A nehézségi erőtér meghatározása inverziós módszerekkel. Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2015/16
|
|
|
- Zoltán Gáspár
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A nehézségi erőtér meghatározása inverziós módszerekkel Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2015/16
2 Miről lesz szó? inverziós módszerek a nehézségi erőtér paraméteres felbontása (bázisfüggvények, paraméterek LKN paraméterbecslés az erőtér paraméteres szintézise
3 Az inverziós módszerek alapgondolata A nehézségi erőtér W( potenciálfüggvényét alkalmas B(, k bázisfüggvények segítségével a következő alakban írjuk fel: =å k W ( ck B(, k a c k -k egyelőre ismeretlen inverziós együtthatók, amelyeket inverzióval határozunk meg
4 Az inverziós együtthatók meghatározása i-vel jelölt mérési pontokban ismerjük a W( i potenciál értékét és az k pontok (bázispontok helyzetét ismerve (túlhatározott lineáris egyenletrendszert állíthatunk fel a c k együtthatók kiszámítására (inverzió és optimális becslést végzünk (e( i eltérések normája minimális =å W ( + e( c B(, i i k W» Bc k i k
5 Az inverziós együtthatók meghatározása ismeretlenek vektora: c = [c 1, c 2, ] a mérések vektora: W = [W( 1, W( 2, ] a bázisfüggvények mátria: ú ú ú û ù ê ê ê ë é = O M M L L, (, (, (, ( B B B B B W B B B c T T 1 ( - = min 2 2 = - = W Bc e
6 Szintézis A nehézségi erőtér W( potenciálfüggvényét tetszőleges helyen a B(, k bázisfüggvények segítségével kiszámíthatjuk: =å k W ( ck B(, k a c k -k a meghatározott inverziós együtthatók
7 Az inverziós megoldások különböző szempontjai A bázisfüggvények megválasztása gömbfüggvények (gömbi koordináták, speciálisan megválasztott függvények, pl. kovariancia függvény két- ill. háromváltozós polinomok (síkkoordináták Az együtthatók megválasztása LKN kollokáció: pontbeli adatokhoz rendelt súlyok gömbi radiális bázisfüggvények súlyai (SRBF Az alappontok megválasztása zérus helyzet (egy argumentum: B( speciális pontrendszer (pl. Reuter-rács, vagy adatpontok (LKN kollokáció, vagy maszkonok (tömegpontok optimális ponteloszlás becslése is az inverzió tárgya
8 Az inverziós megoldások különböző szempontjai A mérések megválasztása potenciálkülönbségek (geopotenciális érték nehézségi rendellenességek függővonal-elhajlás összetevők Eötvös-tenzor elemei (második potenciál deriváltak Az inverziós módszerek egyik nagy előnye, hogy bármilyen típusú mérést közvetlenül bevonhatunk a meghatározásba
9 Az inverziós módszerek előnyei Mindenfajta, nehézségi erőtérre vonatkozó mérés felhasználható Szabatos LKN kiegyenlítést végezhetünk a paraméterekre (inverziós együtthatókra az adatok összes hibajellemzőjét figyelembe vehetjük a megoldás (becslés az összes hibajellemzőt szolgáltatja az inverziós együtthatókra az együtthatókból levezetett bármilyen további mennyiség hibajellemzőit is meghatározhatjuk hibaterjedéssel
10 Az inverziós módszerek hátrányai Gyakran nagyméretű egyenletrendszer megoldásához vezet (főleg az LKN kollokáció Gyakran szükséges a megoldás regularizálása a megoldandó egyenletrendszer rosszul kondicionált volta miatt a regularizációs paraméter gondos megválasztására van szükség a megfelelő paraméter helyes választásától függ a jó megoldás elérése (pl. α paraméter a Tikhonov-féle regularizáció esetén: c T -1 = ( B B+ a I B T W
11 Legkisebb négyzetes (LKN kollokáció bázisfüggvény = kovariancia függvény a kovariancia függvény illeszkedik az erőtér statisztikai szerkezetéhez (fokvarianciák bázispontok = mérési pontok a mérési pontok számával azonos számú ismeretlen együtthatót kell meghatározni (nagy a számításigény nem mért pontokban becsüljük az erőtér valamely jellemzőjét: ez a LKN predikció probléma: a predikált erőtér kovariancia függvénye nem egyezik a felhasznált adatok kovariancia függvényével (= megtagadja saját modelljét
12 Kovariancia függvény térben / felületen eloszló mennyiség (pl. Δg statisztikai jellemzésére szolgál: Δg(φ, λ Mi a Δg-k átlagos nagysága? (σ egységgömb, M{ } az átlagolás M 1 4p ez a mérőszám nem jó { Dg} = Dg ds = 0 a szórásnégyzet (variancia már megfelelő: var òò s 1 4p { D } = { D 2 g M g } = òò D s g 2 ds
13 variancia négyzetgyöke a szórás rms { } { } { 2 } Dg = var Dg = M Dg pl. a teljes földfelszínre a Δg-k szórása ±35 mgal a variancia fogalmának általánosítása a kovariancia (autokovariancia függvény : a Δg Δg' szorzat átlagos értéke a P és P' pontok r távolsága függvényében { Dg} = M{ Dg Dg} r ' g C D = ( r = covr PP az r = 0 értékű kovariancia a variancia: D C g { Dg} = M{ D 2 } ( 0 = var g
14 Mit mutat a kovariancia függvény? a kovariancia függvény g és g statisztikai korrelációját méri, vagyis azt, hogy mennyire azonos előjelűek és nagyságúak egy adott r távolságban levő g értékek C(r C 0 C 0 /2 ζ r
15 Hirvonen kovariancia függvénye C( r = 1+ C ( r 0 / d 2 C 0 = 337 mgal 2, d = 40 km
16 Kovariancia függvény modellezése Az egyváltozós kovariancia függvényt általában bázisfüggvények rendszere (P n Legendre polinomok szerint haladó végtelen sorba fejtjük e sorfejtés együtthatói a σ n fokvarianciák, ( 4 1 2, ( k n n n n k P r R R n B s p å = + ø ö ç è æ + =
17 Más mérési típusok felhasználása a T potenciálzavarral (T = W U függvénykapcsolatban álló mennyiségeket vizsgálunk: N geoidmagasság Δg nehézségi rendellenességek (ξ, η függővonal-elhajlások N = T g Dg =- T r - 2 T r = 1 gr T J 1 T h =- grsinj l
18 Magyarországi példák 1. asztrogeodéziai geoidmegoldás számítása függővonal-elhajlás adatokból 2. geoidszámítás gyors kollokációval nehézségi rendellenességekből 3. nehézségi rendellenességek számítása Eötvösinga mérésekből 4. illesztett asztrogravimetriai, gradiometriai, GPS/szintezési kvázigeoid megoldás 5. asztrogeodéziai és GPS/szintezési megoldás EGM2008-as geopotenciál modellel
19 Asztrogeodéziai geoid OGPS 340 szintezett pontján az illeszkedés ±14 cm-es szórással
20 Geoid gyors kollokációval
21 Nehézségi rendellenességek
22 HGTUB2007 magyarországi kvázigeoid megoldás illesztett asztrogravimetriai, gradiometriai, GPS/szintezési kvázigeoid megoldás GPM98CR / GGM02CB geopotenciális modell (720 fokig felhasznált adatok: 6678 átlag szabadlevegő nehézségi rendellenesség 2 3 méretű blokkokra 276 (2 138 asztrogeodéziai függővonal elhajlás 7452 Eötvös-inga nehézségi gradiens összetevő 95 GPS/szintezési pont 267 EGG97 kvázigeoid magasság (az országon kívül DTM adatok: SRTM3
23 Adatok
24 Adatok
25 Kovariancia függvények Térbeli logaritmikus kovariancia modell (Forsberg, 1987 ( ( å = =- D D ln, ( 2 1 i i i i h h h h D s h h D C g g C a
26 HGTUB2007 kvázigeoid undulációk
27 A kvázigeoidmegoldás illeszkedése az OGPSH pontjaira: ± 2.1 cm (eltérések szórása, ± 6 cm (ma/min az EUVN pontjaira (7 db: ± 4.2 cm (eltérések szórása
28 Asztrogravimetriai és GPS/szintezésre illesztett megoldások eltérése GPS/szintezési problémák?
29 Horváth Tamás, FÖMI
30 5. Asztrogeodéziai és GPS/szintezési megoldás EGM2008 modellel Szűcs Eszter (2009 diplomamunkája felhasznált adatok: 138 pontbeli (ξ, η 340 szintezett OGPSH pontbeli unduláció EGM2008 geopoteciál modell (2160 fokig és rendig, C nm és S nm együttható N számítása 2 3 felbontású rácsra
31 Az elkészült asztrogeodéziai megoldás
32 Probléma: LKN kollokáció túlzott simító hatása eredeti jel C. Kotsakis LKN kollokált jel
33 Erőtér modellezés gömbi radiális bázisfüggvényekkel Tetszőleges F erőtér mennyiség becslésének funkcionális modellje F( r i + e( r i = F(r i mérés e(r i mérési hibák (javítások segítségével az k inverziós paraméterek becsülhetők lineáris egyenletrendszer keletkezik ez akkor igaz, ha az r k bázisfüggvények helye adott szabályos rácson vagy szabálytalan ponteloszlásban ha az r k bázisfüggvények helye is ismeretlen, nemlineáris az egyenletrendszer K å k= 1 k B( r i, r k
34 Gömbi radiális bázisfüggvények (SRBF A nehézségi erőtér regionális modellezését teszik lehetővé lokalizált harmonikus függvények: B( r i, r k N = ma å n= N min (2n æ + 1 ç è n+ 1 r k hely és a b n együtthatók szabadon megválaszthatók r k = adatpontok és a b n = fokvarianciák: LKN kollokáció b n = 1 minden n-re: Shannon RBF tömegpontokkal (ún maszkon való erőtér modellezés szoros kapcsolatban vannak a gömbfüggvényekkel r r k i ö ø b n P n (ˆ r i rˆ k
35 Shannon RBF (Nmin = 200, Nma = 700
36 Reuter rács A gömbfelszínen homogén ponteloszlás A rács c paramétere a felbontást jellemzi
37 SRBF erőtér modellezés előnyei paraméterbecslés a mérési adatok teljes hibajellemzőinek figyelembe vételével, a kiegyenlítő számítások szigorú eszköztárával a lokális bázisfüggvények helyzete, távolsága, spektrális jellemzői adaptálhatók a rendelkezésre álló adatok felbontásához és jellemzőihez a bázisfüggvények k paramétereiből közvetlenül gömbfüggvény együtthatókat kaphatunk (pl. fokvarianciák számíthatók! különböző típusú erőtér adatok kombinálhatók (GPS, szintezés, geopotenciális értékek, nehézségi rendellenességek, függővonalelhajlás összetevők, Eötvös-inga mérések, mesterséges holdas mérések, GRACE, GOCE az ismeretlenek száma azonos a bázisfüggvények számával (LKNK: az adatok számával azonos
38 Regularizáció Tikhonov-féle regularizáció regularizációs tényező kiinduló becslése iteratív finomítás Cél: fizikailag értelmes megoldás meghatározása e Γc = Bc-W + Γc 2 2 = min
39 Miért szükséges a regularizáció? regularizációs tényező sajátérték száma
40 A mérések relatív súlyainak meghatározása A mérések relatív súlytényezőinek iteratív becslése VCE: Variance Component Estimation (Koch és Kusche, 2002 a regularizációs tényező is meghatározható súlytényezőként
41 A meghatározott paraméterek
42 A paraméterek kovariancia mátria
43 Bemenő adatok (összesen: nehézségi rendellenesség függővonalelhajlás GNSS/szintezés Eötvös-inga mérések vízszintes és görbületi gradiensek
44 Adatok redukciója EGM2008 EIGEN-6C4 (Förste et al GOCE DIR R5 és EGM2008 ERTM2160 nagyfelbontású DTM az RTM redukció elvégzéséhez (Hirt et al. 2014
45 Eredmények: paraméterek és hibáik SRBF paraméterek paraméterek relatív hibái 1633 paraméter
46 Eredmények: kvázigeoid becsült maradék kvázigeoid becsült kvázigeoid hibák
47 Eredmények: W z, W yz modellezett része
48 GPM-ek összehasonlítása a három geopotenciális modellel kapott eredmények
49 Eltérések a VITEL 2014 pontokban nem cm pontos geoid
50 Potenciálfüggvény inverziós előállítása polinomokkal A meghatározandó W(,y potenciálfüggvényt kétváltozós P n ( polinom bázisfüggvények szerint bontjuk fel B j együtthatókkal: W (, y = P n åå n= 0 i= 0 B j P i ( y P l ( n( n+ 1 j = + 2 i l= n- i
51 Hatványpolinomok és együtthatók ( ( B y B y B B y B B B P y P l i j n j l i
52 GNSS/szintezés és függővonal-elhajlás mérések GNSS/szintezés:, (, ( y N y W g = függővonal-elhajlás összetevők:, (, (, (, ( y y W y y W y gh g =- =-
53 GNSS/szintezés és függővonal-elhajlás mérések GNSS/szintezés: függővonal-elhajlás összetevők: åå = = = P n n i l i j P y P B y N 0 0 ( (, ( g åå = = = - P n n i l i j P y P B y 0 0 ( (, ( g åå = = = - P n n i l i j P y P B y 0 0 ( (, gh(
54 Példa: inverziós teszt számítás
55 folytatás: alkalmazott szoftverek
A nehézségi erőtér meghatározása inverziós módszerekkel. Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2018/19
A nehézségi erőtér meghatározása inverziós módszerekkel Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2018/19 Miről lesz szó? inverziós módszerek a nehézségi erőtér paraméteres felbontása (bázisfüggvények, paraméterek)
A fizikai geodéziában alkalmazott szoftverek áttekintése. Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2015/16
A fizikai geodéziában alkalmazott szoftverek áttekintése Fizikai geodézia és gravimetria MSc 201/16 Áttekintés Számítások geopotenciális modellekkel Spektrális eljárásokon alapuló szoftverek LKN kollokáció
A fizikai geodéziában alkalmazott szoftverek áttekintése. Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2018/19
A fizikai geodéziában alkalmazott szoftverek áttekintése Fizikai geodézia és gravimetria MSc 2018/19 Áttekintés Számítások geopotenciális modellekkel Spektrális eljárásokon alapuló szoftverek LKN kollokáció
A Föld alakja TRANSZFORMÁCIÓ. Magyarországon még használatban lévő vetületi rendszerek. Miért kell transzformálni? Főbb transzformációs lehetőségek
TRANSZFORMÁCIÓ A Föld alakja -A föld alakja: geoid (az a felület, amelyen a nehézségi gyorsulás értéke állandó) szabálytalan alak, kezelése nehéz -A geoidot ellipszoiddal közelítjük -A földfelszíni pontokat
7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK
7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK A földi nehézségi erőtérnek alapvetően fontos szerepe van a geodéziában és a geofizikában. A geofizikában a Föld szerkezetének tanulmányozásában és különféle ásványi nyersanyagok
Matematikai geodéziai számítások 6.
Matematikai geodéziai számítások 6. Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 6.: Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre
Matematikai geodéziai számítások 6.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr. Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 6. MGS6 modul Lineáris regresszió számítás elektronikus távmérőkre SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi
Az Eötvös-ingától a GOCE műholdig
Az Eötvös-ingától a GOCE műholdig Földváry Lóránt BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék Elhangzott előadás a Magyar Mérnök Kamara, Geodéziai és Geoinformatikai Tagozatának taggyűlésén, Budapesti Műszaki
Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása II. 7. előadás
Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása II. 7. előadás Tartalom sztochasztikus folyamatok mintavételezés (lásd Fizikai geod.) LKN kollokáció (lásd Fizikai geod.) geostatisztika, krigelés szűrések
Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
ű Ö ö ü Ö ö ú ú Ö ü ö ú ü ö ü ö ö ö ü ü ü ö ö ű ü ö ö ü ö ö ü
ö ő ö ö Ó ő ü ü ű ö ö ü ö ö ö ö ö Ö ö ő ő ő ő ö ö Ö ő ü ö ú ő ő ő ú ü ő ő ű ő ú ö ü Ó ő ö ő ő ű Ö ö ü Ö ö ú ú Ö ü ö ú ü ö ü ö ö ö ü ü ü ö ö ű ü ö ö ü ö ö ü ö Ó ő ü ű ű ő ö ő ő ő ő ő ő ű ő Á Ö ö ü Ó ü Ó
ó ő ü ú ú ó ó ü ú ú ő ő ó ó ü ó ú ü ő ó ü Ü ó ó ó ó ő ó ó ő ó ő ó ó ó ő ő ó ó ő ó ú ó ó ó Ú ő ó ő ó ő ó ő ő ó ő ő ó ó ő ő
ü ó ó ó ü Ő Ü ü Ü óú Ü ő ó ó Ú Ú ó ó Ú ú ő ó ő Ü ó ó ó ó ő Á ó ó ő Á ó ü ő ü ő ő ű ó ő ó ú ó ó Ú ő ű ő ó ő ő ü ő ü ó ő ü ú ú ó ó ü ú ú ő ő ó ó ü ó ú ü ő ó ü Ü ó ó ó ó ő ó ó ő ó ő ó ó ó ő ő ó ó ő ó ú ó
ü ü ó í ö Ö ü ó ö ö Ö ü ö Ö ö ö ö ö ú ö Ó ö ú ö í ö í ö ü ú ü ó í ú ü ó í ö ö ú ó ó ö ü ó ü ö ö ö
ö ü Ő Ö ü ö ó ü ü í ü ö ö ö ö ü í ü ü ö ó í ö ú ö ö ö Ö ö ó ó ó ü ü ó í ö Ö ü ó ö ö Ö ü ö Ö ö ö ö ö ú ö Ó ö ú ö í ö í ö ü ú ü ó í ú ü ó í ö ö ú ó ó ö ü ó ü ö ö ö ö ö ö ö ö ö í ö ü ú ö ö ö ö ö ö í ö í ü
LOKÁLIS IONOSZFÉRA MODELLEZÉS ÉS ALKALMAZÁSA A GNSS HELYMEGHATÁROZÁSBAN
LOKÁLIS IONOSZFÉRA MODELLEZÉS ÉS ALKALMAZÁSA A GNSS HELYMEGHATÁROZÁSBAN Juni Ildikó Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem BSc IV. évfolyam Konzulens: Dr. Rózsa Szabolcs MFTT 29. Vándorgyűlés,
ő ű É Ó Ü É É É É Ü Ö É É É ű É Ö É Ü É Ú Ó ő Ó
Ú Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ú Ú Ú Ü É Ü Ü ő ű É Ó Ü É É É É Ü Ö É É É ű É Ö É Ü É Ú Ó ő Ó Ö ű Ú É É Ö Ö ű Ó Ö ű Ü Ü Ü Ú É É ő ő ő Ó Ó Ó Ű Ű Ü Ü ő Ü Ö Ó Ö Ó ő Ó ő ő ő ő ű ő ő ű ű É ő ő ő ő ő ő ő ő ű ő Ö Ö Ö ő Ü Ö ő ő
TANTÁRGYI ADATLAP I. TANTÁRGYLEÍRÁS
TANTÁRGYI ADATLAP I. TANTÁRGYLEÍRÁS 1 ALAPADATOK 1.1 Tantárgy neve FIZIKAI GEODÉZIAI ÉS GRAVIMETRIA 1.2 Azonosító (tantárgykód) BMEOAFM61 1.3 A tantárgy jellege kontaktórás tanegység 1.4 Óraszámok típus
Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége
[GVMGS11MNC] Gazdaságstatisztika 10. előadás: 9. Regressziószámítás II. Kóczy Á. László koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet A standard lineáris modell
Bevezeto Least-squares es variansai Globalis modszerek Lokalis modszerek. Implicit Fitting. Vaitkus Márton. 3D Számítógépes Geometria 2 (2016)
Implicit Fitting Vaitkus Márton 3D Számítógépes Geometria 2 (2016) Miről lesz szó 1 Bevezeto 2 Least-squares es variansai Least-squares Simitas, sulyozas Buntetofuggvenyek 3 Globalis modszerek RBF Poisson
Ó Ó ó ö ó
É ó ö É Á ó ó ü ó Ü ó ö ú ű ö ö ö ü ó Ó Ó ó ö ó Ó Ó ö ö ö ü Ó Ó ö ö ü ö ó ó ü ü Ó Ó Ó Ó ó ö ó ö ó ö ó ö ü ö ö ü ö ó ü ö ü ö ö ö ü ü ö ü É ü ö ü ü ö ó ü ü ü ü Ó Ó ü ö ö ü ö ó ö ö ü ó ü ó ö ü ö ü ö ü ö ó
ó Ó ú ó ó ó Á ó ó ó Á ó ó ó ó Á ó ú ó ó ó
É ó ú ó ú ó Á ó ó ú ó ó ó ú ó ó ó ó ú ó ó ó ó ó ó ú ó ó ú ó ó ó ó Ó ú ó ó ó Á ó ó ó Á ó ó ó ó Á ó ú ó ó ó Ö ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó ó Ü ó ű ú ú ó ó ó ó ó ó ó É ó É ó É ó ó ó ó ó ó É ó ú ó ó É ó ó ó ó É ó
ű Ö ű Ú ű ű ű Á ű
ű ű Ó É É ű Ó ű Ü ű ű Ö ű Ú ű ű ű Á ű É ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Á ű ű Ö Ü Ö É ű ű Ü Ü ű É Á Ú É É ű ű ű Ö É ű É Ó É Á Á É ű ű Á ű ű ű Á É ű Ö Á ű ű ű Á ű Á É Ö Ó Ö ű ű ű ű ű ű ű Á É Á Á ű ű ű Á ű ű ű
ű ű ű Ú Ú Á ű Ö ű ű Ú Ő É
Ü ű ű ű Ú Ú Á ű Ö ű ű Ú Ő É É ű Ö Ö Á É ű Ö Ö Á Ü Á ű ű Ó Ó Á Á É Ü É ű Ó Á Ó Á ű Ö ű ű É Ü Ö ű É Ö ű ű Ó ű ű Ú ű ű ű ű ű É ű É Ú Ö Á É ű ű Ó ű ű ű ű ű ű Ó ű Ü ű ű ű É ű ű Ü Ü ű ű Ő Á Á Á ű ű ű Ó Ó Ó ű
Á Ó ű ű Á É ű ű ű ű Ú Ú
Ö ű ű Ö Ü ű ű ű ű ű Ó ű Ü ű Á Ó ű ű Á É ű ű ű ű Ú Ú ű ű Á Á Á É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű Ö Ó Ú ű ű ű ű Ü Ó Ú ű É É Ó É É Ó É É É É Ó ű ű ű ű ű Ü ű Á ű ű ű ű ű Ü ű ű ű ű ű ű Á ű Ú Á Á Ö É Á Á Ö É Ü ű ű Ü
ű Ú ű ű É Ú ű ű
ű ű ű ű Ú Á É Ú ű Ú ű ű É Ú ű ű ű Á ű ű ű ű ű Ü ű Á ű ű ű Á Á ű ű ű É ű ű ű Ú É ű ű ű ű ű ű ű ű Á É Á Ö Ü ű É ű ű Ö É Ü Ú ű Ó ű É Ó Ó Ó ű É Ü Ü ű ű Ú ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű Á Á ű Ú ű Ú ű ű Ó ű ű Ü Ü
Á Á ő ő Ö ő ő ö É ö ő ö ő ő ö ő ő ö ő ő ü ö
ű É É Á Á Á É Ó É É Á ö ő ő ö ő ő ő Ó ő ö ő ö ő ú ő ü ö ő ü ö Á É ű Á É É É Ö ö Á É É ő ő ö Á Á ő ő Ö ő ő ö É ö ő ö ő ő ö ő ő ö ő ő ü ö É É Á Ö ő ú ő ű Ö ü Ő É Ó É É Á Ó É Á É Ü É Á Ó É ő ő ö ö ő ö ö ö
Á Ö Ö Ö Ö ú ú Ö Ö Ó Ó ú ú Ü ú Ó Ö Ö Ü Ó Ö Ö Á Ó ú ú ú ű Ö Ö Ö Ö Á Ó Ö Ó ú ú Ö
Ó ú ú ú ú ű ű ű ú Á Ö ű Á Ö Ö Ö Ö ú ú Ö Ö Ó Ó ú ú Ü ú Ó Ö Ö Ü Ó Ö Ö Á Ó ú ú ú ű Ö Ö Ö Ö Á Ó Ö Ó ú ú Ö Ú ű ú É Á Ó Ó É Ó Ó ú ű ű ű ú Ö Ó Ö ú ú Ö ú Ü ú Ü É Ö Á Á Á Á ú Ó Ö ú ú ú Ü Ö ú ú ú ú ú ú Ö ú Ö Ó ű
Ó Ó ö ú ö ö ö ö ü ú ú ö ö ö ú ú ö ö ö ú ú ú ű ö ö ú ö ü ö ö ö ö ü ú Á ö ü Á ö ö ö ö ö ö
É Ó ö É Á ű Ü Ü ö Ú ö ö ö ö ö ö ö ú ö ö ö ö ö ú ú ú ú ú ú ü ú ú ö ö ű ö ü ú ö Ó Ó ö ú ö ö ö ö ü ú ú ö ö ö ú ú ö ö ö ú ú ú ű ö ö ú ö ü ö ö ö ö ü ú Á ö ü Á ö ö ö ö ö ö Á Ó ú ö Á ö Á ö ú ú ö ö ö ö ü ü Ü ú
ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü É ü ü
ü ü É ű ű É É ű ü ű ü ü ü Á ü ü ü ü ü ű É ü ű É ű ü ü ü Ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü ü É ü ü ü Á ü ü ü ü ü Ú ü ü ű É ü ü ű ü ü ű ü ü ü ü É ü ü ü ü ü ü ü ü É ű ü Á ü ü ü ü ü Á Ö É ü ü ű Ú ü ü ü ű
ó ő ő ó ő ö ő ő ó ó ó ö ő ó ó ó ö ő ó ő ő ö Ö ő ö ó ő ö ő ő ú ö ö ü ö ó ö ö ö ő ö ö Ö ú ü ó ü ő ő ő ő ó ő ü ó ü ö ő ö ó ő ö ő ö ü ö ü ő ö ö ó ö ő ő ö
ü ö ő ö ő ó ö ő ü ü ö ő ó ó ü ő ö ő ö ő ö ü ö ő ö ő ó ö ü ü ö ő ő ő ö ő ö ü ö ő ó ő ö ü ö ő ő ű ő ö ö ő ű ő ü ö Ő ó ö ö ő ü ó ü ú ű ú ő ó ó ó ő ö ő ő ö ó ö ö ő ő ö ö ó ú ő ő ö ó ö ó ö ü ó ő ő ö ó ő ő ó
Ó é é Ó Ó ő ű Ó Ö ü Ó é Ó ő Ó Á Ö é Ö Ó Ó é Ó Ó Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó ű Ö Ó Ó Ó é Ó Ó ö Ö Ó Ö Ö Ó Ó Ó é ö Ö é é Ü Ó Ö Ó é Ó é ö Ó Ú Ó ő Ö Ó é é Ö ú Ó Ö ö ű ő
É Ó Ű Á Ó É Ó Á É Ó Á ő ű Ó ú Ö ú é Ö Ó Ö ú Ó Ö ú Ó Ó Ó Ó ű é ű ű Ó Ó ú ű ű é é Ö ö Ö Ö Ó ű Ó Ö ü ű Ö Ó ő Ó ő Ó ú Ó ő Ó é Ó ű Ó Ó Ó Ó ú Ó Ó Ó Ó Ö Ó Ó ö ő ü é ü Ö é é é Á é Ó Ó ú ú ű é Ö é é é Ó é é Ó Ó
ú ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö á á á ű Ü ű ö ö Á á Á
ú ú ö ö ö ö ö ö Á ö ö ö á á á ű Ü ű ö ö Á á Á Á ú á ú á Á ö á ö ö ö ú á á ö ö ö ö á ű Ü ú ö Ü ű ö ú ű á á á ú á ú ú á ö ö ú ö ú ú ö ö ú ö ö ö á ö ö ö á á ö ú ö á á Ú á ö ö ö Ü ú Á á ű ö Ü ö ú Á á ö á ö
Ú ű É ű ű Ü Ü ű ű Ú É ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű
Ú ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű É ű ű Ü Ü ű ű Ú É ű ű Ü ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű É ű Ú Ú Ú Ú Ú ű Á Ú Ú Ú Ú ű Ú Ú ű É ű Ú Ú Ú Ú Ú Á ű Ó ű Ú É É Ú Ú ű É ű ű ű ű É ű Ő ű Ő ű ű ű ű ű É ű É Á ű ű Ü Á Ó ű ű ű Ú ű ű É ű ű Ú
É Á Á Ö Á
É Á Á Ö Á Á É Á Ü ű Á É Ü ű Ú ű ű É É ű ű Á ű ű ű ű ű É ű ű ű Á É É É ű Á É É Á É Á É Ü Ü ű Á Á Á ű Á Á Á Á Á Á Á Á Ü ű Á ű Ü É É Á Á Á É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Á Á É É ű É ű Ő ű É Ő Á É É ű ű Ú Á
ö ő ü ö ő ő ü ü ő ő ő ü ö ü ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ú ő ő ü ő ő ő ü ö ü ú ő ő ő ő ü ü ő ő ú
ő ű ű ő ö ö Á ö ő ü ö ő ő ü ü ő ő ő ü ö ü ü ő ú ő ő ő ü ő ő ő ő ő ú ő ő ü ő ő ő ü ö ü ú ő ő ő ő ü ü ő ő ú ő ö Á Ó ő ő ü ú ő ő ő ő Á ő ú ű ő ő ő ü ú ő ő ő ő ő ő ő ő ö ü ú ő ő ő ő ű ű ő ő ö ű ü ő ő ő ö ö
ü ú ú ü ú ú ú ú
ú ú ú ü Ü ú ú ű ú ú ü ú ü ü ú ú ü ú ú ú ú ü ú Ö ü ü ü ú ü ú Ó ü ü ű ü Á Ü ü ű ü ű ü ű ű ü Ó ű ú ú ű ú ü ü ú ű ű ú ű ü ú ű ű ü ü ü ű ü ű ü ü ű ü ü ü ü ü ü ü ü ü ú ű ü ű Ó ü ü ü ú Á Ü ú ü ű ü Á Ü Ö Ú Á Á
é ü ó ö é Ö é ü é é ó ö é ü ü é é ó ó ó é Á é é ü ó é ó ó é ö ö ö é é ü é ü é é ö ü ü é ó é é é é é é ö é é é é é é ö é ó ö ü é é é ü é é ó é ü ó ö é
Ó Ö é ü ó ö é é ü é é ó ö é ü ü é é ó é é é é é é ö é é é é é é é ó ö ü é é é ü ó ö é Ö é ü é é ó ö é ü ü é é ó ó ó é Á é é ü ó é ó ó é ö ö ö é é ü é ü é é ö ü ü é ó é é é é é é ö é é é é é é ö é ó ö ü
1. Gauss-eloszlás, természetes szórás
1. Gauss-eloszlás, természetes szórás A Gauss-eloszlásnak megfelelő függvény: amely egy σ szélességű, µ középpontú, 1-re normált (azaz a teljes görbe alatti terület 1) görbét ír le. A természetben a centrális
Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
Az INTRO projekt. Troposzféra modellek integritásvizsgálata. Rédey szeminárium Ambrus Bence
Az INTRO projekt Troposzféra modellek integritásvizsgálata Rédey szeminárium Ambrus Bence A projekt leírása Célkitűzés: troposzféra modellek maradék hibáinak modellezése, a modellek integritásának vizsgálata
Matematikai geodéziai számítások 8.
Matematikai geodéziai számítások 8 Szintezési hálózat kiegyenlítése Dr Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 8: Szintezési hálózat kiegyenlítése Dr Bácsatyai, László Lektor: Dr Benedek, Judit
GPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
Line aris f uggv enyilleszt es m arcius 19.
Lineáris függvényillesztés 2018. március 19. Illesztett paraméterek hibája Eddig azt néztük, hogy a mérési hiba hogyan propagál az illesztett paraméterekbe, ha van egy konkrét függvényünk. a hibaterjedés
Geofizikai kutatómódszerek I.
Geofizikai kutatómódszerek I. A gravitációs és mágneses kutatómódszer Dr. Szabó Norbert Péter egyetemi docens Miskolci Egyetem Geofizikai Intézeti Tanszék e-mail: norbert.szabo.phd@gmail.com 1. A gravitációs
é é ó ó ó é ö é é é ó é é é é é é é é é é é é é ú ó é ó ö é é ó é ö é ó é éú é ú ó é é é é é é é é ö é é é ö é Ö é é ö ó é ö é é é é ű é ö ö ü é ö é Í
é ü é ö é é é ú Í ö é Íó ö ü é ü é ö é ó é ü ö ö ü é ö é é é ö ú ö é é ó ú é ü é ö é é é é é é é é é é ö ü é ö é é é ö ú ö é é é ö é Ö é ü ö é é ö ö é é é é é é é é é é ü é ú ó é é ú ú é ó ó é é é ó ö
Least Squares becslés
Least Squares becslés A négyzetes hibafüggvény: i d i ( ) φx i A négyzetes hibafüggvény mellett a minimumot biztosító megoldás W=( d LS becslés A gradiens számítása és nullává tétele eredményeképp A megoldás
ú ú ú ő ő ú ő ő ú ú ú ő ű ú ő ú ú ő ő ú ő ő É ő ő ú ú ő ú ő ő ő ű ő ő ú ú ő ő ő ő ú
ú ő ű ő ú ő ő ő ú ő ő ő ű ú ú ő ő ú ő ő ő ő Ú ú ő ű ú ú ú ő ő ú ő ő ú ú ú ő ű ú ő ú ú ő ő ú ő ő É ő ő ú ú ő ú ő ő ő ű ő ő ú ú ő ő ő ő ú ú ű ő ő ő ő ő ő ű ú ő ő ú ő ú Ü ú ú ű ő ő ú ő ő ú É ő ő ú ő ő ő ő
É í ű ö ő ü ú ö ü ö ó ö ü í ő ó ú ő ű ú í ő ö ú ő ű ü í ő ó ü ö í ő í ö í ó ó í ó í ó ű ö ö ú í ő ú í í ó í ő í ő ó í ó ó í ó ó í í í í ó ö ö ü ó í ó
Ö É É É ö É Á ö Á ú ó É ó ö ó í ö ö ő í ő ő ő ö í ú ő ó ó ó ó ő ő ü ú ő ő ő ö ö ü ú ö ó ö ö í ö ö í ű ö ö ü ö ü ó ú í ú É ü í ő ő í ő ó í ú í ó ű ú í í ó ö ö ő ú ú í ő ó í É í ű ö ő ü ú ö ü ö ó ö ü í ő
Ö ö í ó ö ó ö ö í í Ü ö Á ö Ö ü ö Ö ü ó í í ö ü ü ö ó ü ú ű ó ó í ú ó Ó í ó ó ü í ó ó í ó í í ú ú ű ó í ú í űö ü Í ö Ö ü ö Ö ü ú ü ó ú ó
ö ü Ö ü ü ó í í ö ö í ü ú ü ó ü ó Ö ö í ú ü ó ó í ó ü ó ü ö Ö ü ö Ö ü ü ü ó Ö ö í ú ó ó ó ó ü ó Ö ö í ó ö ó ö ö í í Ü ö Á ö Ö ü ö Ö ü ó í í ö ü ü ö ó ü ú ű ó ó í ú ó Ó í ó ó ü í ó ó í ó í í ú ú ű ó í ú
ó í ó í ü ü ó ő ó ú í ó ő ú ő ó í ó í ü ö ö ő ó ő ó ö ó ó ű í ü ü í ó í ó ö ö ö ó ű ő ö ő ű ü ó ü ö ü ó ü ü ö í ű ö í ű í ő ő ű ö ö ö ö ő ő ű í ü ö ö
í Á Ü ő ő ő ö ö É í ó ú ü ő Á ó ó ú Ü í ó ó ö ó ó ő ö ö Ü ő ü Ü ó Ö ő ű ű ö ö ú ö ő í í ó í ó ö ö Ö ő Ű ő ö ő ú ó ú ű ű ő í ó ű ő ő ő ó í í ó í ű ü ó ü ó ó ó í ű ó ó ö ó ó ó í ó í ü ü ó ő ó ú í ó ő ú ő
c adatpontok és az ismeretlen pont közötti kovariancia vektora
1. MELLÉKLET: Alkalmazott jelölések A mintaterület kiterjedése, területe c adatpontok és az ismeretlen pont közötti kovariancia vektora C(0) reziduális komponens varianciája C R (h) C R Cov{} d( u, X )
ő í Á ö í í í ű ö ö ö ö ö ő ű ö ö ú Ü í í ő ű ö ű ö Ú Ü ö Ü ö ú ü ö í ú ö ö ö í ö í ü ö ő ö ő ö ú ő í Ü Ü ő í Ü ú í ő ü í í í ű ű í ő ö í í ö ő í í ö
ő í ö ö ú ő í ő ő í í ú ö ú Ü Ü ö ú ő í í í ö ú í ő í í ö ú ű í ö ő ö ú ű í ő í ő í í őí Ü ű ö ő Ü ö í ő ő Ü ö Ü őö ő ö í í í ő Ü í Ü ö í ö ő ö ö ő ö í ö ő ú í ő ö í Ü ő í Á ö í í í ű ö ö ö ö ö ő ű ö ö
í ü ö ö í ö ü ö ö ő ö Ö ő ű í ö ű ö ü ő ú ő ő ő ő ú í ú ö ö ö ö í í ő í ü ű Ö í ö Ü Ű ü í í í ö í ő Ö Ü ü í ő ő ö ö ő í ö ö ü ü í í í í ü ű Ö Ö ü í ú
Á Ü ő ö í É ö ö Á Á ö Á Á Á ö ö Ü í ö ő ő í í ő ő ő ő ö ö ü ü ö ü ü ü ü ö ö ö ő í í ö ö ő í ü ö ö í ö ü ö ö ő ö Ö ő ű í ö ű ö ü ő ú ő ő ő ő ú í ú ö ö ö ö í í ő í ü ű Ö í ö Ü Ű ü í í í ö í ő Ö Ü ü í ő ő
Statisztika elméleti összefoglaló
1 Statisztika elméleti összefoglaló Tel.: 0/453-91-78 1. Tartalomjegyzék 1. Tartalomjegyzék.... Becsléselmélet... 3 3. Intervallumbecslések... 5 4. Hipotézisvizsgálat... 8 5. Regresszió-számítás... 11
2013 ŐSZ. 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét!
GAZDASÁGSTATISZTIKA KIDOLGOZOTT ELMÉLETI KÉRDÉSEK A 3. ZH-HOZ 2013 ŐSZ Elméleti kérdések összegzése 1. Mutassa be az egymintás z-próba célját, alkalmazásának feltételeit és módszerét! 2. Mutassa be az
A geoidmeghatározás jelenlegi helyzete Magyarországon
A geoidmeghatározás jelenlegi helyzete Magyarországon Dr. Völgyesi Lajos egyetemi docens 1, 2, dr. Kenyeres Ambrus főtanácsos 3 dr. Papp Gábor tudományos főmunkatárs 4, dr. Tóth Gyula egyetemi docens 1,
ü ö ű ö ű ö Ö ö ú ü Á ü ü ö
ü ö ű ö ű ö Ö ö ú ü Á ü ü ö ö Í ú ö ú Ó ü ö ö ű ü ű ö ü ö Í Í ö ö ű ö ö ű ű Á Á Ő Á Á ú ú É Íö Í Í ö ö Í ö ü ö Í ö ö Í ö ö ö ű Í Í ö Í ű Á É Á ú É ü Á Á É ü Á Á É ü ö ö ö ö ö ö ű ú ö Í ö ö ű ö ö ü ö ö
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 8 VIII. REGREssZIÓ 1. A REGREssZIÓs EGYENEs Két valószínűségi változó kapcsolatának leírására az eddigiek alapján vagy egy numerikus
Matematikai geodéziai számítások 5.
Matematikai geodéziai számítások 5 Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 5: Hibaterjedési feladatok Dr Bácsatyai László Lektor: Dr Benedek Judit Ez a modul a TÁMOP
Matematikai geodéziai számítások 10.
Matematikai geodéziai számítások 10. Hibaellipszis, talpponti görbe és közepes ponthiba Dr. Bácsatyai, László Matematikai geodéziai számítások 10.: Hibaellipszis, talpponti görbe és Dr. Bácsatyai, László
Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
ö ö ö ö ö ő ú ü ő ö ü ő ú ő ő ő ö ő ö ü ű ö ü ő ú ő ő ő ű ű ö ő ő ü
Á Á Á Ú Ö Á Á É Á Á Á Ó É Á Ő É É Á Á Á Ö Ő Á Á Ó É Ő É ű Á Á Ü ö ú Ö Ú Ó Á Á Á Á Á Ó Á Á ö Ü ö ö ö ö ö ő ú ü ő ö ü ő ú ő ő ő ö ő ö ü ű ö ü ő ú ő ő ő ű ű ö ő ő ü ö ö ü ö ü ő ú ú ö ö ü ő ő ő ú ő ú ö ö ő
ú ő Ú ő ő ú ő Ú ú Á ő ő ú ő ő ű Ú Á ű ő ő
ú ő Ú ő ő ú ő Ú ú Á ő ő ú ő ő ű Ú Á ű ő ő Á úú ú Ü Ü Ú ú Á Á Á Á Á ú Á Á ú ő Á Á ú Ü Ü Ú Ü Ü Ü ÜÜÜÜÜ ő Ú Ü ú ú ú ű ő ő ű Á ű ú ő Á ő ú ú Á ű ű ú ú ú ú ú ő ú Ü Á Á ú ú ú ű ú ú ű ő Óő ű ú ú ú ű Á Ú ú ű ú
Matematikai geodéziai számítások 8.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Dr Bácsatyai László Matematikai geodéziai számítások 8 MGS8 modul Szintezési hálózat kiegyenlítése SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői
Magasságos GPS. avagy továbbra is
Magasságos GPS avagy továbbra is Tisztázatlan kérdések az RTK-technológiával végzett magasságmeghatározás területén? http://www.sgo.fomi.hu/files/magassagi_problemak.pdf Takács Bence BME Általános- és
ő ő ú ő ó ó ú ő ő ó ő ó ó ú ú ú ü ó Ó ó ó ó ő ő ő ú ű ó ó ő ü ő ó óó ó ó
ú É É ő ő ő ú ő ó ó ú ő ő ó ő ó ó ú ú ú ü ó Ó ó ó ó ő ő ő ú ű ó ó ő ü ő ó óó ó ó ü ó ú ő ó ő ú ő ő ú ó ó ó ű ü ő ó ó ő ő ó ő ő ü ó ó ó ó ő ó ő ő ő ü ő ó ó ű ó ő ü ü ő ó ó ő ő ő ő ú ó ü ő ó ő ó ú ő ó ü
Digitális Domborzat Modellek (DTM)
Digitális Domborzat Modellek (DTM) Digitális Domborzat Modellek (DTM) Digitális Domborzat Modellek (DTM) DTM fogalma A földfelszín számítógéppel kezelhető topográfiai modellje Cél: tetszőleges pontban
ó ó ó ö ü ő ö ó ú ő ó ö ó ó ő ü ő ó ő ü ö ő ő ó ó ő ó ö ö ú ó ő ö ó ő ő ó É ó ő ü ö ú ű ü ő ő ú ó ö ú ó ó ó ó ő ó ö ú Á ő ő ő Á ó ó ü É ö ú
ó ó ó ó É ő ó ő ö ú ó ö ú ó ő ó ő ó ó ó ö ü ő ö ó ú ő ó ö ó ó ő ü ő ó ő ü ö ő ő ó ó ő ó ö ö ú ó ő ö ó ő ő ó É ó ő ü ö ú ű ü ő ő ú ó ö ú ó ó ó ó ő ó ö ú Á ő ő ő Á ó ó ü É ö ú ő ü ó ü ő ó Á ő ő ó ő ó Íő
É ú É ö ö ű ö ö ö ú ú ú ű ű ú ö ű ö ű ű ü ö ö ü ű ö ü ö ö ö ö ú ü ö ö ö ú ö ö ú ö ö ú ü ú ú ú ű ü ö ö ű ú ű ű ü ö ű ö ö ö ű ú ö ö ü ú ü ö ö ö ü ú ö ű
É É É Ó Á É ú É ö ö ű ö ö ö ú ú ú ű ű ú ö ű ö ű ű ü ö ö ü ű ö ü ö ö ö ö ú ü ö ö ö ú ö ö ú ö ö ú ü ú ú ú ű ü ö ö ű ú ű ű ü ö ű ö ö ö ű ú ö ö ü ú ü ö ö ö ü ú ö ű ü ű ö ö ú ö ú ö ö ö ö ö ü ú ü ö ö ö ö ö ü
ó Ü ó ü ü ó í ö í ó í ö í ó ö ó ű ö ü í ó í ú ó ü í ö ö ö ö ó í í ö ü ö í ó ö ü ö í ó
ö ü ó ö ü ö ü ó ó ó ü ó í ü ö ö ü ö ö ö í ü ü í ó ú ö ó ó ü Ü í ó ü ö í ó ü ö ó Ü ó ü ü ó í ö í ó í ö í ó ö ó ű ö ü í ó í ú ó ü í ö ö ö ö ó í í ö ü ö í ó ö ü ö í ó ü ö ö ü ö ö ü ü í ö ü ö ö ű ö ö ö í í
É Ö Á Í Á Ó Ö ü
Ö ű Ö ő ü ő ő ő ű Ö Ö ü Á Á É Ö Á Í Á Ó Ö ü Ö ű ű Ö ű ű ú ű ű ú ú ő ő ü ű ű É Ö ú ű ő ű ű ú ő ü Ö ú ú ő ő ú ű ü ő ü ű ú ú ű Ü ő ő Ó ü É Ó Ö Ö ú ü ü ü ü Ű ú Ö Á ü É Ó ű Á Ö Á ű ü ú Ö ű ű ű ü ő ő ő Á ő ő
í ű ő ü ó í ó í Ö ü í ő ó ő í ű ű ú ű ű ű ú úí ő í ü íő í ü ő í í ű ű ő í ü ű ó ő í ű ú ű ő ó ő í
ő ü ő ő ő ó Ö ő ü ő ü Á ő ő ő Á ű ő ő ő ő ő ő ő ő ó ő ü Ö í ő ü í ő í í Ö í Ó ú ó í ő ü í ó ó í ő í ő í í ű Ö í í ű í ő ű í í ű ű í í ű ű í í ű í ű ő ü ó í ó í Ö ü í ő ó ő í ű ű ú ű ű ű ú úí ő í ü íő í
ó í ó Í ó í É ö ó í ó ü ö ö ő í ö í ü ő ö ö ő ő ö ö ó ö ö ő ö ú ü ő ó í ó í ó ü ü ó ü ő ú í í ő ú ó í ü ö ö ö ó ó ö ö ö ő ö ü í ő ó ő ó ű ö ó Á ó ö í ó ö í ó ü í ó ü ó ü ö ü ő ő ó ű ü ú ö í ó ó ő ő ó
ű ú Í Ó Á ú Ű ű Ő Ö Á ú Ű Ü ú ú Á ú ű
É Á É É Ó Á ű Á ű ú ú ű ű ú ű ű ú Á ú ű ú ű ú ű ú ű Á ű ú ű ű Ö Ú Á ű ű Á ű ű ú Í Ó Á ú Ű ű Ő Ö Á ú Ű Ü ú ú Á ú ű ű ú ű ű ű ű ű ú ű ű ű ű ű ű Á ú ű ű ú ú ű ű ű ű ű ú ű Á ű ű ű ű ű ű ú ű ú ű ú ű Ö ú ű Ö
ú ú ö ö ü ü ü ü ű ü ü
Ü ú ű ű ú ű ú ú ö ö ü ü ü ü ű ü ü ö ö ö ö ö ö ű ö ö ö ö ö ö ö ö ö ü ü ü Ú ú ü ű ü ú ű ö ű ú ö ö ö ö Á ú ú ű Á ú Á Á Á ü ö ö Á ö ö ü Á ú Á ú Á Á Ö Á Á ö ű ö ö ü ú ü ú ö ú ű ú ú ü ü ü ü ű ű Ő ú ö ű ú ú ű
TANTÁRGYI ADATLAP I. TANTÁRGYLEÍRÁS
TANTÁRGYI ADATLAP I. TANTÁRGYLEÍRÁS 1 ALAPADATOK 1.1 Tantárgy neve FELSŐGEODÉZIA 1.2 Azonosító (tantárgykód) BMEEOAFAG44 1.3 A tantárgy jellege kontaktórás tanegység 1.4 Óraszámok típus előadás (elmélet)
ö ű é é é é é ü é é ú É ü é é é ö ú ú é é é é é ű é ü ö é ű é é é é é ö éü ő é ú ö é é ű é ú é é ő é Á é ű é ö ű é é ú é é é é é é é é é é ö é é Á ö é
Á Á ö Á É Á É Ú Á Á Á é é ú ü Á é ü ú é ú ö ü Á é ú é é é ú é é é ü ö ő ö ő ő é é ö é é ő é é é é ú ú é é é ő ő ű é é é é Á ú ö ö ö ö é ú é ü é ö ű é é é é é ü é é ú É ü é é é ö ú ú é é é é é ű é ü ö é
É Á ű ő ó ű ő ő ű ő ó ő ü ő ő ó ó ő ő ő ő ó ó ő Ö ő ő í ó ó ó ó ű ő í ó ő ó ó ű ő ó ó ó í ű í ű ő ü ő ő ó ő ő ű ű ó í ó ű ő ő ó ó ó ó ő ő ó ő ó
ű ő Ű Ö Á É Á ű ő ó ű ő ő ű ő ó ő ü ő ő ó ó ő ő ő ő ó ó ő Ö ő ő í ó ó ó ó ű ő í ó ő ó ó ű ő ó ó ó í ű í ű ő ü ő ő ó ő ő ű ű ó í ó ű ő ő ó ó ó ó ő ő ó ő ó É Ö ű ő í ű ő í í ó ű ü ő ü ó ü Ö ő ü ó ű ő ó ó
Regressziós vizsgálatok
Regressziós vizsgálatok Regresszió (regression) Általános jelentése: visszaesés, hanyatlás, visszafelé mozgás, visszavezetés. Orvosi területen: visszafejlődés, involúció. A betegség tünetei, vagy maga
ő ő ő ő ú É ü ú ú ű ú ű ő ő ő ő Á Á ü ő É É É É É É Á Ú Á Á ő ő ő ő ő É Á Á Á ő ő ő Á ü ő ő ü
ő É ő ő ő ő É Ü Ö Ö Ö Í Ö Ö Ö ő Ó Ó Ö Ö Á É É É ő Á É Á Á Ú Á Ú Ö Ö Á Ú Ö Á ű Á ú ő ő ü ü Ó ő ő ő ő ú É ü ú ú ű ú ű ő ő ő ő Á Á ü ő É É É É É É Á Ú Á Á ő ő ő ő ő É Á Á Á ő ő ő Á ü ő ő ü ő ő ő ő Á ü ú ú
Á Á Ö Ö Ü É Ö É É Á Ú É É É É Á Á Ö Ö Ő
Á Á Ö Ö Ü É Ö É É Á Ú É É É É Á Á Ö Ö Ő Á Á Ú ű É Á É ű É ű Ü É Ú Ú Ó Ü Ó Ó Ó É Ü Ü ű É É Ö Á Ó Ú Á ű ű Á ű ű É ű Ú Á É É É Ü Ó É É ű ű É Ő Á Á ű Ü ű Ü ű ű Á ű Á Á ű ű ű Ü Ü Á ű É Á ű ű É ű Ó ű Ü ű ű Ú
Á í í í í í í í í í ű í í í í í í í í í í í í í ű í í í í í ű ű É É í ú
Á Á É Á ú É í Á É í í í í í í É í É Á í í í ű í ú í í ű í í ű í í í É í í í í í í í Á í í í í í í í í í ű í í í í í í í í í í í í í ű í í í í í ű ű É É í ú Á í í í í ű ű ű í í ű ű í ú ú í ú í í í í ű í
Ö Ö Ú Ó Ö ű Ő Ő ű ű Ü Ő Ó Ő
ű É ű ű É Ö Ö Ú Ó Ö ű Ő Ő ű ű Ü Ő Ó Ő É Ó Ó É ű Ö ű Ö ű ű ű Ú Ú Ö ű ű ű Ö ű ű ű ű ű ű ű ű Ú É É É É Ö Ö Ú Ö É ű ű ű ű ű ű ű Ó ű Ö Ö ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű É ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ö ű ű ű Ü ű ű ű ű Ö ű
Ó ű ű Á ú ű ű ú ú ú ű ű É ú É Á Á ú ű Ü Á Ü Á ű Ö Ú É Ó É Á Á Á Ű Á úá Á Ö É Ö É Ü
ú ú ú ú Ö ú ű ú Á ú ú ű ű ú ű ú ú Ó ű ű Á ú ű ű ú ú ú ű ű É ú É Á Á ú ű Ü Á Ü Á ű Ö Ú É Ó É Á Á Á Ű Á úá Á Ö É Ö É Ü Ó Á Á Á ú ú Ő Ö Ü ú Ü Á ú ú Á Ú ú ú ú É ú Ó Ö É Á ű ú É Ó ű ú ú ű ű ú ű ú ű ű ú ű ű
5. előadás - Regressziószámítás
5. előadás - Regressziószámítás 2016. október 3. 5. előadás 1 / 18 Kétváltozós eset A modell: Y i = α + βx i + u i, i = 1,..., T, ahol X i független u i -től minden i esetén, (u i ) pedig i.i.d. sorozat
é ú é é é é é é é é é é é é ú é ö é é é ö Ő é é é ú é é é é é é é é ö é é é ö é Ö é é ö é ö é é é ű é ö ö é ö é é ö ö é é ö ö é ö é Ö é ú é é é é é é
é ű ö Ö é é ö ú é é é é ö ö é ö é é é ö ö é é é ö ö é ű é é ö é é é é é é é é é é ö é ö é é é ű ö ű ö é é é Ö Ú Í é ö é é Ő ö ö ú é é é é é é é é é é ű é é é ú é é é ű ú é é é é é ö é ö é ö é é ö é é é
ő ö ő ú ő ö ö ő ó ő ö ü ú ö ö ó ő ö ü ó ó ó ó ő ő ő ó ó ú ő ü ő ö ö ó ü ö ö ő ű ö ö ő ú ú ó ö ő ű ö ó
ö ú Á ő ű ü ő ó ö ö ú ö ú ü ó ó ű ö ú ó ó ó ő ö ö ő ú ó ö ö ő ő ő ő ö ű ü ü ü ő ü ü ő ő ü ó ő ő ö ő ú ő ö ö ő ó ő ö ü ú ö ö ó ő ö ü ó ó ó ó ő ő ő ó ó ú ő ü ő ö ö ó ü ö ö ő ű ö ö ő ú ú ó ö ő ű ö ó ó ü ű
ú ú ü ü Á ú ú ü ű ű ú ü ü ü ü
ü ü ü ú ú ü ű ü ű ü ü ű ü ü ü Í ú ú ü ü Á ú ú ü ű ű ú ü ü ü ü ú ü ü Á ű ü ü ü ü ü ü ü ú ü ü Í ú ü É Ö Ö ú Ö Ö Ö ú ú ü ú Á Ö Á ú É ü ú ú É ú ú ú Ü ü ű ú ű É ú ű ü ü Á ú É ü ű ü ú Á É É ú ü Ö Ö Ö ú ú Á Ö
