A agy sámo örvéyé éháy alalmaása Valósíűségsámíás. lőadás 5..5. Y Kovolúció Függl valósíűségi váloó össgé loslása Képl a absolú olyoos sr: ( ( u ( u du Y Y Bioyíásho a ljs valósíűség él mgllőj (a lőő épl igrálva a A halmao: A A u ( u du uá sri driválva apju a állíás. bből ( u Y u du ( u Y u du Példá Epociális losláso ovolúciója (üggl, aoos, paramérű pociális losláso össgé sűrűségüggvéy: h Y ( u ( u du du ha > és ülöb. agú össgr iducióval bioyíhaó, hogy a össg sűrűségüggvéy h ( (! ha > és ülöb (lvés: -d rdű, paramérű gamma loslás. Egyls losláso ovolúciója Függl, aoos, a [,] irvallumo gyls losláso össgé sűrűségüggvéy: du ( du ( Y ( gyls loslás Normális losláso ovolúciója Lgy (m,, Y pdig (m, paramérű ormális loslású,..h. üggl. Eor +Y is ormális loslású, ( m m, paramérl. Bioyíás: m =m = lhő, his ha -m +Y-m ormális loslású, aor +Y is.
Bioyíás bjés ( g( d ( ( ( p{ d } d p ( ( p d d Valódi haárlosláso Kérdés: lh- mlajul valósíűségi váloó a + +...+ haáréré, ha ügys ormálu? Tél: ha,,... üggl valósíűségi váloó, b sámsoroa, mlyr b és ( + +...+ /b valósíűséggl, aor valósíűséggl álladó. Tél. Ha,,... üggl valósíűségi váloó, b sámsoroa, mlyr b és ( + +...+ /b sochasiusa, aor valósíűséggl álladó. A bioyíás öl: sochasiusa ovrgs soroaa midig iválashaó valósíűséggl ovrgs réssoroaa. Gyg ovrgcia Diíció. gygé, ha a loslásüggvéyir ljsül: F ( F( a F mid olyoossági pojába. Mgjgyés. E a ovrgcia m mod smmi a valósíűségi váloó ölségéről. =[,], P= hossúság, =I [,.5] =I [.5,] sé F (=F(, aa ljsül a gyg ovrgcia. A iből a is lási, hogy a haáréré csa a loslása érds. A m célsrű mgövli, hogy F mid pojába ljsüljö a ovrgcia: = -/ sé = valósíűséggl. F (=, d F(= (F balról olyoos. A öbbi poba ljsül a ovrgcia: F (, ha <, F ( =, ha >. Ha sochasiusa, aor gygé is. Gráorüggvéy Lgy mgaív gés éréű valósíűségi váloó. A gráorüggvéy g (:= ==+=+ =+... Tulajdoságai: Végs, ha Mghaároa a loslásá: == g ( == g ( == g (/ sb. Ha és Y üggl, mgaív gés éréű: g +Y (= g (g Y (, mr +Y = Y = Y a ügglség mia. Példá Elajul loslásra: g (=. Idiáorváloóra g (= p+-p Biomiális loslásra g (=(p+-p Poisso loslásra! ( Kararisius üggvéy Kompl éréű valósíűségi váloó: Z=+iY, ahol és Y is valósíűségi váloó. Z:=+iY. (valós valósíűségi váloó ararisius üggvéy: (:= i =cos+isi Tulajdoságai: ( RC üggvéy, mly mid -r léi. (= mid -r ( (mr i i = Ha és Y üggl, +Y (= ( Y (, mr i(+y = i iy = i iy a ügglség mia.
További ulajdoságo Ha Y=a+b, aor Y (= ib (a Bioyíás: Y (= i(a+b = ib ia = ib (a. Kisámíása a absolú olyoos sr: i ( ( d cos( ( d i si( ( Példa. Ha gyls loslású a [-,] irvallumo, aor ( i ( d cos( si d si Álalába is: valós, ha loslása simmrius a -ra. d ( A sadard ormális loslás ararisius üggvéy Áll.: a sadard ormális loslás ararisius üggvéy: Ehh: lg s a (=- ( dirciálgyl. (E léygéb lég is: (log ( =-, amiből log (=- /+c, d log((= mia c=. ( cos( si( parciális igrálással. ( d ; '( si( ' cos( d d ( További ulajdoságo A ararisius üggvéy mghaároa a loslás (aa ülöböő loslásoho ülöböő ararisius üggvéy aroi. Taylor sorjés: gyü l, hogy végs valamily gés sámra. Eor mll i ( i ( i (... o(!!! ahol o( jlés, hogy l osva is -ho ar, ha. Bioyíás öl: a él lél sé ( -sr gyls olyoosa driválhaó és ( l ( i l ( i ( d További él Aa ( (= i és így a soásos Taylorsorjésből adódi a él. Ha ararisius üggvéy, aor gyls olyoos. Folyoossági él. Lgy ararisius üggvéy gy soroaa (jlölj Q a hoá aroó loslás. Ha pooé ovrgál gy -h, mly a -ba olyoos, aor is ararisius üggvéy, és a hoá aroó loslás épp a losláso Q gyg haáréré. Crális haárloslás él Lgy,,,,... üggl, aoos loslású valósíűségi váloó. Tgyü l, hogy =D ( végs (m:= i. Tisü a sadardiál össgü:... m Z : Eor Z gygé ovrgál a sadard ormális loslásho, aa... m P ( ahol a sadard ormális loslás loslásüggvéy. Bioyíás válaa Elgdő a Z ararisius üggvéyér blái, hogy (p{- /}. Ha ( jlöli a -m ararisius üggvéyé, aor + + + -m ararisius üggvéy (. Ebből ( ( A maradéagos Taylor ormula mia m ( i i! m! o( o( 3
( ( Bioyíás bjés o o( Mgjgyés. A él ulajdoépp már mgigylü a simulációál. Példá: gyls loslás gamma loslás A m aoos loslású s Eor a agy sámo örvéyéél már láo oo mia rősbb lél ll. A lggysrűbb s: ha,,,,... üggl, gyls orláos valósíűségi váloó (or i =D ( i végs, m i := i, aor a sadardiál össgü:... ( m... m Z :... Ha + + + aor Z gygé ovrgál a sadard ormális loslásho, aa Z ( P ahol a sadard ormális loslás loslásüggvéy. Álaláosíáso Ha m orláosa a ago, ovábbi lélr (pl. magasabb momumo léés, hasoló agyságrdű össadadó va süség. Gyg, a Brsi élb láo össüggőség sér is álaláosíhaó a él. Kovrgciasbsség Ha,,,,... üggl, aoos loslású valósíűségi váloó,..h. m=, =, aor... E sup P ( c (Brry-Essé él. Gyaorlaba agyo ügg a loslás alajáól. Például a gyls loslásra = lég jó ölíés ad, d a pociális loslásál =5 süségs. 3 Crális haárloslás-él: üggl, aoos, gyls losláso sadardiál össg (=5,,4,6 Eloslás illsdésé visgálaa: Q-Q plo I és a övő oldalao a ado sámú véll sámo grálu, sadardiálu a össgü, és - sor mgismélü mid sb. E uá a visgálu, hogy a apo véll sám myir va öl a sadard ormális loslásho. Gyaoriság Gyaoriság 5 5 5 5 mgigylés sáma: 5-4 - 4 mgigylés sáma: 4-4 - 4 Gyaoriság Gyaoriság 5 5 5 5 mgigylés sáma: -4-4 mgigylés sáma: 6-4 - 4 A mgigyl és a ills loslás édimiós ábráolása. Eloslásüggvéy q-vailis: a a éré, amlyél q valósíűséggl apu isbb: G - (q Spc.: q=/: mdiá G (, :,,..., - - - - Q-Q plo, ormális loslású miára 4
Eloslás illsdésé visgálaa: P-P plo Crális haárloslás-él: üggl, aoos, gyls losláso sadardiál össg (=5,,8, Probabiliy Plo A mgigyl és a ills loslás édimiós ábráolása (, G( :,,..., Empirical...4.6.8. Már 5 mgigylésr sm ross a illsdés -3 - - 3-3 - - 3-4 - 4 = 5-4 - 4 = 8-4 - 4-4 - 4 = -4-4 = 3...4.6.8. Modl Crális haárloslás-él: üggl, aoos, pociális losláso sadardiál össg (=5,,8, Crális haárloslás-él: üggl, aoos, Paro (=3 losláso sadardiál össg (=8,8, - 4-4 - 4-3 - - 3 4-4 - 4 I agyo lassú a ovrgcia - 4 6 8-4 6 = 5 = -3 - - 3-3 - - 3 = 8 = 8-4 -4-4 = 8-4 -4-4 = 3-3 - - 3-3 - - 3 = Crális haárloslás-él: üggl, aoos, Paro (= losláso sadardiál össg (=8,8,, Sabilis losláso I ics ovrgcia 5-3 4-5 5-3 - - 3 = 8 3 4-3 -3 - - 3 = 8 A ormális loslás iü srp ao alapul, hogy ljsí a ú. sabiliás: ha,y üggl, F loslásüggvéyű, aor sőlgs a,b sé mgadhaó sámo, hogy a+by loslásüggvéy F(+. (Aa a+by ugyaabba a losláscsaládba aroi, mi a össadadó. Bláhaó, hogy üggl, aoos loslású váloó össgé ormálás uái haárloslása csa sabilis lh. Ugyaaor mid ily sabilis loslás lő is áll haárloslásé. A crális haárloslás él övméy, hogy ics más végs sórású sabilis loslás. Ugyaaor m végs sórású va: pl. a Cauchy loslás, mly sűrűségüggvéy (=/(+ -3 - - 3-3 - - 3 = = +5 5