Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Matematikus mesterszak Szakindítási kérelem Budapest, 2012 1
Tartalom I. BEVEZETÉS... 3 II. ADATLAP... 4 II.1 SZENÁTUS TÁMOGATÓ HATÁROZATA... 6 II.2 AZ ALKALMAZOTT MATEMATIKUS SZAK KÉPESÍTÉSI FELTÉTELEI... 6 II.3. AZ ALKALMAZOTT MATEMATIKUS MSC KÉPZÉSEK ÖSSZEHASONLÍTÓ TÁBLÁZATA... 13 III. A KÉPZÉS TARTALMA... 15 III.1 A SZAKRA VALÓ BELÉPÉS FELTÉTELEI... 15 III.2 A KÉPZÉS PROGRAMJA, A SZAK TANTERVE... 16 III.3 TANTÁRGYI PROGRAMOK, TANTÁRGY-LEÍRÁSOK... 23 III.4 A KÉPZÉSI FOLYAMAT, AZ ÉRTÉKELÉSI MÓDSZEREK, ELJÁRÁSOK... 77 IV. A KÉPZÉS SZEMÉLYI FELTÉTELEI... 79 IV.1 A SZAKFELELŐS ÉS A SZAKIRÁNYFELELŐS(ÖK)... 79 IV.2 AZ OKTATÓI KÖR: TANTÁRGYLISTA TANTÁRGYAK FELELŐSEI, OKTATÓI... 79 IV.3 ÖSSZESÍTÉS AZ OKTATÓI KÖRRŐL... 82 IV.4 AZ OKTATÓK SZEMÉLYI-SZAKMAI ADATAI... 82 IV.5 NYILATKOZATOK... 83 V. A SZAKINDÍTÁS TUDOMÁNYOS HÁTTERE... 83 VI. A SZAKINDÍTÁS INFRASTRUKTÚRÁLIS FELTÉTELEI... 83 VII. A KÉPZÉSI LÉTSZÁM ÉS KAPACITÁS... 84 2
I. Bevezetés A matematika magas szintű művelésének és oktatásának intézményi hagyományai a mérnökképzésben a múlt század elejére nyúlnak vissza. Az Óbudai Egyetem egyik jogelődjének, a Magyar Királyi Állami Felső Ipariskolának rendkívüli, majd rendes tanára volt Egerváry Jenő világhírű matematikus, aki tizenhét éven át szolgálta a mérnökképzést, és együtt oktatott Arany Dániellel, a mennyiségtan és természettan tanárával. A Bologna rendszerű képzés bevezetése jogelőd intézményünkben, a Budapesti Műszaki Főiskolán a mérnökképzésben jelentős tartalmi változásokat eredményezett. A főiskolai hagyományokra támaszkodó, a munkaerő piac által igényelt és keresett gyakorlatorientált alapképzésünk elméleti megalapozása, az egyetemekkel, különösen a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemmel közösen kidolgozott szakalapításoknak köszönhetően jelentősen megerősödött. Ez természetes következménye annak a ténynek, hogy a XXI. század iparának mérnöki technológiái kiterjedten, intenzíven és ma már nélkülözhetetlen módon használják fel korunk természettudományos és matematikai ismereteit. Különösen igaz ez a mérnök informatikus, a villamosmérnök és a mechatronikai mérnöki alapképzésben és sokkal fokozottabban az ezekre épülő mesterképzésekben és a doktori iskolákban. Mindez újabb kihívást és új fejlesztési irány megjelenését eredményezi. Kinevelődött és folyamatosan képződik egy olyan jó képességű hallgatói kör, akiknek az érdeklődése a matematika, annak is a műszaki alkalmazások szempontjából releváns területei felé orientálódott. Több, mélyebb matematikai ismeretet igényelnek, olyan kutatási irányok iránt érdeklődnek, amelyeket a műszaki mester- és doktori képzésben már nem lehet számukra biztosítani. Az Óbudai Egyetem stratégiájának fontos része a tehetséggondozás, a kiemelkedő képességű hallgatók egyetemi kötődésének erősítése, számukra teljes akadémiai képzés és életpálya biztosítása. Ezen stratégiai cél megvalósítására a hallgatói oldalról érkező kihívás megválaszolására az egyetem humánpolitikájában egy eddig kicsit hátrébb sorolt fejlődési irány kapott markánsabb szerepet. A magasan kvalifikált, matematika területen kinevezett, illetve fizikusi, matematikusi végzettségű egyetemi tanárok, kutatók, matematika területen tudományos fokozattal rendelkező vezető oktatók száma elérte azt a küszöböt, amikor realitássá vált a hallgatói és természetesen oktatói és kutatói igényeket kielégítő alkalmazott matematikusi mesterszak, és alkalmazott matematikai doktori iskola indítása. A mai tipikusan inter- és multidiszciplináris munkakörnyezetben nagy szükség van erős elméleti alapokkal rendelkező, a műszaki alkalmazások körében felmerült matematikai problémák elemzésére és hatékony megoldására képes szakemberekre. Az alkalmazott matematikus mesterszakunk a műszaki matematika szakiránnyal az országban egyedülálló, hiánypótló képzést jelent ezen a területen. Segítségével egyetemünk magasabb szinten kínálhat megoldást a gazdaság és az ipar innovációs igényeire is, összhangban A nemzeti felsőoktatás fejlesztéspolitikai irányai című kormányzati előterjesztéssel. 3
II. Adatlap 1. A véleményezést kérő felsőoktatási intézmény neve, címe: neve: Óbudai Egyetem címe: 1034 Budapest, Bécsi út 96/b. A felsőoktatási intézményben a tervezett képzésért közvetlenül felelős szervezeti egység: Neumann János Informatikai Kar (NIK) 2. A tervezett képzés helye(i) (székhely, telephely, külföld) és címe(i): Óbudai Egyetem székhely: 1034 Budapest, Bécsi út 96/b. Óbudai Egyetem NIK telephely: 1034 Budapest, Bécsi út 96/a. 3. Az indítandó mesterszak megnevezése: Alkalmazott matematika (Applied Mathematics) 4. Az oklevélben szereplő szakképzettség megnevezése (a vonatkozó KKK szerint): Okleveles alkalmazott matematikus (Applied Mathematician) 5. Az indítani tervezett szakirány(ok) megnevezése: Műszaki matematika (Engineering Mathematics) A szak KKK-jában (már) nevesített szakirány(ok): Műszaki matematika A szak KKK-jában (még) nem nevesített szakirány(ok): - 6. Az indítani tervezett képzési formák (a megfelelők aláhúzandók!) teljes idejű (nappali), részidejű (levelező, esti), távoktatásos (t), székhelyen kívüli (szhk) idegen nyelven is: angol, német, francia, orosz, csak idegen nyelven: angol, német, francia, orosz, 7. A tervezett hallgatói létszám képzési formánként (n, l, e, t, szhk): Nappali: 25, esti: 25 8. A képzési idő: 4 félév oklevél megszerzéséhez szükséges kreditek száma: 120 4
a felkínált tanórák (kontak órák) száma: teljes idejű (nappali) képzésben: 1218 részidejű (esti) képzésben: 399 a szakmai gyakorlat időtartama és jellege: - 9. A szak indításának tervezett időpontja: 2013. február 10. A szakfelelős oktató megnevezése (beosztása, tudományos fokozata) és aláírása: Dr. Galántai Aurél DSc, egyetemi tanár 11. Dátum, és az intézmény rektorának megnevezése és cégszerű aláírása: Budapest, 2012. szeptember 11. Dr. Rudas Imre DSc, egyetemi tanár, rektor 5
II.1 Szenátus támogató határozata II.2 Az alkalmazott matematikus szak képesítési feltételei 1. A mesterképzési szak megnevezése: alkalmazott matematikus (Applied Mathematics) 2. A mesterképzési szakon szerezhető végzettségi szint és a szakképzettség oklevélben szereplő megjelölése: végzettségi szint: mesterfokozat (magister, master; rövidítve: MSc) szakképzettség: okleveles alkalmazott matematikus a szakképzettség angol nyelvű megjelölése: Applied Mathematician választható szakirányok: alkalmazott analízis, sztochasztika, pénzügy-matematika, diszkrét matematika, operációkutatás, számítástudomány, műszaki matematika; (Applied Analysis, Stochastics, Financial Mathematics, Discrete Mathematics, Operations Research, Computer Science, Engineering Mathematics) 3. Képzési terület: természettudomány 4. A mesterképzésbe történő belépésnél előzményként elfogadott szakok: 4.1. Teljes kreditérték beszámításával vehető figyelembe: a matematika alapképzési szak. 4.2. A bemenethez a 10. pontban meghatározott kreditek teljesítésével elsősorban számításba vehető alapképzési szakok: a természettudomány, műszaki, informatika képzési területek valamennyi alapképzési szakja, a gazdaságtudományok képzési terület közgazdasági képzési ágának gazdaságelemzés alapképzési szakja. 4.3. A 10. pontban meghatározott kreditek teljesítésével vehetők figyelembe: azok az alap- vagy mesterfokozatot adó alapképzési szakok, illetve a felsőoktatásról szóló 1993. évi LXXX. törvény szerinti főiskolai vagy egyetemi szintű alapképzési szakok, amelyeket a kredit megállapításának alapjául szolgáló ismeretek összevetése alapján a felsőoktatási intézmény kreditátviteli bizottsága elfogad. 5. A képzési idő félévekben: 4 félév. 6. A mesterfokozat megszerzéséhez összegyűjtendő kreditek száma: 120 kredit. 6.1. Az alapozó ismeretekhez rendelhető kreditek száma: 15-25 kredit; 6.2. A szakmai törzsanyaghoz rendelhető kreditek száma: 20-30 kredit; 6.3. A differenciált szakmai anyaghoz rendelhető kreditek száma: 40-60 kredit; 6.4. A szabadon választható tantárgyakhoz rendelhető kreditek minimális értéke: 6 kredit; 6.5. A diplomamunkához rendelt kreditérték: 20 kredit; 6.6. A gyakorlati ismeretek aránya: az intézményi tanterv szerint legalább 35 %. 7. A mesterképzési szak képzési célja, az elsajátítandó szakmai kompetenciák: A képzés célja olyan tudományos kutatási szintet elérő szakmai felkészültséggel rendelkező szakemberek képzése, akik magas szintű matematikai ismereteik és modellezési tapasztalataik birtokában képesek alkotó módon a gyakorlatban felmerülő matematikai problémák megoldására. Nyitottak szakterületük és a rokon területek új tudományos eredményeinek kritikus befogadására. Felkészültségük alapján képesek a gyakorlati problémák modellezésére, megoldására és a megoldások gyakorlati kivitelezésének irányítására. Megfelelő ismeretekkel rendelkeznek tanulmányaik doktori képzés keretében történő folytatásához. a) A mesterképzési szakon végzettek ismerik: - az algoritmuselmélet, az alkalmazott analízis, a diszkrét matematika, az operációkutatás, a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika alapvető eredményeit, 6
- a matematika különböző alkalmazási területeit, - az alkalmazott matematikai modellek megalkotásához és szimulálásához szükséges informatikai, számítástechnikai ismeretanyagot. b) A mesterképzési szakon végzettek alkalmasak: - ismereteik önálló továbbfejlesztésére, - a matematika alkalmazási területein alkotó módon kombinálni és felhasználni megszerzett ismereteiket az élő és élettelen természetben, a műszaki és informatikai világban, a gazdasági és pénzügyi életben felmerülő problémák megoldásában, - a természetben, a műszaki és gazdasági életben felmerülő bonyolult rendszerek áttekintésére, matematikai elemzésére és modellezésére, döntési folyamatok előkészítésére, - a számítástechnika eszközeinek felhasználásával a természetben, a műszaki és gazdasági életben felmerülő számítási feladatok elvégzésére, - sztochasztikus jelenségek, folyamatok modellezésére, - a nagy számításigényű, illetve nagy tárkapacitású feladatok felismerésére, alternatív megközelítések elemzésére, - a problémák belső törvényszerűségeinek megértésére, feladatok megtervezésére és magas szintű végrehajtására, - az idegen nyelvű szakmai kommunikációra, - az informatikai lehetőségek alkotó módon történő alkalmazására. c) A szakképzettség gyakorlásához szükséges személyes adottságok és készségek: - absztrakciós, modellalkotó és problémamegoldó képesség, - térszemlélet, - kritikai attitűd, - rendszerszerű gondolkodás, - kreativitás, - szakmai felelősségvállalás, - önálló döntéshozatali képesség, - szakmai együttműködő készség, - jó kommunikációs készség, - csoportmunkában való részvétel képessége, - a kapcsolódó tudományos problémáknak a nem szakemberek számára is érthető megfogalmazási képessége, - idegen nyelvű szakmai kommunikációs készség. A szakirányokon továbbá elsajátítandó szakmai kompetenciák: a) szakirány választása nélkül - ismerik a differenciálegyenletek, a közelítő számítások elméletének alapjait és ezek legfontosabb alkalmazásait természeti, műszaki és gazdasági jelenségek modellezésében, - a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének alapjait, - a kódoláselmélet és kriptográfia alapjait, a gyakorlatban legelterjedtebb kódok és titkosírások elméleti hátterét és alkalmazhatóságát, - a kiszámíthatósági kérdések elméleti hátterét, - a legfontosabb matematikai és statisztikai szoftverek használatát és azok matematikai hátterét, alkalmazhatóságuk korlátait. 7
b) Szakirány választása esetén Alkalmazott analízis szakirányon végzettek: - ismerik a matematikai analízis természettudományos, ipari és üzleti szférában történő alkalmazásait, - alkalmasak az adott területen felmerülő problémák közönséges és parciális differenciálegyenletekkel történő matematikai modellezésére és a modellek önálló matematikai vizsgálatára, - ismerik a matematikai modellezéshez szükséges fontosabb matematikai programcsomagokat. Sztochasztika szakirányon végzettek: - alkalmasak az alapvető természeti jelenségekben megnyilvánuló sztochasztikus, véletlenszerű törvényszerűségek felismerésére, e jelenségek tudományos igényű kísérleti tanulmányozására és elméleti értelmezésére, - magas színvonalon képesek használni statisztikus törvények elemzésére alkalmas programcsomagokat, - alkalmasak önálló és irányító munkaköröket betölteni a sztochasztika tudományos eredményeit vagy módszereit felhasználó egyéb területeken (szakigazgatás, környezetvédelem stb.). Diszkrét matematika szakirányon végzettek: - ismerik a diszkrét matematika klasszikus és aktuális elméleti eredményeit, - ismerik a diszkrét matematika algoritmikus módszereit, a kriptográfia, algoritmuselmélet, kódelmélet, diszkrét optimalizálás hatékony módszereit. Operációkutatási szakirányon végzettek: - alkalmasak különféle (ipari, kereskedelmi, pénzügyi, mezőgazdasági, kommunikációs) rendszerek irányítási, működtetési és optimalizálási problémáinak matematikai modellezésére és számítógépes megoldására, - képesek operációkutatási algoritmusok és ezek matematikai hátterének kidolgozására, a hatékonyság vizsgálatára. Számítástudományi szakirányon végzettek: - ismerik az algoritmuselmélet/bonyolultságelmélet szakterületét, - alkalmasak számítógépes problémák modellezésére, innovatív megoldására, - ismerik az adott területen hasznosítható matematikai módszereket. Pénzügy-matematika szakirányon végzettek: - mikro- és makroökonómiai, valamint pénzügyi alapismeretekkel rendelkeznek, - ismerik a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének alapjait, - alkalmasak sztochasztikus jelenségek, folyamatok modellezésére, - ismerik a sztochasztikus és pénzügyi folyamatok, a kockázati folyamatok, az életbiztosítás és a neméletbiztosítás matematikai elméletét, valamint az idősorok elemzésének matematikai elméletét, - alkalmasak pénzügyi folyamatok, biztosítási kérdések matematikai elemzésére, modellezésére, - ismerik legalább két statisztikai programcsomag használatát, tudják a kapott eredményeket értelmezni, elemezni. Műszaki matematika szakirányon végzettek: - a műszaki problémák matematikai modellezésében hatékonyan tudnak együttműködni fejlesztőmérnökökkel, - alkalmasak az innovatív mérnöki gyakorlatban előforduló problémák matematikai megoldására, - alkalmasak a műszaki életben előforduló problémák numerikus megoldására is, 8
- ismerik a differenciálegyenletek, a közelítő számítások elméletének alapjait és ezek legfontosabb alkalmazásait természeti, műszaki és gazdasági jelenségek modellezésében, - ismerik a valószínűségelmélet és a matematikai statisztika modern elméletének alapjait, - ismerik a számítógép geometriai és grafikai alkalmazási módjait. 8. A mesterfokozat és a szakképzettség szempontjából meghatározó ismeretkörök: 8.1. Az alapképzésben megszerzett ismereteket tovább bővítő, mesterfokozathoz szükséges alapozó ismeretkörök: Elméleti alapozás 15-25 kredit: algebra és számelmélet alapjai (unitér terek, spektráltétel, polinommátrixok kanonikus alakja, mátrixok minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel, Jordan-féle normálalak, sajátvektor, kvadratikus alakok, Sylvester tétele, algebrai struktúrák, a csoportelmélet alapjai: permutációcsoportok, Lagrange-tétel, normálosztók és faktorcsoportok, véges Abel-csoportok alaptétele, a gyűrűelmélet alapjai, integritástartományok, testkonstrukciók, véges testek, kvadratikus kongruenciák, lánctörtek), analízis alapjai (Riemann-Stieltjes-integrál, vonalintegrál, inverz- és implicit-függvény-tétel, feltételes szélsőérték, mértékelmélet, Lebesgue-integrál, Hilbert-terek, ortonormált rendszerek. Lagrange- és Hermite-Fejér-interpoláció, közönséges differenciálegyenletek, lineáris differenciálegyenletek, a numerikus analízis alapjai.), geometria alapjai (nemeuklideszi geometriák, projektív terek és csoportelméleti vonatkozásaik, transzformáció-csoportok geometriája, vektoranalízis: differenciálszámítás, vektorkalkulus 3-dimenzióban, topológikus és metrikus tér fogalma, sorozatok és konvergencia, kompaktság és összefüggőség), valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai (Bayes-tétel, sztochasztikus függetlenség, valószínűségi változók és az eloszlásfüggvény, várható érték, szórásnégyzet, kovarianciamátrix, nagy számok erős és gyenge törvényei, Borel-Cantelli-lemma, a feltételes várható érték általános fogalma, független tagú sorok, karakterisztikus függvények alapjai, centrális határeloszlás-tétel, statisztikai sokaság, véletlen minta, empirikus eloszlás, Glivenko-Cantellitétel, nevezetes statisztikák, maximum-likelihood-becslés, momentum-módszer, Neyman-Pearsonlemma, konfidenciaintervallumok, paraméteres próbák és nemparaméteres próbák), informatika és operációkutatás alapjai (programcsomagok használata az algebra, analízis, geometria, numerikus matematika területén, lineáris programozás alapjai.). 8.2. A szakmai törzsanyag kötelező ismeretkörei: 20-30 kredit Az alábbi ismeretkörök közül legalább négy témakör ismeretanyagának választása: Diszkrét matematika (5-12 kredit): Testbővítések elmélete és alkalmazásaik. A véges testek elmélete és alkalmazásaik. Kriptográfiai alapfogalmak. Az algoritmuselmélet alapfogalmai és alkalmazásai. Gráfok magasabb összefüggősége, diszjunkt fák és fenyők, az összefüggőség növelése. Gráfok és hipergráfok színezései, perfekt gráfok. Párosítás-elmélet. Gráfok beágyazásai. Erősen reguláris gráfok. Az egészségi feltétel és alkalmazásai. Véletlen módszerek: várható érték és második momentum-módszer, véletlen gráfok, küszöbfüggvény. Extremális kombinatorika: extremális halmazrendszerekről és gráfokról szóló klasszikus tételek.. Operációkutatás (5-12 kredit): Folytonos és sztochasztikus optimalizálás. Alternatíva tételek, Minkowski- Weyl-tétel, pivot és belsőpontos algoritmusok, elipszoid-módszer; konvex optimalizálás: szeparációs tételek, konvex Farkas-tétel, Karush-Kuhn-Tucker-tétel, Lagrangefüggvény és nyeregpont-tétel, Newton-módszer, belső pontos algoritmus; a sztochasztikus programozás alapmodelljei és megoldó módszerei; gyakorlati problémák. Diszkrét optimalizálás. Max folyam min vágás, Egerváry-dualitás, poliéderes kombinatorika, teljesen duális egészértékűség, párosítás-poliéder; gráfalgoritmusok, Magyar-módszer, Edmonds-Karp-algoritmus; NP-teljes problémák algoritmikus megközelítései: dinamikus programozás, Lagrange-relaxáció, korlátozás és szétválasztás, mohó algoritmusok; gyakorlati problémák. Alkalmazott analízis (5-12 kredit): Ortogonális polinomok. Trigonometrikus- és ortogonális polinomsorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája. Fourier-transzformáció. Az approximációelmélet elemei. Stone-tétel, Bohmann-Korovkin-tétel. Legjobb approximáció polinomokkal. Jackson tételei. Interpoláció. 9
Spline-függvények. Approximáció racionális függvényekkel. Lagrange-interpoláció Lebesguefüggvénye. Erdős-Bernstein-sejtés az optimális alappontokról. Grünwald-Marzinkiewicz-tétel. Stabilitáselmélet. Periódikus megoldások. Peremérték-feladatok lineáris differenciálegyenletekre. A variációszámítás alapfeladata. Euler-Lagrange-differenciálegyenletek. Geometriai módszerek a mechanikában. Lagrange- és Hamilton-rendszerek. Legendre-transzformáció. Euler-Lagrangeegyenletek, Hamilton-egyenletek. Szimmetriák és megmaradási tételek. Alapfogalmak a parciális differenciálegyenletek elméletében. Karakterisztikus függvény, első integrálok. Elsőrendű lineáris és kvázilineáris egyenletek. Elsőrendű egyenletek karakterisztika elmélete, Cauchy-feladat. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek osztályozása és kanonikus alakra hozása. Goursat- és Cauchyfeladat hiperbolikus egyenletekre. Vegyes feladat hullámegyenletre. Fourier-módszer. Vegyes feladat hőegyenletre, maximum-tétel. Cauchy-feladat hőegyenletre, Duhamel-elv, Peremérték-feladatok potenciálegyenletre. Fixponttételek és alkalmazásaik. Sztochasztikus folyamatok (5-12 kredit): Négyzetesen integrálható folyamatok. Gyengén stacionárius folyamatok, lineáris szűrők. Az idősorok analízisének elemei. Erősen stacionárius folyamatok, ergodikus tételek. Diszkrét és folytonos idejű Markov-láncok és alkalmazásaik. Az Itô-féle sztochasztikus integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek, diffúziós folyamatok.. Algoritmuselmélet (5-12 kredit): Rendezés és kiválasztás, kupac. Dinamikus programozás. Gráfalgoritmusok: szélességi és mélységi keresés, feszítőfák, legrövidebb utak, folyamok. Kereső-fák, amortizációs idő, Fibonacci-kupac. String-keresés. Huffman-kód. Lempel-Ziv-Welch tömörítési eljárása. 8.3. A szakmai törzsanyag kötelezően választható ismeretkörei: differenciált szakmai ismeretek 30-60 kredit: a) szakirány választása nélkül numerikus matematika (QR algoritmus, általánosított inverz, függvények minimalizálása, gradienskonjugált gradiens módszer, gyors Fourier-transzformáció, közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása, peremérték feladatok numerikus megoldása, parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása), differenciálegyenletek (kétdimenziós autonóm rendszerek, peremértékproblémák, nyeregpont-tulajdonság, strukturális stabilitás, elemi bifurkációk, elsőrendű parciális differenciálegyenletek, Hamilton-rendszerek, hővezetési és diffúziós problémák. maximumelvek, harmonikus függvények, Harnack tételei, Green-függvények, Poisson-formulák. Fourier-módszer, nemlineáris parciális differenciálegyenletek), a matematikai statisztika fogalmai és módszerei (becslési módszerek és tulajdonságaik, másodlagos mintavétel, jackknife, bootstrap, általánosított likelihoodhányados próba, nemparaméteres próbák, cenzorált minta), információelmélet, algoritmusok és bonyolultságuk, (kódelmélet, Shannon-tétel, hibajavító kódok, RSA, véges automaták, Turing-gépek, NP-teljesség, bonyolultsági osztályok, adatstruktúrák, poliéder-módszer gráfelméleti alkalmazásai, számelméleti algoritmusok diszkrét logaritmusra, prímtesztek, Gröbner-bázis), integrálgeometria (Santaló-féle klasszikus eredmények, Gelfand-Helgason-tételek, Radon és más integrál-transzformációk, tomográfiai alkalmazások, alakfelismerési és rekonstrukciós eljárások), választható tárgyak (dinamikus modellek, optimalizálás, sztochasztikus folyamatok, felületmodellezés, haladó algoritmikus geometria); b) szakirány választása esetén - alkalmazott analízis szakirány: modellezés, természettudományos ismeretek (legalább 9 kredit) (modellalkotás és természettudományos alkalmazások: biológiai modellek, kémia reakciók modellezése, reakció-diffuzió rendszerek szimulációja; információ technológiai és vállalati ismeretek: programcsomagok használatának általános elvei és technikája, kész programcsomagok konkrét alkalmazásai során felmerülő problémák, adatbázis kompatibilitás, fejlesztés, stb., a vállalat működési elvei, az alkalmazott matematikus feladata az üzleti szférában), differenciálegyenletek numerikus módszerei (legalább 9 kredit) (a közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei: elsőrendű kezdeti-érték feladatok, Runge Kutta-típusú módszerek, többlépéses rendszerek, stabilitás; elliptikus és időfüggő parciális differenciálegyenletek numerikus megoldási módszerei: véges elemek és 10
véges differenciák módszere, Ritz- és Galjorkin-típusú módszerek, stabilitás, Lax ekvivalencia tétele; parciális differenciálegyenletek és numerikus megoldási módszereinek alkalmazásai: Maxwellegyenletek és numerikus módszerei, származtatott tőzsdei termék árazása, szilárdságtani feladatok), differenciálegyenletek (legalább 10 kredit) (dinamikai rendszerek: fázisképek osztályozása, Poincaréféle normálforma, stabilis, instabilis, centrális sokaság, Hartman-Grobman-tétel., dinamikai rendszerek bifurkációi, alapvető példák és alkalmazások, bifurkációs görbék meghatározása biológiai modellekben, strukturális stabilitás, attraktorok típusai, káosz a Lorenz-féle meteorológiai modellben. diszkrét dinamikai rendszerek; parciális differenciálegyenletek elmélete: Szoboljev-terek, peremérték- és sajátérték-feladatok gyenge (Szoboljev-térbeli), variációs és klasszikus megoldása. a gyenge és a klasszikus megoldás vizsgálata a Fourier-módszerrel és a Galjorkin-módszerrel, divergencia alakú kvázilineáris elliptikus és parabolikus egyenletek, elliptikus variációs egyenlőtlenségek), választható tárgyak (legalább 5 kredit); - sztochasztika szakirány: statisztika (min 15 kredit) (a matematikai statisztika fogalmai és módszerei: becslési módszerek és tulajdonságaik, másodlagos mintavétel, jackknife, bootstrap, L- és M-becslések, robusztusság, mintavétel véges sokaságból, általánosított likelihood-hányados próba, nemparaméteres próbák, cenzorált minta, élettartam-adatok elemzése; többdimenziós statisztikai eljárások: többdimenziós normális eloszlás és a ráépülő statisztikai modellek, eljárások, kontingenciatáblák elemzése; statisztikai programcsomagok: legalább két különböző statisztikai programcsomag átfogó ismerete, az elérhető modellek ismerete, a várható eredmények elemzése), időfüggő sztochasztikus rendszerek (legalább 15 kredit) (sztochasztikus folyamatok, sztochasztikus analízis: martingál, lokális martingál folytonos időben, sztochasztikus integrál folytonos szemimartingál szerint, Itô-formula, SDE jósolható függvények esetén, erős és gyenge megoldás; pénzügyi folyamatok: részvények és kötvények diszkrét és folytonos időben, arbitrázs, martingál-mérték, önfinanszírozó stratégiák, Cox Ross Rubinstein-formula, Black Scholes-formula, sztochasztikus rövid és hosszú távú kamatlábmodellek; idősorok elemzése: stacionárius folyamatok, autoregressziós-, mozgóátlag folyamatok, becslések, periodogramm, hosszú emlékezetű folyamatok, frakcionálisan integrált és önhasonló folyamatok, LARCH folyamatok), választható tárgyak (legalább 10 kredit); - pénzügy-matematika szakirány: statisztika (legalább 5 kredit), (a matematikai statisztika fogalmai és módszerei: becslési módszerek és tulajdonságaik, másodlagos mintavétel, jackknife, bootstrap, mintavétel véges sokaságból, általánosított likelihood-hányados próba, nemparaméteres próbák, cenzorált minta, többdimenziós statisztikai eljárások, többdimenziós normális eloszlás, kontingenciatáblák elemzése, statisztikai programcsomagok: legalább két különböző statisztikai programcsomag átfogó ismerete, az elérhető modellek ismerete, a várható eredmények elemzése) sztochasztikus rendszerek (legalább 15 kredit) (sztochasztikus folyamatok: sztochasztikus differenciálegyenlet erős megoldása, pénzügyi folyamatok, diffúziós folyamat, Kolmogorov-egyenletek, arbitrázs, martingál-mérték, önfinanszírozó stratégiák, Cox Ross Rubinsteinmodell. Black Scholes-formula, sztochasztikus rövid és hosszú távú kamatlábmodellek; idősorok elemzése: stacionárius folyamatok, autoregressziós-, mozgóátlag folyamatok, becslések, periodogramm, hosszú emlékezetű folyamatok, frakcionálisan integrált és önhasonló folyamatok; biztosításmatematika: életbiztosítás, halálozási táblák, díjszámítás, nem-élet biztosítás, nevezetes káreloszlások, összetett kockázat, díjkalkulációs elvek, tartalékolási elvek, kockázati folyamatok, Lundberg-tétel, szubexponenciális eloszlások), gazdaságtudományok (legalább 15 kredit) (mikroökonómia: egyéni és piaci kereslet, fogyasztói többlet, termési technológia megválasztása, kereslet és kínálat, piaci elégtelenség, állami beavatkozás, általános egyensúly; makroökonómia: nemzetgazdaság szereplői, egyensúly a munkapiacon, árupiac, az IS-függvény, a pénz funkciói, az LMfüggvény, a neoklasszikus és a Keynes-féle modell összehasonlítása, költségvetési és monetáris politika eszközrendszere, munkanélküliség és infláció; pénzügyi alapismeretek: pénz kialakulásától a modern pénzig, kereskedelmi bankok, központi bank, monetáris politika, költségvetési politika, befektetési döntések, értékpapírok, értékpiac, tőzsde, devizarendszerek, IMF, Világbank), választható tárgyak; 11
- diszkrét matematika szakirány: kombinatorikai algoritmusok (mélységi és szélességi keresés, legrövidebb utak, Floyd Warshall-módszer, feszítőfák, keresőfák, páros gráfok párosításai, hálózati folyamok, maximális folyam-minimális vágás tétel), Gröbner-bázisok (Gröbner-bázis polinomgyűrűkben, Hilbert-tétel (Nullstellensatz), alkalmazások), véges testek és polinomok (véges testek stuktúrája és automorfizmusai, körosztási és irreducibilis polinomok, polinomok felbontása véges testek felett), diszkrét optimalizálás (algoritmusok lineáris diofantikus egyenletekre, lineáris egyenlőtlenségek és lineáris programozás komplexitási kérdései, Khachiyan-módszer, ellipszoid-módszer, becslések az egészértékű programozásban), algebrai kódelmélet (véges test feletti polinomok, digitális információ kódolása és dekódolása, blokk-kódok, lineáris kódok. mátrixos kódok, a BCH és Reed Solomon-kódok dekódolása, konvolúciós kódok, Viterbi-algoritmus), algoritmuselmélet (Turing-gép, parciálisan rekurzív függvények, kiszámítható függvények, Church-tézis, eldönthető és eldönthetetlen problémák, nem rekurzív halmazok, algoritmusok bonyolultsága), kriptográfia (privát kulcsú kriptorendszerek, véletlen kulcs, DES, AES, nyilvános kulcsú rendszerek, RSA, kritográfiai protokollok, kulcs-csere, időpecsét, elektronikus aláírás), választható tárgyak (legalább 5 kredit); - operációkutatás szakirány: diszkrét optimalizálás (9-24 kredit) (egész értékű programozás, dinamikus programozás, heurisztikus programozás, kombinatorikus optimalizálás, poliéderes algoritmusok, gráf algoritmusok, matroidelmélet, ütemezéselmélet, ládapakolási feladat), folytonos optimalizálás (9-24 kredit) (lineáris és nemlineáris optimalizálás, szemidefinit programozás, sztochasztikus optimalizálás, dinamikus modellek, játékelmélet, fixponttételek, minimaxtételek), operációkutatás számítógépes módszerei (3-6 kredit) (matematikai programozási eljárások implementációs problémái, input- output formátumok, megoldó programcsomagok, CPLEX, XPRESS), operációkutatási projekt (3-6 kredit), választható tárgyak (legalább 10 kredit); - számítástudomány szakirány: adatbányászat (3-6 kredit) (gyakori mintázat keresés, szintenként haladó algoritmusok, döntési fák, neurális hálók, k-nn, SVM, dimenziócsökkentési eljárás, hierarchikus algoritmusok, spektrálklaszterezés), WWW és hálózatok matematikája (3-6 kredit) (webkeresők, Markov-láncok és véletlen séták gráfokon, HITSmodellek, szinguláris felbontás, gráfmodellek), bonyolultságelmélet (6-9 kredit) (számítási modellek, algoritmusok és alsó becslések az erőforrás-használatra, véges automaták, formális nyelvek, Turinggépek, véletlenített bonyolultságosztályok, PSPACE-osztály, párhuzamos algoritmusok, Kolmogorovbonyolultság), algoritmusok és adatstruktúrák tervezése, elemzése és implementálása (6-9 kredit) (max-vissza sorrend és alkalmazásai, minimális súlyú fenyők, fa-felbontás, párosítások nem páros gráfokban, kiegyensúlyozott és önkiegyensúlyozó fák, keresőfák), kriptográfia és adatbiztonság (6-9 kredit) (informatikai adatvédelem, szimmetrikus kulcsú rendszerek, nyilvános kulcsú titkosítás, RSA, elektronikus aláírás, Rabin-kriptorendszer, kriptográfiai protokollok, adatvédelmi rendszerek, nemzetközi és hazai szabványok), információelmélet, kódok és szimmetrikus struktúrák (4-6 kredit) (entrópia, feltételes entrópia, kölcsönös információ, Fano-egyenlőtlenség, zajmentes kódolás, Shannon-alaptétel, hibajavító kódok, véletlen kódok), választható tárgyak (legalább 10 kredit); - műszaki matematika szakirány: numerikus analízis, differenciálegyenletek megoldása (10-20 kredit) (dinamikai rendszerek: diszkrét és folytonos idejű dinamikai rendszerek, attraktorok és medencék, Ljapunov-függvények, invariáns sokaságok, strukturális stabilitás, elemi bifurkációk, káosz, Fourier analízis és függvénysorok: Fourier-sorok, Dirichlet-mag, Fejér-példa, inverziós-formula, Hermite- és Laguerre polinomok teljessége, gyors Fourier-transzformált, wavelet transzformált; parciális differenciálegyenletek: kezdeti- és peremérték problémák, elliptikus peremfeladatok gyenge megoldásai, Szoboljev-terek, parabolikus egyenletek), lineáris modellek és alkalmazásai (10-20 kredit) (mátrixanalízis: mátrixok sajátértékei és szinguláris értékei, önadjungált mátrixok spektrálelmélete, mátrixpolinomok, pozitív elemű mátrixok, Perron-Frobenius-tétel; lineáris rendszerek analízise: lineáris rendszerek, átmeneti mátrix, irányíthatóság, megfigyelhetőség, impulzusválasz, realizáció, frekvenciaválasz, McMillan-fokszám, spektrálfaktorizáció; irányítási rendszerek: lineáris irányítási rendszerek, kanonikus alakok, minimális realizáció, lineáris-kvadratikus optimális irányítás végtelen időintervallumon, Pontrjagin-féle maximumelv nemlineáris feladatokra, Hamilton Jacobi Bellman- 12
egyenlet), numerikus matematika (10-20 kredit) (nagyméretű lineáris algebrai feladatok: iterációs módszerek, lineáris peremérték feladatok diszkretizálása, variációs feladatok, Ritz-módszer; véges elem módszer: Galjorkin-féle végeselem-módszer, hálógenerálás, hibabecslés, a módszerek stabilitása, programcsomagok; numerikus optimalizálás: globális szélsőérték, egyváltozós és vonalmenti minimalizálás, konjugált-gradiens módszer, lineáris programozás, szimplex módszer, feltételes szélsőérték, Lagrange.multiplikátor, konvex programozás, dualitás, programcsomagok; numerikus és szimbolikus számítások: szimbolikus számítási programcsomag használata), sztochasztika (10-20 kredit) (többváltozós statisztikai módszerek: többdimenziós normális eloszlás és a ráépülő többdimenziós statisztikai modellek, kontingenciatáblák többdimenziós skálázás és beágyazás, többváltozós küszöbmodellek, probit- és logitanalízis; idősorok elemzése: stacionárius folyamat, autoregressziós-, mozgóátlag folyamat, paraméterbecslés, modellillesztés, előrejelzés; sorbanállás, tömegkiszolgálás: Markov-láncok, stabilitás, ergodicitás, születési- és halálozási folyamatok, Poissonfolyamat, tömegkiszolgálási rendszerek stabilitása, Little-formula, sorhossz, várakozási idő, protokollok); diplomamunka: 20 kredit. 9. Idegennyelvi követelmények: A mesterfokozat megszerzéséhez bármely olyan élő idegen nyelvből, amelyen az adott szakmának tudományos szakirodalma van, államilag elismert középfokú (B2) komplex típusú nyelvvizsga vagy ezzel egyenértékű érettségi bizonyítvány vagy oklevél szükséges. 10. A mesterképzésbe való felvétel feltételei: A hallgatónak a kredit megállapítása alapjául szolgáló ismeretek felsőoktatási törvényben meghatározott összevetése alapján elismerhető legyen legalább 65 kredit a korábbi matematikai tanulmányai alapján algebra, analízis, geometria, halmazelmélet, kombinatorika, matematikai logika, operációkutatás, számelmélet, valószínűségszámítás tárgyak ismeretköreiből. II.3. Az alkalmazott matematikus MSc képzések összehasonlító táblázata Az alkalmazott matematikus mesterképzési szak indítására a 15/2006. (IV. 3.) OM rendeletben rögzített képzési és kimeneti követelmények alapul vételével eddig öt egyetem kapott akkreditációt. A rendeletben szereplő hét szakirány közül a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem négy (alkalmazott analízis, sztochasztika, pénzügy-matematika, matematika, operációkutatás), a Debreceni Egyetem kettő (pénzügy-matematika, számítástudomány), az Eötvös Loránd Tudományegyetem négy (alkalmazott analízis, sztochasztika, operációkutatás, számítástudomány), a Pécsi Tudományegyetem egy (operációkutatás), a Szegedi Tudományegyetem kettő (általános, pénzügyi-matematika) szakirányt indíthat. A képzési és kimeneti követelmények intézményi megvalósítását a szakirányoknak megfelelő tantervi hálók mutatják. Ezek áttekintését hasznos háttér információnak véltük és az interneten elérhető adatok alapján összeállítottuk és itt megjelenítjük. Értelemszerű, hogy az akkreditált szakirányok az egyes intézmények releváns matematikai kutatási profiljával korrelálnak. Az Óbudai Egyetem egyik meghatározó szakmai profiljának megfelelően a mesterszak műszaki matematika szakirányát tervezi indítani. Ehhez régi tradíciókkal, széleskörű műszaki háttérrel, intenzív hazai és nemzetközi szakmai kapcsolatokkal és természetesen erős szakember gárdával (e tekintetben 13 oktató akadémiai doktori címmel, 15 pedig CSc/PhD fokozattal) rendelkezik. A beadvány ezekre alapozva készült. 13
Műszaki matematika szakirány ALKALMAZOTT MATEMATIKA MSc KKK KKK ÓE BME DE PTE SZTE ELTE Alapozó tárgyak 15-25 20 20 20 20 20 20 Lineáris algebra Algebra/számelm. bl. Lin. algebra alkalm-i Algebra Alkalm. algebra Differenciálegyenletek Algebra és számelmélet Analízis blokk Algebra/számelm. alk. Analízis Alkalm. geometria Analízis IV Analízis Diszkrét/szám.tud. bl. Analízis alkalmazásai Geometria Operációkutatás Differenciálgeometria I. Geometria és topológia Geometria blokk Geom./topológia alk-i Valségszám./stat. Komputer algebra Bev. a topológiába Valségszám. és mat.stat. Operációkut/gazd.m. bl. Valség.szám.alkalm. Inform./Operációkut. Stat. programcsom-ok Valségszm. és mat. stat. Inform/oper.kut.alapjai Sztochaisztika blokk Mat. stat. alkalm-i Kombinatorika Analízis alapjai Biomatemtika blokk Informatika alkalm-i Bevez. numer. mat-ba Közöns. diff. egyenletek Valószínűségelmélet Matemat. statisztika Törzsanyag 20-30 25 20 25 30 min. 35 min. 20 diszkrét matemat. Algoritmuselmélet Globális optimalizálás Véges testek/alkalm. Diszkrét mat. Algoritmuselmélet Alk. analizis operációkutatás Diszkrét matematika Lineáris programozás Gráfelmélet/alkalm. Operációkut. Alkalmazott analízis Algoritmuselmélet alkalm. analízis Interpoláció és approxim. Elméleti számítástud. Konvex optimalizálás Alkalm. analízis Diszkrét matematika Sztoch. Folyamatok sztochaszt. foly-ok Operációkutatás Algebra/kombinatórika Diszkrét optimalizálás Sztoch. folyam-ok Diff.egy-ek/num.megold. Diszkrét matematika algoritmusok Diff. egyenletek Dinamikai rendszerek Ortogonális polinomok Algoritmus elm. Többvált. stat. függv-ek Operációkutatás Sztochasztikus foly-ok 1 Fourier anal/függv.sorok Köz. diff.egy-ek alk-ai Sztochasztikus foly-ok Parc.diff. egyenletek Sztochaszt. foly-ok Optimaliz. eljárások Sztochaszt.anal/alkalm. Algoritmusok Statisztika/inform.elm. Komm.alg./alg-i geomet. Reprentációelmélet Diff.geom és topológia Szakirányú tárgyak 40-60 40 40 35 40 min. 39 48-54 (diff. szakmai ism.) Többvált. stat. módsz.. Általános szakirány numerikus analízis Parciális diff. egy-ek Alk. Analízis szakirány Alk. Analízis szakirány lineáris modellek Mérnöki szám. módsz. 1 Operációkutatási szakir. Operációkut. szakir. Operációkutatási szir. numer. matemat. Mérnöki szám. módsz. 2 Pénzügy-matematika szir. Pénzügy-mat. szir. Pénzügy-mat. szir. sztochasztika Rendszer/irányítás elm. 1 Sztochasztika szakirány Sztochasztika szakirány Rendszer/irányítás elm. 2 Sztud. szakirány Sztud. szakirány Sztochasztikus foly-ok 2 Dinamikai rendszerek Fourier anal./függv.sorok Választható tárgyak 6-6 20 10 20 10 min. 20 min. 6 Diplomamunka 20 20 20 20 20 20 20 ÖSSZESEN 120 120 120 120 120 120 120 14
III. A képzés tartalma III.1 A szakra való belépés feltételei a) a bemenethez feltétel nélkül elfogadott (alap)szakok: Matematikus b) a bemenethez megadott feltételekkel elfogadott (alap)szakok: A természettudomány, műszaki, informatika képzési területek valamennyi alapképzési szakja, a gazdaságtudományok képzési terület közgazdasági képzési ágának gazdaságelemzés alapképzési szakja. továbbá azok az alap vagy mesterfokozatot adó alapképzési szakok, illetve a felsőoktatásról szóló 1993. évi LXXX. törvény szerinti főiskolai vagy egyetemi szintű alapképzési szakok, amelyeket a kredit megállapításának alapjául szolgáló ismeretek összevetése alapján a felsőoktatási intézmény kreditátviteli bizottsága elfogad. Ezen szakok hallgatói akkor nyerhetek felvételt a matematikus mesterképzési szakra, ha a lineáris algebra, analízis, geometria, halmazelmélet, kombinatorika, matematikai logika, operációkutatás, számelmélet, valószínűségszámítás témákban legalább 65 kreditet teljesítettek és megfeleltek az intézményi szakmai felvételi vizsgán. A matematika BSc-vel nem rendelkezőknek legfeljebb 20 kredit értékben az Elméleti alapozás sávba tartozó tárgyakat is kell teljesíteniük. A pontos követelményeket a korábbi tanulmányok figyelembevételével az Alkalmazott Matematikai Intézet határozza meg. A felvételi eljárás az Óbudai Egyetem érvényes Felvételi szabályzata (http://uniobuda.hu/szabalyzatok/622) alapján történik. A mesterképzésbe való felvétel feltételeit az alap- és mesterképzési szakok képzési és kimeneti követelményeiről szóló 15/2006 (IV.3.) OM rendelet tartalmazza. Ha a jelentkező olyan oklevéllel rendelkezik, amelyhez szükséges további krediteket szereznie, kérvényeznie kell az egyetemtől az ún. előzetes krediteljárás lefolytatását. Az egyetem a benyújtott dokumentumok alapján megvizsgálja, hogy a feltételeknek eleget tesz-e a jelentkező, és ha igen, akkor kiadja számára az előzetes kreditelismerési határozatot. A határozatot a felvételi kérelem beadásakor, de legkésőbb a hiánypótlási határidőig kell beküldeni. A mesterképzésre történő jelentkezés esetén az egyetem a felvételi kérelmeket az alapképzésben elért eredmények, a felvételi beszélgetésen kapott pontszámok, valamint az egyetem által meghatározott többletteljesítmények alapulvételével rangsorolja. A felvételi beszélgetést végző Felvételi Bizottság elnökét és tagjait a kar dékánja bízza meg. A Felvételi Bizottság elnöke az oktatási dékánhelyettes, tagjai: három fő a kar különböző intézeteinek képviselői, egy fő a kari HÖK képviselője. Célja a jelentkezők szakmai tájékozottságának, motivációjának, valamint eddigi szakmai tevékenységének felmérése. A felvételi vizsga témakörei a Kar/Intézet honlapján megtekinthetők. A szakra jelentkező hallgatók a felvételi eljárás során, az Óbudai Egyetem Felvételi Szabályzata szerint maximum 100 pontot szerezhetnek, amely a tanulmányi pontok (max. 45), a felvételi pontok (max. 45) 15
és a többletpontok (max. 10) összege. A többletpontokon kívüli 90 pont a felvételi pontok duplázásával is megszerezhető. A két eljárás közül a hallgató számára kedvezőbbet kell alkalmazni. A tanulmányi pontokat a BSc képzés leckekönyve alapján állapítják meg. Értékük a teljes képzésre vonatkozó, kreditekkel (nem kreditrendszerű képzés esetén a heti óraszámmal) súlyozott tanulmányi átlag kilencszerese, egész számra kerekítve. A felvételi pontok megállapítására felvételi beszélgetés alapján kerül sor. A felvételi beszélgetés szempontjai: a) a jelentkező BSc (vagy ennek megfelelő) szakdolgozatának bemutatása (max. 15 pont), b) a választott szak iránti érdeklődés és tájékozottság felmérése (max. 15 pont), c) általános szakmai tájékozottság (max. 15 pont). Többletpont szerezhető felsőfokú, vagy második nyelvből tett középfokú nyelvvizsgáért (max. 5 pont), a szakterületen végzett eredményes tudományos vagy diákköri tevékenységért (max. 5 pont), előnyben részesítés jogcímén (max. 5 pont). Felvételi döntés: A felvételi vizsgát lefolytató bizottságok javaslatai alapján a felvételi döntést a Kar Felvételi Bizottsága hozza meg, és a határozatról írásban értesíti a jelentkezőt. III.2 A képzés programja, a szak tanterve A mesterszak szerkezete Elméleti alapozás (Matematika BSc-vel nem rendelkezőknek)* Szakmai törzsanyag Műszaki matematika szakirány kötelező tárgyak (törzsanyag) Szakdolgozat Szabadon választható tárgy 20 kredit 25 kredit 40 kredit 20 kredit 15 kredit *: Matematika BSc-vel rendelkezők az elméleti alapozás sáv helyett 20 kreditnyi szabadon választható tárgyat kötelesek felvenni az Alkalmazott Matematikai Intézet által megadott listából. 16
A képzési program áttekintő sémája: 1. félév 2. félév 3. félév 4. félév Lineáris algebra (3) Informatika és Többváltozós statisztikai Rendszer- és Takács Márta operációkutatás alapjai (2) módszerek (5) irányításelmélet 2 (5) Algebra és számelmélet (4) Héthelyi László Analízis (4) Pap Endre Geometria és topológia (4) (Nagy Péter) Valószínűségszámítás és matematikai statisztika (3) Kárász Péter (Szeidl László) Diszkrét matematika (5) Héthelyi László Interpoláció és approximáció (2) Galántai Aurél Differenciálegyenletek (3) Pap Endre Algoritmuselmélet (5) Galántai Aurél Fullér Róbert Operációkutatás (5) Fülöp János Sztochasztikus folyamatok 1 (5) Kárász Péter (Szeidl László) Mérnöki számítási módszerek 1 (5) Galántai Aurél Fourier analízis és függvénysorok (2) Tar József Dinamikai rendszerek (3) Zoller Vilmos Fodor János Rendszer- és irányításelmélet 1 (5) Rudas Imre Parciális differenciálegyenletek (5) Zoller Vilmos Tar József Sztochasztikus folyamatok 2 (5) Kárász Péter Mérnöki számítási módszerek 2 (5) Rudas Imre Választható tárgyak (5) Választható tárgyak (5) Választható tárgyak (5) Szakdolgozat 1 (10) Szakdolgozat 2 (10) Összes kredit 33 27 30 30 MSc mintatanterv Alkalmazott matematikus szak Nappali tagozat Műszaki matematika szakirány félévek számonkérés tantárgyak - a vonatkozó KKK 8. 1. 2. 3. 4. tantárgy (koll, gyj) pontjában megadott ismeretkörök tanóraszám (heti/félévi), Kredit-száma alapján tanóratípus (ea / gy /lab) felelősök Elméleti alapozás 1. Lineáris algebra 2 /28 ea 3 gyj Dr. Takács Márta 2. Algebra és számelmélet 2/28 ea 4 koll Dr. Héthelyi László 3. Analízis 2/28 ea + 4 gyj Dr. Pap Endre 1/14 gy 4. Geometria és topológia 2/28 ea + 4 koll Dr. Nagy Péter 5. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai Dr. Kárász Péter 6. Informatika és operációkutatás alapjai Dr. Fullér Róbert 1/14 gy 2/28 ea + 1/14 gy Összesen: 10/140 ea 3/42 gy 3 koll 2/28 ea 2/28 ea 20 17
szakmai törzsanyag 7. Algoritmuselmélet Dr. Galántai Aurél 8. Diszkrét matematika Dr. Héthelyi László 9. Interpoláció és approxi-máció Dr. Galántai Aurél 2/28 ea + 2/28 gy 5 koll 2/28 ea + 5 koll 2/28 gy 2/28 ea 2 koll 10. Differenciálegyenletek Dr. Pap Endre 2/28 ea + 1/14 gy 3 koll 11. Operációkutatás Dr. Fülöp János 2/28 ea + 2/28gy 5 koll 12. Sztochasztikus folyamatok 1 Dr. Kárász Péter 2/28 ea + 2/28 gy 5 koll Összesen: 8/112 ea 5/70 gy 4/56 ea 4/56 gy 25 differenciált szakmai anyag 13. Mérnöki számítási módszerek 1 Dr. Galántai Aurél 14. Fourier analízis és függvénysorok Dr. Tar József 15. Dinamikai rendszerek Dr. Zoller Vilmos 16. Többváltozós statisztikai módszerek Dr. Fodor János 17. Rendszer és irányításelmélet 1 Dr. Rudas Imre 18. Parciális differenciálegyenletek Dr. Zoller Vilmos 19. Mérnöki számítási módszerek 2 Dr. Rudas Imre 20. Rendszer és irányításelmélet Dr. Tar József 3/42 ea + 1/14 lab 5 koll 2/28 ea 2 koll 2/28 ea 3 koll 3/42 ea + 1/14 lab 3/42 ea + 1/14 lab 3/42 ea + 1/14 lab 3/42 ea + 1/14 lab 3/42 ea + 1/14 lab 5 koll 5 koll 5 koll 5 koll 5 koll 21. Sztochasztikus folyamatok 2 Dr. Kárász Péter 3/42 ea + 1/14 lab 5 koll Összesen: 7/98 ea 1/14 lab 9/126 ea 3/42 lab 9/126 ea 3/42 lab 40 Választható tárgyak 22. Robotirányítás és modellezés Dr. Rudas Imre 23. Hálózati folyam algoritmusok Dr. Bakó András 24. Geometriai algoritmusok Dr. Hermann Gyula 25. Aggregációs függvények Dr. Pap Endre 18
26. Játékelmélet Dr. Kóczy Á. László 27. Real-time rendszerek és anytime algoritmusok Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária 28. Matematikai logika és alkalmazásai Dr. Takács Márta 29. Formális módszerek az informatikában Dr. Takács Márta 30. Számítógépes képfeldolgozás Dr. Vámossy Zoltán 31. Gépi intelligencia I Dr. Fullér Róbert 32. Gépi intelligencia II Dr. Fullér Róbert 33. Szimulációs módszerek Dr. Szeidl László 34. Bevezetés a SIMULINK modellalkotásba és programozásba Dr. Sergyán Szabolcs 35. Differenciálgeometria Dr. Nagy Péter 36. Robotika geometriai alapjai Dr. Nagy Péter 37. Numerikus analízis Dr. Abaffy József 38. Modellezés Dr. Horváth László 39. Mérnöki modellezés és számítógépes grafika Dr. Horváth László 40. A klasszikus mechanika és matematikai módszerei Dr. Bitó János 41. Döntéshozatal és optimalizálás energetikai rendszerekben Dr. Kádár Péter 42. Modellalapú problémamegoldás I. Dr. Tick József 43. Modellalapú problémamegoldás II. Dr. Tick József 44. Problémamegoldás számítógéppel I. Dr. Tick József 45. Problémamegoldás számítógéppel II. Dr. Tick József 46. Bevezetés a MATLAB programozásba Dr. Sergyán Szabolcs 4 koll 4 koll 4 koll 4 koll 19
47. Megosztott paraméteres dinamikus rendszerek modellezése és irányítása Dr. Hulkó Gábor 48. Szoftverfejlesztés párhuzamos és elosztott környezetben Dr. Vámossy Zoltán 49. Lágyszámítási módszerek és alkalmazásaik Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária 4 koll 4 koll 3 koll 50. Digitális képfeldolgozás 3 koll Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária 51. Döntésanalízis Dr. Fullér Róbert 52. Anyagtudományi termikus folyamatok modellezése Dr. Réger Mihály 53. Optimalizálási modellek Dr. Fülöp János 54. Geometriai modellezés Dr.Hermann Gyula Összesen: 80 tantárgyak - a vonatkozó KKK 8. pontjában megadott ismeretkörök alapján felelősök Elméleti alapozás 1. Lineáris algebra Dr. Takács Márta 2. Algebra és számelmélet Dr. Héthelyi László 3. Analízis Dr. Pap Endre 4. Geometria és topológia Dr. Nagy Péter 5. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika alapjai Dr. Kárász Péter 6. Informatika és operációkutatás alapjai Dr. Fullér Róbert szakmai törzsanyag 7. Algoritmuselmélet MSc mintatanterv Alkalmazott matematikus szak Esti tagozat Műszaki matematika szakirány félévek számonkérés 1. 2. 3. 4. tantárgy (koll, gyj) tanóraszám (heti/félévi), tanóratípus (ea / gy /lab) Kredit-száma 1 /14 ea 1.5 gyj 1 /14 ea 2 koll 1/14 ea + 0.5/7 gy 1/14 ea + 0.5/7 gy 1/14 ea + 0.5/7 gy Összesen: 5/70 ea 1.5/21 gy Dr. Galántai Aurél 8. Diszkrét matematika Dr. Héthelyi László 1/14 ea + 1/14 gy 1/14 ea + 1/14 gy 2 koll 1.5 koll 1/14 ea 1 gyj 1/14 ea 10 5 koll 5 koll 20
9. Interpoláció és approxi-máció Dr. Galántai Aurél 1/14 ea 2 koll 10. Differenciálegyenletek Dr. Pap Endre 1/14 ea + 0.5/7 gy 3 koll 11. Operációkutatás Dr. Fülöp János 1/14 ea + 1/14 gy 5 koll 12. Sztochasztikus folyamatok 1 Dr. Kárász Péter 1/14 ea + 1/14 gy 5 koll Összesen: 4/56 ea 2.5/35 gy 2/28 ea 2/28 gy 25 differenciált szakmai anyag 13. Mérnöki számítási módszerek 1 Dr. Galántai Aurél 14. Fourier analízis és függvénysorok Dr. Tar József 15. Dinamikai rendszerek Dr. Zoller Vilmos 16. Többváltozós statisztikai módszerek Dr. Fodor János 17. Rendszer és irányításelmélet 1 Dr. Rudas Imre 18. Parciális differenciálegyenletek Dr. Zoller Vilmos 19. Mérnöki számítási módszerek 2 Dr. Rudas Imre 20. Rendszer és irányításelmélet 2 Dr. Tar József 21. Sztochasztikus folyamatok 2 Dr. Kárász Péter 1.5/21 ea + 0.5/7 lab 5 koll 1/14 ea 2 koll 1/14 ea 3 koll 1.5/21 ea + 0.5/7 lab 1.5/21 ea + 0.5/7 lab 1.5/42 ea + 0.5/7 lab 1.5/21 ea + 0.5/7 lab 1.5/42 ea + 0.5/7 lab 1.5/42 ea + 0.5/7 lab 5 koll 5 koll 5 koll 5 koll 5 koll 5 koll Összesen: 3.5/49 ea 0.5/7 lab 4.5/63 ea 1.5/21 lab 4.5/63 ea 1.5/21 lab 40 Választható tárgyak 22. Robotirányítás és modellezés Dr. Rudas Imre 23. Hálózati folyam algoritmusok Dr. Bakó András 24. Geometriai algoritmusok Dr. Hermann Gyula 25. Aggregációs függvények Dr. Pap Endre 26. Játékelmélet Dr. Kóczy Á. László 27. Real-time rendszerek és anytime algoritmusok Dr. Várkonyiné Kóczy Annamária 21