Pedagógiai Program (Helyi tanterv) 1 4.23. 23. sz. melléklet: Matematika OM: 203033 Debreceni Szakképzési Centrum Brassai Sámuel Gimnázium a és Műszaki Szak gimnáziuma 2017
2017/2018-es tanévtől felmenő rendszerben bevezetésre kerülő helyi tanterv a szakgimnáziumok 9NY, 9-12. évfolyama számára 1. Bevezetés 1.1. Kerettantervi bevezető Matematika Célok és feladatok A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A matematika: kulturális örökség; gondolkodásmód; alkotó tevékenység, önálló tudomány; 1 más tudományok segítője; a mindennapi élet része és a szakmák eszköze. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mindinkább ki tudják választani és alkalmazni tudják a természeti és társadalmi jelenségekhez illeszkedő modelleket, gondolkodásmódokat, módszereket és leírásokat. A matematikai nevelés sokoldalúan fejleszti a tanulók modellalkotó tevékenységét. Ugyanakkor fontos a modellek érvényességi körének és gyakorlati alkalmazhatóságának eldöntését segítő képességek fejlesztése. Egyaránt lényeges a reproduktív és a problémamegoldó, valamint az alkotó gondolkodásmód megismerése, elsajátítása, miközben nem szorulhat háttérbe az alapvető tevékenységek, műveletek automatizált végzése sem. A tanulási folyamat során fokozatosan megismertetjük a tanulókkal a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása). A fogalmak, összefüggések érlelése és a matematikai gondolkodásmód kialakítása egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokol az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően. Ez a felépítés egyaránt lehetővé teszi a lassabban haladókkal való foglalkozást és a tehetség kibontakoztatását. A matematika tanításának célja, hogy a tanulók rendelkezzenek az alkalmazás képességével és készségével, és ismerjék fel a megismert fogalmak és tételek változatos felhasználási lehetőségeit. El kell érnünk, hogy a tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A feladatmegoldáson keresztül a tanulók képessé válhatnak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Kialakulhat bennük az önellenőrzés igénye, a sajátjukétól eltérő szemlélet tisztelete. A matematikatanítás, -tanulás folyamatában egyre nagyobb szerepet kell, hogy kapjon az önálló ismeretszerzés képességének fejlesztése, az elektronikus eszközök, internet, célszerű felhasználása, ezzel is támogatva a digitális kompetencia fejlesztését. Törekedni kell a tananyag egyes részleteinek csoportmunkában történő feldolgozására, a feladatmegoldások megbeszélésére, mert ezek a tevékenységek az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztésének, a reális önértékelés kialakulásának fontos területei. A pozitív hozzáállást nagyban segíthetik a matematika tartalmú játékok és a matematikához kapcsolódó érdekes problémák és feladványok. A matematika a kultúrtörténetnek is része. A NAT néhány matematikus ismeretét előírja minden tanuló számára: Thalész, Euler, Gauss, Pascal, Cantor, Erdős, Neumann. Célunk, hogy a matematika minden tanult nagyobb fejezetének egy-egy meghatározó alakját ismerjék meg tanítványaink. A matematika oktatása elképzelhetetlen állítások, tételek bizonyítása nélkül. Fontos, a bizonyítás iránti igény felkeltése, a logikai levezetés szükségességének megértetése. Ez a tanterv azzal a céllal készült, hogy a várhatóan heterogén előképzettséggel érkező tanítványainknak hiányosságait pótolva biztos alapokat adjunk a matematikai kultúra önálló alkalmazásához, felkészítsük diákjainkat a középszintű érettségire és megalapozzuk az emelt szintű érettségire történő felkészülést.
1.2. Kerettantervhez való viszony Matematika tantárgyból a helyi tanterv az 9. melléklet a /2016. ( ) EMMI rendelethez 14. melléklet az 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelethez Kerettanterv a szakgimnáziumok 9-12. évfolyama számára 1.3. A tantárgy óraszámai 9NY, 9-11. évfolyamon 36 hét, összesen 108 óra. 12. évfolyamon 31 hét, összesen 93 óra. 2 9NY osztály Tantárgy Óra/hét Óra/év 9NY Matematika 2* 72 9. Matematika 3* 108 10. Matematika 3 108 11. Matematika 3* 108 12. Matematika 3* 93 Összesen 489 A és C osztály Tantárgy Óra/hét Óra/év 9. Matematika 3* 108 10. Matematika 3* 108 11. Matematika 3* 108 12. Matematika 3* 93 Összesen 417 B osztály Tantárgy Óra/hét Óra/év 9. Matematika 3 108 10. Matematika 3 108 11. Matematika 3 108 12. Matematika 3 93 Összesen 417 *osztálybontásban tanítható 1.4. Az éves órakeretek felhasználása D és E osztály Tantárgy Óra/hét Óra/év 9. Matematika 3* 108 10. Matematika 3 108 11. Matematika 3* 108 12. Matematika 3* 93 Összesen 417
Az iskola feladatrendszere kiemelt célként jelölte meg a matematikai kompetenciák fejlesztését. Az órák elosztása a témakörök nagyságával arányosan történt. Az óraszámok kialakításánál figyelembe vettük a kerettantervi óraszám ajánlásokat és a tanmenetekben szereplő témakörökre fordított óraszámokat. Tantervünk célja, hogy a középszintű érettségire készítsük fel tanítványainkat. Tematikai egység 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 9NY évfolyam 9. évfolyam Órakeretek 10. évfolyam Összesen 11. évfolyam 2 óra 3 óra 3 óra 3 óra 3 óra /hét /hét /hét 9-10. /hét /hét 36 hét 36 hét 36 hét 36 hét 31 hét 12. évfolyam Összesen 11-12. 9 12 9 21 11 0 11 2. Számtan, algebra 30 36 34 70 23 0 23 3 3. Összefüggések, függvények, sorozatok 18 11 11 22 13 19 32 4. Geometria 8 28 43 71 30 26 55 5. Valószínűség, statisztika 0 10 0 10 20 0 20 Számonkérés 3 5 5 10 6 6 12 Ismétlés/rendszere rendszerező összefoglalás 4 6 6 12 5 42 47 Összesen 72 108 108 216 108 93 201 1.5. Tantárgy-pedagógiai alapvetések A középiskolai matematika tanítás legfontosabb céljának az alábbiakat tartjuk: A tanulók rendelkezzenek olyan képességgel és készséggel, hogy tudják alkalmazni matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a tanult fogalmakat és tételeket a mindennapi életben különböző területeken használhatjuk. A tanulóktól elvárjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban és szóban egyaránt. A tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. Képesek legyenek a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Mindezek érdekében törekednünk kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére.
Nagy gondot fordítunk a kommunikáció, az érveken alapuló vitakészség fejlesztésére. Változatos példákkal, feladatokkal megmutatjuk tanítványainknak, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jártas a problémamegoldásban. Segítjük a tanulók pályaválasztását azzal, hogy elmondjuk, az egyes szakmák milyen matematikai ismereteket alkalmaznak. A tananyag egyes elemeinek a művészetekben való alkalmazása, nagy matematikusok életének, munkásságának megismerése, matematikatörténeti érdekességek segíthetik a matematikához való pozitív hozzáállást. Fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése, logikai levezetés szükségességének megértetése. 4 A fejlesztés várt eredményeit, a kerettantervnek megfelelően, a kétéves ciklusok végén határoztuk meg. 2. A matematika tantárgy kerettanterve évenkénti bontásban A kiegészítések aláhúzással vannak jelölve. 2.1 Előkészítő év (nyelvi előkészítő osztály) Az előkészítő évben csoportbontással tanítjuk a matematikát. A csoportok névsor szerint kialakított inhomogén csoportok. A program elvei alapján az előkészítő év végére a tanulóknak alkalmasnak kell lenniük a középiskolai tanulmányok minőségi elsajátítására. Az általános iskolai matematika tananyag újra tanítása helyett a képességfejlesztésen van a hangsúly. Cél: Minél több önálló felfedezésen alapuló matematikai tevékenység, a kreatív gondolkodás fejlesztése. A matematika szeretetének erősítése, a tehetségfejlesztés lehetőségeinek felmérése. Az önálló munka és a belső ellenőrzés igényének fejlesztése. A matematikai szövegértés, a matematika nyelvének fokozatos elsajátíttatása. A matematikai kommunikáció különböző tartalmainak felismerése, felhasználása. A matematika természettudományokban való felhasználásának megmutatása, koncentráció a természettudományos tárgyakkal. Az egyes anyagrészekkel kapcsolatos célok: A racionális számokkal végzett műveletek készségszintű elvégzése, ellenőrzés, becslés igényének fejlesztése, felmérése. A számolási algoritmusok tudatos használata. A mérlegelv biztos alkalmazása lineáris egyenletek megoldásánál. Algebrai kifejezések, azonosságok tudatos használata, felismerése. Geometriai alakzatok és tulajdonságainak ismerete, az ismeretek rendszerezése, alkalmazása számolási feladatok megoldásában. Halmazokkal kapcsolatos ismeretek rendszerezése, a kombinatorikus gondolkodás Változatos kombinatorikai feladatok szerepeltetése. 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Órakeret 9 óra Cél Tartalom
A matematikai nyelv elemeinek célszerű használata a fokozatosság elve alapján. Konkrét halmazokkal kapcsolatban a halmazműveletek elvégzése, a halmazszemlélet fejlesztése. Halmazokkal kapcsolatos ismeretek rendszerezése. A skatulyaelv alkalmazása. Konkrét példák halmazokra. A részhalmaz, kiegészítő halmaz, unió, metszet szemléletes fogalma a konkrét példákhoz kapacsolódóan (számelmélet, számhalmazok, ponthalmazok). Halmazműveletek (metszet, unió), részhalmaz, üres halmaz fogalmának használata, ezek rendszerezése. A skatulyaelv alkalmazásával megoldható feladatok. Cél A tanuló készség szinten tudja a racionális számkörben a négy alapműveletet elvégezni, pozitív egész kitevőjű hatványokat kiszámolni, az azonosságokat alkalmazni számításokban. Alkalmazza helyesen a műveleti sorrendet, a zárójeleket, a hatványozás azonosságait, Ismerje az aránypár fogalmát, tudja kiszámítani a százalékértéket, a százaléklábat vagy az alapot a másik kettő ismeretében. Ismerje fel helyesen az egyenes illetve fordított arányossági kapcsolatokat, tudja ezeket alkalmazni. Ismerje a racionális szám fogalmát, tudja indokolni lehetséges tizedestört alakját. Ismerje a négyzetgyök fogalmát, tudja használni négyzetgyökökkel való számolásban. Használja célszerűen a zsebszámológépet a szükséges számításokban. Tudjon számok normálalakjával számolni. 2. Számtan, algebra Órakeret: 30 óra Számfogalom, műveletek Tartalom A számegyenesen való tájékozódás, számhalmazok. A racionális szám fogalma, tizedestört alakja, az eddig megismert számhalmazok kapcsolata. A racionális szám fogalma, tizedestört alakja, az eddig megismert számhalmazok kapcsolata. Változatos feladatok a racionális számok körében végzett alapműveletek összefoglalására. Műveleti sorrend, zárójelhasználat. Kerekítés, közelítő értékek. Az összeadás és szorzás műveleti azonosságainak megfogalmazása a konkrét számítások kapcsán. A négyzetgyök fogalma, alkalmazása számolási feladatokban. A zsebszámológép használata hatványok és négyzetgyök meghatározásánál. Pozitív egész kitevőjű hatványozás, a hatványozás azonosságainak konkrét számolásban való felismerése után azok általános megfogalmazása. 0 és negatív egész kitevőjű hatványozás értelmezése. Arány, aránypár, egyenes arányosság, fordított arányosság fogalma, a százalékszámítás fogalmai, alap, százalékláb, százalék; ezek használata feladatmegoldásokban. 5 Cél Algebrai kifejezések, egyenletek, egyenlőtlenségek A tanuló ismerje a helyettesítési érték fogalmát, tudja kiszámítani racionális algebrai kifejezés helyettesítési értékét. Tartalom Az algebrai kifejezés fogalma, algebrai egész kifejezések összevonása, többtagúak szorzása. Az összeadás és szorzás műveleti azonosságainak algebrai megfogalmazása.
Helyesen vonjon össze algebrai kifejezéseket, végezze el többtagúak szorzását. Legyen képes mindkét irányban alkalmazni a megismert nevezetes azonosságokat. Értse a mérlegelv alapgondolatát és legyen képes azt alkalmazni lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál. Készség szinten tudjon elsőfokú egyenletet megoldani. Tudja a szöveges feladatok adatait táblázatba foglalni, egyenletet felállítani, megoldani, eredményét ellenőrizni. Nevezetes azonosságok: kéttagú összeg és különbség négyzete, két négyzetszám különbségének szorzat alakja. Az azonosságok alkalmazása mindkét irányban. A mérlegelv alkalmazása lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásánál, a megoldás ellenőrzése. Tört együtthatós elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Elsőfokú egyenletre vezető szöveges feladatok (mozgási, munkavégzéssel kapcsolatos, számjegyekkel kapcsolatos keverési feladatok), az adatok táblázatba rendezése, a megoldás ellenőrzése. 6 Cél A tanuló ismerje a prímszám, összetett szám, relatív prímek fogalmát. Készség szinten tudja elvégezni számok prímtényezős felbontását. Ismerje a legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös fogalmát, tudja ezeket kiszámítani két-három szám esetén. Ismerje a tanult oszthatósági szabályokat és tudja ezeket alkalmazni feladatok megoldásában. Cél Számelmélet Tartalom Prímszám, összetett szám fogalma, relatív prímek. Számok prímtényezős felbontása. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös fogalma, kiszámításának módja, felhasználásuk a törtekkel végzett műveleteknél. Oszthatósági szabályok (2-vel, 4-gyel, 8-cal, 5- tel, 25-tel, 100-zal, 3-mal, 9-cel). Oszthatósági feladatok (a tanult algebrai azonosságok alkalmazása is). 3. Összefüggések, függvények, sorozatok Órakeret: 18 óra A tanuló készség szinten tudjon pontokat ábrázolni és pont koordinátáit leolvasni a derékszögű koordináta-rendszerben. Különféle kapcsolatok közül tudja kiválasztani a függvénykapcsolatot. Ismerje és helyesen használja az értelmezési tartomány, értékkészlet fogalmát, a függvények megadási módjait. Tudja ábrázolni az első fokú, abszolutértékes, egyszerű másodfokú és lineáris törtfüggvényt, Tudja megállapítani a függvények szemléletes tulajdonságait, ábrázolni konkrét transzformáltjaikat. Legyen képes megismert függvények grafikonját felhasználni egyenlet és egyenlőtlenség megoldására. Tartalom Derékszögű koordinátarendszer. Változó mennyiségek kapcsolata, ezek ábrázolása. A függvény fogalma, megadási módjai, ábrázolásuk Venn-diagrammal, derékszögű koordinátarendszerben. Az értelmezési tartomány, értékkészlet fogalma, a függvények tulajdonságainak szemléletes leírása (növekedés, fogyás, zérushely, szélsőérték, paritás). Elsőfokú függvények, a bennük szereplő paraméterek jelentésének megfogalmazása konkrét függvények vizsgálata után Az abszolútérték-, a négyzet- és az a/x függvény ábrázolása, tulajdonságaik, egyszerűbb, konkrét transzformáltjaik ábrázolása, ezek tulajdonságainak vizsgálata. 4. Geometria Órakeret: 8 óra
Cél A tanuló ismerje és szerkesztési és egyszerűbb bizonyítási feladatokban tudja alkalmazni a megismert nevezetes ponthalmazokat, a nevezetes szögpárokat. Ismerje a háromszög oldalai, szögei, oldalai és szögei közötti összefüggéseket, a háromszög nevezetes vonalainak és köreinek fogalmát, tulajdonságait, tudja ezeket alkalmazni szerkesztési feladatokban. Ismerje a háromszögek egybevágóságát biztosító alapeseteket. A tanuló tudja indokolni a háromszög, a paralelogramma és a trapéz területképletét téglalappá való átdarabolással. Tudja alkalmazni a megismert területképleteket. Ponthalmazok, szögek, alakzatok Tartalom Nevezetes ponthalmazok a síkban: szakaszfelező merőleges, szögfelező, kör, ponthalmazok a koordinátasíkon. Nevezetes szögpárok. Összefüggés a háromszög oldalai, oldalai és szögei között, (szemlélet, tapasztalat alapján megfogalmazva), a háromszög szögei között. A háromszög oldalfelező merőlegesei, belső szögfelezői, magasságvonalai, beírt és köré írt köre. A háromszögek egybevágóságát biztosító alapesetek megfogalmazása, háromszögszerkesztések. A téglalap területképletének ismétlése. A háromszög, a paralelogramma, a trapéz területének képlete téglalappá való átdarabolás alkalmazásával. 7 Számonkérés Ismétlés/rendszere rendszerező összefoglalás Órakeret: 3 óra Órakeret: 4 óra 2.2. Matematika 9. évfolyam Korosztályi sajátosságok 9-10. évfolyamon A 9 10. évfolyamon a tevékenységeken, felfedeztetéseken keresztül korábban kialakított fogalmak pontos definiálására, az összefüggések felismerésére, modellek készítésére kell helyezni a fő hangsúlyt. Szükséges a matematika alkalmazási területeinek széles körű bemutatása a matematikán belüli problémák megoldásában, illetve más tudományok segítőjeként. Ezekben az években erősödik a tanulók önismerete, és megfelelő képességfejlesztéssel és módszertani változatossággal mind több tanulóban kialakulhat a matematika, illetve a természettudomány valamely ága iránti érdeklődés. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismeretszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. Ezeken az évfolyamokon a fogalmak definiálásán, az öszszefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségek megismerésén van a hangsúly. A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (pl. szimmetriák) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény a könyvtár és az internet használata.
Ebben az életkori szakaszban már elvárható a leírt szöveg pontos értelmezése, a gondolatok szabatos kifejtése, érvelés és mások gondolatainak megértése. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai Órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 12 óra Példák halmazokra, geometriai alapfogalmak, alapszerkesztések. Halmazba rendezés több szempont alapján. Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete. A valós számok halmazának ismerete. Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. Halmazok eszközjellegű használata. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése. 8 Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Véges és végtelen halmazok. Végtelen számosság szemléletes fogalma. Matematikatörténet: Cantor. Részhalmaz. Halmazműveletek: unió, metszet, különbség. Halmazok közötti viszonyok megjelenítése. Annak megértése, hogy csak a véges halmazok elemszáma adható meg természetes számmal. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Szöveges megfogalmazások matematikai modellre fordítása. Elnevezések megtanulása, definíciókra való emlékezés. Magyar nyelv és irodalom: mondatok, szavak, hangok rendszerezése. Biológia-egészségtan: halmazműveletek alkalmazása a rendszertanban. Alaphalmaz és komplementer halmaz. A megismert számhalmazok: természetes számok, egész számok, racionális számok. A számírás története. Valós számok halmaza. Az intervallum fogalma, fajtái. Irracionális szám létezése. Annak tudatosítása, hogy alaphalmaz nélkül nincs komplementer halmaz. Halmaz közös elem nélküli halmazokra bontása jelentőségének belátása. A megismert számhalmazok áttekintése. Természetes számok, egész számok, racionális számok elhelyezése halmazábrában, számegyenesen. Annak tudatosítása, hogy az intervallum végtelen halmaz. Kémia: anyagok csoportosítása. Biológia-egészségtan: élőlények osztályozása; besorolás közös rész nélküli halmazokba. Informatika: számábrázolás (problémamegoldás táblázatkezelővel).
Távolsággal megadott ponthalmazok, adott tulajdonságú ponthalmazok (kör, gömb, felező merőleges, szögfelező, középpárhuzamos). Logikai műveletek: nem, és, vagy, ha, akkor. (Folyamatosan a 9 12. évfolyamon.) Szöveges feladatok. (Folyamatos feladat a 9 12. évfolyamon: a szöveg alapján a megfelelő matematikai modell megalkotása.) A minden és a van olyan helyes használata. Állítás és tagadása (folyamatos feladat a 9 12. évfolyamokon). Nyitott mondatok igazsághalmaza, szemléltetés módjai. Ponthalmazok megadása ábrával. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (például két feltétellel megadott ponthalmaz). Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Szöveges feladatok értelmezése, megoldási terv készítése, a feladat megoldása és szöveg alapján történő ellenőrzése. Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése. Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (a szövegben előforduló információk). Figyelem összpontosítása. Problémamegoldó gondolkodás és szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés. A minden és a van olyan helyes használata. Halmazok eszközjellegű használata. Vizuális kultúra: a tér ábrázolása. Informatika: szimulációs használata. tantárgyi programok Magyar nyelv és irodalom: szövegértés; információk azonosítása és összekapcsolása, a szöveg egységei közötti tartalmi megfelelés felismerése; a szöveg tartalmi elemei közötti kijelentésérv, ok-okozati viszony felismerése és magyarázata. Technika, életvitel és gyakorlat: egészséges életmódra és a családi életre nevelés. 9
A matematikai bizonyítás. Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás (folyamatos feladat a 9 12. évfolyamokon). Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a tudományosság kialakításában. Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése. Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele. 10 Állítás és megfordítása. Akkor és csak akkor típusú állítások. (folyamatos feladat a 9 12. évfolyamokon). Az akkor és csak akkor használata. Feltétel és következmény felismerése a Ha, akkor típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése. Bizonyítás. Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés (érvek logikus sorrendje). Következtetés megítélése helyessége szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre. Etika: a következtetés, érvelés, bizonyítás és cáfolat szabályainak alkalmazása. Egyszerű kombinatorikai feladatok: leszámlálás, sorbarendezés, gyakorlati problémák. Kombinatorika a mindennapokban. Rendszerezés: az esetek összeszámlálásánál minden esetet meg kell találni, de minden esetet csak egyszer lehet számításba venni. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Esetfelsorolások, diszkusszió (pl. van-e ismétlődés). Sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás; a sikertelenség okának feltárása (pl. minden feltételre figyelt-e). Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Technika, életvitel és gyakorlat: hétköznapi problémák megoldása a kombinatorika eszközeivel. Magyar nyelv és irodalom: periodicitás, ismétlődés és kombinatorika, mint szervezőelv poetizált szövegekben.
A gráffal kapcsolatos alapfogalmak (csúcs, él, fokszám). Egyszerű hálózat szemléltetése. Kulcsfogalmak/ fogalmak Gráfok alkalmazása problémamegoldásban. Számítógépek egy munkahelyen, elektromos hálózat a lakásban, település úthálózata stb. szemléltetése gráffal. Gondolatmenet megjelenítése gráffal. Kémia: molekulák térszerkezete. Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel, hálózatok. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: pl. családfa. Technika, életvitel és gyakorlat: közlekedés. Gráf csúcsa, éle, csúcs fokszáma. Logikai művelet (NEM, ÉS, VAGY. Ha., akkor ). Feltétel és következmény. Szükséges feltétel, elegendő feltétel. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Faktoriális. 11 Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai 2. Számtan, algebra Órakeret 36 óra Számolás racionális számkörben. Prímszám, összetett szám, oszthatósági szabályok. Hatványjelölés. Egyszerű algebrai kifejezések ismerete, zárójel használata. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Első- és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Számelmélet elemei. A tanult oszthatósági szabályok. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Relatív prímek. Matematikatörténeti és számelméleti érdekességek: (pl. végtelen sok prímszám létezik, tökéletes számok, barátságos A tanult oszthatósági szabályok rendszerezése. Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös meghatározása a felbontás segítségével. Egyszerű oszthatósági feladatok, szöveges feladatok megoldása. Gondolatmenet követése, egyszerű gondolatmenet megfordítása. Érvelés.
számok, Eukleidész. Mersenne, Euler, Fermat) Hatványozás 0 és negatív egész kitevőre. Permanencia-elv. Fogalmi általánosítás: a korábbi definíció kiterjesztése. A hatványozás azonosságai. Korábbi ismeretekre való emlékezés. Számok abszolút értéke. Különböző számrendszerek. A helyiértékes írásmód lényege. Kettes számrendszer. Matematikatörténet: Neumann János. Egyenértékű definíció (távolsággal adott definícióval). A különböző számrendszerek egyenértékűségének belátása. Fizika: hőmérséklet, elektromos töltés, áram, feszültség előjeles értelmezése. Informatika: kommunikáció ember és gép között, adattárolás egységei. 12 Számok normálalakja. Az egyes fogalmak (távolság, idő, terület, tömeg, népesség, pénz, adat stb.) mennyiségi jellemzőinek kifejezése számokkal, mennyiségi következtetések. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével. A természettudományokban és a társadalomban előforduló nagy és kis mennyiségekkel történő számolás Fizika; kémia; biológia-egészségtan: tér, idő, nagyságrendek méretek és nagyságrendek becslése és számítása az atomok méreteitől az ismert világ méretéig; szennyezés, környezetvédelem. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. Számolási szabályok, zárójelek használata. Régebbi ismeretek mozgósítása, öszszeillesztése, felhasználása. Szöveges számítási feladatok a természettudományokból, a mindennapokból. Szöveges számítási feladatok megoldása a természettudományokból, a mindennapokból (pl. százalékszámítás: megtakarítás, kölcsön, áremelés, árleszállítás, bruttó ár és nettó ár, ÁFA, jövedelemadó, járulékok, élelmiszerek százalékos összetétele). A növekedés és csökkenés kifejezése százalékkal ( mihez viszonyítunk? ). Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Számológép használata. Az értelmes kerekítés megtalálása. Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok. Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Földrajz: a pénzvilág működése. Technika, életvitel és gyakorlat: tudatos élelmiszer-választás, becslések, mérések, számítások.
Társadalmi, állampolgári és gazdasági ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. (a ± b) 2, (a ± b) 3 polinom alakja, 2 2 a b szorzat alakja. Azonosság fogalma. Egyszerű feladatok polinomok, illetve algebrai törtek közötti műveletekre. Tanult azonosságok alkalmazása. Algebrai tört értelmezési tartománya. Algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozása. Ismeretek tudatos memorizálása (azonosságok). Geometria és algebra összekapcsolása az azonosságok igazolásánál. Ismeretek felidézése, mozgósítása (pl. szorzattá alakítás, tört egyszerűsítése, bővítése, műveletek törtekkel). Fizika: számítási feladatok megoldása (pl. munkatétel). Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok. 13 Elsőfokú egyenletek algebrai megoldása Emlékezés a korábbi ismeretekre Törtes egyenletek Értelmezési tartomány. Az ellenőrzés, szerepe, szükségessége. Egyenlőtlenségek algebrai megoldása, törtes egyenlőtlenségek Törtek előjelének vizsgálata Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekből. A képlet értelmének, jelentőségének belátása. Helyettesítési érték kiszámítása képlet alapján. Fizika; kémia: képletek értelmezése. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Különböző módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (behelyettesítő módszer, ellentett együtthatók módszere). Fizika: kinematika, dinamika. Elsőfokú egyenletre, egyenlőtlenségre, egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok. A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai modelljének elkészítése (egyenlet, egyenlőtlenség, illetve egyenletrendszer felírása); a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?). Fizika: kinematika, dinamika. Kémia: százalékos keverési feladatok. Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek. x c ax b. Egyenlőtlenségek Definíciókra való emlékezés. Példák adott alaphalmazon ekvivalens és nem ekvivalens egyen- Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Halmazok eszközjellegű használata.
letekre, átalakításokra. Alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz. Hamis gyök, gyökvesztés. Kulcsfogalmak/ fogalmak Hatvány. Normálalak. Egyenlet. Alaphalmaz, értelmezési tartomány. Azonosság. Ekvivalens egyenlet. Hamis gyök. Elsőfokú egyenlet, egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai 3. Összefüggések, függvények, sorozatok Órakeret 11 óra Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvény-modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. 14 Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A függvény megadása, elemi tulajdonságai. A lineáris függvény, lineáris kapcsolatok. A lineáris függvények tulajdonságai. Az egyenes arányosság. A lineáris függvény grafikonjának meredeksége, ennek jelentése lineáris kapcsolatokban. Az abszolútérték-függvény. Az x ax b függvény grafikonja, tulajdonságai ( a 0 ). Ismeretek tudatos memorizálása (függvénytani alapfogalmak). Alapfogalmak megértése, konkrét függvények elemzése a grafikonjuk alapján. Időben lejátszódó valós folyamatok elemzése grafikon alapján. Számítógép használata a függvények vizsgálatára. Táblázatok készítése adott szabálynak, összefüggésnek megfelelően. Időben lejátszódó történések megfigyelése, a változás megfogalmazása. Modellek alkotása: lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban (pl. egységár, a változás sebessége). Lineáris függvény ábrázolása paraméterei alapján. Számítógép használata a lineáris folyamat megjelenítésében. Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok). Fizika; kémia; biológia-egészségtan: időben lejátszódó folyamatok leírása, elemzése. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata, adatkezelés táblázatkezelővel. Fizika: időben lineáris folyamatok vizsgálata, a változás sebessége. Kémia: egyenes arányosság. Informatika: táblázatkezelés.
A négyzetgyökfüggvény. Az x x ( x 0) függvény grafikonja, tulajdonságai. A fordított arányosság függvénye. a x ( ax 0 ) grafikonja, tulajdonságai. x Függvények alkalmazása. Egyenlet, egyenletrendszer grafikus megoldása. 2 Az x ax bx c (a 0) másodfokú függvény ábrázolása és tulajdonságai. Függvénytranszformációk áttekintése az x a( x u) 2 v alak segítségével. Kulcsfogalmak/ fogalmak Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok). Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok). Valós folyamatok függvénymodelljének megalkotása. A folyamat elemzése a függvény vizsgálatával, az eredmény összevetése a valósággal. A modell érvényességének vizsgálata. Számítógép alkalmazása (pl. függvényrajzoló program). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Egy adott probléma megoldása két különböző módszerrel. Az algebrai és a grafikus módszer összevetése. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Számítógépes program használata. Ismeretek felidézése (algebrai ismeretek és függvénytulajdonságok ismerete). Számítógép használata. Fizika: matematikai inga lengésideje. Fizika: ideális gáz, izoterma. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Fizika: kinematika. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz: számítási feladatok. Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Függvény. Valós függvény. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőértékhely, szélsőérték. Alapfüggvény. Függvénytranszformáció. Lineáris kapcsolat. Meredekség. Grafikus megoldás. 15 Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás 4. Geometria Órakeret 28 óra Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesz-
A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai tése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete. Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismerése a matematikában, a valóságban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal; a valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése, gyakorlati számítások (henger, hasáb, kúp, gúla, gömb). Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata. 16 Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Geometriai alapfogalmak. Térelemek, távolságok és szögek értelmezése. (Folyamatosan a 9-10. évfolyamon.) A háromszögoldalai és szögei A háromszög nevezetes vonalai, körei. Oldalfelező merőlegesek, belső szögfelezők, magasságvonalak, középvonalak tulajdonságai. Körülírt kör, beírt kör. Matematikatörténet: például az Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása (interaktív szerkesztőprogrammal). Konvex sokszögek általános tulajdonságai. Átlók száma, belső szögek összege. Szabályos sokszög belső szöge. Kör és részei, kör és egyenes. Ív, húr, körcikk, körszelet. Szelő, érintő. Idealizáló absztrakció: pont, egyenes, sík, síkidomok, testek. Vázlat készítése. Korábbi ismeretek kiegészítése, alkalmazása A definíciók és tételek pontos ismerete, alkalmazása. Fogalmak alkotása specializálással: konvex sokszög, szabályos sokszög. Fogalmak pontos ismerete. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram). Fizika: körmozgás, a körpályán mozgó test sebessége. Thalész tétele és alkalmazásai A matematika, mint kulturális örökség. Matematikatörténet: Thalész Ismeretek tudatos memorizálása. Állítás és megfordításának gyakorlása. Vizuális kultúra: építészeti stílusok.
Pitagorasz-tétel alkalmazásai. (Koordináta-geometria előkészítése.) Matematikatörténet: Pitagorasz Ismeretek mozgósítása, rendszerezése problémamegoldás érdekében. Állítás és megfordításának gyakorlása. Fizika: vektor felbontása merőleges összetevőkre. A tengelyes és a középpontos tükrözés, az eltolás, a pont körüli elforgatás. A transzformációk tulajdonságai. A geometriai vektorfogalom. Egybevágóság, szimmetria Háromszögek egybevágóságának alapesetei A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása. Szimmetria felismerése a matematikában, a művészetekben, a környezetünkben található tárgyakban. Fizika: elmozdulásvektor, forgások. Földrajz: bolygók tengely körüli forgása, keringés a Nap körül. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. 17 Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok. Szimmetrikus négyszögek. Négyszögek csoportosítása szimmetriáik szerint. Szabályos sokszögek. Egyszerű szerkesztési feladatok. A paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala. Vektorok összege, két vektor különbsége. Vektor szorzása valós számmal. Biológia-egészségtan: az emberi test síkjai, szimmetriája. Fogalmak alkotása specializálással. Vizuális kultúra: kifejezés, képzőművészet; művészettörténeti stíluskorszakok. Szerkesztési eljárások gyakorlása. Szerkesztési terv készítése, ellenőrzés. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Pontos, esztétikus munkára nevelés. A középpontos tükrözés alkalmazása. Műveleti analógiák (összeadás, kivonás). Új műveletfogalom kialakítása és gyakorlása. Vektorok felbontása összetevőkre. Ismeretek mozgósítása új helyzetben. Emlékezés korábbi információkra. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram). Fizika: erők összege, két erő különbsége, vektormennyiség változása (pl. sebességváltozás). Fizika: Newton II. törvénye. Fizika: eredő erő, eredő összetevőkre bontása.
A Pitagorasz-tétel alkalmazása a derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására Kulcsfogalmak/ fogalmak A valós problémák matematikai (geometriai) modelljének megalkotása, a problémák önálló megoldása. Fizika: erővektor felbontása derékszögű összetevőkre. Tér, sík, egyenes, pont. Sokszög. Háromszög, négyszög, speciális háromszög, speciális négyszög. Belső szög, külső szög, átló. Kerület, terület. Egybevágóság, szimmetria. Vektor, vektorművelet. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai 5. Valószínűség, statisztika Táblázatok, diagramok olvasása. Százalékszámítás. Órakeret 10 óra Diagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram készítése, olvasása. Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában. 18 Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Statisztikai adatok és ábrázolásuk (gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás, kördiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram). Adathalmazok jellemzői: átlag, medián, módusz. Kulcsfogalmak/ fogalmak Adatok jegyzése, rendezése, ábrázolása. Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak jegyzése. Diagramok, táblázatok olvasása, készítése. Grafikai szervezők összevetése más formátumú dokumentumokkal, következtetések levonása írott, ábrázolt és számszerű információ összekapcsolásával. Számítógép használata. A statisztikai mutatók nyújtotta információk helyes értelmezése. Nagy adathalmaz vizsgálata kevés statisztikai jellemzővel: előnyök és hátrányok. Adat. Diagram, táblázat. Módusz, medián, átlag Informatika: adatkezelés, adatfeldolgozás, információmegjelenítés. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi, társadalmi témák vizuális ábrázolása (táblázat, diagram). Földrajz: időjárási, éghajlati és gazdasági statisztikák. Informatika: statisztikai adatelemzés. 2.3 Matematika 10. évfolyam
Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Órakeret 9 óra Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete. Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. A matematikai tételek, állítások szerkezete Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Halmazok eszközjellegű használata. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Logikai műveletek: nem, és, vagy, ha, akkor. (Folyamatosan a 9 12. évfolyamon.) Szöveges feladatok. (Folyamatos feladat a 9 12. évfolyamon: a szöveg alapján a megfelelő matematikai modell megalkotása.) Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Szöveges feladatok értelmezése, megoldási terv készítése, a feladat megoldása és szöveg alapján történő ellenőrzése. Modellek alkotása a matematikán belül; matematikán kívüli problémák modellezése. Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése (a szövegben előforduló információk). Figyelem összpontosítása. Problémamegoldó gondolkodás és szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés. Magyar nyelv és irodalom: szövegértés; információk azonosítása és összekapcsolása, a szöveg egységei közötti tartalmi megfelelés felismerése; a szöveg tartalmi elemei közötti kijelentés-érv, ok-okozati viszony felismerése és magyarázata. Technika, életvitel és gyakorlat: egészséges életmódra és a családi életre nevelés. 19
A minden és a van olyan helyes használata. Állítás és tagadása (folyamatos feladat a 9 12. évfolyamokon) Nyitott mondatok igazsághalmaza, szemléltetés módjai. Állítás és megfordítása. Szükséges feltétel, elegendő feltétel. Akkor és csak akkor típusú állítások. (folyamatos feladat a 9 12. évfolyamokon). Bizonyítás. Egyszerű kombinatorikai feladatok: leszámlálás, sorbarendezés, gyakorlati problémák. Kombinatorika a mindennapokban. A minden és a van olyan helyes használata. Halmazok eszközjellegű használata. Kísérletezés, módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás megkülönböztetése. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. Ellenpélda szerepe. Mások gondolataival való vitába szállás és a kulturált vitatkozás. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont (pl. a saját és a vitapartner szempontjának) egyidejű követése. Az akkor és csak akkor használata. Feltétel és következmény felismerése a Ha, akkor típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése. Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés (érvek logikus sorrendje). Következtetés megítélése helyessége szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre. Rendszerezés: az esetek öszszeszámlálásánál minden esetet meg kell találni, de minden esetet csak egyszer lehet számításba venni. Megosztott figyelem; két, illetve több Magyar nyelv és irodalom: mások érvelésének összefoglalása és figyelembevétele. Etika: a következtetés, érvelés, bizonyítás és cáfolat szabályainak alkalmazása. Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Technika, életvitel és gyakorlat: hétköznapi 20
szempont egyidejű követése. Esetfelsorolások, diszkusszió (pl. van-e ismétlődés). Sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás; a sikertelenség okának feltárása (pl. minden feltételre figyelt-e). problémák megoldása a kombinatorika eszközeivel. Magyar nyelv és irodalom: periodicitás, ismétlődés és kombinatorika, mint szervezőelv poetizált szövegekben. A gráffal kapcsolatos alapfogalmak (csúcs, él, fokszám). Egyszerű hálózat szemléltetése. Gráfok alkalmazása problémamegoldásban. Számítógépek egy munkahelyen, elektromos hálózat a lakásban, település úthálózata stb. szemléltetése gráffal. Gondolatmenet megjelenítése gráffal. Kémia: molekulák térszerkezete. Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel, hálózatok. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: pl. családfa. 21 Kulcsfogalmak/ fogalmak Technika, életvitel és gyakorlat: közlekedés. Gráf csúcsa, éle, csúcs fokszáma. Logikai művelet (NEM, ÉS, VAGY. Ha., akkor ). Feltétel és következmény. Szükséges feltétel, elegendő feltétel. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Faktoriális. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai 2. Számtan, algebra Órakeret 34 óra Egész kitevőjű hatvány, számolás algebrai kifejezésekkel Egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Első- és másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok
A négyzetgyök definíciója. A négyzetgyök azonosságai. Számológép használata. A négyzetgyök azonosságainak használata konkrét esetekben. Bevitel a gyökjel alá, kivitel a gyökjel alól, nevező gyöktelenítése. Fizika: fonálinga lengésideje, rezgésidő számítása. A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet. Különböző algebrai módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (szorzattá alakítás, teljes négyzetté kiegészítés). Ismeretek tudatos memorizálása (rendezett másodfokú egyenlet és megoldóképlet összekapcsolódása). A megoldóképlet biztos használata. Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája. 22 Másodfokú egyenletre vezető gyakorlati problémák, szöveges feladatok. Matematikai modell (másodfokú egyenlet) megalkotása a szöveg alapján. A megoldás ellenőrzése, gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?). Fizika; kémia: számítási feladatok. Gyöktényezős alak. Másodfokú polinom szorzattá alakítása. Algebrai ismeretek alkalmazása. Gyökök és együtthatók összefüggései. Önellenőrzés: egyenlet megoldásának ellenőrzése. Néhány egyszerű magasabb fokú egyenlet megoldása. Matematikatörténet: részletek a harmad- és ötödfokú egyenlet megoldásának történetéből. Annak belátása, hogy vannak a matematikában megoldhatatlan problémák. Egyszerű négyzetgyökös egyenletek: ax b cx d. Megoldások ellenőrzése. Fizika: például egyenletesen gyorsuló mozgással kapcsolatos kinematikai feladat. Másodfokú egyenletrendszer. A behelyettesítő módszer. Egyszerű másodfokú egyenletrendszer megoldása. A behelyettesítő módszerrel is megoldható feladatok. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Egyszerű másodfokú egyenlőtlenségek. ax bx c 0 (vagy 2 >0) alakra visszavezethető egyenlőtlenségek ( a 0 ). Egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása. Másodfokú függvény eszközjellegű használata. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Példák adott alaphalmazon ekvivalens és nem ekvivalens egyenletekre, átalakításokra. Alaphalmaz, értelmezési tartomány, Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Halmazok eszközjellegű használata.
megoldáshalmaz. Hamis gyök, gyökvesztés. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Gyakorlati példa minimum és maximum probléma megoldására. Kulcsfogalmak/ fogalmak Geometria és algebra összekapcsolása az azonosság igazolásánál. Gondolatmenet megfordítása. Fizika: minimum- és maximumproblémák. Másodfokú egyenlet, diszkrimináns, gyöktényezős alak. Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Számtani közép, mértani közép, szélsőérték. 23 Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai 3. Összefüggések, függvények, sorozatok Órakeret 11 óra Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvény-modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok 2 Az x ax bx c (a 0) másodfokú függvény ábrázolása és tulajdonságai. Függvénytranszformációk áttekintése az x a( x u) 2 v alak segítségével. Függvények alkalmazása másodfokú és gyökös egyenletek, egyenlőtlenségek megoldására; másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok Ismeretek felidézése (algebrai ismeretek és függvénytulajdonságok ismerete). Számítógép használata. Függvénytulajdonságok tudatos alkalmazása Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás kinematikája. Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata. Kulcsfogalmak/ fogalmak Függvénytranszformáció. Grafikus megoldás. Szélsőérték Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás 4. Geometria Órakeret 43 óra Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesz-