VIZSGADOLGOZAT (100 pont) A megoldások csak szöveges válaszokkal teljes értékűek! I. PÉLDÁK (60 pont) 1. példa (13 pont) Az egyik budapesti könyvtárban az olvasókból vett 400 elemű minta alapján a következőket állapították meg: Rétegek Sokasági arányok % Mintabeli arányok % A félév alatt kölcsönzött könyvek Átlagos száma Számának szórása (db) (db) Felnőtt olvasók 60 50 4,5 3,2 Gyermek olvasók 40 50 7,0 4,5 Állapítsa meg 97 %-os megbízhatósági szinten a. a felnőtt olvasók által kölcsönzött könyvek átlagos számát! b. az összes olvasó által kölcsönzött könyvek átlagos számát! 1.
2. példa (9 pont) Egy lufi gyártó cég ellenőrizni kívánja, hogy a gép a különböző színű lufikat megfelelően keveri-e. Megvizsgáltak egy 120 db-ból álló csomagot, s a következőket találták: A lufik színe A lufik száma a csomagolásban (db) Piros 30 Kék 22 Zöld 26 Arany 18 Narancs 24 Összesen 120 Ellenőrizze azt a hipotézist, hogy a csomagokban ugyanolyan arányban vannak az egyes színek! (Az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűsége 5%.) 3. példa (14 pont) Két ügynök heti eladásait hasonlították össze nyolc héten keresztül. A következő adatokat kapták: I. 20 26 21 24 23 22 25 23 II. 28 27 25 29 24 26 26 27 X = 1 23 X = 2 26,5 S1=2 Igaz-e a minta alapján az a feltevés, hogy a II. ügynök szignifikánsan több terméket ad el átlagosan? A szignifikancia szint legyen 10%! 2.
4. példa (9 pont) Egy termék forgalmának /db/ alakulását 2007 és 2013 évek közötti időszakra - negyedévi adatok alapján- a következő trend egyenlet írja le: yˆ 018 t 3000 1, (t=1, 2,...28) Az első három negyedév szezonindexe: 0,75 0,95 1,1 a.) Becsülje meg a 2014. IV. negyedévre várható forgalom nagyságát! b.) Értelmezze a II. negyedévi szezonindexet! c.) Számítsa ki a véletlen tényező hatását 2008. I. negyedévére, ha a termék forgalma ezen időszak alatt 2600 db volt! 3.
5. példa (15 pont) Az egy főre jutó bruttó hazai termék (Y), az egy főre jutó nemzetgazdasági beruházás (X1) és az egy főre jutó külföldi befektetés (X2) megyénként 1999-ben: Megye GDP (ezer Ft) 1 főre jutó Beruházás (ezer Ft) Külföldi befektetés (ezer Ft) Regressziós érték Baranya 783 157 66 775,1 Bács-Kiskun 713 88 45 674,2 Békés 691 96 74 703,4 Borsod-Abaúj-Zemplén 690 174 164 861,2 Csongrád 889 146 163 825,2 Fejér 1234 206 212 933,3 Győr-Moson-Sopron 1204 438 368 1328,9 Hajdú-Bihar 754 133 151 800,9 Heves 726 178 135 847,1 Jász-Nagykun-Szolnok 720 103 39 689,2 Komárom 838 238 191 959,8 Nógrád 565 83 59 677,1 Pest 773 138 236 863,3 Somogy 686 138 54 743,3 Szabolcs-Szatmár-Bereg 567 87 32 664,4 Tolna 861 161 30 756,5 Vas 1162 233 224 975,2 Veszprém 803 140 76 760,3 Zala 901 132 69 745,6 Budapest 1858 612 801 1834,0 Számítási részeredmények: d y 2 = 1693809,8 d 1 2 = 310943,0 d 2 2 = 582563,0 d 1 d y = 656133,1 d 2 d y = 888869,9 d 1 d 2 = 399951,6 ry1=0,904 ry2=0,895 r12=0,940 4.
a) Határozza meg a háromváltozós regresszió-függvényt és értelmezze a paramétereket! b) Határozza meg és értelmezze a többszörös determinációs együtthatót! c) Határozza meg és értelmezze a többszörös korrelációs együtthatót! 5.
II. RÖVID KÉRDÉSEK (20 pont) Írja be a négyzetbe a megfelelő betűt! Jelölje ki a számításokat is! 1. Egy hosszabb idősor utolsó néhány eleme: 200,220,224,236,240,242,248,250 Állapítsa meg a 2 utolsó négytagú mozgóátlagot és válassza ki a helyes eredményt! A.) 241,5 245 B.) 238,5 243,3 C.)243,3 246 D.) 225 232,6 2. Azonos típusú 20 gépkocsi vizsgálatakor a gépkocsi életkora (év) és a fogyasztása (liter/100 km) közötti összefüggésre az y = 7 + 0,2 x függvényt kapták. A számítások alapján: SSR=40 SSE=32 5%-os szignifikancia-szinten szignifikáns-e a regressziófüggvény? A.) A próbafüggvény értéke 22,5, a kritikus érték 5,98, tehát szignifikáns a regressziófüggvény. B.) A próbafüggvény értéke 12,5, a kritikus érték 3,49, tehát szignifikáns a regressziófüggvény. C.) A próbafüggvény értéke 22,5, a kritikus érték 4,41, tehát szignifikáns a regressziófüggvény. D.) D.) A próbafüggvény értéke 22,5, az elfogadási tartomány - és 5,98 közé esik, tehát nem szignifikáns a regressziófüggvény. 3. A 85 évnél idősebb férfiakból álló 150 fős véletlen mintában 12 en szorulnak gondozásra. tegyük fel, hogy a gondozásra szorulók arányára vonatkozó alábbi hipotézist 5 %-os szignifikancia-szinten ellenőriztük. H0:P=10 % H1: P < 10% A megfelelő próbafüggvény aktuális értéke: A.) z= -0,82 B.) z= 0,82 C.) z=2,78 D.) t=2,62 4..A vándorfecskék számának negyedéves, 2009-2014 közti adatai alapján ismert, hogy a hosszútávú trendet az y = 21 + 37t (t = 1,2,., n) függvény írja le, míg a negyedéves szezonális eltérések rendre: -260; 420; 380; -540. Mekkora a 2015.IV.negyedévre várható forgalom? A.) 1057 B.) 517 C.) 797 D.) 1477 6.
III. Elméleti KÉRDÉSEK (20 pont) 1. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak! Válaszát indokolja! a.) Becslés esetében a becslés standardhibája megegyezik a mintabeli szórással. (10 pont)........ b.) A regressziófüggvény relatív hibája azt fejezi ki, hogy a regressziós becslések átlagosan mennyivel térnek el az eredményváltozó megfigyelt értékeitől......... c.) A csoportos mintavétel esetén szükség van egy minden egyedet felsoroló listára......... d.) A többváltozós regresszió-számításban a variancia-analízis módszerével a regressziós együtthatókat teszteljük.......... e.) A konzisztencia követelménye azt jelenti, hogy a becslőfüggvény várható értéke megegyezik a becsülni kívánt sokasági jellemző értékével......... 2. Tesztkérdések (A mellékszámítások közlése nem szükséges, csak a négyzetbe írt nagybetűvel jelölt egyértelmű válaszát vesszük figyelembe!) (10 pont) a.) Mi a célja a véletlen kiválasztással nyert minta vizsgálatának? A. A mintajellemző értékeinek meghatározása. B. A mintajellemző értékei alapján a sokaságra tett megállapítások. C. A sokaságból a mintára következtetni. D. A minta és a sokaság viszonyának megállapítása. 7.
b.) Melyek a csak jobboldali kritikus tartománnyal végrehajtható próbák? A. Z, variancia-analízis, χ 2. B. Illeszkedésvizsgálat, variancia-analízis, t. C. t, függetlenségvizsgálat. D. variancia-analízis, függetlenségvizsgálat, illeszkedésvizsgálat. c.) Mikor követjük el hipotézisvizsgálat során a másodfajú hibát? A. Ha elfogadjuk az alternatív hipotézist. B. Ha elvetjük H1-et. C. Ha tévesen fogadjuk el H0-t. D. Ha elutasítjuk H0-t, pedig az igaz. d.) Milyen esetben lesz a rangkorrelációs együttható értéke -1? A. Ha mindkét ismérvet ordinális skálán mértük. B. Ha a két ismérv szerinti rangszám sorozatok megegyeznek. C. Ha az egyik ismérvet sorrendi, a másikat intervallum skálán mértük. D. Ha a két ismérv szerinti rangszám sorozat teljesen fordítottja egymásnak. e.) A mozgóátlagolású trendszámításnál: A. a tagszám függ a véletlen ingadozások mértékétől. B. a páratlan tagszámú mozgóátlag mindig jobb eredményt ad. C. az átlag tagszámát úgy választjuk meg, hogy az idősorban található periódusok hosszának egészszámú többszöröse legyen. D. a tagszám tetszőleges lehet, ha a periodikus ingadozások a trendhez képest elég nagyok 8.