Lekérdezések optimalizálása

Hasonló dokumentumok
Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Adatbázisok elméleti alapjai. Dr. Kiss Attila people.inf.elte.hu/kiss D.2.508

Relációs algebra 1.rész alapok

Relációs algebra lekérdezések optimalizációja. Adatbázisok használata

Marton József BME-TMIT. Adatbázisok VITMAB november 11.

Mveletek a relációs modellben. A felhasználónak szinte állandó jelleggel szüksége van az adatbázisban eltárolt adatok egy részére.

Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések

ABR ( Adatbázisrendszerek) 1. Előadás : Műveletek a relációs medellben

ADATBÁZISOK ELMÉLETE 5. ELŐADÁS 3/22. Az F formula: ahol A, B attribútumok, c érték (konstans), θ {<, >, =,,, } Példa:

RELÁCIÓS LEKÉRDEZÉSEK OPTIMALIZÁLÁSA. Marton József november BME TMIT

Lekérdezések az SQL-ben 1.rész

Lekérdezések az SQL-ben 1.rész

Databases 1. Relációs algebra és nemrekurzív Datalog

Lekérdezések az SQL SELECT utasítással. Copyright 2004, Oracle. All rights reserved.

Funkcionális függések lekérdezések feldolgozása, kifejezésfák

RELÁCIÓS LEKÉRDEZÉSEK OPTIMALIZÁLÁSA. Dr. Gajdos Sándor november BME TMIT

Relációs adatmodell. Adatbázisok használata

ADATBÁZIS-KEZELÉS. Relációalgebra, 5NF

Relációs algebra 2.rész

Adatbázisok-1 előadás Előadó: dr. Hajas Csilla

Relációs adatbázisok tervezése 2.rész (dekompozíció)

A relációs adatmodell

2.előadás: Adatbázisok-I. dr. Hajas Csilla (ELTE IK)

ABR ( Adatbázisrendszerek) 2. Előadás : Műveletek a relációs modellben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

4.előadás: Adatbázisok-I. dr. Hajas Csilla (ELTE IK)

Lekérdezések az SQL-ben 2.rész

2.4. Egy algebrai lekérdező nyelv

Az adatbázisrendszerek világa

Adatbázisok-I. előadás dr. Hajas Csilla (ELTE IK)

Adatbáziskezelı-szerver SQL. Relációs adatbázis-kezelık. Relációs adatszerkezet. Házi feladat

Lekérdezések feldolgozása és optimalizálása

Adatbázisok tavaszi félév Vizsgatételsor

Adatbázisműveletek és lekérdezésoptimalizálás

A relációs algebra egy speciális algebra, amely néhány egyszerű, de hathatós. operandusok. Egy reláció megadható a nevével vagy közvetlenül, sorainak

5.előadás: Adatbázisok-I. dr. Hajas Csilla (ELTE IK)

SQL bevezetés. Select-From-Where záradékok Több relációt tartalmazó lekérdezések Alkérdések

Fájlszervezés. Adatbázisok tervezése, megvalósítása és menedzselése

Adatbáziskezelő-szerver. Relációs adatbázis-kezelők SQL. Házi feladat. Relációs adatszerkezet

Funkcionális függések lekérdezések feldolgozása, kifejezésfák

Nézetek és indexek. AB1_06C_Nézetek_Indexek - Adatbázisok-1 EA (Hajas Csilla, ELTE IK) - J.D. Ullman elıadásai alapján

Adatbázis rendszerek 7. Matematikai rendszer amely foglal magában:

4. előadás. Relációalgebra és relációkalkulusok. Adatbázisrendszerek előadás október 10.

Relációs algebra 1.rész

Alap fatranszformátorok II

Adatbázisok elmélete 9. előadás

Adatbázisok elmélete

Relációs adatbázisok tervezése ---2

Sor és oszlopkalkulus

Bevezetés: Relációs adatmodell

Adatbázisrendszerek megvalósítása 2

6. Gyakorlat. Relációs adatbázis normalizálása

Lekérdezések az SQL SELECT utasítással

INFORMATIKA ÁGAZATI ALKALMAZÁSAI. Az Agrármérnöki MSc szak tananyagfejlesztése TÁMOP /1/A

3.előadás: Adatbázisok-I. dr. Hajas Csilla (ELTE IK)

Tankönyv példák kidolgozása

Statisztikai függvények

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

Nem klaszterezett index. Beágyazott oszlopok. Klaszterezett index. Indexek tulajdonságai. Index kitöltési faktor

Algoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.

WHERE záradék (további lehetıségek) SQL specialitások, nem írhatók át relációs algebrába: LIKE. NULL értékek. Az ismeretlen (unknown) igazságérték

Feladatok A mai előadáson: Tankönyv -- Termékek feladatai:

1. Az Oracle adatbázis-kezelő felépítése, működése, komponensei, példányok, rendszerállományok, memóriakezelése, rendszergazdai feladatok

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

1. Alapfogalmak Algoritmus Számítási probléma Specifikáció Algoritmusok futási ideje

Több táblára vonatkozó lekérdezések Relációs algebra és SQL SELECT

0. Ha valahol még nem szerepelt a relációs algebrai osztás, akkor azt kell először venni:

8. Előadás tartalma. Funkcionális függőségek

Adatbázis Rendszerek

Adatbázisok elmélete

A fordítóprogramok szerkezete. Kódoptimalizálás. A kódoptimalizálás célja. A szintézis menete valójában. Kódoptimalizálási lépések osztályozása

Algoritmuselmélet 1. előadás

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Relációs algebra 2.rész példák

Matematika 8. osztály

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

TABLE ACCESS FULL HASH CLUSTER BY INDEX ROWID BY USER ROWID BY GLOBAL INDEX ROWID BY LOCAL INDEX ROWID

Adatbázis, adatbázis-kezelő

Az optimális megoldást adó algoritmusok

Adatbáziskezelés alapjai. jegyzet

2017/2018. Matematika 9.K

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

Csima Judit szeptember 6.

LEKÉRDEZÉSEK SQL-BEN. A relációs algebra A SELECT utasítás Összesítés és csoportosítás Speciális feltételek

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Adatbázis rendszerek 2. előadás. Relációs algebra

Gyakori elemhalmazok kinyerése

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Adatbázisok 1. Kósa Balázs gyakorlata alapján Készítette: Nagy Krisztián. 1. gyakorlat

Nem klaszterezett index. Klaszterezett index. Beágyazott oszlopok. Index kitöltési faktor. Indexek tulajdonságai

Programok értelmezése

Adatbázisok elmélete 12. előadás

Adatbázisok. 9. gyakorlat SQL: SELECT október október 26. Adatbázisok 1 / 14

Relációs adatbázisok tervezése 2.rész (dekompozíció)

Egy Erlang refaktor lépés: Függvényparaméterek összevonása tuple-ba

AB1 ZH mintafeladatok. 6. Minősítse az állításokat! I-igaz, H-hamis

Megoldás Digitális technika I. (vimia102) 2. gyakorlat: Boole algebra, logikai függvények, kombinációs hálózatok alapjai

2.4. Egy algebrai lekérdezo nyelv

Bevezetés: Relációs adatmodell

Átírás:

Lekérdezések optimalizálása CÉL: A lekérdezéseket gyorsabbá akarjuk tenni a táblákra vonatkozó paraméterek, statisztikák, indexek ismeretében és általános érvényő tulajdonságok, heurisztikák segítségével. Például, hogyan, milyen procedúrával értékeljük ki az alábbi SQL (deklaratív) lekérdezést? Legyen adott R(A,B,C) és S(C,D,E). Melyek azok az R.B és S.D értékek azokban az R, illetve S táblabeli sorokban, amely sorokban R.A='c' és S.E=2 és R.C=S.C? Ugyanez SQL-ben: Select B,D From R,S Where R.A = 'c' and S.E = 2 and R.C=S.C; 1

Lekérdezések optimalizálása R A B C S C D E a 1 10 10 x 2 b 1 20 20 y 2 c 2 10 30 z 2 d 2 35 40 x 1 e 3 45 50 y 3 A lekérdezés eredménye: B D 2 x 2

Lekérdezések optimalizálása Hogy számoljuk ki tetszıleges tábla esetén az eredményt? Egy lehetséges terv - Vegyük a két tábla szorzatát! - Válasszuk ki a megfelelı sorokat! - Hajtsuk végre a vetítést! - Ez a direktszorzaton alapuló összekapcsolás. - Oracleben: NESTED LOOP. - Nagyon költséges! 3

RXS Lekérdezések optimalizálása R.A R.B R.C S.C S.D S.E a 1 10 10 x 2 Ez a sor kell! a 1 10 20 y 2.. c 2 10 10 x 2.. 4

Lekérdezések optimalizálása Ugyanez a terv relációs algebrában: Π B,D σ R.A='c' S.E=2 R.C=S.C R X S Π B,D [ σ R.A='c' S.E=2 R.C = S.C (RXS)] 5

Lekérdezések optimalizálása Egy másik lehetséges kiszámítási javaslat: Π B,D σ R.A = 'c' σ S.E = 2 R S 6

R Lekérdezések optimalizálása S A B C σ (R) σ(s) C D E a 1 10 A B C C D E 10 x 2 b 1 20 c 2 10 10 x 2 20 y 2 c 2 10 20 y 2 30 z 2 d 2 35 30 z 2 40 x 1 e 3 45 50 y 3 Π B,D Ugyanazt számolja ki! B D 2 x 7

Lekérdezések optimalizálása Használjuk ki az R.A és S.C oszlopokra készített indexeket: (1) Az R.A index alapján keressük meg az R azon sorait, amelyekre R.A = 'c'! (2) Minden megtalált R.C értékhez az S.C index alapján keressük meg az S-bıl az ilyen értékő sorokat! (3) Válasszuk ki a kapott S-beli sorok közül azokat, amelyekre S.E = 2! (4) Kapcsoljuk össze az R és S így kapott sorait, és végül vetítsünk a B és D oszlopokra. 8

R A B C Lekérdezések optimalizálása A='c' C I1 I2 S C D E a 1 10 10 x 2 <c,2,10> b 1 20 <10,x,2> 20 y 2 Ellenırzés: c 2 10 =2? 30 z 2 d 2 35 Eredmény: <2,x> 40 x 1 e 3 45 50 y 3 INDEXES ÖSSZEKAPCSOLÁS 9

SQL lekérdezés elemzés Elemzı fa átalakítás szabályok alkalmazása logikai lekérdezı terv javított logikai lekérdezı terv várható méretek becslése Lekérdezések optimalizálása Statisztikák eredmény végrehajtás FTi a legjobb kiválasztása {(FT1,K1),(FT2,K2),...} logikai lekérdezı terv és méretek fizikai tervek készítése költségek becslése {FT1,FT2,..} 10

Példa: SQL lekérdezés SELECT title FROM StarsIn WHERE starname IN ( SELECT name FROM MovieStar WHERE birthdate LIKE %1960 ); Milyen filmekben szerepeltek 1960-as születéső színészek? 11

Elemzıfa: Parse Tree <Query> <SFW> SELECT <SelList> FROM <FromList> WHERE <Condition> <Attribute> <RelName> <Tuple> IN <Query> title StarsIn <Attribute> ( <Query> ) starname <SFW> SELECT <SelList> FROM <FromList> WHERE <Condition> <Attribute> <RelName> <Attribute> LIKE <Pattern> name MovieStar birthdate %1960 12

Ugyanez relációs algebrában: Πtitle σ StarsIn <condition> <tuple> IN Πname <attribute> σbirthdate LIKE %1960 starname MovieStar 13

Átalakított logikai lekérdezı terv Πtitle σstarname=name StarsIn Πname σbirthdate LIKE %1960 MovieStar 14

Továbbjavított logika lekérdezı terv Πtitle starname=name StarsIn Πname σbirthdate LIKE %1960 MovieStar 15

Cél: a relációs algebrai kifejezéseket minél gyorsabban akarjuk kiszámolni. Költségmodell: a kiszámítás költsége arányos a relációs algebrai kifejezés részkifejezéseinek megfelelı relációk tárolási méreteinek összegével. Módszer: a mőveleti tulajdonságokon alapuló ekvivalens átalakításokat alkalmazunk, hogy várhatóan kisebb mérető relációk keletkezzenek. Az eljárás heurisztikus, tehát nem az argumentum relációk valódi méretével számol. Az eredmény nem egyértelmő: Az átalakítások sorrendje nem determinisztikus, így más sorrendben végrehajtva az átalakításokat más végeredményt kaphatunk, de mindegyik általában jobb költségő, mint amibıl kiindultunk. Megjegyzés: Mivel az SQL bıvebb, mint a relációs algebra, ezért az optimalizálást bıvített relációs algebrára is meg kell adni, de elıször a hagyományos algebrai kifejezéseket vizsgáljuk. 16

A relációs algebrai kifejezést gráffal ábrázoljuk. Kifejezésfa: a nem levél csúcsok: a relációs algebrai mőveletek: unáris ( σ,π,ρ) egy gyereke van bináris (-,,) két gyereke van (bal oldali az elsı, jobb oldali a második argumentumnak felel meg) a levél csúcsok: konstans relációk vagy relációs változók 17

könyv(sorszám,író,könyvcím) kölcsönzı(azonosító,név,lakcím) kölcsönzés(sorszám,azonosító,dátum) Milyen címő könyveket kölcsönöztek ki 2007-tıl kezdve? Π kc ( (kv kı ks)) Az összekapcsolásokat valamilyen sorrendben kifejezzük az alapmőveletekkel: Π kc ( (Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d (σ kv.s=ks.s kı.a=ks.a (kv(kıks))))) 18

Π kc ( (Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d (σ kv.s=ks.s kı.a=ks.a (kv(kıks))))) Π kc Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d σ kv.s=ks.s kı.a=ks.a 19

E1(r1,...,rk) és E2(r1,...,rk) relációs algebrai kifejezések ekvivalensek (E1 E2 ), ha tetszıleges r1,...,rk relációkat véve E1(r1,...,rk)=E2(r1,...,rk). 11 szabályt adunk meg. A szabályok olyan állítások, amelyek kifejezések ekvivalenciáját fogalmazzák meg. Bizonyításuk könnyen végiggondolható. Az állítások egy részében a kifejezések szintaktikus helyessége egyben elégséges feltétele is az ekvivalenciának. 1. Kommutativitás (szorzás, természetes összekapcsolás, téta-összekapcsolás) E1 E2 E2 E1 E1 E2 E2 E1 E1 E2 E2 E1 Θ Θ 20

2. Asszociativitás (szorzás, természetes összekapcsolás, téta-összekapcsolás) (E1 E2) E3 E2 (E1 E3) (E1 E2) E3 E1 (E2 E3) (E1 E2) E3 E1 (E2 E3) Θ Θ Θ Θ 3. Vetítések összevonása, bıvítése Legyen A és B két részhalmaza az E reláció oszlopainak úgy, hogy A B. Ekkor Π A (Π B (E)) Π A (E). 4. Kiválasztások felcserélhetısége, felbontása Legyen F1 és F2 az E reláció oszlopain értelmezett kiválasztási feltétel. Ekkor σ F1 F2 (E) σ F1 (σ F2 (E)) σ F2 (σ F1 (E)). 21

5. Kiválasztás és vetítés felcserélhetısége Legyen F az E relációnak csak az A oszlopain értelmezett kiválasztási feltétel. a) Ekkor Π A (σ F (E)) σ F (Π A (E)). Általánosabban: Legyen F az E relációnak csak az A B oszlopain értelmezett kiválasztási feltétel, ahol A B=. b) Ekkor Π A (σ F (E)) Π A (σ F (Π A B (E))). 6. Kiválasztás és szorzás felcserélhetısége a) b) c) Legyen F az E1 reláció oszlopainak egy részhalmazán értelmezett kiválasztási feltétel. Ekkor σ F (E1E2) σ F (E1)E2. Speciálisan: Legyen i=1,2 esetén Fi az Ei reláció oszlopainak egy részhalmazán értelmezett kiválasztási feltétel, legyen továbbá F=F1 F2. Ekkor σ F (E1E2) σ F1 (E1)σ F2 (E2). Általánosabban: Legyen F1 az E1 reláció oszlopainak egy részhalmazán értelmezett kiválasztási feltétel, legyen F2 az E1E2 reláció oszlopainak egy részhalmazán értelmezett kiválasztási feltétel, úgy hogy mindkét sémából legalább egy oszlop szerepel benne, legyen továbbá F=F1 F2. Ekkor σ F (E1E2) σ F2 (σ F1 (E1)E2). 22

7. Kiválasztás és egyesítés felcserélhetısége Legyen E1, E2 relációk sémája megegyezı, és F a közös sémán értelmezett kiválasztási feltétel. Ekkor σ F (E1 E2) σ F (E1) σ F (E2). 8. Kiválasztás és kivonás felcserélhetısége Legyen E1, E2 relációk sémája megegyezı, és F a közös sémán értelmezett kiválasztási feltétel. Ekkor σ F (E1 - E2) σ F (E1) - σ F (E2). 9. Kiválasztás és természetes összekapcsolás felcserélhetısége Legyen F az E1 és E2 közös oszlopainak egy részhalmazán értelmezett kiválasztási feltétel. Ekkor σ F (E1 E2) σ F (E1) σ F (E2). 23

10. Vetítés és szorzás felcserélhetısége Legyen i=1,2 esetén Ai az Ei reláció oszlopainak egy halmaza, valamint legyen A=A1 A2. Ekkor Π A (E1E2) Π A1 (E1)Π A2 (E2). 11. Vetítés és egyesítés felcserélhetısége Legyen E1 és E2 relációk sémája megegyezı, és legyen A a sémában szereplı oszlopok egy részhalmaza. Ekkor Π A (E1 E2) Π A (E1) Π A (E2). Megjegyzés: A vetítés és kivonás nem cserélhetı fel, azaz Π A (E1 - E2) Π A (E1) - Π A (E2). Például: E1: E2: esetén Π A (E1 - E2): A B 0 0 0 1 A B 0 0 míg Π A (E1) - Π A (E2)= A 0 24

Az optimalizáló algoritmus a következı heurisztikus elveken alapul: 1. Minél hamarabb szelektáljunk, hogy a részkifejezések várhatóan kisebb relációk legyenek. 2. A szorzás utáni kiválasztásokból próbáljunk természetes összekapcsolásokat képezni, mert az összekapcsolás hatékonyabban kiszámolható, mint a szorzatból történı kiválasztás. 3. Vonjuk össze az egymás utáni unáris mőveleteket (kiválasztásokat és vetítéseket), és ezekbıl lehetıleg egy kiválasztást, vagy vetítést, vagy kiválasztás utáni vetítést képezzünk. Így csökken a mőveletek száma, és általában a kiválasztás kisebb relációt eredményez, mint a vetítés. 4. Keressünk közös részkifejezéseket, amiket így elég csak egyszer kiszámolni a kifejezés kiértékelése során. 25

s algoritmus: INPUT: relációs algebrai kifejezés kifejezésfája OUTPUT: optimalizált kifejezésfa optimalizált kiértékelése Hajtsuk végre az alábbi lépéseket a megadott sorrendben: 1. A kiválasztásokat bontsuk fel a 4. szabály segítségével: σ F1... Fn (E) σ F1 (...(σ Fn (E))) 2. A kiválasztásokat a 4., 5., 6., 7., 8., 9. szabályok segítségével vigyük olyan mélyre a kifejezésfában, amilyen mélyre csak lehet. 3. A vetítéseket a 3., 5., 10., 11. szabályok segítségével vigyük olyan mélyre a kifejezésfában, amilyen mélyre csak lehet. Hagyjuk el a triviális vetítéseket, azaz az olyanokat, amelyek az argumentum reláció összes attribútumára vetítenek. 4. Ha egy relációs változóra vagy konstans relációra közvetlenül egymás után kiválasztásokat vagy vetítéseket alkalmazunk, akkor ezeket a 3., 4., 5. szabályok segítségével vonjuk össze egy kiválasztássá, vagy egy vetítéssé, vagy egy kiválasztás utáni vetítéssé, ha lehet (azaz egy Π.(σ.()) alakú kifejezéssé). Ezzel megkaptuk az optimalizált kifejezésfát. 5. A gráfot a bináris mőveletek alapján bontsuk részgráfokra. Minden részgráf egy bináris mőveletnek feleljen meg. A részgráf csúcsai legyenek: a bináris mőveletnek (,, ) megfelelı csúcs és a csúcs felett a következı bináris mőveletig szereplı kiválasztások (σ) és vetítések (Π). Ha a bináris mővelet szorzás (), és a részgráf equi-joinnak felel meg, és a szorzás valamelyik ága nem tartalmaz bináris mőveletet, akkor ezt az ágat is vegyük hozzá a részgráfhoz. 6. Az elızı lépésben kapott részgráfok is fát képeznek. Az optimális kiértékeléshez ezt a fát értékeljük ki alulról felfelé haladva, tetszıleges sorrendben. Megjegyzés. Az equi-join azt jelenti, hogy a kiválasztás feltétele egyenlıség, amely a szorzás két ágának egy-egy oszlopát hasonlítja össze. 26

Optimalizáljuk a következı kifejezést: Π kc ( (Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d (σ kv.s=ks.s kı.a=ks.a (kv(kıks))))) Π kc Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d σ kv.s=ks.s kı.a=ks.a 27

Kiválasztás felbontása: Π kc Π kc Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d σ kv.s=ks.s σ kv.s=ks.s kı.a=ks.a σ kı.a=ks.a 28

Π kc Π kc Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d σ kv.s=ks.s σ kı.a=ks.a A kiválasztást lejjebb visszük σ kv.s=ks.s σ kı.a=ks.a 29

Π kc Πkc Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d σ kv.s=ks.s σ kv.s=ks.s A kiválasztást lejjebb visszük σ kı.a=ks.a σ kı.a=ks.a 30

Π kc Π kc Π kv.s,i,kc,kı.a,n,lc,d σ kv.s=ks.s σ kv.s=ks.s A vetítéseket összevonjuk σ kı.a=ks.a σ kı.a=ks.a 31

Π kc Π kc Π kv.s,kc, ks.s σ kv.s=ks.s A vetítések bıvítése σ kv.s=ks.s TRÜKK! σ kı.a=ks.a σ kı.a=ks.a 32

Π kc Π kc Π kv.s,kc, ks.s σ kv.s=ks.s σ kv.s=ks.s A vetítést lejjebb visszük Π kv.s,kc Π ks.s σ kı.a=ks.a σ kı.a=ks.a 33

Π kc Π kc σ kv.s=ks.s σ kv.s=ks.s A vetítés TRÜKK! bıvítése Π kv.s,kc Π ks.s Π Π kv.s,kc Π ks.s Π ks.s,ks.a,kı.a σ kı.a=ks.a σ kı.a=ks.a 34

Π kc Π kc σ kv.s=ks.s σ kv.s=ks.s A vetítést lejjebb visszük Π kv.s,kc Π ks.s Π ks.s,ks.a,kı.a Π kv.s,kc Π ks.s σ kı.a=ks.a σ kı.a=ks.a Π kı.a Π ks.s,ks.a 35

Részgráfokat képezünk (az equi-join miatt a levelekig kiegészítjük a csoportokat) Π kc σ kv.s=ks.s 2. részgráf Az algebrai optimalizáció eredménye: Elıször az 1. részgráfnak megfelelı kifejezést számoljuk ki, és utána a 2. részgráfnak megfelelı kifejezést. Π kv.s,kc Π kı.a Π ks.s σ kı.a=ks.a Π ks.s,ks.a 1. részgráf 36