Oroz Gyula: Markov-lánok További flaatok.6. flaat: Két játéko y zabályo érmét többzör flob ymá után. Az A játéko akkor yőz ha a fjk záma hárommal több lz mint az íráok záma; mí B akkor yőz ha az íráok záma lz hárommal több mint a fjk záma. lmzzük a játékot! Mkkora valózínűél yőz A é B a játék különböző állaotaiban? Mnnyi zkbn az állaotokban a játék bfjzééi züké obáok átlao záma? Molá: Jlölj az i. állaot azt a hlyztt amikor a fjk é íráok különbé i; i annak a valózínűéét amllyl A nyr az i. állaotból i i azt a obázámot ami átlaoan tart a játék az i. állaotból inulva. (kkor a 0. állaot a kzőállaot.) A játék folyamatábrája: - / - A nyr - B nyr A folyamatábra zimmtriája i mutatja hoy 0 (zabályo érm). zt flhaználva a többi valózínűé mhatározáához flírjuk a valózínűéi ynltkt:. 0 5 nnk moláa é. A élául azt jlnti hoy ha a obott 6 fjk záma yl nayobb mint az íráok záma akkor bből az állaotból az A játéko valózínűél nyr. M lht mutatni hoy a játék lőbb-utóbb vét ér (ontoabban valózínűél; lá 8.. flaat) thát a játékban nm lht önttln. Íy zimmtriaokok miatt é. 6 /55
Oroz Gyula: Markov-lánok A játék zimmtriája miatt a léézámokra tljül hoy i i zért a hayományo móon kajuk az alábbi ynltrnzrt: 0. 0 Az ynltrnzr moláa 5 8 0 9 zért 5 8. Mjyzé: Vizáljuk m a játék általáno tét! A játéknak lyn akkor vé ha a fjk é íráok zámának különbé h. kkor általában i mmutatható (lá 6.. flaat) hoy 0 h vayi átlaoan h -zr kll y zabályo érmét flobnunk ahhoz hoy a fjk é íráok ltéré (lőzör) h lyn. Uyanakkor a flaat yfajta uália i bizonyítható (zt mot nm tzük m): zrint ha y zabályo érmét h -zr flobunk a fjk é íráok zámának átlao ltéré arányo lz h-val. Érm lonolkoni azon hoy z az rmény mit i jlnt azzal kaolatban amit úy zoktunk nvzni hoy a véltln zámok kiynlítőéi hajlama (lá 0.. flaat)..7. flaat: Két játéko flváltva obál fl y zabályo énzérmét. Az a játéko yőz aki lőzör ob fjt. Vizáljuk m a játékot! Ézrvhtő hoy a.. roblémával analó flaatot katunk a k n n aramétrkkl. Az ott aott molá alaján a kző játéko nyréi ély a n k n obáok várható záma i. A máoik játéko trméztn valózínűél yőz..8. flaat: A.. flaatban az A játéko orozatával zmbn nayobb éllyl nyrt a B játéko orozata a nyréi arány A : B : volt. Móoítunk B orozatán úy hoy nhzbb ola lyn; élául B akkor nyrjn ha a orozat jön ki rményül. a) Mnnyivl ltt iazáoabb a játék? b) Határozzuk m átlaoan hány obái tart a játék! ) Határozzuk m átlaoan hány obából kajuk m külön-külön az illtv orozatokat! Molá: A játék folyamatábrája: 5/55
Oroz Gyula: Markov-lánok / A nyr G B nyr Uyanzt a folyamatábrát majuk ráflmélti körrl i: / A nyr G B nyr a) Az y állaotok a kövtkző obáorozatokkal kvivalnk: G. Jlnt rnr A yőzlménk a valózínűéét az G állaotokból; kkor az ábra alaján flírható ynltrnzr a kövtkző: 6/55
Oroz Gyula: Markov-lánok 7/55. (5) Az ynltrnzr moláa. 8 8 5 8 5 ) ( Thát a móoítá után m katunk iazáo játékot z a játék már A-nak lőnyö. A nyréi valózínűék aránya A : B 5 :. b) A léézámokra flírható ynltrnzr:. (5) Az ynltrnzr moláa. 7 9 7 5 ) ( Thát a obáok átlao záma. 875 5 ) Az élorozat tén a folyamatábra é az ynltrnzr:
Oroz Gyula: Markov-lánok 8/55 / nyr. Az ynltrnzr moláa ( ) ( 8). Az élorozat tén a folyamatábra é az ynltrnzr: / B nyr
Oroz Gyula: Markov-lánok. Az ynltrnzr moláa ( ) (0 8 6 0). Thát külön-külön az A orozatnak átlaoan a B-nk 0 obára van züké; ha i a két orozat yütt vz rézt a játékban az átlao obázám 875..9. (kitűzött) flaat (KöMa B.89.) y zabályo érmét ai obálunk amí lalább yzr kaunk fjt i é írát i. Mnnyi a obáok zámának várható érték?.0. (kitűzött) flaat: y érmét hajiálunk. Várhatóan hányzor kll flobni hoy a) illtv b) jöjjön ki ymá után? (z két különböző flaat.).. (kitűzött) flaat: y érmét ai obálunk amí három ymá utáni obában vay nm aóik. a) Mnnyi a valózínűé annak hoy aóik lőbb? b) Határozzuk m átlaoan hány obái tart a játék! ) Határozzuk m átlaoan hány obából kajuk m külön-külön az illtv az orozatokat!.. (kitűzött) flaat: Móoítuk az lőző orozatokat úy hoy y obáal minkttőt mtoljuk. Thát: y érmét ai obálunk amí három ymá utáni obában vay nm aóik. Mnnyibn változtak m az y nyréi valózínűék? a) Mnnyi a valózínűé annak hoy aóik lőbb? b) Határozzuk m átlaoan hány obái tart a játék! ) Határozzuk m átlaoan hány obából áll lő külön-külön az illtv az orozat!.. (kitűzött) flaat: Három játéko y zabályo érmét többzör flob ymá után úy hoy mini ak a lutoló három obá rményét vzik fiylmb. Az A játéko akkor yőz ha az utoló három obá volt; B akkor ha az utoló három obá ; véül akkor ha az utoló három obá volt. Mkkora éllyl nyrnk az y játékook? Átlaoan hány obái tart a játék? Érmobáláok zámítóé támoatáal Több a flaathoz haonló zámítóé játék i lkézlhtő. Nézzünk néhány élát amikor a játéko llnfl a zámítóé ( a játékokat tanulók i játzhatják ymáal):. lőzör a játéko válazt y három hozúáú érmobá-orozatot maj a é válazt véltlnzrűn y három hozúáú orozatot. 9/55
Oroz Gyula: Markov-lánok. lőzör a é válazt véltlnzrűn y három hozúáú érmobá-orozatot maj a é orozata imrtébn a játéko válazt y három hozúáú orozatot.. Az lőző flaatokat játzhatjuk ltérő hozúáú orozatokkal i. A fnti flaatokban a kéré mini az hoy hoyan érm orozatot válaztani.. lőzör a játéko válazt y három hozúáú érmobá-orozatot maj a é válazt otimáli tratéiával y három hozúáú orozatot. Ha a játék bizonyo tétr my akkor a kéré az i lht hoy milyn tratéiával minimalizálható a vzté; vay tl nm ynlő buróval történik a játék. 5. A fnti játékokat játzhatja kttőnél több játéko i. 6. É trméztn az - 5. játékokban mini tilht arra minn néző (mint kívülálló ymáal vrnő játéko) hoy ki yőz é hoy hány lééi tart a játék. Az ilyn tíuú játékok vizonyla könnyn roramozhatók (talán az oztályban i van olyan yrk aki zívn ír y yzrű játzó roramot). Érm a könnybb változatokat mmutatni a iákoknak hayni őkt játzani yakorolni taaztalatot zrzni. A nhzbb játékok (élául.) önmaukban i érk kérékt vtnk fl; zkr a ikk kéőbbi rézibn mróbálunk maj válazolni. 0/55