MATEMATIKA 9 13. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belsı struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belsı, felfedezı tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerő, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelı önbizalommal történı megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belsı szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán mőveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetıségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerő felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenırzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhetı a szemléletre és tevékenységre épülı feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintő érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentıségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése c) egyensúly a matematika belsı struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Az egyes témákban szerepeltetett különbözı nehézségő problémák természetesen nyújtják a differenciálás lehetıségét. A fokozott szaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetısége biztosítsák az esélyegyenlıséget. 1
Fejlesztési követelmények A matematikai kompetencia kialakítása Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, segítségével kialakított fogalmak megerısítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különbözı témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az idıszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert mőveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különbözı fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Mőveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különbözı gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bıvülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordinátageometria elemeinek tanításával a matematika különbözı területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A ha..., akkor... az akkor és csak akkor helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerő matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különbözı tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínőség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi elıtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási mőveletek alkalmazása A 9 13. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. 2
Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerő tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetıen fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi elıtti rendszerezı összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különbözı témakörökben, valamint egyszerő modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különbözı területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen idıszakban is elengedhetetlen a szemléltetı ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különbözı jellemzési lehetıségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerő használatát. A közelítı értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenırzés különbözı módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értı olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekbıl a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsıfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerőnek tőnı matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is. Kulcskompetenciák A matematika tanítása során az alábbi kulcskompetencia területek fejlesztésére vállalkozunk: 1. Anyanyelvi kommunikáció 2. Matematikai kompetencia 3. Természettudományi és technológiai kompetenciák 4. Digitális kompetencia 5. A tanulás tanulása (Részletezést lásd fent.) 6. Szociális kompetencia 7. Esztétikai- mővészeti tudatosság és kifejezıkészség Kialakítjuk, ill. fejlesztjük az alábbi készségeket: 1. (Anyanyelvi kommunikáció) 3
Különbözı üzenetek közlését írásban és szóban, illetve azok megértését vagy másokkal való megértetését változatos helyzetekben. A különféle kommunikációs helyzetekben elhangzó különbözı szóbeli üzenetek meghallgatását és megértését. Szakszövegnek minısülı írott szövegek ( feladatok szövege, definíciók, tételek, bizonyítások/ olvasását és megértését. Különbözı típusú és különféle célokat szolgáló írott szövegek alkotása. A szövegalkotás folyamatának nyomon követése (a vázlatkészítéstıl az átolvasásig). Szakkifejezéseket tartalmazó szövegek alkotása. A szövegalkotás folyamatának nyomon követése (a vázlatkészítéstıl az átolvasásig). Írásbeli információk, adatok és fogalmak keresését, győjtését és feldolgozását a tanulás során, a tudás szisztematikus rendszerezését. A fontos információk kiszőrését a szövegértés, beszéd, olvasás és írás során. Saját érvek meggyızı módon történı megfogalmazását szóban és írásban, valamint mások írásban és szóban kifejtett nézıpontjainak figyelemmel kísérését. 2. (A matematikai kompetencia) A matematikai kompetencia alapelemeinek alkalmazását (összeadás és kivonás, szorzás és osztás, százalékok és törtek, mértékegységek ) a mindennapi életben felmerülı problémák megközelítése és megoldása során.(például:a háztartási költségvetés kezelése;a vásárlás (árak összehasonlítása, mértékegységek, árérték arány ismerete); az utazás és a szabadidı (távolság és utazási idı közötti összefüggés felismerése, pénznemek és árak összehasonlítása). A mások által elıadott indoklás követését és értékelését, az indoklás alapgondolatának felismerését (különösen bizonyítás esetén) stb. A matematikai jelek és képletek használatát, a matematika nyelvének dekódolását és értelmezését, valamint a matematika nyelve és a természetes nyelv közötti összefüggések felismerését. A matematika segítségével történı és a matematikáról szóló kommunikáció. Matematikai gondolkodást és érvelést, a matematikai gondolkodásmód elsajátítását: absztrakció és általánosítás. Matematikai modell alkotása a probléma megoldásához,ill. meglévı modellek használatát és alkalmazását a feltett kérdés megválaszolásához. Kész diagramok értelmezését és alkalmazását, az ábrázolásmódok közötti különbségek okának felismerését, diagramok készítését, az ábrázolásmódok közötti választást és váltást az adott probléma követelményeinek megfelelıen. A kritikai gondolkodásra való hajlamot; különbözı matematikai állítások (pl. állítás és feltevés) megkülönböztetését; a matematikai bizonyítások megértését, fogalmak alkalmazási körének és korlátainak a felismerését. Segédeszközök és egyéb eszközök (köztük informatikai eszközök) használatát. 3. (Természettudományi és technológiai kompetenciák) Technológiai eszközök és gépek, valamint tudományos adatok és megállapítások felhasználását, illetve az azokkal való munka valamilyen cél vagy következtetés elérése érdekében. 4
4. (Digitális kompetencia) Az elektronikus információk, adatok és fogalmak keresését, győjtését és feldolgozását. Prezentációk, grafikonok, táblázatok használatát, ill. létrehozását. Internetes oldalak elérését és az azokon történı keresést. 6. (Szociális kompetencia) Tolerancia mások nézeteivel és viselkedésével szemben? Egyéni és a kollektív felelısség ( Pl.: csoportmunka). 7. (Esztétikai- mővészeti tudatosság és kifejezıkészség) Különféle mővészeti ágak ( építészet, festészet) matematikai vonatkozásai iránti érdeklıdés felkeltése. Törekvés a számoktól való félelem leküzdésére. 5
TANTERV A minimum követelmények a és a Továbbhaladás feltételei oszlopokban az aláhúzottak. 9. évfolyam Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek: Számelmélet, algebra: Függvények, sorozatok: Geometria: Rendszerezı ismétlés: 14 óra 50 óra 30 óra 14 óra 3 óra Gondolkodási módszerek (14 óra) A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. A megismert számhalmazok áttekintése, a valós számkör felépítése, a valós számok és a számegyenes kapcsolata, az intervallum fogalma. Véges és végtelen halmazok, üres halmaz. (4) Halmazmőveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége, komplementer halmaz. (6) Véges halmazok elemszáma, logikai szita 2-3 tulajdonságra. (2) Egyszerő kombinatorikai feladatok. Összes eset áttekintése. (2) Az akkor és csak akkor használata. (folyamatos) Tétel és megfordítása. (folyamatos) Tájékozottság a valós számkörben Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége Számelmélet, algebra (50 óra) 6
Mőveletek végzése számokkal A hatványfogalom célszerő kiterjesztése számok nagyságrendjének tudása Mőveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata. A matematika iránti érdeklıdés erısítése az elemi számelmélet alapvetı problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Egészekkel, törtekkel végzett mőveletek. Hatványozás. Zárójelfelbontás, kiemelés, mőveleti sorrend. Százalékszámítás. (6) Betők használata a matematikában. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben.(2) Hatványozás értelmezése nulla és negatív egész kitevıre. A hatványozás azonosságai. (8) Számok abszolút értéke, normál alakja. (2) Nevezetes azonosságok: 2 3 a ± b, a ± b, ( ) ( ) 2 2 3 3 a b, a b szorzatalakja. (7) Ezen azonosságok alkalmazása. Mőveletek végrehajtása egyszerő algebrai egész- és törtkifejezésekkel. (13) Oszthatósági alapfogalmak (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös, relatív prímek) definiálása, alkalmazása. Oszthatósági feladatok. Számrendszerek. (10) Egyszerő egyenletek megoldása. (2) Ezek biztos tudása. Az azonosságok ismerete és alkalmazása. A másodfokú azonosságok biztos alkalmazása. A négy alapmővelet egyszerő algebrai kifejezésekkel. 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számok és 10 hatványaira vonatkozó oszthatósági szabályok ismerete. Számok prímtényezıkre bontása, és alkalmazása egyszerő oszthatósági feladatokban.. A 2-es alapú számrendszer kapcsolata a 10-es alapú számrendszerrel. Függvények, sorozatok (30 óra) A függvényszemlélet fejlesztése: hozzárendelések szabályként való értelmezése. A derékszögő koordinátarendszer. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai. A lineáris Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete, képlettel megadott függvény ábrázolása és jellemzése. 7
A megfelelı modell megkeresése. Célszerő eszközhasználat. függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, gyakorlati példák további függvényekre, a fordított arány, törtfüggvény.??? Egyszerőbb függvénytranszformációk. Geometria (14 óra) Tájékozottság a térelemek körében. Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása. Néhány alapvetı geometriai fogalom. Pont, egyenes, sík és ezek kölcsönös helyzete. Szögek, távolságok. (4) Háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek ismétlése, kiegészítése, rendszerezése. Pitagorasz tétele (10) Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. 8
10. évfolyam Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek: Számelmélet, algebra: Függvények, sorozatok: Geometria: Valószínőségszámítás, statisztika: Rendszerezı ismétlés: 14+ folyamatos 35 óra 7 óra 44 óra 8 óra 3 óra Gondolkodási módszerek (folyamatos) A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. A bizonyítási igény további fejlesztése. A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás kapcsolata. A kombinatív készség fejlesztése. A többféle megoldási mód lehetıségének keresése. Becslés, a becslés összevetése a számításokkal. Tétel és megfordítása. Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek. (folyamatos) Skatulya-elv. (2) Sorba rendezési és kiválasztási problémák. Változatos kombinatorikai feladatok. (12) A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése. Egyszerő kombinatorikai és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. Számelmélet, algebra (35 óra) Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értı szövegolvasás. Egyenlet, azonosság. Elsıfokú egyenlet megoldása lebontogatással, mérlegelvvel. Egyenletek megoldása az értelmezési tartomány, értékkészlet vizsgálatával, a szorzattá alakítás felhasználásával. Törtes, abszolútértéket tartalmazó egyenletek, egyenlıtlenségek. Egyszerő feladatok biztos megoldása. 9
Paraméteres egyenletek (kiegészítı anyag). Elsıfokú két-, és három ismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Szöveges feladatok. (35) Elsıfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Egyszerő szöveges feladatok. Függvények, sorozatok (7 óra) Problémák megoldása grafikusan. Egyenletek, egyenlıtlenségek, egyenletrendszerek grafikus megoldása. (7) Egyszerőbb feladatok megoldása. Geometriai (44 óra) A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különbözı területei közötti kapcsolatok keresése. Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú Ponthalmaz (mértani hely) fogalma, nevezetes ponthalmazok. A háromszög beírt és köré írt köre. (5) Thalész tétele, a kör és érintıi. Érintısokszög fogalma. (kiegészítı anyag) (7) A tengelyes tükrözés, szerkesztések, tengelyesen szimmetrikus alakzatok. (5) A középpontos tükrözés, szerkesztések, középpontosan szimmetrikus alakzatok. Paralelogramma. Paralelogramma, háromszög, trapéz középvonala. Háromszög magasságvonala, súlyvonala, szerkesztések.(11) A nevezetes ponthalmazok, a háromszög beírt és köré írt körének ismerete. A körrel kapcsolatos fogalmak, és az érintı tulajdonságainak ismerete. Az egybevágósági transzformációk felhasználása egyszerőbb feladatokban. Egyszerő szerkesztési feladatok megoldása. Alkalmazza a háromszögek egybevágóságának alapeseteit. 10
szemléltetés, szerkesztıprogramok megismerése. Pont körüli elforgatás, forgásszimmetrikus alakzatok, szerkesztések (kiegészítı anyag). A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge. Körív hossza, körcikk kerülete, területe. (8) Eltolás, vektorok. Mőveletek vektorokkal (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás ). Vektor felbontása síkban. Vektorok a koordinátarendszerben. (6) Alakzatok egybevágósága. (2) Vektorok koordinátáinak biztos használata a mőveletek során Statisztika (8 óra) A statisztikai adatok helyes értelmezése. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak és diagramjainak kritikus elemzése. A leíró statisztika és a valószínőség-számítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása a statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram, stb.), gyakorisági diagram, relatív gyakoriság, számtani közép, medián, módusz. Osztályba sorolás. Terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás. Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középsı érték, a leggyakoribb érték ismerete. Diagramok értelmezése. 11
11. évfolyam Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek: Számelmélet, algebra: Függvények, sorozatok: Geometria: Rendszerezı ismétlés: folyamatos 45 óra 19 óra 44 óra 3 óra Gondolkodási módszerek (folyamatos) Számelmélet, algebra (45 óra) Permanencia elve a gyökvonás körében. A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése. A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban. Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál. A négyzetgyök fogalma, azonosságai. (7) A négyzetgyök fogalma és azonosságainak alkalmazása egyszerőbb esetekben. Számok n. gyöke, azonosságok. (3) 2 irracionális. (1) Nevezetes irracionális számok ismerete A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa, gyöktényezıs alakja. Összefüggés a gyökök és együtthatók között (kiegészítı anyag). Paraméteres feladatok. (10) Másodfokúra visszavezethetı egyenletek. (2) Másodfokú egyenletre, egyenletrendszerre vezetı feladatok. (6) Másodfokú egyenlıtlenségek, szélsıérték feladatok megoldása. (6) Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. A diszkrimináns és a gyöktényezıs alak biztos használata. Egyszerő másodfokúra visszavezethetı egyenletek megoldása. Különbözı típusú egyszerő szöveges feladatok megoldása. Egyszerő másodfokú egyenlıtlenségek megoldása Egyszerő négyzetgyökös egyenlet megoldása. A 12
Zsebszámológép célszerő használata átalakításánál, egyszerő négyzetgyökös egyenletek.(4) Egyszerő trigonometrikus egyenlet algebrai megoldása. (5) Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. (1) megoldások ellenırzése. Egyszerőbb feladatok megoldása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Függvények (19 óra) Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformációk alkalmazása. Szögfüggvény kiterjesztése, zsebszámológép célszerő használata A másodfokú függvény zérushelye, a megoldóképlet elıkészítése. (2) Egyszerő hatvány- és gyökfüggvények és transzformációik.(2) Szögfüggvények általános definíciója, és a köztük levı alapvetı összefüggések: pótszögek, kiegészítı szögek, negatív szögek, négyzetes összefüggés. (6) Szögfüggvények ábrázolása, jellemzése és egyszerőbb transzformációik. (7) Egyszerő trigonometrikus egyenlet, egyenlıtlenség grafikus megoldása. (2) Négyzetgyökfüggvények. A szögfüggvények definíciójának ismerete, az f(x)=sin x és az f(x)= cos x függvények ábrázolása és tulajdonságai. Geometria (44 óra) A körrel kapcsolatos ismeretek bıvítése (kiegészítı anyag). Kreatív problémamegoldás, geometriai ismeretek alkalmazása. Kerületi szögek, középponti szögek, látószög, húrnégyszög (kiegészítı anyag). (6) Párhuzamos szelık és szelıszakaszok és alkalmazásuk feladatokban (kiegészítı anyag). (4) 13
A transzformációs szemlélet fejlesztése. Kreatív problémamegoldás, geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerő használata. Vektorok további alkalmazása. A hasonlósági transzformáció fogalma. (2) A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai és súlypontja, magasság- és befogótétel. Hasonló síkidomok területének aránya. Hasonló testek térfogatának aránya. (15) Távolságok meghatározása a hasonlóság segítségével. Hegyesszögek szögfüggvényei, összefüggések. Nevezetes szögek szögfüggvényei. Szögfüggvények alkalmazása derékszögő háromszög hiányzó adatainak kiszámítására síkban és térben. (14) Vektormőveletek áttekintése (Összeadás, kivonás, skalárral való szorzás Vektor felbontása síkban. Vektorok a koordinátarendszerben.) (3) A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerő gyakorlati feladatokban. Alapesetek ismerete. A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása, egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatok. Egyszerő gyakorlati feladatok megoldása. 14
12. évfolyam Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek: Számelmélet, algebra: Függvények, sorozatok: Geometria: Valószínőségszámítás, statisztika: Rendszerezı ismétlés: 16 óra 25 óra 5 óra 56 óra 6 óra 3 óra Gondolkodási módszerek (16 óra) A kombinatív készség fejlesztése. A többféle megoldási mód lehetıségének keresése. Becslés, a becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása. Sorba rendezési és kiválasztási problémák. Változatos kombinatorikai feladatok. Binomiális együtthatók és a Pascal-háromszög. (12) Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal. (4) Egyszerő kombinatorikai és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. A gráf szemléletes fogalma, egyszerő alkalmazásai. Számelmélet, algebra (25 óra) A matematikai fogalom célszerő kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználásával. A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Értı szövegolvasás. Bizonyítás iránti igény mélyítése. Matematikatörténeti A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevıkre. A hatványozás azonosságai. (5) Exponenciális egyenletek, és alkalmazásuk szöveges feladatokban. Egyenlıtlenségek, egyenletrendszerek ( (8) A logaritmus értelmezése azonosságai. (4) A hatványozás definíciója, mőveletek, azonosságok ismerete. Egyszerőbb feladatok megoldása. A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerőbb 15
vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat). A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Értı szövegolvasás.. Logaritmikus egyenletek, és alkalmazásuk szöveges feladatokban. Egyenletrendszerek, egyenlıtlenségek és. (8) esetekben. Egyszerő feladatok megoldása. Függvények (5 óra) A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különbözı területei között. Az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze, vizsgálata. (3) Egyszerő exponenciális illetve logaritmikus egyenlıtlenségek megoldása grafikusan. (2) Alapfüggvények ábrái, és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely) Geometria (56 óra) A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika kapcsolatának megmutatása. A matematika gyakorlati felhasználása. A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai A vektorokról tanultak áttekintése. A vektormőveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságai, és ezek alkalmazása. (4) Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerő trigonometrikus egyenletek. Távolság, szög és terület meghatározása gyakorlati feladatokban. (24) Helyvektor. Mőveletek koordinátákkal adott Vektormőveletek és tulajdonságaik alkalmazása. A tételek alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). Vektorok koordinátáinak biztos használata. 16
eszközökkel. (ismétlés) vektorokkal. (1) A bizonyítási készség Szakasz felezıpontjának és fejlesztése. harmadolópontjának meghatározása, a háromszög súlypontja. Két pont Adott probléma többféle megközelítése. távolsága, szakasz hossza. (4) Az irányvektor, normálvektor, iránytangens fogalma, kapcsolataik. Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merılegességének feltétele. Két egyenes metszéspontja, és alkalmazása feladatokban. (12) A kör egyenlete. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. Két kör kölcsönös helyzete (kiegészítı anyag). (9) Ponthalmazok a koordinátasíkon. (2) Szakasz felezıpontjának és hosszának meghatározása. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének ismerete. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör középponti egyenletének ismerete. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata. Valószínőségszámítás, statisztika (6 óra) A valós helyzetek Valószínőségi kísérletek. értelmezése, megértése és Mőveletek eseményekkel. értékelése. Gyakoriság, relatív Elızetes becslés összevetése a gyakoriság. számításokkal. A valószínőség szemléletes Modellalkotásra nevelés. fogalma és kiszámítása egyszerőbb esetekben.. A relatív gyakoriság és a valószínőség közötti szemléletes kapcsolat ismerete. 17
13. évfolyam Évi óraszám: 128 Gondolkodási módszerek: 14 óra Számelmélet, algebra: 25 óra Függvények, sorozatok: 27 óra Geometria: 47 óra Valószínőség-számítás, statisztika: 15 óra (ebbıl ismétlés 74 óra) Gondolkodási módszerek (11 óra) Az ismeretek rendszerezése: a matematika különbözı területei közti összefüggéseinek tudatosítása. Egyszerő szövegek értelmezése. A matematikai logika alapfogalmai. Egyszerő mőveletek (negáció, konjunkció, diszjunkció) A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. (5) Rendszerezı összefoglalás Kombinatorika és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. (6) A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. (folyamatos) Halmazok. (3) Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek. Számelmélet, algebra (25) Rendszerezı összefoglalás Számhalmazok Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. Számrendszerek. (2) Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek. 18
Szám és mőveletfogalom biztos alkalmazása. Tervszerő és pontos munkára nevelés. Az ellenırzés fontossága. Problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés és szövegelemzés fejlesztése. Mőveletek értelmezése, mőveleti tulajdonságok, közelítı értékek. (2) Hatványozás, nevezetes azonosságok. (2) Egyenletek Elsıfokú egyenletek, egyenlıtlenségek, egyenletrendszerek. (3) Másodfokú egyenletek, egyenlıtlenségek, egyenletrendszerek. Szélsıérték feladatok. (5) Gyökös kifejezések és egyenletek. (3) Exponenciális, logaritmikus egyenletek és azonosságok.(3) Szöveges feladatok. (2) Trigonometrikus egyenletek, azonosságok. (3) Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz és az értékkészlet szerepe. Ekvivalens átalakítások. (folyamatosan) Függvények, sorozatok (27 óra) A matematika alkalmazása a gyakorlati életben, matematikatörténeti feladatok. Az absztrakciós készség fejlesztése. Függvények alkalmazása gyakorlatban és a természettudományokban. A sorozat fogalma, tulajdonságai. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az elsı n tag összege. Kamatoskamatszámítás. (21) Rendszerezı összefoglalás Függvényekrıl tanultak áttekintése, rendszerezése. Alapfüggvények ábrázolása. Egyszerő függvénytranszformációk. f(x)+c; f(x+c); cf(x); f(cx). Függvényvizsgálat ábra alapján. (4) Sorozatok. (2) Az n. tag és az elsı n tag összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamatszámítás egyszerő gyakorlati feladatokban. Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek. 19
Geometria (47 óra) Térszemlélet fejlesztése. Az esztétikai érzék fejlesztése. A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában. Sík és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. A függvényszemlélet fejlesztése. A deduktív gondolkodás fejlesztése. A matematika különbözı területei közötti összefüggések felhasználása. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. (1) A kerület- és területszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A téglatest, hasáb, forgáshenger felszíne és térfogata. A gúla, forgáskúp, csonkagúla, csonkakúp felszíne és térfogata. A gömb felszíne és térfogata. (29) Rendszerezı összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. (2) Egybevágósági és hasonlósági transzformációk áttekintése. Háromszögekre, négyszögekre és a körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. (7) Vektorok, vektormőveletek, mőveleti tulajdonságok, alkalmazások. (2) Koordinátageometriai ismeretek rendszerezése. (3) Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásai. (3) Kapcsolódó fogalmak ismerete. A megismert felszín- és térfogatképletek alkalmazása egyszerőbb feladatokban. Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek. Valószínőségszámítás, statisztika (15 óra) A valós helyzetek Mőveletek eseményekkel. értelmezése, megértése és Gyakoriság, relatív értékelése. gyakoriság.-ismétlése Elızetes becslés összevetése a A valószínőség klasszikus számításokkal. modellje A relatív gyakoriság és a valószínőség közötti szemléletes kapcsolat ismerete. Egyszerő problémák 20
Modellalkotásra nevelés. A leíró statisztika és a valószínőségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. Visszatevéses és visszatevés nélküli (kiegészítı anyag) mintavétel. (9) Rendszerezı összefoglalás Adathalmazok jellemzıi: számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság, klasszikus valószínőségi modell. (3) megoldása a klasszikus valószínőségi modell alapján. Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek. 21