PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET. Geometria Tanszék

PROJEKTIV GEOMETRIA JEGYZET Készítette: Osztényi József Geometria Tanszék

Projektív geometria 2 I. BEVEZETÉS A geometria tudománya azzal kezdődött, hogy a tapasztalati tárgyakból absztrakcióval megalkották a geometriai idom fogalmát, s megismerték az elvont fogalmak közti kapcsolatokat, melyek tapasztalati tényeket tükröznek vissza. EUKLIDES elemei, amelyek a geometria tudományos fejlődésének alapjait adták, igen hosszú tapasztalati és tudományos fejlődésnek eredményeit foglalaják magukban. Majd kétezer éven át tartotta meg az euklideszi geometria egyeduralkodó szerepét, sőt még ma is sokan azt hiszik, hogy ezt a geometriát maga a természet alkotta meg, s minden más, azóta keletkezett geometria emberi találmány. Bizonyos, hogy a természet át meg át van szőve geometriával, de ez nem okvetlenül euklideszi geometria. A természeti jelenségeknek, nevezetesen a mozgásoknak leírásához célszerű az euklideszi geometria, a relativitás elvén alapuló, modern mechanika céljainak már jobban megfelel a nem-euklideszi geometria. A tárgyak ábrázolásához egy egészen másfajta geometriára, a projektív geometriára van szükség. Érdekes visszatekinteni a projektív geometria megszületésére s fejlődésére. Nem hivatásos geométerek, hanem a reneszánsz művészi alapozták meg ezt a tudományt. LEONARDO DA VINCI Utolsó vacsorája a művészi eszmény tökéletességén kivűl példaképe a perspektív ábrázolásnak. Másik klasszikus példája a perspektív ábrázolásnak MICHELANGELO római Capitoliuma. 1. LEONARDO DA VINCI: Utolsó vacsora Évszázadokkal később, különösen PONCELET műveiben s azok nyomán alakult ki az ábrázoló geometria és a projektív geometria tudománya. Ezt a látás geometriájának tekinthetjük, ellentétben az euklideszi geometriával, mely a tapintás

Projektív geometria 3 geometriája. A látás geometriáját nagyjából a következő tények jellemzik: minden egyenest egyenesnek (vagy pontnak) látunk; párhuzamos egyenesek olyanoknak tűnnek, mintha egy pontba futnának össze; nem tudjuk megítélni, vajon két távolság egyenlő, vagy két szög egyenlő egymással, mert azok különböző helyzetekben különböző nagyságúaknak látjuk. 2. MICHELANGELO: Capitolium

Projektív geometria 4 II. A PROJEKTIV GEOMETRIA ALAPJAI 1. Idealis elemek a síkon Ebben a fejezetben adottnak tekintünk egy Σ euklideszi síkot. A sík két egyenese vagy párhuzamos, vagy pedig van egy közös pontjuk. Ezt a kétféleséget megszüntetjük az által, hogy az egyenes pontjainak összességét egy ideális pontnak ( végtelen távoli pont) mondott elemmel bővítjük, mégpedig két egyenes pontjainak az összeségét akkor és csak akkor bővítjük ugyanazzal az új elemmel, ha a két egyenes párhuzamos. A nem ideális pontokat megkülönböztetésül közönséges pontoknak is nevezzük. Egy ideális pontot azzal adhatunk meg, hogy megadunk egy olyan egyenest, amely azt tartalmazza. Betűkkel való jelölésben nem teszünk különbséget az egyenes közönséges pontjai és ideális pontja között. Ábrán az egyenessel párhuzamosan rajzolt nyíl mellé írjuk az egyenes ideális pontját jelölő betűt. 3. ábra Az ideális pontok bevezetése után elmondhatjuk, hogy a sík bármely két egyenesének egyetlen egy közös pontja van. A közös pontot metszés pontnak mondjuk akkor is, ha az ideális pont. Két közönséges pont, valamint egy közönséges és egy ideális pont egyetlen egy egyenest határoz meg, viszont két ideális pontról ugyanezt nem mondhatjuk el. Ezt a kivételet megszüntethetjük az által, hogy a sík egyeneseinek összességét a sík egyeneseinek ideális pontjai által alkotta alakzattal, a sík ideális egyenesével ( végtelen távoli egyenes) bővítjük. Egy nem ideális egyenest megkülönböztetésül közönséges egyenesnek mondunk. Betűkkel való jelölésben nem teszünk különbséget a sík közönséges egyenesei és ideális egyenese között. Ábrán a sík ideális egyenesét két egymással nem párhuzamos nyíl mellé rajzolt vonallal jelöljük. A sík ideális egyenesének bevezetése után már az is igaz, hogy bármely két pont egyetlen egy egyenest határoz meg, hiszen egy közönséges egyenes és a sík ideális egyenesének metszéspontja a közönséges egyenes ideális pontja.

Projektív geometria 5 4. ábra Az egyenesből, a síkból végtelen távoli elemek hozzáfűzésével származó alakzatotkat affin vagy projektív egyenesnek, síknak nevezzük, mégpedig a szerint, hogy megtartjuk vagy megszüntetjük ezekben a végtelen távoli elemek kivételes szerepét. 2. A projektív síkgeometria illeszkedési axiómái Az euklideszi síkgeometria illeszkedési axiómái és a párhuzamossági axiómája, valamint az ideális térelemek fenti értelmezése alapján bebizonyítjuk a projektív síkgeometria illeszkedési axiómáit, melyekben pont, egyenes és sík a projekív geometria elemeit jelentik. Miként az euklideszi síkgeometria felépítése során tettük, a projektív síkgeometria illeszkedési axiómáiban is a pont egyenesre való illeszkedését vesszük fel alapfogalomnak. 2.1 Tétel. a) Bármely két ponton egy és csak egy egyenes megy át. a ) Bármely két egyenesnek egy és csak egy közös pontja van. b) Bármely egyenesre illeszkedik legalább három pont. b ) Bármely ponton átmegy legalább három egyenes. c) Van a síkon három, nem egy egyenesre illeszkedő pont. c ) Van a síkon három, nem egy ponton átmenő egyenes. Bizonyítás. Az a állítás bizonyítása: Két közönséges pont esetében igaz az állítás, mert a közönséges egyenesek közzül csak a két pont összekötő egyenese felel meg, s az ujonnan bevezetett ideális egyenesnek nincsen közönséges pontja. Egy közönséges és egy ideális pont esetében is igaz az állítás, mert egy adott ponton át egyetlenegy adott állású közönséges egyenes halad, és az ideális egyenes nem tartalmaz közönséges pontot. Végül két ideális pontot csak az ideális egyenes tartalmazhatja. Az a állítás bizonyítása: Két közönséges egyenes esetében igaz az állítás, ha a két közönséges egyenes párhuzamos, akkor végtelen távoli pontjuk közös, viszont nincs közös a közönséges pontjaik között. Nem párhuzamos egyenesek esetében egyetlenegy közös közönséges pontjuk van, végtelen távoli pontjaik különbözőek. Egy közönséges

Projektív geometria 6 és az ideális egyenes esetében is igaz az állítás, mert egyetlenegy közös pontjuk van a közönséges egyenes végtelen távoli pontja, az ideális egyenes nem tartalmaz közönséges pontot. A b állítás bizonyítása: Az euklideszi síkgeometria illeszkedési axiómái alapján egy közönséges egyenesnek legálább két közönséges pontja van, valamint minden egyenesen tartalmaz végtelen távoli pontot. Igy minden közönséges egyenesnek van legalább három ponja. Az euklidesi síkgeometria illeszkedési axiómái alapján van a síkban három nem kollineáris pont, az általuk meghatározott három egyenes végtelen távoli pontjaik különböznek egymástól, és mind a végtelen távoli egyenesre illeszkednek. A fentiekhez hasonló meggondolásokkal adódik a többi, felsorolt állítás. A projektív síkgeometria illeszkedési axiómáiban a pont és egyenes szerepe szimmetrikus, az ugyanazzal a betűvel jelölt állítások közzül bármelyikből a másikat megkapjuk, ha benne a pont és egyenes szerepét felcseréljük egymással. Ezt a szabályszerűséget úgy fejezzük ki, hogy a projektív síkgeometria illeszkedési tételeiben érvényes a síkbeli dualitás elve, amely szerint: 2.2 Tétel. A projektív síkgeometria tételeiben a pont és egyenes szerepe felcserélhető. Megjegyzés: A félreértés elkerülése végett megjegyezzük, hogy a fent megfogalmazott dualitási elvet nem bizonyítottuk be, csupán megállapítottuk, hogy a felsorolt illeszkedési axiómákban ez az elv érvényesül. A projektív geometria felépítés során ügyelni fogunk arra, hogy az alkalmazott módszerekben érvényesüljön a dualitás elve, ebből majd önként következik, hogy a fent megfogalmazott dualitási elv a maga általánosságában érvényes. Midőn pedig egy bebizonyított tétel duálisát bizonyítás nélkül kimondjuk, utalunk arra, hogy a tétel bizonyításának a dualitás elve szerint való átalakítás szolgálja a duális tétel bizonyítását. 3. Projektív alapműveletek Egy egyenesre illeszkedő pontok halmazát pontsornak nevezzük. Ennek duálisát, egy ponton átmenő egyenesek halmazát pedig sugársornak nevezzük. A pontsorok és a sugársorok egydimenziós elemi alakzatok. A projektív geometria alapműveletei két egydimenziós elemi alakzat közötti kölcsönösen egyértelmű megfeleltetések. Az O pontból való vetítés az a leképezés, mely minden, O-tól különböző A pontnak az e OA egyenest felelteti meg. Az s egyenessel való metszés minden a egynesnek a és s metszéspontját: az a s pontot felelteti meg. Ha két pontsor ugyanannak a sugársornak két különböző egyenes által alkotott metszete, akkor a két pontsor közötti megfeleltetést perspektivitásnak nevezzük. Ebben az esetben azt írjuk, hogy X = X vagy X O = X, ez azt jelenti, hogy ha X és X a két pontsor egymásnak megfelelő pontjait jelőli, akkor az e XX egyenesek mindnyájan egy rögzített O ponton mennek át, amelyet a

Projektív geometria 7 perspektivitás tartópontjának nevezünk. Magától értetődik, hogy a pontsorok helyett sugársorokból kiindulva, ezzel duális típusú perspektivitást kapunk. Legyen például l egy egyenes, O egy hozzá nem tartozó pont. Az O pontból való vetítésnél az l-en fekvő pontsornak az O tartópontú sugársor felel meg. 5. ábra Messük a sugársort egy az O pontra nem illeszkedő l egyenessel, ezáltal a sugársornak az l -n fekvő pontsor felel meg az l -vel való metszéssel. A fenti értelmezés szerint az l-en és l -n fekvő pontsorok perspektív vonatkozásban állnak, ABC... X O = A B C... X. 6. ábra Tetszőleges számú perspektivitás szorzatát projektivitásnak nevezzük. Két pontsorra ( vagy sugársorra), melyeket projektivitás kapcsol össze, azt mondjuk, hogy projektiv vonatkozásban állnak és ezt a következőképpen írjuk: X X.

Projektív geometria 8 A következő ábrán például ABCD O = A 0 B 0 C 0 D 0 O = A B C D és ezért ABCD A B C D. 7. ábra Analóg módon definiálhatjuk a sugársorral projektív vonatkozásban álló pontsort és fordítva. 4. Osztóviszony, kettősviszony Az euklideszi síkgeometria egybevágósági axiómáinak felhasználásával értelmezzük a projektív egyenesen az osztóviszonyt és a kettősviszonyt. Egy egyenes három közönséges A, B, C pontjának (ABC) osztóviszonyán az AC és BC irányított szakaszok hányadosát értjük, azaz (ABC) := AC BC. Definíció szerint az (ABC) osztóviszony előjellel ellátott szakasznagyság, amelyet az A, B, C pontok egyértelműen meghatároznak. Az A, B pont és az (ABC) osztóviszony egyértelműen meghatározza az e AB egyenes C pontját, a következő szerkesztés szerint. Jelöljük 1-gyel az egységszakaszt, és legyen a egy tetszőleges szakasznagyság. Két különböző, egymással párhuzamos egyenest fektetünk az A, illetve a B ponton át, s ezekere rámérjük rendre az A pontból az a = AA, és a B pontból az 1 = BB szakaszt, az e AB egyenesnek ugyanazon oldalán vagy ellenkező oldalon, a szerint, hogy a pozitív vagy negatív. A két szakasz A, B végpontját összekötő egyenes olyan C pontot metsz ki az e AB egyenesen, melyre (ABC) = a.

Projektív geometria 9 8. ábra A fenti szerkesztésből kiderül, hogy ha a = 1 akkor C az e AB egyenes végtelen távoli pontja, ha a = 1, akkor C az AB szakasz felezőpontja, s ha A = 0, akkor C = A. Egyik szakasznagyságnak sem felel meg a C = B pont, ezért bevezetjük a végtelen szakasznagyságot, s ezt feleltetjük meg a C = B pontnak. Ilyen módon a két megadott A, B pontra vonatkozó (ABC) osztóviszonyt mint koordinátat vezettük be az e AB egyenesen: minden C pontnak megfelel egy meghatározott szakasznagyság és viszont. Egy egyenes négy közönséges A, B, C, D pontjának (ABCD) kettősviszonyán értjük az (ABC) és (ABD) osztóviszonyok hányadosát: (ABCD) := (ABC) (ABD) = AC BC BD AD. A definícióból közvetlenül következik, hogy (ABCD) = (BADC) = (CDAB) = (DCBA) és (ABDC) = (BACD) = 1 (ABCD). 4.1 Tétel. Ha az a egyenesnek az a egyenesre egy rajtuk kívűl fekvő O pontból való vetítésnél az a egyenes négy közönséges A, B, C, D pontjának az a egyenes A, B, C, D közönséges pontja felel meg, akkor (ABCD) = (A B C D ). Bizonyítás. A B, B pontokon át az e OA egynenessel párhuzamos egyeneseket fektetünk. Ezen egyenesek e OC illetve e OD egyenesekkel vett metszéspontjait jelöljük E, E -vel illetve F, F -vel. A kettősviszonyok (ABCD) = AC BC BD AD és (A B C D ) = A C B C B D A D

Projektív geometria 10 9. ábra értékét a párhuzamos szelők tétele alapján a következőképpen lehet átalakítani: AC BC = AO BE ; BD AD = BF AO ; Ezt felhasználva Ismét a párhuzamos szelők tételét használva A C B C = A O B E ; B D A D = B F A O. (ABCD) = AO BE BF AO = BF BE és (A B C D ) = A O B E B F A O = B F B E. BE B E = OB OB ; BF B F = OB OB. Ha D az a egyenes végtelen távoli pontja, akkor a fenti eljárással arra az eredményre jutunk, hogy az (ABCD) kettősviszony egyenlő az (A B C ) osztóviszonnyal. Ennek megfelelően kiterjesztjük a kettősviszony értelmezését. Ha az A, B, C, D pontok egy közönséges a egyenesen feküsznek, s ha a végtelen távoli pontja D, akkor (ABCD) kettősviszonyon az (ABC) osztóviszonyt értjük. Ha A, B, C, D a végtelen távoli egyenes négy pontja, akkor egy közönséges O pontból vetítsük a négy pontot egy közönséges a egyenes A, B, C, D pontjaiba. A megadott új pontok kettősviszonyán értjük az (ABCD) kettősviszonyt. Ez utóbbi értelmezés igazolásához jegyezzük meg, hogy a fenti tétel szerint az (A B C D ) kettősviszony független az a választásától. Következőképpen látjuk be, hogy az O pont választástól

Projektív geometria 11 is független az ily módon értelmezett (ABCD) kettősviszony. Legyen O egy másik közönséges pont, messük az O A, O B, O C, O D egyeneseket egy a -vel párhuzamos a egyenessel az A, B, C, D pontokban. Ha az a egyenest úgy vesszük fel, hogy OA = O A, akkor az OA B C D és az O A B C D idomok egybevágók és így (A B C D ) = (A B C D ). Fenti eredmények s az értelmezés alapján adódik a következő: 4.2 Tétel. Ha két egyenesnek egy hozzájuk nem tartozó pontból egymásra való vetítésnél az egyik egyenes A, B, C, D pontjának másik egyenes A, B, C, D pontja felel meg, akkor (ABCD) = (A B C D ). Ha A, B, C egy egyenes három pontja, akkor az egyenes tetszőleges negyedik D pontjának ezekre vonatkozó (ABCD) kettősviszony koordináta jellegű. Ugyanis minden D pontnak egyértelműen megfelel egy (ABCD) kettősviszony. Az osztóviszonyokra vonatkozó hasonló tulajdonságból következik, hogy különböző D és D pontoknak megfelelő kettősviszony különböző. Minden a szakasz nagyságnak megfelel egy D pont, melyre (ABCD) = a, a következő szerkesztés szerint, melyben feltesszük, hogy A, B, C közönséges pontok. Egy, a B ponton áthaladó, e AB -től különbőző egyenesre a B pontból rámérjük az a és az 1 szakaszt, a B pontnak ugyanazon az oldalán vagy különböző oldalán, a szerint, hogy a pozitív vagy negatív, legyen BL = a, BM = 1. Az A ponton át e LM egyenessel párhuzamost fektetünk, ennek e CM egyenessel való metszéspontja legyen N, az e LN egyenesnek az e AB egyenessel közös pontja pedig D. 10. ábra A szerkesztett hasonló háromszögek megfelelő oldalaiknak arányosságából adódik: AN : BM = AC : BC, s mert BM = 1, tehát AN = (ABC) BL : AN = BD : AD, tehát a = BL = (ABC) BD AD = (ABCD). Eszerint az a szakasznagyságnak az A, B, C pontokra vonatkozóan egy és csak egy olyan D pont felel meg, amelyre (ABCD) = a.

Projektív geometria 12 A kettősviszony értelmezését sugársorra következőképpen terjesztjük ki. Egy sugársorhoz tartozó négy a, b, c, d egyenes kettősviszonyán négy olyan A, B, C, D pontnak a kettősviszonyát értjük, melyekben egy, a sugársor tartópontján át nem haladó s egyenes metszi az a, b, c, d egyeneseket. A megadott értelmezésből és a 4.2 tételből következik a 4.3 Tétel. Ha két egyenes közötti projektivitás az egyik egyenes A, B, C, D pontjának másik egyenes A, B, C, D pontját felelteti meg, akkor (ABCD) = (A B C D ). Ebből a tételből a kettősviszony koordináta jellegét tekintve adódik a következő 4.4 Tétel. Ha két egyenes két projektív vonatkozása három-három elemre nézve megegyező, akkor a két vonatkozás azonos egymással. Például tegyük fel, hogy az a egyenes az a egyenesre való projektív leképezésénél az a egyenes A, B, C pontjának rendre az a egyenes A, B, C pontja felel meg, ezáltal a leképezés egyértelműen meg van határozva: minden D pontjának a -nek az a D pontja felel meg, melyre (ABCD) = (A B C D ). 5. Egyenesek projektív leképezései Az egyenes önmagára, vagy egy másik egyenesre való projektív leképezése az értelemezés szerint véges sok perspektív leképezés, vagyis vetítés és metszés összetételéből származik. Ha adott egy egyenes három különböző A, B, C pontja és egy másik egyenes szintén különböző A, B, C pontja, akkor ezeket a következő ábrán látható módon két perspektivitás segítségével kapcsolhatjuk össze. 11. ábra

Projektív geometria 13 Az így előálló projektivitás tengelye a pontokat összekötő egyenes, úgy hogy B 0 = e AB e BA, C 0 = e AC e CA ABC A A = A 0 B 0 C 0 = A B C. Az e AB egyenes tetszőleges X pontjának az e A B egyenesen megfelelő X pontot úgy kapjuk meg, hogy az A pontot összekötjük az X 0 = e A X e B0 C 0 ponttal, és ily módon ABCX = A 0 B 0 C 0 X 0 = A B C X. Egy egyenes két különböző - A, B, C és A, B, C - ponthármasa közötti kapcsolat létesítéséhez először egy tetszőleges ABC= A 1 B 1 C 1 perspektivitást létsítünk, majd az így kapott egyeneseken levő A 1, B 1, C 1 és A, B, C ponthármas között létesítünk kapcsolatot az előzőekben leírt módon. Ennek alapján kimondhatjuk, hogy 5.1 Tétel. Tetszőleges három kollineáris pont és tetszőleges másik három kollineáris pont kötött legfeljebb három perspektivitásból álló szorzattal mindig projektív kapcsolat létesíthető. Egy kollineáris A, B, C ponthármas és egy másik kollineáris A, B, C ponthármas között a 4.4 tétel szerint lényegében egyetlen ABC A B C projektivitás létezik. Ezzel bebizonyítottuk a projektív geometria alaptételét: 5.2 Tétel. Egy pontsor három pontjának és egy másik pontsor három megfelelő pontjánk megadása a projektivitást egyértelműen meghatározza. Ha két különböző egyenesen lévő pontsor közötti projektivitásnak van egy A fixpontja ( A = A ), akkor ez a pont a két egyenes közös pontja, hiszen mind a két pontsorhoz hozzátartozik. Legyen B és C az egyik egyenes tetszőleges két másik pontja, B és C a másik pontsor ezeknek megfelelő pontja.

Projektív geometria 14 12. ábra Az alaptétel szerint az ABC O = AB C perspektivitás, ahol O = e BB e CC, ugyanaz mint az adott ABC AB C projektivitás. Igy 5.3 Tétel. Két különböző egyenes közötti projektivitás akkor és csak akkor perspektivitás, ha két egyenes metszéspontja fixpont. Legyen az a és az a egyenes perspektív vonatkozásban az O tartópontra vonatkozóan, jelöljük N-el az a és a metszéspontját. Az a egyenesnek egy N- től különböző A pontjából vetítsük az a pontsort, s a -nek megfelelő A pontjából az a pontsort. Az A és A tartópontú sugársorok között a és a megadott perspektív vonatkozása alapján értelmezünk egy projektív vonatkozást azáltal, hogy az a bármely P pontját A -vel összekötő egyenest, s a P képpontját, P -t A-val összekötő egyenest egymásnak feleltetjük meg. Az előző tétel duális állítása szerint a két sugársor vonatkozása perspektív, mivel az e AA = e A A egyenes önmagának felel meg. A perspektivitás tengelye, u átmegy az N ponton, mivel e AN = a és e A N = a a két sugársor egymásnak megfelelő egyenesei. 13. ábra Az u egyenes független az A pont választásától, ugyanis u mint az N pontot az e AP és e A P egyenesek metszéspontjával összekötő egyenes egyértelműen meg van határozva. Ebben a meghatározásban A és P szerepe szimmetrikus, vagyis A helyettesíthető a tetszőleges, N-től különböző P pontjával. Legyen az a és az a egyenes projektív, de nem perspektív vonatkozásban. Jelöljük M-el az a és a metszéspontját. Az a egyenesnek egy M-től különböző A pontjából vetítsük az a pontsort, s a -nek megfelelő A pontjából az a pontsort. Az A és A tartópontú sugársorok között a és a megadott projektív vonatkozása alapján értelmezünk egy projektív vonatkozást azáltal, hogy az a bármely P pontját A -

Projektív geometria 15 vel összekötő egyenest, s a P képpontját, P -t A-val összekötő egyenest egymásnak feleltetjük meg. Az előző tétel duális állítása szerint a két sugársor vonatkozása perspektív, mivel az e AA = e A A egyenes önmagának felel meg. A perspektivitás tengelyét jelöljük u-val. 14. ábra Az u egyenes független az A pont választásától, vagyis az u egyenest az a és a közti projektív vonatkozás egyértelműen meghatározza. Ugyanis az a és a között megadott projektív vonatkozást előállíthatjuk az a és u között az A tartópontra, s az u és a között az A tartópontra vonatkozó perspektív vonatkozások összetételéből. Az első perspektív vonatkozásnál az a és u metszéspontja: N, az másodiknál az u és a metszéspontja: M önmagának felel meg. A két perspektív vonatkozásnak ebben a sorrendben való szorzatánál az N pontnak az a és a egyenesek N metszéspontja felelmeg, s a N = M pontnak, mint az a pontsor elemének, az M pont felel meg. E szerint u azaz egyenes, mely az a pontsor a -vel közös M pontjának M képét, s az a pontsor a-val közös N pontjának N képét összeköti.az u egyenest a megadott projektív vonatkozás kollineációs tengelyének nevezzük. Ezzel bebizonyítottuk a 5.4 Tétel. Ha két különböző egyenes között adva van egy projektív vonatkozás, akkor az a egyenes két tetszőleges A és B pontja, s az a egyenes megfelelő A és B pontja által meghatározott e AB és e A B egyenesek metszéspontja egy, az A, B pontok választásától független u egyenesen fekszik. Ebből a tételből adódik a PAPPOS-féle tétel: 5.5 Tétel. Ha A, B, C az a egyenesnek, A, B, C az a egyenesnek három-három tetszőleges pontja, akkor az e AB és e A B, az e AC és e A C, s a e BC és e B C egyenespárok metszéspontjai egy egyenesen feküsznek.

Projektív geometria 16 15. ábra 6. Harmonikus pontnégyes Egy közönséges projektív egyenest bármely két A, B pontja két szakaszra osztja fel. Az egyenes A, B és C, D pontpárjai elválasztják egymást, ha a C és a D pontok a projektív egyenesnek az A, B pontok által meghatározott két különböző szakaszához tartoznak. Egy közönséges O tartópontú sugársor a, b és c, d egyenespárja a síkban elválasztják egymást, ha az a, b egyenesek által meghatározott egyik csúcsszöghöz tartozik a c, a másikhoz a d egyenes. Legyen O egy közönséges pont, a végtelen távoli egyenes tetszőleges A, B és C, D pontpárjai elválasztják egymást, ha az OA, OB és OC, OD egyenespárok elválasztják egymást. Ezen étrelmezések alapján adódik a következő: 6.1 Tétel. Ha két egyenesnek egy hozzájuk nem tartozó pontból egymásra való vetítésnél az egyik egyenes A, B, C, D pontjának másik egyenes A, B, C, D pontja felel meg, akkor az A, B és C, D pontpárok akkor és csak akkor választják el egymást, ha az A, B és C, D pontárok elválasztják egymást. Ha egy közönséges egyenes négy közönséges pontja A, B, C, D, az (ABC) és (ABD) osztóviszonyok megegyező vagy ellenkező előjelűek, a szerint, hogy a C és a D pontok a projektív egyenesnek az A, B pontok által meghatározott két szakasz közül ugyanahhoz, vagy két különböző szakaszhoz tartozik. Másszóval az (ABCD) kettősviszony akkor és csak akkor negatív, ha az A, B és C, D pontpárok elválasztják egymást a projektív egyenesen. Mivel egy perspektív leképezés az egyenes pontjainak ciklikus elrendezését is, a kettősviszonyt is változatlanul hagyja, bármely egyenes négy tetszőleges pontjára is érvényes a megállapításunk, vagyis 6.2 Tétel. Egy egyenes négy A, B, C, D pontjának (ABCD) kettősviszonya, akkor és csak akkor negatív, ha az A, B és C, D pontpárok elválasztják egymást az egyenesen. Egy egyenes négy A, B, C, D pontját harmonikus pontnégyesnek nevezzük, ha

Projektív geometria 17 (A, B, C, D) = 1. Ekkor az A, B pontok és C, D pontok elválasztják egymást, hiszen a kettősviszony negatív, ezért ebben az esetben azt is mondjuk, hogy az A, B és C, D pontpárok harmonikusan választják el egymást. 16. ábra A 4.3 tétel szerint két egyenes közötti projektivitás megtartja a kettősviszonyt, tehát 6.3 Tétel. Két egyenes közötti projektivitás az egyik egyenes A, B, C, D harmonikus pontnégyesének a másik egyenes A, B, C, D harmonikus pontnégyesét felelteti meg. A fordított állítás is igaz, melynek bizonyításától most eltekintünk: 6.4 Tétel. STAUDT-DARBOUX tétel Egy egyenesnek minden önmagára való, a harmonikus elv álasztásokat megtartó egyértelmű leképezése, melynél három különböző fixpont van, az azonosság. 6.5 Tétel. Egy egyenesnek minden önmagára, vagy egy másik egyenesre való, a harmonikus elválasztásokat megtartó egyértelmű leképezése, projektív leképezés. Bizonyítás.Legyen T : a a, mely megtartja a harmonikus elválasztásokat. A tetszőleges A, B, C a ponthármas képe legyen az A, B, C a ponthármas. Ekkor létezik T projektivitás az a és a egyenesek között, mely az A, B, C pontokat rendre az A, B, C pontokba viszi. A T T leképezés a-nak olyan önmagára való leképezése, mely megtartja a harmonikus elv álasztásokat és az A, B, C ponthármast fixen hagyja. A STAUDT-DARBOUX tétel szerint T T = Id a, azaz T = T 1, tehát projektív leképezés. Ha a P, Q, R, S négy olyan pont, amelyek közzül bármely három nem tartozik egy egyeneshez, akkor ezek a pontok és az őket páronként összekötő hat egyenes: e P Q, e RS, e P R, e Qs, e P S, e QR teljes négyszöget alkot. A négy pontot a négyszög csúcsainak, a hat egyenest a négyszög oldalainak nevezzük. Két olyan oldalt, melyek közös pontja különbözik a négyszög csúcsaitól, átellenes oldalaknak nevezzük. Két átelelenes oldal metszéspontját a teljes négyszög átlóspontjának, két átlóspontot összekötő egyenest a négyszög átlójának nevezünk. Teljes négyszög harmonikus tulajdonságát mondja ki a 6.6 Tétel. A teljes négyszög A, B átlóspontjait összekötő egyenesnek a teljes négyszög másik két oldalával való metszéspontja legyen C és D. Az A, B, C, D pontok harmonikusan választják el egymást, azaz (ABCD) = 1.

Projektív geometria 18 Bizonyítás.Tegyük fel, hogy a P QRS teljes négyszög A, B átlóspontjai, s a másik két oldalának az e AB egyenessel közös C, D pontjai végesben feküsznek. 17. ábra Vetítsük az A, B, C, D pontokat a P pontból a e QS, majd a vetületüket az R pontból az e AB egyenesre. A P pontból való vetítésnél az A, B, C, D pontoknak rendre a Q, S, H, D pontok felelnek meg, ahol H-val jelöljük a teljes négyszög harmadik átlóspontját. Az R-ből való vetítésnél ennek a pontoknak rendre a B, A, C, D pontok felelnek meg. Mivel vetítésnél a kettősviszony változatlan marad, tehát (ABCD) = (BACD). A kettősviszony értelmezéséből következik, hogy e szerint (ABCD) = (BACD) = 1 (ABCD) 1 (ABCD), vagyis (ABCD) 2 = 1. Négy különböző pont kettősviszonya nem lehet 1, s ezért a vizsgált kettőviszony értéke csak 1 lehet. 7. Perspektív síkidomok A vizsgált Σ síkunkban vegyünk fel egy x, y derékszögű koordináta-rendszert. Ezt követően olyan térbeli derékszögű x 1, x 2, x 3 koordináta-rendszert választunk, amelynek x 1, x 2 tengelyei az x, y tengelyekkel párhuzamosak, x 3 tengelyének x 3 = 1 pontja pedig az x, y koordináta-rendszer kezdőpontja. Tekintsük a Σ sík egy tetszőleges ( közönséges vagy ideális) P pontját. A térbeli koordináta-rendszer O kezdőpontja és a P pont egy e OP egyenest határoz meg, és minden az O ponton áthaladó egyenes egyértelműen meghatározza a Σ sík egy P pontját. Az e OP egyenest viszont egyértelműen meghatározhatjuk azáltal, hogy egy O-tól különböző közönséges pontját adjuk meg. A P pontot így meghatározó Q(x 1, x 2, x 3 ) pont koordinátáit a P pont homogén koordinátáinak

Projektív geometria 19 mondjuk. Szólhatunk a P ponto meghatározó OQ = x(x1, x 2, x 3 ) vektorról is. Félreértések elkerülése végett a homogén koordinátákat és a pontot meghatározó vektort szögletes zárójelbe helyezzük, az imént említett pontot tehát P [x 1, x 2, x 3 ] és P [x], vagy [x 1, x 2, x 3 ] és [x] is jelöli. A Σ sík egy tetszőleges ( közönséges vagy ideális) l egyenesét jellemezhetjük az l egyenes és a térbeli koordináta-rendszer O kezdőpontján át fektetett sík megadásával, ezt a síkot pedig azzal, hogy egy rá merőleges u 0 vektort adunk meg. Az u vektor koordinátáit, az u 1, u 2, u 3 értékeket az l egyenes vonalkoordinátáinak nevezzük. A következő állítások egyszerűen következnek a pontot és egyenes meghatározó vektorok értelemezéséből, ezek bizonyítását a hallgatókra hagyjuk. 7.1 Tétel. Az x vektor által meghatározott pont és az u vektor által meghatározott egyenes akkor és csak akkor illeszkedik egymásra, ha ux = 0. 7.2 Tétel. (a) Az x, y vektorok által meghatározott pontok összekötő egyenesét az x y vektor határozza meg. (b) Az u, v vektorok által meghatározott egyenesek metszéspontját az u v vektor határozza meg. 7.3 Tétel. (a) Az [x], [y] pontok által meghatározott egyenesét az [λx + µy] pontok alkotják. (b) Az [u], [v] egyenesek által meghatározott sugársort a [λu + µv] egyenesek alkotják. Két síkidom pontjai között megadott kölcsönösen egyértelmű vonatkozást az O középpontra vonatkozóan perspektívnek nevezzük, ha a megfelelő pontokat összekötő egyenesek az O ponton mennek át. A vonatkozás az l tengelyre bvonatkozóan perspektívnek nevezzük, ha az egyik idom két tetszőleges pontját összekötő egyenes, a a másik idom két megfelelő pontját összekötő egyenes az l egyenesen metszi egymást. 7.4 Tétel.DESARGUES tétele Ha két háromszög pontra nézve perspektív, akkor egyenesre nézve is. Bizonyítás.Legyen O[o] a perspektivitás centruma, és A[a], B[b], C[c] az egyik háromszög csúcsai. Az o + αa vektorok az e OA egyenes O-tól különböző pontjait határozzák meg, és α értékét változtatva minden O-tól különböző pontot megkapunk. Minthogy pedig a második hártomszög csúcsai nem azonosak az első háromszög megfelelő csúcsaival, a második háromszög A [a ], B [b ], C [c ] csúcsainak meghatározó vektorai alakban írhatók. a = o + αa, b = o + βb, c = o + γc

Projektív geometria 20 18. ábra Az a b vektor az e AB és e A B oldalegyenesek metszés pontját határozza meg. Ugyanis ez a pont rajta van az e A B egyenesen a 7.3 tétel szerint, valamint rajta van az e AB egyenesen is hasonlóan a 7.3 tétel szerint, mivel a b = αa βb. Hasonló indoklással a b c és c a a tételben szereplő másik két pontot határozza meg. Minthogy az a b, b c és c a vektorok összege 0, e vektorok egysíkúak, és az általuk meghatározott pontok egy egyenesen vannak. A tétel duálisa is igaz, mely bizonyítása ezen bizonyítás duálisa. 7.5 Tétel. Legyen P QRS és P Q R S két teljes négyszög, és g egy olyan egyenes, amely nem megy át ezeknek a négyszögeknek egyetlen csúcsán sem. Ha a két négyszög megfelelő P S és P S stb. oldalainak metszéspontjai közzül öt a g egyeneshez tartozik, akkor a hatodik is. Bizonyítás.Messe a P QRS és a P Q R S teljes négyszög egyetlen csúcsára sem illeszkedő g egyenes a P QRS négyszög P S, QS, RS, QR, RP, P Q oldalait az A, B, C, D, E, F pontokban, amelyek között bizonyos párok egybe is eshetnek. Valamint tegyük fel, hogy e P S e P S = A, e QS e Q S = B, e RS e R S = C,

Projektív geometria 21 e QR e Q R = D, e RP e R P = E. Azt kell megmutatni, hogy e P Q e P Q = F. Mivel a P RS és P R S háromszögek a g egyenesre nézve perspektívek, ezért a DESARGUES tétel duálisa szerint pontra nézve is perspektívek, emiatt e P P átmegy az O = e RR e SS ponton. Hasonlóan a QRS és Q R S perspektív háromszögek azt mutatják, hogy e QQ is átmegy ugyanezen az O ponton. A e P P, e QQ, e RR, e SS egyenesek mindegyike átmegy az O ponton, úgyhogy P QRS és P Q R S perspektív négyszögek. A DESARGUES tétel szerint az O pontra nézve perspektív P QR és P Q R háromszögek a e DE egyenesre nézve, vagyis a g egyenesre nézve is perspektívek. Ez azt jelenti, hogy P Q és P Q oldalak a g egyenest ugyanabban az F pontban metszik. Négyszögpontoknak nevezzük azoknak a metszéspontoknak a halmazát, amelyeket akkor kapunk, ha egy teljes négyszög hat oldalát olyan egyenessel metsszük el, amely egyetlen csúcsra sem illeszkedik. Az elöző tétel azt mondja ki, hogy a négyszögpontok mindegyikét a többi pont egyértelműen meghatározza.

Projektív geometria 22 III. A SIK PROJEKTIV GEOMETRIÁJA 1. A projektív tér Annak a mintájára, ahogyan a síkon az ideális pontokat és az ideális egyenest vezetük be, most a térbeli pontok, egyenesek és síkok körének a bővítésével foglalkozunk. Az ideális pontok bevezetéséről már nem szólunk. Elég azt hangsúlyoznunk, hogy akkor és csak akkor csatoljuk ugyanazt az ideális pontot két egyeneshez a térben is, ha a két egyenes párhuzamos. Az ideális pontokra vonatkozó megállapodásból következik, hogy két sík ideális egyenese akkor és csak akkor azonos, ha két sík párhuzamos. Ez abból következik, hogy csak párhuzamos síkok esetén található az egyik sík bármely közönséges egyeneséhez a másik síkban vele párhuzamos egyenes. Egy ideális egyenest úgy adhatunk meg, hogy megadunk egy olyan síkot amely azt tartalmazza. Az új térelemek bevezetését a tér valamennyi ideális pontja által alkotott ideális sík ( végtelen távoli sík) bevezetésével zárjuk le. A nem ideális síkokat megkülönböztetésül közönséges síkoknak mondjuk. Az ideális sík is tartalmaz minden olyan egyenest, amelynek két pontja hozzá tartozik, hiszen két ideális pontot csak ideális egyenes tartalmazhat, és ideális egyenesnek csak ideális pontja van. Az euklideszi térből végtelen távoli elemek hozzáfűzésével származó alakzatot projektív térnek nevezzük. 2. A sík projektív leképezései A projektív térben is az alapvető művelet a vetítés és a metszés. Az O pontból való vetítés az a leképezés, mely a tér minden, O-tól különböző A pontjának az e OA egyenest felelteti meg, s minden, O-n át nem haladó l egyenesnek az O pont és at l egyenes által meghatározott Σ Ol síkot felelteti meg. A Σ síkkal való metszés minden, Σ-tól különböző Π síknak a Σ és Π metszésvonalát: az Σ Π egyenest felelteti meg. Minden Σ-hoz nem tartozó l egyenesnek a Σ és l közös Σ l pontját felelteti meg. Két különböző Σ és Σ közti perspektív vonatkozáson egy olyan megfeleltetést értünk a két sík pontjai között, amelyet egy rajtuk kívül fekvő pont létesít. Két sík közti projektív vonatkozáson a két sík pontjainak olyan megfeleltetése, mely véges sok perspektív vonatkozás összetételéből származik. 2.1 Tétel. Ha a Σ síkban fekvő A, B, C, D, s A, B, C, D pontnégyesek általános helyzetűek,

Projektív geometria 23 akkor térbeli vetítések szorzatával az A, B, C, D pontok átvihetők az A, B, C, D -be. Ha az ABC háromszög síkjában fekvő P pont nem tartozik az ABC háromszög egyik oldalához sem, jelöljük A, B, C -vel a P pontnak az A, B, C pontokból az átellenes oldalakra való vetületét. Az e AB és e A B, az e BC és e B C, s az e AC és e A C egyenespárok A 1, B 1, C 1 metszéspontjai egy p egyenesen feküsznek, melyet a P pontnak az ABC háromszögre vonatkozó polárisának nevezünk. Az ABC és A B C háromszögek ugyanis perspektívek a P pontra, s ezért a DESARGUES tétel szerint egy p tengelyre nézve is perspektívek. 2.2 Állítás. Ha a projektív sík önmagára való projektív leképezésénél az ABC háromszög az A B C háromszögbe megy át, s ha P egy tetszőleges pont, mely nem tartozik az ABC háromszög egyik oldalához sem, s P -nek az ABC háromszögre vonatkozó polárisa p, akkor a p egyenes p képe a P pont P képének az A B C háromszögre vonatkozó polárisa. Bizonyítás.Jelöljük A 1, B 1, C 1 -el a P pont vetületét az A, B, C csúcsokból az átellenes oldalakra, és A 2, B 2, C 2 -vel a p egyenesnek az e BC, e CA, e AB oldalakkal való metszéspontját. Az A 2, A 1, B, C pontnégyes harmonikus (tekintsük az AP B 1 C teljes négyszöget), ugyanígy harmonikus pontnégyesek a B 1, B 2, C, A és a C 1, C 2, A, B. Jelöljük A 1, B 1, C 1-vel a P pontnak az A, B, C csúcsokból az A B C háromszög átellenes oldalára való vetülete, s A 2, B 2, C 2-vel a p egyenesnek az e B C, e C A, e A B oldalakkal való metszéspontját. A sík megadott leképezésénél az A 1 pont képe A 1, tehát A 1 -nek a B, C pontokra vonatkozó A 2 harmonikus konjugáltja az A 1-nek a B, C pontokra vonatkozó A 2 harmonikus konjugáltjáb megy át, hasonlóan B 2 és C 2 képe B 2 és C 2. Tehát a p egyenes képe p a P pontnak az A B C háromszögre vonatkozó polárisa. 3. A projektív kollineációk A projektív sík illeszkedéstartó projektív transzformációit kollineációknak nevezzük (kollinéáris pontok képe kollineáris pontok). A projektív kollineáció olyan kollineáció, mely minden egy dimenziós alakzatot projektív módon transzformál. 3.1 Állítás. A projektív sík egy kollineációjánál minden a egyenesnek megfelel egy és csak egy a egyenes úgy, hogy az a egyenes pontjainak, s csakis ezeknek a képe az a egyeneshez tartoznak. Bizonyítás.Legyen A, B, C olyan ponthármas a síkon, hogy A, B a, C / a, és a C pont képe C / a. Legyen P egy további pont, mely nem eleme a-nak, ekkor legyen Q = e AC e BP. Az A, C, Q pontok kollineárisak, ezért a képeik A, C, Q is kollineárisak. Valamint Q A, így Q A, tehát Q / a. Mivel P e Q B és P B

Projektív geometria 24 P B, így P / a 3.2 Állítás. A projektív sík egy kollineációjánál az a egyenes minden harmonikus pontnégyesének az a egyenes harmonikus pontnégyese felel meg. Bizonyítás.Legyen (KLM N) = 1, ekkor létezik P QRS teljes négyszög. A P, Q, K kollineáris pontok, így a képeik P, Q, K is kollineárisak. Hasonlóan a többi kollineáris ponthármas képe is kollineáris, így a K L M N teljesnégyszög e K L átlója az M, N pontokban metszi a másik két oldalt. Tehát (K L M N ) = 1. 3.3 Állítás. A projektív sík minden kollineációja projektív. Bizonyítás.Egy kollineáció a sík minden egyenesén megtartja a harmonikus elválasztást, így az második fejezet 6.5-ös tétele szerint projektív. 3.4 Állítás. Ha a projektív sík egy projektív leképezésénél egy általános helyzetű pontnégyes mindegyik pontja fixpont, akkor a leképezés az azzonosság. Bizonyítás.Legyen P, Q, R, S általános helyzetű pontnégyes, mely fixpontja az adott projektív leképezésnek. Ekkor 3.5 Állítás. A projektív sík bármely két általános helyzetű pontnégyese esetén pontosan egy projektív leképezés van, mely az egyik pontnégyes P, Q, R, S pontjainak rendre a másik pontnégyes P, Q, R, S pontjait felelteti meg. 4. A projektív sík affin leképezései A projektív sík valamely u egyenesét végtelen távoli egyenesnek vesszük fel. A sík minden olyan önmagára való projektív leképezését, melynél az U egyenes önmagába megy át, affin leképezésnek, vagy affinitásnak nevezzük. Az értelnezésből következik, hogy a sík önmagára való affin leképezései csoportot alkotnak, ezt a sík affin csoportjának nevezzük. Két egyenest párhuzamosnak nevezünk, ha metszéspontjuk az u végtelen távoli egyeneshez tartozik. Az értelmezés folytán a sík affin leképezésénél párhuzamos egyenesek párhuzamos egyenesekbe mennek át. Az affin sík pontjainak a végesben fekvő pontokat értjük. Az e AB egyenes AB szakaszán a végesben fekvő szakaszt értjük, vagyis azt, mely nem tartalmazza az egyenes végtelen távoli pontját. Az AB szakasz középpontja az e AB egyenes és u metszéspontjának az A, B pontokra vonatkozó harmonikus konjugáltja. Mivel a sík projektív leképezése a harmonikus elválasztást megtartja, s egy affin leképezésnél u invariáns, így bármely AB sza-

Projektív geometria 25 kasz C középpontjának egy tetszőleges affin leképezésnél a megfelelő A B szakasz C középpontja felel meg. Legyen ABC egy tetszőleges háromszög az affin síkban, jelöljük C 1, A 1, B 1 -gyel az AB, BC, CA szakaszok középpontját. Az e AA1, e BB1, e CC1 egyenesek eyg D ponton mennek át, melyet a háromszög súlypontjánk nevezünk. A súlypont az u végtelen távoli egyenesnek az ABC háromszögre vonatkozó pólusa. Ha a sík valamely affin leképezésénél a háromszög A, B, C csúcsai az A, B, C pontokba mennek át, akkor az u egyenesnek az ABC háromszögre vonatkozó pólusa, vagyis a háromszög D súlypontja az A B C háromszög D súlypontjába megy át. Mivel A, B, C, D és A, B, C, D általános helyzetű pontnégyesek, ebből következik, hogy A, B, C és A, B, C pontok a sík affin leképezését egyértelműen meghatározzák. 4.1 Állítás. Ha A, B, C és A, B, C az affin sík tetszőleges olyan pontjai, melyek közül sem A, B, C, sem A, B, C nem tartozik egy egyeneshez, akkor van a síknak önmagára egy és csak egy olyan affin leképezése, melynél az A, B, C pontok rendre az A, B, C pontokba mennek át. 5. A projektív sík korrelatív leképezései A korreláció olyan pontot egyenesbe, egyenest pontba átvivő transzformáció, amely az illeszkedési kapcsolatokat dualizálja: az A pontot az a egyenesbe, a b egyenest a B pontba úgy transzformálja, hogy a akkor és csak akkor megy át a B ponton, ha A rajta van a b egyenesen. Tehát a korreláció kollineáris pontokat egy ponton átmenő egyenesekbe (és fordítva), pontsorokat sugársorokba transzformál. A projektív korreláció olyan korreláció, amely minden egydimenziós alakzatot projektív módon transzformál. 5.1 Állítás. Ha A, B, C, D a projektív sík általános helyzetű pontnégyese, és a, b, c, d négy általános helyzetű egyenes, akkor van pontosan egy a síknak önmagára való korrelatív leképezése, mely az A, B, C, D pontoknak rendre az a, b, c, d egyeneseket felelteti meg. 5.2 Állítás. A projektív sík minden korrelációja projektív. 6. A projektív sík poláris leképezései A projektív sík önmagára való korrelatív leképezésének a négyzete az sík önmagára való kollineációja. A korrelatív leképezést poláris leképezésnek, vagy polaritásnak nevezzük, ha négyzete a sík önmagára való azonos leképezése. A sík Φ

Projektív geometria 26 poláris leképezésénél egymásnak megfelelő pontok és egyenesek kétszeresen felelnek meg egymásnak: tehát ha a P pontnak a p egyenes, akkor a p egyenesnek a P pont felel meg. A P pontot a p egyenes pólusának, a p egyenest a P pont polárisának nevezzük a sík megadott Φ polaritás szerint. A sík Φ polaritása szerint konjugáltnak nevezzük a sík két tetszőleges két olyan P és Q pontját, melyek közzül az egyik polárisa átmegy a másik ponton. Ha a P pont p polárisa átmegy a Q ponton, akkor a Q pont q polárisa is átmegy a P ponton, mivel egyesített helyzetű p és Q elemeknek Φ-nél egyesített helyzetű P és q elemek felelnek meg. Két egyenest konjugáltnak nevezünk, ha az egyik pólusa a másik egyenesen fekszik. 6.1 Állítás. Ha az a egyenes önmagára való Φ projektív leképezése két P és P pontot felcserél egymással, akkor Φ involúció (Φ 2 = Id a ). Bizonyítás.Legyen Q az egyenes tetszőleges P -től és P -től különböző pontja, és Q = Φ(Q) a Q pont képe. Azt állítjuk, hogy Φ(Q ) = Q. Nyilvánvalóan igaz az állítás, ha Q = Q. Tegyük fel, hogy Q Q. Ekkor vegyünk egy O pontot az a egyenesen kívül és kössük össze a P, P, Q, Q pontokkal. Legyen az e OP egyenesen P 1 egy O-tól és P 1 -től különböző pont. Az e P 1 Q egyenes e OP és e OQ egyenesekkel közös pontja legyen P 1 és Q 1, az e P P 1 -nek az e OQ -val közös pontja pedig P 2. Vetítsük az a egyenest O-ból az e Q P 1 egyenesre, azt a P pontból az e OQ egyenesre, s az utóbbit P 1-ből az a egyenesre. Ezen leképezés úgymint Φ a P, P, Q pontokat a P, P, Q pontokba viszi, a II. fejezet 4.4-es tétele szerint a két leképezés ugyan az. Tehát a Φ leképezésnél is a Q a Q pontba megy át, s így Φ involutórius. 6.2 Tétel. Ha a sík önmagára való korrelatív leképezésénél egy háromszög mindegyik oldala az átellenes csúcsnak felel meg, akkor a leképezés polaritás. Bizonyítás.Legyen ABC egy olyan háromszög, melynek A, B, C csúcsai a megadott Φ korrelatív leképezésnél rendre az a = e BC, b = e AC és c = e AB oldalakba mennek át. Mivel Φ illeszkedés tartó, így az a egyenesnek Φ-nél a B és C pontok képének, vagyis b és c egyenesek közös pontja: A felel meg. Az a egyenes tetszőleges P pontjának egy az A ponton átmenő p egyenes a képe. Ennek a-val közös pontját jelöljük P -vel. Mivel az a tartóegyenesű pontsoranj az A középpontú sugársorra a Φ által létesített leképezése projektív, s az utóbbi sugársor a-val való metszete is projektív vonatkozás. Tehát az a egyenes önmagára való projektív leképezését kepjuk, ha minden P pontjának azt a P pontját feleltetjük meg, melyben a P -nek Φ- nél megfelelő p egyenes metszi az a-t. Ennél a leképezésnél a B és C pont egymásnak felel meg, s ezért az a egyenes önmagára való leképezése involutórius. E szerint a Φ 2 leképezések az a egyenes minden pontja fixpont, hasonlóan megmutatható hogy a b egyenes minden pontja fixpont. A harmadik fejezet 3.4-dik tételéből következik, hogy Φ 2 azonasság az egész síkon.

Projektív geometria 27 Ha a sík Φ polárisánál a P pont a polárisához a p egyeneshez tartozik, akkor a P pontot, s a p egyenest önmagához konjugáltnak nevezzük. 6.3 Tétel. Ha a sík Φ polaritásánál a P pont önmagához konjugált, akkor polárisán, a p egyenesen nincs P -n kívűl más, önmagához konjugált pont, s a P ponton át nem halad át más, önmagához konjugált egyenes, mint p. Bizonyítás.A p egyenes bármely P -töl különböző Q pontja konjugált P -hez, s ezért a Q pont q polárisa a P ponton megy át. Mivel P és Q különbözők, a p és q egyenesek is különbözők, s ezért a q egyenes nem megy át a Q ponton, más szóval a Q pont nem önmagához konjugált. Hasonlóan adódik a tételben foglalt második állítás. 6.4 Tétel. Ha a sík egy polaritásánal a p egyenes nem önmagához konjugált, akkor a p egyenesen vagy két önmagához konjugált pont van, vagy egy sincs. A sík Φ polaritásához tartozó poláris háromszögön egy olyan ABC háromszöget értünk, mely A, B, C csúcsainak polárisa rendre az e BC, e CA, e AB oldalak. 6.5 Tétel. A sík minden polaritásához tartozik legalább egy poláris háromszög. Bizonyítás.Legyen A egy olyan pont, melynek polárisa a nem megy át az A ponton, ilyen pont létezik. Az a egyenesen legfeljebb két önmagához konjugált pont van. Legyen B az a egyenes olyan pontja, mely nem konjugált önmagához, s b egyenes a B pont polárisa. Az a és b egyenesek C metszéspontjának polárisa át megy az A és B pontokon. E szerint az ABC poláris háromszög. A sík polaritását hiperbolikusnak vagy elliptikusnak nevezzük a szerint, hogy van, vagy nincs önmagához konjugált eleme. 7. A kör projektív tulajdonságai Legyen K egy kör az euklideszi síkban, középpontja O, sugara r. Valamely O-tól különböző P pontnak a K körre vonatkozó tükörkëpén értjük az f OP félegyenesnek azt a P pontját, melyre OP OP = r 2. Ha a P pont a körön kívül fekszik, akkor a K kör melynek középpontja az OP szakasz Q felezőpontja, és sugara QO = QP, a K kört két L és L pontban metszi. Az e LL egyenesnek az f OP félegyenessel van egy közös P pontja, s erre fennáll az OP OP = r 2 egyenlőség. Ha a P pont a K kör belsejében fekszik, a P pontban az e OP -re emelt merőlegesnek van a K körrel két közös L és L pontja, az L és L

Projektív geometria 28 pontban a K körhöz húzott érintők metszik egymást az f OP félegyenesen egy P pontban, melyre OP OP = r 2 egyenlőség fenn áll. Végül ha P K, akkor P legyen a P pont. Az O-tól különböző P pontok K körre vonatkozó polárisán értjük azt a p egyenest, mely a P pont P tükörképén megy át, s merőleges az e OP egyenesre. Valamely az O ponton át nem menő p egyenesnek a K körre vonatkozó pólusán értjúk az a P pontot, mely az O-ból p-re bocsátott merőleges P talppontjának a tükörképe. A P pólus és p poláris kölcsönösen egymásnak fele meg. Ha A a p egyenes tetszőleges pontja, A polárisa át megy a p pólusán, a P ponton. Bocsássunk merőlegest az e OA egyenesre a P -ből, ennek talppontját jelöljük A-val. Ekkor OP A OA P, így tehát OP OA = OA OP, OA OA = OP OP = r 2, azaz az e P A egyenes az A pont polárisa. Ebből az is következik, hogy minden, a P ponton átmenő, az e OP -től különböző egyenes pólusa a p egyenesen, a P polárisán fekszik. A K kör O középpontjának a sík végtelen távoli egyenesét, s minden a egyenes végtelen távoli pontjának az a-ra merőleges, az O ponton át menő egyenest feleltetjük meg. A sík pontjai és egyenesei között ily módon létesített vonatkozás a sík polariása, ez a polaritás hiperbolikus, mivel a K kör minden pontja önmagukhoz konjugáltak. Azaz a K kör értelmezhető a sík egy hiperbolikus polariásánál önmagukhoz kojugált pontok összeségeként. Ezt az értelmezést vesszük tárgyalásunk alapjául. 8. A másodrendű görbék Legyen Φ a síknak egy hiperbolikus polaritás. A Φ polaritáshoz tartozó C másodrendű görbén értjük azoknak a pontoknak az összeségét, melyek a Φ-nél önmagukhoz konjugáltak. Ezeket a pontokat a másodrendű görbe pontjainak, s polárisaikat a másodrendű görbe érintőinek nevezzük. 8.1 Tétel. Ha P a Φ polaritáshoz tartozó C másodrendű görbe tetszőleges pontja, s p a P ponthoz tartozó érintő (azaz P polárisa), akkor a p egyenesen nincs a C górbének P -n kívül más pontja, s a P ponton nem megy át C-nek más étintője, mint p. 8.2 Tétel. Ha a p egyenes nem érintöje a C görbének, akkor p-n vagy két különböző pontja van C-nek, vagy egy sem.

Projektív geometria 29 A 8.1-es és 8.2-es tételekből következik, hogy ha a p egyenesen a C görbénk egy és csak egy pontja van, akkor a p érintője a C-nek, s az érintési pont P a p egyenes pólusa. 8.3 Tétel. Ha a P pont nem tartozik a C görbéhez, akkor a P ponton a C görbének vagy két érintője megy át, vagy egy sem. 8.4 Tétel. A C másodrendű görbe egyértelműen meghatározza a Φ polaritást, azaz C nem tartozik két különböző polaritáshoz. Bizonyítás.Legyen A C tetszőleges pont, és a az érintő egyenese a C-nek az A pontban. Legyen a, p, q, r az A ponton átmenő négy különböző egyenes. A p, q, r egyenesek nem érintői C másodrendű görbének, s a görbe A pontja rajta van az egyeneseken, ezért még egy-egy P, Q, R pontjai a görbénk a p, q, r egyeneseken van. Az A, P, Q, R általános helyzetü pontnégyes. Az A, P, Q, R pontok és a, p, q, r poláriasik közzül bármely háromnak nincs közös pontja, azaz a, p, q, r általános helyzetű egyenes négyes. Létezik pontosan egy korreláció mely az A, P, Q, R pontokat rendre az a, p, q, r egyenesekbe viszi. A fenti tételben egyértelműen meghatározott polaritást a C görbére vonatkozó polaritásnak nevezzük. 9. A másodrendű görbék projektív tulajdonságai 9.1 Tétel. Minden a C másodrendű görbét metsző a egyenes két tetszőleges, egymáshoz konjugált pont harmonikusan választja el az a egyenesnek a görbével való metszéspontjait. 9.2 Segédtétel. Ha az ABC a C másodrendű görbe húrháromszöge, s ha a p egyenes az e AB és e AC oldalt két különböző, egymáshoz konjugált pontban metszi, akkor p átmegy az e BC oldal pólusán. Megfordítva, minden olyan p egyenes, mely az e BC oldal pólusán megy át, az e AB és e BC oldalakat két egymáshoz konjugált pontban metszi. 9.3 Tétel.STEINER-féle tétel A C másodrendű görbe pontjait két tetszőleges pontjából vetítő sugársorok vonatkozása projektív, ha a két sugársornak azok az egyenesei felelnek meg egymásnak, melyek a C görbe ugyanazt a pontját vetítik. Bizonyítás.Legyen P, Q C két tetszőleges rögzített potja a görbének, A C pedig mozgó pont görbén. Legyen O az e P Q egyenes pólusa, s l egy tetszőleges egyenes