A húrnégyszögek meghódítása

A húrnégyszögek meghódítása

A MINDENTUDÁS ISKOLÁJA

Gerőcs lászló A HÚRNÉGYSZÖGEK MEGHÓDÍTÁSA Akadémiai Kiadó, Budapest

ISBN 978 963 05 8969 7 Kiadja az Akadémiai Kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesülésének tagja 1117 Budapest, Prielle Kornélia u. 19. www.akademiaikiado.hu Első magyar nyelvű kiadás: 2010 Gerőcs László, 2010 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános előadás, a rádió- és televízióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetően is. Printed in Hungary

TARTALOM Bevezető.............................. 7 A húrnégyszögekről általában................. 9 Feladatok............................ 37 Megoldások........................... 53 Irodalom............................ 199

BEVEZETŐ Középiskolai matematikatanár körökben közismert tény, hogy a kétszintű érettségi bevezetése óta a matematika tárgy tanításán belül az elemi geometriára fordítható idő sajnos meglehetősen szűkös. Az érettségi követelményrendszer (akár közép-, akár emelt szinten) lényegesen kevesebbet kíván elemi geometriából a jelöltektől, mint a 2005 előtti években, évtizedekben. Túl a témakör szépségén, már csak azért is sajnálatos mindez, mert tapasztalatból tudható többek között ez az a területe a matematikának, amely leginkább alkalmas a kreativitás, a tér- és síkbeli tájékozódás fejlesztésére. Ez az a terület, amely a legkevésbé algoritmizálható, s így a gondolkodás fejlesztésére, fegyelmezettségére tett hatása óriási. Az elemi geometria sok-sok kérdéskörének egyike a kerületi és középponti szögek, a húrnégyszögek világa. Már önmagában is igen izgalmas és szép szelete ez az elemi geometriának, és külön óriási haszna, hogy a geometria számos egyéb területén is igen jól hasznosítható, igen sokat dolgoznak nekünk a húrnégyszögek például a háromszögek, sokszögek, szabályos sokszögek érdekes tulajdonságainak felfedezésekor. (Gondoljunk csak például a Simson-egyenesre, a háromszög talpponti háromszögeire, a háromszög Torricelli-pontjára stb.) Sajnos e témakörben nem nagyon található egy helyen olyan átfogó elméleti összefoglaló és nagyobb mennyiségű feladatanyag, mely lehetővé tenné a témában való komolyabb elmélyülést. Ezt az űrt igyekszik pótolni könyvünk (egy 12 évvel ezelőtti kötet második, bővített kiadása), melyben az elmúlt évek ide vágó feladattermései mellett számos új probléma tárgyalására kerül sor. Kötetünk három részből áll. Az első fejezetben ismertnek feltételezve a témához tartozó, a középiskolai törzsanyagban szereplő 7

definíciókat és tételeket néhány olyan érdekes eredményt tárgyalunk, melyek ugyan nem szerepelnek a középiskolai törzsanyagban, de annak ismeretében könnyen feldolgozhatók, megérthetők. Ezt követően a háromszögek néhány érdekes tulajdonságát, kevésbé ismert nevezetes vonalát, pontját vizsgáljuk meg. Mint látni fogjuk, ekkor is nagy segítségünkre lesznek a húrnégyszögek. A második fejezetben átnyújtunk egy 88 példából álló feladatcsokrot. E feladatok különböző nehézségűek, találunk közöttük egyszerű, a témához tartozó definícióknak, tételeknek csupán közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat és összetettebb, mélyebb ötleteket igénylő, nehéz feladatokat is. Így mindenki a maga szintjén és kedvének megfelelően válogathat a példák között. Végül a harmadik fejezet tartalmazza a kitűzött feladatok részletes kidolgozását. A megoldások során igyekeztünk a lehető legrészletesebben leírni a felhasznált gondolatmenetet, elsősorban azok érdekében, akik a kötetben szereplő érdekességeket és problémákat önállóan kívánják feldolgozni. Néhány esetben több megoldást is adunk a kérdéses problémára, illetve egy-egy megjegyzésben a vizsgált feladattal kapcsolatos érdekességre is felhívjuk a figyelmet. Természetesen a rendelkezésre álló hely szűkös volta miatt ezt nem tehettük meg minden esetben. Nyilvánvaló, hogy a könyvben tárgyalt problémák kiválasztása szubjektív. Mégis úgy gondoljuk, akik feldolgozzák a kitűzött feladatokat, kellő mélységekig eljuthatnak, s ezzel a szellemi élményen túl további kérdések, problémák felvetésére és megoldására kaphatnak ihletet. Ajánljuk tehát jó szívvel e kötetet minden érdeklődő középiskolás diáknak, középiskolai matematikatanároknak, illetve a felsőoktatásban geometriát is tanuló hallgatóknak és oktatóiknak. Kívánunk minden kedves olvasónak jó egészséget, hasznos szellemi kalandozást a csodálatos húrnégyszögek világában. 2010. nyár A szerző 8

A HÚRNÉGYSZÖGEKRŐL ÁLTALÁBAN A középiskolában szereplő kerületi és középponti szögekkel, valamint a húrnégyszögekkel kapcsolatos geometriai feladatok megoldása, elemzése során általában azt a tanult tételt szoktuk alkalmazni, mely szerint egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180. Ugyanakkor sok egyéb módon is kimutatható egy négyszögről, hogy körbe írható. Ha például sikerül megmutatnunk egy négyszögről, hogy oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, akkor e négyszög biztosan húrnégyszög, hiszen az oldalfelező merőlegesek metszéspontja a négyszög csúcsaitól egyenlő távolságra vannak, így e pont köré alkalmas sugarú kört rajzolva, az a kérdéses négyszögnek mind a négy csúcsán áthalad. Ugyancsak húrnégyszöggel van dolgunk, ha a négyszögnek valamely oldala a másik két csúcsból ugyanakkora szögben látszik. Ekkor ugyanis az azonos íven nyugvó kerületi szögek egyenlőségéről szóló tétel biztosítja számunkra, hogy a négyszög körbe írható. Szintén húrnégyszög adódik, A ha valamely konvex négyszög átlószeleteinek szorzata egyenlő. D Pontosabban: ha az ABCD négyszög átlóinak a metszéspontja M M (1. ábra), és teljesül, hogy AM MC BM MD, akkor ABCD húrnégyszög. B C 1. ábra 9

Ha ugyanis AM MC BM MD, akkor AM BM MD. MC Ez azt jelenti, hogy az AMB és DMC háromszögek két-két oldalának aránya, valamint a közbezárt szög egyenlő, így e két háromszög hasonló. Szögei tehát rendre megegyeznek, vagyis például CAB BDC Ezek szerint az ABCD négyszög BC oldala a másik két csúcsból (A-ból és D-ből) ugyanakkora szögben látszik, így ahogyan azt az előbb már láttuk e négyszög valóban húrnégyszög. (Ez utóbbi esetben tulajdonképpen a pont körre vonatkozó hatványának megfordítását használtuk egy speciális esetben: amikor a kérdéses pont a négyszög átlóinak a metszéspontja.) Természetesen a legtöbb esetben mi is azt a tételt használjuk majd, hogy a húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180, hiszen az esetek többségében ez lesz a legkézenfekvőbb. Az első fejezetben megvizsgálunk néhány olyan a középiskolában nem feltétlenül tanult eredményt, tételt, melyek a húrnégyszögek sok érdekes tulajdonságával ismertetnek meg bennünket, illetve a háromszögek, körök, négyszögek néhány sajátos tulajdonságára mutatunk rá a húrnégyszögek segítségével, példázva, milyen sok izgalmas eredményre juthatunk a csodálatos húrnégyszögek segítségével. A húrnégyszögek világában tett kalandozásainkat kezdjük Ptolemaiosz tételével. Ptolemaiosz Claudiosz görög matematikus, csillagász volt, Kr. u. a II. században élt és tevékenykedett Alexandriában. Elsősorban csillagászati megfigyelésekkel, trigonometriai táblázatok készítésével és pontosításával foglalkozott. Nevéhez fűződik az egyik legeredetibb húrnégyszögekkel kapcsolatos tétel, mely szerint a húrnégyszög szemközti oldalai szorzatainak összege egyenlő az átlók szorzatával. 10

IRODALOM Coxeter, M.: Az újra felfedezett geometria. Gondolat Kiadó, 1977 Gerőcs László: Irány az egyetem 1 4. Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., 1993 1995 Gerőcs László: REPETA-MATEK 1 5. Scolar Kiadó, 1995 1998 Lévárdi László Sain Márton: Matematikatörténeti feladatok. Tankönyvkiadó, 1982 Sain Márton: Nincs királyi út! Gondolat Kiadó, 1986 199

A kiadásért felelős az Akadémiai Kiadó Zrt. igazgatója Szerkesztette: Stark Mariann Felelős szerkesztő: Tárnok Irén Termékmenedzser: Egri Róbert A nyomdai munkálatokat az Akadémiai Nyomda Kft. végezte Felelős vezető: Ujvárosi Lajos Martonvásár, 2010 Kiadványszám: TK100024 Megjelent 12,5 (A/5) ív terjedelemben