Debreceni Baross Gábor Középiskola, Szakiskola és Kollégium 4030 Debrecen, Budai Ézsaiás u. 8/A. OM azonosító: 031242 Pedagógiai program Matematika A nevelőtestület véleményezte: 2014. 08. 29. Érvénybe lépésének ideje: 2014. 09. 01. Debrecen 2014. 1
MATEMATIKA TANTERV Szakközépiskola (középszintű érettségi) Ez a tanterv tartalmazza a kerettanterv által meghatározott tananyagot és annak az órakeret kb. 20%-át kitöltő kiegészítését és részletezését. A kiegészítéseket az egyes évfolyamok tananyagában dőlt betűs írásmóddal emeltük ki. A kerettanterv kiegészítésekor törekedtünk arra, hogy a tananyag spirális felépítése fokozottan érvényesüljön. Emellett fontosnak tartjuk a fogalmak kialakításában az induktív módszer alkalmazását. Az alábbi táblázat az egyes témakörökre felhasználható óraszámokat tartalmazza. Ezek a tanmenet elkészítése során, ahol szakmailag indokolt, átcsoportosíthatók a hozzá tartozó anyagrészekkel együtt. A szabadon tervezhető órakeret alapján minden évfolyamon heti négy órával számoltunk. A tizenegyedik és tizenkettedik évfolyamon az oktatást csoportbontásban tervezzük. 9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam Gondolkodási módszerek 8 8 11 12 Számtan, algebra 52 53 48 26 Függvények, sorozatok 23 18 18 25 Geometria 52 54 54 45 Valószínűség, statisztika 7 9 11 10 Év végi ismétlés 6 6 6 10 Összesen 148 148 148 128 Célok és feladatok A matematikatanítás célja a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. 2
A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása, a matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A ha..., akkor... az akkor és csak akkor helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban 3
A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A 9 12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg 4
nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az Internet használata is. Fontosnak tartjuk, hogy a matematikát oktató tanárok, elsősorban a számítástechnika szakkal is rendelkezők, fokozottan használják ki a számítógép nyújtotta lehetőségeket munkájuk során. (Demonstráció: függvények ábrázolása, függvények transzformációja, testek, térgeometriai ismeretek. Tesztek, feladatlapok összeállítása) Évi óraszám: 148 9. évfolyam Gondolkodási módszerek (8 óra) A szemléletes A megismert számhalmazok (természetes fogalmak definiálása, számok, egész számok, racionális számok, tudatosítása. valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyitott, zárt). Tájékozódás a számegyenesen. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. Számtan, algebra (52 óra) A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása. Tájékozottság a racionális számkörben. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz Részhalmaz, unió, metszet, két képzés, két halmaz különbsége. Alaphalmaz, halmaz különbsége. üres halmaz fogalma. Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Egyszerű feladatok a logikai szita-formulára. Kombinatorikai az összes eset áttekintése. Az akkor és csak akkor használata (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos). Betűk használata a matematikában, Az azonosságok ismerete és műveletek betűs kifejezésekkel. Egytagú, alkalmazásuk. többtagú kifejezések; kifejezések fokszáma. A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. 5
Kombinatív készség Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b) 2, a 2 b 2 szorzat alakja, (a ± b) 3, a 3 ± b 3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása. Műveletek végzése Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű számokkal és algebrai algebrai törtekkel végzett műveleteknél. kifejezésekkel, a (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) szaknyelv használata. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben.a lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Paraméteres egyenletek. Gyakorlati, mindennapi életbeli problémák megoldása egyenletekkel. Algoritmikus Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer gondolkodás és a megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő gyakorlati problémák együtthatók módszere, grafikus módszer). modellezése, értő Egyenletrendszerre vezető szöveges szövegolvasás. százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre. A rendszerező-képesség Abszolútértékes egyenletek. A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Induktív gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, általánosítás). Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok: 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 9-cel való oszthatóság), a prímszámok száma. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Példa számrendszerekre. Számrendszerek közötti konverzió Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása. A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel. Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Függvények, sorozatok (23 óra) 6
A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A megfelelő modell megkeresése. Célszerű eszközhasználat. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, a négyzetgyök függvény, gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a fordított arány, x a vizsgált függvények elemi tulajdonságai: értékkészlet, zérushely, monotonitás, korlátosság, szélsőértékek. a x. A Függvénytranszformációk. Egyszerű példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén). Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása. Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével. Az alapfüggvények transzformációja egy lépés esetén. Geometria (52 óra) Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása. A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése. Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek Speciális háromszögek, és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögek és szabályos négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos sokszögek tulajdonságainak ismeretek kiegészítése, rendszerezése. ismerete. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. A nevezetes vonalak ismerete, A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, a háromszög beírt és köréírt körülírt körre. körének ismerete. Thalész tétele, néhány alkalmazása, a kör és érintői, érintősokszög fogalma. A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete. A geometriai transzformáció fogalma, példák A megismert transzformációk geometriai transzformációkra. tulajdonságainak felhasználása A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek egyszerű, konkrét esetekben. tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a háromszög súlypontja). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az egybevágóság mint reláció; alakzatok egybevágósága; háromszögek egybevágóságának alapesetei. 7
Síkbeli tájékozódás, A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör tervezés, a középponti szöge, körív hossza, körcikk konstrukciós, kerülete, területe. analizáló képesség és a diszkussziós igény Egyszerű szerkesztési feladatok. kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése. Valószínűség, statisztika (7 óra) A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése. Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése. Súlyozott számtani közép. Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (6 óra) Évi óraszám: 148 Gondolkodási módszerek (8 óra) A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. A bizonyítási igény további 10. évfolyam Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése. Tétel és megfordítása. (folyamatos) A csak kimondott, illetve be is Bizonyítási módszerek, jellegzetes bizonyított összefüggések gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulyaelv konkrét példákon megkülönböztetése. keresztül). Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életből. Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. Számtan algebra (53 óra) 8
A permanencia elve a számfogalom bővítésében. A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algoritmikus gondolkodás A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedestört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között. Példák irracionális számokra ( 2, szakaszok összemérhetetlensége). A négyzetgyökvonás azonosságai. Gyökjel alól kihozatal, gyökjel alá bevitel, törtek nevezőjének gyöktelenítése. Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerű szélsőérték-feladatok megoldása. A matematika Másodfokú egyenletre vezető szöveges eszközként való feladatok. felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az Ekvivalens és nem ekvivalens lépések algebrai feladatoknál. egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Az algebrai és Másodfokú egyenlőtlenség megoldása. A grafikus módszerek megoldások ábrázolása számegyenesen. együttes alkalmazása a problémamegoldásba n. Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása. Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése. Függvények, sorozatok (18 óra) 9
Új függvénytulajdonságo k megismerése, függvénytranszformá ciók további alkalmazása. A négyjegyű függvénytáblázatok és matematikai összefüggések célszerű használata. A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin 2 a + cos 2 a = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása. A szögfüggvények definíciójának ismerete, az sinx és cosx függvények ábrázolása és tulajdonságai. Geometria (54 óra) A transzformációs szemlélet Kreatív problémamegoldás. Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata. A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése: kerületi és középponti szög fogalma, kerületi szögek tétele; húrnégyszög fogalma, húrnégyszögek tétele. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele. A szögfelezőtétel. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel), körhöz húzott érintő és szelőszakaszok tétele. Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az alapesetek ismerete. A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál. 10
A vektorok további alkalmazása. A vektorok összege, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. Vektorok a koordinátarendszerben. Valószínűség, statisztika (9 óra) A valós helyzetek További valószínűségi kísérletek, értelmezése, a valószínűség becslése, kiszámítása megértése és egyszerű esetekben. értékelése. A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben. Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra) Évi óraszám: 148 11. évfolyam Gondolkodási módszerek (11 óra) A kombinatív, Véges halmaz permutációi, variációi, rendszerezési készség kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben. A többféle megoldási Binomiális együtthatók, Pascal-háromszög. mód lehetőségének Véges halmaz részhalmazainak száma. keresése. Vegyes kombinatorikai feladatok. Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal. Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása. A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai. Számtan, algebra (48 óra) 11
A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése. Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat). Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozási azonosságok. A logaritmus értelmezése. A logaritmus, mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai. Áttérés más alapú logartmusra. Az absztrakciós és Exponenciális és logaritmikus egyenletek, szintetizáló képesség egyenlőtlenségek. Az önellenőrzés igényének A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevő esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben. A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet, egyenlőtlenség esetén. Függvények, sorozatok (18 óra) A függvényfogalom Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés Számítógép használata a függvényvizsgálatokb an és a transzformációkban. A 2 x, a 10 x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze. A szögfüggvényekről tanultak áttekintése. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás). A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték). 12
Geometria, mérés (54 óra) A térszemlélet Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény tovább A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék A vektorokról tanultak áttekintése, Vektorműveletek és rendszerezése. tulajdonságaik (összeadás, A vektorműveletek tulajdonságai. kivonás, skalárral való Vektorok a koordinátarendszerben. szorzás). Két vektor skaláris szorzata. Vektorok alkalmazásai. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása. A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve. A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a). Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek. A matematika Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati gyakorlati feladatokban és a fizikában. felhasználása. A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Szakasz osztópontja. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenlete. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. 13
Adott probléma többféle megközelítése. Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintője. A parabola mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata. Valószínűség, statisztika (11 óra) A körülmények kellő figyelembevétele. Előzetes becslés összevetése a számításokkal. Modellalkotásra nevelés. Modell és valóság kapcsolata. A számítógép alkalkazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Egyszerű valószínűség-számítási problémák. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén ( és, vagy, nem ). Relatív gyakoriság. A valószínűség klasszikus modellje. Statisztikai mintavétel. (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.) Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra) A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása. 14
Évi óraszám: 128 Gondolkodási módszerek (12 óra) Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A deduktív gondolkodás 12. évfolyam Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű azonosságok. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. Néhány példa a teljes indukció megismertetésére. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Számtan, algebra (26 óra) Rendszerező összefoglalás Számhalmazok Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és internethasználat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása. Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés. Az önellenőrzés fontossága. Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek. Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek. Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Viete formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. 15
A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés Szöveges feladatok. Paraméteres feladatok. Függvények, sorozatok (25 óra) A matematika alkalmazása a gyakorlati életben. Matematikatörténeti feladatok. Az absztrakciós készség A függvényszemlélet A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományok ban. A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első esetén az n-dik tag, és az első n n elem összege. elem összegének kiszámítása Kamatoskamat-számítás. feladatokban. Példák egyéb sorozatokra (rekurzió, pl. a Kamatoskamat-számítás Fibonacci-sorozat). alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Rendszerező összefoglalás Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével. Geometria, mérés (45 óra) A térszemlélet Az esztétikai érzék Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Egyszerű kombinatorikus geometriai problémák vizsgálata. A síkra merőleges egyenes tételének ismerete. Egyszerű poliéderek. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. 16
A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában. Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. A függvényszemlélet A deduktív gondolkodás A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása. A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A terület és a térfogat fogalma. A poliéderek felszíne, térfogata. A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata. Kúpszerű testek. A Cavalieri-elv. A kúpszerű testek felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne. A gömb felszíne, térfogata. Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A geometriai transzformációk áttekintése. Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Vektorok, vektorok koordinátái. Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögű koordináta-rendszer. Alakzatok egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban. Valószínűség, statisztika (10 óra) A leíró statisztika és a Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata valószínűségszámítás (közvélemény-kutatás, minőség ellenőrzés). gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. 17
Geometriai modell szerepeltetése a valószínűség meghatározására. A valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével. A geometriai modellre visszavezethető feladatok. A véletlen paradoxonai. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell. Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása. Felkészülés az érettségire (10 óra) A szabadon tervezhető órakeret 1-1 óráját az egyes anyagrészek között a tananyag mennyiségének arányában osztottuk el a következő módon: 9. évfolyam 10. évfolyam 11. évfolyam 12. évfolyam Gondolkodási Módszerek 2 2 1 2 Számtan, algebra 13 13 17 8 Függvények, Sorozatok 7 5 4 8 Geometria 13 15 14 12 Valószínűség, Statisztika 2 1 1 2 Összesen 37 37 37 32 Az így megnövelt óraszámot a tananyag részletesebb, gyakorlati példákhoz kapcsolódó kibontására, a megértés és az alkalmazás több gyakorlással történő elmélyítésére és a számonkérés (elsősorban szóbeli) gyakoriságának növelésére kívánjuk felhasználni. Ellenőrzés, értékelés, minősítés A szabadon tervezhető keret alapján megnövelt óraszám lehetőséget ad arra, hogy az elsajátított ismereteket folyamatosan számonkérve, az írásbeli feladatok mellett előtérbe kerüljön a szóbeli feleltetés is, fejlesztve a tanulók szóbeli kifejező készségét, a matematikai kifejezések, fogalmak pontos, szabatos alkalmazását. Az eddigi gyakorlatnak megfelelően az egyes témakörökben a tanult ismereteket és alkalmazásukat témazáró dolgozattal kell számonkérni. Az értékelt írásbeli munkákba a tanulók betekintést nyernek, melyekben minden hibát kijavítunk és javíttatunk (a helyesírást is). Az osztályzatokat minden esetben szóban is, konkrétan, tárgyszerűen szöveges indoklással egészítsük ki, hogy a tanuló tudja, értse, milyen teljesítményt nyújtott, mire képes, mik a hiányosságai, hogyan tudja ezeket megszüntetni. 18
Az osztályzatot a szaktanár az osztálynaplóba és a tanuló ellenőrző könyvébe beírja. Az értékelés, minősítés a témazáró dolgozatokban, félévkor és év végén, egységesen kidolgozott rendszer szerint történik. Az értékelés módjai: Szóbeli: az előző tanítási órákon feldolgozott ismeretek rendszeres ellenőrzése önálló feleletek és kérdésekre adott válaszok alapján. Írásbeli: feladatlapok, tesztlapok, önálló írásbeli dolgozatok alapján, előre közölve az elérhető eredmények ponthatárait illetve az előző egy-két órán tanultak elsajátítását ellenőrző néhány rövid kérdést, feladatot tartalmazó rövid írásbeli számonkérés formájában. Az értékelés súlypontjai: A továbbhaladáshoz szükséges legfontosabb jelenségek, fogalmak, összefüggések, törvények ismerete, értelmezése. Az ismeretek alkalmazásában elért jártasság, gyakorlottság ellenőrzése. A továbbhaladás feltétele a minimum követelmények teljesítése. Kiinduló pontok: A tanuló a két értékelés között mennyit fejlődött vagy hanyatlott. Az adott teljesítményének mi az objektív értéke. Az érdemjegyek és osztályzatok: - jeles(5), jó(4), közepes(3) elégséges(2) elégtelen(1) Jeles (5): ha a tantervi követelményeknek kifogástalanul eleget tesz a tanuló, ismeri, érti, tudja a tananyagot, mindazt alkalmazni is képes. Szóban és írásban szabatosan fogalmaz, lényegre mutatóan definiál, saját szavaival is visszaadja a szabályt, az összefüggéseket. Jó (4): ha a tantervi követelményeknek megbízhatóan, csak kevés és jelentéktelen hibával tesz eleget. Apró bizonytalanságai vannak, kisebb hibákat vét. Közepes (3): ha a tantervi követelményeknek pontatlanul, néhány hibával eleget tesz. Segítségre, javításra kiegészítésre szorul többször is. Ismeretei felszínesek. Kevésbé tud önállóan dolgozni, gyakorlati tevékenységében kissé bizonytalan. Elégséges (2): ha a tantervi követelményeknek csak tanári útbaigazításokkal, hiányosságokkal tesz eleget, de a továbbhaladáshoz szükséges minimális ismeretekkel, jártasságokkal rendelkezik. Csak egyszavas, vagy tőmondatos válaszokat ad, képtelen önálló feladatvégzésre. Elégtelen (1): ha a tantervi követelményeket tanári útbaigazítással sem teljesíti. A minimum követelményeket nem tudja. Az iskola magasabb évfolyamába lépés feltétele: A tantervi minimum követelmények elsajátítása A tanterv végrehajtásához szükséges tankönyvek, taneszközök, segédletek kiválasztásának elvei: A tankönyvek a tanulók otthoni felkészülését segítendő a lehető legnagyobb mértékben tartalmazzák az adott évfolyam tananyagát 19
A példatárak megfelelő számú, különböző nehézségű, a felkészülést segítő feladatot tartalmazzanak, s lehetőleg hozzáférhető legyen az otthoni gyakorlást segítő megoldási útmatató is A taneszközök segítsék a tananyag könnyebb megértését, alaposabb elsajátítását, tegyék lehetővé változatos módszerek alkalmazását. Reális áron beszerezhetők legyenek Kiválasztásuk a munkaközösség véleménye alapján történjen Ajánlott irodalom: Hajdu tankönyvcsalád középiskolák részére o Matematika 9. MK-2798-5 o Matematika 10 MK-2823-X o Matematika 11. MK-2965-1 o Matematika 12. MK-4024-8 Sokszínű matematika tankönyvcsalád o Sokszínű matematika - tankönyv 9.o. MS-2309 o Sokszínű matematika - tankönyv 10.o. MS-2310 o Sokszínű matematika - tankönyv 11.o. MS-2311 o Sokszínű matematika - tankönyv 12.o. MS-2312 Feladatgyűjtemények o Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika I. KT-0320 o Egységes érettségi feladatgyűjtemény. Matematika II. KT-0321 o Matematikai feladatgyűjtemény I. a középiskolák tanulói számára 13135/I o Matematikai feladatgyűjtemény I. a középiskolák tanulói számára 13135/I I o Geometriai feladatok gyűjteménye I. 10127/I o Geometriai feladatok gyűjteménye II. 10127/II Függvénytáblázatok o Négyjegyű függvénytáblázatok Matematikai, fizikai, kémiai összefüggések 13129/1 o Négyjegyű függvénytáblázatok, összefüggések és adatok. Matematika, informatika, fizika, csillagászat, földrajz, kémia 16129/1 A kerettanterv végrehajtásához szükséges eszközök: Írásvetítő 2 db Vetítővászon 2 db Műanyag geometriai testek 3 készlet Demonstrációs fólia sorozatok folyamatos beszerzés Táblai körző 15 db Derékszögű vonalzó (45 o -os) 15 db Derékszög vonalzó (30 o -os) 15 db Táblai szögmérő 15 db Laptop 3 db Oktató programok folyamatos beszerzés Projektor 3 db 20