SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHANIKA - REZGÉSTAN ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK Eméet édése és váaszo eyetem aapépzésben (BS épzésben) észtvevő ménöhaató számáa () Adja me az anya pont defníóját! defníó: Oyan test, ameyne méete ehanyaohatóa a mozás eíása szempontjábó defníó: Oyan test, ameyne mozása (heyzete) eyeten pontjána mozásáva (heyzetéve) eyéteműen meadható () Adja me a meev test defníóját! Oyan test, ameyben bámey ét pont távosáa áandó (a ponto távosáa teheés/eő hatásáa sem vátoz me) (3) Adja me a szád test defníóját! Oyan test, amey aavátozása épes (a szád test pontjana távosáa teheés/eő hatásáa mevátozhat) (4) Adja me a ontnuum defníóját! Oyan szád test, ameyne tömeeoszása és mehana vseedése foytonos füvényee eíható (5) Adja me a úd defníóját! Oyan test, ameyne ey méete ényeesen nayobb, mnt a más ettő (A Statában meev, a Szádsátanban szád udaat vzsátun) (6) Adja me a ezőmozás defníóját! Rezőmozásná a vzsát tömepont/test vaamey eyensúy (nyuam) heyzet özeében feépő, szabáyosan, eentétes ányoban beövetező téésee mozo (7) Adja me a téés defníóját! Az eyensúy (nyuam) heyzettő mét, a t dőtő füő, y = y() t eőjees saás oodnáta) A téés ehet emozduás, vay szöefoduás s (8) Defnája a peodus ezést! A téése meadott T dőszaonént (dőntevaumonént) szabáyosan, peodusan vátozna: yt () = yt ( + T) (9) Defnája a hamonus ezést! Oyan ezés, ameyné a téése y = y() t dőben efoyása sn, vay os füvényee, vay eze ombnáóva íható e P yt () = Asnω t, yt () = Aosω t; yt () = Asn( ω t+ ε ), vay yt () = Aos( ω t+ ε ) (0) Defnája a ezésdőt (peódus dőt) és adja me az SI météeyséét! A ezésdő a téése smétődés deje Jee T, SI météeysée szeundum: [s] () Defnája a fevenát és adja me az SI météeyséét!
A fevena a peodus mozás dőeysé aatt smétődéséne száma Jee ν, SI météeysée = [ Hz] s () Defnája a öfevenát és adja me az SI météeyséét! A öfevena a fevena π -szeese: ω = πν, SI météeysée ad s (3) Adja me az átaános oodnáta defníóját! Az átaános oodnátá azo a saás paamétee (oodnátá), ameye a endsze mozását (heyzetét) eyéteműen mehatáozzá az dő füvényében Az átaános = t oodnáta emozduás, vay szöefoduás s ehet Jee: ( ) (4) Defnája az átaános oodnátasebesséet és átaános oodnátayosuást! Átaános oodnátasebessé az átaános oodnáta dő szent eső devátja: d = () t = dt Átaános oodnátayosuás az átaános oodnáta dő szent másod devátja: d = () t = dt (5) Defnája a szabadsáfoot! Azona az eymástó füeten átaános oodnátána a száma, ameye a endsze mozását (heyzetét) eyéteműen mehatáozzá (6) Adja me az F vsszatéítő eő étemezését és tuajdonsáat! Készítsen mayaázó ábát! A vsszatéítő eő étemezése: F = y, aho a uóáandó (aányossá tényező) Tuajdonsáa: - Az F vsszatéítő eő mnd az eyensúy heyzet feé mutat - A vsszatéítő eő ánya eentétes a téésse - A vsszatéítő eő naysáa aányos a téésse m y F F m uó 0 y () t < 0 y( t) > 0 (7) Defnája a s ezés foamát! - A ezése amptúdója a vzsát szeezet méetehez épest s, - A ezés amptúdója a uó aateszta neás szaaszán beü maad, - A ezés soán feépő szöefoduáso és az emozduáso özött neás apsoat á fenn (8) Defnája az U uópotenát! y U = W = Fy =, aho - W a vsszatéítő eő munája, - F a vsszatéítő eő, - y a téés, - a uóáandó
(9) Hoyan számaztatható az F vsszatéítő eő az U uópotenábó? A vsszatéítő eő a uópotenábó neatív adens épzésse számaztatható: du d y y F = = = dy dy (0) Foamazza me az ey szabadsáfoú endszehez tatozó uamas eemee vonatozó tétet! Az ey anya ponthoz, ey meev testhez apsoódó uamas eeme mnd modeezhető (heyettesíthető) eyeten uóva () Adja me a húzott-nyomott (ontudnás) uó uóáandóját! Készítsen mayaázó ábát! F σ x λ = εx = = F = E AE AE F x () Adja me emezuó uóáandóját! Készítsen mayaázó ábát! y F y x z y b a 3 3 3 ab y = F, aho Iz 3IE = 3IE = z z (3) Adja me savaása énybevett uó (teney, sőteney) tozós uóáandóját! Készítsen mayaázó ábát! y M M x M ψ = ϑ = = a tozós uóáandó: M IG p IG p Kö eesztmetszete: I p γ = I G 4 D π =, öyűű eesztmetszet esetén: 3 p I p 4 4 ( D d ) π = 3 (4) Defnája a foyadéfé típusú sapító eőt és adja me a sapítóeő efontosabb tuajdonsáát! F = vd = y, aho sapítás tényező v d a duattyú eatív sebessée a henehez épest Tuajdonsá: A sapító eő tejesítménye mnd neatív (5 )Hoyan íható fe átaánosan a ejesztő eő / ejesztő nyomaté hamonus ejesztés esetén? F sn( ) = F0 ωt+ ε, vay F os( ) = F0 ωt+ ε, M sn( ) = M0 ωt+ ε, vay M os( ) = M0 ωt+ ε, aho 3
F, M a ejesztő eő/nyomaté amptúdója, 0 0 ω a ejesztés öfevenája, météeysé: [ ad/s ] ε a ejesztés fázsszöe (6) Íja fe a Laane-fée másodfajú mozáseyenetet és adja me az eyenetben szeepő mennysée jeentését! d E E A mozáseyenet: Q dt =, aho t az dő, d a dffeenáás jee, a paás dffeenáás jee, E a neta enea, az átaános oodnáta sebessé, az átaános oodnáta, Q az átaános eő: eysény oodnáta sebesséhez tatozó tejesítmény (7) Adja me az átaános eő számításána módját meev test esetén! n m Q = F β + M b, aho j = j= n az eőendszehez tatozó onentát eő száma, m az eőendszehez tatozó onentát nyomatéo száma, v β = - az F eő támadáspontjána az eysény oodnáta sebesséhez tatozó sebessée, ω b = - a meev testne az eysény oodnáta sebesséhez tatozó szösebessée (8) Adja me a Q átaános vsszatéítő eő mehatáozásána módját! du Q = d =, aho U a uópotená, az átaános oodnáta és a átaános oodnáta váasztáshoz tatozó eduát uóáandó (9) Adja me a Q átaános sapító eő mehatáozásána módját! Q = F β, aho F v a sapító eő, β =, és v a sapító eő támadáspontjána sebessée (30) Adja me a Q átaános ejesztő eő mehatáozásána módját! Q = Fβ + Mb, aho F a ejesztő eő és M a ejesztő nyomaté, v β =, és v a ejesztő eő támadáspontjána sebessée, ω b =, és ω anna a testne a szösebessée, ameye a ejesztő nyomaté hat (3) Ismetesse ezőendszee osztáyozását! Szabad ezőendszee (szabad ezése) Q = 0 a) Szabad, sapítatan ezőendszee 4
(szabad, sapítatan ezése) Q = 0 és Q = 0 b) Szabad, sapított ezőendszee (szabad, sapított ezése) Q = 0 és Q 0 Gejesztett ezőendszee (ejesztett ezése) Q 0 a) Gejesztett, sapítatan ezőendszee (ejesztett, sapítatan ezése) Q 0 és Q = 0 b) Gejesztett, sapított ezőendszee (ejesztett, sapított ezése) Q 0 és Q 0 (3) Íja e az útejesztés étemezését! Útejesztéső ao beszéün, ha a ejesztés nem eőve/nyomatéa tötén, hanem a ezőendsze adott pontját (pontjat) eőít módon, dőben peodusan mozatju, vay a ezőendsze adott meev testét (testet) eőít módon, dőben peodusan foatju (33) Rajzoja e ey szabadsáfoú ezőendsze eduát mehana modejét és smetesse az ábán átható mennysée jeentését! Q = Q () t m = () t m a ezőendsze eduát tömee, a ezőendsze eduát uóáandója, a ezőendsze eduát sapítás tényezője, a ezőendsze mozását eíó átaános oodnáta, Q () t = Q sn( ωt+ ε ) az átaános ejesztő eő 0 (34) Adja me a ompex vátozóa vonatozó mozáseyenetet, vaamnt a ompex vátozó és az átaános oodnáta apsoatát ey szabadsáfoú ezőendsze esetében! mz + z + z= P, aho t z = x+, P = P 0e ω az átaános ompex ejesztő eő és ω a ejesztés öfevenája (35) Adja me ey szabadsáfoú ezőendsze mozáseyeneténe homoén meodását ompex aaban és íja e a meodásban szeepő mennysée jeentését! βt ν t z () t = ( a+ b) e e, aho h a és b a h( t) -e meadott ezdet fetétebő számítható áadó, β = a endsze sapítását jeemző mennysé, m ν = α β a sapított, szabad endsze saját öfevenája és α = a sapítatan, szabad endsze saját öfevenája m (36) Adja me ey szabadsáfoú ezőendsze mozáseyeneténe patuás meodását ompex aaban és íja e a meodásban szeepő mennysée jeentését! 5
P0 ωt zp () t = e, aho ωz P = Q e ε a ejesztő eő ompex amptúdója, 0 0 ω a ejesztés öfevenája, Z = + ωm a ezőendsze ompex eenáása ω (37) Íja fe sapítatan, szabad endsze mozáseyeneténe meodását és ezdet fetéteebő hatáozza me a meodásban szeepő áandóat! λt α t A mozáseyenet átaános meodása: zt ( ) = Ae = ( a+ be ) Az átaános meodásban szeepő áandó mehatáozása: zt () = ( a+ be ) α t α t, zt () = α( a+ be ) = αzt () Kezdet fetétee: t ( = 0) = 0 = y0 = Im [ zt ( = 0) ] = b b= y0, v0 t ( = 0) = 0 = v0 = Im [ zt ( = 0) ] =αa a = α (38) Íja fe sapítatott, szabad endsze mozáseyeneténe meodását és ezdet fetéteebő hatáozza me a meodásban szeepő áandóat ha ν vaós mennysé! Ha ν vaós mennysé, ao ezése aauna : ( β+ ν) t βt νt βt νt zt () = Ae = Ae e = ( a+ b) e e ompex ν szösebessée amptúdó foó eyséveto ( ) t A ompex sebesséveto: zt () ( a b)( β ν) e β + = + + ν Kezdet fetétee: t ( = 0) = 0 = y0 = Im [ zt ( = 0) ] = b b= y0, v0 t ( = 0) = 0 = v0 = Im [ zt ( = 0) ] = bβ + aν a = β 0 ν + ν (39) Adja me a oatmus deementum étemezését, fza tatamát és az étemezésben szeepő mennysée jeentését! β π Étemezés: n n e ν β Λ= == = π, aho ν, ét, eymást övető enayobb téés, β = a endsze sapítását jeemző mennysé, m ν = α β a sapított, szabad endsze saját öfevenája és α = a sapítatan, szabad endsze saját öfevenája m Fza tataom: a ezőendsze sapításáa jeemző mennysé (40) Defnája ejesztett ezőendsze áandósut ezéset, íja fe az áandósut ezésee vonatozó meodást és adja me a benne szeepő mennysée jeentését! 6
Áandósut ezés: a ezőmozásna az a észe, am a szabad ezése esenése (ehaása) után memaad A ejesztett, sapított ezőendsze dffeená eyeneténe átaános meodása: βt νt P0 ωt zt () = zh() t + zp() t = Ae e + e, aho ωz dőben esenő ezés ész áandósut ezés ész P = Q e ε a ejesztő eő ompex amptúdója, 0 0 ω a ejesztés öfevenája, Z = + ωm a ezőendsze ompex eenáása ω (4) Adja me a ezés aauásána fetéteét szabad, sapított ezőendsze esetében! Ha α > β, ao aau ezés Ha α = β, ao apeodus ezés aauhat (eyeten eőjevátás ehetsées) Ha α > β, nem aau ezés (4) Íja fe ey szabadsáfoú ezőendsze ezonana öbeseeéne eyenetét, adja me az összefüésben szeepő mennysée jeentését és vázoja a ezonana öbeseeet! max A ezonana öbe (ezonana füvény): =, aho st β ( ξ ) + 4 ξ α max a maxmás téés, = Q az átaános ejesztő eő Q 0 amptúdójána hatásáa beövetező téés, st 0 ω ξ = új vátozó, α ω - a ejesztés öfevenája, α - a sapítatan, szabad endsze öfevenája, β = a endsze sapítását jeemző mennysé m max st β = 0 β növeedés ω ξ = α (43) Mét veszéyes a ezonana jeensée és hoyan eühető e? A sapítatan ( β = 0) esetben ξ = -né, azaz az ω = α -ná véteen nay emozduáso épne fe a ezőendsze (a szeezet) tönemey! 7
A vaósáos szeezeteben mnd van sebb, vay nayobb météű sapítás, ezét véteen nay téése nem fona feépn Vszont feéphetne oyan nay téése, ameye a endsze tönemeneteéhez vezetne A ezonana jeensé a ezőendsze ehanoásáva eühető e: - Mevátoztatju a ejesztés ω öfevenáját - Mevátoztatju a ezőendsze α = sajátfevenáját m (44) Mt szemétet a vetoába? A vetoába a t=0 dőpanatban az áandósut ezést jeemző ompex mennyséeet szemétet: - a ompex ejesztő eő P0 = Q 0e ε ompex amptúdóját, - a ezőendsze Z = + ωm ω - a z ompex téést, - a z ompex sebesséet és - a z ompex yosuást ompex eenáását, (45) Mt hatáoz me a fázsésés szöe és hoyan ehet számítan? A ompex téés ϕ szöet és a ompex ejesztő eőhöz épest ωm π ω Kszámítása: ϕ = + ψ, aho tψ = (46) Hoyan vátoz az dőben a ompex ejesztő eő, a ompex téés, a ompex sebessé és a ompex yosuás A ompex ejesztő eő, a ompex téés, a ompex sebessé és a ompex yosuás eymáshoz meeven özítve, az óamutató jáásáva eentétesen foo ω szösebessée (47) Hoyan hatáozható me áandósut ezés esetén a maxmás téés és a maxmás sebessé? A maxmás téés: P 0 max = = ω Z A maxmás sebessé: vmax = max =ω max ω Q 0 + ωm ω, (48) Hoyan hatáozható me áandósut ezés esetén a maxmás yosuás, a uóban feépő maxmás eő és a sapításban feépő maxmás eő? A maxmás yosuás: a = =ω max max max 8
max A uóban feépő maxmás eő: F max = A sapításban feépő maxmás eő: Fmax = max = ωmax (49) Adja me a több szabadsáfoú dszét ezőendsze defníóját! A dszét ezőendsze meev testebő, tömepontobó és az ezeet összeapsoó uóbó áó endsze, amey tatamazhat sapító eemeet és ejesztéseet s (50) Íja fe a Laane-fée másodfajú mozáseyenet-endszene azt az aaját, amey több szabadsáfoú ezőendszeee aamazható! d E E A mozáseyenet-endsze: = Q, (=,,, n), aho dt t az dő, d a dffeenáás jee, a paás dffeenáás jee, n a ezőendsze szabadsáfoa, E a endsze neta eneája, az -ed átaános oodnáta sebessé, az -ed átaános oodnáta, Q a átaános oodnátához tatozó átaános eő (5) Adja me a ontudnás ezőendsze defníóját! A ezőendsze tömee ey eyenes mentén hosszányú ezéseet véezne (5) Íja fe mátx aaban ontudnás ezőendszee mozáseyenetét és adja me az eyenetben szeepő mennysée jeentését! M + K= f() t, aho M a endsze tömemátxa, K a endsze uó (meevsé) mátxa, T n [ ] = a endsze mozását eíó át oodnátáat tatamazó oszopmátx, f () t a ejesztéseet tatamazó oszopmátx (53) Hoyan modeezzü teneye hajító ezéset? Modeezés: - a teneye tömeét ehanyaoju a foaseeet tömeéhez épest, - a teneyeet uamas eemént ezejü, - a foaseeeet tömepontoa, vay meev tásáa modeezzü (54) Íja fe mátx aaban teneye szabad hajító ezésene mozáseyenetét és adja me az eyenetben szeepő mennysée jeentését! DM + E= 0, aho 9
D a teney Maxwe-fée hatásmátxa, M a endsze tömemátxa, E az eysé mátx, T n = [ ] a endsze mozását eíó át oodnátáat tatamazó oszopmátx (55) Aaítsa át teneye hajító ezésene mátx mozáseyenetét a ontudnás ezőendszeené apott aaa! Knduás: DM + E= 0 Átaaítás: D DM + D E = 0, M + K= 0 E D K (56) Íja fe n szabadsáfoú dszét ezőendsze aatesztus eyenetét! Me hasznáható a aatesztus eyenet? Kaatesztus eyenet: α = det K M 0 A aatesztus eyenet a ezőendsze α, (=,, n) sajátfevenáa nézve n-ed foú aeba eyenet A aatesztus eyenetbő a ezőendsze sajátfevená hatáozható me (57) Íja fe a Duneey fomuát és adja me a benne szeepő betű jeentését! Myen ezőendszeee évényes a fomua? α mn m, m, m + ( + ) m + + ( + + + ) m 0 0 0 n n n, aho m n az n szabadsáfoú ötött ontudnás ezőendsze tömee, a tömee özött evő uó uóáandó 0,, n n A fomua ötött ontudnás ezőendszeee évényes (58) M számítható a Duneey fomuáva? - A Duneey fomuáva a ötött ontudnás ezőendsze esebb sajátfevenájána özeítő étée hatáozható me - A Duneey fomua a esebb sajátfevenána mnd ey asó özeítését adja me (59) Adja me a ontnuum ezése defníóját! Kontnuum ezés: foytonos tömeeoszású uamas teste ezése (60) Hány sajátfevenája van foytonos tömeeoszású uamas testebő áó ezőendszeene? Kontnuum endszeene so saját öfevenája van 0