Máté: Számítógépes grafika alapjai
|
|
|
- Ábel Bakos
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Máté: Sámítógépe gafika alapjai Geometiai tanfomáiók P() P ( ) ( ) P P Beeeté - anfomáiók A Sámítógépe Gafikában hanálato 2- é 3- imenió tanfomáiók: eltolá nagítá kiiníté (káláá) fogatá Pont 2D eltoláa Saka 2D eltoláa Hoak é a ögek áltoatlanok P() P ( ) ( ) (olop-)ektookkal: P P P P Elegenő a új égpontokat ámolni B A B A A A B B P 2D nagítá/kiiníté A ögek áltoatlanok Sokták a kettőt egütt SKÁLÁZÁSKÉN említeni Oigóból töténő nagítá P (olop-)ektookkal: P P S P P S S S 2D fogatá A hoak é a ögek áltoatlanok Oigó köüli fogatá P P o - in in o o R in P R P in o 9_tafo
2 Máté: Sámítógépe gafika alapjai 9_tafo 2 Homogén kooináták jelölée homogén kooinátákkal: ( w) Egenlőég: (w) ( w ) ha an olan α : hog α α w α w pl: (2 3 6) (4 6 2) Eg pontho égtelen ok (w) tatoik. Ha w akko (w) égtelen táoli pont () nem megengeett! Kapolat 2D é 3D köt (t t t w) egene a 3D tében P etülete a w íkon A égtelen táoli pontok ninenek a íkon w w P(w) 2D eltolá - matematikailag P ( )P ahol Imételt eltoláok (kompoíió): P P P ( ) ( 2 2 ) P ( ) P P ( 2 2 )P ( 2 2 )(( )P) D káláá - matematikailag P S( )P Imételt kálááok (kompoíió): P P P S( ) S( 2 2 ) P S( ) P P S( 2 2 )P S( 2 2 )(S( )P) S D fogatá - matematikailag P R() P (R() otogonáli) Imételt fogatáok: P R( ) P P R( 2 )P R( 2 )(R( )P) R( 2 )P Bionítá: Hái Felaat o in in o A hoak é a ögek áltohatnak Páhuamo egeneek képe páhuamo Affin tanfomáió: eltoláok kálááok fogatáok é níáok tetőlege ámú é oenű egmá utáni alkalmaááal kapott tanfomáió a SH b SH a a SH SH 2D níá affin tanfomáiók
3 Máté: Sámítógépe gafika alapjai 2D tanfomáiók kompoíiója. péla Fogatá -al eg tetőlege P() pont köül. a) eltolá P-ből O-ba (--) b) fogatá a oigó köül R() ) eltolá O-ból P-be () o in in o o in ( o ) in in o ( o ) in 2D tanfomáiók kompoíiója 2. péla Nagítá eg tetőlege P() pontból: () S( ) (--) ( ) ( ) 2D tanfomáiók kompoíiója 3. péla / Világ kooináta Képenő kooináta ene ene ( ma ma ) (u ma ma ) ( ) Lépéek: tanfomáió M WV S (u ) 2 2D tanfomáiók kompoíiója 3. péla /2 u u uma u ma ma ma ma ma ( u ) S ( ) M w ma ma u u uma u ma ma ma u ma ma ma ma u 2D tanfomáiók kompoíiója 3. péla /3 M w tehát u ma ma u P M P w ( ) ma ma ( ) u u ma ma ma ma u u u ( ) ma u ma ma ma Általáno kompoíió máti Könnű látni hog kálááok fogatáok níáok é eltoláok kompoíiója káláá/fogatá utáni eltoláként ételmehető: : káláá/fogatá t: eltolá M t t t t A M alakú mátiokat kompoíió mátioknak neeük _tafo 3
4 Máté: Sámítógépe gafika alapjai 9_tafo 4 Goítáok M P ámítáako:. 9 oá é 6 öeaá helett elegenő 2 t 2 22 t kiámítáa ami ak 4 oá é 4 öeaá 2. Ha kii öggel fogatunk akko o íg o - in - in in o in ami ak 2 oá é két öeaá ( in kiámítáa) t t M D kooináta-eneek balkee bal-oáú jobbkee jobb-oáú 3D tanfomáiók - homogén kooináták () megaáa homogén kooinátákkal: () (w) ( w ) ha an olan α hog α α α é w α w Ha w : ( ) a okáo jelölé Ha w: () égtelen táoli pont Kapolat: () - egene a 4-imenió tében aek a w -e aló etülete a homogén kooináta w w w 3D eltolá met 3D káláá (nagítá/kiiníté) met S S S / / / 3D fogatáok A -tengel köül A -tengel köül A Y-tengel köül R o in in o R o in in o R o in in o
5 Máté: Sámítógépe gafika alapjai SH SH ( h h ) met 3D níá (Z mentén) ( h h ) h h h h 3D kompoíió-máti Skáláá/fogatá utáni eltoláként ételmehető: 2 3 t t2 R M t3 p p p Ilen móon 2 P MP R p2 hatékonabban p 3 p ámítható! 3 3D - íkok tanfomáiói A ík egenlete: A B C D Legen P a ík tetőlege pontja! A B Ha P akko N a ík nomália C D 3D - íkok tanfomáiói Legen P tetőlege pont a íkban! Ekko N P. Melik a a Q máti amele (Q N) (M P)? Ha M - léteik akko ((M - ) N) (M P) N ((M - ) ) MP N P Q(M - ) hien N P Ha a ík pontjait M-el tanfomáljuk akko hog tanfomálóik a ík nomália? N (M - ) N (NEM BIZOS hog léteik nomáli! Pl: etíté) 3D kooináta-eneek áltáa / P (j) : a P pont a j kooináta-eneben M i j : tanfomáió amel a j kooináta-enebeli pontokat a i kooináta-enebe ii át Ekko P (i) M i j P (j) Ha P (j) M j k P (k) akko P (i) M i j P (j) M i j (M j k P (k) ) M i k P (k) ahol M i k M i j M j k 3D kooináta-eneek áltáa /2 oábbá M i j M - j i pl: a) Ha M i j (tt) akko M j i (-t-t). b) Ha R: jobb-kee kooináta-ene L: bal-kee kooináta-ene akko MR L ML R 9_tafo 5
6 Máté: Sámítógépe gafika alapjai 3D - tanfomáiók alakja (Különböő kooináta-eneekben) P (j) : pont a j kooináta-eneben Q (j) : tanfomáió a j kooináta-eneben Melik a a Q (i) amele Q (i) P (i) M i j Q (j) P (j)? Miel P (i) M i j P (j) eét Q (i) M i j P (j) M i j Q (j) P (j) Q (i) M i j M i j Q (j) Q (i) M i j Q (j) M - i j Máti műeletek (OpenGL) OpenGL-ben olopfoltonoan táoljuk a mátiokat A egég máti: a a5 a9 a3 GLfloat M[] { a2 a6 a a4.... a 3 a7 a a a4 a8 a2 a6....} Új aktuáli máti betöltée: oi glloamati{f}( M[6] ); glmatimoe(gl_modelview); // típu glloamati(m); // betölté Máti műeletek (OpenGL) A aktuáli máti legen a egégmáti: oi glloaientit(oi); A aktuáli máti oáa: oi glmultmati{f}( M[6] ); Pl.: GLfloat M[] { } glmatimoe(gl_modelview); glmultmati(m); A oat le a új aktuáli máti Kooináta tanfomáiók (OpenGL) Néeti (Viewing) a néő (kamea) helének a megaáa Moell (Moeling) a objektumok (moell) mogatáa Moell-néet (MoelView) a néeti é a moell tanfomáiók egütt Vetítéi (Pojetion) a néet ágáa é látótébe méeteée Ablak a eemén ablaka aló leképeée Néeti kooináták (OpenGL) A megfigelő néőpontja keetben ( ) A megfigelő a tengel negatí iánába né. Vituálian ögített kooináta ene - - Ahog a megfigelő látja a moellt Íg látnánk olalól a megfigelőt a poíiójának a tengel iánába töténő elmoítáa után Néeti kooináták (OpenGL) A néeti kooináta ene elfogatáa 45 -kal a ótamutató jáááal megegeő iánban 9_tafo 6
7 Máté: Sámítógépe gafika alapjai Néeti (Viewing) tanfomáió (OpenGL) E hajtóik ége előö et kell legelőö efiniálni Néőpont meghatáoáa Keeti néőpont ( ) glulookat paanal móoítható Néeti (Viewing) tanfomáió (OpenGL) oi glulookat( GLouble ee GLouble ee GLouble ee GLouble ente GLouble ente GLouble ente GLouble up GLouble up GLouble up) (ee ee ee) a em poíiója (ente ente ente) efeeniapont ahoá a em né (up up up) felfelé mutató ekto (up-ektovup) Pl.: glulookat( ); Néeti (Viewing) tanfomáió (OpenGL) Moell (Moeling) tanfomáió (OpenGL) A glulookat eljáá kiámítja a megaott néeti tanfomáió ineét maj a aktuáli mátiot megooa a kapott ine tanfomáió mátial A altuáli máti mó a GL_MODELVIEW legen! eltolá (tanláió) fogatá (otáió) A moell ag eg éének a tanfomálááa hanáljuk káláá A úpont (ete) kooinátákat tanfomálja Moell-néeti ualitá (OpenGL) A néeti é a moell tanfomáiók uáliak eét elegenő ak a moell kooináta enet tanfomálni néeti kooináta ene mogatá moell kooináta ene mogatá Moell tanfomáiók (OpenGL) glmatimoe(gl_modelview); oi glrotate{f}( a ); a: fogatá fokban; ( ): fogái tengel pl. 45 foko fogatá a -tengel köül: glrotate(45...) oi glanlate{f}( ); ( ): a eltolá ektoa pl.: -tengel mentén 5 egéggel aló eltolá glanlate(5 ) oi glsale{f}( ); ( ) káláá météke a tengelek mentén pl.: glsale(.5.5.5).5-öö unifom nagítá 9_tafo 7
8 Máté: Sámítógépe gafika alapjai Vetítéi (pojetion) tanfomáió (OpenGL) glmatimoe(gl_projecion); Kétféle etítéi lehetőég Otogafiku etíté (OpenGL) oi glotho(ouble left ouble ight ouble bottom ouble top ouble nea ouble fa); otogafiku é pepektiiku Megajuk a látóteet i Végehajtá: új pojekiómáti pojekiómáti peifikált máti Othogonáli (otogafiku) etíté ágái teének megaáa 2D eet: oi gluotho2d( ouble left ouble ight ouble bottom ouble top); Pepektí etíté (OpenGL) oi glfutum (ouble left ouble ight ouble bottom ouble top ouble nea ouble fa); left ight: a bal é jobb olali ágóík kooinátája bottom top: a aló é felő ágóík kooinátája nea fa: a köeli é táoli ágóík kooinátája. Pepektí etíté (OpenGL) Simmetiku látóté megaáa: oi glupepetie (ouble fo ouble apet ouble nea ouble fa); fo: a látóté öge iánban apet: w/h nea fa: a ágóíkok táolága a megfigelőtől Néőpont: a oigó: ( ) Ablak (OpenGL) 2D- leképé a ablak eg téglalap alakú (iewpot) éébe: oi glviewpot(glint GLint GLiei with GLiei height); : a iewpot bal aló aka a ablakban with height: a iewpot méete pielben (5 ) Vágái té - Viewpot 5* Ablak 3*2 Ablak (OpenGL) Alapételmeé: ( winwith winheight) ahol winwith é winheight a ablak méetei (5 ) Vágái té - Ablak Viewpot 3*2 9_tafo 8
9 Máté: Sámítógépe gafika alapjai Pepektí etíté (OpenGL) Pl.: Móoítuk iewpot-ot é a ágái teet pepektí etíténél oi ChangeSie(GLiei w GLiei h){ GLfloat fapet; if (h ) h ; // ne ounk -al // a ablakon beállítjuk a iewpot-ot glviewpot( w h); fapet (GLfloat)w/(GLfloat)h; // etítéi máti glmatimoe(gl_projecion); glloaientit(); // ágái té megaá pepektí etíté glupepetie(6.f fapet. 4.); glmatimoe(gl_modelview); glloaientit(); } anfomáió mátiok (OpenGL) e Moeliew e máti e w we Eeeti Sem kooináták kooináták / w Pepektí / w otá / w w Vágái Nomaliát kooináták kooináták Pojekió máti Viewpot tanf. máti anfomáió mátiok (OpenGL) Máti emek (OpenGL) / w / w / w Nomaliát (inhomogén) kooináták Viewpot tanf. máti Máti móok: GL_EXURE GL_MODELVIEW GL_COLOR GL_PROJECION Minen máti mó ámáa an eg máti eem A aktuáli máti a eem tetején léő máti. A műeletek: oi glpuhmati( oi ); oi glpopmati( oi ); Máti emek (OpenGL) glget(gl_max_modelview_sack_deph) (Miooft: maimáli mélég 32) glget(gl_max_projecion_sack_deph) (Miooft: maimáli mélég 2) GL_SACK_OVERFLOW GL_SACK_UNDERFLOW Felaat (OpenGL) Rajoljuk meg eg obókoka pepektiiku képét! Alapállapot: egégmáti GL_MODELVIEW 9_tafo 9
Máté: Számítógépes grafika alapjai
Máé: Sámíógée grfik lji _beve 3D kooriná-renerek blkee bl-oráú jobbkee jobb-oráú 3D rnformációk - homogén koorináák () megá homogén koorináákkl: () (w) ( w ) h vn oln α hog α α α é w α w H w : (/w /w /w
Bevezetés. Bevezetés. Bevezetés. Történeti áttekintés. Bevezetés
Beveetés Valós és képeletbeli objektumok (pl. tárgak képei, függvének) sintéise sámítógépes moelljeikből (pl. pontok, élek, lapok) Beveetés Történeti áttekintés Horoható softverek, sabvánok Interaktív
3D koordináta-rendszerek
3D koordináta-rendszerek z z y x y x y balkezes bal-sodrású x jobbkezes jobb-sodrású z 3D transzformációk - homogén koordináták (x, y, z) megadása homogén koordinátákkal: (x, y, z, 1) (x, y, z, w) = (x,
Ő Ö é Ü Ö é Ö é ő ü ó ü é é ő ü é ö é ö ó é ő é ő Ő ó ő é ó í ő ő ü é ő ő é ö ö ö ü Ü Ö Ö ö ö ö é ö ö Ö ő é é ő í ü é é ü é ő ö ő ő é ő ö é í é éé ő í ó ő ő ő ö í í ő é ó ó é ó é é Í ü ő Ó ő é é ó ő é
é é ő é í ő é ő ő é ő é é é ő é ő í ü é é é é í é ő é ő é é í ő é é ő é ü ő ű ő ő é ő é é é é é ő é é é Ú é ő í é é é í ő é ő ő é é é ü ő é é é í ü ő í é é é é ü é ő é é é ü é í é é é ő é é ő é é ő ü é
ö ö É Á Á Á ö ö ö ÉÉ ö őí ö Ö ö É Á ö ö ö Ö ö ö ő ö í ő ö Íú í ö ő ü ő í íú ö ő ö ö ö Ö ö ö ö ö ő ö ü ő ó ö ő ő ö ö í ö ö ö ő ó í ö ö ö ó ö ó ü ő í ö ü ő ö ö É ö ö ő ű ö ó ö ö ő ő ő ó ú ö ö ö í ő í ó ö
ó ö Ö ő ü ú ő ö ő ó ö ö ö ü ú Ö ö ó ő ö Ö ő ü Ó Ó Ó ö ö ő ő ő Ö ú ö ő ő ő ö ő ö ő ő ü ö ö ö ó ó í ó ü í ö í ö ó ő ö ú ö ó ü ö ú ö í ö í í ö ó í ö ö ő Í í ü ö ü ö í ö ő ü ő í í ú ö ü í ö í óö í ö ü Í í
É É Á Ü Ü ó ó Á Ü Ú Ö ö ö ó ő ő Á ó ö ó ő ú ó ö ö ó ó ó ú í Ú í ó Ö ö ö ó ő ó ü ó í ú ő í ó ö ö ü í í í ö í Ó ó ó ó ö őí ó ü ó ő ó ó ő ó ö ö ó ő ó ú ü ü ö ó í ő í ó ü ó í Ő í ú í ó í ú ö ó ö ó ü ó ö ö
ü ö Ö ü ú ü Ö ü ü ő Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü ő É ő ő ő ő ő ő ő ő ü ő ú ö Ó ö ű ő ö ö ú ü ű ö ő ő ö ő ő ő ő Ö ö ö ö ö ü ő ü ő ö ö ő ő Ó ő ő ő ü ő É ő ú ö ü ö ü Í ö ő ü Í ö ö ű Í ö ő ő ő ő ő ö ő ö ő ö ö Í É ő ő Á ő
Ő ö Ö ő ü ü ü ö ö Ö í ö ő ó ő ü Ö Ö ö Ö í ö ö ö ö ö ú ő ö Ö ó ö ö Ö ö Ö Ő ő ő ü ő í ö ö Ö ő ö ó ó ó í í í ű ö ó í ö ö Ö ő ó ö í í ű ö ö Ö ú ű ö ú ő í öö ö ű ö ö Ó ö Ö ő ü ü ü ö í ö ú ő ű ö ö ő ő ó ő ü
É Ú ő ő ő ő ő ő ő Ó ő ő ő Ó ő ő ő Ó ő ő ő Ó ő Ó Ó ő Ó ő ő Ó Ó Ö Ó Ó Ó Ú ő Ó Ó ő ő ő ő ő ő ő Ó ő Ő Ű ő Ó Ó Ű Ó Ú ÓÓ Ő Ú Ú Ű ő Ó Ó ő Ó ő ő ő Ó ő ő Ó Ó ő Ó ő ő ő ő Ó Ó Ó Ó ő Í Ü Ü ö ő Ü ő ő ő Ó Ó Í Ű Í Ő
Á É ö ő Ö ő ó ó ő ő É í ő ő ó ó ö ö í ő ő ő ö ő ó ó ö í ö ö ő ö í í Á ú í Í ő ö ú ö ö ő ö ö ő ó ő ö ó ő ő í í í ö ű ó í ő ó ó í ü ö ö í ó ó ö ő ő ö ó ó í ü ö ü ö ö í ó ö ő ő ó ó ő í ü í ó ö ü ő ő ó ö ó
ú ü ő ú ő ú ü ú ő ő Á Á ó ó ó ó í ú í ó í ó Ö É É Á Á Á Í ő ő ő ü Á Á Á ő ő ő ü É Á ü ú í ő ü Ö Ö É É Ő Ü Í Á É ó Ö Á ó Ü É Á Á Á Á ó É Ő Á Á É É ü ü ő í ő ő ő ü Ú Ó É Ő Ú Á É É Ö ü ő ú ü ú ü ú őó ó ó
Ö Ú Ó É Í Ó Ü É É É ó ö ü ő í ó Ü ő ü í ü ő ű ó ű ü ó ó ü ü ő í ó ú ű ö ö ó í ü ő í ó í ö ó ő ö ü ű ü ü Á ú ö ü ő í ó Ü Ü ő ó ó ő ö ő ó ö ö ü ó ú ü ó ü ó ú ö ö ö ö ü ó í ó Ü ó ó ö í í ó ü í ó Ü ü ő ű ó
í Ó ő Í Á ö ö í ú ó í ó í ó ő ó ó ö ó Ü ő í í í ó í ü ö Ó Í ő ő í í ő í ó ö ó í í ó ö ő í ű ő ő í í ő ö ó í ó ö ő ö ő í í ö ó ö ö ő ő í ó í ö ö í ö ö í ö ó ö ó í ó í ő ö í ő ó Á í ő í í ó í ó ó í ú ó ü
Számítógépes grafika
Halotán: a alkén-alogenidek caládjába tartoik: CF 3 CHCIBr. intéie a triklór-etilénből können megvalóítató, idrogén-flouriddal katalitiku körülmének köött, majd brómmal való evítéel. obaőmérékleten,868g/cm
ű ú ü ü ü ü ü ü Á ü ú ü Á Á Á É Ö Ö Ö Á É É ü Á ú ű ú Í Á Í Á ű ü ű ü Ö ű ű É ú ű ú Á Á ű ü ú ű ú ü ú ú Ó ü ű ü ü Í ü Í Í Í Ó ú ú ú ú ú ú ü ú Í Ó ű ú ű Á Á ü ü ú É Í Ü ű ü ü Á ü ú Í É ú Ó Ö ú Ó Ó Ó Í ú
ó ü Á Ú ü í Ó ó ö Ú ö ü Ó Ó ő Íó í ő ú ő í ó ö Ö ö ö í ó ó Í ü ő ó ó Ó Ó Ó í Ó Í Ú Ó Ó í í í Ó ő Ö ü Ó Ö ű Ö ű ö ü Ó ő ü Ö í Ö Í ó Ó ó ö ü ü ö ó Ö Ó Ó
ó í ó ő Í ó í ó ő Ó ő Ö ö ó ü Á Ú ü í Ó ó ö Ú ö ü Ó Ó ő Íó í ő ú ő í ó ö Ö ö ö í ó ó Í ü ő ó ó Ó Ó Ó í Ó Í Ú Ó Ó í í í Ó ő Ö ü Ó Ö ű Ö ű ö ü Ó ő ü Ö í Ö Í ó Ó ó ö ü ü ö ó Ö Ó Ó ü ó í ó Ö ö Ö Ó Ő Ö ü ü
Á Ö É Ö Á É Ő Ü É é ü é é ö é ö é é ó é ó í í ü é é é ö é é é óé ü ó Í ö ó é é ü ó é é é ü ó é óé í é Í Ú ö í é ü ö é í é ü é é í ü é é í í É ó é Ö ö é ó é ó ó é ü é é ö ö ö í ü ü é é é ö ü í é é é é é
Ö ő ü ő Í ó ő ü ó ó ó ó ó ő ő ü ő ó ó ő ő ü ó ó ő í ó ó ó ó ó ü ü ó í ő ő ő ü í í ő í í ó í í ó ő ő ú ó ó ő ú Í í í ó í í ó ő í ő ő ü í í ü í ó í ő ü ő ó í ó í í ü ő í í í ó í í í í í ó ü í ő ó ú ő ó ő
é ő ü é ö ü é é ú é ö í ő ü é ó ó ó é ö é Ó ú ő ő é ö é ü ü ö ő Ü É É ü é ő ü é ö ü é é ú é ü é Á ü ű ö ú é ő é é é ő ü é ö ü é ú é ü ő é é ö ö ő é ű é é ö é ö é é ű ö ü ö ú é é ó ö é é é ó é é ó é ó ö
Á Á Ő É ő ő ö ú ő ő ó ő ő ő ő ő ő ó ó ü ó ő ű ó ü ö ő ő ő ő ö ö ő É ó ü í ó ő ő ó ó ö í ü ö ő ö Á ő ő ő ö ó ö ü ő Í ő ő ő ö í ő ő ö ó ö Á Á É ő ő ű Á ö ő ú ő ő ü ó ő ő ő Ö ő í ő í ó ű ö ő Á ö í ő ó ő ő
ő Á ó ü É Á Á é ó í É ú í Ú é ó Á ú ő ü é ó ü ö ű é ü é ó ö ú ó ű ö é é ő é ó ó ó é ö é ö ö é ö é ő ó ó é ö é ú Á Á é ü ő ü ö í é ö ü í é ü é ó ü ü ö ú é é é ő ü é ü é ö ó é ó í ó é é ő ü ö é ö ö ó é ö
1. El szó. Kecskemét, 2005. február 23. K házi-kis Ambrus
. Elsó olgoat témájául solgáló utatásoat egrést még a buaesti Silártestfiiai Kutatóintéet munatársaént etem maj eg utatással fejlestéssel foglaloó magáncég (& Ultrafast asers Kft.) olgoójaént jelenleg
Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
á á á ö ö ü á á á ő á ó á á ő í á í á ú á ö ó á á ó á ó á á ó í á á á á á ó ő á ő ú á á á á ü á í í á ó ü ű ó ó ő á á á ö á á á ü á á ú á á ö ő á á í
ó Á ó ó ü ü ó á á á á ó á ü ő á ö á ó ó ö á á á ö á á á ó ö á ó á á á á ő ö ö Á á ö ö á á á á ő á ó á á á ő ö á á ü ő á í ö ő á í á ö á á ö á ó ü í á á á á á í á á á á á á á í á ű ő á á ő á á ü á á ő ú
ö Ö ő Í ú ö ö ö ö ő ó ó Ö ú ó ü ó ö Ö ő ö ö ö ő ő ő ö ó ö ő ö ö ö őö ö őö ü ö ö ö ő ö ö ő ő ó ö ö Í ö ú ő ö ó ö ü ó ö ő ó ú ö őí ó ó ó ű ö ű ö ö ő ő ű
ö Ö ő ő ö ö ö ő ó ó Ó ú ó ó ő Í ó ö ő Á ő ő ó ó ő ó ő ö ö ú ő ó ó ó ó ó ő ó Í ő ü ö Ö ő Í ú ö ö ö ö ő ó ó Ö ú ó ü ó ö Ö ő ö ö ö ő ő ő ö ó ö ő ö ö ö őö ö őö ü ö ö ö ő ö ö ő ő ó ö ö Í ö ú ő ö ó ö ü ó ö ő
ó ö ú í Ú Á ó ö ú ö ú í ó ő ő í ó ű í ó ö ű ő ó ó ó ö ő ű ő í ó ű í ó Ü ő ö Ö Á Á Á ó ó Ö Ö Á Á Á ű í ó Á ö ö ő ő ő ö ó í óá ÚÁ í Á Ú Á Á Ö Á Á í Á Ü Ü Ü Ü Ü Ú Á Á Á Í Ü Ü Í Á í Ü í ó Ő Ó Ö ó ó ó Ö Ö Á
é é ő ü é ó é é ő ü í ő ő ő é é é é é é í é ő Á é é é ő í é é é é é é ő í ó ő é é ű ő ü é ó ú ó ű é é ő é í ő ő ő é é é é é ő í é í é é é é é é é ú ő é ő ő é é é ő ő é é ő ü é é é í é é ü é ű é é é é é
á é é é é é é é é á é é é é á ú ó é ő á ő á é ű é á ó é é ő é ú ő á é é őá é é é é é é é á ő ö ő ö é á é ő é éé é é é á ő á é ő é á ó á ú á á é á é őí
é é í á é é á é ő é ú ó ő é é í ő á é ő ő é ö á á ó í ú á á á é é á é é í é é é ő á á á é ö é é é á é é í é á á é á é á á í é é á á é á é ö é é é é é ü é á é é ö á á á é é é é ő é é á ú ű é á é ő é é ü
Hidro-termodinamikai egyenletek
Hio-teoinaikai egenletek öeállította: Kllann Láló (kllann.l@et.h) ÁZLAT Egenletek (egeőítéek) Kooinátaeneek féik tékéetületek é toítá etikáli Hio-teoinaikai egenletek Légkö leíáa fiikai töéneken keetül
é é ó ű ó í é é é ő í ő é ö ó é é é é ó í é ó ó ó ú ő é é é ö ü é é é é ú í é é ő í é ő é é ú é é é ó ő é ú é ó é ő é é é é é é ő ó ó é é ő é ú ó ő é é é é é ö ö é ú ö ő é é ő ő ó ú ö ő í ő ó ű é é ő é
Alkalmazott Informatikai Tanszék SZÁMÍTÓGÉP-PROGRAMOZÁS dr.dudás László 22./0. 3D grafika programozása OpenGL támogatással Transzformációk
Alkalmazott Informatikai Tanszék SZÁMÍTÓGÉP-PROGRAMOZÁS dr.dudás László 22./0. 3D grafika programozása OpenGL támogatással Transzformációk Alkalmazott Informatikai Tanszék SZÁMÍTÓGÉP-PROGRAMOZÁS dr.dudás
ö ő Ö ó ő ő ő É ő ü ő í ő ó ö ö ó í ö ő É íé í ő ő ó ő ű ő ü ő ü ő ő í ő ó ő ű ó ü ö ő É í ő ő ű ő ó ü É í ő ó í ó ő ő ö ö ő ő ő ő ó Ö ú í ú í ó ö í í ó ő ű ö ű ő ü í ő í í ó í ő ó ü ü ő ó í ő í ő ö ü
ö ö É É É É Á ö ö é ö é é ö é é é í é é ö Ö Ö É É ö é ö é Ö é ö é ö é ö é é é é é é ó é é ö é é é í é ő é é ö é é é é Í í í ö é Á é Ö ö é é é ö é é ő í Ö é ö é é ö é ö Ó é é é é ő é é é é ó é é é í ó Ö
Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR
Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki
ó ó ö ö í ü í í ő ó Á ó Ó í ö ő ő í í ö Á ű ó ű í ő Í í ű ű ő ő ö ö í í í Ú Ü ö í ó ó ó ű í ő ű ö ő ö Ó ő ó í ú í Ó ú ö í Ó ű ü ű Ü í ü Ü Ó ű ő ó ű í Ü ő ő Ó Ö ö ö ő ő ű ő ü ű ű ó ő ö ő ö Ó í ó ű ő ű Ó
ö ö ü ö ó ó ő ó ö ö ö ő ö ű ő ő ó Á ö ö ó ó ö ó ó ő ű ó ö őö ö ő ó ó ö ö ö ó ó ó ö ö ö ó ö ó ő ő ő ö ó ö ó ó ö ö ó ó ő ö ö ó ó ü ű ő ó ő ó ű ö ö ű ö ü ö ö ö ó ű ü ö ö ö ó ó ö ó ó ő ő ő ö ö ő ü ö ö ö ö
ő í ő Í í Ó í Ó í Ü í í í í í í ú í í Ü Ü Í Í í Ü Ú í í í í Í Ü Ő í í í í Ü ö Ó í í Ö í Ü í Ü Ö í Ö Ö í í Ó Ó Í í í Ő Ó í Ő Ú Ú Ö Ú Ö í Ő Í Ü í Ő í Í Ó Ó ő Ó Ó Í í Ü Ó Ó Ó Ó í ő í Ó Ó í Ö Ö í Ó Ó Ö í Ó
ő ü ó ő ö ű í ő ü ö ö ü ü í ó ő űő ó ü Á ő ü í ű ö ó ü ű ö ő ő ö í ő ó í ű ö í ú ó ó ü ő ő ó ő ö ő ő ö ö ő ó ö ó ő ö ó í ö ő í ő í ő ő ó í Á ö í ö ó ü ö ő ó í ö ő ö ö ő ü ö ö ö ö ő ö ö őí í í ő ó í ü ü
ú ő ő í ó ú ó ü ő í ó ő ő ú í ú ő ó ő ő í í ó í ó ó őí í í ó í ő ü ő ó ó ó ő ő ó ó í í ú ő ő ü ó ő í í ő í ő ü ú ő í í í ő í Í ó ú í í ő í ő ő í ú í í ü ú ő ő ú ó ő ü ű ű ő ü ő ő ó ű í ű í í ő ő ő ő í
í í ő ő í Á ö í Ó Á Í Á ő ő í í ö ö ö ő í ö í í ö í í ő í í í ő ő í í ő í í í ö ö ő ö í í í ő ő ü ö ü í ő ő í ö ü í í í ő ö ő Á ő ő ö ő í í ő í Á ő í Á ö í ö őí ő í ö ú ő ő ö ő őí É ö ő ő í í ö ő ő í ő
ő Á Á ö É Á ő ű ő Á Ó ü ö ö ö ő Ö Ö ő ü ü ü ű ü ö ö ö ő Ó Ó ő ő ő ő ű Ö ő ü ö ő Ö íő ő ő ö ű ő ő Ü ő ö ö ű ü ő ő ő ü ő ü ü ű ő ő ű Ü ő ű ű Ó ő ő ő í Ö ö ü ö ű í í ű í Ü ű ö ő ű ű ü í ű ű ö ü ö ű ü ű ö
ő ő ö ö ö ö ü ó ó ú ó ő ő ő ő ő ó ó ő ő íő ó ó ö ö ő ő ő ö ő ó ó ö ű ö ö í ó ö í ő ó í ő ö Í í ö í ú ó ő íó ő ö ó ő ó ó ó ú ó í Í Í ő ő ö ö ő ö ú ö ö ő ö ö Í ő ó ő ő ő ó ú ú ó Í ő í ó ó í ö ő ó ó ő ő ó
ő ü ő Ö ő ü ő ü Á ű ő ő ü ő ő ő Á Ö Ö Ó í í Ó í ő í ő í í Ö Ö Ó ú í őí ü ü í ő Ö ő ü ű ő í í ű ú ü ő ú ü ő ű ű ú ú í ő ű ő í ü ő ő Ö í ő ű ú ú í í í Ö í ő Ö Ö ú ú ü ő ú ü ő ű ű ú í ő ű ő í í ü ő ő Ö Ö
Í Á É É Á Ő ú ú ö ú Í ő ö ö ő ú ő ö ö ő ú Í ü ö ű ö ü ö ö ő ő ő Í ő ö ű ú ú ö ő ő ő ú ú ú ö ő ő ű ő ö ő ö ö É ő ő ú ő ü ö ű ö ú ú Í ö ő ö ű Í ő ü ö ö ő ő ú ő ö ő ő Í ü ő ú ü ö őö ú ö ő ő ö ü ö ö ő ő ü
ö ú ő ó í ö í ő í í ó ő í ó ó ő í í ö ú ó ü Í ó ü ó ö ö ő í ö ú í ó ö ö ö ő ü ö í ó ö ő ü ö ó ü ö ó ő ö ú ő ő ú ó ö ö ú ő ó ó ö ó ö ö í ő í ö ú ó ő í ű ö í ő í ó ú í ü ő ő ó í ő ó ó í ú ó ó ő ő ű ó ö ú
ü ő ó ő ó ó ó ő ó ó ó í ó ö ó ö ö ű í ü ú í ő ő ö ő ő ő ó ö ü ó ö ó ü ó ő ú ű ő ö ü ő ú ű í ú ó őí ó ő í ö ó ö í ó ö ö ó í ó ö ó ó ó ö ő ó ő ő ő ő í ó ő ő ő ő ő ó ü ö ü ő ó ö ü ő ó ő ö ő ö ö ö ö í ö ö
ű Á Ú Ö É É É Ü ö ö ő ű ö í Á ő í ő í Ü ö ö í í ö í ö ü ü ö ő ő ü í ű ő í ü ö É í ű í ő ű ü í Ü ő ü ö ö í ű ö ő ö ő ö ö ö ö ő í ö ö ö ö í ő ö ü ö í í ő í í ü ő ő ü ü Í í ő ü ű ö őí ö í ö ö ö ő ö É ü ö
ő ö ő í Á ő ő ő É í ő Í í Í ü ő í ö ö í ő ő ő ü ö ő ü ú í ü í ő Í ö ő ú í í í ő ü í ö ő ö ö ő ö ő üő ő ö ő ő Í ú í í ő ő í ö ö ő Í í í ü ő í í ö í í ő í í í í í Í ü Í Í ö ö ő ő ö í Á íí ö í ö Í ő í ü ö
Máté: Számítógépes grafika alapjai
VETÍTÉSEK Vetítések fajtái / Trasformációk amelek -imeiós objektumokat kisebb imeiós terekbe visek át. Pl. 3D 2D Vetítés köéotja ersektívikus A A B Vetítési B Vetítés köéotja a végtelebe árhuamos A A B
Ó ö é Ö é ő É Í É Á Ó ő ö é ö é ő é é ö é é í ö í ó é é é ő ő ó é ö é é í é é í é é ö Á Á óí Á é é é é é ő ó í é é é í é ű é é í ú í í ű í ő í ó é é é ű őí é é é é é ó ó í é ö ó őí ő é é é é ö é é é í
Í í ó í Í í í é í ó ő ő ö í é ő ő é é í ü é é ö é é é ú ő ö é é é ő é ő í é í ő é é é é é é í é é é é ú í ó í í ó í é é é í é ú í é í é ü é é í ő ő ő
ó í Ö É í ó ő é ü é é í é é ó Í ő ö é Í ö é ű í é ö ő Í í ó ö ü ö ö í ó ő ő é ű é í é é é é é é ő é é í í ő ü ő é é é ö ö ő é é é é ö ö ü é é ő é é ü é ö ö é é ö ö é ü ó ő ő é ö é é é ö ö é ő é é í é é
hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.
5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó
í ú ü ú í ú ü ú í ú ü ú ő ő Í Ö Ú Ü őí ű í í őő ő ü ő ő ű ő í É É Í Ö Ú Ü ő ő ő í ő í ú ű ő ő Í Ö Ú Ü ő ú ú í ü É ú í É ü í Ó ü É Ő É ü í ő Ú ő É ő ú É É ü ú í ő ő ü í ü ü ü í ű ú É É ü ü ü ü ü ü ő í ő
á ő ü á á ó ó ő ü ő ó ő á í á ó á í ü á á ó á á ö í á ó á ó í á á á á ó á ú ö ó ö ö á ü á á ő á á á ó á á á ó ö ö ö íö í á á ú ö ö á á ó á á á ó ű á ó
É É É Ó ó Á ó Ö á í ő ó á ú á ű ö ő ő á íó á ö ő á É ó í ö í ó á á ő í á í í ö á á á á á ü ö í ö á ó á ó á ö á ő ü ö ö ó ü á á ő ó ó ó ö ű ü ü ó ó ö ő á á á á í ó ö ü ó í á á ö ó ü á ó á í ő á í á á ú
1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
é ü ü ő ü ő é ú é é é é é ő í é ő Í ő ü é é í é í é ő í ó é é í é é ő ó í ó é í í é ő Í ú ó ó í é ű í ó é í é ő é é í ó é í í óé í éé ő ó ü é ő úé é ú
é é ő ü é í ó é é ő Í Í é é é é óó ó é é Í Á é é í í é ő é é í é é é é é é ü é é ü é é é é ő é ő é é ő ü ü é é é é é é é í ő é é ű é é ü ü ő é é ő é é é ő é é ő ó ó é ő ü é Ú é ü é é ű é é í é í é é í
ő í Á ö í í í ű ö ö ö ö ö ő ű ö ö ú Ü í í ő ű ö ű ö Ú Ü ö Ü ö ú ü ö í ú ö ö ö í ö í ü ö ő ö ő ö ú ő í Ü Ü ő í Ü ú í ő ü í í í ű ű í ő ö í í ö ő í í ö
ő í ö ö ú ő í ő ő í í ú ö ú Ü Ü ö ú ő í í í ö ú í ő í í ö ú ű í ö ő ö ú ű í ő í ő í í őí Ü ű ö ő Ü ö í ő ő Ü ö Ü őö ő ö í í í ő Ü í Ü ö í ö ő ö ö ő ö í ö ő ú í ő ö í Ü ő í Á ö í í í ű ö ö ö ö ö ő ű ö ö
é é é ó ű é ó ó é é ú ú ó ó ó é ó úá é é ó ű ú é é ű ó ú ö é ó ó é ű é ó é ó é é ü úá ó ó ű ú é ű ó ú ö ó ó é é É ű é é é ó é ö ó ó é é ú ú ó ó ó é ó úá é é ű ú é é ű ó ú é ó ó é ű é ó é ó é é ü úá Á ó
é ó é é é ő é é é é é ö í ó ó é í é é é é é é ö é í é é é í é ú é é é é é é ö é í í ó őí ü ü é é ó é ó é ü é é ó ő é é í é í ó í é ő ő ő ü ő é ó é í é
ó ü É Í É Á ú Ü Ü é ó é ö ú óé ü é í é éü Á í é ű é í óé é ú ó ü ó é í é é ú ö é é í í ú ő é í ű ó ó é é í é é é í é ű é í é é é é ü ö ú ó ű é é ó é ö ö ő í őí é é ö ó é í é É é őí é í é ű ő é é í óé ű
á ő á ó á á ö á ö ő á á ő á á á á ő ő ö ö ö á ú á á ű ö á á á ü ó á á á ö ű á á á á á á ü ö Á í á á á ó á ö ű á í ü á É í á ó ü á á á á ó á ó ö ő ó á
Á Á ó É Á ü ö ö Á ó É É Á Á ü á ó ő í á ü á á ö í í ü á á á á á á á á ó á á á ö ú á ó á á ű í ú á á ó ó á á á á á ü ö á á ú á á ö á ö á ö ó ü ö ö ő ő á á á á ó ö á á á á ó ü ú á á á ó ü ü á ó á á ó ó ó
ö ö É ü ő ü ö É ü ü ö ö ö ő ü Á ő É ü ü ü öü ö ű ő ö ö ö É É É ü ü É ü ö ö ü É ö ö ö ő É É ö É ü ö É É ű ő ü ö ö É ü É ö ü ö ö ü ü ü ü ÉÉ ü ö ő ö É ö É ö Á ü É ö ü É É ü ö ü ö ü ü ö ö ö ö É ö É ö ö Ú É
10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Tartóprofilok Raktári program
Tartóproflok Raktár program ThenKrupp Ferroglou ThenKrupp Nolcadk kadá 6. áprl Ötvözetlen é alacon ötvözéú lemeztermékek Betonacélok Szerzámacélok Melegen hengerelt rúdacélok Könnú - é zínefémek Rozdamente
Másodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
ó í ó í ü ü ó ő ó ú í ó ő ú ő ó í ó í ü ö ö ő ó ő ó ö ó ó ű í ü ü í ó í ó ö ö ö ó ű ő ö ő ű ü ó ü ö ü ó ü ü ö í ű ö í ű í ő ő ű ö ö ö ö ő ő ű í ü ö ö
í Á Ü ő ő ő ö ö É í ó ú ü ő Á ó ó ú Ü í ó ó ö ó ó ő ö ö Ü ő ü Ü ó Ö ő ű ű ö ö ú ö ő í í ó í ó ö ö Ö ő Ű ő ö ő ú ó ú ű ű ő í ó ű ő ő ő ó í í ó í ű ü ó ü ó ó ó í ű ó ó ö ó ó ó í ó í ü ü ó ő ó ú í ó ő ú ő
í ü ö ö í ö ü ö ö ő ö Ö ő ű í ö ű ö ü ő ú ő ő ő ő ú í ú ö ö ö ö í í ő í ü ű Ö í ö Ü Ű ü í í í ö í ő Ö Ü ü í ő ő ö ö ő í ö ö ü ü í í í í ü ű Ö Ö ü í ú
Á Ü ő ö í É ö ö Á Á ö Á Á Á ö ö Ü í ö ő ő í í ő ő ő ő ö ö ü ü ö ü ü ü ü ö ö ö ő í í ö ö ő í ü ö ö í ö ü ö ö ő ö Ö ő ű í ö ű ö ü ő ú ő ő ő ő ú í ú ö ö ö ö í í ő í ü ű Ö í ö Ü Ű ü í í í ö í ő Ö Ü ü í ő ő
ö ú Í ő ő ö í ö ű í ő ő ü ő ő ő ú ő í í Í ő ő ö ő Íí
Ó Ö ü ö ő ü ő Á í ö ö ü ő ú ő ő ő Í í ü Á ű ő ö ő Ó ö ő ő ő ő ő í ü ű ő ü ő ő ő ö ő Í í ű ö ő ő í ő ő Í í í Í í ú í ö í ő ő í í í ö ú Í ő ő ö í ö ű í ő ő ü ő ő ő ú ő í í Í ő ő ö ő Íí í ö ö ő í ő í ő ü
í ű ü ű ó í Ü ö ö ó ó í ü ü Í ú ő ő ő í ó ő í ő ó ó ú ő ó ó ö ő ó ö Ü ö ú ő ö ó ő ó ó ó ű ó ó ü Ü ó ó í ő ó í ő í ő ó őí ü ő ó ő ő í Í ö ő ó ö ő ő í ó Ü ö ö ő ó í ó ő ó ó í ö ü ö ő ö ü ő í Ü ő í ü ö ő
É í Í Í ő ö í ű ö í í ö öí í ö ő ő ő ő ő ő í ő ő í í ő í ő ü í Ő ő Á Á É Á Ö Ö Á Á Á É Á É É Ö É É Á Ö ö Á Ő É Í É Á Ö Ö Á Ó ö ö ö í ö őí ő í ú ö ő ö ö ő ö ö Ö ő ő ő ő ő ő ő ö ő í ő ö ö ö ő í í ű ő ö ü
ó ő ő í ó ó í í ő ó ő ő Á ü ó Á Á Á Á Ö Á É Ó ó Á É í É Á É É í ó É ó É ü É Á í í ő ó ü í ú í í ó ő ő ü ü ó ó ü ű ó ő ő ő í ű ő ú ő í í í ü ő ű ő í í ű ő ő í ő ó ő ő í ó í ő ü í ó ő ű ó ű ő ó őí ü í őí
ó É ő ö ü ö ú ü ö ű ő ú ú ő í ö ü ü ó ó ö ű ü ő ö ö ö ö ő í ö íí ü ó í ó ö ő ő ü ó ö ű ü ó ö í ó ö ő ö ű ö í ú ó í ü ő ú ő í ó ú í ó ö ó ö ö ű ö ó ö ó ö ő ö í ó ő ő ú ő ő ű ú ó ö ú ó Ó ó ú ü í ó ő í í
Á Ü Ü ó É ű ö ő Á ű ö ó í Á í ó ó ö ő Á ö ó í ó ö í ó ó ó Á í ó ő ő ü ó í ó ü ü ő ó í ü ű ö ó í ó ő ű ö ó ű ö ő ő ó ű ö ó ű ö ő ű ő í ü ó í í ó ó ó ü í í ő í ö ő ü ü ü ü ó ó ö ő ö ö ü ü ő ő ű ö í Á ű ö
Ü Í ö ő Í í ö ű ő ú ó ő í ó Ö í ü ő ó ó ő í í ö ö ő í ó ö í Í ú í ő Á ő ö ő ő ö ö ó ö ö Í ő í ó í ő ö ú ö ö ő í ö ú í ó ö ö ő í í ő ő ő ő ö ő í ő ő Ó í ü ú ú ő í ö ö ö ő ü ű ö í ő ö ó í ő ő ú í ó ő í ó
ö Ö ö Ö ő ü ö ö ő ö Ö ő í ó ó ó ö ö ő ő ő ö ö Á ü ö ö ü ö ö ü ő ü ű í ő ü ó ő ó ö ó ő ü ü í ő ö ö ö ö í ö ő í ő ö í ő ó ö ü ö ű ö ü ő ó ó ö ő ö í ö í ö ü ö ő ö í í í ó ö ö ő í ő í ö ő ű ö í ő ő í ó ö í
í Ó ú Ö í ó ó ó í ú ő ó ű ö ö ő ó ó ö ó ó ó ö ö ú ó ó ö í ő ó ű ö Ú ő ű í í ő ű ű ö í ű í Á ó í ó ú Ö ó í í ó í í í í ú ó í ű í ú í ű ö ó í í Í ű Ó ő ő ű ó ö ö ű í í ö ö ö ö ő ó ó ó í ú í ő í í í ú ó ó
Ü ő ö ő í ö Ö ó ó ö Í ó ő ő ő Á Ú í í ő ú ó ö ü ő ó ő ó ő ó ü ö ö ö Ö ő ö ő ő ő ö ö í í ú ú í ü ö í ó í É ö É í ő ö ő ő Á Ú í í ő ő ü í ö ö ő í ó í ő ó í ő ő ö Ő É Á ő í ú í í í ö ö ő ő ó ő í ó ő ó ő í
ő ő ő ő Í Ó Á Ó Á Ó Ő Ü ű ő ő ó Á ő ú Ö Ó Á Á ő í ű ó ó ő ó ó ó ü í ű Ö Á ő őí í ő ő í ő í ü ó ő ő ó ő ő ő ő ő ő ő ő Ö ő í ű ő ő í ű ó ó Ö ű ő ő í ő ü í ű ó ó ó ő í ő ő Ü ű ó ó ó ő ő ő ó ő ó ő ő ó ó ő
Á Ő í ö ő ő ő ő ő ő ő ó ó ő ó ő ő ó ő ö í í ő ő ő ö ő ó ő ő ő ő ő ö ö ő ő ő ó í í ő ó ó ő ő ő í ó ó ő í ó ű ő ó ö ő ő őí ő őí ő ő ű í ó í ő ő í ő ő ó ű ö ő ó Á ó ő ö ö ö í ő ó ő őí ó ő í ö ő ö ő őí ó ő
Á É Í ő ő ő ó ő ó ő í ü ó í ó í Í ő í ó í í í ö ő ő ű í ő ö ő ő ó ó ő í ő ő ó í ő ó ő í ü ü ó ú ő í ő ó ö ö ő ü ö ő í ő ő í í ő ö ő ü ö ő ő ő í ó ő ő í ő í ő ü ü ö ö ü ó ő í í Í í í Ó ö ö ő ő ó ö í ö ö
ő ő ö ő ü ö ő ő ö Ö ő ü ő ő ő ö ő ü ő ö í ö ő ő ö ö ö ő ő ő ü ő ő ü í ő ő ö ő ü ő ö ő ü ö ő ü ö ő ü ü í Ő ü ö ö ö í Ő ü ö ő ö ö í ö ü í í ö í ő í ö ö ö ő ő ü ö ő ü ő ü ú í ü ö ő ö í ö í ö ö í őí ü í ü
ú ő ú ú í ö ú ö ű ű ö ő í í Ú ó í ö í ő ő ü ű ö ő í ü ü ű ö ő ű ó í ö ö ü ú ö ö ő ó ü ú ő ű í ő ű í ü ö ú ó ő ü ő ü ö ö ő í ő ü ö ú ö ö ő í ü í ő ú ő í ö ö ú í í í ú ő í ö ú ő ő Á Á ó ö ú í ó ö ó ó őí
ő ő ő ü É Á Á É ő ő ő ü í ő ű í í í í í í í í Í Í ű Í ü Í ű í ü í ő ő ü ő í í í ő ű í ő ő ü ő ő ü í ő í í ő ü í ő ő őí í í ő í ő í Ü ü í ő ü í í í ő í ő í ü ú í ő ü Í ő ő ő ő É Ó Ó É Í É í Í Í őí ő ő Ó
ö ú Á ő ö í ő ú í ő ö Ö ő ü ö Ö ő í ő ü ő ő í ő ő ü ü í í ő ü ű í ö ú í ö ö Ö ü ű ő ő í ö ő ű ő ö ő ü ö í Í ü ö ő ö ö ő í ű ö ö ű ö ü ö ő í ú ű ű ű ö ő ü ő ü ö ő í í í ő ö í ő Í Ö Ö Ü ő ő í ő Ő ő ő í ü
ü í í ű ű í ü ü í ő ú ü í ő ú í í ü í ü í ő ü í í ő ő ü í í ú ú ő ő ü ú ü ű ű í ű í ü ű ú ü í ü í ő ő ű ő ő í ű í ő í ő ü ő ű ű í ű ú ű í ú í ő ü ú ú ő ő í ü ú ü ő ő ő ü í ú ő ő í í ő ú ú ő ú ő ü ő í ő
Á í Á í ó í í ó ö ö ő ő ő ö í í ó É Á í ó í ó ó ü ű ö í ó í ő ö ö ö ü í ó ü ü ü ö í í ő í ő í í Á í í í í ő ő í í ú í ó ö ö ö í ó í í ő ó í ű ö ö ó í ö ő ö ú ö ö ű ő ő ő ö ö ó í ő ó í ű ű ö ő ű ó í ű ő
ó ü Á Ó Ó ó ó ú ó ú í ó ű ü í ú í ő í ú í ó ö ó ó ő ő ö É í ú í ű ő ű í ü í ó ö í í í ő ó ö í ú ó ó ö í ó í ó í ü í ó í í í ű í ú ű í ö ő í í í í í í ő ö ö í í í í í í ó ö ő í ü ü ö í í ó ó ó í ö ű ű ó
ő Ú Ú ú ó ú Ó í ő ő ű ú ó ő ú ü ü ő ő ő ó í ó ü ó ő í ű ő ű í ó ü ű ő Ü ő ő ű ő ó í í ű ű ó í ű Ü ó ű Ü ű ű ó Ü ő ű ő í ó ó í ó ó Ü ó ó ó ó í ő ú ű ó ó ő ő ő ő ó í ő ó ó ó í ó í Ü ő ó ú í ó ő ü ú ő ű í
Ü Á í É Ü Ó Ü Ü ú ú Ó í Ű Ó ö ű Ö Ó Ó Ú ű Ü í ö Ó Ó ö Ü ü ő Ó Ó í í Ú í Ú Ü Ö ő Ő ő ú Ó Ó ü ö ö ö ö ú í ő ő ő ú í ü ő ő ő ő ő Á Ő ú í í ő ü ö ö ö ü ü ü ő í ő ű ö Í ú ü ú ú ö ü ö ő ü ü Ó Ó ö ö ö ú ő ő
ű ö ö ő ő ő ö í ő ö ö Ö Ö ő ő ö ő ö ű í ő ö ö í ő ö ü í ő ö í ű ő ö ő ő ő ö ő ü ü Í ő ö í ő í ö ö í ö ö ű ö ő ő ő ő í ü ö ö ő ü ő ő ő ö ő í ö ö ö í ő ű ő í í ö ü í ő ő ö ű Á í ö ö ö ü í ő ö ü ő ő ö ő í
í ő í ü í í í ú ű í í í ü í ő í Í í í ő í ő Í ü Ó ő í ő í Ü í í í ú ű í í í í Ó í Ö ő ü í ü Ö Ö ő í ő í ü ő í ő ü ő ü ü í í ü í ü í ő ő őí í í í í ü í ő ú ű í í ő ü ü í Ö Ú ú í Á É Ö Ö ű Ü í Ö í Ö ő ő
ő ö ő ő ö ő ő ö ö ő ő ü ő ö ő í ő í ö ő ö ö ü í ő ö ö ü ö Í ő ö ő ú ő ü ü ő ő ű í ö ö í ü Ö ő í ö ő ő ö ű ö ű ö ö ü ő ö ő ő ö ö ű ú ö ű ő ő í ő í ő ú ő ő ö í ő ú í ő ő ö ű í ö ő ú í ü ö ű í ú ö ű í ő í
ó ó É Á É ü ű ő ő ó í ő ő ő í ó ó ő í ő ő ő Í ő ő í ü ü Í í ő ó í ő ő ó ű ü ő ó í ő ó ó í ó í ű ő ő ő í í ő ő ó ő í ü ű ó í ő í ú ő ó ő ű í ő ő ú ő ó í ő ű ó í ő ő í ő ó í ő ő Í ű í ó ő ó ő ő í ű ó í ó
Á É É Í Ü É É Á Ú É É É É Í Ü Ü ő É Ü Ü Ú ő í í ő í ü Á í Í ü ű í í í í í ő ö í ü í ú í í í ő ü ő Ü í ö ő ű ó ű ü ú í í ú ő ő ő í ó ő ő ő í ő í í í ő í ő ű ő ő ö ü ő ő ú í Ü ő ü Í ő ö ö í ó ó ó í í í ú
ö Ö ő ö ó ö Ö ő ö ó ö ő ő ó ó ö ö ó ó ó ö ö Á ó ö ű ő ű ő ő ö Ö ö É ő ő Á ű ő ú Ú ő ó ö ő ó ö ú ő ő ó ó ó ó ő ó ö ö ö ö ö ú ő ö ö ű ó ó ö ő ó ó ó ő ő ó ó ó ö ő ó ó ó ó ö ő ó ö ő ő ö Á ő ó ó ó ó ó ö ő ő
ö ő ü Ö ö ő ö ó ö Ö ő ü ö ő ő ő ö ö ö ö ő í ő ő ő í ő ö ü ö ö ü ő ó ö ü ő Ö ö ü ó í ő ő ő ő ő ő ő í ő ö ó ö ó ó ó í í í ó ő ő ö ő ő ú ó í ö ü í í ő í ő ő ó ó ü í ő ő ö ű ó ó ö ő ő í ó í í ő ú ö ö í í ü
Ü ű ő Á Í ü ű ő ő ő ő ó ó ü ü ő ű í ő ó ü ű ő ó ó ü í ó ó ő ő ő ű ő í í í í ó ő ú ó í ű ü í ü ő ő í í ó ó ó ó ő ő ő ő ü ő í ő ó ó ő ő ó ó ü ú ó ő ő í ó ü ó í ő ó ü ű ő í ő ü ő í ő í ő ő ó ü í ü Í í ü í
ó ó ó ű ó í ő í Á ő ű ő ő í í ű ó ú ő ű ő ő ú ő ő ó í ő ű í ű ű ő ó ó ő ő ó ó í ű ú ű í ű ű ű í ó í ó ó í ő ó ű ű í ő ű ő ó ű ű í ű í í í ó ű ő í í ó ű ő ő í ű ű ű í ú í ó ó í ű ó ú ű ó ő ó ő ő ó ó ó ó
Ú Ö Ú Ü ú í í ú í ú í í ú ő í í ő ú í ű í ő í ő ő ő ő í í Ö í Ü í Ö í Í Í í Ö Ö Í ő Ö Ö Ö ú í ű í í ő ő ő ő í ő Ő Ó Ö Ö í Ú Ú Ö Ú Ö í í Í í ő ú Í ű í í ő ő ő ő í í í í ű í ű í í í ű ű í í Í í í Ó Ó ú Ü