MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN

Matematika román nyelven középszint 111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 014. május 6. MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

Indicaţii asupra formatului evaluării: Informaţii utile! 1. Corectarea lucrărilor se va efectua cu o culoare diferită de cea folosită de candidat. Marcarea greşelilor, lipsurilor, etc. se face conform practicii de corectare.. Primul dintre chenarele gri de lângă probleme conţine punctajul maxim care se poate acorda la problema respectivă, punctajul acordat de profesorul care corectează se va înscrie în chenarul de alături. 3. În cazul rezolvării ireproşabile a unei probleme, este de ajuns să se înscrie punctajul maxim în chenarul corespunzător. 4. În cazul rezolvării cu greşeli, sau cu lipsuri a problemei, vă rugăm să scrieţi şi punctele parţiale acordate pe unele părţi ale lucrării. 5. Profesorul examinator nu va lua în considerare acele părţi ale lucrării, care sunt scrise cu creionul, exceptând figurile. Indicaţii asupra conţinutului evaluării: 1. La unele probleme s-a dat punctajul pentru mai multe soluţii. Dacă soluţia obţinută de candidat este diferită de acestea, căutaţi părţi echivalente cu cele din soluţia din baremul pe baza căruia se corectează şi se notează lucrarea.. Punctele din baremul de corectare-notare pot fi divizate în puncte parţiale. Punctele nu pot fi acordate decât sub formă de numere întregi. 3. Dacă pe parcursul rezolvării s-au comis greşeli de calcul, sau apar inexactitudini, nu se acordă punct pentru partea la care a greşit candidatul. Dacă candidatul lucrează mai departe cu o logică corectă, dar cu valori iniţiale parţial greşite, punctajele parţiale trebuie să fie acordate în continuu. 4. În cazul greşelilor de principiu, în cadrul unei unităţi logice (acestea sunt marcate prin linie dublă în baremul de corectare-notare) nu se acordă punct, nici dacă formal operaţiunea matematică este corectă. Însă dacă candidatul calculează în continuare corect, cu valorile iniţial obţinute în urma unei greşeli de principiu, i se acordă punctajul parţial maxim posibil în această unitate logică sau parte a problemei, dacă problema de rezolvat nu s-a schimbat în fond. 5. Dacă în baremul de corectare-notare o remarcă sau o unitate de măsură este dată între paranteze, rezultatul obţinut va fi considerat de valoare integrală, chiar dacă această unitate de măsură nu apare în rezultatul obţinut. 6. Dacă la o problemă apar mai multe încercări corecte de rezolvare, se va lua în considerare numai rezolvarea indicată de către candidat. 7. Pentru rezolvare nu se pot acorda puncte de premiu (punct în plus faţă de punctajul maxim indicat pentru rezolvare, sau pentru rezolvare parţială ). 8. Nu se scad puncte în urma calculelor parţiale greşite sau în urma operaţiunilor parţiale greşite, dacă acestea nu sunt efectiv folosite în continuare la rezolvarea problemei. 9. În partea II. B a lucrării vor fi notate numai dintre cele 3 probleme date. Candidatul a trecut probabil în pătratul alăturat numărul problemei pe care nu o vom lua în considerare la determinarea notei finale a lucrării. Ca atare, o eventuală rezolvare la problema respectivă nici nu trebuie corectată. Astfel, dacă pentru profesorul care corectează nu este indicat clar şi univoc care problemă nu a fost aleasă spre rezolvare de către candidat, nu va fi corectată ultima problemă în ordinea celor prezentate spre írásbeli vizsga 111 / 13 014. május 6.

1. 15 băieţi sunt în clasă. Dacă ştie că 35 trebuie Total: împărţit în şapte părţi egale, se acordă.. x = 1 3. I. Total: 1 Dacă ştie că =, se acordă. a) În punctul A (0; 4) sau la ( y =) 4. b) x + 4 = 6 Se acordă aceste x = 1 chiar dacă candidatul citeşte de pe grafic soluţia. 4. Lucrarea a fost scrisă de câtre ( 3 3 = ) 7 elevi. Total: Punctele nu vor fi divizate. 5. Suma gradelor nodurilor: 14. Total: Punctele nu vor fi divizate. 6. 5 x 0 ( 0 ) x 5, ( x Z) A = {0; 1; ; 3; 4; 5} 7. 70º este a 4 3 -a parte din 360º. Aria cercului 3 π ( 8, 7 cm ). Dacă candidatul foloseşte rotunjirea corectă a 7 Aria sectorului de cerc: π ( 1,) cm. valorii lui π i se acordă 4 aceste. írásbeli vizsga 111 3 / 13 014. május 6.

8. note 1 3 4 5 frecvenţa relativă 0 0,1 0,35 0,4 0,15 Total: Se acordă aceste chiar dacă datele sunt date într-o altă formă (fracţie, %). Se acordă dacă o valoare este greşită. Nu se acordă puncte dacă numărul greşelilor este mai mare decât 1. 9. A) adevărat B) fals C) adevărat 10. Raza sferei este jumătate din diagonala cubului. Lungimea diagonalei cubului este: 7 3 ( 1,1) 7 3 Deci raza sferei este 6, 1 Se acordă chiar dacă acest raţionament reiese numai din calcule. Se acordă dacă foloseşte o valoare corect rotunjită. Nu se acordă acest punct dacă rotunjirea este greşită. 11. B) Total: 1. (Diagonala AC bisectează unghiul BCD) Ughiul ACD este de 60º, şi triunghiul ACD este isoscel, adică triunghiul este regulat. De aici rezultă că lungimea diagonalei este de 6 cm. Se acordă pentru figura corectă, corespunzătoare enunţului. írásbeli vizsga 111 4 / 13 014. május 6.

II. A 13. a) Domeniul de definiţie: x > 0. Aplicarea corectă a identităţii logaritmice corespunzătoare. (Funcţia logaritmică este biunivocă.) 7x + 18 = 9 (sau 7 x + 18 = 9x ) x x = 9 Verificarea se face prin substituţie sau pe lângă scrierea condiţiei x > 0 şi se referă şi la transformări echivalente. Total: 5 puncte chiar dacă candidatul nu analizează domeniul de definiţie, însă verifică rezultatul obţinut, de ex. prin substituţie în ecuaţie. 13. b) Prin substituţia a = cos x (unde 1 a 1) se obţine: a 7a 4 = 0. chiar dacă candidatul nu întroduce variabilă nouă dar transformă ecuaţia în mod corect. Rădăcinile ecuaţiei sunt a = 1 4, 1 şi a =. Ecuaţia a = cos x = 4 nu va rezulta nici o soluţie, (deoarece avem cos x 1.) 1 Ecuaţia cos x = are rădăcinile în intervalul [0; π]: Se acordă dacă * candidatul exprimă π x 1 =, corect ambele rădăcini 3 ale ecuaţiei în grade 4π x ( x1 = 10 şi x = 40 ). =. * 3 Verificare (de ex. prin substituţie). Total: 7 puncte Scrierea corectă a rădăcinilor ecuaţiei, însă neglijarea domeniului de definiţie (de ex. prin enumerarea unui număr infinit de rădăcini, sau enumerarea rădăcinilor negative) va atrage după sine acordarea numai a unui punct din cele două puncte marcate prin*. írásbeli vizsga 111 5 / 13 014. május 6.

14. a) Media datelor: 83 + 76 4 + 69 +... + 58 4 + 56 4 + 55 = 8 1816 = 64,86. 8 Numărul datelor este un număr par, astfel mediana este egală cu media aritmetică a celor doi termeni din mijloc, obţinuţi după ordonarea în mod crescător a termenilor: 61+ 65 = 63. Răspunsul este: da, deoarece între medie respectiv mediană apare o diferenţă de cel puţin. Total: 5 puncte 14. b) calificativul Excelent este obţinut de 6 clase, Foarte bine de 13 clase, Bine de 9 clase. Diagrama coloană: Excelent Foarte bine Bine Total: 4 puncte chiar dacă din rezultatul obţinut nu reiese decât că candidatul a raţionat corect. chiar dacă din rezultatul obţinut nu reiese decât că candidatul a raţionat corect. Se acordă pentru calculul corect a două date, 0 puncte dacă numărul de date corecte este mai redus. Se poate accepta orice reprezentare în principiu corectă (de ex. schimbarea axelor, coloane lipite una de alta). Se acordă aceste dacă se pot identifica convenabil scara axei verticale (1), coloanele respective (), şi dacă datele sunt reprezentate corect pe figură (3). Se acordă dacă oricare două dintre cele trei condiţii sunt satisfăcute, în caz contrar se acordă 0 puncte. írásbeli vizsga 111 6 / 13 014. május 6.

14. c) prima soluţie Numărul cazurilor favorabile: 4( = 8). Numărul tuturor cazurilor: 6 5( = 30). Probabilitatea căutată: P = 8 ( = 0,6 ). 30 14. c) a doua soluţie probabilitatea ca deasupra să avem o lucrare de 83 de puncte este de: 6. Se acceptă rezultatul indicat sub orice formă corectă de rotunjire sau de procente. Probabilitatea ca imediat sub această lucrare să avem o lucrare de 76 de puncte este de: 5 4. Probabilitatea căutată este de: 4 8 P = = ( = 0,6). 6 5 30 Se acceptă rezultatul indicat sub orice formă corectă de rotunjire sau de procente. 15. a) Distanţa căutată este: d AB = (8 1) + (9 1) = = 80( 8,944) (unităţi). Total: Nu se acordă punct pentru simpla indicare a formulei (fără substituţie). Nu se acordă cel de-al doilea punct, dacă lipseşte valoarea exactă şi dacă candidatul rotunjeşte greşit. 15. b) Un vector normal al dreptei este vectorul n (4;3). Cu acest vector ecuaţia dreptei este: 4x + 3y = 4 4 + 3 3, adică 4 x + 3y = 5. e írásbeli vizsga 111 7 / 13 014. május 6.

15. c) Un vector de direcţie al dreptei f este AB ( 4; 8). Cu acest vector ecuaţia dreptei este: 8x 4y = ( 8) 8 4 9. Ecuaţie dreptei f este: x + y = 5. (Coordonatele punctului de intersecţie se obţin prin rezolvarea următorului sistem de ecuaţii:) 4x + 3y = 5 x + y = 5 Soluţia sistemului de ecuaţii este: x = 5 şi y = 5. Punctul de intersecţie este: M ( 5; 5). Total: 7 puncte II. B Se acordă dacă candidatul citeşte corect coordonatele punctului de intersecţie de pe graficul corect trasat. Se acordă toate cele 4 puncte, dacă face verificarea prin substituţie a acestor două valori în ambele ecuaţii. 16. a) Figură corectă, dovadă că problema s-a înţeles (înălţimea conului esete de 6 metri). m con con m cilindru chiar dacă lipseşte figura, dar candidatul lucrează cu valori corecte. Volumul cilindrului este: V = 18 h 4 π Nu se acordă punct 4071,5 (m 3 ). numai pentru formulă (fără substituţie). Volumul conului este : V = 18 Pentru calcule k 6 π 3 efectuate corect cu 035,8 (m 3 ). valoarea 3,14 se acordă punctele corespunzătoare. V h + V k 4071,5 + 035,8 = 1017,9 6 6 * Numărul maxim de spectatori în acest cort este: 1017. * Dacă candidatul rotunjeşte prin adaos la cel mai apropiat întreg, acest punct nu se acordă. Total: 7 puncte Se acordă cele marcate prin * dacă candidatul determină prin rotunjire volumul cilindrului ca fiind 407 m 3 respectiv volumul conului prin rotunjire ca fiind 036 m 3, iar numărul maxim de spectatori de 1018 de persoane. írásbeli vizsga 111 8 / 13 014. május 6.

16. b) prima soluţie Să notăm prin x numărul biletelor vândute copiilor la spectacol; atunci numărul biletelor vândute adulţilor este 1000 x. Biletul pentru copii costă 800 0,75 = 600 Ft. 600x + 800 (1000 x) = 665 800 Rădăcina ecuaţiei este: x = 671. Deci s-au vândut 671 bilete pentru copii respectiv 39 pentru adulţi. Verificare conform textului. Total: 6 puncte chiar dacă raţionamentul reiese numai din 16. b) a doua soluţie Se obţine numărul biletelor vândute copiilor dacă din suma virtuală de incasare a 1000 bilete pentru adulţi scădem suma efectivă de incasare iar apoi împărţim diferenţa prin reducerea pentru copii. La biletele pentru copii se acordă 800 0,5 = 00 Ft reducere. 800 000 665 800 = 671 00 S-au vândut 671 bilete pentru copii respectiv 39 pentru adulţi. Total: 6 puncte Se acordă aceste chiar dacă raţionamentul reiese numai din 16. c) Cei 4 artişti la nivelul cel mai jos puteau să stea în 4!( = 4) feluri unul lângă altul. cei 3 artişti pe umerele lor 3!( = 6) feluri, deasupra lor cei artişti în feluri. Numărul tuturor cazurilor se obţine din produsul acestora 4! 3!!( = 88) Total: 4 puncte írásbeli vizsga 111 9 / 13 014. május 6.

17. a) Numerele în această problemă sunt termenii unei serii aritmetice, care are primul termen egal cu, iar diferenţa egală cu 3. Se acordă aceste puncte chiar dacă raţionamentul reiese numai din Al 5-lea termen al seriei este a = + 4 3 74.. 5 = Se acordă aceste 3 puncte chiar dacă candidatul obţine rezultatul corect numai prin enumerarea termenilor seriei. 17. b) S n a + ( n 1) d = 1 chiar dacăraţionamentul n reiese numai din Avem de rezolvat ecuaţia (în mulţimea numerelor + ( n 1) 3 întregi pozitive) : 8475 = n. prin transformări obţinem ecuaţia 3n + n 16950 = 0 Rădăcinile ecuaţiei sunt n = 1 75 şi n 75, 3 =. Soluţia problemei (valoarea întreagă pozitivă) este: n = 75. Total: 6 puncte Se acordă aceste 6 puncte chiar dacă candidatul obţine rezultatul corect numai prin enumerarea termenilor seriei. 17. c) Numerele întregi pozitive, care se divid cu 5 şi au restul de împărţire la 3 egal cu, formează o serie Se acordă aceste puncte chiar dacă raţionamentul aritmetică, care are diferenţa egală cu 15. reiese numai din Cel mai mic număr de trei cifre cu această proprietate este 110, Punctele nu se pot diviza. iar cel mai mare număr de trei cifre cu această proprietate este 995. Punctele nu se pot diviza. 995 = 110 + ( n 1) 15 Dacă pentru n se acceptă n = 60, seria are 60 de termeni (de trei cifre, valoarea divizibile cu 5). 995 110 = 59 atunci 15 aceste nu se acordă. Total: 8 puncte Se acordă aceste 8 puncte chiar dacă candidatul obţine rezultatul corect numai prin enumerarea termenilor seriei. írásbeli vizsga 111 10 / 13 014. május 6.

18. a) Din cei 3 de elevi numai 7 au ales două culori, deci restul de 5 au ales numai câte o culoare. chiar dacă raţionamentul reiese numai din Se acceptă rezultatul 5 indicat sub orice formă P = ( = 0,7815. numarul cazurilor favorabile P = numarul tuturor cazurilor Probabilitatea căutată: ) 3 corectă de rotunjire sau de procente. 18. b) prima soluţie Diagrama Venn care arată corect numărul de elemente ale intersecţiilor mulţimilor din problemă: (Notăm prin x numărul elevilor care aleg culorile respective:) 3 x 7 = 3 x = 13 (Culoarea albă a fost aleasă în total de 13 elevi, din care 13 7 = ) 6 elevi au ales numai culoarea albă. Total: 8 puncte írásbeli vizsga 111 11 / 13 014. május 6.

18. b) a doua soluţie Diagrama Venn, ca în cazul primei soluţii. (Notăm prin y numărul elevilor care au ales numai culoarea albă:) 3 y + 14 = 3 y = 6 6 elevi au ales numai culoarea albă. Total: 8 puncte 18. b) a treia soluţie Notăm prin S, F, şi B mulţimea elevilor care au ales respectiv culoarea galbenă, culoarea albă, culoarea bordo : S F = 4 şi B F = 3, şi mai departe S B = 0 (şi S B F = 0 ). S = F = B = x (Pe baza formulei sitei logice:) 3 = x + x + x (4 + 3) x = 13 (Culoarea albă a fost aleasă în total de către 13elevi din care 13 7 = ) 6 elevi au ales numai culoarea albă. Total: 8 puncte írásbeli vizsga 111 1 / 13 014. május 6.

18. c) prima soluţie Trebuie analizate două posibilităţi: elevul oferă un trandafir la băieţi şi la 1 fată sau la fete şi la 1 băiat. Doi din cei 5 băieţi se pot alege în 5 ( = 10) feluri, o fată din cele fete se pot alege în feluri, deci în primul caz are 10 = 0 de posibilităţi diferite. Elevul poate alege un băiat din cei 5 în 5 feluri, fete din cele într-un singur fel, deci în al doilea caz el are 5 posibilităţi diferite. (Numărul tuturor cazurilor este dat de suma acestor posibilităţi), adică elevul are de ales între 0 + 5 = 5 de soluţii. Total: 6 puncte chiar dacă raţionamentul reiese numai din 18. c) a doua soluţie Numărul alegerilor favorabile se obţine dacă din numărul tuturor alegerilor scădem numărul alegerilor nefavorabile. 3 din cei 7 prieteni poate alege în 7 ( = 35) feluri, 3 din aceste alegeri nu sunt favorabile acelea, la care alege numai băieţi. chiar dacă araţionamentul reiese numai din Se acordă aceste chiar dacă raţionamentul reiese numai din Punctele nu se pot diviza. Numărul alegerilor nefavorabile: 5 ( = 10). 3 Astfel numărul alegerilor favorabile: 35 10 = 5. Total: 6 puncte Se acordă aceste 6 puncte chiar dacă candidatul obţine rezultaul corect doar prin enumerarea sistematică a diferitelor alegeri. Dacă candidatul enumeră cazuri diferite, atunci la scrierea fiecărui caz greşit, respectiv la omiterea fiecărui caz corect, se scade câte (în total cel mult 6 puncte). írásbeli vizsga 111 13 / 13 014. május 6.