A nagy számok törvényének néhány alkalmazása. Valószínűségszámítás. Példák. Konvolúció. Normális eloszlások konvolúciója

Hasonló dokumentumok
Valószínűségszámítás. A standard normális eloszlás karakterisztikus függvénye. További tulajdonságok. További tulajdonságok.

ö á á á í á áá í ü í á á öá ü á í á á á ö ü áí á ó í á í ő í ü á ö ú á á á ö ó ó á í á á í á ü á ö ó ö ő í á ü í á ü á ó í ó á ü í ű á á á á á á áá á

A cikloisív alakú felületi egyenetlenség adatai közötti összefüggésekről








Á Á Ó É Á Ó É É Á Á ó ó é á ú í á á é á Á ó ű á ó í ó á á á ú ö űú é é ö ö ű ö ő á é ö ö é é ú ő á ú ő á ü á á ú ü á é ö ú ú á á á ú í á é ő é ó é é é

Szerszámgépek 5. előadás Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/ félév


Valós változós komplex függvények. y 0 görbe egyenlete komplex alakban: f x, y 0. Komplex változós komplex függvények y, ahol z x.

ELOSZLÁS, ELOSZLÁSFÜGGVÉNY, SŰRŰSÉGFÜGGVÉNY

ó í ó é é ó ö é ö ű ó é é é á é é é ú ő é á é ó ö á é é é é á á ö ú ő é é í é á ő é ú Ö í ö á á ú é é á á ö ú ő é á á á é é ó ö ú ő é ö ű ő é ő ó ű ő



é ő é ó á é ő ó í á á é ö é á é í é á á é é ű á é ö ö ö ó é ü ö ö ő é ó é ő á í á é í é é á á é í ű ö é Í é ü ö é ó é ü á ű é á ö á Í é ő é á á ó ő é


Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása


Ö É




A Laplace transzformáció és egyes alkalmazásai





ó ó É ö ó ó é á á ö ü ű ó ö ö ő é é é ű ó á é é é ű ó é á á é ö é í é á ő é á íí ó é á á í á ő é ü á ó ő á é ó é á á á ó é é ü ő ú é é ő ó ó ő á é é ő


í ű í Ü ő ö ö Á Á Á


á é é é é é é é é á é é é é á ú ó é ő á ő á é ű é á ó é é ő é ú ő á é é őá é é é é é é é á ő ö ő ö é á é ő é éé é é é á ő á é ő é á ó á ú á á é á é őí


ö é é é ö é é í ó á á í é üé é á á á é é á á á é é ő é é í é ő ü á é é é é ó á é ó á ú é á é ü á é é á ó á ü á á á ö é ü á á í é á é ó é ó á é ó é ó ó

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

ű Ú ű ű ű ű ű Ú ű Ö ű Ö Ú

Fűtéstechnika II. Példatár



ö ú í á á í ö á á í á í őí á í á á őí á á ő á ó ü ő á á í á í á ő á á ő ő á ű ő ö ú ú ő ő ö ő á á á í ó ö ő ő ö á ó á á í á ó á á ű ó ü á á ő ö á á á

á ő ü á á ó ó ő ü ő ó ő á í á ó á í ü á á ó á á ö í á ó á ó í á á á á ó á ú ö ó ö ö á ü á á ő á á á ó á á á ó ö ö ö íö í á á ú ö ö á á ó á á á ó ű á ó



1. Komplex szám rendje



á ő á ó á á ö á ö ő á á ő á á á á ő ő ö ö ö á ú á á ű ö á á á ü ó á á á ö ű á á á á á á ü ö Á í á á á ó á ö ű á í ü á É í á ó ü á á á á ó á ó ö ő ó á

ó á á ö ő á ű í ü á ö ű ö ú íű ő á ő á á ő á á í ú ú í ö ö á ű á ö ő ő ü ü í á á ő á á öü á á ü ó ó ü ú á í ű ő ű ó á á ó ó á ö ö ő á ü á ó í ű ó ő ü

Vezetéki termikus védelmi funkció

í í ü

ű ü Á


ľ ú ő ö ü ö ľü ő ľ ő ö ü ú ö ľ í ü ú í ö ľĺ ő ű ľ ö ü ľü ę đí ą ó ő ő ü ú í ľ í í ý đ ę öľ ü í ú í ó í ő ó í ő ő ö ö ú í í ö ö ľü ú í í ľ ľ Ü Ü í í ľ






Í Ú É Ö Ö ý ä Ö Ö Í É Ö Ö ľľ ľ ľ ŕ ľ ľ ä ť ä

Í ö ö ó ü ü Ó ó ü ő í ö ö í ü ő ü ü ó ő ő ö ö í ö É í ö ö í Í í í ő É í ü ü í ő ö ö ű ü í ü ó í ö É ü í ü í ü ó ö í í ű í ő ü ü ó É ü ü ü ü ü ö ő ü ö

Ftéstechnika I. Példatár

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

ú ő Ú ő ő ú ő Ú ú Á ő ő ú ő ő ű Ú Á ű ő ő



Elorejelzés (predikció vagy extrapoláció) Adatpótlás (interpoláció)


Nem-extenzív effektusok az elemi kvantumstatisztikában?


ő í ő ó ó ó ó í ó ö ó ó ő í ő ü Í ó í í ó ó í ő ő í Á ó ö ó ó í ö ü ö ó í ó í Ö í ó Ö ó ö ó ö ó ó í ó ó ö ő ó ó ó ő ö í ö ő ő ő ő ő ó ó í ó í ó ó í ü





á á ő ö á ő á ő ő őí á á á ő ö í í á ó ő í ó ó ö á á á á ó ö ö í á ő ö á ó í ő á á ű í á á ó á á í ó ó ö ü ö í ő ű í á ő á á á á á ó ö ö á á á ő ö ő ő

í á á á í á á á ő í ő ö ö ó ó á á ü á á ö í ó á á ö ű á ú á ü á ö á ő ő ő á á ő ő á á ő ő á ő á í á ó á í ó ó á í ó ö á ö í á í ő ö í ó ö í űö ű ó ö ü





















Átírás:

A agy sámo örvéyé éháy alalmaása Valósíűségsámíás. lőadás 5..5. Y Kovolúció Függl valósíűségi váloó össgé loslása Képl a absolú olyoos sr: ( ( u ( u du Y Y Bioyíásho a ljs valósíűség él mgllőj (a lőő épl igrálva a A halmao: A A u ( u du uá sri driválva apju a állíás. bből ( u Y u du ( u Y u du Példá Epociális losláso ovolúciója (üggl, aoos, paramérű pociális losláso össgé sűrűségüggvéy: h Y ( u ( u du du ha > és ülöb. agú össgr iducióval bioyíhaó, hogy a össg sűrűségüggvéy h ( (! ha > és ülöb (lvés: -d rdű, paramérű gamma loslás. Egyls losláso ovolúciója Függl, aoos, a [,] irvallumo gyls losláso össgé sűrűségüggvéy: du ( du ( Y ( gyls loslás Normális losláso ovolúciója Lgy (m,, Y pdig (m, paramérű ormális loslású,..h. üggl. Eor +Y is ormális loslású, ( m m, paramérl. Bioyíás: m =m = lhő, his ha -m +Y-m ormális loslású, aor +Y is.

Bioyíás bjés ( g( d ( ( ( p{ d } d p ( ( p d d Valódi haárlosláso Kérdés: lh- mlajul valósíűségi váloó a + +...+ haáréré, ha ügys ormálu? Tél: ha,,... üggl valósíűségi váloó, b sámsoroa, mlyr b és ( + +...+ /b valósíűséggl, aor valósíűséggl álladó. Tél. Ha,,... üggl valósíűségi váloó, b sámsoroa, mlyr b és ( + +...+ /b sochasiusa, aor valósíűséggl álladó. A bioyíás öl: sochasiusa ovrgs soroaa midig iválashaó valósíűséggl ovrgs réssoroaa. Gyg ovrgcia Diíció. gygé, ha a loslásüggvéyir ljsül: F ( F( a F mid olyoossági pojába. Mgjgyés. E a ovrgcia m mod smmi a valósíűségi váloó ölségéről. =[,], P= hossúság, =I [,.5] =I [.5,] sé F (=F(, aa ljsül a gyg ovrgcia. A iből a is lási, hogy a haáréré csa a loslása érds. A m célsrű mgövli, hogy F mid pojába ljsüljö a ovrgcia: = -/ sé = valósíűséggl. F (=, d F(= (F balról olyoos. A öbbi poba ljsül a ovrgcia: F (, ha <, F ( =, ha >. Ha sochasiusa, aor gygé is. Gráorüggvéy Lgy mgaív gés éréű valósíűségi váloó. A gráorüggvéy g (:= ==+=+ =+... Tulajdoságai: Végs, ha Mghaároa a loslásá: == g ( == g ( == g (/ sb. Ha és Y üggl, mgaív gés éréű: g +Y (= g (g Y (, mr +Y = Y = Y a ügglség mia. Példá Elajul loslásra: g (=. Idiáorváloóra g (= p+-p Biomiális loslásra g (=(p+-p Poisso loslásra! ( Kararisius üggvéy Kompl éréű valósíűségi váloó: Z=+iY, ahol és Y is valósíűségi váloó. Z:=+iY. (valós valósíűségi váloó ararisius üggvéy: (:= i =cos+isi Tulajdoságai: ( RC üggvéy, mly mid -r léi. (= mid -r ( (mr i i = Ha és Y üggl, +Y (= ( Y (, mr i(+y = i iy = i iy a ügglség mia.

További ulajdoságo Ha Y=a+b, aor Y (= ib (a Bioyíás: Y (= i(a+b = ib ia = ib (a. Kisámíása a absolú olyoos sr: i ( ( d cos( ( d i si( ( Példa. Ha gyls loslású a [-,] irvallumo, aor ( i ( d cos( si d si Álalába is: valós, ha loslása simmrius a -ra. d ( A sadard ormális loslás ararisius üggvéy Áll.: a sadard ormális loslás ararisius üggvéy: Ehh: lg s a (=- ( dirciálgyl. (E léygéb lég is: (log ( =-, amiből log (=- /+c, d log((= mia c=. ( cos( si( parciális igrálással. ( d ; '( si( ' cos( d d ( További ulajdoságo A ararisius üggvéy mghaároa a loslás (aa ülöböő loslásoho ülöböő ararisius üggvéy aroi. Taylor sorjés: gyü l, hogy végs valamily gés sámra. Eor mll i ( i ( i (... o(!!! ahol o( jlés, hogy l osva is -ho ar, ha. Bioyíás öl: a él lél sé ( -sr gyls olyoosa driválhaó és ( l ( i l ( i ( d További él Aa ( (= i és így a soásos Taylorsorjésből adódi a él. Ha ararisius üggvéy, aor gyls olyoos. Folyoossági él. Lgy ararisius üggvéy gy soroaa (jlölj Q a hoá aroó loslás. Ha pooé ovrgál gy -h, mly a -ba olyoos, aor is ararisius üggvéy, és a hoá aroó loslás épp a losláso Q gyg haáréré. Crális haárloslás él Lgy,,,,... üggl, aoos loslású valósíűségi váloó. Tgyü l, hogy =D ( végs (m:= i. Tisü a sadardiál össgü:... m Z : Eor Z gygé ovrgál a sadard ormális loslásho, aa... m P ( ahol a sadard ormális loslás loslásüggvéy. Bioyíás válaa Elgdő a Z ararisius üggvéyér blái, hogy (p{- /}. Ha ( jlöli a -m ararisius üggvéyé, aor + + + -m ararisius üggvéy (. Ebből ( ( A maradéagos Taylor ormula mia m ( i i! m! o( o( 3

( ( Bioyíás bjés o o( Mgjgyés. A él ulajdoépp már mgigylü a simulációál. Példá: gyls loslás gamma loslás A m aoos loslású s Eor a agy sámo örvéyéél már láo oo mia rősbb lél ll. A lggysrűbb s: ha,,,,... üggl, gyls orláos valósíűségi váloó (or i =D ( i végs, m i := i, aor a sadardiál össgü:... ( m... m Z :... Ha + + + aor Z gygé ovrgál a sadard ormális loslásho, aa Z ( P ahol a sadard ormális loslás loslásüggvéy. Álaláosíáso Ha m orláosa a ago, ovábbi lélr (pl. magasabb momumo léés, hasoló agyságrdű össadadó va süség. Gyg, a Brsi élb láo össüggőség sér is álaláosíhaó a él. Kovrgciasbsség Ha,,,,... üggl, aoos loslású valósíűségi váloó,..h. m=, =, aor... E sup P ( c (Brry-Essé él. Gyaorlaba agyo ügg a loslás alajáól. Például a gyls loslásra = lég jó ölíés ad, d a pociális loslásál =5 süségs. 3 Crális haárloslás-él: üggl, aoos, gyls losláso sadardiál össg (=5,,4,6 Eloslás illsdésé visgálaa: Q-Q plo I és a övő oldalao a ado sámú véll sámo grálu, sadardiálu a össgü, és - sor mgismélü mid sb. E uá a visgálu, hogy a apo véll sám myir va öl a sadard ormális loslásho. Gyaoriság Gyaoriság 5 5 5 5 mgigylés sáma: 5-4 - 4 mgigylés sáma: 4-4 - 4 Gyaoriság Gyaoriság 5 5 5 5 mgigylés sáma: -4-4 mgigylés sáma: 6-4 - 4 A mgigyl és a ills loslás édimiós ábráolása. Eloslásüggvéy q-vailis: a a éré, amlyél q valósíűséggl apu isbb: G - (q Spc.: q=/: mdiá G (, :,,..., - - - - Q-Q plo, ormális loslású miára 4

Eloslás illsdésé visgálaa: P-P plo Crális haárloslás-él: üggl, aoos, gyls losláso sadardiál össg (=5,,8, Probabiliy Plo A mgigyl és a ills loslás édimiós ábráolása (, G( :,,..., Empirical...4.6.8. Már 5 mgigylésr sm ross a illsdés -3 - - 3-3 - - 3-4 - 4 = 5-4 - 4 = 8-4 - 4-4 - 4 = -4-4 = 3...4.6.8. Modl Crális haárloslás-él: üggl, aoos, pociális losláso sadardiál össg (=5,,8, Crális haárloslás-él: üggl, aoos, Paro (=3 losláso sadardiál össg (=8,8, - 4-4 - 4-3 - - 3 4-4 - 4 I agyo lassú a ovrgcia - 4 6 8-4 6 = 5 = -3 - - 3-3 - - 3 = 8 = 8-4 -4-4 = 8-4 -4-4 = 3-3 - - 3-3 - - 3 = Crális haárloslás-él: üggl, aoos, Paro (= losláso sadardiál össg (=8,8,, Sabilis losláso I ics ovrgcia 5-3 4-5 5-3 - - 3 = 8 3 4-3 -3 - - 3 = 8 A ormális loslás iü srp ao alapul, hogy ljsí a ú. sabiliás: ha,y üggl, F loslásüggvéyű, aor sőlgs a,b sé mgadhaó sámo, hogy a+by loslásüggvéy F(+. (Aa a+by ugyaabba a losláscsaládba aroi, mi a össadadó. Bláhaó, hogy üggl, aoos loslású váloó össgé ormálás uái haárloslása csa sabilis lh. Ugyaaor mid ily sabilis loslás lő is áll haárloslásé. A crális haárloslás él övméy, hogy ics más végs sórású sabilis loslás. Ugyaaor m végs sórású va: pl. a Cauchy loslás, mly sűrűségüggvéy (=/(+ -3 - - 3-3 - - 3 = = +5 5