Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való oszthatóságra Megoldás A kettővel való oszthatósági kritériumot köyű észrevei: egy szám akkor osztható -vel, ha utolsó számjegye 0,, 4, 6 vagy 8 (vagyis egy szám potosa akkor páros, ha utolsó számjegye is páros) Bizoyítás Legye egy természetes szám és a az utolsó számjegye Ekkor felírható 0 + a alakba, ahol (tulajdoképpe a ) Ie következik, hogy a 0 5, tehát a osztható kettővel Ez pedig azt jeleti, hogy az és a számok paritása (páros vagy páratla volta) megegyezik, vagyis potosa akkor páros, ha a is páros (0,, 4, 6 vagy 8), és ha a páratla, akkor is páratla Hasolóa igazolható a következő kijeletés helyessége is (öttel való oszthatósági szabály): egy szám potosa akkor osztható öttel, ha utolsó számjegye 0 vagy 5 A hárommal való oszthatósági szabály a következő: egy szám akkor és csak akkor osztható -mal, ha számjegyeiek összege is osztható -mal Bizoyítás Ha aa am (a, a,, am számjegyek), S a számjegyek összege, akkor a szám és számjegyeiek külöbsége S aa a ( a + a + a ) m m m m m a 0 + a 0 + + a 0 + a ( a + a + + a m ) m m m k k m k k m k m k ( 0 ) a k 999 ak a k, tehát az és S külöbsége osztható hárommal Ie következik, hogy az csakis akkor osztható -mal, ha számjegyei összege is osztható -mal A bizoyításból jól látszik a kileccel való oszthatósági szabály is (sőt, a két kritérium bizoyítása teljese azoos): egy természetes szám akkor és csak akkor osztható 9-cel, ha számjegyei összege osztható kileccel Héttel való oszthatósági kritérium: az a a am természetes szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha az f ( ) aa am am szám osztható héttel (például f (0) 0 4, tehát 0 osztható 7 -tel) Bizoyítás Tegyük fel, hogy osztható héttel, ekkor 7,k k De 0 aa am + am 0 ( aa am am) + am 0 f( ) + a m, ie m
6 Valós számok pedig következik, hogy 0 f ( ) + am 7k 0 f( ) 7( k am), tehát 0 f ( ) osztható héttel Mivel 0 és 7 relatív prímek, kapjuk, hogy f ( ) osztható héttel Ha f ( ) 7, ll N, akkor 0 f ( ) + am 0 7l + am 7 (0l + a m ), így is osztható héttel Tizeeggyel való oszthatóság: egy szám csak akkor osztható -gyel, ha a számjegyeiből alkotott alteráló összeg osztható -gyel (például a 8079 számjegyeiből alkotott alteráló összeg 9 + 7 0+ 8, tehát 8079 osztható -gyel) A bizoyítás hasolít a -mal, illetve 9-cel való oszthatóság igazolásához Ha aa am, akkor a számjegyeiből alkotott alteráló összeg S a m am + am + ( ) m a, így S aa a ( a a + + ( ) a ) m m m m m m m m m am am am am a a 0 + a 0 + + a 0 + a 0 + + ( + + ( ) ) m (0 + ) a + (0 ) a + (0 + ) a + + (0 + ( ) ) m m m m m m k k ( ) k k 0 ( ) a m k ( ) ( ) am k k k m m ( ) k k M + ( ) a m k M am k k k + + + ( ), ahol M a valamely többszörösét jeleti Tehát S midig osztható -gyel, így akkor és csak akkor osztható -gyel, ha S osztható -gyel + 4 + 49 4 Bizoyítsd be, hogy ha páratla természetes szám, akkor osztható 64-gyel Bizoyítás Mivel egy páratla természetes szám, létezik egyetle olya k szám, amelyre k + Tehát A 4 + 4 + 49 ( + 7) ( 4k + 4k + + 7) [4 kk+ ( ) + 8 ] Tudjuk, hogy két egymás utái szám szorzata midig páros (az egyikük biztosa páros), így k( k + ) m,m N Ezt felhaszálva írhatjuk, hogy A (8 m + 8) [ 8( m + ) ] 64( m + ), tehát A többszöröse 64-ek Bizoyítsd be, hogy ha b a, c a és ( bc, ), akkor bc a Bizoyítás A b a és c a oszthatóságokból következik, hogy létezek a k, l természetes számok, amelyekre a k b és a l c Ie k b l c, tehát kb a
Valós számok 7 osztható c -vel, de mivel ( bc, ), k osztható c -vel Tehát létezik olya m, amelyre k m c Ezt visszahelyettesítve az a k b összefüggésbe, kapjuk, hogy a m b c, vagyis a osztható b c-vel 4 Bizoyítsd be, hogy öt egymás utái természetes szám szorzata osztható 0-szal Általáosítás! Bizoyítás 0 4 5 5, tehát elégséges igazoli, hogy öt egymás utái természetes szám szorzata osztható -el, -mal és 5 -tel Az öt szám közül legalább kettő páros, ezek egymás utái páros számok, tehát az egyik osztható 4 -gyel és a másik -vel, így a szorzatuk osztható 8 -cal Három egymás utái természetes szám közül az egyik osztható -mal, tehát az öt közt is va -mal osztható Öt egymás utái természetes szám közül az egyik osztható 5 -tel, tehát a szorzat osztható 5 0-szal Ez a godolatmeet eheze terjeszthető ki több számra, ezért az általáos esetre más megoldást kell találuk A tulajdoság általáosabba a következőképpe fogalmazható meg: k k darab egymás utái természetes szám szorzata osztható k!-sal, ahol! k ( + k)! A tulajdoság ekvivales azzal, hogy az kifejezés egész szám mide! k! * k, eseté és ezt úgy fogjuk beláti, hogy tetszőleges p prímszámra igazoljuk, hogy a számlálóba legalább akkora a kitevője, mit a evezőbe Ehhez szükséges megvizsgáli, hogy a p -ek mi a kitevője m! prímtéyezős felbotásába (m m tetszőleges) Az,,,, m számok közt p -ek többszöröse va, ezek közül p m m p p m r osztható -tel, osztható p -el és általába osztható p -el, ha r p p r Így a p kitevője az m! prímtéyezős felbotásába m m m m + + + p p r p r p Ezt a tulajdoságot Legedre-féle tételek is evezik Másrészt az [ x] + [ y] [ x + y], k xy, egyelőtleség alapjá + k + + k r p r r r r p, vagyis ( )! r p felbotásába a p kitevője legalább akkora, mit az! k! felbotásába Mivel ez a tulajdoság mide prímszámra igaz, az ( + k)! kifejezés egész szám mide! k! * k, eseté, és így az ( + )( + )( +k) szorzat osztható k - val
8 Valós számok 5 Háy ullára végződik az 4 00 szorzat? Megoldás A vizsgált szorzat prímtéyezős felbotásába agyobb -ek a kitevője, mit 5 -ek, ezért elégséges az 5 kitevőjét meghatározi Az,,,,00 00 számok közül 400 osztható 5 -tel Ezek közül 00 80 osztható 5 -tel, 5 5 00 6 osztható 5 -tel, 00 osztható 65 -tel, és így az 5 kitevője 5 65 400 + 80 + 6 + 4 + (6 ) + (80 6) + (400 80) 499 Tehát az 4 00 szorzat 499 ullába végződik 6 Határozd meg a kitevőjét az 4 00 szorzatba Megoldás Az előbbi godolatmeet vagy a Legedre-tétel alapjá a kitevője az 00 4 00 szorzatba 667 + + 74 + 4 + 8 + 997 r r 9 7 Bizoyítsd be, hogy a + 99 szám osztható 0-zel Bizoyítás (( ) ) 9 0 ( 60 )( 0 ) ( )( 0 60 0 + )( + ) ( 0 60 0 + )( + ) + + 9 99 9 0 9 0 0 + 9 0 05 8 0 0 60 0 0 05 ( + + + )( + ), 9 99 tehát + osztható tízzel 8 Bizoyítsd be, hogy ha a, b és c egész számok és ( a + b + c) 6, akkor 5 a + b + c is osztható 6-tal Bizoyítás Elégséges igazoli, hogy 5 ( a b c) ( a b c) + + + + 6 De b b b( b )( b + ) 6, mert három egymás utái természetes szám közt biztosa va páros is és hárommal osztható is Hasolóa 5 a a a( a )( a + ) a( a )( a + )( a + ) 6, tehát ( a 5 b c) ( a b c) ( a 5 a) ( b b) + + + + + 6 9 Bizoyítsd be, hogy ( + + ) 4, Bizoyítás Két esetet külöböztetük meg paritása szerit Ha k +, k, akkor k+ + + (4 ) + 4k + + v 4 + 4k + 5 4 ( v + k + ) 4, ahol v Ha, k k, akkor + + + + v 4+ + 4k + 4 ( v + k + ) 4, k (4 ) 4k
Valós számok 9 aholv egy természetes szám 0 Milye számredszerbe érvéyes a következő szorzás 5 4 074? Megoldás Ha x a számredszer alapja, akkor a 4 (x + 5) x + x + 4 x + x + 7x + 4 ( ) 4 egyelethez jutuk Ez x 6x 5x 6x 6 0 alakba írható, és az egyetle 7 -él agyobb természetes szám gyöke az x 8, tehát a szorzás a 8 -as számredszerbe érvéyes Vizsgáld meg, hogy az alábbi egyeletekek va-e megoldása a természetes számok halmazába: a) xy ( x + y) 00; b) x + y x y 00; c) x y 4; x y d) x y 7; e) 5 + z (x 0 ); f) x + y x + y Bizoyítás a) Ha az xy, számok közül valamelyik páros, akkor az xy (x + y) szorzat is páros, tehát xy(x + y) em lehet páratla Ha x és y páratlaok, akkor x + y páros, így xy( x + y) ebbe az esetbe sem lehet páratla Mivel más eset ics, következik, hogy xy(x + y) midig páros, tehát az xy( x + y) 00 egyeletek ics megoldása -be b) Az x + y x y 00 egyelet még x( x ) + yy ( ) 00 alakba is írható Mivel két egymás utái szám szorzata midig páros és két páros szám összege is páros, következik, hogy az egyelet bal oldala csak páros értékeket vehet fel, tehát sosem lehet 00 c) Tegyük fel, hogy a x y 4 egyeletek va természetes megoldása Ekkor létezik x0, y0 N úgy, hogy x0 y0 4 4 ( x0 7y0), s mivel ( x0 7y0), ez azt jeleteé, hogy 4 osztható hárommal, így yilvávalóa elletmodáshoz jutottuk Következik, hogy feltételezésük hamis volt, tehát az egyeletek ics természetes megoldása d) Az egyelet egy megoldása x 5 és y e) A bal oldal utolsó számjegye 6, tehát z 4 A jobb oldal osztható 4 -gyel és a bal oldal 4 -gyel való osztási maradéka + ( ) y, tehát y páratla A jobb oldal -mal x is osztható, míg a bal oldal -mal való osztási maradéka ( ), tehát x páros Ezek alapjá létezik olya x, y,z, amelyekre x x, y y + és z 4z Az eredeti egyelet tehát ( ) ( ) ( )( y x + z x 5 z x z 5 + 5 z x alakba írható x z 5 és + 5 relatív prímek és prímszám, tehát az z x z x y + előbbi egyelőség csak akkor lehetséges, ha 5 és + 5 )
0 Valós számok z (( ) ) z Másrészt 4 és 5 x 4, tehát a vizsgált egyeletek ics megoldása a természetes számok halmazába f) x + y x + y x x + + y y + ( x ) + ( y ), ami lehetetle, mert két pozitív szám összege em lehet egatív Határozd meg a hiáyzó számjegyeket úgy, hogy a) 6 5xy; b) 45 4x68y; c) 99 6xy 47 4 5xy Megoldás a) 6 5xy Az első oszthatóság alapjá y értéke 0, 4 9 5x y vagy 8 lehet Ha y 0, a második oszthatóság alapjá 9 (9 + x), s mivel x számjegy, következik, hogy x 0 Ha y 4, akkor 9 ( + x), tehát x 5 Ha y 8, akkor 9 (7 + x), tehát x 5 4x68 y y {0, 5} b) 45 4x68y Ha y 0, akkor 9 (0 + x), 9 4x68y 9 (0 + x + y) tehát x 7 Ha y 5, akkor 9 (5 + x), tehát x 9 6xy47 9 ( + x + y) c) 99 6xy47, ahol xy, számjegyek Ebből 6xy47 ( + x y) ( x + y) {6,5} következik, hogy Az így kapott égy egyeletredszer közül csak ( x y) {,9} x + y 6 egyek va megfelelő megoldása, az redszerek, ie pedig x x y y 4 + + 8 Lehet-e egyszerre egész az és az, ha? 5 + + 8 Megoldás Tételezzük fel, hogy létezik olya, amelyre és egészek 5 Ekkor ( + ) 5, ( + 8), ie pedig + és + 8 oszthatóak hárommal Következik, hogy külöbségük is osztható -mal, tehát ( + 8 ) ( + ) 7, ami egy hamis állítás Következik, hogy em létezik olya, amelyre midkét tört értéke egész legye 4 Bizoyítsd be, hogy ha a természetes számokat írjuk a tizedes vessző utá övekvő sorredbe, a kapott szám em lesz racioális
Valós számok Megoldás A kapott szám em véges, mert végtele sok természetes szám létezik és em lehet periodikus sem, mert tetszőleges eseté végtele sok olya természetes szám létezik, amelyek több mit darab egymás utái számjegye 0 Így ha a periódus hossza vola, akkor ezeket a számokat a periodikus rész em tartalmazhatá és ez em lehetséges (mert végtele sok va belőlük) 5 Határozd meg azokat az a, b, c és d számjegyeket, amelyekre abcd + bcd + cd + d 9844 Megoldás abcd + bcd + cd + d 9844 000 a + 00 b + 0 c + 4 d 9844 000 ( a 9) + 00 (b 8) + 0 (c 4) + (4d 4) 0 Az összeg első három tagja többszöröse 0-ek, ie következik, hogy (4 d 4) is osztható kell legye tízzel, tehát d {, 6} Ha d -et helyettesítük vissza, következik, hogy 000 ( a 9) + 00 (b 8) + 0 (c 4) 0, ie pedig 00( a 9) + 0( b 4) + (c 4) 0 Az összeg első két tagja többszöröse 0-ak, következik, hogy ( c 4) 0, tehát c 8 és 00( a 9) + 0( b 4) + 0 0 azaz 5 a + b 48, ami csak úgy lehetséges, ha a 9 és b Ha d 6 -ot helyettesítük vissza, következik, hogy 000 ( a 9) + 00 (b 8) + 0 (c 4) + 0 0, ie pedig 00 ( a 9) + 0( b 4) + (c ) 0 Az összeg első két tagja többszöröse 0-ak, következik, hogy ( c ) 0, ami egyetle c számjegy eseté sem teljesül Tehát az egyetle szám, amely kielégíti az egyeletet, az a bcd 98 6 Vizsgáld meg, mi lehet az osztási maradéka egy teljes égyzetek 4-gyel, -mal, 5-tel, 7- tel Megoldás Ha x, k k, akkor x 4 k, tehát x 4 Ha x k +, k, akkor x 4( k + k ) + Tehát egy teljes égyzetek éggyel való osztási maradéka 0 vagy lehet Hasolóa, ha x k ±, akkor x (k ± k) +, ha pedig x k, akkor x, tehát egy teljes égyzet -al való osztáskor 0 vagy maradékot adhat Ha x 5k ±, akkor x 5(5k ± k) +, ha x 5k ±, akkor x 4 5(5k ± 4 k ) +4, ha pedig x 5k, akkor x 5 A lehetséges maradékok:0,,
Valós számok Hasolóa kapjuk, hogy egy teljes égyzet héttel való osztási maradéka 0,,, 4 lehet Megjegyzés A levezetések alapjá jól látszik, hogy a teljes égyzetek -el való + osztási maradékait megkapjuk, ha meghatározzuk az -él kisebb természetes számok égyzeteiek -el való osztási maradékaiak halmazát 7 Határozd meg azokat az x egész számokat, amelyekre a) ( 4x ) 7; b) ( x ) ; c) ( 7x + 4) Megoldás a) Mivel (5, 7), ezért a (4 x ) 7 feltétel egyeértékű azzal, hogy [5(4x )] 7, ez pedig redre a következőkkel ekvivales: (0x 5) 7, [ 7(x ) (0x 5) ] 7, ( x 4 0x + 5) 7, ( x + ) 7, tehát k úgy, hogy x + 7k, ie pedig x 7k Tehát mide x 7k,k alakú szám megoldás b) (x ) [ 4( x ) ] (x + x 8) ( x 8) k úgy, hogy x 8 k x k + 8, k c) ( 7x + 4) [ ( 7x + 4) ] (x + x + 8) ( x + 8) k úgy, hogy x + 8 k x k 8, k 8 Bizoyítsd be, hogy ha a b c + d, akkor ( ab,) (, bd) Bizoyítás Ha ( ab,) x és ( bd, ) y, igazoli kell, hogy x y Mivel x (,) a b, x osztja a -t is és b -t is, tehát x a, x bc, ie pedig x ( a bc) x d Tehát x d és x b, így x -ek osztaia kell y -t is (mert y értelmezés szerit b és d közös osztói közül a legagyobb) Kapjuk tehát, hogy x y Hasolóa bizoyítható a fordított oszthatóság is: y ( bc + d) y a, y b y ( a, b) y x y (, b d) y b, y d Az x y és y x oszthatóságokból következik az x y egyelőség 9 Adjál algoritmust két szám lko-jáak és lkkt-éek meghatározására Megoldás Ha a és b a két szám (a > b), akkor az előbbi tulajdoság alapjá a következő lépéseket végezhetjük: Osztjuk a -t b -vel, jelöljük q -gyel és r -gyel a háyadost és a maradékot Osztjuk b -t r -gyel, jelöljük q -vel és r -vel a háyadost és a maradékot Mide eseté osztjuk r -et -gyel, jelöljük q -gyel és r - gyel a háyadost és a maradékot r + +
Valós számok Ebbe az eljárásba az előbbi feladat alapjá ( r, ) (, ) r a b,, tehát az + utolsó ullától külöböző maradék az eredeti két szám legagyobb közös osztója (ezt a evezik Euklideszi algoritmusak) Ha d (, a b ) és t [, a b], akkor t b, tehát d meghatározható a legkisebb közös többszörös is 0 Bizoyítsd be, hogy bármely eseté az szám osztható 6-tal Bizoyítás Mivel 6 és (, ), elég igazoli, hogy az ( ) ( + ) szorzat osztható -vel és -mal Az és egymás utái számok közül potosa az egyik biztosa páros, ezért ( ) mide eseté, tehát midig páros Ha, k k, akkor ( ) k( + ), ha k +, k( + ), ha pedig k, akkor ( ) k Tehát mide természetes szám eseté,, így 6, Igazold, hogy három egymás utái egész szám köbéek összege osztható -mal Megoldás A a + ( a + ) + ( a + ) a + ( a + a + a + ) + ( a + 6a + a + 8) ( a + a + 5a + ), tehát A osztható hárommal Adottak az a 00 : 40 58 ( 0 5 ): 7 ( 4 57 : 4 56 4 ) 97 + + és a b 0 : { + 4 : ( ) } : 8 7 0 5 számok Határozd meg az a és b számok lko-ját és lkkt-ét Megoldás ( ) ( ) 00 40+ 58 0+ 5 7 57 56 97 ( ) 98 98 97 ( ) ( ) 0 5 b 0 : { 4 : ( ) : 8 7 } 4 0 : { + 4 : ( ): ( ) } a : + + 4 00 40 58 0 5 7 57 56 4 97 : + : + 4 : 4 00 00 98 00 99 : + + 4 : 6 (,) ab (6,8) és [ ab, ] [6,8] 4 + 0 : ( + 4 : 7) 000 : 5 8 Az a és b számok lko-ja 5, lkkt-e 80 Melyek ezek a számok?
4 Valós számok Megoldás Az a, b számok lko-ja 5, ezért a 5x, b 5y, ahol xy, és (, xy ) Ekkor 80 [ ab, ] [5 x,5 y] 5[ xy, ], tehát [ xy], 80: 5 (, xy) x vagy x vagy x 4 [, xy] y y 4 y 5 megoldások: a, a 45 a 60, a 80, b 80 b 60 b 45 b 5 vagy x Tehát a y 4 Két természetes szám összege 00 Határozzuk meg a számokat, ha legagyobb közös osztójuk 87 Megoldás Legye a két szám a és b Az ( ab,) 87 feltétel alapjá a 87x, b 87y, ahol x és y két egymással relatív prím természetes szám Ekkor 00 a + b 87( x +y), ie kapjuk, hogy x + y Ez utóbbi összefüggés tartalmazza azt is, hogy x és y relatív prímek, hisze ha d x,d y, akkor d ( x + y), ie pedig d {, } De d em lehetséges, így marad a d eset, tehát ( xy), Következik, hogy mide ( k, k), k, alakú számpár megoldás, tehát a feladat megoldásai ( ab,) (87, k 87 ( k)), k, 5 Határozd meg az 49a4b számot, ha 8 és ( ab + ) 9 Megoldás 8 4, 7 4b 4,(49a4 b) 7 ( ab + ) 9 (0a + b + ) 9 ( a + b + ) 9 b {0,4,8}, (0a + 4 b) 7 ( a + b) {8,7} Ha a + b 7, a b {0,4,8} feltétel alapjá a 9 és b 8, ekkor viszot 0a + 4 b 78 em osztható héttel Következik, hogy a 8 b, így 0a b + 4 84 b csak akkor osztható héttel, ha b 0, ekkor a 8, tehát a keresett szám az 49840 6 Bizoyítsd be, hogy ha az természetes szám em osztható 7-tel, akkor az 6 6 N + szám természetes szám 7 7 Bizoyítás Az szám héttel való maradéka lehet,,, 4, 5 vagy 6 Mid a hat + 6 7 6 6 esetbe -ak 7 -tel való osztási maradéka, tehát ( ) 0 000 7 Bizoyítsd be, hogy az N + + + + szám osztható -mal és az 000 M N szám osztható 40-el 0 Bizoyítás Észrevesszük, hogy felírható + + alakba Ezért az N összeg tagjait a következőképpe csoportosítjuk:
Valós számok 5 0 000 N + + + + 0 ( ) + ( + 4 + 5 ) + + ( 998 999 000 + + + + 0 998 ( 0 + + ) + ( + + ) + + ( 0 + + ) 6 998 ( 9) ( + + ) ( + + 6 998 ) + + + + + + N 0 Hasolóa, mivel 40 + + +, M tagjait égyesével csoportosítjuk: 0 999 M + + + + ( 0 4 5 6 7 996 ) + ( + + + ) + + ( 997 998 999 ( 0 4 0 996 ) + ( + + + ) + + ( 0 ) ( 4 8 996 + + + + ) 40 ( 4 996 M + + + + + + + + + + + + ( + + 9 + 7) + + + ) 40 8 a) Bizoyítsd be, hogy em létezik olya természetes szám, amely égyzetéek hárommal való osztási maradéka b) Oldd meg az egész számok halmazá a b 9a b + 0 egyeletet Megoldás a) Három esetet vizsgáluk -ek hárommal való osztási maradéka szerit: ha, l l, akkor 9l, tehát em k + alakú ha l +, akkor 9l + 6l + (l + l) + em k + alakú ha l +, akkor 9l + l + 4 (l + 4l + ) + em k + alakú Következik, hogy egy teljes égyzet hárommal való osztási maradéka csak a 0 és értékek valamelyikét veheti fel, sosem lehet b) A b 9a b + 0 egyeletet még így is írhatjuk: b + b + 9a +, ( b + ) (a + ) + Midkét oldal hárommal való osztási maradékát ézve, azt kapjuk, hogy ( b + ) -ek -mal való osztásakor maradékul kettőt kapuk, ez pedig elletmod az a) potba megfogalmazott állításak Tehát az adott egyeletek ics megoldása az egész számok halmazába 9 Határozd meg azokat az természetes számokat, amelyekre az +, + 7, +, + 9, + 5 számok midegyike prímszám Megoldás -ek öttel való lehetséges osztási maradékai szerit öt esetet külöböztetük meg Ha 5k +, k, akkor + 9 5k + 0 5 ( k + 4) em lehet prímszám Ha 5k +, k, akkor + 5k + 5 5 ( k + ) em lehet prímszám Ha 5k +, k, akkor + 7 5k + 0 5 ( k + ) em lehet prímszám Ha 5k + 4, k, akkor + 5k + 5 5 ( k + ) potosa akkor lesz prímszám, ha k +, vagyis ha 4 Ez az érték valóba teljesíti a feltételeket ) )
6 Valós számok Ha 5, k k, akkor + 5 5k + 5 5 ( k + 5) em lehet prímszám Tehát az egyetle megfelelő szám az 4 0 Bizoyítsd be, hogy az 5 + + 8 tört irreducibilis, bármely eseté Bizoyítás Adott eseté legye d (5 +, + 8) Ekkor d 5 +, d + 8, tehát d [ 5 ( + 8) (5 + ) ], ie pedig d Következik, hogy d, vagyis bármely eseté (5 +, + 8) a) Igazold, hogy kk ( + ) k k+ b) Bizoyítsd be, hogy + + + + < 9 4 9 6 00 0 k + k k + k Bizoyítás a) kk ( + ) kk ( + ) kk ( + ) kk ( + ) k k+ ; b) + + + + + + + < + + + 4 9 6 00 0 0 9 0 9 + + + + 4 9 0 0 0 7 5 5 4 Bizoyítsd be, hogy a +, és + számok összetett számok Bizoyítás 7 5 7 5 + ( ) + ( ) v + v ( v + v ), 7 5 ahol v,v egész számok Tehát ( + ), így em lehet prím ( ) 5 4 4 (7 ) (7 ) v 7 7 + 7 ( v ) 7, ahol v ( ) 4 4 4 (7 ) (7 ) + + + (7v 4 ) 7+ v4 7 ( ) 7, ahol v 4 05 05 Bizoyítsd be, hogy a + szám osztható 5-tel, 5-tel, 75-tel és 5-tel Az + + + ( + )( + + ) a b a b a a b a b ab b ( ) 05 05 + (+ ) 5 Ugyaezt a képletet haszálva, kapjuk, hogy illetve (( ) 5 ( ) 5 ) ( ) 05 05 + + + 5, képlet alapjá
Valós számok 7 és (( ) ( ) ) ( ), 05 05 5 5 5 5 + + + 75 (( ) 5 ( ) 5 ) ( ) 05 05 7 7 7 7 + + + 5 I Gyakorlatok és feladatok (5 oldal) Milye racioális számok tizedes reprezetációi a következő számok? a) 0,(5) ; b), ; c) 4, 5 ; d) 0, () ; e), () ; f) 5,(4) ; g) 0, () ; h) 5,5() ; i) 0, 4() ; j), 4() Megoldás 5 5 45 49 a) 0,(5) ; b), ; c) 4, 5 ; 999 7 00 00 0 4 70 d) 0, () ; e), () ; 9 99 4 6 58 6 f) 5, (4) 5 5 ; g) 0, () ; 999 990 495 5 5 499 6999 h) 5, 5() 5 5 ; 9900 00 00 4 4 47 4 4 97 547 i) 0, 4() ; j), 4() 990 990 900 5 5 Írd végtele tizedes szám alakjába a következő törteket: a) 0 ; b) e) ; f) 6 7 ; c) ; d) 8 ; 5 ; g) ; h) 0 5 Megoldás a) 0 9,(9) 0,(0) ; b) 7,() ; c), 5(0), 4(9) ; d) 8, 6(0), 5(9) 5 ; 6 e) 0, (6) ; f) 0,(9076) 6 90 ; g) 0, 4() ; 0 h) 0, (4857) 5 Határozd meg a következő számok századik tizedes jegyét: a), () ; b), 75 ; c),(4) ; d) e) 0 ; f) ; g) 5 47 4 5 ;
8 Valós számok Megoldás a) Köyű beláti, hogy a tizedesvessző utái számjegyek az első kettő kivételével periodikusa ismétlődek Mivel a periódus kettő, ezért a századik számjegy megegyezik a 98-al, ez pedig a 96-al, s folytatva a godolatmeetet, kapjuk, hogy a századik számjegy egyelő a egyedikkel, ami az -es Általáosa, az N c, aa a ( bb b ) alakú szám -dik tizedes jegyét a i j következőképpe határozhatjuk meg: ha 0 < i, akkor a keresett számjegy a lesz, ha i <, akkor legye m az ( i) -ek j -vel való osztási maradéka Ha m 0, akkor az -dik számjegy a b j, ha pedig 0 < m < j, akkor a keresett számjegy az a m b) A második tizedes utá mid ullák állak, így a századik számjegy a 0 c) A századik számjegy a kettes d) 4 0, 8 0, 8(0), a századik tizedes jegy a 0 5 e) 0,(), a századik tizedes jegy a f), 5(), a századik tizedes 5 jegy a 4 Hasolítsd össze a következő számokat Melyik szám a agyobb? a) és 6 9 ; b) 4 és 5 5 6 ; c) 6 és ; 5 7 d) 5 4 és 7, 49 ; e) és 4, 667 ; f), (7) és, (7) ; g) 4,(4) és 4,(5) ; h) és, (4) ; i) π és, (4) Megoldás a) 4 9 < 6 9 ; b) 4 0 5 9 90 6 < < ; c) 5 6 < 5 5 5 ; 7 d) 5 7, 5 7, 49 > ; e) 4 4,(6) 4, 666 4, 667 < ; f),(7),77 <,777, (7), (7) <,(7) ; g) 4,(4) 4,444 < 4,55 4,(5) 4,(5) < 4,(4) ; h) >, 44 >, 44,(4) ; i) π,4 <,444,(4) 5 Határozd meg a következő számok egészrészét, illetve a törtrészét: a) 7 65 5 ; b) ; c) 6 8 ; d) 4, 9() ; 6 5 e), 5 ; f), 8(4) ; g) ; h) 5 6 Megoldás a) 8, 5 7, így egészrésze 8, törtrésze pedig 0,5; b) 65 0, 8(), egészrésze 0, törtrésze 0,8(); 6 c) 5 0, 5(5748), egészrésze 0, törtrésze 0, 5(5748) ; 8
Valós számok 9 d) [ 4, 9() ] 4, { 4, 9() } 0, 9() ; e), 5 4 + 0, 875 [, 5] 4, {-,5} 0, 875 ; f), 8(4) + 0,(58) [, 8(4) ], {, 8(4) } 0,(58) ; 6 6 6 g), 4 + 0,, 4 0, ; 5 5 5 5 h) 6 8,(6984), tehát 5 9, és 6 { 5 } 0,(8705) 6 6 Határozd meg a következő irracioális számok, illetve 4 tizedessel hiáyal, majd többlettel való közelítéseit: a) ; b) 5 ; c) ; d) 7 ; e) 85 ; f) 00 Megoldás a), 4 < <, 5 ;, 4 < <, 4 ;, 44 < <, 44 ;, { } b), < 5 <, ;, < 5 <, 4 ;,60 < 5 <,6; c), 6 < <, 7 ;, 60 < <, 6 ;, 6055 < <, 6056 ; d) 4, < 7 < 4, ; 4, < 7 < 4, ; 4, < 7 < 4, ; e) 9, < 85 < 9, ; 9, < 85 < 9,; 9,96 < 85 < 9,95 ; f) 44, 8 < 00 < 44, 7 ; 44, 74 < 00 < 44, 7 ; 44, 76 < 00 < 44, 75 7 Határozd meg az x + y, illetve az x y számok három tizedessel hiáyal, majd többlettel való közelítéseit, ha a) x és y 7 ; b) x, 4 és y 5,47 ; c) x,() és y 0 ; d) x 4, 7654 és y 8,(4) Megoldás a) 4, 059 < + 7 < 4, 06 és, 74 < 7 <, 74 ; b) 7, 56 < x + y < 7, 57 és, 64 < x y <, 65 ; c) 6, 8 < x + y < 6, 84 és 9, 870 < x y < 9, 87; d), 86 < x + y <, 860 és 8, 4 < x y < 8, 44 8 Bizoyítsd be, hogy a következő számok irracioálisak: a) ; b) 5 ; c), ha em teljes égyzet; d) + ; e) + + 5 Bizoyítás Az a) és b) alpotok a c) sajátos esetei, amikor {, 5} c) Tegyük fel, hogy létezik olya em teljes égyzet szám, amelyre a racioális Ekkor létezek az a, b egész számok úgy, hogy és b 0 b Négyzetre emelve, majd b -el átszorozva ez utóbbi egyelőség midkét oldalát, kapjuk, hogy a b, tehát a b, ami egyeértékű azzal, hogy a b Így létezik egy k egész szám, amelyre a k b Visszahelyettesítve, a ( kb) k b k, ami elletmod aak, hogy em teljes égyzet b b b
0 Valós számok Következik, hogy potosa akkor racioális, ha teljes égyzet, és ebbe az esetbe is egész szám a d) Tegyük fel, hogy +, ab,, b 0 Ekkor b a a a 5b ( + ), 5+ 6, 6, s mivel a 5b, b egészek, b b b ez azt jeleti, hogy 6 racioális, ami elletmod a c) potba szereplő állításak Tehát + irracioális Más megoldás Köyű beláti, hogy egy ullától külöböző szám potosa akkor racioális, ha iverze is az Mivel ( )( + ), ezért és + egymás iverzei Így, feltételezve, hogy + racioális, következik, hogy is az Két racioális szám összege is az, tehát ( ) + ( + ) is racioális kell legye, ez pedig szité elletmod a c) alpotak e) Feltételezzük, hogy + + a 5, ahol a, b egészek, b 0 Ekkor b + a 5 és 5 b 6 a a 5 b b 4 4 4 4 a + 0a b 4b 4b a + 0a b 4 5a b 5, 4ab vagyis 5 racioális, ami elletmodás 9 Bizoyítsd be, hogy ha ( m, ), akkor az és m számok tizedes ábrázolásába a szakasz hossza ugyaaz Bizoyítás A 4 tétel g) alpotja alapjá a legkisebb szakasz hossza csak az m irreducibilis alakba írt tört evezőjétől függ, tehát és tizedes reprezetációjába ugyaakkora a szakasz hossza * m 0 Ha m, ( m, ) és (, 9), akkor felírható olya tizedes tört formájába, amelyek a szakasza egy 9-cel osztható szám Bizoyítás Ha a,, bc, akkor az x a, b( c) tizedes szám átalakítása sorá az k ( 0 ) b + c x a + (*) 999 000 törtet kapjuk Ha ez ekvivales egy m irreducibilis törttel, amelybe (, 9), akkor a (*) tört egyszerűsíthető 9 -cel, tehát c 9 Bizoyítsd be, hogy + + vegyes szakaszos tizedes tört, bármely + + * eseté k
Valós számok + 6 + Bizoyítás + + A tört evezője osztható - + + ( + )( + ) mal és a számlálója em, tehát a tört tizedes reprezetációja szakaszt is tartalmaz (4 tétel a) alpotja) Másrészt a számláló páratla eseté páratla, páros eseté em osztható 4 -gyel, míg a tört evezője az első esetbe páros és a második esetbe osztható 4 -gyel Így a tört evezője egyszerűsítés utá midig páros lesz, tehát a tört tizedes ábrázolása vegyes szakaszos tört (4 tétel c) alpot) + Bizoyítsd be, hogy vegyes szakaszos tizedes tört, bármely * \{} ( ) eseté + Bizoyítás Az tört számlálója em osztható -mal és a evezője ( ) osztható, tehát irreducibilis alakba a evezőek va -től és 5 -től külöböző osztója Ugyaakkor páros eseté a evező páros és a számláló páratla, míg páratla eseté a evező osztható 8 -cal és a számláló em osztható 4 -gyel, tehát az irreducibilis alakra hozott tört evezője páros Így a 4 tétel c) alpotja szerit a tört tizedes reprezetációja vegyes szakaszos Bizoyítsd be, hogy két tiszta szakaszos tizedes tört szorzata is tiszta szakaszos tizedes tört Bizoyítás Ha az a és c irreducibilis törtek tizedes reprezetációja tiszta b d szakaszos, akkor ( b, 0) és ( d, 0), tehát ( b d, 0) Ebből következik, ac hogy b d mide osztója is relatív prím 0 -zel, tehát az tört tizedes bd reprezetációja is tiszta szakaszos 4 Ha az x és y valós számokak ismerjük az jegyű hiáyal illetve többlettel való közelítését, akkor milye közelítést adhatuk a következő kifejezésekre: a) x + y ; b) x y ; c) x y; d) x + y? Megoldás Feltételezhetjük, hogy xy>, 0, mert a többi eset erre visszavezethető Az a < x < a + és b < y <b + egyelőtleségek alapjá írhatjuk, hogy: 0 0 a + b < x + y < a + b + < a + b +, 0 0 a b < x y < a b + < a b +, 0 0 0 0 a + b ab < xy < ab + +, és 0 0 ( a + b) a + b < x + y < a + b + + 0 0 Ez alapjá látható, hogy az összeadás és a kivoás eseté csak a legutolsó számjegy veszhet el (tehát az eredméy tizedesjegye potos), míg a szorzás és égyzetösszeg kiszámítása sorá több számjegyet is veszíthetük a számok agyságredjétől függőe
Valós számok I6 Gyakorlatok és feladatok ( oldal) Számítsd ki: a) ; b) 9 ; c) 4 5 f) ( ) ; g) ( ) ; h) k) + Megoldás a) ; b) 9 7 7 7 e) ( ) ; d) ( ) ; e) ( ) 7 ; c) g) ( ) ( ) ; i) 4 5 ( ) 5 ( ) 5 5 5 ( ) i) ( ) k) ; ; j) ; d) ( ) ; 9 9 ; f) ( ) ( ) 9 ( ) 7; ; j) ( ) ; h) ( ) ; ; ; 5 6 + + 5 6 Írd egyszerűbb alakba a következő számokat: 6 6 a) ; b) a a a, ahol a 0 ; c) Megoldás a) d) 75 ; e) 5 96 ; f) b) 6 6 6 + + + + 6 6 6 a a a a a a a a a; c) ( ) 4 > ( ) ; 4 4 6 4 6 + 6 xy 9 9; z ; d) e) 75 7 5 7 5 5 7 ; 96 ( ) ( ) 5 ; 5 5 5 5 5 f) 6 xy x x x y y z z z z 9 y Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: a) 00 45 + 7 + 0 64 ; b) 64a + 7a 8a ; a 4 4 7
Valós számok c) 9 ; d) 5 5 ; e) 9 : ; f) 5 7 5 xy : 5xy 5 Megoldás a) 00 45 + 7 + 0 64 b) 0 5 + 9 + 4 5 8 9 + 5 8 ; 4 4 7 4 64a + 7a 8a 4a a 9 a a a + a a (4a + 9) a 8 a a (9 4 a) a ; 9 9 9; c) d) e) f) 7 + 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 ; 9 : 4 6 6 5 7 5 xy : 5xy 5 xy xy 5 xy xy 5 4 Számítsd ki: 5 xy x y 5 x y x y a) 5 4 0, 0000 ; b) 0, 00 65 048 ; c) d) Megoldás a) b) c) : 4 4 4 5 5 5 5 4 5 7 5 6 6 5 x y 0, 0000 0, 0 0 ; 0 4 4 5 0, 00 65 048 5 0 ; 0 9 5 5 6 5 5 6 6 7 64 4 8 5 9 5 5 ; 5 6 5 6 7 64 8 5 4 4 d) 4 : 4 4 4 4 4 4 4 5 Írd egyszerűbb alakba: ( ) a) + ; b) 5+ 6 ; c) 5 6 ; d) 4 7 ; e) 6 5 Megoldás a) A megoldás sorá vagy az összetett gyökök képletét haszáljuk, vagy a külső gyök alatti kifejezést teljes égyzetté alakítjuk Az első módszerrel + 8 8 + + +, a második módszerrel ; ;
4 Valós számok b) c) + + + ( + ) + +; 5+ 5 5+ 6 + + ; 5 6 ( ) ; 7 ; 4 d) 4 ( ) e) Mivel a köbgyökö belül gyökjel alatt csak a hármas szám szerepel, ezért várhatóa a keresett egyszerűbb alak a + b lesz Meg kell határozi az a, b (lehetőleg racioális) számokat úgy, hogy teljesüljö az 6 5 a + b egyelőség Köbre emelve midkét oldalt, kapjuk, hogy 6 5 a + 9 ab + (a b + b ) Ha a, b racioálisak, akkor ez azt jeleti, 6 a + 9ab hogy Az egyeletredszerek egy megoldása ( ab,) (, ) 5 ab+ b Köye elleőrizhető, hogy valóba teljesül a 6 Írd egyszerűbb alakba: 0 a) ( 5 7 ) : 49 ; b) ( ) 0 Megoldás a) ( ) b) ( ) 6 6 egyelőség 4 7 : ; c) ( 50 + 8 ) ; d) ( ) 0 0 5 5 7 : 49 7 : 49 7 : 49 0 5 0 4 4 ; : : : 9 : 9; 7 7 7 7 7 c) ( ) ( ) ( ) 48 50 + 8 5 + 8 ; 48 6 6 4 d) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: a) ( ) x y x ; b) yx x 4 8 x y ( x y) d) + + xy 4 ; e) : 4 xy y y 4 Megoldás a) ( ) ; x y x x y x x y 4 4 4 b) yx yx yx x x c) ( ) ( ) 4 4 x xy x xy xy xy xy ; ; c) ( x xy ) ; ;
Valós számok 5 4 4 4 d) 8 8 x y xy x y 4 8 x y 4 4 8 6 xy xy 6 ; x y 4 4 x y ( x y) ( ) e) + + x y y x y : 4 + + 4, ha y( x + y) > 0 5 y y y ( x + y) y 8 Számítsd ki: a) ( + + ) ; b) ( a + b + a b) Megoldás a) ( + + ) + + + + b) ( a b a b) + + 4+ 4 4+ ; ( )( ) ( ) a ( ) a b a b a b a + b + a + b a b a + b + a b + a b + + + 9 Bizoyítsd be a következő egyelőségeket: a) ( 5) 5 ; b) 0 + 40 4 + 60 + 5 ; + 5 c) + 5 ; d) 6 5 + 6 + 5 4 Megoldás a) ( ) ( ) 5 9 4 5 7 5 5 + 4 45 ( 5 ) 5 5, vagy ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 5 b) 0 + 40 4 + 60 + 5 0 + 0 6 + 5 + + 5 6 + 0 5, ami yilvá igaz c) Mivel midkét oldal pozitív, ezért a égyzetre emelés ekvivales átalakítást jelet + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ; d) Ha 6 5 + 6 + 5 x, akkor x ( )( ) 6 5 + 6 5 6 + 5 x + 6 + 5 x x 5 0 ( x 4)( x + 4x + ) 0 x 4, mert x Tehát 6 5 + 6 + 5 4