Matematikai tehetséggondozás Heves megyében Bíró Bálint, Eger 1. Bevezetés: A matematikai tehetséggondozás egyik alapja a tehetségek felkutatása. Ahhoz pedig, hogy matematikai tehetségeket találjunk, olyan versenyeket, táborokat, szakköröket kell szervezni, ahol az ilyen képességekkel rendelkező tanulók megmutathatják különleges adottságaikat. A középiskolába került matematikai tehetségek ezután a tanítási órákon, szakkörökön fejleszthetik tudásukat, kibontakoztathatják képességeiket és felkészülhetnek a különféle középiskolásoknak rendezett megyei, országos, esetleg nemzetközi versenyekre. A középiskolai felkészítő munka színvonalát (persze nem kizárólagos jelleggel) az ilyen versenyeken elért eredmények mutatják. Az alábbiakban főként arról lesz szó, hogy az egri Szilágyi Erzsébet Gimnázium és Kollégium a tehetséggondozási folyamat két említett részében milyen munkát végez. A gimnázium a tehetségek felkutatása céljából minden évben kétféle versenyt szervez, a Bolyai János Tehetségkutató Matematikaversenyt és egy kifejezetten hetedik osztályosok számára kiírt levelezős versenyt. Levelezős versenyt több középiskola is szervez, erre a középiskola felhívó levele után írásban jelentkeznek az általános iskolások. A versenyek általában egy-egy tanéven keresztül zajlanak, néha a félév zárásának idejére befejeződnek. A feladatokat levélben kapják meg a jelentkezők, és levélben is válaszolnak. A középiskolai tehetségekkel végzett felkészítő munka mérésének egyik helye Heves megyében a középiskolások számára kiírt Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenyek.. A Bolyai János Tehetségkutató Matematikaverseny A gimnázium 1991 óta minden évben megszervezi a Bolyai János Tehetségkutató Matematikaversenyt az általános iskolák nyolcadikosainak és kiemelkedő képességű hetedikeseinek. Utóbbiak szaktanáraik javaslatára indulhatnak a versenyen, több alkalommal is előfordult (utoljára a 008/009-es tanévben), hogy a versenyt hetedik osztályos tanuló nyerte. A verseny kétfordulós, az első fordulóban 0 tesztfeladatot kapnak a diákok, amelyekre kérdésenként 5 lehetséges válasz van megadva, ezek közül természetesen csak az egyik helyes. 9
Kistérségi tehetséggondozás Ebben a fordulóban számológép és más segédeszköz (füzet, tankönyv, függvénytáblázat, stb.) nem használható, a 0 feladat megoldására másfél óra áll rendelkezésre. A feladatok mindegyike 5 pontos, így a maximálisan elérhető pontszám 100. A döntő fordulóba általában azok a versenyzők jutnak, akik az elsőben legalább 60 pontot szereztek. A döntőben rendszerint 4-5 feladatot kapnak a versenyzők, amelyek megoldására másfél órájuk van, ekkor minden segédeszköz használható. A szervezők a feladatok összeállításakor ügyelnek arra, hogy a döntő feladatai között alkalmanként szerepeljenek bizonyításos példák is. 3. Válogatás a Bolyai-verseny tesztfeladataiból: 1. Hány nullára végződik a 008 155 5 szorzat? a) 008 b) 155 c) 3560 d) 009 e) nem 0-ra végződik. Egy apa 56 éves, a lánya 30 éves. Hány évvel ezelőtt volt az apa éppen háromszor idősebb a lányánál? a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) ilyen nem fordulhatott elő 3. A múlt szombaton az egri uszodában úsztam. Negyed óra alatt úsztam néhány hosszat, majd még harmadannyit, mint az első negyedórában, aztán még negyedannyit, mint az első negyedórában, végül levezetésként még öt hosszat, így összesen kétszer annyit úsztam, mint az első negyedórában. Hány hosszat úsztam összesen a múlt szombaton? a) 1 b) 0 c) d) 4 e) 30 4. Mennyi a 155 1981 1983 1955 011 szorzatban a legkisebb és a legnagyobb helyiértéken álló számjegyek szorzata? a) 30 b) 0 c) 1 d) 55 e) számológép nélkül nem állapítható meg 5. A Szilágyi Gimnáziumnak 700-nál kevesebb tanulója van. Ha a tanulókat ötösével, nyolcasával vagy tizenhetesével állítanánk sorba, akkor három tanuló mindig kimaradna. Hány tanulója van a Szilágyi Gimnáziumnak? a) 600 b) 650 c) 680 d) 683 e) 697 30
6. Ahhoz, hogy a 0 0 9 tízes számrendszerbeli szám 9-cel osztható legyen, a szimbólum helyébe hányféle számjegyet írhatunk? a) egyet b) egyet sem c) kettőt d) hármat e) kilencet B O L Y A I 7. A tört számlálójában és nevezőjében szereplő szorzatok S Z I L Á G Y I minden különböző betűje különböző 10-es számrendszerbeli számjegyet jelöl, azonos betűk azonos számjegyet jelentenek. Mennyi a tört értéke? a) 1000 b) 008 c) 1 d) 0 e) nem lehet megállapítani 003 004 8. Legyen x =, y =, 004 005 szám a legnagyobb ezek közül? 005 z =, 006 006 v = végül 007 007 t =. Melyik 008 a) x b) y c) z d) v e) t 9. Melyek azok a konvex sokszögek, amelyekben a külső szögek összege éppen fele a belső szögek összegének? a) háromszögek b) négyszögek c) ötszögek d) hatszögek e) nyolcszögek 10. Mennyi az x y + összeg értéke, ha ( x ) ( y ) 561 + 141 = 0? a) 1981 b) 1983 c) 180 d) 1849 e) 155 11. Egy háromszög oldalai centiméterekben mérve egymástól különböző prímszámok. Hány centiméter a kerülete, ha az a lehető legkisebb? a) 6cm b) 10cm c) 15cm d) 3cm e) nincs ilyen háromszög 1. Hány olyan pozitív egész n szám van, amelyre a n + 1, 1 3n és n 1 kifejezések egy háromszög oldalai lehetnek? a) végtelen sok b) nincs ilyen szám c) egy d) kettő e) nem lehet megállapítani 31
Kistérségi tehetséggondozás 13. Egy téglatest egy csúcsban összefutó éleinek aránya 3:4:5, a téglatest éleinek hosszát összeadva 96 cm-t kapunk. Mennyi a téglatest térfogata? a) 005 cm 3 b) 400 cm 3 c) 40 cm 3 d) 480 cm 3 e)006 cm 3 14. Az f ( x) = 008x + 4016 függvény grafikonja a derékszögű koordinátarendszer tengelyeiből egy háromszöget vág le. Hány területegység ennek a háromszögnek a területe? a) 1 b) c) 1004 d) 008 e) 4016 1 1 = függvények közös pontjai közül az egyik pont mindkét koordinátája prímszám. Ennek a közös pontnak a koordinátái: 15. Az f ( x) = x + és g ( x) x a) ( ;3 ) b) ( 5; ) c) ( 5;3 ) d) ( 7;5 ) e) ( 13;11 ) 16. Egy 8 8 -as sakktáblára ráírtuk a pozitív egész számokat 1-től 64-ig, a bal felső sarokban kezdve és soronként haladva. Melyik két egymás utáni számot kell a tábláról törölnünk, hogy a fennmaradó számok összege éppen 009 legyen? a) 8 és 9 b) 31 és 3 c) 35 és 36 d) 54 és 55 e) 61 és 6 17. Egy derékszögű háromszög átfogójának hossza 1 cm, beírt kör sugara cm. Mekkora a két befogó összege? a) 1 cm b) 13 cm c) 16 cm d) 10 cm e) 7 cm 18. Ha tudjuk, hogy 1 x + 1 = 1 y + 1 és 1 y = 1, akkor az x y szorzat értéke: 1 x + a) 0 b) 1 c) d) 3 e) 4 19. Mi lesz a 009, 400, 80, 16, számsorozat következő két tagjának szorzata? a) b) 3 c) 009 d) 0 e) 800 3
0. Az alábbi ábrán két szabályos ötszög csúcsait számozással láttuk el. Ezután a következő változtatást hajtjuk végre: a külső ötszög egyik csúcsánál levő számot kicseréljük a belső ötszög egyik csúcsánál levő számmal. Mennyi a cserében résztvevő két szám közötti lehetséges legnagyobb különbség, ha a csere folytán a külső ötszög és a belső ötszög számainak összege is prímszám lett? a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) nem lehetséges ilyen csere 4. Válogatás a Bolyai-verseny döntős feladataiból: 1. A Szilágyi Gimnáziumban minden reggel 8 óra 10 perckor kezdődik a tanítás az első órával, és délután 14 óra 15 perckor fejeződik be a hetedik órával. Számítsuk ki, hogy egy tanítási napon hány olyan időpont van a tanítási idő alatt (egész számú órával és egész számú perccel megadva), amelyben az időpontot megadó szám 9-cel osztható!. Egy szabályos 11 oldalú sokszög csúcsait kiszíneztük kétféle színnel. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges színezés esetén a sokszög csúcsai közül kiválasztható három azonos színű pont, amelyek egy egyenlő szárú háromszög csúcsai! 33
Kistérségi tehetséggondozás 3. Az alábbi ábrán az AB = 009 egységnyi átfogójú ABC derékszögű háromszög befogóira kifelé megrajzoltuk a BDEC és ACGF négyzeteket, amelyeknek a D, illetve F csúcsából merőlegeseket bocsátottunk az AB átfogó egyenesére, így kaptuk a P és R pontokat. Tudjuk, hogy FR = r = 07 egység. Határozzuk meg az DP = p szakasz hosszát! 4. Lehet-e egy derékszögű háromszög mindhárom oldalának hossza prímszám? (válaszunkat indokoljuk!) 5. Egy nem egyenlő szárú trapézt a két átlója négy háromszögre bontja, ezek közül a trapéz hosszabbik alapján fekvő háromszög területe 10 cm, az egyik száron fekvő háromszög területe pedig 5 cm. Mekkora a trapéz területe? 6. Rajzoljuk meg az ABC háromszög B és C csúcsainál levő belső 10 cm szögfelezőket, majd bocsássunk az A pontból ezekre a szögfelezőkre merőlegeseket, a merőlegesek talppontjai legyenek D és E. Bizonyítsuk be, hogy a DE egyenes felezi az AB és az AC szakaszokat is! 7. Határozzuk meg azt a legkisebb és legnagyobb, háromjegyű tízes számrendszerbeli pozitív egész számot, amelyre igaz, hogy 3-mal osztható, de semelyik két számjegyéből alkotott kétjegyű szám nem osztható 3-mal! 8. Melyek azok a p pozitív prímszámok, amelyekre a pozitív prímszámmal egyenlő? p + 17 p + 5 tört értéke is egy 9. Oldjuk meg a p 5 p 4q 3p q + + = egyenletet, ha p és q pozitív prímszámok! 34
10. Oldjuk meg az szám! x 006 x 005 x 6 x 5 + = + egyenletet, ha x valós 5 6 005 006 11. Van két egyforma papírlapunk. Első lépésben az egyiket 10 részre vágjuk, a következő lépésben a nálunk levő összes papírlap közül valamelyiket ismét 10 részre vágjuk, és így tovább. Ilyen lépésekkel elérhetjük-e azt, hogy pontosan 1831 papírdarabunk legyen? (1831-ben jelent meg Bolyai János fő matematikai műve, az Appendix) 1. Egy mesebeli szigeten kétféle ember él. Az igazmondó mindig igazat mond, a hazudós mindig hazudik. Egy alkalommal 11 olyan szigetlakóval beszélgettünk, akik jól ismerik egymást. Megkérdeztük őket: hány igazmondó van közöttetek? Az első kilenc válasz rendre a következő volt: 4; 1; 6; 0; 5; 7; 5; 6; 1. Mit válaszolt az utolsó két szigetlakó? 13. Három tanuló, András, Barnabás és Csaba, korábbi hiányzásuk miatt pótdolgozatot írtak matematikából. A tanáruk kijavította a dolgozatokat, de elfelejtette behozni a következő órára. Amikor a három tanuló érdeklődött az osztályzat felől, a tanár a következőt mondta: az biztos, hogy különböző osztályzatokat kaptatok mind a hárman, mégpedig 3-ast, 4-est és 5-öst.. Ezen kívül úgy emlékszem, hogy: a) Csaba jegye 4-es b) Barnabás jegye nem 4-es c) András jegye nem 5-ös. Később kiderült, hogy a jegyek értékére vonatkozó fenti három kijelentés közül csak egy igaz, a másik két jegyre a tanár rosszul emlékezett. Milyen osztályzatokat kaptak a tanulók? 5. Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenyek: A szakközépiskolások számára meghirdetett Kertész Andor Matematikaversenyt 1988-tól rendezik meg Heves megyében. A Heves Megyei Pedagógiai Intézet támogatásával 1995-től a gimnazistáknak is van megyei matematikaversenye, amelyet Palotás Józsefről, az egri Főiskola, és Eger több középiskolájának tanáráról neveztek el. A verseny zsűrielnöke volt többek között dr. Reiman István és Czapáry Endre. Mindkét versenyen a középiskolák 9.-1. évfolyamának tanulói mérik össze tudásukat. 35
Kistérségi tehetséggondozás Kezdetben a szakközépiskolások és a gimnazisták más-más feladatsorokat kaptak, amelyekben szerepeltek tesztjellegű, és kifejtést, illetve indoklást igénylő példák is. Ma mindkét iskolatípus legjobb diákjai egységes feladatsort írnak, amelyben már nincsenek tesztfeladatok. A verseny elsősorban egyéni, de szép hagyomány a csapatverseny is, a legjobban szereplő iskolák minden évben megkapják a Palotás József és Kertész Andor vándorserleget. 6. Válogatás a Palotás József-Kertész Andor Matematikai Emlékverseny feladataiból: 1. Egy síkon elhelyezünk három gömböt úgy, hogy mindegyik érintse a síkot és a másik két gömböt. A gömbök sugara rendre 1 cm, cm, és 3 cm. Ezután helyezzünk a három gömbre egy negyedik gömböt úgy, hogy az érintse az előző hármat. A negyedik gömb sugara cm. Mekkora a négy gömb középpontjainak összekötésével nyert test térfogata?. Oldjuk meg az 1 9 1 + = egyenletet, ha m, n pozitív egész számok! 9m n 6 3. Létezik-e olyan, a C csúcsánál derékszögű háromszög, amelyre az alábbi feltételek mindegyike teljesül: a) a derékszögű koordináta-rendszerben mindhárom csúcs koordinátái egész számok b) az A, B és C csúcsok második koordinátái rendre 1-gyel, 9-cel, illetve 9-cel nagyobbak, mint a megfelelő csúcsok első koordinátái c) az ABC háromszög területe 7 területegység? a a a 1 4. Létezik-e olyan négyzetszám, amely előállítható 5 + 3 alakban, ahol a pozitív egész szám? Van-e ilyen alakú prímszám? 5. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszög felbontható 1999 darab egyenlő szárú háromszögre! 6. Az ABC hegyesszögű háromszög oldalainak hossza a, b, c a megfelelő magasságok hosszai rendre ma, mb, m c. Bizonyítsuk be, hogy 1 ma + mb + mc < < 1! a + b + c 36
7. Az ABC háromszög körülírt körének középpontját tükrözzük a BC, CA és AB oldalakra, a tükörképpontok rendre O1, O és O 3. Bizonyítsuk be, hogy az AO1, BO és CO 3 egyenesek egy pontban metszik egymást! 8. Egy 50 méter hosszú folyosó egyik végén egy egérlyuk, ettől 0 méterre egy másik egérlyuk van. Jerry egér a két egérlyuk között áll, amikor meglátja a folyosó másik végén Tomot, a macskát. Tom gyorsabb Jerrynél, de ebben a pillanatban Jerry még azonos eséllyel érhetné el mindkét egérlyukat. Hol van most Jerry, ha feltételezzük, hogy mindkettőjük sebessége állandó? 9. Számológép használata nélkül állapítsuk meg a következő kifejezések előjelét! a) + 3 5 3 + 5 b) 3 3 + 5 + 3 5 10. Határozzuk meg azokat az n természetes számokat, amelyekre a tört értéke egész szám! 004 + 334n 004 334n 11. Adjuk meg a ( ) ( ) p 5 p q + r + p q r = 0 egyenlet összes megoldását, ha p, q, r pozitív prímszámok! 1. Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a 4x + 36y 4x + 1y + 008 = z egyenletet! 006 + 4z + 5 13. Egy falunak éppen 007 lakója van. Tudjuk, hogy a faluban nem élnek 7 évnél fiatalabbak, de nem idősebb senki 75 évesnél. Bizonyítsuk be, hogy van a falunak legalább 30 olyan lakosa, akinek az életkora azonos! 14. Az ABCD konvex négyszög szemben fekvő AB és CD oldalát osszuk föl 5 5 egyenlő részre. Az AB és CD oldalak A, illetve D csúcsától számított ugyanannyiadik osztópontjait összekötő szakaszok a négyszöget 5 négyszögre vágják. Bizonyítsuk be, hogy az 5 négyszög között van olyan, amelynek a területe az ABCD négyszög területének 5-öd részével egyenlő! 37
Kistérségi tehetséggondozás 15. Adott három párhuzamos egyenes; mindegyiken pirosra festettünk 5 pontot. Tekintsük az összes háromszöget, melynek csúcsai pirosak, két csúcsuk egy egyenesen, a harmadik pedig egy másik egyenesen van; majd tekintsük az összes olyan piros csúcsú négyszöget, melynek két-két csúcsa egy-egy egyenesre illeszkedik. Miből van több: háromszögből vagy négyszögből? 16. Új bankkártyát kaptál, de elfelejtetted a személyi azonosítódat, vagyis a PIN kódodat. Arra biztosan emlékszel, hogy az első szám nem volt 0, és szerepelt a négy szám között pontosan darab ötös szám. Felhívták a figyelmedet, hogy igyekezz pontosan beírni a kódodat, mert kétszeri sikertelen próbálkozás után a harmadiknál elnyeli az automata a kártyádat. Egy hónap alatt minden nap, amikor iskolába mész és onnan jössz, megpróbálod kitalálni a kódodat ( tanítási nap). Mekkora az esélyed, hogy sikerül kitalálnod? 17. Mutassuk meg, hogy 10-nek minden pozitív egész kitevőjű hatványa két, alkalmas pozitív egész szám négyzetének összege! 18. Legyen az ABC derékszögű háromszög, amelyben az AB átfogóhoz tartozó magasság a CD szakasz. A CD átmérőjű k kör a BC és AC befogókat rendre az E és F pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy a k körhöz az E és F pontokban rajzolt érintők egyenesei párhuzamosak és a befogók egyeneséből a befogók hosszával megegyező hosszúságú szakaszokat metszenek ki! 7. Tehetséggondozás szakkörön: A szakkörön történő tehetséggondozásnak több módja lehetséges. Az egyik az, amikor egy-egy városban, megyeszékhelyen városi, vagy megyei szintű szakkört tartanak általános iskolás diákoknak. Ilyen Heves megyében a 011/01-es tanévig nem volt. Ekkor a Szilágyi Gimnázium szervezésében a gimnázium egyik tanára és a gyakorlati idejét a gimnáziumban töltő fiatal pedagógus megyei szakkört hirdetett az általános iskolák felső tagozatosainak. Az érdeklődés nagy volt, főként az 5., 6. és 8. osztályosok jelentkeztek a szakkörre nagy számban. A 01/013-as tanévben a szakkör folytatja munkáját, felvetődött a szakkör résztvevőinek tartandó nyári matematikai tábor ötlete is. A szakköri tehetséggondozás másik szintje a középiskolai matematikai szakkörök rendszere. Ezt minden középiskola saját maga szervezi a saját tanulóinak. A Heves Megyei Pedagógiai Intézet minden tanévben szervez az Országos Középiskolai Tanulmányi Versenyre megyei előkészítő szakkört, ez a szakkör több, mint 15 éve működik. A szakkörön részt vevő diákok száma kezdetben meghaladta a 40 főt, az utóbbi időben azonban csökkent az érdeklődés a szakkör iránt. 38
Néhány évvel ezelőtt még működött a megyében olimpiai előkészítő szakkör, az olimpiai szakköri rendszer megváltoztatásával ez Heves megyében megszűnt. Nagyon fontos láncszeme a középiskolai tehetséggondozásnak az Erdős Pál Matematikai Tehetséggondozó Iskola. Az Erdős-Iskolát működtető Pannon Egyetem néhány éve Kelet-Magyarországon is kiépített egy bázist, kezdetben Kecskeméten, később Szolnokon, így a Heves megyei diákoknak is nagyszerű lehetőséget kínál a továbbfejlődésre matematikából. 8. Összegzés: A tehetségkutatás és tehetségfejlesztés, a versenyek és szakkörök rendszere a fentiek szerint Heves megyében nagy hagyományokkal rendelkezik. Ennek a rendszernek a hatékonyságát több tényező is jelzi. Ezek többek között az országos és nemzetközi versenyeken, a továbbtanulási irányokban mérhető eredmények. A rendszer működése azonban nem tökéletes. A gyakorló pedagógusok, a megyei szaktanácsadó éppen azon fáradoznak, hogy a versenyek jobb szervezésével, a szakkörökön végzett munka színvonalának emelésével, a szakkörök összehangolásával növeljék a tehetségkutatás és tehetséggondozás munkájának hatékonyság 39