MATEMATIKA A GIMNÁZIUM 9 12. ÉVFOLYAMAI SZÁMÁRA Iskolánkban a matematika tantárgyat csoportbontásban, differenciáltan oktatjuk. Ez lehetőséget biztosít arra, hogy a tanulók érdeklődését, illetve kialakuló továbbtanulási szándékát rugalmasan figyelembe vegyük. A kilencedik évfolyamtól diákjaink választhatnak az általános és az emelt szintű matematikaoktatás között. A jogszabályoknak megfelelően az iskola biztosítja az emelt szintű érettségire való felkészülés lehetőségét a 11-12. évfolyamon az általános osztályban is. A felkészülés kiemelt fakultáció keretében zajlik. Ennek megfelelően a 9-10. évfolyamon kétféle, a 11-12. évfolyamon négyféle tanterv szerint tanítunk (általános osztály-középszintű érettségi, általános osztály-emelt szintű érettségi, emelt szintű osztály-emelt szintű érettségi, emelt szintű osztály-középszintű érettségi). Valamennyi tanterv tartalmazza a Kerettanterv által meghatározott tananyagot és a fennmaradó időkeret felhasználásának részletezését. A Kerettanterv kiegészítésekor törekedtünk arra, hogy a tananyag spirális felépítése fokozottan érvényesüljön. Emellett fontosnak tartjuk a fogalmak kialakításában az induktív módszer alkalmazását. Az emelt szintű tantervek értelemszerűen előírnak a Kerettanterv követelményein túlmutató tananyagot. A középszintű érettségire való felkészítés folyamán azonban elsősorban a tudás biztossá tételét tartjuk fontosnak, így új anyagrészek beiktatása helyett inkább a gyakorlásra fordítunk több időt. Mivel iskolánk a 9-10. évfolyamon a matematika óraszámát a szabadon tervezhető órakeret terhére megemelte, erre nagyszerű lehetőségünk van. Az egyes évfolyamok óraszámfelosztása a tantervek elején táblázatba foglalva található. Mivel iskolánk szerkezetváltó gimnázium, különösen fontos feladatának tartjuk a 9. évfolyamra újonnan bekerülő tanulók minél gyorsabb felzárkóztatását, egy szintre hozását. Ennek érdekében a felvételi vizsgát követően áprilisban és májusban előkészítő tanfolyamot szervezünk. A nagygimnáziumi tantervek néhány kiegészítéssel átveszik a Kerettanterv alábbi céljait és fejlesztési követelményeit. Célok és feladatok A NAT bevezetőjében felsorolt célok, értékek és kompetenciák a matematika tantárgy oktatásában a következő területeken jelennek meg: A matematikatanítás elsődleges célja, feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A tanulók gondolkodásának fejlesztésében fontos szerepet kap a helyes és kreatív nyelvhasználat, a hallott és olvasott szöveg értése. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást! Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, akár mindennapi problémák önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola és Alapfokú Művészetoktatási Intézmény Pedagógiai programja 1
ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogatja az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére! A matematika helyi tanterv legfontosabb vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A ha..., akkor... az akkor és csak akkor helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 2
A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűségszámítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A 9 12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, a tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is. Ezen általános elveken túlmenően az egyes tantervek speciális célokat és fejlesztési követelményeket tartalmaznak. Kiemelt fontosságúnak tartjuk diákjaink továbbtanulási szándékának támogatását, a sikeres felvételire való felkészítést, illetve lehetőségeinkhez mérten a felsőoktatási intézményekben való helytállás megalapozását. Ez természetesen a különböző szintű matematikaoktatásban résztvevő diákok számára nem ugyanazt jelenti. Minden esetben nagy súlyt helyezünk azonban a vizsgaszituációk begyakorlására. Az alábbiakban külön ismertetjük az egyes csoportokra vonatkozó célokat, feladatokat és fejlesztési követelményeket, illetve a tananyag megválasztásának sajátos szempontjait. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 3
Az általános osztályból középszintű érettségire készülők számára alapvető cél a kimeneti követelmény, vagyis az érettségi vizsga minél sikeresebb teljesítése. Ennek érdekében, mint már említettük, a 9. és 10. osztályban a matematika óraszámát megemeltük, és bizonyos anyagrészeket átcsoportosítottunk. Célunk, hogy az első két évben olyan erős alapokat rakjunk le, hogy a felkészülés a 11-12. évfolyamon a minimális óraszámban se jelentsen gondot, s a diákok ideje felszabaduljon az érdeklődésüknek és orientációjuknak megfelelő tantárgyak magas szintű elsajátítására. Fontosnak tartjuk ugyanekkor a motiváció erősítését részint gyakorlatorientált feladatokkal, részint érdekességekkel (pl. stratégiai játékok) a matematika iránt kevésbé érdeklődő tanulókban is. Azok a diákok, akik az általános osztályból emelt szintű érettségire jelentkeznek, jóval komolyabb feladat elé néznek. Heti óraszámukat ezért a 11-12. évfolyamon hat, majd nyolc órára emeltük. Ebben a csoportban tantervi keretben nem foglalkozunk az országos versenyekre való felkészüléssel, hanem az emelt szintű követelmények teljesítésére koncentrálunk. Természetesen ha tanulói igény mutatkozik és időbeli lehetőség adódik, a versenyfeladatok bevehetőek az órakeretbe. Az emelt szintű oktatást az utolsó két évfolyamon lentebb tárgyaljuk részletesebben. Sajátos helyzetben vannak azok a diákjaink, akik az emelt szintű osztályból csak a középszintű érettségit tűzik ki célul matematikából, hiszen a felső évfolyamokon is emelt óraszámban tanulják ezt a tárgyat. Reményeink szerint egyrészt a középszintű követelmények teljesítése számukra nem fog gondot jelenteni, másrészt ekkora már elkötelezettek más tantárgyak felé. Fontosnak tartjuk ezért, hogy a rendelkezésre álló bőséges időkeretben a matematikát a komplex műveltség részeként mutassuk be nekik. A megszokottnál tágabb teret adunk a tanulói előadásoknak, vitafórumoknak (pl. a valószínűségről), nem elképzelhetetlen a matematikai témákról írt esszék, ismertetők értékelése sem. Az érvelési, kifejezési és íráskészség, a szabatos fogalmazásra való törekvés a humán tárgyakból fakultálók számára is hasznos lehet. Nem tervezzük a kerettantervi anyagot messze meghaladó ismeretek átadását, hiszen ezek a diákjaink az érettségivel tanulmányaikat matematikából várhatóan lezárják. Hangsúlyt helyezünk azonban a logikus gondolkodás és kombinatív készség fejlesztésére, mivel ezek irányultságtól függetlenül a kognitív képességek fontos és gyakorta számonkért részét alkotják. Az emelt szintű osztályból emelt szintű érettségire jelentkező tanulók nagyon előnyös helyzetben vannak, hiszen előbb heti kettő, majd három plusz matematikaórájuk van. Az emelt szintű oktatásban már az alsóbb évfolyamokon is a kerettanterv anyagát meghaladó ismeretek átadását tervezzük. Órai keretben foglalkozunk a 9., 10. és 11. évfolyamon az országos versenyek feladataival, ez azonban nem jelenti azt, hogy a tanórák időszakonként versenyelőkészítőkké alakulnának. A felkészítésben elsődleges célunknak az emelt szintű követelmények teljesítését tartjuk. A tanórai kereten kívül lehetőség van versenyelőkészítő szakkörök szervezésére. Az emelt szintű osztály 12. évfolyamán tanulói igény esetén lehetőség van arra, hogy további két fakultációs órában tanuljanak a diákok matematikát (az említett kereteken felül tehát összesen heti kilenc órában). Ezen órák anyagát a felsőfokú oktatás előkészítését szem előtt tartva az alábbi témák közül válogatjuk: - A feladatmegoldási rutin elmélyítése - A programozás matematikai alapjai, algoritmusok - A lineáris algebra elemei - A közgazdaságtan matematikai alapjai - Komplex számok - Középiskolai versenyfeladatok A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 4
Az alábbiakban az egyes nagygimnáziumi osztályok témakörökre lebontott óraszámait és tananyagát közöljük. Felhasználható órák Általános osztály Gondolkodási módszerek 9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam 8 10 2/15 20/20 Számtan, algebra 55 60 40/50 22/35 Függvények, sorozatok 25 6 15/50 20/50 Geometria 50 50 48/60 40/60 Valószínűség, statisztika 16 0/0 20/30 Év végi ismétlés 10 6 6/10 28/29 Összesen 148 148 111/185 150/224 A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 5
ÁLTALÁNOS OSZTÁLY KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI CSOPORT 9. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 148 Gondolkodási módszerek (8 óra) A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyílt, zárt) A számegyenes mint a valós számok egy modellje, az irracionális számok geometriai szemléltetése. Kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése Esetek leszámlálása felsorolással. Az akkor és csak akkor használata (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos) Állítás tagadásának szabatos megfogalmazása, és és vagy jelentése matematikai állításokban. Tájékozottság a racionális számkörben. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 6
Számtan, algebra (55 óra) A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása. A hatványozás értelmezése 0, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja.. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b) 2, a 2 b 2 szorzat alakja, (a ± b) 3, a 3 b 3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása, Alapműveletek és zárójelek kezelése a valós számkörben. (folyamatos) Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata. A műveleti azonosságok biztos alkalmazása ismeretlent tartalmazó kifejezésekkel. Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveleteknél (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Algebrai kifejezések értelmezési tartományának vizsgálata. Az értelmezési tartomány megváltozásának tipikus esetei. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Törtes egyenletek. A megoldáshalmaz pontos meghatározása. Azonosság és ellentmondás fogalma.. Szöveges feladatok a gyakorlati élet, valamint a fizikai, kémiai alkalmazások területéről. Szöveges feladatok alaptípusai. Százalékszámítás típusfeladatai, számítások arányos osztással. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja A másodfokú azonosságok alkalmazása. A műveleti azonosságok biztos alkalmazása racionális számkörben. A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel Algebrai kifejezés értelmezési tartományának fogalma. A négyzetes azonosságok és a szorzattá alakítás alkalmazása egyenletekben, a megoldáshalmaz és az értelmezési tartomány összevetése. Szöveges információk rögzítése matematikai jelekkel. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 7
Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás Az adott feladat szempontjából lényeges és lényegtelen információk megkülönböztetése A rendszerező képesség A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Induktív gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, általánosítás). Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere,új ismeretlen bevezetése, grafikus módszer) Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák több ismeretlenes egyenletrendszerre. Elsőfokú egyenlőtlenség és egyszerű egyismeretlenes egyenlőtlenség-rendszerek megoldása Abszolútértékes egyenletek megoldása algebrai és grafikus úton. Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok), Példa számrendszerekre. Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. Egyenlőtlenség megoldásának ábrázolása számegyenesen. 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 8
Függvények, sorozatok (25 óra) A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése A megfelelő modell megkeresése Egyenlet és függvény kapcsolatának megismertetése. Célszerű eszközhasználat. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, gyakorlati példák további függvényekre (pl.: egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a fordított a arány, x a. x Értékkészlet, értelmezési tartomány, zérushely, monotonitás, paritás, szélsőértékek. Az elemi függvények grafikonjainak geometriai tulajdonságai. Függvénytranszformációk Példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén, nyújtás és tükrözés az x tengelyre) Másodfokú függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással, elemi racionális törtfüggvény ábrázolása átalakítással. Két ismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. Az alapfüggvények ábrázolása értéktáblázat nélkül, tulajdonságainak ismerete Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével. Az alapfüggvények transzformációi A teljes négyzetté alakítás módszerének ismerete. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 9
Geometria (50 óra) Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása. Derékszögű háromszögekkel kapcsolatos ismeretek alkalmazása gyakorlati feladatokban Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, sugarának meghatározása, körülírt köre, magasságpont, súlypont, a súlyvonal mint területfelező. Thalész tétele és megfordítása, néhány alkalmazás, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. Pitagorasz tételének alkalmazása. Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete, tompaszögű háromszög magasságvonalának meghatározása A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete Érintő szerkesztése Thalészkörrel. Pitagorasz tételének alkalmazása kétlépcsős feladatokban. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 10
A transzformációk mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése. A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a paralelogramma ekvivalens tulajdonságai). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az alakzatok egybevágósága, sokszögek egybevágóságának, speciális sokszögek egybevágóságának esetei. Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (10 óra) A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben Háromszögek és speciális négyszögek egybevágósági alapeseteinek ismerete. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 11
10. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 148 Gondolkodási módszerek (10 óra) A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése A bizonyítási igény további A tanult matematikai modellek alkalmazása gyakorlatorientált feladatokban. Tétel és megfordítása (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv konkrét példákon keresztül). Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életből. Stratégiai játékok, rejtvények, érdekességek a matematika területéről. A matematika alkalmazhatóságának bemutatása a modern kor legnépszerűbb területein (hightech, informatika, mobilkommunikáció, űrkutatás, stb.) A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése. Egyszerű sorba rendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. Számtan algebra (50 óra) A permanencia elve a számfogalom bővítésében. A definíciók pontos megfogalmazására való igény fejlesztése A számolási készség A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedes tört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között Példák irracionális számokra. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás azonosságai. Számolás pontos értékkel irracionális kifejezések esetén, egyszerűsítések, gyöktelenítések. Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 12
A hatványfogalom további kiterjesztése. A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése Az algoritmikus gondolkodás Matematikai problémák egyszerűbb feladatra való visszavezethetőségének felismerése. A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban. A négyzetgyökvonás azonosságai: ismétlés. Az n- edik gyök fogalma, azonosságai. Racionális kitevős hatványok. A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak,. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Törtes másodfokú egyenletek. Egyszerű, a diszkrimináns vizsgálatát megkívánó paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével. Másodfokú egyenletre és egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok. Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Másodfokú egyenlőtlenség megoldása szorzattá bontás és számegyenes segítségével. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben Számolás racionális kitevős hatványokkal. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. A gyökök száma és a diszkrimináns előjele közötti összefüggés ismerete. Másodfokú kifejezés szorzatalakjának felírása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Egyenletek megoldása új ismeretlen bevezetésével egyszerűbb esetekben. Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása. Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása A megoldások ellenőrzése. Megengedett és nem megengedett lépések körének ismerete egyenlőtlenség megoldása során. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 13
Függvények, sorozatok (26 óra) Függvény és egyenlet kapcsolatának elmélyítése A négyzetgyökfüggvény, A másodfokú függvény ismétlése, a másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség grafikus megoldása A másodfokú függvény biztos ábrázolása, tulajdonságainak ismerete Geometria (40 óra) A transzformációs szemlélet Az egybevágósági transzformációk ismétlése. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele.a középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága. A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 14
Kreatív problémamegoldás Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata. A vektorok további alkalmazása. Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése. A matematika gyakorlati felhasználása A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. A háromszögek hasonlóságának alapesetei A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja), arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel) Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. A vektorok összege, különbsége, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe Egyszerű szerkesztési feladatok. Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában. Az alapesetek ismerete A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál. Két vektor összegének és különbségének megszerkesztése Az ívmértékre való átváltás elvégzése. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 15
Valószínűség, statisztika (16 óra) A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése. Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése Relatív gyakoriság. Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra) Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 16
11. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 111 Gondolkodási módszerek (2 óra) A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása. Számtan, algebra (40 óra) A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat). Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése Az önellenőrzés igényének. A koncentrációs készség A hatványozás kiterjesztése negatív egész kitevőre, pozitív alap esetén racionális kitevőkre, a hatványozási azonosságok: ismétlés A logaritmus értelmezése. A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai. Exponenciális és logaritmikus egyenletek, Érettségi szituációs gyakorlat A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész és racionális kitevő esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben. A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet esetén. Függvények, sorozatok (15 óra) A függvényfogalom fejlesztése Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között A bizonyításra való törekvés az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 17
Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformációk további alkalmazása A négyjegyű függvénytáblázatok, matematikai összefüggések és a zsebszámológép célszerű használata. Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban Függvények alkalmazása algebrai feladatokban. A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, tgx és ctgx szabatos definíciója és értelmezési tartománya. Összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin 2 a + cos 2 a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). Az egységkör használata szögvisszakeresésben. Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x a sinx, x a cosx és x a tgx függvények ábrázolása és tulajdonságai. Szögvisszakeresés egységkörrel és/vagy fúggvénnyel. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 18
Geometria, mérés (48 óra) Tervszerű munkára nevelés Az esztétikai érzék A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása Szinusztétel, koszinusztétel Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek A háromszög szinuszos területképlete. A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdonságai Vektorok a koordinátarendszerben A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve A skaláris szorzat alkalmazásai; Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor 90 -os elforgatottja koordinátarendszerben. Szakasz felezőpontja és harmadoló pontja A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenlete. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat). Vektorok alkalmazásai. Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 19
Adott probléma többféle megközelítése. A koncentrációs készség Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A kör érintője. Koordinátageometriai módszerek az érintő meghatározására. Érettségi szituációs gyakorlat. Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenes egyenletét Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata. Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra) A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 20
12. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 150 Gondolkodási módszerek (20 óra) Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A gráf modellként való felhasználása. A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal. Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: és, (megengedő) vagy, állítás tagadása, ekvivalencia, implikáció A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk Feladatok megoldása gráfokkal. Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása. Számtan, algebra (22 óra) Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és internethasználat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása. Rendszerező összefoglalás Számhalmazok Számelméleti összefoglalás A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 21
Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés Az önellenőrzés fontossága. A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés A koncentrációs készség Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok Az egyenletmegoldás módszerei Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek Másodfokú kifejezések Másodfokú egyenletek Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. Szöveges feladatok Érettségi szituációs gyakorlat. Függvények, sorozatok (20óra) A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Matematikatörténeti feladatok A legfontosabb közgazdasági és pénzügyi számítások matematikai alapjainak áttekintése. A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege Kamatoskamat-számítás Példák egyéb sorozatokra. Rendszerező összefoglalás Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 22
Az absztrakciós készség fejlesztése A függvényszemlélet fejlesztése A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban. Geometria, mérés (40 óra) A térszemlélet fejlesztése Az esztétikai érzék A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. Térgeometriai ismeretek alkalmazása gyakorlati feladatokban. A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése Az alapfüggvények ábrázolása Függvénytranszformációk f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge A síkra merőleges egyenes tételének ismerete Egyszerű poliéderek. A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A poliéderek felszíne, térfogata A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata Kúpszerű testek A kúpszerű testek felszíne és térfogata A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne A gömb felszíne, térfogata Síkmetszetek alkalmazása egyszerűbb feladatokban, néhány poliéder és forgástest köréírt és beírt gömbje. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 23
A függvényszemlélet fejlesztése A deduktív gondolkodás A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása. A geometriai transzformációk áttekintése Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Vektorok, vektorok koordinátái Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások Derékszögű koordinátarendszer Alakzatok egyenlete Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. Valószínűség, statisztika (20 óra) A valós helyzetek Valószínűségi kísérletek, értelmezése, megértése és a valószínűség becslése, értékelése. kiszámítása egyszerű esetekben A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben. Modellalkotásra nevelés Modell és valóság kapcsolata. A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Relatív gyakoriság A valószínűség klasszikus modellje. Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség ellenőrzés). Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján. A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 24
Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, medián, módusz, szórás Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell. Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása. Felkészülés az érettségire (28 óra) A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 25
Általános osztály emelt szintű érettségi csoport 11. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 185 Gondolkodási módszerek (15 óra) A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése A többféle megoldási mód lehetőségének keresése Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása. Véges halmaz permutációi, variációi, kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben Binomiális együtthatók, binomiális tétel, Pascalháromszög Véges halmaz részhalmazainak száma Vegyes kombinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk Feladatok megoldása gráfokkal. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása. A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai. Számtan, algebra (50 óra) A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat). A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre, a hatványozási azonosságok: ismétlés A logaritmus értelmezése A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete A logaritmus azonosságai. A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész és racionális kitevő esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 26
Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése Az önellenőrzés igényének A koncentrációs készség fejlesztése A vizsgaszituáció gyakorlása. Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek Paraméteres egyenletek Egészek körében oszthatósági feltétellel megoldható exponenciális egyenletek. Az exponenciális, illetve logaritmus függvény monotonitási tulajdonságának kihasználásával megoldható egyenletek. Emelt szintű érettségi feladatok A definíció és az azonosságok alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet, egyenlőtlenség esetén. Függvények, sorozatok (50 óra) A függvényfogalom fejlesztése Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között A bizonyításra való törekvés Az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben A logaritmus és az exponenciális függvény tulajdonságai A logaritmus függvény mint az exponenciális függvény inverze. Az exponenciális és a logaritmus függvény grafikonjainak ismerete. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 27
Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformációk további alkalmazása A négyjegyű függvénytáblázatok, matematikai összefüggések és a zsebszámológép célszerű használata. Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban Függvények alkalmazása algebrai feladatokban. A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, tgx és ctgx szabatos definíciója és értelmezési tartománya. Összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin 2 a + cos 2 a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). Az egységkör használata szögvisszakeresésben. Nevezetes szögek felismerése és szögfüggvényeinek meghatározása ívmértékes megadás esetén A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, paritás, korlátosság, konvexitás), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x a sinx, x a cosx és x a tgx függvények ábrázolása és tulajdonságai. Szögvisszakeresés egységkörrel és/vagy fúggvénnyel. Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték). Az alapfüggvények transzformációi. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 28
A matematika alkalmazása a gyakorlati életben Matematikatörténeti feladatok A legfontosabb közgazdasági és pénzügyi számítások matematikai alapjainak áttekintése. Bevezetés a matematikai analízisbe Az absztrakciós készség fejlesztése a végtelen fogalmának vizsgálata során. A koncentrációs készség fejlesztése A vizsgaszituáció gyakorlása. A sorozat fogalma Számtani és mértani sorozat, az n.-edik tag, az első n elem összege. A számtani és mértani közép tulajdonság. Áttéréses feladatok Kamatoskamat-számítás, törlesztőrészlet- és gyűjtőjáradékszámítás Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Fibonaccisorozat). Sorozatok monotonitása, korlátossága, számhalmaz alsó és felső határa, Határérték fogalma Műveletek és határérték Nevezetes határértékek. A végtelen mértani sor fogalma, összege Emelt szintű érettségi feladatok. Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban Kamatoskamat-számítás alkalmazása gyakorlati feladatokban. A határérték fogalmának megértése. Geometria, mérés (60 óra) Tervszerű munkára nevelés Az esztétikai érzék Két vektor skaláris szorzata A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása Szinusztétel, koszinusztétel Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek A háromszög szinuszos területképlete. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 29
A térszemlélet fejlesztése Pontos fogalomalkotásra törekvés Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése A vektorműveletek tulajdonságai Vektorok a koordinátarendszerben A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve. A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), tg(a ± b), sin2a, cos2a, tg2a) Trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Helyvektor Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Vektor 90 -os elforgatottja koordinátarendszerben. Szakasz osztópontja A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza A kör egyenlete. Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat) Vektorok alkalmazásai A kétszeres szögek szögfüggvényeinek ismerete. Trigonometrikus egyenletek néhány típusának ismerete. Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 30
Adott probléma többféle megközelítése. A koncentrációs készség fejlesztése A vizsgaszituáció gyakorlása. Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja Pont és egyenes távolsága Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A két ismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. Két kör kölcsönös helyzete. A kör érintője Az érintő meghatározása Thalészkörrel, vektoros és paraméteres módszerrel A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete Elemi geometriai problémák megoldása koordinátarendszer segítségével. Emelt szintű érettségi feladatok. Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenes egyenletét Két egyenes metszéspontjának meghatározása Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata Érintő szerkesztése legalább egyféle módszerrel. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 31
Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (10 óra) 12. ÉVFOLYAM ÉVI ÓRASZÁM: 224 Gondolkodási módszerek (20 óra) Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A deduktív gondolkodás Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű azonosságok A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása Példák a teljes indukció megismertetésére A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése, elmélyítése. A kombinatorika és a gráfelmélet alkalmazása a számítástechnikában Bináris kódok. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Számtan, algebra (35 óra) Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és internethasználat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása. Rendszerező összefoglalás Számhalmazok Számelméleti összefoglalás A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok Közelítő értékek. Egyenletek Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. A Bornemisza Péter Gimnázium, Általános Iskola, Alapfokú Művészetoktatási Intézmény és Sportiskola Pedagógiai programja 32