Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005. május 0. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGI VIZSGA Az írásbeli vizsga időtartama: 40 perc JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM
Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. A feladatok mellett található téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. Tartalmi kérések: Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk. Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók. Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. Egy feladatra adott többféle megoldási próbálkozás közül csak egy (a magasabb pontszámú) értékelhető. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. A vizsgafeladatsor II. részében kitűzött 5 feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhető. A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben feltehetőleg megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani. Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 05 / 005. május 0.
. I. a) Az y = 0 egyenest, vagyis az x tengelyt az x + 0 y = 0 egyenes a B ( 0; 0) pontban, az y = x 4 egyenes az A ( 8; 0) pontban metszi. Az x + 0 y = 0 és y = x 4 egyenletekből álló egyenletrendszer megoldása x = 0 ; y =, ezért a háromszög harmadik csúcsa C ( 0; ). Összesen: 7 pont b) Legyen a C-ből húzott magasság talppontja T. A CTB derékszögű háromszögből tg β = 0,. 3 pont β valamely szögfüggvényének meghatározásáért 3 pont. (pl. iránytangensből vagy koszinusztétellel stb.) Így β 5, 7. Ha elvileg hibás a szögfüggvény meghatározása, akkor pusztán a jó visszakeresésért nem jár pont. Összesen: 4 pont írásbeli vizsga 05 3 / 005. május 0.
. a) A B C D igaz hamis igaz igaz 4 pont Összesen: 4 pont b) Összesen 4 = 6 kitöltés lehetséges. Ezek közül csak helyes. Így a valószínűség 0, 065 6 Összesen: 3 pont c) Van olyan szerelem, amelyik ( aki ) nem múlik 3 pont el. Összesen: 3 pont d) Pl. Hány egyenest határoz meg a sík 7 pontja, ha nincs közöttük három egy egyenesre illeszkedő? 3. Ha a számtani sorozat második tagja a és differenciája d, akkor a d + a + a + d = 60, ahonnan 0 = Minden helyes válaszért pont. Bármilyen formában megadott helyes válasz esetén jár az pont. 3 pont Ha a probléma lényege megjelenik a megfogalmazásban, de a szöveg pontatlan, akkor vagy adható. Összesen: 3 pont Az első feltétel két ismeretlennel való felírásáért összesen pont. a. Vagy a + d 0. = A mértani sorozat első három tagja: 84 d ; 0; 0 + d, ezért ( 84 d )( 0 + d ) = 400, Az egyismeretlenes másodfokú 0 0 + d egyenlethez való eljutásért vagy =. összesen 3 pont. 84 d 0 Rendezve az egyenletet d 64d 80 = 0. Az egyenletrendezésért. Innen d = 6 vagy d = 80. Másodfokú egyenlet megoldásáért. d = 6 nem megoldás, mert a számtani sorozat Amennyiben nem zárja ki ezt növekedő. az esetet, és két sorozatot kap megoldásként, ezt az ot veszíti el. d = 80 esetén a számtani sorozat első három A számok helyes felírásáért az tagja: 60; 0; 00, ami valóban megoldás. jár. Az ebből kapott 4; 0; 00 valóban egy mértani A számok helyes felírásáért az sorozat első három tagja. jár. Összesen: 3 pont Ha a számtani és a mértani sorozat fogalmát jól érti, helyesen írja fel, de tovább nem jut, akkor jár. írásbeli vizsga 05 4 / 005. május 0.
4. a) b) 4 pont Összesen: 4 pont Az értékkészlet: [ 3; 5]. Összesen: Akár függvénytranszformációval, akár másként dolgozik, a helyes grafikonra 4 pont jár. Hiányos vagy hibás grafikon esetén arányosan kevesebb pontot kap. Más módon megadott helyes válasz is teljes pontot ér. c) A keletkezett forgástest egy csonkakúp. Rajzban is elfogadható. Az alapkörök sugara: R = 5 ; r = 3. Az alkotó hossza Pitagorasz-tétellel: a = 4 + = 0 = 5. A felszín A = R π + r π + ( R + r) aπ = ( 34 + 6 ) = 5 π + 9π + 6 5π = 5 π 69,78π 9,. Összesen: 8 pont 5. Ha közelítő értéket nem számol, akkor is jár a. II. Az 5. 9. feladatok közül a tanuló által megjelölt feladatot nem kell értékelni. írásbeli vizsga 05 5 / 005. május 0.
a) A fenti Venn diagram mutatja a különböző kategóriákba tartozó éttermek számát. Mivel egy olyan étterem van csak, ahol mindhárom szolgáltatás megtalálható, ezért a három halmaz metszetébe -et írhatunk. * Mivel 5 étteremben van reggeli és felszolgálás is, ezért reggeli és felszolgálás vegetáriánus menü nélkül 5 = 4 helyen van. * Mivel 5 étteremben adnak reggelit, de vegetáriánus menüt nem lehet kapni, ezért csak reggelit helyen lehet kapni. * Mivel -ben lehet reggelit kapni, ezért reggeli és vegetáriánus menü felszolgálás nélkül 4 = 5 helyen van. * Mivel helyen van vegetáriánus menü, és ezek közül 6 helyen van reggeli is, ezért 5 helyen van vegetáriánus menü, de nincs reggeli. * Összesen: 5 pont *A diagramba beírt minden helyes értékért jár, indoklás nélkül is. A megoldáshoz nem kell feltétlenül rajzolni, a teljes pontszám diagram nélkül is elérhető. b) A vegetáriánus helyek száma miatt: y = 5 x, a felszolgálós helyek száma miatt: z = x. Így az összes vendéglők száma + x + 5 x = 8, ahonnan x =, ezért y = 3 (és z = ). Tehát y + = 4 étteremben szolgálnak fel vegetáriánus menüt. Összesen: 6 pont c) Összesen 8 étterem van, ebből -ben lehet reggelizni. Az összes címet tartalmazó A urnából húzva 0, 6 a nyerés valószínűsége. 8 A 8 önkiszolgáló étterem közül 6-ban lehet reggelizni, így a B urnából húzva 6 = 0, 75 a 8 nyerés valószínűsége, ezért a B urnából érdemes húzni. Összesen: 5 pont z értéke nem kell a válaszokhoz. Bármelyik helyes alakért jár a. Bármelyik helyes alakért jár a. írásbeli vizsga 05 6 / 005. május 0.
6. a) Behelyettesítve az x = értéket: f ( ) = ( p 3, 5) 4 4( p ) + 6 = 4 p 4 4 p + 8 + 6 = 0. = Összesen: Ez a akkor is jár, ha a b) résszel kezdi a megoldást a vizsgázó, felteszi, hogy ( p 3,5), megoldja az egyenletet, kihozza, hogy az egyik gyök és megmutatja, hogy ez p = 3, 5 esetén is gyök. b) p = 3,5 esetén nem másodfokú az egyenlet, nincs két gyök, ezért p 3, 5. Az egyenlet gyökei ( p ) ± 4( p ) 4( p 3,5) ( p 3,5) x = =, p + ± p 0 p + 5 = = p 3,5 p + ± ( p 5) = p 3, 5 3 x = és x = p 3,5 3 A > egyenlőtlenséget kell megoldani. p 3,5 p + 0,5 Az egyenlőtlenséget rendezve > 0. p 3,5 nevező számláló A paraméteres másodfokú egyenlet gyökeiért összesen 5 pont. Ha a (p 3,5)-del előjelvizsgálat nélkül szoroz, akkor a továbbiakra nem jár pont. Az egyenlőtlenség teljesül, ha 0,5 < p < 3, 5. Az egyenlőtlenség megoldásáért összesen 8 pont. Összesen: 4 pont Ha csak annyit állapít meg, hogy ( p 3, 5 feltétel mellett) a két különböző gyök létezésének elégséges feltétele az, hogy p 5, akkor ot kap. írásbeli vizsga 05 7 / 005. május 0.
Megjegyzés: Az utolsó gondolati egység grafikus megoldása: Az x ( p) függvény monotonitásának felhasználásával (grafikonon szemléltetve): x ( p) grafikonjáért 4 pont. 6 pont A metszéspont kiszámításáért. (Ha leolvassa a metszéspont abszcisszáját és ellenőrzi, ugyancsak. Ha pontatlanul olvassa le, vagy nem ellenőrzi, akkor csak.) Az egyenlőtlenség teljesül, ha 0,5 < p < 3, 5. A megoldás felírásáért. 7. A gyökök alatt teljes négyzetek állnak: ( sin x ) + ( sinx + ) = ( sinx + 3, 5 ) A teljes négyzetek. felismeréséért. Elvégezve a gyökvonást: Ha a gyökvonás során az sin x + sinx + = sinx + 3,5. abszolútérték-jelet elhagyja és sinx =3,5-ből arra következtet, hogy nincs megoldás, akkor maximum 4 pontot kaphat. Mivel sin x, ezért: sinx + > 0 sinx < 0 x R esetén. 3 pont sinx + 3,5 > 0 Az értékkészletek vizsgálásáért 3 pont. Így az abszolútérték-jelek elhagyásával: Az abszolútérték helyes felbontásáért összesen 5 pont. sin x + + sinx + = sinx + 3,5. sin x =. π Innen x = + kπ, 6 5π Lásd megjegyzés! vagy x = + kπ, 6 ahol k Z. Ellenőrzés: Behelyettesítéssel vagy mindkét gyöksorozat megoldása az egyenletnek. ekvivalenciára való hivatkozással. Összesen: 6 pont írásbeli vizsga 05 8 / 005. május 0.
Megjegyzés: várható típushibák pontozása. x = 30 + k 360 (); x = 50 + k 360 (); k Z () vagy x = 30 ; x = 50 () vagy x = 30 + k π ; x = 50 + k π (); k Z () 8. a) A munkaképes lakosság száma 8500 003, 856 (ezer fő). A munkanélküliek aránya változatlan, ezért 595 számuk 856 597 (ezer fő). 8500 Indoklás nélkül jár. A szolgáltatásban dolgozók száma 505,0 = 55 (ezer fő). A mezőgazdaságban dolgozók száma 856 597 96 55 = 888 (ezer fő). 003. év (ezer fő) 004. év (ezer fő) Mezőgazdaság 00 888 Ipar 870 96 Szolgáltatás 505 55 Munkanélküli 595 597 Összesen 8500 856 Összesen: 7 pont Ha nem kerekít ezresekre, maximum 5 pontot kaphat. Ha hibásan kerekít, kerekítési hibánként ot veszít. írásbeli vizsga 05 9 / 005. május 0.
b) 003-ban a foglalkoztatottak száma 7905 ezer fő. A kördiagramon a mezőgazdaságban dolgozókat szemléltető körcikk középponti szöge az 00 aránynak megfelelően: 360 46. 7905 Az iparban dolgozókat szemléltető körcikk 870 középponti szöge: 360 85. 7905 (A szolgáltatásban dolgozók körcikke 505 360 8 -os.) 7905 A foglalkoztatottak megoszlása ágazatok szerint 003-ban: Ha csak 7905-öt ír, nem kap pontot. Az - a szög értékének megállapításáért jár, a számítás leírása nem követelmény. A % értékek felírása nem követelmény a hoz, de az azonosíthatóság igen. Összesen: 5 pont c) 888 0, 87. 00 A csökkenés körülbelül 3 százalékos. Összesen: 4 pont írásbeli vizsga 05 0 / 005. május 0.
9. Az AB oldalhoz tartozó magasság kiszámításához írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen! T = 54 4 8 = 504. 4 m T =. A kétféle felírás egyenlőségéből m = 4. Legyen a téglalap AB-re illeszkedő oldala x, másik oldala y. Az ABC háromszög hasonló az EFC háromszöghöz, mert párhuzamos helyzetűek. x 4 A hasonlóság miatt: =, 4 y 4 68 4x ahonnan y =. 7 x 0; 4 : A téglalap területe x függvényében, ] [ 68x 4x t( x) = xy =. 7 7 Elegendő a t( x) = 4x x függvény 4 * szélsőérték helyét keresni. Teljes négyzetté alakítva a függvényt: x a ( x ) + 44. * A függvényérték maximális, ha a négyzetes tag * nulla, azaz x =. ] 0; 4[, tehát itt van a maximum. * A téglalap másik oldala y =. Összesen: 6 pont Az értelmezési tartomány jelölése nélkül is. A szélsőérték helyének bármilyen módon való helyes megoldásáért 4 pont. írásbeli vizsga 05 / 005. május 0.
* Megjegyzés: a szélsőérték keresése deriválással: 68 8 t' ( x) = x 7 7 A derivált nulla, ha x =. 8 ( x ) = < 0 t ", 7 tehát x = lokális maximumhely. 0; 4, tehát itt van a maximum. ] [ írásbeli vizsga 05 / 005. május 0.