ZOLTÁN HEINEMANN 1959/1960. tény adja meg törekvésünkhöz a gondolatot, olyan matematikai eszközöket találni, melyek ezt a

Átírás

1 1959/1960 MATEMATIKAI NEHÉZIPARI MÜSZAKI EGYETEM TANSZÉK A GEOMETRIAI KRISTÁLYTAN EGY ÚJ MATEMATIKAI MÓDSZERE* HEINEMANN ZOLTÁN A geometriai kristálytan általános, minden kristályosztályra érvényes összefüggéseinek levezetése gömbháromszögtani ismeretek szükségessége miatt nehézkes és sok esetben áttekinthetetlen Ez a tény adja meg törekvésünkhöz a gondolatot, olyan matematikai eszközöket találni, melyek ezt a hátrányt kiküszöbölni képesek A használt fogalmak (koordinátarendszer, sík, szög stb) jellege analitikai, sajnos azonban ennek módszerei mégsem alkalmasak a kívánt cél elérésére Az akadályt a koordinátarendszer általánossága képezi Az út azonban nem járhatatlan számunkra, ha sikerül a derékszögű ko Ordinátarendszerben érvényes összefüggéseket a femdeszögű (wtrirklin) rendszerre átvinni, Ez, mint azt a következőkben látjuk, lehetséges Nincs egyébről szó, minthogy a derékszögű rendszerben értelmezett skaláris és Vektorális szorzatioet formailag egyezően, de más geometriai tartalommal, bevezetjük a ferdeszögű koordinátarendszerben Az ilyenformán nyert előny a későbbiekben nyilvánvaló lesz A dolgozat három részre oszlik Az első részben a szükséges matematikai apparátust tárgyaljuk, a másodikban ezt alkalmazzuk kristálytani tételek levezetésére A harmadik rész pedig az előbbiektől függetlenül ua szimmetriacsoportok mátrix leképzését tartalmazza I_ A triklin koordinátarendszer A háromdimenziós térben triklin koordinátarendszernek nevezzük az a, b, c tetszőleges vektorok, mint bázis által alkotott koordinátarend Szent Legyen v; és v_; a tér különböző vektora, melynek koordinátái egy rögzített bázison (hl, kl, 1,), ill (hg, kg, lg) A tér vektorai között két w bázistól függő szorzatot értelmezünk; az egyik skalárt a másik Vektort ad eredményül s " A dolgozatot a Matematikai Tanszék részéről dr Hosszú Miklós egyetemi docens bírálta 111

2 a h _ 1 definíció: A v; rís szorzatának nevezzük a (II1; lg; 1,) és Vg (hg; lg) vektorok Tskalá V] *V_) hlhegfkgkgfhlg számot A szorzás könnyen beláthatóan kommutatív és dísztríbutív 2 definíció: A vl (hl, 761,11) rés v:_, (m, log, 13)vektorok Tvektoríálís szorzatának nevezzük a vektort Látható, hogy a művelet alternáló és dísztríbutív A síkot rögzített koordinátarendszer esetén tengelymetszetei, íll ezek recíprokaként képzett Millerfélre index egyértelműen definiálja Az index három tagját tekintsük egy vektor komponenseinek Így minden síkhoz egy és csakis egy vektort, és fordítva, minden vektorhoz egy és csakis egy síkot rendeltünk Ezt a vektort índexvektornak nevezzük és mmel jelöljük A derékszögű (szabályos) rendszerben az indexvektor merőleges a síkra, egyébként a sík és az índexvektor bezárt szögre tetszőleges lehet 1 tétel: Az m indexvektor és a hozzátartozó síkkal párhuzamos v vektorra m * v 0 Bizonyítás: Legyen az ábrán látható tetszőleges sík indexvektora m (hl, ki, l) így OA, OB, OC Az AB egyenes íráníyvckl r] tora 1í**,1 (í, 0 7 az AC egyenese í), l: kct vektor hneans koml binácíójával a sík tetszőleges vektorra előállítható, azaz v y(í,0,í)agv(1,í,()k_u_,_ h 1_ gh k s guqv v gf k 1, a sík tetszőleges vektora Az índexvetktor és a v Tskalárís szorzata: máeva ttlv+_v_v:m 0 2 tétel: Egy síkkal párhuzamos két Vektor Tvektoriálís szorzata párhuzamos a sík índexvelktorával 5 A felülvonás megtartva a krístálygeometriában szokásos jelölést jelent negatív előjele! 112

3 _ Bizonyítás: Tekintsünk a teákkal párhuzamos két tetszőleges (Hrkvi hkl vektort Tvektorális szorzatuk a í: b) be ég Ez (Hfkvz h,kl H1+V1 h 51 MzHVzxlh ( _, h k l h k k hkl HNL Vz É; Ez h k k J Ez valóban az indexvektorral arányos 3 tétel: Két sík metszésvonalának irányát (öv) az indexvektorok Tveilctoríális szorzata adja meg Bizonyítás: A tétel igaz, ha kielégül a következő két azonosság (1 tétel): (mi Á m2),* mi O, (m1 X m2) is m2 O Az első azonosság bal oldalát kifejtve azt találjuk, hogy fabcí ! th1k1l1i(huk1l1) h1k1l1íü M Ugyanez áll a második azonosságra Legyen fi és fg két sík normájhsainak egységvektora Az fi és Íz közönséges Vektoriális szorzata szintén a síkok metszésvonalával egyirányú vektort ad, azaz m1xm2c(í1xí2), ahol C egy arányossági tényező A 3 tétel következménye a 4 tétel 4 tétel: Ha három vektor egy síkban fekszik, akkor 1hí ki 11% lhgkg 12 o) Í hg kg 13 Az 1 tétel segítségével a sík egyenletet is a derékszögű rendszerbeli formával egyezően írhatjuk fel Ha r a kezdőponttól a sík tetszőleges pontjába mutató vektor, és 11 a sík egy adott pontja, úgy ahol m a sík índexvektora (r:r1)*nl O: 8 113

4 P/q II Kristálytani tételek Ez a rész az előző pontban tárgyaltakat hasznosítja néhány általán nos kristálytaní tétel bizonyítására Nagy részük közvetlenül következik a tételekből l Két kristálylap által meghatározott öv a két lap metszésvonalának iránya A zóna szimbólum az övet megihatározó számhármas, a 3 tétel alapján az 7 a b c Eh; kl l, l h) k"! le : [uv,w] determináns segítségével számítható 2 Az m (h, k, l) lap a z [u, v, w] zónába tartozik, ha m*z hu+kv+lw:o mivel ebben az esetben a síknak van egy olyan egyenese, mely párhuzamos zvel 3 Ha három lap egy zónába tartozik, nyilvánvalóan egy síkban feküsznek índexvektoraik A 4 tétel szerint ekkor 4 Racionális kettősviszony: Adott négy db egy zónába tartozó lap Jelölje Pl az iedig lap normálvektorát és m; (h,, ki, l,) az indexvektoráít Bízonyítjuk, hogy sin (PJ _ 77 sin (F1 F3) sín (F3 Pq) h)i/_)l!h l41 min, hmcg hghgl mi," ki 11 kgzp hghglh/kq íkglgt k4l4 h, klí v, kgl w h, h; lhvli ha ki vha 13 hé le; Jkx lx l Í 704 h h! ík 11) lkg L, Az egyenlőség bal oldala láthatóan az egy síkban fekvő Pi vektorok megfelelő sorrendben Vett vektoriális szorzatai axbszolútértékwének hányadosa, Ez az arányosság a vektoriális szorzat komponenseire, következőleg (3 tétel) az indexvekwtorok Tvektoriálís szorzataira is érvényes Fzzel összefüggésüket igazoltuk 114

5 _, III Kristályosztályok mátrix előállítása A fedési műveletek (transzformációk) összessége, melyek egy pontból, vonalakból, felületekből álló geometriai alakzatot az ndimenziós térben minden szög és távolság megtartása mellett önmagukba visznek át, csoportot alkotnak, melyet szimmetriacsoportnak nevezünk A kristályosztályok száma 32 [4], melynek mindegyike szimmetriaelemek komplexumát tartalmazza Egy kristályosztályt felépítő szimmetiiaelemek csoportot alkotnak a szimmetriaelemek kapcsolására (a szimmetriaelemnek megfelelő geometriai transzformációk egymásutáni alkalmazására) nézve E csoport egységeleme az azonos leképezés, a leképezések megfordítlhaltóvszága rruiatt létezik inverz elem, három szimmetriaelem kapcsolása független a sorrendtől, tehát asszociatív, két szimmebriaelem kapcsolása felcserélhető, vagyis a csoport kommutaltív: Abelféle Mint véges csoport, kvadratikus mátrixokkal előállítható (l [l] ) Minthogy a műszaki egyetemi hallgatóság csoportelméleti ismeretekkel nem rendelkezik, a kristályosztályokat (szimmetriacsoportokat) vektorvektor függvények segítségével állítjuk elő Egy kristályosztály lap kompltexumát az adott szimmetriaviszonyok egyértelműen meghatározzák, A pedik lap függ a tetszőlegesen felvett vagy konkrétan adott i (h, k, l) laptól, azaz ip f(i), ahol i a lapot : jellemző indexvektor Ezen függvénykapcsolat meghatározásának érdekében vizsgáljuk meg az egyes szimmetriaelemeket, ill az ezekre jellemző térelemeket Ezek a szimmetriasík, inverzióscentrum, gir (forgástengely) és a giroid (mely forgat és a forgástengely irányában alternál) Szimmvetriasík: helyzete valamely koordinátásikkal megegyező Legyen ez az a és b tengelyek síkja, úgy a szimmetriasíkra való tükrözést Sa b c a szimbólum jellemzi, ahol a felső sor az eredeti, az alsó a (a b transzformált bázisvtektotrok Az 1,; f(i) kapcsolatra minden további z nélkül belátható, hogy _f(2 i) Áf(i)_, valamint f(i1 +ig) f(i1)+f(ig), így irt Ai, ahol 1 0 o tlínlv o; o, 0 o (1)"_ amelyben x 1,2 A felső index a szimmetriaelem helyzetét jellemzi Inverzióscentntm: Ha a középpontra nézve tükrözünk, akkor ip ii Gir: 2, 3, 4, 6 értékű lehet Ha a c tengely iránnyal egybeesik, úgy látható, hogy á Lábra IMÉL" a l) cl Iacosacwbsinoc: asinocgbcosoc; cl Bát 115

6 _ 8 a v a m 275 jellemzi a forgatást, és az 2 dachz,, ahol n a frorgástengely értéke, K pedig 1,2, n A fü vén ka solat itt is lineáris és homo, Y PC én, a transzformáció mátrixa tehát I 2x, cos r asm x 275 _ 0 ll 2x sin 74 coszm 0 n n 0 o 1_ hasonlóképpen 113,? és Agi] Giroid: A digiroid azonos a centrális tükrözéssel, a trigiroid egy trigir és egy szimmetniasiík, a hexagiroird trígir és centrális tükrözés kombinácjíója Az eddigiekbe egyedül a tetragiroid nem illeszthető bele, így azt külön Vizsgáljuk meg Legyen a giroid tengelye c, úgy mivel n r: _ coszw esmzw 0 r: 2 N) 4, W A?" smz, f! n és z l, ), 3 4 coszx i O 0 (AIFH A szabályos rendszer tartalmaz még (l, 1, 1) irányú trigirt is, melyre abc Xbca (cab Agl;A2,A;,O, AÍ:1;Al7A: :O7 A3l;A1,A ill 2400 elforgatása után, az egyszerűsítő jelölést figyelembevéve A] A: A; Agy) A, A, A, A2 As; Ax Amint már említettük, a kristályosztályok ezen egyszerű elemek kombinációjából állnak, ez matematikailag a megfelelő lineáris transzformációk egymásutáni alkalmazását jelenti Azaz i,, A1(vl2(A3 (A,,i))) Ezen művelet asszociatív, így í,, (A, A, va,,)i 116

7 Természetesen adott szimmetriakomplexumokhoz csak a megfelelő szimmetriát mutató tengelyelrendezés tartozhat szemléletesség kedvéért a tetraéderes pentagondodekaéderes osztály (jele T) felépítésért megvizsgáljuk A 2 ábrán a (h, k, l) általános lappal jellemzett kristály sztereografikus képe és az osztálynak megfelelő szimmetriaelemek láthatók A teljes lapforma egy trigirrel és két egymásra merőleges digírrel előállítható A digiwrek: i1 0 o (_1) 0 0 Agg o (gmk, 0 ; 0 (1)2 0, o o (égnii o o 1j ahol k, 1,2 és kg 1,2, így T N) g? kiabál" le; (4401: (,12)k: (_A3)k (_Ag)ki + (_Al)ln + 1: (_A2)k1 1ig _ ( A2)k (_Ag)l;i (k_a1)ln 153% 24 ábra Látható, hogy a lehetséges kombináció , ez a maximális lapszám, A pentagonikozitetraéderes osztály (jele O) egy szimmetriacentrummal több, így O it Ha a (h, k, l) lap valamely transzformáltja az [u, v, w] övbe tartozik és az osztály tenzora A, úgy [u, iawlaüls k, W Ük k, llali (un v, WY: 0 Ha ismert tehát egy zónairány, úgy A*z által meghatározott valamennyi zóna a kristályon megtalálható A* az A transzponáltja IRODALOM [l] Madelung, E: Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers SpringerVerlag, Berlin, 1950 [2] Mauritz BélaVendl Aladár: Általános ásványtan Bp 1941 [3] Erdélyi János: Kristályszámítás és kristályszerkesztés Bp 1954 [4] Bruckhardt, J J,: Die Bewegungsgruppen der Krístallographie Basel, 1947 HOBbIH MATEMATHHECKHH METOII B FEOMETPMHECKOÜ KPHCTAIIJIOFPAOI/Il/l 3 XEVIHEMAHH P E 3 K) M E Bmnoa oőuicgicüctsxiregibubix Baausiocasuseü B lc0xlci*piilcckoílkpiicta ;iorpaq;u1 BBHIIy aaaxmsi cqiepnqecicoü TpI/IFOHOMCTpHH HBJlííeTCH necbma sarpyaunrenbnbui u He oőecneuusaer aonmuoü HEIFJIHJIHOCTH LIII?! pememm atoü HPOŐJICMHaBTopoM nacim MaTCAlaTl/HECKHÜ mcroa, B KOTOpOM Bsanmocnnsn, zieüctsnrcnbhbie B npnxioywronbnoü cuc TeMc KOODIIPIHZITLI HCDOHOCHTCH Ha TpmcnnHuyro cncreiuy 117

8 EIN NEUES MATHEMATISCHES VERFAHREN DER GEOMETEISCHEN KRISTALLEHRE Z HEINEMANN ZUSAIVIMENFASSUNG Díe Ableitung der für allgemeine Kristallklasselu geltenden Formeln der geo! metrischen Krístallehre ist wegen der notwendígen Kenntnís der sphárischen Trigonometríe schwierig und schwer übersicht1ich_ Der Verfasser des Aufsatzes führt ein mathematisches Verfahren zur Lösung des Problems Vor u zw indem die ím rechtwinkligen Koordinatensystem geltenden Gleíchungen auf das schiefwinkligc (trikline) System übertragen werden A NEW MATHEMATICAL METHOD OF GEOMETRICAL CRYSTALLOGBAPHY Z HEINEMANN S U M IVI A R Y The relationships of geometrícal crystallography valid for general classes 01 crystals are difficult 10 deduce on account of a thorough knowledge of spherical trigonometry required In the present paper, thé author presents a mathematiczu method to solve the problem by transferring the relationship valid in rightanglc coordínate system into the oblique coordinate system UN NOUVEAU SYSTÉME MATHEMATIOUE DE LA CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIOUE Z HEINEMANN R É S U M É La déduction des connexions applicables á la classe de crístal générale de la cristallographie géometrique est cownfuse et elle est difficile á comprendre á cause de la nécessité des connaissances de la trígonométrie sphérique Dans cette étude Pauteur présente une méthode mathématique pour la solution du probléme, de sorte quil fait passer les connexions applicables dans le systéme de coordonnées rectangulaire au systéme obliquangle (triklin) 118

9 NEHEZIPARI MÜSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI A IX KÖTET A NME Tudományos Diákegyesületében készült hallgatói tudományos munkák gyűjteménye Szerkesztő bizottság: Dr_ FALK RICHÁRD Dr_ GELEJI SÁNDOR Dr TERPLÁN ZÉNÓ MISKOLC 1964

10 A kötet ábráit HERCZEG egyetemi ISTVÁN adjunktus Dr VINCZE ENDRÉNÉ tanszéki technikus és SCHOLTZ tanszéki PÉTERNÉ mechanikus készítette Nehézipari Műszaki Egyetem, Miskolc "x suuafüf+*"""vwu EIEHEUXPEMH augzíki (ami: mm

11 A NEHÉZIPARI MÜSZAKI EGYETEM MAGYAR NYELVÚ KÖZLEMÉNYEI IX KÖTETÉNEK TARTALOMJEGYZÉKE Asszonyi Csaba: A lineáris programozás alapfeladatairól Balás LászlóZsákay János: Az atomenergia alkalmazásának lehetőségei abányászatban Becker Miklós: A Siemensdinamó hegesztési sajátosságai Béres ÁrpádKováts Attila: Kromálás alkalmazása az Öntöttvasak területén és ennek vizsgálata Bornemissza ImreGerentsér ImreFruzsina János: A komlói szénelőkészítőmű légszereiből kikerülő középtemmék utánmosásának gazdaságossági vizsgálata Csizmadia Lajos: Palástmarófog feszültségvizsgálata optikai úton Debreczeni Elemér: Egy görbesereg nomogram Dér ÉvaPalotás ÁrpádSólyom Jenő: Az acélok edzésekor fellépő méret Változások okainak kísérleti vizsgálata Deres János: A radiológiai módszerek alkalmazási lehetőségei a pécsi kőszénbányászatban Egerer Frigyes: Radioaktív karottázs alkalmazása a barnakőszénkutatásban Fodor LászlóHerendi RezsőSzermek OttóVoith Márton: Vas és szilícium hatása az AlMg3 ötvözetre Gulyás Gábor: A mérőszámos ábrázolás alkalmazása a szerszámszerkesztésben Heinemann Zoltán: A geometriai kristálytan egy új matematikai módszere Héjjas István: A pantográi torzításra vonatkozó transzformációs egyenletek Héjjas István: Közönséges harmadrendű differenciálegyenletek grafikus megoldásáról Hrabéczi Jenő: Hidropneumatikus fúróaggregát továbbfejlesztése Kováts Attila: A Cgörbék vizsgálatáról S Nagy SándorBánszki János: Csavarkulcs optikai feszültséganalízise Rédei András: Blokkhengerállvány optikai feszültségvizsgálata Scholtz Péter: Egyszerű kiegyensúlyozó gép terve Szenyán J ózsefvida László: Az öntöttvas folyékonysága, ill_ formatöltő képessége Tatár Iván: Főforgácsoló erő mérése esztergapadokon Zitás István: A méretmegadás szabványai

12 , TPYLILI BlI/IIJJKOJILIHLCKOPOIIOJIIITEXHHLIECKOPO IIHCTIITYTA THPREJIOII IIPOMHIIIJIEHHOCTI/I (BEHPPI/IH) COLIEPHiAHIIE, H AcoHu: Ocnonmao zsanauu nnueüuoro nporpasuxuponanua JI BaJamH Jhauan: BOSMODRHOCTH IIPYIMBHOHPIH aromuofi auepmn n ropuoaanogcmoü npomhmnehhoqtn M Belmep; CBapoqHHe ocoóehnocm mzruamo GnMeHca A BepemA IioBau: HpnMeHeHHe xpomannpobahna npn Bmpaóorxe uyryna II BopHeMnccaII POpeHTJJIepH Hpymnna: ÜICOHOMHHHOGIW) xenon Hnrenbnoro oóorameuna nposxemytcoqnoro Ilponynra, noayqaemoro m; BOHaymnmx RJIaGCIHIHIRaTOPOB (baópnxcn B Kmmo JI Llnazxxazma: Onmqecxnü Meron uccsxejlobaunzi Hanpamermü na ayóue Immztrupecnoro (ppeaepe i) Heópenenn: Honorpamra nyrnca IípHBHX í) liepa HaJoTauhE IIIOÍZÍOM; Hxcnepuxrenraabnoe HCCJIOfLOBaHIIB npn rmh HBMGHGHIDI paamepoa upn sarcamce crann H liepem: Bosnoncnocru npxmenenne PaJHOJOIYHIGCKIlX MGTOJOB B noóuue Raxuennoroyrzxannlleq (D Brepep: HpnMeHeHne pannoaxcmnxxoro kapartama, B noncne óyporo Kamc HHOFO ymn, II Í?o;LopZI XGPBHJHO CepMeHM BoüT: BJnuHne JiICOpOIIIIJIX JKGIIBOOM n Icpemmen Ha onnan AaMra 1 Pyxm: IIpuMeHeHne naoópaatennn namepxmenbnnmn nmppaxln n IIpOGKTHpoBaHuu oópaóarusammnx HHOTpyMeHTOB 3 Xeünemaxx: Honuü starexxamqecnrxü nem: reonempnqccxcoíá RpIICTaJJOFpadHHJ II Xemn: Tpancdaopxaunonuue ypabhehi/ih, omocamuecu 1; ncxcaazeurxn) nan Torpaxpa H Xeam: Fpatfn/Iqecxoe pemchrxe OŐhIICHOBBIíHHX AudMpepeHnnanxunnx ypan Hennü TPBTbBÜ creneux: E Xpaóeun; Ycorsepmeucmonauue rnnponuenmawlnleokom cnepnnslnnom arr perawa A IioBaq: I/Iccnegonanne npmsux C III III HaPbH Baucun: Onruuecuxxü auazms HaIIpHJKeIIIIH npn nuroron JIOHMH raeqnoro mroua A Pegen: OIITHHBGKIIÜ nccnegonauxxs; Hanpnmexiua Ha CTaHHHG Gnxommra TuIḤloan: IIpocToü ŐaIaHCIIPOBOHHHÜ CTaHOIC H CenaHÍI Bajna: Tenyuecrs qyryna I/I TaTap: Ha I/IBMBPBHKBycnmn peaanna TonapHoM ctahkb H_311Ta1u:CTaH,xa1)THnpocwannenmx paamepos ;,,

13 MITTEILUNGEN DER TECHNISCHEN UN IVERSITÁT FÜR DIE SCHWER INDUSTRIE, MISKOLC (UNGARN) INHALTVERZEICHNIS Cs Asszonyi: Über die Grundaufgaben der linearen Prograrrxierung L BalásJ Zsákay: Anwendungsrrxöglichkeiten der Kerneneergie im Bergbau M Becker: Die SchWeisseigenschaften der SiemensDynamomaschine Á BéresA Kováts: Anwendung des Chromierens bei Gusseisen und entsprechendeprüfung I BornemisszaI GerentsérJ Fruzsina: Wirtschaftlíchtkeituntersuchung deur Nachwásche des aus den Windsicherten der Kohlenaufbereítungsanlage Komló gelangenden Zwischeaaproduktes Csizmadia: Optische Spannungsprüfung von L Walzenfráserzáhnen E Debreczeni: Ein KurVenscharNomogram É DérÁ PalotásJ Sólyom: Experimertelle Untersuchung der Ursachen der beim Hárten von Stáhlen auftretenden Massveránderungen J Deres: Die Möglichkeiten der Anwendung der RadiologfieVexfahren ím steinkohlenbergbaupécs F Egerer: Anwendung radioaktiver Carottage bei der Braunkohlenschürfung L FodorR HerendiO SzermekM Voith: Einfluss von Eisen und SiliziumVerunreinigungm auf die AlMgaLegierung G Gulyás: Anwendung devr Kennzifferdarstellung bei der Werkzeugkonstruktion Z Heinemann: Ein neues mathematisches Verfahren der geometrischen Kristallehre I Héjjas: Die Transfomnationsgleichungen betreffend Verzerrung des Panthographen I Héjjas: Über die graphische Lösung normaler Differentialgleichungem drirttengrades J Hrabéczi: Weiterentwicklung des hydropneumatischen Bohraggregwats A Kováts: Über die Unltersuchung detr CKurve S S NagyJ Bánszki: Optische Spannungsanalyse von SchraubenSchlüsseln A Rédei: Optische Spannungsprüfung des Blockwalzgerüstes P Scholtz: Plan einer einfachen Auswuchtmaschine J SzenyáwL Vida: Die Fliesbarkeit bzw Formenfüllfáhigkeit von Gusseisen I Tatár: Untersuchung der Spankraft auf Drehbánxken I Zitás: Normen der Massangaben

14 PUBLICATIONS OF THE TECHNICAL UNIVERSITY OF THE HEAVY INDUSTRIES, MISKOLC (HUNGARY) INDEX Cs Asszonyi: On fundamenrtal tasks of linear pmgrammjng L BalásJ Zsákay: Potentíal uses nuclear energy ín of míníng M Becker: Weldíng characterístícs of Síemensdynamo Á BéresA Kováts: The applícation of chromatíon to cast írons and íts testíng I BornemisszaI GerentsérJ Fruzsina: An inquíry on the economy of susequeint washíng of the middlíngs obtained Írom aír jígs of the coal separatoratkomló Csizmadia: Optícal testíng L of tensíons ín a cutter sídetooth E Debreczeni: Nomogram of a set of curves É DérÁ PalotásJ Sólyom: Experímental ínvestígation of the causes of, changes in síze of steels occurríng duríng hardeníng J Deres: Potentíal applícatíons of radíology ín the coal míníng at Pécs F Egerer: The applícation of radíoactive survey unit (carotage) ín prospectíng forbrowncoal L FodorR HerendiO SzermákM Voith: The influence of íron and sílícíum impuritíes ín AlMgg alloys Gulyás: The applícatíon of índexnumber G layout drawing ín tools design Z Heinemann: A new níathematícal method of geometrícal crystallography I Héjjas: Transfornuation eqííatíons relatíng to the dístortíon of panthographs I Héjjas: On the graphic solutíon of ordínary dífferentíal cubíc equations J Hrabéczy: Improvement to a hydropneumatíc bore agregate A Kováts: On the ínvestígatíon of Ccurves a wrench S, S NagyJ Bánszky: Optícal tensíon analysís of A Rédei: Opticad tensiíon analysís of a blockroll stand P Scholtz: Shematíc design of a símpl balancíng machíne, J SzenyánL Vida: The fluídity of cast íron or its capacíty to fíll the mould I Tatár: Measurement oí cuttíng force ín lathes I Zitás: Standards of dimensíoníng 220

15 SzenyánL, ANNALES DE UUNIVERSITÉ DE LTNDUSTRIE LOURDE DE MISKOLC (HON GRIE) TABLE DES MATIÉRES Cs Asszonyi: Des táches fondamentales de la programmation linéaire L BalázsJ Zsákay: Les possibilités dapplication de Pénergie atomique dans lindustrie miniére M Becker: Caractéristíque de soudage de la dynamo Siemens Á BéresA Kováts: Applicatiown de chromage dans le domaíne des fontes ewt sonexamen, I BornemisszaI GerentsérJ Fruzsina: Examen déconomíe du relavage du mixte sortant des classeurs á vent de la régie Komló povur la preparation du charbon L Csizntadia: Essai de tension par voie optique de la dent á fraiser la surface E Debreczeni: Un nomogramme de courbe nombreuse É DérÁ PalotásJ Sólyom: Essai expérimental des causes de changement de dimensions survenu á loccasion de la trempe des acíers J Deres: Les possibilités dapplication des systémes radiologiques dan Pexploitatíon des mines de houlle de Pécs F Egerer: Application du carottage radíoactif dans la prospection de laligrmite L FodorR HerendiO SzemnekM Voith: Action de Fimpureté de fer et de sílicium dans Palliage AlMgg G Gulyás: Application de la descriptions de numero de mesure dans la conwstruction doutils Z Heinemann: Un nouvewau systéme mathématique de la cristallographie géometrique I Héjjas: Équations de transformation consernant la distorsion du pantographe I Héjjas: De la solution graphique des équations dífférentielles communes de troisiéme ordre J Hrabéczi: Développemevnt progressif de la Pagrégat de forage hydropneu v A Kováts: De lessai des courbes C S S NagyJ Bánszki: Analyse de tension optique de la clef á écrou A Rédei: Essai de tension optique de Péchafaud cylindre monobloc de P Scholtz: Plan dun compensateur simple J Vida: État liquide de la fonte, resp sa capacité de remplissage de forme I Tatár: Mesure de la puissance de coupe principale sur les bancs de tour I Zitás: Les normes de Pindication des measures 221

16 2509 F Felelős kiadó: Dr Terplán Zénó Megjelent 500 példányban, 19,5 A,5 ív terjedelemben Borsod megyei Nyomdaipari V, Miskolc v: Méry György