T T A Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék
A függvény fogalma, tulajdonságok Függvény megadása Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek Monotonitás Szélsőértékek Paritás Periódus f : A B
Fontosabb függvénytípusok Hatványfüggvények Eponenciális függvények Logaritmikus függvények Trigonometrikus függvények Polinomfüggvények Racionális törtfüggvények
Hatványfüggvények Az n függvényeket, ahol n valós szám hatványfüggvényeknek nevezzük. Példák pozitív egész kitevőjű hatványfüggvényekre f ( ) f ( ) f ( ) 3
R, f()=a (Animáció)
Példák negatív egész kitevőjű hatványfüggvényekre Függvény: Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely Növekedés Szélsőérték 1 f ( ) 1 nullától különböző valós szám f () nullától különböző valós szám nincs szigorúan monoton csökkenő, ha <0; szigorúan monoton csökkenő, ha >0 nincs f ( ) 1
Példák közönséges tört kitevőjű hatványfüggvényekre!!! A közönséges törtek tizedestört alakja: véges végtelen, szakaszos Értelmezés: Ha egy pozitív szám, n pedig egy pozitív páros szám vagy tetszőleges valós szám, n pedig egy pozitív páratlan szám és n = y, akkor azt mondjuk, hogy az y n-edik gyöke. Jelölés: n y y 1 n
f ( 3 4 ) f ( ) 0 1 4 9 f() 0 1 3-1 0 1 8 f() 1 0 1 16!!! Hatványozás azonosságai
Az n = y típusú egyenletekben (y ismert, ismeretlen) a megoldások száma nem feltétlenül egy. Az alábbiakban áttekintünk néhány esetet: Páros n esete: Ha y<0, akkor nincs megoldás. Példa 4 = -3 Ha y=0, akkor egy megoldás van. Példa 4 = 0 megoldása: =0 Ha y>0, akkor két megoldás van. Példa 4 = 16 megoldásai: 1 =-, = Páratlan n esete: Egy megoldás van. Példa 3 = -8 megoldása: =-.
Polinomok, algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek (Sokszínű matematika, 9. osztály 46. oldal) n-ed fokú polinom: P()=a n n +a n-1 n-1 + +a 1 + a 0, ahol a n,..,a 0 rögzített valós számok és a n 0 (: főegyüttható). Ha P( 0 )=0, akkor 0 a P() polinom zérushelye. Példák: A P()=5 3-4 +7-9 polinom egy teljes harmadfokú polinom. A Q()=6 4-3 3-5 polinom egy hiányos negyedfokú polinom.
P()= 4 - <-1 =-1-1<<0 =0 0<<1 =1 >1 + + + 0 + + + +1-0 + + + + + -1 - - - - - 0 + 4 - + 0-0 - 0 + ( -1)=0
Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Másodfokú polinom Másodfokú egyenlet Diszkrimináns Megoldóképlet Gyöktényezős alak Másodfokú egyenlőtlenségek (a 0) a + b + c 0 a + b + c 0 a + b + c > 0 a + b + c < 0 a > 0 a < 0
Eponenciális és logaritmikus függvények R, f()=a (a>0, a 1) R +, f()=log a (a>0, a 1) 0<a<1 esetén sz. m. cs., a>1 esetén sz. m. n. 0<a<1 esetén sz. m. cs., a>1 esetén sz. m. n. f 1 ()= f()= 1 f ()=log 1 a > 1
R, f()=0.5 0< a < 1 R +, f()=log 0.5 f()= 0.5-1 0 1 1 0.5 1 f 1 ()=0.5 log 0.5-1 1 0 0.5 1 1 f ()=log 0.5 0.5 1 1 4 log 0.5 log 0.5 0.5 0.5!!! Logaritmus azonosságai
Eponenciális és logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek Az eponenciális egyenletek olyan egyenletek, melyekben az ismeretlen a kitevőben szerepel. A legegyszerűbb eponenciális egyenlet: a f() =b alakú, ahol a>0, b>0 és f valamilyen adott valós függvény. Példa: +3 =11 =8 =log 8 =3 +3 =11 +3=log 11 =-3+log 11 lg11 3 log 11 3 0.4594 lg Ha a 1, akkor f() = log a b ami már nem eponenciális egyenlet.
Ha a=1, akkor két eset van: b=1 vagy b 1. Ha a=1 és b=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f értelmezési tartományához tartozik. Példa: 1 1 Ha a=1 és b 1, akkor nincs megoldása az egyenletnek. Másik ilyen alaptípus az a f() = a g(), ahol a>0, f és g valamilyen adott valós függvények. Ha a=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f és g értelmezési tartományainak közös részébe tartozik. Példa: 1 1 1 Ha a 1, akkor mindkét oldal a alapú logaritmusát véve az f()=g() egyenlethez jutunk. Példa: 3 0 0 3 4 4
megoldás valós nincs 4 1 4 9 3 0 4 3 1, Példa: 4 4 3 3 Oldja meg a egyenlőtlenséget! 3 3
Példa: 1, 1 4 1 1 0 1 1, 1 : vagy megoldás Oldja meg a egyenlőtlenséget!
Példa: Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget! log 0.5 +3 0 Feltétel: > 0 log 0.5-3 log 0.5 log 0.5 0.5-3 log 0.5 log 0.5 8 8 Megoldás: 0< 8!!! log 0.5 +3 0 nem ugyanaz, mint log 0.5 (+3) 0
Függfénytranszformáció f()= (-3) - +3 f 1 ()= f ()=(-3) f 3 ()=(-3) - f 4 ()= (-3) - f()= (-3) - +3
1. feladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz 1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont A B C D 1.cs. (0,01) -.cs. (0,5) - 3.cs. (0,1) -3
. feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. 3 log 3 3 log log 3 (3 3 1 1 0 3 1 )
3. feladat: Melyik függvény grafikonja lehet? f()= y A B C D 1.cs. 3 1 3 3 3 log 3 log 3 ( 1).cs. y 3 1 3 1 3 1 3 1 1 3.cs. y 3 1 3 3 1 3 1
4. feladat: Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza. A B C D 1.cs. 6 0.cs. 3 0 3.cs. 6 0
5. feladat:az egyenlőtlenség megoldáshalmaza. A B C D 1.cs. 3 11.cs. 1 1 17 16 3.cs. lg( 1) 0
A szinusz és koszinusz függvények Egy egységnyi hosszúságú vektort (pozitív forgásirányban) megforgatva a végpont koordinátái a forgatás szögének koszinuszát és szinuszát adják. sin cos 1 A nevezetes szögek koszinuszai és szinuszai a 1 3 0,,,, 1 értékek valamelyikével egyenlők.
A szög mérése Fok: a teljes szög mértéke 360 Radián: egységnyi sugarú kör esetén 1 radián az a (középponti) szög, melyhez egységnyi ívhossz tartozik Összefüggés fok és radián között : 180 = (rad)
II. I. A szinusz függvény III. IV.
A koszinusz függvény
Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely Monotonitás f()=sin() Szig.mon.növ., ha Szélsőérték Szig.mon.csökk, ha A minimumok helye: ; értéke: -1 paritás periódus A maimumok helye: ; értéke: 1 Páratlan, azaz sin (-)= -sin()
Tangens és kotangens függvény értelmezése Az ABC és ADE derékszögű háromszögek hasonlóak, így megfelelő oldalaik aránya egyenlő:
A tangens függvény: f()=tg() (cos() 0) A kotangens függvény: f()=ctg() (sin() 0)
Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely f()=tg() Monotonitás Szig.mon.növ., ha Szélsőérték paritás periódus nincs Páratlan, azaz tg (-)= -tg() π
Összefüggések derékszögű háromszögben Alkalmazás: Gyakran van arra szükség (pl. a mechanikában az erőkkel való számoláskor), hogy az átfogóból számítsuk ki az oldalakat. a = csin, b = ccos
Összefüggés a trigonometrikus függvények között
Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek Példa: Oldja meg az alábbi egyenleteket! a, sin b, sin Megoldás: a, 1 45 4 ( rad), 135 3 ( rad) 4 k, ahol k egész szám 4 l, ahol l egész szám 4 b, 1 4 4 l, k, ahol ahol l k egész egész szám szám
Példa: Oldja meg az alábbi egyenleteket! a, cos 3 b, cos 3 Megoldás: a, 1 30 ( rad), 6 k, ahol k 6 11 l, ahol 6 330 11 6 egész szám l egész szám ( rad) b, 1 k 6, ahol k egész szám l, 6 ahol l egész szám
Példa: Oldja meg az alábbi egyenleteket! a, cos 0 b, cos 1 Megoldás: a, 90 ( rad), 70 3 1 k, ahol k egész szám 3 l, ahol l egész szám... m, ahol m egész szám ( rad) b, k, ahol k egész szám
Példa: Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget! Megoldás: sin 1 5 k k 6 6 ahol k egész szám
Példa: Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget! Megoldás: tg 1 k k 4 ahol k egész szám
Mintafeladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz 1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont A B C D 1.cs. cos 0 0 1-1 0.5.cs. sin 3 1 3 1 3 3.cs. cos 5 6 1 1 3 3
1. feladat 1.cs. cos 0 A B C D.cs. sin 3 3.cs. cos 5 6
. Feladat : Adja meg az egyenletnek azt a megoldását, melyre 0! A B C D 1.cs. tg 3 3.cs. ctg 1 3.cs. tg 3
3. Feladat : Adja meg a függvény zérushelyét az első síknegyedben! A B C D 1.cs. sin.cs. cos 3.cs. ctg
4. Feladat : Adja meg a függvény periódusát! A B C D 1.cs..cs. 3.cs. sin cos 3 ctg
5. Feladat : Az alábbiak közül melyik értéket veheti fel az f függvény a 3 ; 4 intervallumon! A B C D 1.cs..cs. 3.cs. f ( ) sin f ( ) cos f ( ) tg 1 4 3 4 1 4 0 3 0 4 3 0 4 1 4
Koordinátageometria a síkban Pontok távolsága Az P 1 =( 1,y 1 ) és a P =(,y ) pontok távolsága: Két pont által meghatározott vektor Az P 1 =( 1,y 1 ) és a P =(,y ) pontok által meghatározott vektor:
Vektor hossza és szöge A vektor hossza: A vektor szöge (az tengely pozitív felétől pozitív forgásirányban mért szög amennyiben v 0):
Egyenes meredeksége (iránytangense) Egy (az y tengellyel nem párhuzamos) egyenesen felvéve két pontot: ( 1,y 1 ) és (,y ) az értéket az egyenes meredekségének, vagy iránytangensének nevezzük. Egyenes egyenlete Itt egyenes egyenletén az formulát értjük. y = m(- 0 ) + y 0 m: meredekség (iránytangens) ( 0,y 0 ): az egyenes egy pontja
y = m(- 0 ) + y 0 y = m +b ahol b= -m 0 + y 0 b: tengelymetszet
Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból 1. Két pont Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek két pontja: ( 0,y 0 ) és ( 1,y 1 )! (Feltételezzük, hogy 0 1 ), így az egyenes egyenlete:
. Egy pont és egy irányvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: ( 0,y 0 ), egy irányvektora (v,v y )! (Feltételezzük, hogy v 0), így az egyenes egyenlete: Szokásos a v y - v y= v y 0 - v y 0 alakra való átírás.
3. Egy pont és egy normálvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: ( 0,y 0 ), egy normálvektora (A,B)! (Feltételezzük, hogy B 0), így az egyenes egyenlete: Szokásos az A + By = A 0 + By 0 alakra való átírás, illetve az A + By+C =0 alak, ahol C=-( A 0 + By 0 ). Speciális helyzetű egyenesek egyenlete a b Az egyenes egyenlete: y=a Az egyenes egyenlete: =b
Szakasz felezőpontja Az ( 1; y 1 ) és az ( ; y ) pontokat összekötő szakasz felezőpontja: F ; y 1 1 y Példa Legyen P=(;-4), Q=(3;1). Ekkor a PQ szakasz felezőpontja: Háromszög súlypontja Az A=( 1; y 1 ), B=( ; y ), C=( 3; y 3 ) csúcspontú háromszög súlypontja:
Szakasz általános osztó pontja Legyen P 1 =( 1; y 1 ), P =( ; y ) két pont, ezek helyvektorai legyenek rendre p1 és p. A szakaszt m:n arányban osztó P pont helyvektora legyen p, a P koordinátái (;y). Ha P 1 P:PP =m:n, akkor n1 m m n y ny1 my m n
Kör egyenlete Az K=(u,v) középpontú, R sugarú kör egyenlete: Magyarázat: (-u) + (y-v) = R d(k,p)=r, így u y v R Példa: Határozza meg az -8+y +1y-6=0 egyenletű kör középpontját és sugarát! Megoldás: [ -4+y +6y-3]=0-4+y +6y-3=0-4+4-4+y +6y+9-9-3=0-4+4+y +6y+9-16=0 (-) +(y+3) =16 Középpont: (,-3) Sugár: 4
Kúpszeletek (a) ellipszis (b) parabola (c) hiperbola
Az ellipszis azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától (fókuszpontok) vett távolságösszege a két adott pont távolságánál nagyobb állandó.
ELLIPSZIS F1, F : fókuszok a: nagy féltengely b: kis féltengely c: lineáris ecentricitás O: centrum c b a a b y 1
A HIPERBOLA azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától (fókuszpontok) vett távolságkülönbsége abszolút értékben a két adott pont távolságánál kisebb pozitív állandó. F1, F : fókuszok a: valós féltengely b: képzetes féltengely c: lineáris ecentricitás O: centrum a b c a b y 1
A PARABOLA azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík egy adott v egyenesétől (vezéregyenes) és egy v-re nem illeszkedő F pontjától (fókuszpont) vett távolsága egyenlő.
1. feladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz 1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Az A(1,) és B(3,1) pontokon áthaladó egyenes egyenlete A P(-,3) ponton áthaladó v(1,-5) irányvektorú egyenes egyenlete A P(-,3) ponton áthaladó n(1,-5) normálvektorú egyenes egyenlete
. feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Legyen A(5,-1), B(,-1). Az AB szakasz B-hez közelebbi harmadoló pontja Az A(1,-), B(0,), C(,6) csúcsokkal rendelkező háromszög súlypontja Legyen A(-,1), B(4,-5). Az AB szakasz B-hez közelebbi harmadoló pontja
3. feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Az +y=-3 egyenes meredeksége A -5y=1 egyenes egy irányvektora A 3+y= egyenes egy normálvektora
4. feladat A B C D 1.cs..cs. A P(3,5) pontnak az - y=5 egyenletű egyenestől való távolsága Az -y=5 és az -y=10 egyenesek távolsága 3.cs. Az -y= és a 3+y=5 egyenesek metszéspontja
5. feladat: A B C D 1.cs. Az +y =5 kör középpontja.cs. 3.cs. Az (-1) +(y-) =5 kör középpontja Az (+) +(y-3) =5 kör középpontja
Geometriai alapok térelemek térelemek kölcsönös helyzete szögek térelemek hajlásszöge térelemek távolsága euklideszi alapszerkesztések
Alapfogalmak és jelölések A geometria legegyszerűbb fogalmai a térelemek. Ezeket alapfogalmaknak tekintjük, és nem definiáljuk. A térelemek és általános jelöléseik: pont: A, B, C,... P, Q,... X, Y, Z latin nagybetű; egyenes: a, b, c,... p, q,..., y, z latin kisbetű; sík: S,T,.. latin nagybetű
Térelemek kölcsönös helyzete Két egyenes lehet metsző párhuzamos kitérő
Két sík kölcsönös helyzete lehet metsző párhuzamos
Sík és egyenes kölcsönös helyzete lehet az egyenes illeszkedik a síkra
az egyenes párhuzamos a síkkal
az egyenes döfi a síkot
3 sík kölcsönös helyzete
3 sík kölcsönös helyzete
Szögek A szög: olyan síkrész, amelyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol.(ha külön nem jelezzük, a két félegyenes által létrehozott szögön a létrejövő szögek közül a kisebbiket értjük.) A szöget alkotó félegyenesek a szög szárai, közös kezdőpontjuk a szög csúcsa. A szögmérés mértékegysége a fok, 1 o - a teljes szög 360-ad része. A szögeket nagyság szerint a következő csoportokba soroljuk:
Szögek teljesszög : α eyenesszög : β nullszög : γ hegyesszög : δ derékszög : ε tompaszög : ζ homorúszög : η α = 360 o β = 180 o γ = 0 o 0 o < δ < 90 o ε = 90 o 90 o < ζ <180 o 180 o < η < 360 o
Térelemek szöge Két metsző egyenes a közös síkjukat négy szögtartományra bontja: általában két (egyenlő) tompaszögre és két (egyenlő) hegyesszögre. Két metsző egyenes szögén - ha külön mást nem mondunk - a hegyesszöget értjük. Ha a két egyenes a közös síkjukat négy egyenlő szögtartományra bontja, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenes merőleges egymásra. Ekkor a keletkező szögek mértéke 90 o.
Kitérő egyenesek szögén a tér egy tetszőleges P pontján átmenő, a két adott egyenessel párhuzamos két egyenes szögét értjük. e e ' S f f '
Sík és egyenes szögén az egyenes és az egyenesnek a síkra eső merőleges vetületének szögét értjük. a S a'
Két sík szögén a síkokban, a metszésvonalra állított merőleges egyenesek szögét értjük.
Két sík szögét adja meg a normálisaik szöge is. (a sík normálisán a síkra merőleges egyenest értjük)
Térelemek távolsága Két térelem távolságán mindig a térelemek közt húzható legrövidebb szakasz hosszát értjük. Két pont távolsága a két pontot összekötő szakasz hossza. Pont és egyenes távolságán a pontból az adott egyenesre bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.
. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük..
Két párhuzamos egyenes távolságán az egyik egyenes bármely pontjának másik egyenestől mért távolságát értjük. Ez a távolság a két egyenesen bárhol mérhető.
Egymással párhuzamos egyenes és sík távolságán az egyenes tetszőleges pontjából, a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.
Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól mért távolságát értjük.
Két kitérő egyenes távolságán a két egyenes pontjait összekötő szakaszok közül a legrövidebb (a mindkettőre merőleges) hosszát értjük.
Euklideszi szerkesztések Az euklideszi szerkesztés lehetőségei: Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.
szakasz felező merőleges szerkesztése szögfelező szerkesztése külső pontból a körhöz húzott érintők szerkesztése
Háromszögek A háromszögek csoportosítása: szögei szerint hegyesszögű derékszögű tompaszögű oldalai szerint egyenlő oldalú egyenlő szárú általános
Háromszögekre vonatkozó néhány állítás A háromszög belső szögeinek összege 180. A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. A háromszög külső szögeinek összege 360. A háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével. Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai szögfelezők oldalfelező merőlegesek magasságvonalak, magasságpont súlyvonalak, súlypont középvonalak
Általános háromszögekre vonatkozó tételek l háromszög kerülete háromszög területe (magassággal, beírt kör sugarával, Héron képlet, trigonometrikus területképlet) szinusz tétel a b = sin α Héron sin β (A képlet bármely két oldallal és a szemközti két szöggel érvényes.) koszinusz tétel c = a + b abcos (A képlet bármelyik szöggel érvényes, amennyiben a baloldalon a szöggel szemközti oldal négyzete szerepel.)
Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek Pitagorasz-tétel Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével: c = a + b Pitagorasz
magasságtétel Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek, azaz itt m c = c 1 c befogótétel Derékszögű háromszögben bármely befogó mértani közepe az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének. a = c c C b m a A c1 c c B
Thálész-tétel Ha egy kör átmérőjének két végpontját a körvonal bármely másik pontjával összekötjük, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója. Thalész tételének a megfordítása is igaz: Egy derékszögű háromszög köré írt kör középpontja mindig az átfogójának felezőpontja lesz. Az átfogó a kör átmérője. O
Példa Egy kisméretű test a függőleges iránnyal α=30 -os szöget bezáró AB vezetőrúd mentén mozoghat. A testhez az ábrán látható módon egy rugót erősítünk. Amikor a test az A pontban van, akkor a rugó megnyúlása nulla. Mekkora a rugó megnyúlása, amikor a test a B pontban van? (a=0,7 m és h=0,5 m) A a 1 a=l 0 P h l B 1 90 10. l a h ah cos 1 l 0,7 0,5 l l l0 0,34m. 0,7 0,3 cos10 1,09 l 1, 04m
A kör geometriája A kör (körvonal) azon pontok mértani helye a síkban, amelyeknek távolsága egy adott ponttól állandó. Az adott pont a kör középpontja, az adott állandó a kör sugara. Kerület: R Terület: R
A kör részei szelõ átmérõ sugár körszelet körcikk kerületi szög középponti szög érintõ húr körgyûrû
Az alábbi ábra egy vaslemezből kivágott idomot mutat. A lemez vastagságát, a vas sűrűségét jelöli. Számítsa ki az idom tömegét!
1. feladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz 1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont 1.cs. Téglalap területe A B C D.cs. r sugarú kör területe 3.cs. r sugarú kör kerülete
. feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Az a oldalú négyzet átlójának hossza A 3 cm és 4 cm oldalakkal rendelkező téglalap átlója Egy téglalap hosszabbik oldala 1 cm, átlója 13 cm. A rövidebb oldal
3. feladat A B C D 1.cs. Téglatest térfogata (élei: a,b és c).cs. r sugarú gömb felszíne 3.cs. r sugarú gömb térfogata
4. feladat A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Egy derékszögű háromszög befogói 3 cm és 4 cm hosszúak. A háromszög köré írt kör sugara Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szárai 13 cm-esek. A háromszög területe Egy háromszög oldalai 3, 4 és 5 cm hosszúak. A háromszög területe
5. feladat: A B C D 1.cs..cs. 3.cs. Egy körbe és a kör köré is egy-egy szabályos háromszöget írunk. Mennyi a két háromszög területének aránya? Egy 5 cm sugarú kör két párhuzamos húrja 14 cm és 40 cm hosszú. Határozzuk meg a közöttük lévő távolságot, ha a középpont a két húr között van! Adott P pontból adott körhöz húzott érintő és szelőszakaszok merőlegesek egymásra. Az érintőszakasz 1 cm, a szelő P ponthoz közelebb eső szelete 10 cm. Határozzuk meg a kör sugarát!