LC négypólusok szimulálása aktív áramkörökkel

NEMES S Z E G H Y GYÖRGY Közlekedési és Távközlési Műszaki Főiskola LC négypólusok szimulálása aktív áramkörökkel ETO 623725457:6237257 Ebben a cikkben ismertetjük az aktív C szűrőket, az aktív R szűrőket és az LC szűrők szimulálását FEN (frequency emphasizing network) áramkörök segítségével IKapu 3i ) c ZKapu Aktív C szűrők Régóta ismeretes, hogy az induktivitás megvalósítható girátor segítségével Amennyiben LC szűrőket tervezünk, és az induktivitásokat girátorral helyettesítjük, akkor áramkörünkben csak kapacitásokból és aktív elemekből felépített girátorok lesznek, ezért ezt a kapcsolást aktív C kapcsolásnak hívják A girátor Tellegen meghatározása szerint olyan kapcsolási elem, amelynek admittancia-mátrixa a következő: 9t L- 2 () Amennyiben g x =g 2 valós, a fenti admittancia-mátrix olyan reciprok passzív elemet ír le, amit aktív áramkörökkel szokás megvalósítani Ha g ± nem egyenlő </ 2 -vel vagy a g értékei nem valósak, az admittanciamátrix nem reciprok aktív elemet definiál Leginkább olyan girátort használunk, amelyben g x és g 2 egymástól különböző valós konstans A girátor admittancia-mátrixát átírtuk láricmátrixba: L-fc V9i 9i Reciprok hálózatok láncdeterminánsa egy Látjuk, ez akkor teljesül, ha g =g 2 - A láncparaméterekkel könnyen kiadódik a kondenzátorral lezárt girátor bemenő impedanciája: ^be s-c (2) (3) Kapcsolat a szűrővel ^ o- ) c 9,,-S, V 2 -o ^ \ Passzív reaktív y z J terhelés Jnduktlvitás T3 D 4 +c 9 i 9 2a ' ) c 9 b r9 2b Lebegő"induktivitás ) c ) c 9 a \~T( 9^ J d e á U s 9 2a 9 2b j transzfor- / mátor ábra \H 353-NG] A bemenő impedancia tehát L- C * 9i9i induktivitás Kapcsoljunk láncba két girátort Az eredő láncmátrixot mátrixszorzással számíthatjuk ki l/ffu -,2 V<7ii,i ",2 n,2 9i,i,2,- (4) Látjuk, az ideális transzformátor láncmátrixa adódik,«a girátor felhasználásának egyik legtöbbet ígérő ha módja az, ha az ohmos lezárású, veszteség nélküli LC szűrőkben az induktivitásokat girátorral helyette- 9u,2-gi,2 II,I-I,I- sítjük Így olyan ideális szűrőket kaphatunk, amelyekben adott frekvenciákon a csillapítás zérus, és Beérkezett: 975 I 9 erősítés sem lép fel Tudvalevő, hogy az aktív RC 246

NEMESSZEGHY GY: LC NÉGYPÓLUSOK SZIMULÁLÁSA szűrők megvalósításakor nehézséget okoz az amplitúdó-karakterisztika túlságos érzékenysége az elemtoleranciákkal szemben A fent ismertetett módon, girátor segítségével mégépített aktív C szűrők érzékenysége az LC szűrőkéhez áll közel, amelyek érzékenység szempontjából előnyösebb tulajdonságúak, mint az aktív RC szűrők Ochard kimutatta, hogy különösen kicsi az elemtolerancia-érzékenység az ideális LC szűrőknél, amelyek csillapítása á lehető legtöbb fekvencián zérus A reflexiómentes illesztési frekvenciákon ugyanis az amplitúdó-karakterisztika deriváltja zérus, azonkívül ezeken a frekvenciákon a csillapítás csak csökkenhet és nem növekedhet az elemértékek megváltoztatásakor Különösen előnyös a girátoros aktív C szűrő alkalmazása aktív RC szűrők helyett magasabb fokú, nagy q-]ú szűrőknél Külön kell szólnunk a lebegő és a földelt induktivitás girátoros realizálásáról Az egyik végén földelt induktivitás realizálását a (2) és (3) képlet alapján végezhetjük el Ügyelni kell arra, hogy az áramkörre csak a kondenzátorral lezárt girátor bemenő impedanciájának legyen hatása A lebegő induktivitás megvalósítása érdekében kössünk láncba egy girátort, egy kondenzátort, majd egy újabb girátort Az eredő láncmátrixot mátrixszorzással könnyen megkaphatjuk: /ffis o /,!7II,I sc,2 ",2,2 9i,i sc n,i o,,2 Látjuk, ha #, =#i, 2 és i,i = gii, 2, akkor C L =, így soros induktivitást tartalmazó negy-,2,2 pólus láncmátrixát kaptuk meg Az ábrán a girátor szimbolikus jelölését, a földelt induktivitás, a lebegő induktivitás és az ideális transzformátor girátoros megvalósítását vázoltuk fel Girátor és girátoros szűrő megvalósítása A girátor megvalósítását az () admittancia-mátrix felbontásával szokták megoldani: Y = " i + " " -2 A két admittancia-mátrix külön-külön egy-egy feszültségvezérelt áramgenerátor admittancia-mátrixa A girátor tehát két feszültségvezérelt áramgenerátor párhuzamos kapcsolása A sokfajta és az irodalomban gyakran szereplő girátorok közül a Riordan girátort választottuk ki, amelyet a 2 ábrán vázoltunk fel*[l] A 2 ábrán az l-es kapu bemenő ellenállása induktív jellegű, a két műveleti erősítő erősítése legalább 6 db, és a girátor-ellenállások 2 kohm nagyságrendűek A két erősítő feszültségerősítése: "be/"ki = e ií!+/ > \ -oh) a h o i = l»2, e, a kisfrekvenciás erősítés reciproka és co i a nyitott hurkú erősítés 3 db-es pontjához tartozó frekvencia A felhasználás szempontjából az az érdekes, hogy a szimulált induktivitásra a 2 ábrán látható kapcsolás analízise révén milyen összefüggés adódik Ezenkívül még az induktivitás jósági tényezőjét (q) vagy annak reciprokát (D: disszipációs faktor) is ismernünk kell A számításokat elvégezve eredményül a következőkifejezéseket kapjuk: L = R-^R^R^C Ro D^coC^coC 2 R^R^ (Ri+Rzf R,-R co cocrm, 2 3 R R 2 - + e 2 co 2 cocr 3 + - co (R,+R 2 f cocr^ CO- R,R 2 co, cocr - + ~~Ro (5) (6) R3 Ideális induktivitást végtelen erősítés (e = e 2 = ) és C^C^ esetben kapunk Ilyenkor: -CD- R 2 -CD- 2 ábra \H353-NG2\ L _ R^RiC R T ~ D = A kisfrekvenciás tartományban a körfrekvencia kicsi az a^-hez és co 2 -höz képest, ezért azokat a tagokat, amelyekben co/co l (í =,2) szerepel elhagyhatjuk Amennyiben nem kötünk be külön és C kondenzátorokat, és csak az erősítők néhány pf-os be- 247

8ői 23 235 Hl i H- X ±23 d=i23l d=37 HÍRADÁSTECHNIKA XXVI ÉVF 8 SZ Z72 27e HhrHh J-5 69 69 +-t f "I " ±6 z±s3 s±t29 3si -359 MOa Y57 9,2 3,2 8,55 3,7 Pólusfrekvenciák [khz] 8,35,3,8 \H3S3-NG3] 3 ábra menő kapacitásai jönnek számításba, akkor D kifejezésében az első két tagot elhagyhatjuk: D-- í + \cogr 3 cocrra R 2 J A zárójelben levő kifejezéseknek cocr 3 szerint akkor van minimuma, ha D minimumának értéke: --2e Ff Végül felírjuk az R^R^ speciális esetet, amikor a következő egyszerű eredmények adódnak: D=co(C R - R 3 )+e, L=R s R l (l+4e ), {JR 3 +COCR*) Az ismertetett Riordan-girátorral egyik végén földelt induktivitást lehet szimulálni Előnyös például sávszűrőből 7-ed rendű telefon-csatornaszűrőt készíteni, szimmetrikus terhelésnél ehhez 8 db girátor kell Nagy zárócsillapítás elérése érdekében a párhuzamos rezgőkörökkel sorba kötött kapacitások pólusokat ültetnek be [] A 3 ábrán látható sávszűrő számítógépprogramok segítségével könnyen szintetizálható Aszimmetrikus lezárás esetében a [2] irodalomban ismertetett módszerünk szerint az egyik szélső alaptagot szimmetrikus-aszimmetrikus transzformációnak kell alávetni Túl nagy impedanciatranszformáció esetén a szimmetrikus-aszimmetrikus transzformáció negatív kapacitású kondenzátor beépítését teszi szükségessé Aktív áramkörökkel azonban nem nehéz negatív kapacitást szimulálni A negatív kapacitású kondenzátor felépíthető pozitív kapacitású kondenzátorból és negatív impedancia konverterből A negatív kapacitású kondenzátor a 4 ábra szerint megépíthető két ellenállás, egy kapacitás és egy műveleti erősítő segítségével Amennyiben a 4 ábrán a szaggatott vonallal berajzolt R 3 ellenállást és kapacitást nem kötjük be, a bemenő admittancia: Y = -]CO R, A negatív kapacitás abszolút értéke: R 2 C /R A stabil egyenszint biztosítására be kell kötnünk az R s ellenállást, ekkor a bemenő admittancia: RJi, jco Most negatív induktanciát kaptunk, amelynek jósági tényezője C^Rg Végtelen q-t akkor kapunk, ha a bemenetre R» értékű vezetőképességet kapcsodéiig lünk, amely a bemenő admittancia valós részével zérust ad Azonban sajnos, így a négy ellenállás hidat alkot, amelyet a bekötésével kell kompenzálni Ekkor a bemenő admittancia: Y ^ C R 2 - ^ - - i c o ^ + ^ Amennyiben C!> 2 C JR /? 3 =, akkor ezen a frekvenciád végtelen q érhető el A lebegő induktivitás problémája Említettük már, hogy ha kondenzátorral lezárt girátorral kaszkádba újabb girátort kapcsolunk, akkor lebegő (egyik végén sem földelt) induktivitást kapunk A [3] irodalom tranzisztorokból felépített, mintegy lebegő (semi floating) girátort ismertet, amely egymagában képes lebegő induktivitást szimulálni Az 5 ábrán felvázoltuk a semi floating girátor kapcsolási rajzát A 6 ábrán azt láthatjuk, hogyan lehet aluláteresztő LC szűrőt lebegő girátorral és semi floating girátorral szimulálni ««Negatív kapacitás szimulálása 4 ábra 248

NEMESSZEGHY GY: LC NÉGYPÓLUSOK SZIMULÁLÁSA Rf - R/+ R" rajta eső feszültség között a következő összefüggést kapjuk: d 2 u i=n- dt 2 ' Az AT-et, mivel negatív admittanciát eredményez,, negadításnak neveztük el A párhuzamos LCR rezgőkör admittanciája: Y LCH (s) = G+sC + sl 2Kapu o5 A transzformáció legyen s-sel való szorzás: Y NCR (s) = ^LCR(S) = * G + s 2 C+- (7) Semi floatmg'' + 5 ábra Semi floatmg'' Ti r~~~j r\ I ms! ms I i l ^ 6 áfcra \H 353-NG5 fluating'- Előnyösebbnek látszik azonban, ha a lebegő induktivitás problémáját a következő fejezetben ismertetésre kerülő FDNR elemekkel oldjuk meg Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a girátoros szűrő realizálásához minimális induktivitásszámú LC szűrők, illetve szűrőláncok szintézise szükséges Az LCR hálózat és a NRC hálózat megfeleltetése a (7) összefüggésből leolvasható Az LRC hálózat vezetőképességéből kapacitás, kapacitásából negaditás, az induktivitás reciprokából vezetőképesség lesz írjuk fel a Z impedanciájú és Y admittanciájú szimmetrikus n tag láncmátrixát: ri +ZY [2Y+ZY 2 Z +ZY A (7) összefüggésből látjuk, hogy Y NCR= : S Y LCR» -^LCR szont Z N C R = tehát Z NCH -Y NCR Z LCR -Y LCÍi Az LC hálózatnak megfelelő NR hálózat a, d láncparamétere tehát szintén valós A b, c láncparaméterek jellege más az LC és az NR hálózatokban Vegyük azonban figyelembe, hogy a karakterisztikus függvény számításakor b-t az ohmos lezáró ellenállással osztani, c-t pedig szorozni kell Mivel az ohmos lezáró ellenállás vezetőképességének az NR hálózatokban kondenzátor kapacitása felel meg, ezért az ohmos ellenállással lezárt LC TI tag karakterisztikus függvénye azonos lesz a kondenzátorral lezárt NR n tag karakterisztikus függvényével Mindez természetesen a % tagokból összerakott, tetszés szerinti láncokra is igaz Az elmondottakat T tagokra is kiterjeszthetjük A 7 ábrán a [2] irodalomban Puskás-szűrőnek elnevezett, ohmos lezárásit V I _ LCR hálózatok szimulálása FDNR elemekkel A pozitív immittancia konverter (P/C) megadható FDNR (Frequency-Dependent Negatív Resistance) elemekkel Az FDNR elemek bevezetésekor olyan transzformációt adunk meg, amely az LCR hálózatot áttranszformálja ellenállásokból, kondenzátorokból és FDNR elemekből álló hálózatra Az FDNR elemet az admittanciájával definiáljuk: Y(s) = s 2 N Az időtartományban az FDNR elemen átfolyó áram és a ív, 7 ábra \H 353-NG7\ 249

HÍRADÁSTECHNIKA XXVI ÉVF 8 SZ szűrőnek a transzformált alakját, az új FDNR elem jelölését és a kapcsolás PIC megvalósítását vázoltuk fel összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a lebegő induktivitás problémáját megoldottuk, hiszen az induktivitást áttranszformáltuk ohmos ellenállásba Viszont előtérbe lépett a lebegő kapacitás problémája Megállapítható az is, hogy az FDNR elemes realizációhoz minimális kapacitásszámra történő négypólusszintézis szükséges FDNR elem realizálása nullátorok és norátorok segítségével Említettük már, hogy FDNR elem előállítható pozitív immitancia-konverterrel (PIC) A PIC-et viszont a 8 ábra szerint könnyen felrajzolhatjuk nullá- 9 ábra M/J MSL iglfsl fosjt o J_ G C L, 275 -=3- hl U 752 979,786 8 ábra H 353-NG8] 6 I 786 torok és norátorok segítségével A 8 ábrán felvázolt kapcsolás bemenő impedanciája: Z n (s) = Z 3 (s) Z s legyen ohmos (R s ), Z és Z 2 pedig kapacitív jellegű, akkor a bemenő impedancia: Z n (s) = - s^cjc^rs Áttérve admittanciára: y u (s)= S 2 C i Í Í 3 A pozitív immitancia-konverter bemenete így FDNR elemet állított elő: N=C R S A 9 ábrán vázoltuk fel a 8 ábrán megadott FDNR elemek megvalósítását Az s=fco helyettesítéssel: A bemenő ellenállás tehát frekvenciafüggő negatív ellenállás lesz, amellyel ha pozitív R ellenállást kötünk párhuzamosan, akkor kapjuk: ábra Visszatérve az s síkra, a képzetes tengelyen s= = ±7 ^ p pólushelyeket kapjuk A negáditás (N) és ohmos vezetőképesség (G) párhuzamos kapcsolása az előző fejezetben tárgyalt megfeleltetés szerint párhuzamos rezgőkört alkot A ábrán a [4] irodalom alapján közlünk egy gyakorlatban is megépített FDNR elemes kapcsolást LC szűrők amplitúdó-karakterisztikájának szimulálása FEN áramkörök segítségével FEN a Frequency Émphasing Network rövidítése, és olyan aktív hálózatot jelent, amely bizonyos frekvencián kiemelést végez Nevezhetjük a FEN áramköröket aktív amplitúdókorrektoroknak is Az LC szűrő teljes szimulálása FEN áramkörökkel általában nehézségbe ütközik, hiszen az aktív áramkörök nem reciprok elemek, szemben az LC szűrők reciprok tulajdonságával Ezért a FEN áramkörökkel az LC szűrők valamelyik amplitúdó-karakterisztikáját szimuláljuk két lépésben Először az LC szűrő amplitúdó-karakterisztikáját RC négypólussal approximáljuk, majd FEN áramkörrel beállítjuk ugyanazt az amplitúdókarakterisztikát, ami az LC szűrőnek van [5] 25

NEMESSZEGHY GY: LC NÉGYPÓLUSOK SZIMULÁLÁSA A feszültségátviteli karakterisztikára elmondottakat másodfokú szűrőre a ábrán szemléltetjük A ábrán felvázolt LCR szűrő feszültségátviteli karakterisztikáját a passzív RC négypólus transzfer admittancia-karakterisztikájából és az aktív korrektor transzfer impedancia-karakterisztikájából rakhatjuk össze Magasabb fokú szűrők esetében első lépésként a szűrőket szét kell bontani másodfokú tagokra, majd ezek amplitúdó-karakterisztikáját a ábrán vázolt módon RC négypólus és aktív korrektor segítségével realizálhatjuk Realizáljuk az m-ed fokú feszültségátviteli függvényt: T m (s) = b ms m + b m - s m - + a n s n +a n _is n - + +a s + a ahol n^m Az első lépés a fenti tört átalakítása másodfokú tényezőkre: T m (s)= JJ Tj(s)= JJ K { - i = l q «ahol <fc az i-edik jósági tényező, ÍÖJ pedig az i-edik természetes körfrekvencia Ezután* a másodfokú feszültségátviteli függvény megvalósítása következik Külön érdemes foglalkozni a kis (,5^ q p^ 5), a közepes (5s<7 p s5) és a nagy (5s <7 P^ 5) jósági tényezőjű áramkörökkel ' Közepes jósági tényezőjű áramkör Először közepes q-]ú másodfokú hálózattal foglalkozunk, amelyek q-ja 5 és 5 közé esik A szűrőt passzív RC tagból és aktív korrektorból állítjuk össze A számba jöhető másodfokú transzfer admittanciákat realizáló RC négypólusok közül néhányat a 6 ábrán tüntettünk fel [5] Az eredő feszültségátviteli függvény az RC négypólus transzfer admittanciájának és az aktív korrektor transzfer impedanciájának a szorzatából adódik Mivel eredőként is másodfokú függvényt akarunk kapni, ezért a transzfer admittancia nevezőjét és a transzfer impedancia számlálóját azonosra kell választani: U fj^ (^a)rc' C^2I)KORR ^ R K, KORR ÍR ÍP Az első tényezőt az 6 ábrából aszerint választjuk ki, hogy sávszűrőt, alul- vagy felüláteresztő szűrőt kívánunk-e realizálni Például sávszűrő esetében a 6fc, aluláteresztő szűrő esetében 6a változat használható fel A második tényező, az aktív korrektor transzfer impedanciája előnyösen valósítható meg T vagy kettős T híddal visszacsatolt aktív áramkörrel, amely bizonyos frekvencián elvégzi a kiemelést Például a 2 ábrán felvázolt sávszűrő aktív korrektorának transzfer impedanciája a következőképpen írható fel: ft) n S* + - C^2l)K' ORR" KORR ' ábra \H353-NGH\ \_(WR rc hálózat ^ (Z 2i ) A Aktív korrektor J 2 ábra [H353-NG2] 25

HÍRADÁSTECHNIKA XXVI ÉVF 8 SZ ahol K KQRH =^-R P> ^RC' V A bemeneti RC négypólust a 66 ábrából másoltuk át így: 9R = c» p n = l/r^cz /R R 2 C (R^R^+R^ Az eredő K=K n K KRn, tehát: K= ^ A zérus-pólus kiejtés miatt:, MBAQ es (i? +i? 2 )C +i? 2 4 ' Aktív kis q-/ú hqlázat 3 ábra H 353-NG3] (lb 2 -)R R Naguq-jú -c=y- -t=j fti- FEN 7 R R 2C R a ff* Ezek után már könnyű olyan számítógépprogramot készíteni, amellyel a számítógép az adott specifikációs adatokból kiszámítja a kapcsolási paraméterek értékeit Az aktív korrektor két műveleti erősítője közül a jtt invertáló, a /? nem invertáló erősítő Az co p körfrekvencián kiegyenlített kettős T híd a visszacsatoló hurok, amelynek a jósági tényezője q R r YJR 4 ábra a 2i )A \H3S3-NG(] Ideális esetben (j,=r F /R (i q p érzékenysége (8) alapján: (8) a Aq ÍR r + p (9) A (9) alapján kb 5% stabilitás specifikálható 5-es g p -nél Nem célunk a konkrét megvalósítás részletes tárgyalása, csupán megemlítjük, hogy mint minden visszacsatolt aktív áramkört, ezt is kompenzálni kell a parazita oszcilláció kiküszöbölése érdekében A kompenzált áramkör nyitott hurkú erősítésének a csökkenése beállítható 6 db/oktávra K K ín M ÍOOrl Frekvencia khz-ben IHm] ff W Passzív kristály LC 25 á&ra \H 353-NG /5 Kis (,5=sq=s5) és nagy (5=sqss5) jósági tényezőjű áramkörök Kis q esetében egyetlen visszacsatolt hálózattal realizálható a másodfokú feszültségátviteli függvény Kis q-]ú általános hálózatot a 3 ábrán tüntettünk fel A 3 ábrán levő kapcsolás alapján kapjuk meg a speciális eseteket, különböző összekötések elhagyásával A nagy q-]ú áramkört úgy realizálhatjuk, hogy a most ismertetett kis q-']ú aktív áramkört kiegészítjük egy aktív korrektorral A 4 ábrán látható a nagy q-jú aktív korrektor kapcsolása A számítógépes szintézis a kis és nagy q-\ú hálózatoknál sem ütközik nehézségbe A FEN áramkörös realizálás előnyei és felhasználási területe A FEN realizáció már átvezet az aktív RC szűrőkhöz A sorozatgyártás szempontjából nagy előny a blokkos felépítés A közepes q-]ú áramköröknél ugyanazt az aktív korrektort többféleképpen is felhasználhatjuk, készíthetünk alul- és felüláteresztő szűrőt, valamint sávszűrőt is, csupán a passzív RC négypólust kell változtatni A kis q-]ú aktív hálózat önmagában is és a nagy q-]ú hálózat előtagjaként is felhasználható Végül a 5 ábrán megadjuk a passzív LC szűrők, a kristályszűrők és FEN áramköri blokkok felhasználási tartományát 252

NEMESSZEGHY GY: LC NÉGYPÓLUSOK SZIMULÁLÁSA % R, 2 'P Ri 'o s 2 C, C,> aj Ci R, ff? In C, R R? <o R, R 2 -o o- 6 ábra I R O D A L O M [] Orchard, H J Desmond Sheahan, F: Inductorless Bandpass Filters IEEE J Solid-State Circuits, June 97 [2] Nemesszeghy Gy: Aszimmetrikus illesztő négypólusok számítógépes szimulációja Híradástechnika, 972 szeptember [3] Harvey, Holmes, W Heinlein, E Grützmann: Sharp- Cutoff Lo-w-Pass Filters Using Floating Gyrators IEEE J Solid-State Circuits, Febr 969 {H353-NG6\ [4] Bruton, L T: Frequency Selectivity Using Positive Impedance Gonverter-Type Networks Proc IEEE, Aug 968 [5] Moschytz, G S: FEN Filter Design Using Tantalum and Silicon Integrated Circuits Proc IEEE Apr 97 [6] Bruton, L T: Network Transfer Functions Using the Concept of Frequency-Dependent Negative Resistance IEEE, Trans Circuit Theory, Aug 969