1. Hálózi olymok Diníció: Lgyn G = (V, E) gy irányío grá, mlynk minn (u, v) élén o gy nmngív c(u, v) kpciá. A gránk kiünjük ké ponjá: z rmlő é ogyzó. Ekkor (G; c; ; ) négy hálóznk nvzzük. Szmléléképpn lhjük, hogy hálózl gy vízvzékrnzr árázolunk. A hálóz minn gy irányío élé gy vzéknk képzlhjük l, min krzül víz olyik. Minn gy vzéknk mghározo kpciá vn, mi lgngyo vízmnnyiég, mi vzékn á u olyni. A grá ponji vzékk lágzái ponji, mlykn, h nm rmlőről é ogyzóról vn zó, víz nm gyűlh öz. Vgyi olyó vízmnnyiégnk gy ponn mg kll gyzni kiolyó vízmnnyiéggl. A hálózi olym zn uljonágá mgmrái zálynk nvzzük. Diníció: Lgyn (G; c; ; ) gy hálóz. Hálózi olymnk (vgy ck olymnk) nvzzük kövkző ké uljonággl rnlkző : E R + üggvény: Kpciá mgzoríá: (u, v) c(u, v) ljül minn (u, v) E-r. Mgmrái zály: {(u, v) (u, v) E} {(v, u) (v, u) E} = 0 minn u V {, }-r. Mivl célunk z ponól lhő lgö vízmnnyiég ljuá -, zér ováikn lhjük, hogy z pon nm lép él, ponól pig nm lép ki él. Ekkor olym érék gynlő z -ől kilépő olymérékk özgévl (mi rmézn gynlő - lépő olymérékk özgévl. Diníció: Vágánk nvzünk gy X V ponhlmz, mlyr X / X. Az X vágá érék z X-ől kilépő élk kpciáink z özg. Az X vágá éréké c(x)-zl jlöljük. 1
Pél: 2/3 2/5 3/6 c 3/8 Az árán gy hálózi olymr láhunk pélá. Az élkr ír zámok közül z lő olymérék, máoik pig z él kpciáá jlöli. Láhó, hogy minn éln lglj kkor olymérék, min z él kpciá; ová rmlő illv ogyzó kivélévl minn pon mi olyik, z ová i olyik. A olym érék 6, hizn -ől özn 6 gyégnyi víz lép ki. Számíuk ki z (,, ) vágá éréké! Ehhz z öz olyn élnk, mlynk kzőponj z (,, ) ponok vlmlyik, végponj vizon nm(!), öz kll ni kpciái. Ezk z élk z, c, c,, élk, így z (,, ) vágá érék 3+6+2+1+8=20. Az monjuk, hogy gy olym mximáli, h z érék mximáli. Minimáli vágánk nvzünk gy vágá, h z érék minimáli. A mximáli olymok é minimáli vágáok közö zoro kpcol áll nn; nvzn mximáli olym érék gynlő minimáli vágá érékévl! A célunk mximáli olym mghározá. Ehhz zükégünk lz még jvíó ú oglmár: Lgyn mo gy olym. Lgyn grán = v 0, v 1,..., v k = gy ú, mly nm lélnül hl z irányíá zrin. Az ú gy élé lőr élnk hívjuk, h = (v i 1, v i ) vlmly i-r. Honlón hár élnk nvzzük z ú gy élé, h = (v i, v i 1 ) vlmly i-r. Tgyük l, hogy z ú minn lőr élén () < c(), é minn háréln () > 0. Az ilyn u jvíó únk hívjuk. H lézik jvíó ú, kkor növlhjük olym éréké kövkző móon: z lőr élkn mgnövljük olym éréké, hár élkn cökknjük olymérék ugynzzl mnnyiéggl. 2 ologr kll igylnünk: mikor z lőr élkn növlünk, kkor kpciá ölé nm mhünk; mikor hár élkn cökknünk, kkor 0 lá nm mhünk. Formálin mgoglmzv: lgyn ɛ 1 =min(c() () lőrél), ɛ 2 =min(() hárél) é ɛ =min(ɛ 1, ɛ 2 ). Az lőr é hár élk iníciój mi ɛ > 0. Az lőr élkn növljük mg olym éréké ɛ-nl, hár élkn pig cökknük o- 2
lym éréké ɛ-nl. Könnyn láhó, hogy így gy olyn olymo kpunk, mlynk érék ɛ-nl ngyo réginél. A kövkző árán jvíó úr láhunk gy pélá: 2/7 c 4/5 Az árán o olymr nézv z c jvíó ú, hizn z,,, élk lőr élk min lílnk,, c, c élk pig hárélk, é mingyikn poziív olymérék. Az éln 2-vl növlhnénk olymo, z éln 5-l növlhnénk olymo, z éln 3-ml növlhnénk olymo, z éln 4-gyl növlhnénk olymo; éln 1-gyl cökknhnénk olymo, c éln 4-gyl cökknhnénk olymo, z c éln pig 1-gyl cökknhnénk olymo; zér jvíó ú minn élén 1-gyl válozunk: z lőr élkn 1-gyl mgnövljük olymérék, vizélkn pig 1-gyl lcökknjük. A jvíá uán kövkző olymo kpjuk: 3/7 3/4 c 3/5 2/5 Bláhó, hogy gy olym ponon kkor mximáli, h nm lézik jvíó ú -r nézv. Eől mári kpunk gy lgorimu mximáli olym mgkréér: 3
For-Fulkron lgorimu mximáli olym kréér: Lgyn kzn olymérék minn éln 0. Amíg z kuáli olymr nézv lézik jvíó ú, ig gy jvíó ú mnén növljük olym éréké. H már nm lézik jvíó ú, kkor olym mximáli. H már mghározuk mximáli olymo, kkor minimáli vágá i könnyn mgkphjuk. Azon ponok hlmz ugyni, mlyk még lézik -ől jvíó ú, gy minimáli vágá hároz mg. Az lgorimu műköéé kövkző pélán kövhjük nyomon: 0/3 c 0/3 0/5 0/3 0/5 Kzn minn éln 0 olymérék. Ekkor pélául z -c-- ú gy jvíó ú, mlynk minn él lőr él. Az c é élk mi 3 ujuk növlni olym éréké, zz z ú minn élén növljük olymérék háromml. 0/3 c 3/5 0/5 A kövkző lépén monjuk mgláljuk z --c--- jvíó u (rmézn má jvíó u i vhünk voln). Ennk z únk imé minn él lőr él, é mivl z c éln ck 1-gyl uunk növlni, zér z ú minn élén 1-gyl növljük olymérék. 4
1/3 c 4/5 0/5 A kövkző lépén vgyük monjuk z --- jvíó u. Ennk zinén minn él lőr él; -n 1-gyl növlhünk (hizn már olyik rj 1!), -n 4-gyl, -n 5-l, zér minhárom éln ggyl növljük olymérék. 1/3 c 4/5 Mo z --- jvíó úon él mi minn éln 2-vl növlhjük olymérék. 2/7 c 4/5 5
Még minig lézik jvíó ú, nvzn z ----c--- ú. Az,, é élk lőr élk, zkn z él mi 2-vl lhn növlni olymérék;, c é c élk pig vizélk, zkn pig z c él mi 1-gyl lhn cökknni olymérék. Így z ú minn élén 1-gyl válozunk; z lőr élkn 1-gyl növljük, hárélkn 1-gyl cökknjük olymérékk. 3/7 3/4 c 3/5 2/5 Vizon mo már nm lézik - jvíó ú, így z olym mximáli, z érék pig 3+3+2. Ajunk mg gy minimáli vágá i! -ől - l uunk juni jvíó úon, hizn z él lőr él lnn é líln. -ól - i ová uunk mnni jvíó úon, hizn z él lőr él lnn é líln; vgyi még - i vn jvíó ú ől. -ől - nm uunk ová mnni, hizn él lőr él é lí; honlón -ől - m uunk ovámnni, mr él viz él, é 0 rj olymérék. -ől m c-, m - nm uunk jvíó úon ljuni, mr z c é z él i lí. Így jvíó ú már ck z,, ponok vn, zér z három pon gy minimáli vágá hároz mg. Érm kizámolni, hogy nnk vágánk z érék 8, mi mggyzik mximáli olym érékévl. Ez állán i így vn: Tél: A mximáli olym érék mggyzik minimáli vágá érékévl. 6