás y tengelyre tükrözés x tengelyre tükrözés 180 -os forgatás E négy transzformáció mind egybevágóság, így a feladat szempontjából nem vezetnek megoldáshoz. 2. eset: b és c megadása esetén lesz csak egyértelm a transzformáció, mely végtelen sok megoldást eredményez. E két érték meghatározásakor csupán azt a feltételt kell gyelembe venni, hogy a gyökjel alatt nem állhat negatív szám. Vagyis: 1 bc 0 bc 1. A fenti feltételek mellett tehát a mátrix általános alakja: ± 1 bc c b 1 bc
4.3. t 2 az identitás 22 A példa kedvéért legyen b = 3 és c = 1. Ekkor a következ leképezést kapjuk: 2 3 1 2 Egy emelt szint csoportban, ahol már tanulták a mátrixokat, mint lineáris leképezést, a feladat gond nélkül el hozható, és némi gondolkodás vagy rávezetés után helyes válaszok születhetnek. Úgy gondolom, hogy egy normál szint gimnáziumi csoport tagjai számára a feladat megoldása lehet, hogy nehézséget jelentene, mert a transzformáció függvény mivolta még nem elég szerves része a gondolkodásuknak, mátrixokkal (amivel egyszer rutinfeladattá válna a kérdés) pedig még nem találkoztak. A témakör elején feltett bevezet kérdések célja, hogy gondolkodásukat kicsit tágítsa, és elszakítsa ket attól az elképzelést l, hogy a transzformációk azok a konkrét példák, amiknek korábban nevet adtak. Akár az általam ismertetett, akár más megoldás során kikerülhetetlenül szükség van arra, hogy ha még használják is a korábban tanult speciális transzformációkat (pl.: 90 -os forgatás), az értelmezési tartomány különböz részeire más-más utasítást kell kitalálni. A t 2 az identitás feladat lehet séget teremt, például egy szakkörön, vagy egy emelt csoportban, a mátrixok, valamint a mátrixszorzás bevezetésére is. A fenti feladat megoldása egy normál osztályban úgy mondható el, hogy vegyük azt a leképezést, amely az (x, y) koordinátájú pontot a (2x 3y, x 2y) koordinátájú pontba képezi. A transzformációt egymás után kétszer elvégezve: f(x, y) = (2x 3y, x 2y) és f(f(x, y)) = f(2x 3y, x 2y) = (2(2x 3y) 3(x 2y), 2x 3y 2(x 2y)) = (4x 6y 3x + 6y, 2x 3y 2x + 4y) = (x, y). Ha megértették, hogy ez épp annyira transzformációnak számít, mint például a tengelyes tükrözés, akkor a következ néhány feladattal is boldogulhatnak.
4.3. t 2 az identitás 23 4.3.3. Hasonló feladatok 4.3.2. Feladat. Egy t transzformáció négyzete a középpontos tükrözés. Lehet-e t olyan folytonos transzformáció, amely nem egybevágóság? A 2 = Megoldás. a c b d 2 = a2 + bc ab + bd ac + cd bc + d 2 Az origó középpontú tükrözés mátrixa: 1 0 0 1. Az el z feladat megoldásához hasonlóan: a 2 + bc = 1 ab + bd = b(a + d) = 0 d 2 + bc = 1 ac + cd = c(a + d) = 0 Második oszlop egyenletei alapján a következ két eset lehetséges: 1. eset: 2. eset: b = 0 és c = 0 vagy a + d = 0 a=-d Az els oszlopban lév egyenletek felhasználásával: a 2 = 1 és d 2 = 1 ez az ág nem ad megoldást. a 2 + bc = 1 és ( a) 2 + bc = 1 a 2 = 1 bc a = ± 1 bc Itt ismét gyelembe kell venni, hogy a gyökjel alatt nem állhat negatív szám, így a keresett mátrixra egy példa: 2 5 1 2 Ekkor a sík egy tetsz leges (x, y) pontjának képe a (2x + 5y, x y) koordinátájú pont.
4.3. t 2 az identitás 24 4.3.3. Feladat. Egy t transzformáció négyzete egy nem nulla vektorral való eltolás. Lehet-e t olyan folytonos transzformáció, amely nem egybevágóság? Megoldás. Az el z két példához hasonlóan itt is megfelel anitást keresünk. Ahogyan az identitás mátrixa az egységmátrix, az eltolásnak nem tudunk mátrixot megfeleltetni, így ilyen szempontból az el z eknél valamivel többre van szükség. Térjünk vissza ahhoz a gondolathoz, hogy a 2.3.3. tétel alapján anitások megegyeznek az f(x) = A x + v alakú leképezésekkel, ahol A R 2 2 invertálható mátrix, v pedig tetsz leges eltolásvektor. Ha A 4.3.1. feladat megoldásában kapott A mátrixhoz egy v = (v 1, v 2 ) vektort hozzáadunk, akkor egyszer számolással megkaphatjuk, hogy a transzformáció elvégzése után a következ eredményt kapjuk: 2 3 1 2 2 3 1 2 x y + v 1 v 2 + v 1 v 2 = x y + 3v 1 3v 2 v 1 v 2. Ez egy helyes megoldása a feladatnak, mert a fenti transzformáció az (x, y) ponthoz a v = (3v 1 3v 2, v 1 v 2 ) vektorral eltolt képét rendeli. Tetsz legesen megadott v vektor esetén ez a formula egy-egy konkrét megoldást eredményez. 4.3.4. Áttekintés A témakör elején található bevezet kérdések önmagukban is érdekesek lehetnek. Ha azok egy normál szint gimnáziumi csoportban nagyobb gondolkodást igényelnek, és csak nehezen születik rájuk megoldás, akkor érdemes inkább az ilyen jelleg feladatokra fektetni a hangsúlyt. A három nagyobb feladatot els sorban akkor érdemes tárgyalni, ha a mátrixokkal kapcsolatba szeretnénk hozni. Vagy azért, hogy ezeken a példákon keresztül tanítsuk
4.4. El re adott egyenes 25 meg, vagy mert a korábbi tudásukra alapozva szeretnénk érdekes kérdéseket feltenni. Ekkor a megoldás folyamatának leglényegesebb gondolata az, amikor észreveszik, hogy itt azokat kell alkalmazni. A továbbiakban lehetne azokkal a kérdésekkel foglalkozni, hogy ha egy t transzformáció négyzete a tengelyes tükrözés/forgatás/csúsztatva tükrözés, akkor lehet-e t olyan folytonos transzformáció, amely nem egybevágóság. 4.4. El re adott egyenes 4.4.1. Bevezet kérdések Kérdés 1. Mutasson példát olyan transzformációra, amely a síkot egy el re adott pont kivételével a síkra képezi! 2. Mutasson példát olyan transzformációra, melyeknél minden kör képe kör! 3. Igaz-e, hogy a mer leges vetítés egy olyan transzformáció, amelynél minden egyenes képe egyenes? Válasz: 1. Vegyünk fel egy koordinátarendszert a síkon úgy, hogy az el re adott pont az (1, 0) koordinátájú pont legyen. Ennek a pontnak a képe legyen az ( 1 2, 0), annak pedig az ( 1 4, 0) stb. Tehát P [0, 1] pont, ahol P ( 1 2 n, 0 ) alakú (n N + ), képe legyen az ( 1 2 n+1, 0 ) pont. Azok a pontok, amelyek nem ( 1 2 n, 0 ) alakúak, helyben maradnak. 2. Az egybevágóságok és a hasonlóságok biztosan azok. 3. Nem, mert a tengelyre mer leges egyenes képe egy pont.
4.4. El re adott egyenes 26 4.4.2. El re adott egyenes 4.4.1. Feladat. Van-e olyan síkbeli transzformáció, hogy bármely egyenes képe egy el re adott egyenes? Vagyis g R 2 egyeneshez van-e olyan f : R 2 R 2 transzformáció, hogy e R 2 egyenes esetén: f(e) = g? Egy normál osztályban (a harmadik bevezet kérdés hatására) az a megoldási ötlet merülhet fel, hogy próbáljuk meg a mer leges vetítést megfelel en módosítani. Ennek során nagy az esélye annak, hogy egy, a transzformáció fogalmával kapcsolatos alapvet hiba kerül szem elé. Próbálkozhatnak ugyanis a következ (vagy ahhoz hasonló) ötlettel: alkalmazzuk a mer leges vetítést, viszont minden mer leges egyenes képe legyen a metszéspont körüli 90 -os forgatás. Ez a megoldás alapvet fogalmi hibára utal. Egy geometriai transzformáció esetében ugyanis minden síkbeli pontnak egyértelm en meg kell tudni mondani a képét, itt azonban egy tetsz leges P pont képe függ attól, hogy melyik egyenesen tekintjük. Mást kapunk akkor, amikor egy mer leges egyenesre, és mást, amikor egy, a tengellyel hegyesszöget bezáró egyenesre illeszkedik. Az ehhez kapcsolódó bevezet kérdés célja az, hogy az el bb említett fogalmi hibát ezen a ponton tisztázni lehessen. 1. Megoldás. Az el re megadott g egyenesen vegyünk fel egy O pontot. Ekkor egy tetsz leges P pont képét a következ módon kaphatjuk meg: Meghatározzuk OP távolságát végtelen tizedestört alakban, majd vesszük annak a törtrészét. Ekkor a kapott érték a [0, 1) intervallumba fog esni, melyet leképezünk a (, + ) intervallumra (többféleképpen is megvalósítható), majd ezt a számot felmérjük az el re adott egyenesre az O pontból, mint kezd pontból. Ennek a megoldási módnak az a nehézsége, hogy gimnáziumban még nem egy triviális gondolat az, hogy egy egység hosszú szakaszon ugyanannyi pont van, mint a
4.4. El re adott egyenes 27 (, + ) intervallumon, vagyis a leképezés megvalósítható. Ennek ellenére érdemes bemutatni nekik, mert rámutathat arra, hogy a transzformációkban sokkal nagyobb rugalmasság van, mint ahogyan azt korábban gondolhatták. 2. Megoldás. 1. Legyen t 0 az adott egyenes. 2. Húzzunk párhuzamosokat egységenként haladva pozitív és negatív irányba is. Ezeket nevezzük el rendre t 1, t 2,...-nek, illetve t 1, t 2,...-nek. 3. Egy t n és t n+1 egyenesek közötti sávban (alul zárt, fölül nyílt) a transzformáció legyen az n 2 arányú nyírás. 4. Végül az így kapott képet mer legesen vetítsük a t 0 tengelyre. A fent leírt eljárást a 4.5. ábra szemlélteti. 4.5. ábra. n 2 arányú nyírás A megoldás során fontos, hogy az n arányú nyírás nem elég a t n és t n+1 egyenesek között, hiszen a 4.6. ábrán látható módon, ekkor található olyan egyenes, amelynek a képe nem fedi le az egész t 0 tengelyt.
4.4. El re adott egyenes 28 4.6. ábra. n arányú nyírás 4.4.2. Állítás. A fenti megoldás során n 2 arányú nyírás esetén az e egyenes akármilyen kicsi szöget zár be a t 0 tengellyel, e képeként t 0 mindig el áll. Bizonyítás. Az kell, hogy tetsz leges meredekség mellett létezzen olyan N N, hogy n N esetén a t n és t n+1 sávba es egyenesdarab képe metssze az e t 0 pontból t 0 -ra állított m mer leges egyenest. (Ld. 4.7. ábra) Vegyünk fel egy koordinátarendszert úgy, hogy annak két tengelye legyen a 4.7. ábrán látható t 0, illetve m egyenesek, az e egyenes meredeksége legyen 1 és a nyírás a 4.7. ábra. aránya pedig λ. Ekkor a 4.8. ábrán látható módon arra van szükség, hogy legyen: λ (n + 1)a. 4.8. ábra. Ez az egyenl tlenség λ = n 2 esetén teljesül, vagyis: n 2 (n + 1)a, mert N N, hogy n N esetén a < n 1. Ekkor az egyenl tlenség jobb oldala: (n+1)a < (n+1)(n 1) = n 2 1, ami valóban kisebb n 2 -nél.
4.4. El re adott egyenes 29 Az els megoldás során egy tetsz leges e egyenes esetében az el re megadott egyenesnek minden pontja akár kontinuum sokszor is el állhat (attól függ en, hogy az egységszakasz és a (, ) intervallum között milyen leképezést adunk meg), a második megoldás esetében viszont csak megszámlálhatóan végtelenszer. Felmerül tehát az a kérdés, hogy meg lehet-e adni olyan transzformációt, amely a sík minden egyenesét bijektíven képezi az adott egyenesre. 4.4.3. Állítás. Nincs olyan geometriai transzformáció, amely a sík egy tetsz leges e egyenesét úgy képezi le egy el re adott t egyenesre, hogy annak minden pontja pontosan egyszer áll el. Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy létezik ilyen transzformáció. Legyen t az adott egyenes, P pedig t egy tetsz leges pontja. Vegyünk fel egy e t egyenest. Ekkor a feltevés szerint az e egyenesen! olyan E pont, aminek a képe P. Legyen f egy t-t l és e-t l különböz egyenes, amely e-t az E pontban nem metszi. Ezen az egyenesen szintén! olyan F pont, aminek a képe 4.9. ábra. P. (Ld. 4.9. ábra) Ez ellentmondáshoz vezet, hiszen ekkor az EF egyenes egy olyan egyenes, amelynek két pontja is P -be képz dik. A t 2 az identitás témakör esetében használt lineáris leképezés ötlete szintén el kerülhet. Vajon találunk-e olyan lineáris leképezést, amely megoldása lesz a feladatnak? 4.4.4. Állítás. Nincs olyan lineáris transzformáció, amelynél minden egyenes képe egy el re adott g egyenes.
4.4. El re adott egyenes 30 Bizonyítás. Indirekt tegyük fel, hogy van ilyen lineáris leképezés. Legyen az el re adott g egyenes a síkbeli koordinátarendszer x tengelye, ezen tekintsük az A lineáris leképezést, melynek mátrixa a kanonikus bázison. A = a c Minden (x, y) pontot az x tengelyre kell képezni, vagyis egy tetsz leges (x, y) pont képe (z, 0) alakú kell hogy legyen. Végrehajtva a transzformációt: b d. a c b d x y = ax + by cx + dy = z 0 cx + dy = 0 c = 0 és d = 0. Tehát minden (x, y) pont képe (ax + by, 0) alakú. Ennek alapján egy b 0 pont képe akkor lesz az origó, ha ax + by = 0 by = ax y = a b x. Ha éppen azt az y = a x alakú egyenest tekintjük, akkor annak minden pontja a b (0, 0) pontba képz dik, így nem kapjuk meg képként az egész x tengelyt. Ha b = 0, akkor egy (x, y) pont képe egy (ax, 0) alakú pont. Ha x értéke állandó (ebben az esetben szintén egyenesr l van szó), akkor az (ax, 0) pontokat kapjuk, ahol ax értéke is állandó, vagyis az egész egyenes képe ez a pont, tehát az x tengely ekkor sem áll el képként. Ha a geometriai transzformáció fogalmából indulunk ki, vagyis abból, hogy (x, y) (f(x, y), g(x, y)), akkor már nem nehéz megfelel f és g függvényeket találni. (Esetünkben a g függvény a konstans 0 függvény.) Ezt a függvény jelleget hangsúlyozva gimnáziumi szinten is megválaszolható a kérdés. A harmadik megoldásban egy ilyen f függvényre adok egyszer példát.
4.4. El re adott egyenes 31 3. Megoldás. Vegyünk fel a síkon egy koordinátarendszert, ahol az el re megadott egyenes legyen az x tengely. Ekkor a sík egy (x, y) pontjának a képe legyen az (x 3 + y, 0) pont. Bizonyítás. A megoldás során egy (x, y) képe az (x 3 + y, 0) pont, vagyis egy el re kijelölt a pontba az x 3 + y = a alakú pontok mennek. x 3 + y = a y = a x 3, ez a ponthalmaz pedig nem egyenes, így a képhalmaz biztosan nem egyetlen pontból fog állni. A transzformáció során az x tengely minden c pontja el áll. Ekkor x 3 + y = c, egy tetsz leges egyenes pedig: y = mx + b (ahol m és b adott.) Tehát: x 3 + mx + b = c Tetsz leges m és b választása mellett különböz x koordináták esetén bármely c x el áll. Az y = mx+b alakú egyenesek között nem szerepel a sík összes egyenese. Pontosan azok maradnak ki, amelyek mer legesek az x tengelyre, vagyis ahol x =állandó. Ekkor egy (x, y) pont képe az (y, 0) pont. Látszik tehát, hogy ebben az esetben is el áll az x tengely bármely pontja. A bizonyításban leírt harmadfokú egyenlet: x 3 + mx + b = c jelentése rögzített m és b, valamint az el állítandó c esetén az, hogy az x tengely egy tetsz leges pontja maximum három (x, y) koordinátájú pont esetén áll el. Mindez úgy valósul meg, hogy az x tengelyre mer leges egyenesekre nézve a leképezés bijektív, vagyis kontinuum sok olyan egyenes van, amelynél az el re adott egyenes minden pontja pontosan egyszer áll el. 4.4.5. Kérdés. Lehetséges-e az, hogy csak véges sok olyan egyenes van, melyekre igaz az, hogy 1-nél több pontjuknak a képe az el re adott P pont. 4.4.6. Állítás. Végtelen sok olyan egyenes van, melyekre igaz, hogy 1-nél több pont-
4.4. El re adott egyenes 32 juknak a képe az el re adott P pont. Bizonyítás. A 4.4.3. állítás szerint olyan e 1 egyenes, amelyen van 2 olyan pont: A és B, melyeknek képe P. (Ld. 4.10. ábra fels képe) Legyen az e 2 egyenes e 1 -gyel párhuzamos (de nem azonos) egyenes. Ekkor e 2 -n olyan C pont, aminek a képe a P pont. (Ld. 4.10. ábra alsó képe) Tekintsük az AC és BC egyeneseket. Ekkor ez két újabb olyan egyenes, amelyr l több pontnak a képe is P. Ezt az eljárást folytatva minden újabb párhuzamos behúzásával az azon lév Q pont (P sképe) 4.10. ábra. P sképei legalább egy új megfelel egyenest eredményez, azt az esetet kivéve, amikor csomó alakul ki. Csomó: Az eljárás során keletkezett pontok és egyenesek azon elhelyezkedése, amikor egy adott lépésben behúzott párhuzamos egyenesen lév R pont (melynek képe P ) olyan helyen van, hogy azt bármely korábbi ponttal összekötve nem jutunk új egyeneshez. Az els csomó legkorábban a harmadik lépésben alakulhat ki (els lépésnek a C pontot tartalmazó egyenes behúzását tekintjük). Ezt az állapotot mutatja be a 4.11. ábra. Könnyen látható, hogy egy csomó kialakulása utáni lépésben már ismét keletkeznek újabb olyan egyenesek, melyeken 2 darab olyan pont van, aminek a képe P. 4.11. ábra. Csomó Tehát legalább minden második lépésben újabb megfelel egyenest kapunk, így
4.4. El re adott egyenes 33 végtelen sok olyan egyenes van, amib l 1-nél több pont képz dik egy el re adott P pontba. 4.4.3. Áttekintés Ebben az alfejezetben olyan transzformációkat kerestem, amely a sík egy tetsz leges egyenesét egy el re megadott egyenesbe képezi. A feladat megoldása nem triviális, ennek ellenére sok, egymástól lényegében különböz példa adható, melyek közül szakdolgozatomban hármat ismertettem részletesebben. A megoldások bemutatása során olyan transzformációt próbáltam keresni, amelynél az adott g egyenes pontjai minél kevesebb sképpel rendelkeznek. Sikerült belátni, hogy mindenképp van megszámlálhatóan végtelen (az erre vonatkozó bizonyítás némi módosításával belátható, hogy akár kontinuum) sok olyan egyenes, melyr l egynél több pont képz dik P -be, viszont van olyan transzformáció is, ahol kontinuum sok olyan egyenes van, amelynél csak egyetlen pont képe P. A gondolatmenetet azzal a kérdéssel lehetne folytatni, hogy megadható-e olyan transzformáció, ahol a megadott egyenes minden pontja maximum két sképpel rendelkezik.
5. fejezet Összefoglalás Szakdolgozatom során els ként ismertettem az alapvet deníciókat, tulajdonságokat és tételeket. A következ fejezetben leírtam az általános iskolai és gimnáziumi tantervet, hogy ez alapján az egyes feladatok nehézségi szintje könnyebben megállapítható legyen. Ezt követ en két problémakör keretében igyekeztem a geometriai transzformációkkal kapcsolatos nomságokra rámutatni. Megpróbáltam átfogóan ismertetni ket, és felépítésükben a különböz korosztályú és tudású gyerekeket oktató tanárok számára is felhasználhatóvá tenni.
Irodalomjegyzék [1] Moussong Gábor Geometria el adásjegyzet 2011. [2] Hajós György Bevezetés a geometriába Nemzeti Tankönyvkiadó, tizenkettedik kiadás 1999. [3] Dr. Czeglédy István, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné Scherlein Márta: Matematika 18. mintatanterv, http://www.muszakikiado.hu/les/ tanmenetek/matek/hagyomanyos/tanterv.pdf, M szaki Kiadó, Budapest [4] Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Urbán János, Vincze István Sokszín Matematika 9. Mozaik Kiadó, Szeged 2003. [5] Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Urbán János, Vincze István Sokszín Matematika 10. Mozaik Kiadó, Szeged 2002. [6] Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Urbán János, Vincze István Sokszín Matematika 11. Mozaik Kiadó, Szeged 2006. [7] Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Urbán János, Vincze István Sokszín Matematika 12. Mozaik Kiadó, Szeged 2006. 35