Egnlőtln llaflbontáson alapló többszintű nris odllzési láráso Írta: Gáspár Csaba ai az Inforatiai Tdoánágban az MTA dotori í lnrésér pálázi Gőr 7
TARTAOMJEGYZÉK. Egnlőtln flbontású llarndszr QT-háló... 6.. QT-háló gnrálása rglarizálása... 6.. éhán özvtln alalazás... 9.3. Végs diffrnia és végs térfogat ódszr QT-hálóon....4. Többszintű ltigrid ódszr QT-hálóon... 4.5. Alalazáso a nris hidraliában... 5.6. Alalazáso a gors ltipóls ódszrbn... 7. Mlti-lliptis intrpoláió QT-hálóon... 4.. A szórt pontú intrpoláiós probléa... 4.. A radiális bázisfüggvén ódszr... 6.3. Mlti-lliptis intrpoláió... 8.4. ris lti-lliptis intrpoláió QT-háló használatával... 4.5. Vtor-intrpoláiós probléá lti-lliptis goldás... 44 3. Mlti-lliptis intrpoláióra alapozott hálónélüli ódszr... 47 3.. Mlti-lliptis intrpoláió a dális és többszörös riproitásban... 47 3.. Hálónélüli ódszr onstrióa a radiális bázisfüggvén ódszrévl... 5 3.3. Mlti-lliptis intrpoláió és a Kansa-ódszr... 5 3.4. Mlti-lliptis intrpoláió és a partiláris goldáso ódszr... 53 3.5. A hoogén probléa goldási ódszri... 55 3.5.. A apla-gnlt approiálása apla-hlholtz-intrpoláióval... 57 3.5.. Az alapgoldáso ódszr és rglarizálás lti-lliptis intrpoláióval. 68 3.5.3. A pr-ronstrió ódszr... 74 3.6. oális séá gnrálása a radiális bázisfüggvén ódszrévl és úraglobalizálás lti-lliptis intrpoláióval... 77 4. Összfoglalás... 9 5. Irodalogzé... 93
BEVEZETÉS Az lúlt ét évtizd hatalas száításthniai flődést hozott agával: orábban úgszólván lépzlhttln tlsíténű prosszoroal és óriával llátott száítógép szrzhtő b ráadásl gr olsóbban. Flülts szlélő nn alapán azt hihtné hog zzl a száításthniai háttérrl a nris atatia adn indn probléáa szint agától g lln hog oldódé. Azonban z nins íg: az alalazás és a tatás étvága ég lhtőségnél is nagobb értébn is növszi. Ahol pl. a trészts viz ozgásána odllzésor n is olan régn glégdt gdinziós odllzéssl St. Vnant-gnlt ott ign haar flléptt az igén ét- sőt hárodinziós odllzésr sélvízi gnlt tls avir-stos-gnlt. Ahol a PC- glnés lőtt g-g ftási rdénr vag aársa gtln itráiós lépésr! óráat lltt várni ott a trészts az igén hog az rdént ásodpr alatt lhssn gapni. Ahol valaior obb híán analitis özlítést vag vidisztáns ráson dfiniált végs diffrnia ódszrt alalazta ülönfél haniai hővztési áralási stb. probléá goldására ott a ár ign fino végsls szoftvr űödn bár ignsa borsos áron. Mindz itrlt a aga saátos addig n létző probléaörét is. Iln pl. a végsls hálógnrálás vag az adott probléához lgobban illszdő görbvonalú oordinátarndszr onstrióa. Ezn részprobléá san olan nhz olor határozottan nhzbb is! int az rdti hővztési áralási stb. fladatot llőn pontosan goldó ódszr idolgozása. agon llző a pr-intgrálgnlt vag prl ódszr st lt rdtilg épp a nris nhézség nhítésér találta i: a ódszr az líttt száításthniai flődés llnér a is létzi és ltrdtbb int valaha. Uganaor ú probléáat is hozott agával íg pl. bizonos tartoánon vtt intgrálo iszáítását rás- ill. hálóflbontás nélül. Mgállapíthat thát hog a száítási bonolltság söntését ill. lrülését élzó ódszr tatása a is atális sőt talán atálisabb int valaha. A disszrtáió tárgát a pálázó iln iránú adn évr visszanő és lnlg is tartó tatásaina összfoglalása alota. Időrndbn az lső rdén a prl ódszr és a ás trültn nag arrirt bftott ltigrid ódszr összapsolása volt [9] [6]. Ezt övtt g nagon szrnsésn bizonlt "taaréos" diszrtizálási ötlt lről idrült hog n ás int a száítógéps grafiában ár isrt qadtr QT algorits lfogadott agar lnvzés a sins lginább "négztfána" lhtn nvzni. Az algorits által gnrált llarndszr glpőn nivrzális szözn bizonlt. Alalazható pl. loális finoításoal bíró végsls háló lőállítására; nagszáú d szabáltalanl lhlzdő pontból álló pontrndszr térbli sűrűségloszlásána ghatározására z ülönösn a részsszléltű sziláióban lht hasznos; az iln pontrndszrhz tartozó ponto lgözlbbi szoszédaina gors grsésér és íg tovább. A ódszr r azonban igazán aor tatozi ha a llarndszrt száítási hálóént használ és ülönösn aor ha g trészts ódon adódó ltigrid többszintű ódszrb ágazz b. Az íg nrt nris ódszr léngsn vsbb isrtln bvztését íváná g és óval gorsabba is a hagoános végs diffrniás ill. végs ls ódszrnél. E ódszr nagon ól használhatóna bizonlta ülönfél áralási és transzport probléá odllzésér [] [] [3] [5] [8] [9] sőt sél tava opl vízinőségi odllzésér is. Kidrült hog a ódszr roonítható a pr típsú ódszrl íg a pr-intgrálgnlt ódszrrl annibn a pr által gnrált a pr örnéén sűrűsödő QT-llarndszrt használn []. A ódszr ú lhtóségt hozott a szórt pontú intrpoláió lasszis probléáában is aior idrült hog nagon ó intrpoláiós tladonságú függvén onstrálható bizonos agasabbrndű pl. biharonis pariális diffrniálgnlt goldásával - 3
lhz az intrpoláiós fltétlt int spiális diszrét pontobli prfltétlt satol [7]. E gözlítés psztán lélti érdsség volna ha a szóbanforgó agasabbrndű gnltr n lhtn gors goldási ódszrt onstrálni: a QT-llarndszrn alapló ltigrid ódszr viszont épp iln. Enn az intrpoláiós ódszrn aztán a özvtln intrpoláión túlnőn ú alalazási trülti is tatozta. Eg iln trült a pr-intgrálgnlt ódszrn blül adódi léggé trészts ódon aior is bizonos tartoánon vtt intgrálo iszáítását printgrálo iszáításána sorozatára vztü vissza [43-46]. Eg ási trültt pdig g ú ondhatni úraflfdztt és nagon gorsan flődő ódszrsalád a hálónélüli ódszr [48] alotá. A hálónélüliség igén a prl ódszrbn is flléptt és a fntbb lztt ú intrpoláiós ódszr itt is sirrl alalazhatóna bizonlt [47] [49]. Az zrdfordló óta az iln téaörn szntlt onfrniá worshopo gorsan nő és lnlg a hálónélüli ódszr téaör a nris atatia gi lgdinaisabban flődő részén tinthtő. Az értzés háro fztéből az lsőbn összfoglal a QT-háló gnrálását azo lgfontosabb tladonságait. Áttintü a végs térfogati séá QT-hálóon való onstrióát gúttal btatva a fa-strtúrából adódó trészts ltigrid thniát is. Példáat tatn nn a ódszrn lső özvtln alalazásaira főént a nris hidraliában ad ülön szaaszban foglalozn a pr-intgrálgnlt ódszrbn zn blül a gors ltipóls ódszrbn ínálozó alalazási lhtőségl. A ásodi fzt a szórt pontú intrpoláiós probléát és anna agasabbrndű pariális diffrniálgnltr vztő goldását tárgala. Ez tóbbi probléa nris goldására gansa QT-hálóat és ltigrid thniát használn ln révén a tárgalt ódszr lntős lőnöt tat fl a anapság általánosan ltrdtn tinthtő radiális bázisfüggvén-ódszrhz épst: íg pl. nins szüség nagértű tl átriú és soszor nagon rosszl ondíionált gnltrndszr goldására és iln átrio tárolására s. A fzt végén vtor-intrpoláiós probléára való alalazási lhtőségt is tatn. Itt az intrpolált vtorzőr ég globális fltétlt is tszün pl. örvénntsség és/vag divrgniantsség lr a hagoános pl. a radiális bázisfüggvénn alapló intrpoláiós thniá alig alalazható. A haradi lgtrdlsbb fzt pdig a pálázó azon lnlg is foló tatásaina rdénit tata b lbn az lőző fztbn btatott lti-lliptis intrpoláió thniáát hálónélüli ódszr onstrióára használ. Időrndbn az lső iln rdén az volt aior a lti-lliptis intrpoláiót a pr-intgrálgnlt ódszr dális riproitási ódszrér alalazt. E gözlítés léng hog bizonos tartoánon vtt intgrálo iszáítását printgrálo iszáítására vzti vissza íg agána a pr-intgrálgnlt ódszrn az alalazhatóságát itrszti inhoogén és/vag nlináris gnltr is. A dális riproitási ódszr alapgondolata n ás int g szórt pontú intrpoláió al nnélfogva n igénli a tartoán végsls diszrtizálását psztán intrpoláiós alapponto lhlzését íg n glpő hog az lőző fzt intrpoláiós ódszr itt is alalazható éghozzá figlréltó száításigén-sönés lltt. A további szaaszoban a hagoánosabb radiális bázisfüggvénn alapló hálónélüli ódszr hltt lti-lliptis intrpoláión alapló hálónélüli ódszrt onstráln és analizáln. Külön glítü a apla- Hlholtz-intrpoláióra alapozott goldási ódszrt int a apla-gnlt és általánosabb lliptis d hoogén gnlt g ülönösn hatéon hálónélüli goldási ódszrét továbbá a rglarizált alapgoldás-ódszrt a pr-ronstrió ódszrét: úra hangsúlozz hog az értzésbn btatott thniá lrüli a nagértű tlsn itöltött és rosszl ondíionált átrioal áró nris probléáat l a hagoánosabb radiális bázisfüggvénn alapló ódszr ool gaorlati hátrána. 4
A fztt és az gész értzést a loális és úraglobalizált hálónélüli séá algoritsaina btatása zára. A loális séá léngébn általánosított végs diffrnia ódszrn tinthtő a séá onstrióa azonban n a hagoános Talor-sorftésn han gansa a radiális bázisfüggvén-ódszrn alapl azt loálisan alalazva indn diszrtizálási pontban sa anna bizonos szoszédait használva. A ltilliptis intrpoláió itt is sirrl alalazható: íg nrü az úraglobalizált séáat l űvltigén indazonáltal érsélt arad. A ódszrt példaént a Stosgnltrndszr hálónélüli goldására is alalazz. Az értzésbn btatott ú ódszr özös alapgondolatát a lti-lliptis intrpoláió lnti. Err alapozva zn ódszr lhtővé tszi a szoásos lliptis ásodrndű pariális diffrniálgnlt visszavztését agasabbrndű pariális diffrniálgnlt goldására l ganaor az rdti probléa tartoánától és anna prétől tlsn függtln íg a QT-hálós ltigrid thniával hatéonan goldható. Rövidn szólva thát g prérté fladat goldása során a száítási na zöét n annira a diffrniálgnlt goldása han a pr gfllő lírása lnti hagoánosan: hálógnrálás és épp z az ain lrülését ill. iniálisra rdálását a btatott ódszr lhtővé tszi. Végztül a pálázó szrtné öszöntét ifzni az Országos Tdoános Ktatási Alapprograo OTKA szrvztén az ddigi tatáso részbni finanszírozásáért az alábbi tatási téá rtébn: T45 99-94 T7373 995-97 T4787 4-6. 5
. Egnlőtln flbontású llarndszr QT-háló.. QT-háló gnrálása rglarizálása Ebb a szaaszban összfoglal az gnlőtln flbontású llarndszr lőállítására szolgáló qadtr QT- algorits léngét. Az algorits g általában nvidisztáns n-nifor d drészögű llaflbontást rdénz. A llastrtúra ialaítása tlsn atoatis az algorits vzérlés általában g végs ponthalazzal történi. E szaasz rdéni avarészt lég régóta isrt bár lsősorban n a nris atatiában [3] [6] [7] [77]. Mégis fontosna látt összfoglalni a fő rdént rt a QT-llarndszrr alapozott többszintű thniá rndívüli robsztsságna öszönhtőn alapvtő szrpt átszana az értzésbn btatott nris ódszr onstrálásában. A qadtr/ottr algorits: Jlölön Ω R g iindlási négztt és lgn S : {... } Ω g végs ponthalaz ln lit vzérlő pontona nvzzü. gn in a adott nngatív gész. A qadtr QT algorits az alábbi rrzív ódon dfiniált flbontási lárás a szléltsség dvéért g szibolis Pasal-szrű prograozási nlvn lírva: prodr bild Ω S ; bgin if < a and S in thn bgin...bonts fl Ω-t az Ω Ω Ω3 Ω4 gbvágó rész-négztr... bild Ω S Ω ; bild Ω S Ω ; bild Ω3 S Ω3 ; bild Ω4 S Ω4 ; nd; nd; ahol S löli az S halaz pontaina száát. Az Ω négztt thát nég gbvágó részr bont ha lgalább in vzérlő pontot tartalaz és ganaor az paraétr az atális flbontási szint ég n ért l a aiális a szintt. Ez tán a iindlási Ω négzt QT-flbontása QT-llarndszr QT-háló a bild Ω S ; láráshívással történi. A flbontás során ltző négztt llána nvzzü. Az algorits g olan gásba ágazott llarndszrt szolgáltat ln lgfinoabb llái lt ár n osztn fl tovább általában ülönböző értű. A llarndszr thát n nifor és n vidisztáns ganaor a vzérlő ponto örnztébn bsűrűsödi lt loális finoításoént intrprtáln. Evidisztáns llarndszrt az in : választással nrün S -tól függtlnül. 6
a Az algorits száításigén glpőn vés O értél bsülhtő. Tipis hog a C log valailn -től függtln C onstanssal: or a űvltigén O log. A llarndszr trészts ódon rprzntálható g fa-strtúráú gráffal ln li az gs llá. A göérln az Ω négzt fll g az él pdig a flbontásoat rprzntálá. Az algorits nilvánvalóan általánosítható ás végs dinziós trr. Egdinziós gfllő a bin-tr algorits szisztatis szaaszflzés l gidűlg g gors rndzési algoritst is ad a vzérlő ponthalaz lir. A hárodinziós térbn nn gfllő az ottr algorits: itt g oa nolflé darabolásáról van szó. ilvánvaló az is hog a flbontási ritério glhtősn szabadon változtatható. Íg pl. lhtségs loális finoításoat gnrálni azoon a hln ahol g adott függvén adott értét ghalad. Ha z a függvén valailn probléa özlítő goldását llző hiballgű függvén aor adaptív finoításohoz tn. Az s ötlző hog négztt daraboln: az lárás önnn itrszthtő pl. onv négszögr vag aár hároszögr is [89] bár or anna ldöntés hog g adott vzérlő pont li llába si általában naigénsbb int a négzt alaú llá stébn. QT-háló rglarizálása. Eg QT-llarndszrt rglárisna nvzün ha bárl ét szoszédos lla értén arána lgflbb. Ez azt lnti hog a llaértbn ninsn nag gráso. Mindn QT-llarndszr rglarizálható pótlólagos llaflbontásoal és a rglarizálás űvltigén ég indig sa O log. A rglarizálás lntőség a QT-hálóon történő végs diffrnia ill. végs térfogat séá dfiniálásaor van: rgláris QT-háló stén i. a ülönböző llaonfigráió száa iniálisra sön ai a séá dfiniálását lntősn gönníti. Az.. ábrán g nrgláris QT-háló és anna rglarizálása látható lt 5 db az gségnégztbn szabáltalanl lszórt pont gnrál: ól gfiglhtő a vzérlő ponto örnéén ltztt loális finoításo... ábra. rgláris és rglarizált QT-llarndszr Az.. ábra olan rgláris QT-hálóat tat lt g örvonal pontai gnrálna. Itt thát atoatisan olan háló alal i l g tartoán ln stbn g ör pr- 7
ér sűrűsödi ai so stbn nagon hasznos pl. a tartoánon itűzött apla-gnlt goldásaor. ilvánvaló hog a llá száa általában sa tördé a lgfinoabb llá értévl int rástávolsággal gző vidisztáns rás ráspontai száána. Ez a llarndszr "taaréosságát" lzi...ábra. Körvonal által gnrált nrgláris és rglarizált QT-llarndszr Szoszédrsés QT-hálóban. A QT-háló használatához indn lla stébn szüség lsz a szoszédos llára is. Szbn az nifor gns- vag görbvonalú rásoal a szoszédság gállapítása QT-háló stébn n triviális. Ezn sgít a ár líttt gráfrprzntáió. Standard fa-báró algoritsoat használva a szoszédos llá ár gszrűn és vés űvlttl ghatározható. vzzü g lla grin a llaflbontás során apott nég llát. vzzü a flső ttőt az. és. száút észai fvésűn a obb oldali ttőt a. és 4. száút lti fvésűn és íg tovább.3. ábra. 3 4.3. ábra. Gr-llá száozása a szoszédrséshz A övtző algorits g rgláris QT-llarndszr g adott lvél-lláána l ár ninsn tovább-bontva az észai szoszédát szoszédait szolgáltata:.lépés: Haladn a gráfon flflé az ősö iránába indaddig aíg a lla atális ős déli fvésű lsz a saát szülő-lláában. Ha iln ős nins aor a lla a négzt észai prér illszdi íg nins észai szoszéda..lépés: Vgü az.lépésbn apott ős-lla özvtln észai szoszédát: z tstvér-lla lévén azonnal adódi. 8
3.lépés: Haladn vissza a gráfon ganúg ahog az. lépésbn flflé haladtn a ltngati iránítást gtartva d indig a déli fvésű gr-llát vév. A iindlási lla flbontási szintévl azonos szintn íg ltn a iindlási llával azonos értű llához l anna özvtln észai szoszéda. Ha ddig a szintig n tdn visszanni aor a rglaritás övtztébn az ggl alasonabb szintig biztosan lthatn és or z lsz a iindlási lla gtln észai szoszéda. 4.lépés: Ha a 3.lépésbn apott azonos értű észai szoszéd grtln aor z az gtln észai szoszéd. Ellnző stbn lla 3. és 4. száú azaz déli fvésű gri a iindlási lla ét észai szoszéda: a rglaritás értlébn pdig nins is több rt z a llá ár szüségéppn grtln. Mgtatható hog az összs lla összs szoszéda grsésén űvltigén ég indig sa O log thát n több int a gnrálás és a rglarizálás űvltigén. A szoszédos llá grsésén algoritsa gszrűn általánosítható g rndztln síbli térbli ponthalaz stér az gs ponto lgözlbbi szoszédaina grsésér. A "naiv" goldás az összs pontpár távolságána összhasonlítása nilván O űvltt igénl ai nag stén a QT-hálós algorits űvltigénénél soal nagobb... éhán özvtln alalazás A qadtr/ottr algorits a optrs grafiából szárazi [7]; bizonos adatbázisoban is élszrű a QT-adatstrtúra használata [84]. Az algorits önagában is alalazható a nris odllzésbn. E szaaszban ét özvtln alalazást tatn: g haradi a ltipóls ódszrrl összfüggésbn ülön szaaszban rül btatásra. Végsls háló atoatis gnrálása. ilvánvaló hog indn rgláris QT-llarndszr a llá alalas flvágásával trianglarizálható: hhz lég a llaözéppontoat a llasúspontoal és annibn isbb értű szoszédo is vanna a gfllő llaoldala flzőpontaival összötni.4. ábra:.4. ábra. Körvonal által gnrált rgláris QT-llarndszr trianglarizálása 9
Mggzzü hog az il ódon ltző hároszög indgi gnlő szárú drészögű hároszög azaz isi π/4 nél isbb szög shol s ltzn: isrts hog z a nrt hároszöghálón dfiniált végs l ódszr stabilitása szpontából fontos tladonság. Eg ási özvtln alalazás a részsszléltű sziláióban fontos pontsűrűség-bslés. Tgü fl hog az... R pozíióban g-g azonos tögű részsét hlztün l ahol nag szá: százzrs vag illiós nagságrndű is lht és a probléa zn részsé ghatározta onntráióző inél pontosabb lőállítása. Enn szoásos óda az hog valailn lőzts inforáióra táaszodva gadn g llaértt és iln értű llarndszrrl lfdü a szóban forgó tartoánt: az gs llában összszáolva az ott-tartózodó részsét z száa gada a llára llző onntráióértét onstans szorzó réig. A fő érdés a llaért alalas dfiniálása. Ha a llaért túl nag aor a onntráió-loszlás térbli flbontása lsz rossz; ha az túl isi aor a bslés hibáa lsz nag. Egfata optiális oproisszot lnt az ha térbn változó llaértt alalazn éspdig olat hog indn llában b. azonos száú részs si: pontosan iln llarndszrt gnrál a QT-algorits ha vzérlő ponthalaz ganánt a részspozíió halazát választ [9]. Ezt illsztrála az.5. ábra ahol g gnlőtln sűrűségű részsloszlás és az általa gnrált QT-háló látható: az ábra ól szléltti hog a háló térbli flbontása övti a loális pontsűrűségt..5. ábra. -gnlts sűrűségloszlású ponthalaz és az általa gnrált QT-háló.3. Végs diffrnia és végs térfogat ódszr QT-hálóon Ebbn a szaaszban flvázol a QT-hálóna száítási rásént hálóént való használatát. Az ötlt a pálázó nvéhz fűződi az lső iln llgű pbliáió 9-s év léig núlna vissza [7] [8] [3] [3] [33] [35] [36] [37] [38] [39] [7]. Az íg apott ódszr özvtlnül használható lliptis prértéfladato goldására és özvtv az idő szrint végrhatott diszrtizálással és az oprátor splitting lv alalazásával transzportfolaato agrang-i ozgó oordinátarndszrs odllzésér is. A rgláris QT-háló szrzt n léngsn bonolltabb a hagoános nifor vidisztáns rásoénál d léngsn gszrűbb g szabáltalan n strtrált soszöghálóénál. Várható thát hog a szoásos diffrniáloprátoro diszrtizálása n lsz soal bonolltabb int az vidisztáns ráso stbn. Ez valóban íg is van. Csa a apla-oprátor diszrtizálására onntráln az lsőrndű driválta st nnél gsz-
rűbb és léggé éznfvő. Többfél diszrtizálási stratégia özött válogathatn a övtzőbn zből tatn b néhánat. Clla-súsponti séá. Eor g ttszőlgs : Ω R függvént a llá súspontaiban flvtt értéin sorozatával diszrtizáln. gn C g ntrálisna tinttt llasúspont al n illszdi Ω prér. Kihasználva a QT-háló rglaritását indössz ét léngsn ülönböző stt ll gülönbözttni.6. ábra: E W C W C C E E S S SE S S a b.6. ábra. Cllaonfigráió lla-súsponti séá stén a C-r nég lla illszdi: or és ülön-ülön is diszrtizálható özönségs n fltétln ntrális séáal íg -ra 5-pontos séa írható fl: C : W S h E 4 C b C-r háro lla illszdi: or diszrtizálása az alábbi séával történi h löli a isbbi lla oldalhosszát: : C W S E 4C 3 h ahol E : W 4 SW S Standard Talor-sorftéss thniával gtatható hog séá a apla-oprátort lgalább lsőrndbn approiálá [43]. Cllaözpű séá. Ez a fata diszrtizáió soal obban illszdi a QT-adatstrtúrához ivl az : Ω R függvént ost a llaözéppontoban flvtt értéivl diszrtizál íg indn llához pontosan g diszrét függvénérté tartozi. A séá onstrióa történht pl. a Talor-sorftés alapán: or a rglaritást ihasználva sa orlátos száú ülönböző llaonfigráiót ll figlb vnni bár z száa ég indig énltlnül nag [37] [43]. Két llző stt iragadva:
Az lső stbn:.7. ábra. Két tipis llaonfigráió llaözépponti séá stén : C 4 W S 6 h E 6 SE 96 C A ásodiban pdig: 8 : C 8 W 6 S h 6 SE 8 E 66 C Mindét séa lsőrndbn approiála a apla-oprátort ai standard Talor-sorftési thniával nhézség nélül igazolható. Soal gszrűbb az intgrált séá bo-séá végs térfogati séá lhz úg thatn hog a ifzést intgrál a C ntrális llán és alalazz a Grnforlát: C dω C dγ úghog sa a C llaoldalaon rsztüli flsoat ll n approiálni. A rglaritás övtztébn indgi oldali fls száításaor indössz háro ülönböző llaonfigráióra ll tintttl lnni zből is sa ttő ülönbözi léngsn lt a lti llaoldalra nézv a.8. ábrán vázoltn: E C E C E SE C E a b.8. ábra. Cllaonfigráió llaözépponti intgrált séá stén Az gs stbn a flso approiáióa az alábbi forláal történi C lnti a C lla oldalhosszúságát: a dγ ~ n Γ E C C C E C
b E SE C d 4 Γ ~ C E SE C Γ n 3 3 3 3 C 4 C E d Γ ~ C E C Γ n 3 3 3 3 C Uganz a séá alalasa lsőrndű driválta diszrtizálására is. A Brabl-Hilbrtla [7] alapán gtatható hog az íg nrt séá lgalább lsőrndű a H - nora szrint. Még gszrűbb a flso alábbi özlítés l ár sa ntrális séáat tartalaz. Az.8. ábrán lölt háro st özül az lső ttőbn lgn ost is: a haradiban pdig: dγ n Γ E C dγ C E C n ~ Γ C ~ E P C C E P C E ahol PC löli a C lla szülőét al a rglaritás iatt biztosan azonos értű E-vl: az PC értét pdig a gr-llához tartozó érté szátani özp dfiniála. Ez a diszrtizálási thnia ülönösn ól illszdi a QT-hálóon dfiniált többszintű ltigrid ódszrhz és szintén lgalább lsőrndű. Hasonló ódon onstrálható az ltolt hálós staggrd grid séá l ülönösn áralási probléá stén népszrű. Itt bizonos fiziai paraétrt llzőn: sbsség- és falagos hoza-oponnst a lla oldalaihoz azo özéppontaihoz íg a többit noás vízélség a llá özéppontaihoz satol [43]. A fnti séá n a lgpontosabba d talán a lggszrűbb. QT-hálós örnztbn lvilg n lhttln agasabbrndű séáat onstrálni d aor épp az gszrűségt vszítü l rt a ülönböző llaonfigráió száa gorsan nő ha a özvtln oldalszoszédoon ívül ás lláat is bvonn a séába. Mindgi séa özös llző hog bár a szó szoros értlébn tartoán típsú ódszrt dfiniál léngsn vsbb isrtlnt vzt b int a lasszis végs diffrnia vag végs l ódszr továbbá a fladat gotriáából is soal vsbb inforáiót használ. Elrülhtő thát a nris hálógnrálás nhéz probléáa nn hléb a óval gszrűbb QT-algorits lép. Mitán pdig z a vzérlő pontoon ívül sifél a priori inforáiót n íván a QT-hálóon értlztt diszrtizáiós ódszr gfata "ft dobozna" tinthtő lhz gdül a vzérlő pontoat ll inpt adatént gadni. Iln értlbn a QT-háló rásnélüli ódszrn tinthtő. Ω 3
.4. Többszintű ltigrid ódszr QT-hálóon A hatéon nris odllzéshz g égol pontos diszrtizáió önagában ég vés zt g robszts goldási algoritssal ll összötni. Elliptis pariális diffrniálgnlt stér az gi lggorsabb algorits az 96-as év lén flbant és 976-ban úra flfdztt ódszr a ltigrid ódszr [] [69]. Itt a goldandó probléát gszrr több diszrtizáiós szintn az ltrdt trinológia szrint: drva és fino hálóon is zlü. A drvább hálóon nrt özlítést lhtségs a fino hálóon vtt goldáso avítására ol ódon flhasználni hog az lárás tls űvltigén a bvzttt isrtln száána spán lső hatvánával nő. A ltigrid ódszr onstrálásához llzőn az alábbi lépés szüségs: Ha az rdti probléa A b alaú g X Banah-térbn ahol A : X X adott lináris oprátor b X adott vtor aor: végs dinziós tr gásba ágazott... M sorozatána dfiniálása zbn történn a ülönböző szintű diszrtizáió ahol X a lgfinoabb lgdrvább háló; az gs szint özötti összötttést létsítő P : X X lszűítési oprátor rstriió Q : X X itrsztési oprátor prolongáió onstrálása; az rdti probléána indn szintn g az rdtivl onzisztns A b alaú diszrtizálása; X X X X M a végül indn szintn g a diszrét probléával onzisztns siító lárás azaz g ~ : B f alaú avító forla onstrálása al pl. g onvrgns itráiós lárás is lht indazonáltal a éla spán a hiba bizonos Forir-oponnsin söntés. A lggszrűbb égis glpőn ól űödő ltigrid ódszr a aszád-ódszr. Ebbn lőször a lgdrvább hálón old g a probléát nn űvltigén sél rt X M alason dinziós ad a -adi szintn alalazz a siító lárást: n n : B f égpdig tipisan sa néhánszor úghog lépés is vés száú űvlttl lvégzhtő. A siító itráió zdőértéét az lőző szintről vsszü: n : Q a Elérv a lgfinoabb szintr g ár rndszrint ign ó özlítést nrün l tovább avítható ifinoltabb ltigrid thniáal ltigrid ils Fll Mltigrid Algorith [] vag aár prondíionrént is használható valailn pl. ongált gradins típsú itráióhoz. A ltigrid thnia fnti foráa léggé régóta isrt. Ktatásainban az igazi áttörést az lnttt aior zt a ódszrt QT-hálóon alalazt [6] [7] [8] [3] [33]. Ez a QT-háló spiális gráf-szrztét ihasználva glhtősn trészts ódon lvégzhtő. A -adi diszrtizálási szint gszrűn a QT-fa -adi szintn való lvágásával adódi azaz indazon llá alotá l flbontási szint vag pontosan vag -nál isbb d grtln. Az gs szintn a diszrét probléá az lőző szaaszban lírt 4
ódon dfiniálható a Poisson-gnlt stér a siító lárás a özönségs Sidlitráió vag allrlaálás lht. A lszűítés és a itrsztés oprátorai gszrű átlagolással ill. súlozással onstrálható. Ha a C lla grit az gszrűség dvéért C... C 4 löli aor a lszűítés: C : C 4 C C 3 C. 4 A itrsztés lggszrűbb stbn a onstans itrsztés: : : : : d nnél siább itrsztés is onstrálható.9. ábra: C C C 3 C 4 C.9. ábra. Jlölés a itrsztési oprátor onstrálásához W E C W : 4 C E : 4 SW SE C S W : 4 C S E : 4.5. Alalazáso a nris hidraliában A QT-háló és a ltigrid ódszr összapsolása bizonos lliptis pariális diffrniálgnltr olan robszts ódszrt rdénztt l a lgváltozatosabb stbn is alalazhatóna bizonlt gb özt agrang-i szléltű odllzésbn is ol ódon hog indn gs időlépésbn ú QT-hálót gnráln a ozgó pontora alapozva. A lgözvtlnbb alalazás a Poisson-gnlt goldása: f aln özvtln fiziai lntés is van potniálos áralás staionáris Dar-fél szivárgás staionáris hővztés stb. odllzés ganaor g sor nstaionáris fladatban is fllép az gs időszintn goldandó részprobléaént. 5
A staionáris szivárgási fladatonál aradva ha a szivárgási özg inhoogén d izotróp aor a lnségt az általánosabb div grad f lliptis gnlt íra l ahol : R R adott pozitív értéű függvén. Err az lőző szaaszban tárgalt QT-hálós diszrtizáió sél ódosítással adódi. Iln llgű probléára vzt a sél tavaban ialaló széllttt áraláso vizsgálata is. Ezt a lnségt a div A W W grad ψ B rot h h gnlt íra l ahol ψ az áralás árafüggvén A a fné- B a szélsúrlódást líró tag h a vízélség W pdig a szélsbsség vtora. Mggzzü hog a fnti probléa önnn ibővíthtő opl vízinőségi odllé. Csél száításigén iatt a QT-hálós diszrtizáió gfllőn bizonlt évs nagságrndű folaato lfogadható idő alatt való szilálására. A QT-háló rgalas flhasználhatósága lhtővé ttt agrang-i ozgó oordinátarndszrs odllzést is. Enn lggszrűbb st a v grad D t onviós-diffúziós gnlt agrang-i goldása l lhtővé tszi a onvtív driválta diszrtizálásána és záltal a nris diffúzió lnségén lrülését. Csréb zért indn gs időlépésbn g diffúziós llgű probléát ll goldani. A probléa g ign gazdaságos goldását a ozgó agrang-i ponto által gnrált QT-hálós diszrtizálás ill. ltigrid ódszr ada. Itt aránsan ihasználható a QT-háló gnrálásána sél űvltigén rt indn gs időlépésbn ú QT-hálót ll gnrálni a ozgó ponto atális hlztir alapozva. Szintén agrang-i alalazás a étdinziós avir-stos-gnlt goldása aior az gnltt örvénfüggvén-árafüggvén alaban ír fl: ω v grad ω ν ω t ψ ω és az ω örvénsségt végs so g-g pontra onntrált loszlással ún. örvénrészsé güttsévl özlítü. Itt ω az örvénfüggvént ψ az árafüggvént löli ν pdig a inatiai viszozitást. Az árafüggvénr vonatozó Poisson-gnltt az örvénrészsé által gnrált QT-hálón oldott g indn gs időlépésbn. A ódszr hidrodinaiai instabilitáso örvénlválás -flsavarodás Klvin-Hlholtz-instabilitás odllzésér is alalasna bizonlt. Mggzés: Az szaaszban lírt rdén QT-hálóon diffrniaséá és ltigrid ódszr onstrióa ind a pálázó rdéni; száos alalazást is a pálázó és natársai dolgozta i. Mindz az alábbi pbliáióban ltt özzétév: 6
a diffrniaséá és ltigrid thniá onstrióával apsolatos rdén: [33]; alalazáso a D avir-stos-gnltr: [8] [3]; alalazáso tavi odllzésbn: [35] [43]; géb alalazáso prl ódszr iváltása ill. transzportfolaato agarang-i odllzés: [6] [7]. A séá approiáiós tladonságait részltsn [34]-ban vizsgált. Magar nlvn a Hidrológiai Közlön hasábain 994-95-bn g ésőbb Vitális Sándor ívódíal lisrt négrészs isorozatot lntttün g lbn áralási probléára onntrálva részltztü a ost vázolt thnia léngét és addigi alalazásait [36] [37] [38] [39]. Hasonló téaöröl foglalozna a pálázó [4] [46] tatási lntési is. A pálázó líttt pbliáióin alaplna a vízozgással és transzportfolaatoal foglalozó [6] [65] [66] [8] [9] i is..6. Alalazáso a gors ltipóls ódszrbn So probléában ülönösn a D pontforráso által lttt potniálo iértélés apsán fllép az alábbi probléa. Tgü fl hog az alábbi típsú összgt ll iszáítani: Φ z : α Φ z....6. ahol α α... α C adott güttható z z... z ost opl száona tinttt adott étdinziós vtoro Φ - pdig valailn z örüli örön ívül onvrgns ltipóls sorba fthtő függvén: a Φ : log r z a z z.6. r r z z ilvánvaló hog.6. "naiv" dfiníió szrinti iértéléséhz O űvlt szüségs ivl indn gs Φ függvénérté iszáításána űvltigén g -től függtln onstanssal bsülhtő tintv hog a gaorlatban.6. iértélésor az összgzést trésztsn sa g lőr adott p indig végzzü l. Flhasználva azonban a ltipóls sorora vonatozó ltolási tétlt [83] l szrint ltipóls soroat ás özéppont örüli ltipóls soroá lht vés száítás árán transzforálni a űvltigén léngsn sönthtő. A stratégia az hog indn indr a z -hoz özli ponto adaléát az.6. összgbn özvtlnül száít íg a távoli ponto stén több pont adaléát gszrr száít i úg hog a gfllő ltipóls soroat özös özéppontba transzforálva gsítü azoat. A özli-távoli osztálbasoroláshoz pdig pontosan az.. szaaszban lírt QT-llarndszr használható. Mgtatható hog il ódon a 4.8 iértélés össz-űvltigén O -ről O log -r sön. A fnti iértélési ódszrt rdtilg pontforráso lttt potniálo gors iértélésér használtá [] [4] [67] ésőbb a.. szaaszban lírt radiális bázisfüggvén ód- 7
szrrl obinálva a szórt pontú intrpoláió probléaörébn alalaztá sirrl [3]. A pálázó a ódszrt a pr-intgrálgnlt ódszrbn fllépő pr-intgráloprátoro gors iértélésér trszttt i l obinálva a pr-intgrálgnltr szintén a pálázó által iflszttt ltigrid ódszrrl ülönösn robszts ódszrt rdénztt. A övtzőbn nn léngét tintü át. A pr-intgrálgnlt prl ódszr. Ez a ódszr óllht a hozzá szüségs atatiai szözö ár régóta isrts az lúlt ngdszázadban ftott b látvános arrirt ld. pl. [9]. Fő gondolata hog a goldandó valailn tartoánon itűzött pariális diffrniálgnltt visszavztü g olan intgrálgnltr l a tartoán prén van itűzv. Ezáltal grészt soal vsbb isrtlnt vztün b int a tartoán típsú ódszr stébn ásrészt larad a tartoán rásal vag hálóval való diszrtizálása: nn hléb a pr diszrtizálásána óval gszrűbb probléáa lép. A ódszr a haradi Grn-forlán alapszi l szrint indn lég sia U függvén g szintén lég sia Ω tartoán blsébn flvtt értéi ét pr- és g tartoánon vtt intgrállal fzhtő i. Kétdinziós tartoán stébn: U z π n log π z Ω Γ log dγ z f dω log v dγ π z Γ.6.3 U ahol Γ : Ω : U Γ v : Γ és f :. n A obb oldal lső intgrála g lasszis ttősrétg potniál a ásodi g gszrű rétg potniál a haradi g logaritis wton-potniál. Mindháro intgrál agfüggvén a apla-oprátor alapgoldásából szárazi. Tintsü a f Poisson-gnltt lt valailn szoásos prfltétlll látn l. A pr-intgrálgnlt vag prl ódszr alapgondolata hog z-vl valailn Γ prponthoz tartva vizsgál.6.3 ét oldalána liszét. A bal oldal nilván -hz tart a obb oldalon a gfllő potniálo foltonosságára ill. grására vonatozó lasszis tétlt alalazz. Innn ap a Poisson-gnlt pr-intgrálgnltét: α K Rv f.6.4 ahol α löli a Γ pr -bli blső törésszögét K R pdig a ttős- gszrű- ill. logaritis potniált: n K : dγ Γ Rv : log v dγ.6.5 Γ f : log f dω Ω 8
és Γ ttszőlgs prpont. Az.6.4 gnltbn az isrtln függvén sa az v prfüggvén..6.4-hz satolva a Poisson-gnltr ttt prfltétlt az íg nrt rndszrből valailn szoásos diszrtizáió tán v özlítőn ghatározható. Ha v indttn isrt ár a tls Γ prn az U goldás Ω blsébn flvtt értéit további gnltgoldás nélül a.6.3 Grn-forla özvtln iplntálásával aphat. Ha az.6.3 gnlőségbn n az oldala értéin han norális iránú driváltaina liszét száít i a Γ prn aor g.6.4-hz hasonló szrztű gnltt nrün drivált pr-intgrálgnlt: * π v K v Qv f.6.6 * ahol K a K oprátor adngálta Q g hiprszingláris oprátor a ttősrétg potniál norális iránú driválta pdig a wton-potniál norális iránú driválta. Ha a Γ pr lég sia aor a fllépő pr-intgráloprátoro foltonossági tladonságai ól / * / / llzhtő: K H Γ K H Γ R H Γ H Γ végül / / Q H Γ H Γ. A ódszr léngét tintv változatlan gondolatnttl hárodinziós és általánosabb pariális diffrniálgnltr is itrszthtő ha pliit ódon isrt a szóban forgó gnlt g alapgoldása. Ez a hlzt ásodrndű állandó gütthatós pariális diffrniálgnlt stébn. Időfüggő probléára szintén alalazható a ódszr az idő szrinti szoásos diszrtizálást alalazva sőt lhtségs időfüggő alapgoldáso használata is. z a hlzt viszont változó gütthatós és/vag nlináris probléá stén. Ilnor a fladatot valailn algorits szrint állandó gütthatós gnlt sorozatára szoás visszavztni. ris probléá. Aior a prl ódszr használható aor általában óval gazdaságosabb a hagoános végs diffrnia ill. végs l ódszrnél. Modllfladatént tintsü pl. az gségnégztn itűzött apla-gnltt Dirihlt-prfltétlll. Evidisztáns -s rásal diszrtizálva és végs diffrnia ódszrt alalazva a bvzttt isrtln száa O a diszrét gnlt átria -s szitris rita átri. Mgoldásához gszrű Gass-liináiót 6 használva a szüségs űvltszá O. Kongált gradins ódszrt alalazva prondíionálás nélül a űvltigén O -r sön l prondíionálással tovább sönthtő. Mivl Ω ost spiális alaú z általában nins íg a gors Forirtranszforáiós algorits alalazható l O log űvltb rül. Végül g ól flépíttt ltigrid ódszr űvltigén sa O. Ha ganrr a odllfladatra a prl ódszrt alalazz pl. olloáiós ódszrrl összötv aor lég sa a prt diszrtizálni; az lőbbivl azonos pontsűrűség léréséhz sa 4 pont szüségs. A bvzttt isrtln száa thát O a diszrét gnlt átria 4 4-s. A goldáshoz lggarabban gszrű Gass-liináiót használna az általánosan alalazott itráiós ódszr nag rész i. 3 n onvrgál [5] a űvltigén íg O. Ha thát a viszonlag ritán alalazható 4 / 9
FFT-ódszrt és a viszonlag úabb ltű ltigrid ódszrt n száít aor a prl ódszr óriaigén b. a végs diffrnia ódszrévl gzi d a goldás űvltigén határozottan isbb és int lítttü larad a tartoánra vonatozó rás- háló-gnrálás probléáa. Ezn lőnöért sréb az alábbi árat ll gfiztni: a diszrét gnlt átria tlsn itöltött n szitris és rosszl ondíionált; a prgoldás ghatározása tán a tartoán blsébn vtt függvénérté ghatározásához ég b. gananni űvlt szüségs bár további gnltgoldásra ár nins szüség. Ktatásainban lőször a űvltigén söntését élozt g: zt azzal sirült lérni hog a ltigrid ódszrt pr-intgrálgnltr itrsztttü. További űvltszásönést rdénztt a ltipóls ódszr alalazása a pr-intgráloprátoro iértélésébn. Mltigrid ódszr pr-intgrálgnltr. Másodfaú Frdhol-gnltr a ltigrid thnia általában nhézség nélül alalazható. A ráso háló onstrióa n ülönbözi léngsn a diffrniálgnlt stétől a siító lárás onstrálása pdig éznfvő. Ha az gnlt pl. alaú lt a -adi szintn λ b λ b alaban diszrtizáln aor siító lárásént az ~ λ b Piard-itráió általában gfllő és a ltigrid ódszr standard ódon flépíthtő [68] [69] [85]. Ha viszont a goldani ívánt intgrálgnlt g.6.4 vag.6.6 alaú pr-intgrálgnlt aor z általában n ásodfaú gnlt. Az gnlt típsa a ttt prfltétl llgétől függ. Tiszta ann-probléa stén.6.4 ásodfaú tiszta Dirihltprobléa stén lsőfaú or viszont az.6.6 gnlt ásodfaú. Ez stbn thát a ltigrid thnia a pr-intgrálgnltr is űödi. z a hlzt ha vrt prfltétl a pr g Γ részén Dirihlt- a fnnaradó Γ részén pdig ann-fltétl adott. Eor s.6.4 s.6.6 n ásodfaúa íg a ltigrid ódszr özvtln alalazása nhézségb ütözi. Err a probléára a pálázóna sirült idolgozni g a gaorlatban ign ól űödő ódszrt ld. [4] [5] [4] [4]. Enn alapgondolata hog a vrt prérté fladatot visszavztü tiszta Dirihlt- és tiszta ann-fladato sorozatára l goldásai gorsan onvrgálna az rdti vrt fladat goldásához. Modllfladatént tintsü a övtző vrt prérté fladatot: U U U Γ Γ Γ v Γ..6.7 n
/ Γ / Jlöl W : { H Γ : } l a H Γ Szobolv-tér g zárt altr és / lgn P H Γ nn g protora. Jlöl P : I P / * P : P z szintén protoro. Aor indn H Γ stén P a Γ prszaasz ntén íg P Γ -ről Γ-ra való itrsztésént intrprtálható. Hasonlóan P v int fnionál gzi a / v-vl a W zárt altérn indn v H Γ lltt íg P is itrsztésént fogható fl Γ -ről Γ-ra. Ezl a protoroal az rdti.6.7 probléa az alábbi forába írható át: ahol U P P U P v.6.8 γu P U U : U Γ és : Γ n γ U a özönségs no-oprátoro. Az.6.7 fladat goldását l int isrts létzi és gértlű a H Ω Szobolv-térbn z tán rssü a övtző itráiós lárással: U U n / n U γu n n / : v : n n / P P v v n n /.6.9 ahol n : γu n v n / : U n / az itráiót pdig ttszőlgs U H Ω függvénből indíthat. Az.6.9 itráió szlélts lntés a övtző. Az lső fél-lépésbn g tiszta Dirihlt-fladatot oldn g ln prfltétl pontosan gzi az rdti prfltétlll a Γ prszaasz ntén. Hasonlóan a ásodi fél-lépésbn tiszta ann-fladatot oldn g és ost a Γ ntén légítü i pontosan a annprfltétlt. Íg.6.9 tiszta Dirihlt- és tiszta ann-fladato gástána. Mgtatt [4] hog a P protorra vonatozó n túl rős fltétl lltt az.6.9 itráió valóban onvrgns sőt a tapasztalato szrint gorsan onvrgál. Az itráió ralizálásához sa a prgoldáso szüségs zért a pr-intgrálgnlt ódszr trészts ódon alalazható az gs részprobléára. Mivl pdig részfladato ár tiszta Dirihlt- ill. tiszta ann-fladato a gfllő pr-intgrálgnlt ár ltigrid thniával is goldható. A szüségs össz-űvltszá O -ról O -r sön ai nagságrndbn ár léri a tartoán típsú ódszrr alalazott ltigrid ódszr hatéonságát. Gorsítás ltipóls ódszrrl. A pr-intgrálgnlt goldásána űvltigén a ltigrid thniától függtlnül is tovább sönthtő ha a fllépő diszrtizált pr-intgráloprátoro iértélését gors ltipóls ódszrrl végzzü. Tgü fl hog a Γ pr poligon ill. azzal approiálható. Jlöl az oldalaat Γ...Γ a súsoat pdig w... w. Az v prfüggvént szaaszonént onstans függvénl approiálva a pr-intgrálgnlt diszrtizálására a z w w / pontora táaszodó olloáiós ódszrt használva ahol i ll értélni a Kϕ Rϕ K ϕ Qϕ * : w : w az.6.9 itráió indn gs lépésébn függvén valal lináris obináióát a 3
z... z olloáiós pontoban. Itt ϕ löli azt a szaaszonént onstans prfüggvént l azonosan a alalazásához a fnti potniáloat [45] hog azonosítva az Γ prszaaszon ástt pdig azonosan. A ltipóls ódszr opl gszrű rétg potniál valós rész: z örüli ltipóls sorba ll ftni. Mgtatt R síot a C opl szásíal az Rϕ függvén az alábbi iω R z : log z ζ dζ.6. Γ iω : ahol a / a és a w w. Innn a z log z függvén Talorsorftését használva ap hog: : iω iω r R z log z z dζ ζ z ζ d.6. r r z z Γ Γ A obb oldali összgbn lvő intgrálo analitisan iszáítható innn nrü z özéppont örüli ltipóls sorát: R -n a α R α log r z z z r r z z ahol i ω a α és r -r: α r a iω a r r r ha r páros ha r páratlan Hasonlóan a Kϕ függvén az alábbi opl ttősrétg potniál valós rész: K z : i dζ z ζ Γ Flhasználva hog önnn láthatóan R z i K z a K függvén ltipóls sora ár gszrűn adódi: i ω z örüli K β z r r z z r ahol β r i a r r ha r páros ha r páratlan
A K * ϕ Qϕ függvén ltipóls sorai hasonlóan állítható lő flhasználva hog függvén az gszrű ill. a ttősrétg potniál norális iránú driváltai íg ltipóls sor Kϕ ϕ ltipóls soraiból gszrűn száraztatható. R Az itt vázolt ódszr részlti a pálázó [4] [44] [45] pbliáióiban található. A ódszr obinálva a ódszrt a pr-intgrálgnltr alalazott ltigrid ódszrrl a pr-intgrálgnlt goldásána űvltigén O -ről O log -r sönt. Tdoásn szrint nnél gorsabb pr-intgrálgnlt goldó ódszr indáig n szülttt. Mggzés: ris szpontból további probléát lnt ha a.6.4 pr-intgrálgnltbn f. Eor ár nsa printgrálo fordlna lő és f értéin ghatározása gondot oozhat. Ha i. az f intgráloat valailn szoásos nris vadratúrával száít aor Ω-n rásot vag hálót ll dfiniálni íg a ódszr gi fő lőn lvész. Az f függvén pdig biztosan n azonosan zérs ha a pr-intgrálgnlt ódszrt inhoogén és/vag nlináris fladatra alalazz. A probléa a wtonpotniálo hálónts iértélésévl vag hálónts ódszr alalazásával rülhtő g. Ezl a érdésl a 3. fztbn foglalozn. 3
. Mlti-lliptis intrpoláió QT-hálóon A fiziai-érnöi probléá atatiai odllzésébn a lggarabban lőfordló részfladat iondva vag iondatlanl az intrpoláió fladata. A odll gvalósításaor so paraétr nris gadása szüségs. Ez többség érési adat. A lgritább st az hog g adatra érési rdén épp abban a pontban áll rndlzésr ahol a odlln szüség van. Íg pl. sélvízi gnlt stén szüségs a fnégotria isrt; szivárgási probléá stén a szivárgási ténző értéi; hővztési probléa stén a hővztési ténző értéi stb. stb. Végsls vag végsdiffrniás nris odll d aár a övtző fztbn tárgalandó hálónélüli ódszr stébn zn értér lőr ghatározott hlztű soó- vag ráspontoban van szüség ai zn adatora vonatozó intrpoláióhoz vzt. A nris odll száítási rdénin vizalizálásaor az intrpoláió gansa trészts ódon fllépő részprobléa. Az gdinziós intrpoláió téaör ól isrt és ól idolgozott n tolsósorban azért rt a szágnsn létzi g trészts rndzés. z a hlzt ttő- vag többdinziós probléá stén ha az intrpoláiós alappontona sifél szabálos strtúráa nins. Ebbn a fztbn iln probléára onntráln a hangsúlt a pálázó által idolgozott lti-lliptis ódszrr hlzv. Végig étdinziós probléáat vizsgáln azzal a ggzéssl hog az rdén önnn itrszthtő agasabb dinziós trr is. A 3. fztbn a szórt pontú intrpoláió trészts ódon lép fl a hálónélüli ás szóval rásnélüli ódszr onstrálásaor... A szórt pontú intrpoláiós probléa gn Ω R orlátos tartoán lgn... Ω adott páronént ülönböző ponto ln sifél rás- vag háló- strtúrát n tétlzün fl; lgn végül f f... f R adott száo. Krssün olan inél siább f : Ω R függvént l ilégíti az f f..... intrpoláiós fltétlt. ilvánvaló hog a probléa bbn a gfogalazásban allhatározott úghog az intrpoláiós f függvénr további fltétlt ll tnni. Az approiáiós tladonságo vizsgálatához élszrű a probléát az alábbi ódon átfogalazni. gn X Y Banah-tr X Y foltonos inióval és tgü fl hog X C Ω gansa foltonos inióval. Az A X Y foltonos lináris oprátort intrpoláiós oprátorna nvzzü az S : {... } Ω halazra nézv ha Af f..... tlsül indn f X stén azaz az f és az Af függvén ggzn az {... } alappontrndszrn. 4
Intrpoláiós oprátoro onstrálásaor arra törszün hog f és Af a lhtő lgisbb hibával ggzzé az Y-bli nora szrint azaz az A oprátor a lhtő lgobban özlíts az X-bli I idntitást: Af f C S f Y ahol a CS onstans S-től függht d f-től n. Azt ond hog az A intrpoláiós oprátor s-drndű valal s szá lltt ha Af f C h f Y ahol a C onstans S-től és f-től is függtln h pdig az S halaz sűrűségét llző aratrisztis vag szparáiós távolságot löli: h : sp Ω s inf S A probléa hasonlóan fogalazható g aor is ha Ω n ét- han háro- vag ég agasabb d végs dinziós. Az gdinziós intrpoláió znél óval spiálisabb és soal idolgozottabb probléaör lsősorban azért rt R-n van g trészts rndzés lt az intrpoláiós ódszr hallgatólagosan vag iondottan flhasználna. Példa: Ttszőlgs f C Ω függvénr dfiniál az Af intrpoláiós függvént az alábbi súlozott átlaggal Shpard-intrpoláió: X X f w Af : ahol w w : Ez a forla aor értls ha sli... indr: hltt lgn Af : f az alappontoban. Isrt hog Af foltonos Ω -on sőt foltonosan diffrniálható d az alappontoban indét pariális drivált ltűni ai az intrpoláiót ronta. A ódszr ralizálása llntétbn a övtző szaasz ódszrivl gnltgoldást n igénl űvltigén indn gs Ω stén O. A ódszrt illsztrálandó lgn Ω az gségnégzt és lgn f : sin πsin π. Az... pontoat Ω -ban gnlts loszlás szrint vázi-véltlnszrűn választott n fogadva l olan pontoat l a többi bárliétől lőr adott ε > szánál özlbb vanna. : 5 lltt az intrpoláiós függvént a.. ábra tata. Az intrpoláió rlatív hibáa 7.88% volt a ai-nora szrint. 5
.. ábra. Intrpoláió Shpard-ódszrrl. f : sin πsin π.. A radiális bázisfüggvén ódszr Jlnlg a többdinziós intrpoláiós probléá goldásána valószínűlg a lgnépszrűbb ódszrsaláda a radiális bázisfüggvén ódszr RBF-ódszr [9] [] [6] [63] [64]. Ebbn a gözlítésbn ha adotta az f : f függvénérté az intrpoláiós alappontoban aor az Af intrpoláiós függvént az alábbi alaban rssü: Af : α Φ.. ahol Φ Φ... Φ : R R adott radiális örszitris bázisfüggvén azaz a Φ függvénérté sa az r : norától függn. Az isrtln α α... α güttható pdig az intrpoláiós gnltből határozható g: α Φ f..... fltév hog a 3.8 gnltrndszrn gáltalán van goldása z n indig tlsül [78]. A Φ radiális bázisfüggvén alalas gválasztásával sofél onrét ódszrhz tn. A lggarabban használatos ódszr a övtző: Mltivadris ódszr thod of ltiqadris MQ-ódszr [7] [73] [74]: r : r Φ ahol a... > száo alalasan választott sálázó paraétr g lhtségs gválasztás: 6
: in Véon lz ódszr thin plat splins TPS-ódszr []: Φ Gass-függvén: r : r logr indn indr Φ r : r... itt is sálázó onstanso. A dális riproitásban 3.. szaasz tradíionálisan használt függvén [8]: Φ r : r indn indr éha a.. forla obb oldalát igészíti ég néhán további taggal tipisan alason foszáú polinooal: Af : α Φ a p..3 M Ez stbn a.. rndszr további gnltl gészül i ortogonalitási fltétl: M α Φ a p M α p f...... M..4 Mindzn bázisfüggvén özös llző hog bár a.. intrpoláiós gnltrndszr általában goldható d a rndszr nris szpontból nagon dvzőtln. Mitán bázisfüggvén tartóa n orlátos a rndszr átria tlsn itöltött átri soszor nszitris és általában rosszl ondíionált: a ondíiószá ttszőlgsn nag lht ha S gáshoz özlső pontoat is tartalaz. Ezért.. goldására általában obb híán Gass-liináiót használna: nn űvltigén O ai gngdhttlnül naggá váli ha az alapponto száa nag a lnlgi gaorlatban: ghalada az zrs nagságrndt. Ez a fnti ódszr alapvtő hátrána óllht a ódszr intrpoláiós tladonságai nagon ó: gtatható pl. hog az MQ-ódszr lég sia függvén stén ponniálisan onvrgál [76]. So alalazás viszont íg pl. a rásnts ódszr onstrióa nnél óval több alappontot is használhat. A.. ábrán az lőző szaasz példáa látható f : sin πsin π 5 vázi-véltlnszrűn választott alappontrndszrrl d az intrpoláiós ódszr ost az MQ-ódszr volt l a Shpard-ódszrnél soal siább intrpoláiós flültt ad. A rlatív hiba ost.3% volt a ai-nora szrint. 3 7
.. ábra. Intrpoláió MQ-ódszrrl. f : sin πsin π A fntbb lztt nhézség áthidalására több ódszr is ínálozi. Az gi lhtőség a opat tartóú bázisfüggvén használata [88]. Eor a.. gnltrndszr átria rita átri lsz továbbá lhtségs az intrpoláiós probléa többszintű goldása is [] [] ai tovább sönti a űvltigént. Eg ás lhtőség a TPS-ódszr használata ol ódon hog a.. gnltrndszrt valailn robszts itráiós ódszrrl pl. ongált gradins ódszrrl old g és özbn a.. forla iértélését a ltipóls ódszrrl gorsít [3]. Mi g haradi ódszrt avasoltn l azon alapl hog a szórt pontú intrpoláiós probléát visszavztü g agasabbrndű pl. biharonis pariális diffrniálgnltr lt aztán nrisan QT-hálón dfiniált ltigrid ódszrrl oldn g zt lsőént [3]-ban avasolt. Ez a gözlítés lhtővé tszi hog a.. ill. a..4 gnltrndszrt és anna goldását tlsn lrülü: glítü továbbá hog z a gözlítés aor is űödi ha néhán alappont nagon özl rül gáshoz úghog a.. ill. a..4 gnlt ár léngébn szinglárisa..3. Mlti-lliptis intrpoláió Isrts hog a TPS-ódszrbn fllépő : R R Φ r : r log r függvén onstans szorzó réig alapgoldása a étdinziós biharonis gnltn. Ennélfogva a.. forla által dfiniált intrpoláiós függvén az intrpoláiós alapponto ivétlévl indnütt biharonis. Uganz áll a..3 alaú itrszttt TPS-ódszrr ha..3 obb oldalán fllépő p függvén lég alason foú polinoo. Ez ada az ötltt hog Φ intrpoláiós függvént olan f függvénént rssü l ilégít g alalas f.3. alaú pariális diffrniálgnltt Ω -ban az intrpoláiós alapponto stlgs ivétlévl disztribúió-értlbn ahol g a ódszrt llző oprátor. A.3. gnlthz az 8
f : f....3. 4 4 intrpoláiós gnltt int spiális "prfltétlt" satol. Az Ω tartoán prén ttszőlgs rgláris prfltétlt pl. Dirihlt-fltétlt írhatn lő. Ezt az intrpoláiós ötltt ás ggondoláso is alátáasztá. Egrészt nilvánvaló hog sa olan oprátoro öhtn szóba l alapgoldása foltonos az origóban; íg ét- vag hárodinziós intrpoláiós probléá stén a ól isrt ásodrndű oprátoro apla-oprátor Hlholtz-oprátor n használható logaritis llgű szinglaritáso gnrálódna az alappontoban d pl. ngdrndű oprátoro biharonis oprátor ár ign. Másrészt gdinziós probléáat tintv a aplaoprátorna gfllő d / d oprátor alapgoldása az abszolútérté-függvén foltonos az origóban és a.3. -.3. probléa goldása épp a szaaszonént lináris intrpoláió. Hasonló állítás igaz a haradfoú splin intrpoláióra l az alapponto ivétlévl indnütt ilégíti a d f / d gnltt a gfllő alapgoldás pdig szintén foltonos az origóban. Két- és agasabbdinziós probléában szoatlan gan a diszrét pontoban adott prfltétl d gtatt [49] [5] hog z égis s orrt itűzésű probléára vzt alalas H Ω Szobolv-trbn ha s. Biharonis intrpoláió. A.3.-bn szrplő oprátor lggszrűbb gválasztása a biharonis oprátor: :. Eor thát az intrpoláiós függvén az az Af : F függvén lr és F Ω \{... }-n disztribúió-értlbn.3.3 F f....3.4 tlsül. Az Ω tartoán prén ttszőlgs rgláris prfltétlt írhatn lő pl. F F Ω : : Ω Dirihlt-fltétl. n A probléát a H Ω Szobolv-térbn vizsgál. Mint isrts itt a övtző saláris szorzat által gnrálható norá ind vivalns: Vzssü b a α : D α α : D α : Ω Ω Ω W : { H Ω :... } 3 9
altrt al a bágazási tétl értlébn zárt altr a H Ω Szobolv-térn. Aor a.3.3 -.3.4 probléa az alábbi ódon is gfogalazható: Dirt intrpoláiós probléa: Adott f H Ω függvénhz rssün olan W függvént hog f.3.5 tlsülön disztribúió-értlbn az Ω \{... } tartoánon. Eor az F : f függvén nilván goldása.3.3 -.3.4-na. A fnti probléa variáiós fladatént is flírható: Variáiós probléa : Adott f H Ω függvénhz rssün olan W függvént hog f w.3.6 Ω tlsülön indn w W -r. A probléa g ási variáiós gfogalazása a övtző: Variáiós probléa : Adott f H Ω függvénhz rssün olan W függvént l inializála a W altérn az alábbi vadratis fnionált: G v : v f Ω v W.3.7 A övtző tétl [49] szrint a fnti probléá ind vivalns:.3..tétl: A.3.5.3.6 és.3.7 probléá vivalns és gtlng goldás létzi éspdig: Pf ahol P löli a W zárt altér ortogonális protorát a v : v Ω v dω Ω saláris szorzat szrint al saláris szorzat a H Ω -norával vivalns norát gnrál. A tétl bizonításána fő gondolatnt a övtző részlt [49] [5]-ban. A ét variáiós fladat átírható az alábbi forára: a rssün W -t hog f w tlsül indn w W -r.3.8 b rssün W -t hog f f w tlsül indn w W -r.3.9 3
E ét variáiós probléa vivalns. Valóban ha goldása.3.8-na aor.3.9-n is rt ttszőlgs w W -r: f w f f w w f w f. Ha pdig goldása.3.9-n aor f w f f w w f iatt indn w W -r f w w tlsül: innn standard ggondolásoal adódi hog szüségépp f w azaz goldása.3.8-na is. A.3.8 variáiós probléa goldására pdig: f W tlsül ahonnan adódi hog a goldás létzi és gértlű éspdig Pf ahol P löli a W zárt altér ortogonális protorát a.. saláris szorzat szrint. Végül a.3.5 dirt és a.3.6 variáiós probléá vivalniáát ll gtatni. gn goldása.3.6-na és lgn ϕ D Ω \{... } ttszőlgs aor ϕ W is tlsül íg f ϕdω ahonnan disztribúió-értlbn Ω f az Ω \{... } tartoánon azaz goldása a.3.5 dirt probléána. Mgfordítva ha goldása.3.5-n aor gúttal.3.6-n is goldása ivl a D Ω \{... } altér sűrű W-bn: z az állítás n övtzi abból a ól isrt állításból hog D Ω sűrű altr H Ω -n; nn gébént thniai llgű igazolása [5]-ban található. A fnti forlában szrplő F : f függvént biharonis intrpoláiós függvénn nvzzü. Más szóval a.3.4 intrpoláiós fltétl int diszrét pontobli prfltétl valóban n rontá l a.3.3 biharonis gnlt orrt itűzését ai onnan is sthtő hog az alappontora onntrált Dira-disztribúió foltonosa a H Ω -nora szrint. A biharonis intrpoláiós függvén approiáióa a lasszis Talor-sorftésn alapló gözlítéstől ltérőn Szobolv-trbn vizsgálható énlsn. Az approiáiót a h szparáiós távolság függvénébn szrtnén bsülni. Az rdént az alábbi tétl foglala össz [49]:.3..Tétl: A biharonis intrpoláió ásodrndű az -nora és lsőrndű a Ω H Ω -nora szrint azaz ttszőlgs f H Ω stén érvéns az F f Ω Ch f H Ω F f C h f H Ω H Ω bslés alalas C C onstanso lltt: onstanso Ω -tól függhtn d f-től valaint az intrpoláiós alappontotól n. 3