MIKROFIZIKA Atomok és molekulák Avogadro törvénye A hidrogén a kémiai elemek között a legkönnyebb, részecskéi (atomjai) a legkissebbek. (A hidrogén kétatomos gáz, egyatomos állapotban nem fordul elő. Molekulája két atomból áll, a hidrogénmolekula tömege kétszerese egy hidrogénatom tömegének. Ezt az egyszerű tényt úgy fejezzük ki, hogy a hidrogén molekulatömege 2 g.) A molekulatömeg fogalma jól ismert kémiából. Egy kémiai anyag, például valamely gáz, M molekulatömege (grammban mérve) azt fejezi ki, hogy ennek az anyagnak egy molekulája hányszor nagyobb tömegű, mint egy hidrogénatom. Bizonyos anyagok, mint például a fémek és egyatomos gázok esetén az anyagnak egy molekuláján egy atomját értjük, ilyenkor atomtömegről is beszélhetünk. A hidrogéngáz molekulatömege tehát: M H2 =2g. Tudjuk, hogy a hélium egyatomos gáz, molekulatömege, vagyis atomtömege M He =g, a nitrogén kétatomos gáz, molekulatömege M N2 =28g, az oxigén is kétatomos gáz, molekulatömege: M O2 =32g, az ammónia négyatomos gáz molekulatömege: M NH3 =17g. A levegő túlnyomórészt a kétatomos oxigén és a kétatomos nitrogén keveréke, átlagos molekulatömege 29 g. A szén-dioxid háromatomos gáz, a molekulatömege M CO2 =g, hiszen a szén atomtömege M C =12g. 1 A kémiában (és a termodinamikában) az anyag mennyiségének általánosan használt egysége a mol. Ez az anyag m tömegének és M molekulatömegének hányadosa: n = m M. Ebből látszik, hogy n mértékegysége [n] =1. 2 Avogadro nagy jelentőségű felismerése, hogy bármely anyag 1 mol-nyi mennyiségében ugyanannyi molekula (vagy atom) van. Ezt a számot pontosan Loschmidt 3 határozta meg és 6 10 23 -nak találta. Ezt hagyományosan L-lel jelöljük és Avogadro- vagy Loschmidt-számnak nevezzük. Így az anyag 1 mol-nyi mennyiségének tömege vagyis L =6 10 23 számú részecskéjének összes tömege a molekulatömeg. Például az, hogy a szén molekulatömege (azaz atomtömege) M C =12g, azt jelenti, hogy 6 10 23 szénatom tömege 12 g. Ebben a felfogásban az anyag moláris mennyiségét kifejező n = m/m arány azt mondja meg, hogy az anyag részecskéinek száma hányszorosa az L =6 10 23 Loschmidt-számnak. Illusztráljuk ezt az egyszerű elméletet egy példával! A H 2 O molekulában az oxigénatom tömege 16-szor nagyobb egy hidrogénatom tömegénél. Határozzuk meg, hogy hány vízmolekula van 1 liter vízben! A megoldáshoz jelöljük N-nel az 1 liter vízben lévő vízmolekulák számát! Az atomok között a hidrogénatom a legkisebb, így a hidrogén atomtömege 1 g, következésképp az oxigén atomtömege 16 g. A vízmolekulában két hidrogénatom és egy oxigénatom van, ezért a víz molekulatömege M H2 O =18g. Ez azt jelenti, hogy 18 g tömegű azaz 1 mol vízben 6 10 23 számú vízmolekula van. Mivel pedig 1 liter víz tömege 1 kg = 1000 g, következésképp 1 liter vízben 1000/18 = 55, 55 mol mennyiségű anyag 1 Régies elnevezés, de ma is használjuk a molekulasúly elnevezést is. Ebben a tekintetben nagyvonalúak lehetünk, hiszen a köznapi beszédben is a testsúlyunkról beszélünk, a dolgozatfüzetet és a ruhaszövetet is kockásnak mondjuk. Az nem tudományos botrány, ha néha évtizedekkel ezelőtti gyakori szavakat használunk. 2 A mol tehát az 1 szám itt szokásos elnevezése, olyan, mint a radiánban mért szög: α = ívhossz sugár. 3 Érdemes megtekinteni a http://kemia.bjg.hu/betuk/a/avogadro.html és a http://www.kfki.hu/ cheminfo/hun/olvaso/histchem/mol/loschm2.html oldalakat. Világos, hogy ez nem a természet rejtélyes egyezése, nem is pontos mérésekre hivatkozva állítjuk. Ezzel szemben arról van szó, hogy a tömeg egységének 1 liter víz tömegét választottuk. Mi akartuk így, ez a fizikusok döntése volt. 1
van. Ebből könnyen kapjuk, hogy 1 liter vízben N =55, 55 6 10 23 = 333 10 23 számú molekula van. Fontoljuk meg, a következőt! Érdekes következményhez jutunk, ha figyelembe vesszük a kontinummehanika egyik egyszerű feladatát. Ott azt kaptuk, hogy az 1 m 2 -es strandszőnyegre a levegő 10 5 N erőt fejt ki. 5 Aszőnyeg fölött 1 m 2 keresztmetszetű függőleges levegőoszlop tömege nagyjából 10 kg =10 7 g. A levegő többféle molekulából áll, de átlagos molekulatömege M lev. =29g. Így a strandszőnyeg fölötti függőleges levegőoszlopban közelítőleg 10 7 g 29 g 3, 8 105, azaz 35 ezer mol anyag van. Ez pedig azt jelenti, hogy a strandszőnyeg fölött 3, 8 10 6 cot = 6 10 23 =2 10 29 levegőmolekula lebeg. Gondoljuk tovább! A Föld sugara R = 6370 km = 6370 10 3 m, ezért 6 a Föld felszíne 5, 1 10 1 m 2.A Föld légkörében körülbelül 10 számú molekula van. (Ennek mintegy egy ötöde oxigén, tehát a légkörben rendelkezésünkre álló oxigénmolekulák száma 2 10 3.) Oldjuk meg a kiövetkező egyszerű problémát! A hélium atomtömege g, azaz 1 mol hélium tömege g. Határozzuk meg, hogy hány héliumatom van 0,32 g héliumgázban! A megoldáshoz fel kell használni, hogy az m tömegű M atomtömegű hélium molban mért anyagmenynyisége: n = m 0,32 M, a mi esetünkben n = = 0, 08 mol. Avogadro törvénye szerint n molnyi anyag részecskéinek száma N = nl =0, 08 6 10 23 =, 8 10 22. Ez a feladat is nagyon hasonló. A réz sűrűsége 8960 kg/m 3 atomtömege 63,5 g. Hány rézatom van 1 kg tömegű réztömbben? Mekkora térfogat jut egyetlen atomra? A megoldáshoz abból az egyszerű tényből indulunk ki, hogy a réztömb n = m M = 1000 =15, 75 mol anyagot tartalmaz, ezért az atomok száma N = nl =15, 75 6 10 23 =9, 88 10 2. Másrészt V = M ϱ = 1 8960 =1, 116 10 m 3. Egyetlen atomra jutó térfogat 63, 5 υ = V N = 1, 116 10 9, 88 10 2 =1, 18 10 23 m 3, másként szólva egyetlen atomra jutó térfogat 1, 18 10 23 köbmilliméter. Az egy atomra vagy egy molekulára jutó térfogatot fajlagos térfogatnak nevezzük. A fajlagos térfogat azonban nem egy atom (molekula) térfogata, a fajlagos térfogat csak akkor lehetne egy részecske térfogata, ha ezek nagyon szorosan összepréselődve alkotnák a testet. Az atommag szerkezete első látásra Egy elem atomtömegének nagyságát (szemléletesen szólva a mértékegység nélküli értékét ) az elem tömegszámának nevezzük. A hidrogén tömegszáma 1, a hélium tömegszáma, a nitrogén tömegszáma 1, az oxigéné 16, a szén tömegszáma 1. Egy elem tömegszám azt mutatja, hogy ennek az elemnek egy atomja hágyszor nagyobb tömegű, mint egy hidrogénatom tömege. Lehetséges azonban, hogy egy 5 Ezt persze ellensúlyozza a strand homokja által kifejtett erő. 6 Itt az alkalom, ismételjük át a kör kerületével, területével, a gömb felszínével, térfogatával kapcsolatos elemi tudnivalókat! 2
eleme tömegszáma nem egész szám, példáűul a klór tömegszáma: 35,53. Ennek az a magyarázata, hogy ennek az elemnek két (vagy több) különböző atomtömegű változata (izotópja) létezik. A kémiai elem különböző atomtömegű izotópok keveréke. Az iskolai föggvénytáblázatban megtalálható Mengyelejevféle peridódusos rendszert bemutató táblázatban az elem jele mellett olvasdható az elem tömegszáma. A periódusos renszerben a 3-dik helyen található szelén (Se) tömegszáma 79,0, a 26. helyen található vas (Fe) tömegszáma 55, 9 60. Egy elem periódusos renszerben elfoglalt helyének sorszámát az elem rendszámának nevezzük. A rendszámot gyakran Z-vel jelöljük. A hidrogén rendszáma 1, a hélium rendszáma 2, az oxigéné 8, a széné 29. A hidrogénatom magja egy protonból áll. A proton egységnyi pozitív töltésű részecske. Az elem renszáma azt mutatja meg, hogy az illető elem atommagja hányszorosa a hidrogén atommag töltésénéek, más szóval a rendszám: az elem atomagjában található protonok száma. A semleges atommagban a protonok száma egyenlő a mag körül keringő pontosabban a magot körülölelő elektronfelhőben található elektronok számával. Az elektron jele: e (= e) egységnyi negatív töltésű részecske. A proton tömege 1836,1-szerese az elektron tömegének, ezért jó közelítéssel elfogadhatjuk, hogy a proton tömege egyenló egy hidrogénatom tömegével. m p + =1, 67 10 27 kg q p + =+1, 60 10 19 C, A magban található pozitív tömegű protonok azonos tulajdonságúak a hidrogénatom magjával. 7 Nehéz elemek atommagjában található protonok bomlása megfigyelhető (gyenge kölcsönhatás) A proton gyakran használatos jele: p +, tömege megegyezik a hidrogénatom magjának tömegével, töltése egyenlő az elektron töltésével, pontosabban: annak negatívja: m e =9, 1 10 31 kg q e =+1, 60 10 19 C, A magban található másik részecske a neutron, jele n. A neutron semleges töltésű, tömege megegyezik a proton tömegével: 8 m n =1, 67927 10 27 kg q n =0C, A magot felépítő protonokat és neutronokat nukleonoknak nevezzük. A nukleonok nagyjából azonos tömegűek és vagy semlegesek (a neutronok) vagy egységnyi pozitív töltéssel rendelkeznek (protonok). 9 7 A protont 1918-ban Ernest Rutherford fedezte fel. A nitrogéngáz vizsgálatakor észrevette, hogy amikor alfa-részecske csapódott a gázba, akkor a szcintillátor hidrogént jelzett. Kimutatta, hogy az csak a nitrogénből jöhet, tehát a nitrogénnek tartalmaznia kell a hidrogén atommagot, az egyes tömegszámú atomot. A protont a görög első (protos) szóról nevezte el. (1932-ig nem volt ismert a neutron, és az atommag szerkezete sem.) Mindezidáig nem észleltek egyetlen eseményt sem, amiből arra következtethetünk, hogy a proton elbomolhat. A szabad proton élettartama 10 30 év. 8 1930-ban Walther Bothe és H. Becker azt találták, hogy ha nagy energiájú alfa-részecskékkel bizonyos könnyű elemeket (berillium, bór, lítium) bombáznak, akkor egy rendkívüli áthatolóképességű sugárzás keletkezik. A neutront végül James Chadwick fedezte fel, aki ezért Nobel-díjat kapott. (Tanulmányozzuk át a http://hu.wikipedia.org/wiki/ernest_rutherford http://hu.wikipedia.org/wiki/james_chadwick oldalakat!) Azt feltételezte, hogy egy protonnal nagyjából egyező tömegű semleges részecske lökődik ki. Ezt a feltételezését több kísérlet elvégzésével igazolta is. A részecskét semleges volta miatt nevezték el neutronnak (neutral=semleges). Az atommagon kívüli, szabad neutron nem stabil, átlagos élettartama 15 perc, protonra, elektronra és anti-elektronneutrínóra bomlik: n p + e + ν e. 9 Itt érdemes elgondolkodni azon, hogy vajon könnyű-e válaszolni arra a kérdésre, hogy mit is jelent az, hogy egy testnek elektromos töltése van. Most látszik, hogy ez bizony nehéz kérdés, nehéz lenne megvilágítani, hogy mi az a minőség, amely a protont elektromos állapotúvá teszi a semleges neutronnal szemben! A leghelyesebb, ha az elektromos töltést a tömeghez hasonlóan alapfogalomnak tekintjük. Az alapfogalmakat nem definiáljuk, ezért nem is illik a fenti kérdést feltenni. 3
A rádium rendszáma 88, tömegszáma 226. Egy kapszulában mg rádium van. Hány rádiumatomot tartalmaz a kapszula? Hány elektron van ennyi rádiumban? Mennyi az elektronok összes tömege és mekkora az összes töltése? A rádium magjának tömege 226 hidrogénatom tömegével egyenlő, azaz 226 1, 67 10 27 =3, 7710 25 kg, töltése a proton töltésének 88-szorosa, azaz 88 1, 60 10 19 =1, 08 10 79 C. Az elektron egységnyi (e = 1, 6 10 19 C) negatív töltésű, m e = 9, 1 10 31 kg tömegű elemi részecske. Az atomokat a protonokból és neutronokból felépülő atommag és az azt körülvevő elektronfelhő alkotja. Az anyag kémiai tulajdonságait az atom elektronszerkezete szabja meg. A fémek elektromos vezetése az elektronok mozgására vezethető vissza. 10 A rádium rendszáma 88, tömegszáma 226. Mely és mennyi elemi részecskéből áll a rádiumatom magja? Mekkora egy rádiumatom magjának tömege és töltése? A megoldás lényege a következő. A 226 88 Ra rádium magjában 226 azonos tömegű nukleon van. Az m =mg =0, 00 g tömegű rádium mennyisége molban kifejezve: n = m M = 0,00 226 =1, 77 10 5, (azaz 17,7 mikromol), ezért ebben a mennyiségben N = nl =1, 77 10 5 6 10 23 =1, 062 10 19 számú atom van. Jelöljük az elem rendszámot hagyományosan Z-vel! Most tehát Z =88, vagyis egy rádiumatom magjában 88 proton van és a semleges atom héja 88 elektront tartalmaz. A vizsgált anyagban az elektronok összes tömege N Z m e =1, 062 10 19 88 9, 1 10 31 =9, 66 10 10 kg =8, 5 10 8 g. Továbbá az elektronok összes töltése N Z e =1, 062 10 20 88 ( 1, 6 10 19 )= 19, 5 C 150 C. Természetesen ugyanekkora pozitív töltése van a mg rádium atommagjaiban az összes protonnak együttesen. Ez meglepően nagy töltés. Radioaktív bomlás A 238-as tömegszámú urán oxidja három uránatomból és nyolc oxigénatomból áll, a molekula tapasztalati képlete: U 3 O 8. Határozzuk meg, hogy hány molekula van 120 mg uránoxidban! Az urán természetes rádioaktivitás folyamatában átalakul, a molekulák fele,5 milliárd (, 5 10 9 ) év alatt bomlik el. Mennyi marad az U 3 O 8 uránoxidból 9 milliárd év múlva? Mennyi volt az uránoxid mennyisége,5 milliárd évvel ezelőtt? A megoldáshoz induljunk ki abból, hogy az U 3 O 8 molekulában három 238-as tömegsámú uránatom és nyolc 16-as tömegszámű oxigén atom van. Ezért a vegyület molekulatömege M = 3 238+8 16 = 82 g. Ez azt jelenti, hogy 82 gramm U 3 O 8 -ban L =6 10 23 molekula van. Így tehát az m = 120 mg anyagban N = m M L =8, 55 1019 számú uránosid melekula található. A természetes rádioaktiovitás olyan folyamat, amelyben bizonyos atommagok spontán, véletlenszerűen átalakulnak. Ennek a jelenségnek a mérhető mennyiségek szintjén az a legfontosabb tulajdonsága, hogy ha egy bizonyos rádioaktiv anyagnak N részecskéjéből ΔN bomlik el valamely adott idő alatt, akkor 2 N részecskéjéből 2 ΔN számú bomlik el ugyanennyi idő alatt. Szemléletesen fogalmazva: az ΔN/N arány nem függ N-től. Ha tehát,5 milliárd év alatt N =8, 55 10 19 számú uránoxid molekulának fele bomlik el, tehát fele, azaz N/2 =, 275 10 19 számú uránoxid marad, akkor újabb,5 10 Az elektront J. J. Thomson fedezte fel 1897-ben Kimutatta, hogy a katódsugarak elektronokból állnak, 1909-ben R. A. Millikan meghatározta az elektron töltését.
milliárd év alatt az N/2 =, 275 10 19 mennyiségnek ismét fele bomlik el, vagyis N/ =2, 1375 10 19 részecske marad. Könnyen válaszolhatunk arra a kérdésre is, hogy mekkora volt a rádioaktív uránoxid mennyisége,5 milliárd évvel ezelőtt. A rádioktív részecskék száma akkor 2 8, 55 10 19 =1, 71 10 20 volt. De vigyázni kell, nem szabad visszafelé következtetni anélkül, hogy ismernénk a Világegyetem anyagának állapotait,5 milliárd, 9 milliárd, 13,5 milliárd éve. A rádioaktív bomlás törvénye kissé pontosabban fogalmazva azt állítja, hogy az elbomlott anyag mennyisége (a mennyiség csökkenése) arányos az anyag pillanatnyi értékével:δn N, időegységre vonatkoztatva: ΔN = λn, a negatív előjel azt fejezi ki, hogy az anyag mennyisége a rádioaktivitás következétben csökken. Itt ΔN 1. ábra. a bomlás sebessége. Röviden Ṅ -tal is jelöljük: Ṅ, ennek abszolút értéke az anyag aktivitása. Mértékegysége bomlás/másodperc, azaz [Ṅ] =[ΔN ]= 1/s, ezt itt becquerelnek nevezzük és Bq-val jelöljük. (1. ábra). Világos tehát, hogy ha valamely állandónak tekinhető rádioaktív izotóp aktivitása például 0,3 MBq, azaz 300 000 Bq, akkor ezt azt jelenti, hogy másodpercenként 300 ezer atom bomlik el, és mondjuk 5 perc alatt 5 60 300 000 = 90 000 000 számú bomlás következik be. Figyeljünk fel arra, hogy az aktivitás a rádioktív anyag (észecskeszámmal kifejezett) mennyiségének időegségre eső megváltozása, nem nehéz felismerni, hogy a sebességgel rokon fogalom. Ez is érdekes, hogy a mértékegysége 1/s, amit Hz-cel is jelölhetnénk, tehát Hz=Bq, ez azonban nagyon szokatlan lenne. Jelöljük N 0 -lal valamely rádioaktív anyagmennyiségét a 0 pillantban és jelöljük N(t)-vel t idő mulva. Ha visszatérünk a kitűzett feladathoz és T -vel jelöljük azt az időt, amely alatt a rádioktav anyag mennyisége felére csökken, akkor tehát t = T idő elteltével az anyag mennyisége N(T )=N 0 2 t T = = ΔN N 0 2 1 = N 0 2. De ha t =2T, akkor N(t) =N(2T )=N 0 2 2T T = N 0 2 2 = N 0, a kezdeti anyagmennyiség negyede marad. Ebből megsejthető a reszecskeszám időfüggése: N(t) =N 0 2 t T, vagyis a rádioaktív anyag mennyiségének időbeli változását exponenciális függvény írja le. Ezt írhatjuk a fizikában fontos hatványalap használatával. Matematikából tudjuk, hogy 2 x =ln2 e x, ahol e 2, 71, a természetes logaritmus alapszáma. Ezért N(t) =N 0 ln 2 e t T = N0 e ln 2 t T. 5