SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL

SZERKESZTÉS SZÁMÍTÓGÉPPEL Ha már ismerjük a szerkesztés szabályait, és ezeket a gyakorlatban is jól tudjuk alkalmazni, akkor érdemes megismerkedni a számítógépes lehetőségekkel. Így olyan eszköz áll rendelkezésünkre, amellyel teljesen más jellegű vagy akár sokkal nehezebb problémák is vizsgálhatók. Ehhez több geometria program is rendelkezésünkre áll. Vannak közöttük ingyenesek is, mindenki számára saját használatra szabadon hozzáférhetők. A Geogebra programot elindítva a képernyőn látható képből számunkra most az eszköztár sora a fontos, amely a geometriai adatok bevitelére szolgál. Az eszköztár ikonjait kattintással tudjuk kiválasztani a megfelelő legördülő listából, amelyet az egyes ikonok sarkában található kis háromszög jelez. A kiválasztott ikon keretezetten jelenik meg. Ezen kívül az ikonok mellett jobb oldalon a program kiírja az éppen kiválasztottat. 1. példa Szerkesszük meg egy háromszög körülírt körét. A háromszög szerkesztéséhez keressük ki az eszköztáron a sokszög ikont. (Ehhez kattintsunk balról a harmadik ikon jobb alsó sarkában található kis nyílra.) A háromszög csúcsait meghatározó A, B és C pontok létrehozásához a megfelelő helyeken kattintsunk háromszor a geometriai felületre. A háromszög létrehozásához kattintsunk még egyszer az A pontra. Ezzel az utasítással jelezzük, hogy készen vagyunk. A program magától nem tudja kitalálni, hány oldalú sokszöget akarunk létrehozni. Ezután keressük meg a szakaszfelező merőleges jelét, és szerkesszünk két ilyen egyenest a háromszög két oldalára kattintva. Ingyenesen letölthető a Geogebra program például a következő címről: www.geogebra.org. Telepítése egyszerű, és a legfontosabb tudnivalók megjelennek benne magyarul. Használatához szükséges még a Java program, amely a Geogebra honlapján keresztül szintén ingyenesen letölthető. Ha már van ilyen a számítógépre telepítve, akkor telepítéskor meg kell adni a Geogebra számára ennek a helyét. Ha nincs, akkor a Geogebra telepítése előtt ezt kell telepíteni. Ha van másik geometriai szerkesztőprogramunk, akkor azt is alkalmazhatjuk az alábbi szerkesztések végrehajtására. (Tanuljuk meg saját programunk használatát.) Természetesen, a szerkesztés lépéseit nekünk kell meghatároznunk. A program csak végrehajtja (de nem tervezi meg) azokat. A két alakzat metszéspontjának kijelölésére szolgáló parancs ikonját megadva kattintsunk a szakaszfelező merőlegesek metszéspontjára. (Így hozza létre a program ezt a pontot.) A szerkesztés befejezéséhez válasszuk ki a kör középponttal és kerületi ponttal jelű ikont, és kattintsunk először a középpontra, majd a háromszög valamelyik csúcspontjára. Mivel most csak szerkeszteni akarunk, a Nézet menüsorban töröljük a Tengelyek és az Algebra ablak sorokat. Ekkor csak a geometriai szerkesztő felület marad meg. 7. FEJEZET 235

236 Ha meg akarjuk változtatni a háromszög alakját, jelöljük ki a mozgatásra utaló nyilat, és válasszunk ki egy csúcsot. Az egér bal oldali gombjának benyomása mellett húzzuk a csúcsot az új helyére.

2. példa Szerkesszük meg egy háromszög a) magasságpontján és súlypontján átmenő egyenest; b) magasságpontján és körülírt körének középpontján átmenő egyenest. Mit tapasztalunk? a Szerkesszük meg az előző példában ismertetett módon az ABC háromszöget, majd válasszuk ki az ikonok közül a merőleges jelét. Jelöljünk ki egy csúcsot és a vele szemben levő oldalt. A program ezután megrajzolja a szóban forgó magasságot. Ismételjük meg még egyszer az eljárást. Ezután a metszéspont kijelölésére szolgáló ikon segítségével határozzuk meg a két magasságvonal D metszéspontját. A súlypont megszerkesztéséhez először az ábrán látható ikonnal adunk utasítást az oldalak felezőpontjainak meghatározására. Ezt követően az egyenes két ponton keresztül ikon bejelölése után a két végpontra való kattintással a súlyvonal megjelenik. Az AF és CE súlyvonalak G metszéspontját a már ismert módon adjuk meg. A magasságponton és a súlyponton átmenő egyenest az újra az ábrán látható ikon a segítségével kaphatjuk meg. A két pont kattintással való beazonosítása után a számítógép a h egyenest megrajzolja. Ha egy alakzatra a jobb oldali egérgombbal kattintunk, akkor egy menü jelenik meg, ahol megvalósítható az átnevezés. Ha ugyanitt a tulajdonságok menüpontot választjuk, akkor módosítható a vonalak színe, vastagsága, stílusa. 7. FEJEZET 237

b A körülírt kör középpontját megadó oldalfelező merőlegeseket az 1. példában megismert módszerrel rajzoltathatjuk meg. Az E és az F felezőpontokon átmenő merőlegesek metszéspontja a H. A D magasságponton és a körülírt kör H középpontján átmenő egyenes jele a k. Úgy látjuk, hogy az ábránkon a h és a k egyenesek képe egybeesik. Jó lenne tudni, hogy ez tényleg így van-e? A kapcsolat két alakzat között művelet segít eldönteni ezt a kérdést. Ha a két egyeneshez közelítünk, a program felteszi a kérdést, hogy melyik egyenesre gondoltunk. Je-löljük ki először a h, majd a k egyenest. Ekkor az ábrán látható választ kapjuk. Bizonyítható, hogy ez tetszőleges háromszögre igaz. Az így kapott egyenest a háromszög Euler-egyenesének nevezzük. FELADATOK 60 61 62 Szerkesztőprogram alkalmazásával szerkesszük meg a háromszög beírható körét. A szögfelező az ábrán látható ikon segítségével szerkeszthető. Szerkesztőprogram alkalmazásával szerkesszük meg a) adott kör érintőit; b) két adott kör közös (külső és belső) érintőit. Szerkesztőprogram alkalmazásával szerkesszünk háromszöget, ha adott két oldala és a harmadik oldalhoz tartozó magassága. 238

NÉGYSZÖGEK FELADATOK 63 Rajzoljuk le (nagyítva) a halmazábrát, és írjuk bele a címkéket. Rajzoljunk a halmazábra minden részébe megfelelő síkidomokat. Vonalkázzuk be az üres halmazt. N = {Négyszögek}; D = {Deltoidok}; A = {Téglalapok}; T = {Trapézok}; P = {Paralelogrammák}; B = {Négyzetek}. Hogyan rajzolhatjuk az ábrába az R = {Rombuszok} halmazt? 64 a) Határozzuk meg a négyszögek belső szögeinek összegét: Szürke rácson különböző színű alakzatok. b) Folytassuk az ábrán a sík parkettázását. A teljes sík parkettázható ezzel a négyszöggel? Miért? Minden négyszöggel parkettázható a sík? Miért? 65 Ho gyan ha tá roz ha tó meg a bel sõ szö gek össze ge a kö vet ke zõ négy szög ese tén? A négyszög belső szögeinek összege 360. A négyszög egy átlójával két háromszögre bontható, melyeknek a szögei a négyszög belső szögeit adják. Ezeknek összege: 2 180 = 360 7. FEJEZET A konvex négyszög külső szögeinek összege 360. A négyszög belső és külső szögeinek összege: 4 180 = 720 A belső szögek összege: 360, ezért a külső szögek összege: 720 360 = 360 239

Megjegyzés Az előző oldalon konvex négyszögre bizonyítottuk a külső szögek összegére vonatkozó t. Ha a külső szögeket irányítottnak értelmezzük, akkor általánosítható az összefüggés: Válasszunk ki a négyszög egyik oldalán egy P pontot. Járjuk körül a négyszöget az ábrán megjelölt irányban. Egyszeri körüljárás után ugyanabban az irányban érkezünk vissza. Eközben egy teljesszöggel fordultunk körül. A körüljárás során az elfordulásokat előjelesen vettük figyelembe. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK A tengelyesen szimmetrikus háromszögeknél láttuk, hogy a háromszög egyik csúcsának a szimmetriatengelyen kell elhelyezkednie, míg a fennmaradó másik két csúcs egymás tükörképe. Négyszögek esetében csak úgy képzelhető el a tengelyes szimmetria, ha ➊ vagy két csúcsuk van a szimmetriatengelyen, és ekkor a másik két csúcs egymás tükörképe, ➋ vagy a négy csúcs közül kettő van a szimmetriatengely egyik oldalán, de nem a tengelyre merőleges egyenesen, míg a másik két csúcs a másik oldalon, ezek tükörképeként helyezkednek el. A tengelyes szimmetriából következnek a vizsgált négyszögek alábbi tulajdonságai. DELTOID emlékeztető A deltoid olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, amelynek van csúcsokon átmenő szimmetriatengelye. Két-két szomszédos oldala egyenlő; az egyik átlója két szöget felez; a másik két szöge egyenlő; az átlói merőlegesek egymásra; az egyik átlója illeszkedik a szimmetriatengelyre; a szimmetriatengely felezi a másik átlót. emlékeztető Rombusznak nevezzük az olyan négyszöget, amelynek minden oldala egyenlő. A négyzet olyan négyszög, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő. A rombusz, és így a négyzet is speciális deltoid. 240

HÚRTRAPÉZ emlékeztető A húrtrapéz olyan tengelyesen szimmetrikus négyszög, amelynek van csúcsokon át nem menő szimmetriatengelye. Van két párhuzamos oldala (alapok); a másik két oldala egyenlő egymással (szárak); a szimmetriatengelye az alapok felezőpontjára illeszkedik; az azonos alapon fekvő szögek egyenlők; az azonos száron fekvő szögei kiegészítő szögek; a szemben fekvő szögei kiegészítő szögek; az átlói egyenlő hosszúak; az átlók a szimmetriatengelyen metszik egymást; a szimmetriatengely áthalad a szárak egyenesének metszéspontján, vagy párhuzamos a szárakkal; a szárak felezőmerőlegese a szimmetriatengelyen metszi egymást, ezért a húr trapéz köré kör írható. A téglalap és így a négyzet is húrtrapéz. A tengelyesen szimmetrikus trapéz elnevezés nem jellemzi kölcsönösen egyértelműen a négyszögeknek ezt a halmazát. Ugyanis a rombusz tengelyesen szimmetrikus trapéz, de (a négyzet kivételével) nem húrtrapéz, mert nincs olyan szimmetriatengelye, amely nem a csúcsokra illeszkedik. KÖZÉPPONTOSAN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK A paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög. Az állítás igazolásánál legyen az ábra szerinti O pont az AC átló felezőpontja. Ha a paralelogrammát az O pontra tükrözzük, akkor az A képe a C és megfordítva, a C képe az A. Emiatt az AB oldal egyenesének képe a tükrözés következtében a C ponton átmenő, az AB-vel párhuzamos egyenes, amely a paralelogramma tulajdonsága miatt megegyezik a CD oldal egyenesével. Megfordítva, a CD oldal egyenesének képe az AB oldal. Az előzőekhez hasonló okok miatt a BC oldal egyenesének képe az AD oldal egyenese, az AD oldal egyenesének képe pedig a BC oldal egyenese lesz. Az AB és BC egyenesek B metszéspontjának a képe a CD és AD képegyenesek D metszéspontja, és ugyanígy megfordítva is: D képe B lesz. Az AB oldal képe tehát a CD oldal (és megfordítva), valamint a BC oldal képe az AD oldal (és megfordítva). 7. FEJEZET A paralelogramma az O pontra vonatkozó tükrözéssel önmagába megy át, így középpontosan szimmetrikus. 241

Igaz az előző megfordítása, az alábbi állítás. Minden középpontosan szimmetrikus négyszög paralelogramma. Ha ugyanis az ábrán látható ABCD négyszög középpontosan szimmetrikus, akkor az A csúcsának a képe csak a vele szemközti C csúcs és megfordítva, a C képe csak az A csúcs lehet. (A' A esetén a fennmaradó három csúcs nem lehetne páronként egymás tükörképe; A' B vagy A' D esetén pedig az AB és CD, illetve AD és CB szemközti oldalak metszenék egymást.) Hasonlóan: a B képe csak a D, és a D csúcsé csak a B lehet. Ekkor az AB oldal képe a vele párhuzamos CD oldal, és a BC oldal képe a vele párhuzamos AD oldal lesz. Miután a négyszög szemközti oldalai egymással párhuzamosak, így a négyszög szükségképpen paralelogramma. A fenti két alapján így is értelmezhetnénk a paralelogrammát: emlékeztető A középpontosan szimmetrikus négyszöget paralelogrammának nevezzük. A középpontos szimmetriájából következnek a paralelogramma tulajdonságai: Két-két szemközti oldala egyenlő; átlói felezik egymást; az átlók felezőpontja a paralelogramma szimmetria-középpontja; a szemközti szögei egyenlők; két szomszédos szögének összege 180. emlékeztető A téglalapnak nevezzük az olyan négyszöget, amelynek minden szöge egyenlő (derékszög). A rombusz, a téglalap és így a négyzet is speciális paralelogramma. Számoljuk ki a szögeket radiánban. Vegyük figyelembe a négyszögek szögeire megismert öszszefüggéseket. 68 FELADATOK a) Egy húrtrapéz egyik szöge. Mekkorák a többi szögei? b) Egy paralelogramma egyik szöge. Mekkorák a többi szögei? c) Egy deltoid két szöge és. Mekkorák a többi szögei? 242

67 Legyen az U alaphalmaz a négyszögek halmaza 68 69 Írjuk be közös halmazábrába a négyszögek sorszámait, ha a) A = {Deltoidok}; B = {Húrtrapézok}; b) A = {Deltoidok}; B = {Paralelogrammák}; c) A = {Húrtapézok}; B = {Paralelogrammák}; d) A = {Trapézok}; B = {Középpontosan szimmetrikus négyszögek}; e) A = {Tengelyesen szimmetrikus négyszögek}; B = {Középpontosan szimmetrikus négyszögek}; f) A = {Húrtrapézok}; B = {Téglalapok}. A következõ kérdések megválaszolásához segíthet az elõzõ feladat megoldása. a) Mi a téglalapok és a rombuszok halmazának egyesítése? b) Mi a trapézok és a paralelogrammák halmazának különbséghalmaza? c) Mi a húrtrapézok és a paralelogrammák halmazának a metszete? d) Mi a derékszögû trapézok és a rombuszok halmazának a metszete? e) Mi a trapézok és a deltoidok halmazának a különbséghalmaza? f) Mi a trapézok és a deltoidok halmazának a közös része? g) Mi a rom bu szok és a pa ra le log ram mák halmazának szim met ri kus kü lönb sé ge? a) Fog laljuk ös sze a pa ra le log ram ma kö zép pon tos szim met ri á já ra vo nat ko zó té telt és a meg for dí tá sát! b) De rék szö gû ko or di ná ta-rend szer ben egy pa ra le log ram ma há rom csú csa (3; 3), (5; 7), (9; 5). Mik le het nek a ne gye dik csúcs pont ko or di ná tái? Fogalmazzuk meg a halmazműveletek definícióit a szóban forgó halmazokkal. Gondoljunk arra, hogyan lehet a háromszögből a paralelogrammához jutni. 70 A PARALELOGRAMMA KÖZÉPVONALA Szer kesszünk pa ra le log ram mát, mely nek 6 cm és 8 cm hos szú sá gú ol da lai 60 -os szö get zár nak be egy más sal. Raj zoljuk meg a pa ra le log ram ma két szem köz ti ol da - lá nak fe le zõ pont ját ös sze kö tõ sza kaszt. Mit ta pasz talunk? Figyeljük a szakasz hosszát és helyzetét. definíció A paralelogramma két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a paralelogramma középvonalának nevezzük. A paralelogramma középvonala párhuzamos a paralelogramma két oldalával, és hossza azok hosszával egyenlő. A tankönyv 226. oldalán foglalkoztunk a háromszögek középvonalával. Keressünk kapcsolatot az ott tárgyalt és az itt látható ek között. 7. FEJEZET 243

Legyen az ABCD paralelogramma AD oldalának a felezőpontja az E pont, a BC oldalának a felezőpontja az F pont. A paralelogramma szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak, ezért. Ha az AB oldalt az v = -ral eltoljuk, az EF középvonalat kapjuk. Az eltolás tulajdonságai alapján: EF = AB és EF AB. Az állítás a másik középvonalra ugyanígy belátható. Az átló a paralelogrammát háromszögekre osztja. 71 a) Szerkesszünk paralelogrammát, ha adottak középvonalai és azok szögei. b) Bizonyítsuk be, hogy a paralelogramma középvonalai átmennek az átlók metszéspontján. c) Bizonyítsuk a paralelogramma középvonalára vonatkozó t a középpontos tükrözés alkalmazásával. 72 A TRAPÉZ KÖZÉPVONALA Szerkesszünk trapézt, melynek hosszabbik alapja 12 cm, magassága 5 cm, szárai pedig 6 cm és 7 cm hosszúságúak! (Hány ilyen, egymással nem egybevágó trapézt lehet felvenni?) A paralelogramma, így a téglalap, a rombusz és a négyzet is trapéz. definíció Trapéznak nevezzük az olyan négyszöget, amelynek van párhuzamos oldalpárja. A trapéz párhuzamos oldalait alapoknak, a másik két oldalt száraknak nevezzük. A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük. A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz alapjaival, és hossza az alapok hosszának számtani közepe. Tükrözzük az ABCD trapézt a BC szár F felezőpontjára. A keletkező AD'A'D négyszög a középpontos szimmetria (az A képe az A' és megfordítva, az A' képe az A, a D képe a D' és megfordítva a D' képe a D, valamint a B képe a C és megfordítva, a C képe a B) miatt paralelogramma lesz. Mivel az AD oldal E felezőpontjának tükrözés utáni képe az AD oldal E felezőpontja, így az EE' szakasz a paralelogramma középvonala. Ezért EF ( EE') AB (AD') CD (A'D), valamint a tükrözés távolságtartása miatt EF Ezt kellett bizonyítanunk. 244

73 a) Szerkesszünk trapézt, ha adott a magassága, a középvonala és az egyik alapon fekvő két szöge. b) Szerkesszünk trapézt, ha adott a középvonala, két átlója, valamint egyik szára. c) Igazoljuk, hogy a trapéz egyik átlója a középvonalat két olyan részre osztja, amelyek egy-egy alap felével egyenlők. Az átló berajzolásával háromszögeket kapunk. 74 75 AZ ÉRINTŐNÉGYSZÖG Milyen tí pu sú négy szö gek be le het min dig kört ír ni (úgy, hogy a négy szög ol da lai a kör nek érin tõi le gye nek)? Rajzoljunk egy kör kö ré (úgy, hogy az oldalak a kör érintõi legyenek) a) húrtrapézt; b) (nem szim met ri kus) tra pézt; c) paralelogrammát; d) tet szõ le ges négy szö get. Van-e ös sze füg gés a négy szö gek ol da la i nak hos szú sá ga kö zött? (Mérjük meg a megraj zolt ol da la kat, majd ez alap ján vá la szoljunk a kér dés re.) Szerkesszük meg a négy szö gek szög fe le zõ it. Mit ál la pít hatunk meg? Próbáljuk végignézni a speciális négyszögeket. Vizsgáljuk az oldalak hosszát, összegét, stb. definíció Az olyan négyszöget, amelynek oldalai ugyannak a körnek az érintői, érintőnégyszögnek nevezzük. Az érintőnégyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Mivel a körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak, így az ábra jelöléseivel AE = AH; BE = BF; CF = CG; és DG = DH. Ez alapján AB + CD = (AE + BE) + (CG + DG) = = (AH + BF) + (CF + DH) = AH + BF + CF + DH = = (BF + CF) + (AH + DH) = BC + AD Megjegyzések 7. FEJEZET ➊ Mivel az érintősokszögbe írt kör érintési pontjai az érintősokszög oldalain (és nem azok meghosszabbításain) vannak, így minden érintősokszög konvex, hiszen csak konvex szögei lehetnek. ➋ Az előző megjegyzés értelmében az érintőnégyszögre vonatkozó megfordítása általában nem igaz. Ugyanis például a konkáv deltoid két-két szemközti oldalának összege egyenlő, de ez mégsem érintőnégyszög. ➌ Igaz viszont a fenti megfordítása konvex négyszögek esetén, azaz felírható az alábbi állítás. 245

A át önálló munkára javasoljuk. Indirekt célra vezethet. Ha egy konvex négyszög két-két szemközti oldalának összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög. Az előző, a konvex négyszögekre vonatkozó és a megfordítása együtt is megfogalmazható. Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő. Az érintőnégyszög szögfelezői egy pontban, az érintőnégyszögbe írható kör középpontjában metszik egymást. Az érintőnégyszögbe írható kör középpontja az érintőnégyszög oldalaitól egyenlő távolságra, tehát a szögfelezőkön helyezkedik el. Használjuk ki az oldalak közötti összefüggést. A szöget is szerkeszszük. Rajzoljuk meg a szögfelezőket. 76 FELADATOK a) Egy érintőnégyszög három oldala (ebben a sorrendben) 19 cm, 18 cm és 17 cm hosszúságú. Mekkora a negyedik oldal? b) Szerkesszünk deltoidot, amelynek különböző oldalai 3 cm és 4 cm, az adott oldalak által bezárt szög 112,5. Szerkesszük meg a deltoid beírható körét. c) Mely téglalapba szerkeszthető beírható (mind a négy oldalt érintő) kör? d) A paralelogrammák és a deltoidok közül melyek érintőnégyszögek? e) Szerkesszünk rombuszt, ha adott az oldala és az egyik szöge. Szerkesszük meg a beírható (mind a négy oldalt érintő) körét. f) Szerkesszünk rombuszt, ha adott az oldala és a beírt kör sugara. Hogyan szerkeszthetők meg a szögek? Ne csak a húrtrapézra gondoljunk! A magasság meghatáro-zására vegyünk fel derékszögű háromszöget. 77 a) Egy 2,4 cm sugarú kör köré szerkesszünk olyan tengelyesen szimmetrikus trapézt, amelynek minden oldala érinti a kört, és amelynek egyik szöge 67,5. b) Szerkesszünk trapézt, ha az egyik alapja 6 cm, az ezen az alapon nyugvó két szöge 60 és105, és tudjuk, hogy a trapézba írható a trapéz mind a négy oldalát érintő kör. c) Szerkesszünk érintőtrapézt, ha adottak a beírt kör sugara és szárai. d) Egy húrtrapéz egyik alapja 9 cm, egyik szára 6,5 cm. Mekkora a másik alapja, ha a húrtrapéz egyben érintőnégyszög is? Szerkesszük meg a húrtrapézt, majd szerkesszük meg a köré írható, illetve a beírható körét. Számítással is határozzuk meg a húrtrapéz magasságát, illetve a beírható körének sugarát. 16 Szerkesszünk érin tõ négy szö get, ha adott a be írt kör su ga ra, va la mint a) két ol da la és a köz be zárt szög; b) há rom szö ge. 246

A SOKSZÖGEK VIZSGÁLATA 79 Szá mítsuk ki az 5; 6; 7; 8; 2001 ol da lú kon vex sok szög Alkalmazzuk a korábban megismert összefüggéseket. a) egy csú csá ból húz ha tó át ló i nak szá mát; b) bel sõ szö ge i nek az ös sze gét; c) kül sõ szö ge i nek az ös sze gét; d) ös szes át ló já nak szá mát. Az n oldalú (n 3) sokszög belső szögeinek összege (n 2) 180. Az n oldalú konvex sokszögre könnyen belátható a, mivel a sokszöget az egyik csúcsából húzható (n 3) átló (n 2) háromszögre bontja. E háromszögek belső szögeinek összege adja a sokszög belső szögeinek összegét, melynek nagysága így (n 2) 180. Például az ötszög belső szögeinek összege: (5 2) 180 = 540 A tetszőleges sokszögre igaz. Az n oldalú konkáv sokszög is (n 2) háromszögre bontható átlói segítségével. (Ezt nehezebb bizonyítani.) Például az ábrán a hatszög belső szögeinek összege: (6 2) 180 = 720 Az n oldalú (n 3) konvex sokszög külső szögeinek összege 360. Az n oldalú konvex sokszög minden egyes csúcsában a belső és a külső szögek összege 180. A belső és a külső szögek összege így az n oldalú sokszögben összesen n 180. Miután a sokszög belső szögeinek öszszege (n 2) 180, a külső szögek összege: n 180 (n 2) 180 = 360 Általánosítható a, ha a külső szögeket irányítottan vesszük figyelembe az ösz-szegzéskor. (Lásd a tankönyv 234. oldalán a konkáv négyszög külső szögeit.) nn ( 3) Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma. 2 7. FEJEZET Az n oldalú konvex sokszög egy tetszőleges csúcsából n 3 átló húzható, mivel nem indul átló önmagába és a két szomszédos csúcsba. Az n csúcsból összesen így n(n 3) átló lenne húzható, de mivel minden átlót kétszer vettünk figyelembe, így az átlók száma 247

definíció Az olyan konvex sokszöget, amelynek minden oldala és minden szöge egyenlő, szabályos sokszögnek nevezzük. Például a szabályos ötszög belső szöge: (5 2) 180 = 108 5 Alkalmazzuk a megismert összefüggéseket. Jelöljük az oldalak számát n-nel, és fejezzük ki ezzel az átlók számát. Alkalmazzuk a képletet. A külső szög nem lehet 180 -nál nagyobb. 80 81 82 Mi vel a sza bá lyos sok szög bel sõ szö ge i nek ös sze ge is (n 2) 180, így a sza bá lyos sok szög bel sõ szö gei nagy sá gú ak. FELADATOK Hány ol da lú a kon vex sok szög, ha a) egy csú csá ból 24 át ló húz ha tó; b) az egy csú csá ból ki in du ló át lók 18 há rom szög re bont ják? a) Egy konvex sokszög oldalainak és egy csúcsából kiinduló átlóinak szerkesztéséhez 31 szakaszra van szükségünk. Hány oldalú a sokszög? Meg lehet oldani a feladatot 62 szakasz esetében is? b) Hány oldalú sokszögnek van ugyanannyi átlója, mint oldala? a) Egy sokszög belső szögeinek összege 18 540. Hány oldalú a sokszög? b) Egy sokszög belső szögeinek összegéhez hozzáadjuk egyik külső szögét, így 1846 -ot kapunk. Hány oldalú a sokszög, és mekkora a külső szög? c) Mekkora a szabályos tízszög egy belső szöge? A SOKSZÖGEK TERÜLETE A geometria (földmérés) szó görög eredetű. Annak ellenére, hogy földmérést, tehát területszámítást az ókori görögök előtt már több ezer évvel végeztek, a görögök fejlesztették a számolási, mérési eljárásokon alapuló földmérést elméleti megfontolásokon nyugvó logikus rendszerré, a geometria tudományává. A sikereik ellenére a görögök megbecsülték az elődeiket. Hérodotosz, az i. e. 5. században élő görög történetíró erről az alábbi történetet mondja el: II. Ramszesz fáraó egyenlő, téglalap alakú parcellákra osztotta fel a földet alattvalói között, és ezekre évi adót vetett ki. Amikor a Nílus elöntötte a földeket, földmérők jöttek, és megmérték: mekkorát csökkent az a terület, ami után adót kellett fizetni. Az egyiptomi írnokok a háromszögek területének kiszámításához az alábbi szabályt alkalmazták: a háromszög alapját megfelezték, majd ezt szorozták a magassággal. Trapéz esetén a párhuzamos oldalak összegét felezték, és szorozták meg a magassággal. A fenti módon végezzük tulajdonképpen mi is ezeket a számításokat. Négyszögek esetében az egyiptomiak két szemközti oldal öszszegének a felét a másik két oldal összegének a felével szorozták meg. Ez az eljárás általában helytelen eredményt szolgáltat. 248

emlékeztető A sokszög területe olyan valós szám, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik: ➊ Minden sokszög területe pozitív szám. ➋ Az egymással egybevágó sokszögek területe egyenlő. ➌ Ha egy sokszöget két (több) sokszögre bontunk, akkor a részsokszögek területének összege az eredeti sokszög területével egyenlő. T = T 1 + T 2 + T 3 +... ➍ Az 1 oldalú négyzet területe 1. Az előző értelmezés segítségével a korábban tanult speciális sokszögek területei meghatározhatók úgy, hogy a sokszögek területének kiszámítása téglalap területének meghatározására vezethető vissza. Ezért először a téglalap területéről tanultakat elevenítsük fel. A téglalap területe két szomszédos oldal szorzatával egyenlő. T = ab A szemléletre támaszkodva fogadjuk el a következő (a terület fent felsorolt tulajdonságai alapján bizonyítható) összefüggést: Ha két téglalap egy-egy oldala egyenlő, akkor területük aránya megegyezik a másik oldaluk arányával. Ebből az ábrán látható téglalapokra fennállnak a következő összefüggések. azaz a T 1 = a és azaz a T 2 = T 1 b = ab Ez utóbbit összefüggést kellett igazolnunk. 83 FELADATOK a) Mekkora annak a téglalap területe, ha átlója 13 m, egyik oldala 12 m? b) Hányszorosára kell növelni egy négyzet oldalait ahhoz, hogy területe a kétszeresére nőjön? A négyzet oldalát növeljük k-szorosára. 84 a) Vezessük vissza a paralelogramma területét a téglalap területének kiszámítására. T = am a b) A paralelogramma két szomszédos oldala 12 cm és 8 cm, a nagyobbik oldalhoz tartozó magasság 5 cm. Mekkora a paralelogramma másik magassága? 7. FEJEZET c) A rombuszba írt kör sugara 3 cm, egyik oldala 7 cm. Mekkora a rombusz területe? d) Egy rombusz területe 40 cm 2, a beírt kör sugara 2,5 cm. Mekkora a rombusz oldala? 249

Az egyiptomi írnokok a négyszög esetén két szemközti oldal összegének a felét a másik két oldal összegének a felével szorozták meg. T a+ c = m = k m 2 A középszintű érettségin erre a feladatra 12 pont járna. T Számítsuk ki az alaphoz tartozó magasságot. A négyszög derékszö - gű háromszögekből áll. Kössük össze a kör középpontját a sokszög csúcsaival. T am a = 2 ef = 2 érettségihez Hogyan számítható ki az oldal hossza az átlókból? Számítsuk ki hagyományos és egyiptomi módszerrel annak a paralelog-rammának a területét, melynek oldalai 6 cm és 8 cm hosszúságúak, ha a szomszédos oldalak által bezárt szög a) 30 ; b) 45 ; c) 60 ; d) 90. Mit vehetünk észre? a) Vezessük vissza a trapéz területét a téglalap területének kiszámítására. Segíthet a bal oldalon lévő ábra. b) Vezessük vissza a paralelogramma területének kiszámítására a trapéz területét. Figyeljük meg a jobb oldalon lévő ábrát. c) Fejezzük ki az m-et a trapéz (mindkét adott) területképletéből. d) Fejezzük ki a c-t a trapéz területképletéből. e) Határozzuk meg a húrtrapéz területét, ha alapjai 4 cm és 9 cm, szárainak hossza 6,5 cm. g) Egy derékszögű trapéz alakú kert két párhuzamos oldala közül az egyik 60 m-rel hosszabb a másiknál. A másik két oldal közül a hosszabb 75 m. Milyen hosszú kerítéssel keríthető körül a kert, ha a területe 2250 m 2? a) Hogyan határozható meg a háromszög területe a paralelogramma segítségével? b) Fejezzük ki az a-t a háromszög területképletéből. c) Egy szabályos háromszög oldalai 4 cm hosszúak. Mekkora a háromszög magassága, illetve területe? d) Mekkora annak a szabályos háromszögnek a területe, amelynek magassága 4 cm? e) Egy egyenlő szárú háromszög alapja 3 cm, területe 3 cm 2. Mekkora a háromszög kerülete? f) Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex négyszög átlói merőlegesek egymásra, akkor területe az átlók szorzatának felével egyenlő. g) Bizonyítsuk be, hogy egy kör köré írt sokszög területe feleakkora, mint a sokszög kerületének és a kör sugarának szorzata. Egy adott kör köré írt sokszöget, vagy másképp az olyan sokszöget, amelynek oldalai ugyanannak a körnek az érintői, érintősokszögnek nevezzünk. a) Vezessük vissza a deltoid területét a téglalap területének, illetve a háromszög területének kiszámítására. Segíthetnek az ábrák. b) Vezessük vissza a rombusz területét a deltoid területének kiszámítására. c) Fejezzük ki az f-et a deltoid területképletéből. d) Egy deltoid két szomszédos oldala 5 cm és 10,4 cm, a nem szimmetriaátlója 8 cm. Mekkora a deltoid területe? Hány megoldás lehet? Lásd az első két ábrát. e) Határozzuk meg a rombusz oldalának és magasságának a hosszúságát, ha átlóinak hossza 48 mm és 20 mm. 250

A KÖR ÉS RÉSZEINEK TERÜLETE 89 Határozzuk meg a 6 cm, majd a 10 cm su ga rú kör be és a kör kö ré írt sza bá lyos a) há rom szög; b) négy szög; c) hat szög te rü le tét, majd osszuk el a ka pott ér té ke ket a meg fe le lõ kör su ga rá nak a négy ze té - vel. Mit ta pasz talunk? A beírt sokszögek esetén az oldalszám növelésével kapott értékek vajon nőnek-e? És meddig nőhetnek? A körbe írt sokszögek területei a kör területénél kisebbek, a kör köré írt sokszögek területei a kör területénél nagyobbak. Minél nagyobb oldalszámú szabályos sokszögeket vizsgálunk, annál jobban megközelítik területei a kör területét. Mivel az oldalszám növelésével a beírt és a körülírt sokszögek területei egymást is egyre jobban megközelítik, az a közös érték, amelyhez ezek tartanak, nem más, mint a kör területe. A feladat alapján azt tapasztaljuk, hogy a kör területe a kör sugarának négyzetével arányos. Az arányossági tényezőt π-vel jelöljük. T = r 2 π Bizonyítható, hogy a π irracionális szám, amelynek első 10 jegye a következő: π 3,141 592 653. Nem könnyű ezt a számot megjegyezni, és ez a diákoknak régen sem volt az. Ezért születtek világszerte olyan versikék, melyekben a szavak betűinek száma a π megfelelő értékét adják. Az ilyen verset persze jóval könnyebb megjegyezni, mint egy semmiféle logikai szabályszerűséget nem mutató számsorozatot. A margón olvasható magyar pi-verset Szász Pál írta. Az ókori Babilonban a π-t 3-nak tekintették. A Biblia π-re szintén a 3 értéket adja meg. Egyiptomban 3,16-tal számoltak. Nem a régi s durva közelítés, Mi szótól szóig így kijön Betűiket számlálva. Ludolph eredménye már, Ha itt végezzük húsz jegyen. De rendre kijő még tíz pontosan, Azt is bízvást ígérhetem. A későbbiekben egyre több olyan módszer született, amelyek π-t egyre nagyobb pontossággal adták meg. Így Ludolph van Ceulen (1540 1603) holland matematikus π értékét 35 tizedesjegy pontossággal számította ki. Tiszteletére szokták a π-t a görög eredetű periféria (kerület) szó kezdőbetűje helyett Ludolph-féle számnak is nevezni. A kör korábban megismert részei: A www.subidiom.com/pi internetes oldalon megkereshetjük, hogy egy általunk megadott szám a π első 2 milliárd számjegyében hol fordul elő először. definíció A körgyűrű olyan síkidom, amelyet a koncentrikus (azonos középpontú) R és r (R r) sugarú körvonalak határolnak. Területe R > r esetén: T = R 2 π r 2 π = (R 2 r 2 )π definíció A körcikk olyan síkidom, amelyet a körvonal egy íve és a kör két sugara határol. 7. FEJEZET 251

A körcikk területe egyenesen arányos azzal a középponti szöggel, amelyet a körcikket meghatározó sugarak zárnak be egymással. Ezért az r sugarú, α fokban adott szöggel rendelkező körcikk területére felírható az összefüggés: 1. példa amiből t α 2 α = r π 360 Mekkora az r sugarú körben a fokban adott α középponti szöghöz tartozó körív hossza, illetve körcikk területe, ha α = 1 ; α = 75? Adjuk meg az összefüggések általános alakját. Határozzuk meg az α középponti szöghöz tartozó körív hosszát, illetve körcikk területét, ha a szög ívmértékben (radiánban) adott. Az r sugarú kör kerülete: 2rπ A körív hossza egyenesen arányos azzal a középponti szöggel, amelyet a körívet meghatározó sugarak zárnak be egymással. Ezért az 1 -hoz tartozó körív hossza 360-ad része a kör kerületének. A 75 -hoz tartozó körív hossza ennek 75-szöröse. Az α (fokban adott) szöghöz tartozó körív hossza: Figyeljük meg az analógiát a háromszög, illetve a körcikk területének kiszámítása között: am i r T = ; t α α = 2 2 i α = ; egyszerűsítés után i α = Fejezzük ki a körcikk területét a körcikkhez tartozó körív segítségével: t α = ; ebből t α = A radiánban adott szög mértéke azt fejezi ki, hogy az ív hányszorosa a sugárnak: i α = r α, amit behelyettesítve a terület képletébe kapjuk: t α = definíció A körszelet olyan síkidom, amelyet a körvonal egy íve és a kör egy húrja határol. A körszelet területét egy körcikk és egy háromszög területének különbsége vagy (konkáv középponti szög esetén) ezek összege adja. Körszelet a sárga és a zöld síkidom is. Használhatjuk a megismert képletet. 90 FELADATOK a) Mekkora a 10 cm-es sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körív hoszsza, ha ➊ α = 15 ; ➋ α = 45 ; ➌ α = 105 ; ➍ α = 300? b) 1 dm-es sugarú körben hány fokos középponti szöghöz tartozik i α hosszúságú körív, ha ➊ i α 1 dm; ➋ i α 1,5π dm; ➌ i α = dm; ➍ i α 0,628 dm? c) Mekkora az 5 cm-es sugarú körben az α középponti szöghöz tartozó körív hoszsza, illetve körcikk területe, ha ➊ α = 1; ➋ α = ➌ α = ➍ α =? 252

91 92 93 94 Rajzoljunk azonos középpont köré 1 cm; 2cm; 3cm; 4 cm; 5 cm sugárral köröket. Az ábrán egy 1 cm sugarú kör körül négy körgyűrű helyezkedik el. Mennyi az így megrajzolt öt síkidom területének T 1 : T 2 : T 3 : T 4 : T 5 aránya? A kör gyû rû te rü le té nek há nyad ré sze a bel sõ kör te rü le te, ha a kül sõ és a bel sõ kör su ga ra i nak ará nya: a) 2 : 1; b) 3 : 1; c) 3 : 2; d) n : m? a) Mekkora a 10 cm su ga rú kör ben az ➊ 30 ; ➋ 45 ; ➌ 90 ; ➍ 180 nagy sá gú kö zép pon ti szög höz tar to zó kör cikk te rü le te? b) Mekkora kö zép pon ti szög tar to zik ah hoz a kör cikk hez, mely nek te rü le te a kör terü le té nek ➊ har ma da; ➋ fe le; ➌ ré sze; ➍ 0,45 ré sze? c) Az 1 dm-es sugarú körben mekkora i α hosszúságú körívhez tartozó kör-cikk területe, ha ➊ i α 1 dm; ➋ i α 1,5π dm; ➌ i α = dm; ➍ i α 0,628 dm? d) Az egység sugarú körben hány fokos középponti szöghöz tartozik az a körcikk, amelynek területe a kör területének ➊ 10%-a; ➋ 25%-a; ➌ 45%-a; ➍ 90%-a? e) A körcikk területe hány százaléka a kör területének, ha a körcikket meghatározó középponti szög ➊ 7,2 ; ➋ 18 ; ➌ 45 ; ➍ 270? a) Az 1 oldalú négyzet területének hányad részét teszik ki a sárgára színezett sík - idomok területei? Egyszerűsítsünk, ahol lehet. Helyettesítsünk a tanult képletbe. Használjuk a meg - ismert összefüggéseket. Az egység sugarú kör sugara 1. Egyszerűsítsünk számolás közben. b) Bizonyítsuk be, hogy a ➍ ábrán látható a sárga árnyalataival színezett terület - részek egyenlők. 95 a) Az első három ábra esetén az 1 sugarú kör területének hányad részét teszi ki a színes idomok területe? 7. FEJEZET b) A negyedik ábrán levő holdacskákat (Hippokratész holdacskái) a derékszögű háromszög oldalai fölé szerkesztett félkörívek határolják. Bizonyítsuk be, hogy a holdacskák területének összege egyenlő a háromszög területével. 253

ELLENŐRZŐ FELADATOK 96 Minden részfeladatra 2 2 pont járna az érettségin. érettségihez Az érettségin indok-lással együtt 2 + 3 + 4 + 3 pont járna ennek a feladatnak a megoldásáért. érettségihez 1 2 3 4 5 6 a) Egy háromszög belső szögeinek aránya 3 : 5 : 10. Hány fokos a legnagyobb szög? b) Egy háromszög oldalhosszúságai egész számok. Két oldala 6 cm, 4 cm. Döntsük el a következő állításokról, hogy igaz vagy hamis: A: A harmadik oldal nem 2 cm. B: A harmadik oldal nem lehet 10 cm. c) Igaz-e, hogy a háromszög egyik oldalához tartozó magasság mindig rövidebb az ugyanezen oldalhoz tartozó súlyvonalnál? Indokoljunk. a) Egy derékszögű háromszög egyik befogójának hossza fele a 10 cm hosszúságú átfogónak. Mekkorák a háromszög szögei? b) Milyen hosszú a fenti háromszög átfogójához tartozó súlyvonala? c) Milyen hosszú a háromszög rövidebb befogójához tartozó súlyvonala? d) Milyen hosszú a háromszög átfogójához tartozó magassága? Egy háromszög egyik oldala 3, egy másik oldala 7 cm, a harmadik oldalhoz tartozó súlyvonal 4 cm hosszúságú. Szerkesszük meg a háromszöget. Van-e egy téglalapnak olyan pontja, amely egyenlő távolságra van a) a téglalap minden csúcsától; b) a téglalap minden oldalától? Legfeljebb, illetve legalább hány hegyesszöge lehet egy a) háromszögnek; b) konvex négyszögnek; c) konkáv négyszögnek? a) Mekkora az egységsugarú kör 315 -os középponti szögéhez tartozó ívének hoszsza, illetve a hozzá tartozó körcikk területe? b) Hány radián a 315 -osszög ívmértéke? Indoklással együtt 2 + 4 + 2 + 4 pont járna a 8. feladat megoldásáért. érettségihez Indoklással együtt 2 + 4 + 2 + 4 pont járna a 8. feladat megoldásáért. érettségihez 7 8 Fogalmazzuk meg az A állítás megfordítását (jelölje B), majd határozzuk meg az A és a B állítások logikai értékét. Indokoljuk a választ. A: Ha egy négyszög tengelyesen szimmetrikus, akkor a négyszög deltoid. Egy húrtrapéz alakú park négy kerítésszakasza 72 m, 52 m, 32 m és 52 m. a) A parkban kialakítanak egy olyan kör alakú rétet, amely a két párhuzamos kerítésszakaszt érinti. Mekkora ennek a körnek a sugara? b) Érintheti-e mind a négy kerítésszakaszt a rét határvonala? Miért? c) A park réten kívüli részeit felásták. Hány négyzetméter volt ez a terület? 9 Négy szobor egy paralelogramma csúcsait adja. A szemközti szobrok 30 m, illetve 90 m távolságra vannak egymástól. Hogyan lehet megtervezni egy 2 m széles körgyűrű alakú utat, ha azt akarjuk, hogy ez mind a négy szobortól egyenlő távolságra haladjon? Mekkora területű részen kell a földet a 2 m széles út létrehozásához felásni? 254