Geometriai optika 1. Alapfogalmak

Átírás

1 Geomeiai opia 1. Alapfogalma A világa vonaozó apaszalaain nagy észe a lááson alapul. A özvelen szemlélésen úl opiai segédeszözöe is felhasználun, min ávcsõ, leolvasó mioszóp, soboszópos fényépezés sb. Ezé mechaniai anulmányain elõ a láása, épaloása vonaozó legfonosabb övényee einjü á, anélül, hogy a fény emészeével, mibenléével behaóan foglaloznán; ez majd csa a fizia öbb eüleée vonaozó észleesebb ismeee bioában ehejü. A láás legézenfevõbb magyaázaa az, hogy a ágyaól, eseõl iindul valami és a szemünbe ju. Ez a valami nevezzü fényne. Temészeesen a ese egymása is bocsáana fény, és öbbségüe csa ao láhaju, ha valamely mási megvilágí ja. Eszein megülönbözeün önálló és nem önálló fényfoás. A fény elgondolhaju észecsé zápoána vagy valamilyen özegben ejedõ hullámna a legszembeûnõbb jelensége éelmezéséhez a é modell egyaán alalmas, özü majd észleesebb vizsgála alapján dönheün. Aámi is a fény emészee, van olyan jellemzõje is, ami megszabja a ágya világosabb vagy söéebb volá. Addig is, amíg ez a jellemzõ álalánosabban használ, mennyiségileg is leíhaó fiziai jellemzõvel udju majd összeapcsolni, nevezzü fényinenziásna. Minõségi jellemzõje a fényne a szín is. Enne a léezésé is csa udomásul vesszü egyelõe, ésõbb foglalozun fiziai emészeével. A öznapi, "embeméeû" jelensége öében nem vesszü észe, hogy a fény ejedéséhez idõ ell: ha véges sebességgel ejed is, ez a sebesség olyan nagy, hogy az elsõ apaszalao összegzésénél és éelmezésénél végelenne einhejü. A legöbb es aadály jelen a fény számáa, amelye n nem ud áhaolni: ányé eleezi. Kivéelese az álászó anyago, min levegõ, víz, üveg. A fény ehá le udju ányéolni, véges aományban ejedõ fénynyalábo udun iválaszani. Ponszeû fényfoás ányéána éles széle van. Egy ányéoló nyílással (blendével) i udun válaszani egy fényúpo; ez a fényfoása illeszedõ egyenese haáoljá. Homogén özegben a fény egyenes vonalban ejed, szou mondani. Az egyenesee, amelye menén a fény ejed, fénysugána mondju. A fénynyalábo, fényúpo egész vonalában láhaóvá ehejü, ha olyan özegen engedjü á, amelyne észecséi másodlagos fényfoásén szójá a fény, min a dohányfüs levegõben. Van olyan anyag, amely nem csupán visszavei a fény, hanem az elsõdleges fényfoásból iinduló fény haásáa maga is (más színû) fény bocsá i, fluoeszál. A fluoeszcein oldaon ábocsáo fé nynyaláb zöld sávén lászi. Valójában a fénysugá az egyenes "pooípusa", minája. A öznapi éleben a homogén özegben ejedõ fénysugaa és anyagi pono álal megvalósío fiziai geomeiá használju. Ee a geomeiáa van éelme anna a édésne, hogy vajon az eulideszi geomeia axiómái eljesülne-e á. Tapaszala szein legalább is földi méeeig eljesülne. Egy eseny fénynyaláb a fénysugá épzeé eli, de legyün óvaosa. A fényúp az õ iválaszó és szûíésével özeledi ugyan az egyeneshez, de nagyon eseny ésnél ülönösen ezd viseledni: ismé széeül egy úppá, méghozzá úgy, hogy válaozva világosabb és söéebb aományo jelenne meg az álala megvilágío enyõn. Ez a jelensége aá a é ujjun özöi és szûíésével is megfigyelhejü. A jelenség aa ual, hogy a fény hullámén viseledi. Késõbb, hullámani ismeee bioában ee majd visszaéün. A ponszeû fényfoásból induló fény inenziása foozaosan gyengül, a ávolabbi ágyaa evésbé világíja meg. Ez az sejei, hogy a fényben valamilyen maadó mennyiség ejed, ami széoszli a nagyobb felüleen. Valóban, ésõbbi anulmányain soán láni fogju, hogy a fénnyel enegia ejed. Enne haáozoabb, mennyiségileg imunál megfogalmazásáa is ésõbbi anulmányain soán eül so. 1

2 A szem és az agy legfigyelememélóbb együes épessége, hogy a ponszeû fényfoás helyé épes bizonyos ponossággal meghaáozni. Ee nyilvánvalóan az adha leheõsége, hogy a szembe nem csupán egy fénysugá, hanem egy széaó fényúp ju be, és a széaó fénysugaa összessége leheõvé eszi a csúcspon, min ágy- vagy éppon exapolálásá. A fénysugaa újá a szemben ésõbb még elemezni fogju, az agy feldolgozó munájá má emészeesen nem, az a emészeudomány más fejezeéne feladaa. A ágya láással megállapío helyé öbbnyie megeõsíi a öbbi ézészevi apaszala (apinás). Nyilvánvaló azonban, hogy a szeme be is lehe csapni: ha a fényúpo mene özben eléíjü az eedei iányáól, vagy megválozaju a úpszögé, a fényfoás má iányban vagy más ávolságban láju. Ee szolgálna a üö és lencsé, amelye mûödésé a ésõbbieben elemezzü. 2. A visszaveõdés és öés övényei A legöbb anyag, ponosabban szólva, a legöbb felüle a áesõ fénysugaaa minden iányba szója, azaz a endeze iányú ollimál fénynyalábo szészó diffúz fényén vei vissza. (Ezé lehe az egy ponból megvilágío ágya álalában minden oldalól láni.) Finoman csiszol fémfelüle, üveg vagy sima vízfelüle azonban a ollimál fénynyalábo ollimál nyalábén vei vissza; ez a üös visszaveõdés vagy üözés. Tüözés ülönbözõ álászó özege haáfelüleén is beöveezi, úgy, hogy a fény egy észe ugyanao ámegy a mási özegbe iányválozással, azaz öés szenvedve. (Pl. víz levegõ- felüleen, aá a levegõbõl, aá a vízbõl éezi a fény. Ez szépen lehe láni a 2.1. ába szeini íséleben.) A (üös) visszaveõdés és a öés övényei eseny fénynyaláb viseledésébõl szûhejü le. A méésee a 2.2. ábán láhaó Hal-oonggal végezü, amellyel ényelmesen válozahaju egy üveg- féloong sí felüleée beesõ eseny fénynyaláb beesési szögé, és méhejü a öési és visszaveõdési szöge. A apaszalai övénye a 2.3. ábán láhaó jelöléseel: 1. A visszave fénysugá is, a megö fénysugá is a beesõ fénysugá és a beesési meõleges síjába esi. 2. A visszaveõdési szög egyenlõ a beesési szöggel. 3. A öési szö g szinusza a beesési szög szinuszával aányos; az aányossági ényezõ a é özege jellemzõ állandó. Úgy is szoás fogalmazni, hogy a beesési és öési szög szinuszána hányadosa állandó, 2.2. ába sin sin = n 21 (2.1) Ez a Snellius Descaes- övény. Az n 21 - gyel jelöl állandó neve: a másodi (ávozási) özegne az elsõ (éezési) özege vonaozó öésmuaója. Az uóbbi fogalmazás használva azonban ülön illi még imondani, hogy meõlegesen beesõ fénysugá meõlegesen halad ovább. (Ti. a é szinusz hányadosa eo nincs éelmezve!) Fonos apaszalai megállapíás, hogy a özege egymása vonaozao (elaív) öésmuaója anziív abban az éelemben, ha ismeem é özeg n 2.1. ába, n öésmuaójá egy özös hamadia vonaozava, a é özeg egymása vonaozao öésmuaójá megaphaom 2 AC BC

3 az nba = nbc nac hányadosból. Szoás ún. abszolú (egyindexes) öés muaóa is éelmezni, ebben az eseben a vonaozaási özeg a váuum. Az elõzõebõl öveezi, hogy ha A az éezési, B a ávozási özeg, ao B-ne A- a vonaozó elaív öésmuaója az egyes özege abszolú öésmuaójával az nb nb A = (2.2) n A összefüggésben van. (A levegõ abszolú öésmuaója nagyon özel van 1- hez, a levegõe vonaozó öésmuaó az abszolú öésmuaóhoz. Néha azonban az 1- õl való is eléés nagyon lényeges: például a meleg fûões felei ablaon inézve imbolyogni, emegni lászi a ini áj; ez bizonyáa a gomolygó meleg levegõ sûûségingadozásaival jáó öésmuaó- válozáso oozzá.) A (2.2) összefüggésbõl öveezi egyebe özö, hogy a B özeg A- a vonaoozó öésmuaója az A B- e vonaozó öésmuaójána a ecipoa, nba = 1, (2.3) nab ami egyébén özvelenül is ellenõizheün. A (2.3) összefüggésbõl öveezi a fénysugá megfodíhaóságána elve: Ha megfodíju az éezési és ávozási oldal, a fénysugá ugyanazon a vonalon halad. Opiailag sûûbbne mondju a nagyobb öésmuaójú özege, amelybe éezõ fény ehá a beesési meõlegeshez öi; opiailag iább a isebb öésmuaójú, az ebbe éezõ fény a beesési meõlegesõl öi. A 2.3 ába szeini ísélenél az figyelheü meg, hogy a vízben elhelyeze üö elfodíásával növelve a beesési szöge, a levegõbe ilépõ fénysugá foozaosan halványabb le, és a 90 o - os öési szög eléésével elenyésze. Tovább növelve a beesési szöge, csa visszave fénysugá léezi. A jelensége eljes visszaveõdésne nevezzü. A iius beesési szög a eljes visszaveõdés haászöge a 90 o - os öési szöghöz aozó szög, amelye ehá 1 sin haá = (2.4) n eljesül, ahol mos n a ávozási oldalna az éezési oldala vonaozó öésmuaójá jeleni. (Tehá n >1.) A eljes visszaveõdés ihasználásával a fény véony üvegszálaban messzie lehe vezeni inenzi ásveszeség nélül, l. 2.4 ába. Ezen alapszi a moden híözlés egyi fonos eszöze, a szálopia. Néhány álászó anyag öésmuaójá a 2.1. áblázaban foglalju össze ábláza anyag n (özepes) n é - n vöös levegõ 1,00029 víz 1,34 0,0040 oonaüveg 1,49-1,56 0,008 0,010 flinüveg 1,61 1,75 0,016-0,025 plexiüveg 1,50 3

4 3. Plánpaalel lemez és pizma Páhuzamos síoal haáol álászó lemezen (plánpaalel lemezen) úgy halad á a fénysugá, hogy iánya nem válozi, csa önmagával páhuzamosan elolódi. Ez a (2.3) egyenlebõl öveezi. Az elolódás mééé a 3.1. ába alapján bái önnyen iszámolhaja: d = ( sin cos an ), vagy a Snellius Descaas- övény felhasználásával: d cos d = sin n sin Nem páhuzamos sí felüleeel haáol öõözeg a pizma. A 3.1. pizmáa ába esõ fénysugá megválozo iánnyal lép i a mási lapon. Az eléülés (deviáció) szöge a 3.2. ába jelöléseivel a 1 1 sin = sin = acsin sin, (3.1) n n = ϕ = ϕ, (3.2) sin = nsin = acsin n sin, (3.3) ( ) δ = = f ( ) (3.4) egyenlesoozaból számolhaó i, ahol n a pizma anyagána a önyezõ özeghez viszonyío öésmuaója. (A (3.2) egyenle abból adódi, hogy a ϕ ϕ öõszöge meõleges száú szög anna a háomszögne egy ülso szöge, amelyben és belso szög.) Innen szélsoéészámíással adódi, hogy a deviációna minimuma van =, ' ' ϕ = - nál, azaz szimmeius sugámene eseén. Eo = ϕ 2, és a szimmeius sugámenehez aozó beesési szög 3.2. ába a (3.1) egyenlebõl adódódi, ϕ sin = nsin 2 ; (3.5) a minimális deviáció szöge pedig a (3.4) egyenlebõl ϕ δ = 2 2 = 2 ϕ = 2acsin n sin ϕ. 2 (3.6) Kis öési szög eseében sin ϕ ϕ, 2 2 ϕ ϕ ϕ acsin n sin nsin n, és így δ ( ) n 1 ϕ. (3.7) Hogy a fénysugána csa szimmeius sugámenenél lehe szélsõéée, beláhaju a fény megfodíhaósága alapján is, diffeenciálás nélül. Ugyanis a (3.4) egyenleben definiál f ( ) függvénye a megfodíhaóság mia eljesül az f ( ) = f ( ) eláció, ha ehá, ao é ülönbözo ééée δ - na ugyanaz az éée adódi, azaz nem lehe minimum. 4

5 4. Tüö épaloása Egy opiai eszöz ao alo épe, ha haásáa a ágy egy ponjából iinduló fénysugaa úja egy ponban meszi egymás, vagy ha széaóá leszne, a meghosszabbíásu meszi egy ponban egymás. Az elsõ eseben valódi, a másodiban viuális ép eleezi. 4.1 Síüö Ponszeû ágyól induló fénysugaa úgy veõdne vissza üözo sílapól, azaz síüöõl, hogy meghosszabbíásai egy ponban alálozna. Ez a 4.1. ába alapján önnyen beláhaju: beesési szögben éezo B fénysugá ugyancsa szögben veodi vissza, így az ábán felünee AOB és A OB háomszög egybevágó, ehá az AO és A O ávolság egyenlo. Eze szein bámelyi beéezõ fénysugá úgy veõdi vissza, hogy meghosszabbíása a beesési meolegessel AO ávolságban A, O A alálozi, ehá valóban egy ponban alálozna egymással ába A észlelõ szemébe eze szein úgy éezne a fénysugaa, minha a ágy az A ponban lenne. Az mondju, hogy a üö épe alo viuális azaz lászólagos épe. A épávolság egyenlõ a ágyávolsággal. 4.2 Gömbüö A homoú vagy domboú üö ülönbözõ ponjaia éezõ fénysugaa beesési meõlegesei nem ε páhuzamosa egymással. Gömbfelüle eseén eze a h ε gömb özépponjáa illeszedõ egyenese. A gömbüö épaloása válozaosabb, min a síüöé: γ elõfodul icsinyíe és nagyío viuális ép, és a homoú üö épes bizonyos ágyávolságonál valódi ép elõállíásáa is. Valódi épõl ao beszélün, ha az egy ponból induló, visszave fénysugaa egy ponban alálozna egymással. Egy iejed ágyól aloo 4.2. ába valódi ép enyõn felfoghaó: a ülönbözõ ponoból induló fénysugaa az enyõ más- más ponjában alálozna, és iajzoljá a ágy épé. Ezee a apaszalai ényee a visszaveõdés övénye alapján éelmezhejü. Teinsün elõszö egy homoú gömbüö, azaz egy belül üözõ gömbsüvege. A gömbsüveg özépponjá nevezzü el opiai özépponna, a gömb özépponjá geomeiai özépponna, a é pona illeszedõ egyenes opiai engelyne. A ágypon helyezedjen el az opiai engelyen. A visszave fénysugá vagy a meghosszabbíása meszi az opiai engely, eseleg éppen páhuzamos vele. Teinsü a haáozoság edvéé az elsõ esee; ez bizosan fennáll, ha a ágyávolság elég nagy. Eo a 4.2. ábán jelöl szöge özö a γ = ε, (4.1) = ε (4.2) 5

6 összefüggés eljesül. (γ egy, az ábán megalálhaó háomszög ülso szöge, és ε enne é nem mellee fevo belso szöge; hasonló apcsola van egy mási háomszögben, és ε özö.) A é egyenlebõl a beesési szöge, ε - iüszöbölhejü, γ = 2. (4.3) Az egyenleben szeeplõ szöge egyéelmû bá issé bonyolul összefüggésben vanna az ábán szeeplõ ávolságoal (a gömb sugaa, a ágyávolság, a visszave fénysugá opiai engellyel való meszésponjána ávolsága az opiai özépponól és a üöe való beéezés ponjána h ávolsága a engelyõl), így a (4.3) egyenlebõl az eze özöi összefüggéshez juhaun. A ovábbiaban azonban olyan eseee szoíozun, amelyeben a szeeplõ szöge icsi, annyia, hogy az ívmééü, szinuszu és angensü özöi ülönbség elhanyagolhaóan icsi. (Tengelyözeli, paaxiális fénysugaa.) Ez a felevés magában foglalja az is, hogy a gömbhéj is nyílászögû, és öveezi belole, hogy az ábán felünee OB ávolság a öbbi szeeplõ ávolsághoz épes elhanyagolhaóan icsi. Eo jó özelíéssel = h, = h, γ = h, (4.4) ahol a visszave fénysugá ávolsága az opiai özépponól. A (4.3) egyenlebe helyeesíve h h h = 2. De h- val lehe egyszeûsíeni, =, (4.5) ehá minden visszave fénysugá azonos helyen meszi az opiai engely, ehá egymás is. Ezzel beláu, hogy a eine eseben valóban ép eleezi, mégpedig valódi ép. Eze uán a ávolságo épávolságna nevezhejü. A (4.5) egyenlebõl láhaju, hogy léezi egy olyan pon az opiai engelyen, ahol a engellyel páhuzamosan beéezõ fénysugaa alálozna. Az opiai engellyel páhuzamosan beéezõ fénysugaa ugyanis úgy einheo, minha egy, az opiai engelyen végelen ávol fevõ ágyponból éeznéne,, 1 0. Ez a alálozási pono gyújóponna vagy fóuszponna nevezzü, az opiai özépponól mé f ávolságá fóuszávolságna. Eze szein = f =. (4.6) f 2 A (4.5) leépezési övény ezé az = (4.7) f alaba is íhaju. A fénysugá újána megfodíhaóságából öveezi de özvelenül is láhaó a leépezési övénybol, hogy a fóuszponba helyeze ágy épe a végelenben eleezi, azaz a visszave sugaa az opiai engellyel páhuzamosa. Ha a ágya a fóuszon belüle visszü, a visszave fénysugaa nem meszi az opiai engely, meszi viszon a meghosszabbíásai. A 4.3. ába jelöléseivel leuánozva a (4.5) egyenlehez vezeõ gondolamenee (éelemszeû válozaá soal), az apju, hogy a visszave fénysugaa meghosszabbíásai a üö mögö egy ponban alálozna, ehá viuális ép eleezi. Enne ávolságá az opiai özépponól a 6

7 1 1 1 = f egyenle adja meg. A domboú üöe is hasonló leépezési övény apun, i-o egy elõjelben ülönbözõ. Könnyebb megjegyezni az összes éplee, ha -, f - e, - e, so - is ezenúl elõjeles mennyiségne éelmezzü, úgy állapodva meg az elõjeleben, hogy minden eseben a (4.7) ala maadjon évényben. Ez az elõjelezési szabály a 4.1. áblázaban van összeállíva. Helyességéõl úgy gyõzõdheün meg, hogy minden leheséges ombinációa végigvisszü a homoú üö va lódi épée fenebb észleeze meggondolás. Viuális ágyól ao beszélün, ha a üöe olyan 4.4. ába fénynyaláb esi, amelyne fénysugaai ugyan nem egy ponból indulna, de a meghosszabbíásai egy ponban aláloznána. Maga a viuális ágy ez a alálozási pon. Ilyen sziuáció ao adódi emészees módon, ha egy gömbüö vagy más opiai eszöz valódi épe alona egy ágyponól, de még mielõ a fénysugaa aláloznána, újabb üö eszün az újuba, l ába ábláza >0 <0 valódi ép viuális ép valódi ágy viuális ágy,f homoú üö domboú üö Az opiai engelyen ívül fevõ ágyponól is épe alo a gömbüö, hiszen a geomeiai özéppon és a ágypon álal meghaáozo egyenes beöli egy mási, segéd- opiai engely szeepé, és minden elõzõ meggondolásun évényben maad. Az opiai engelye meõleges síban fevõ iejed ágy ponjaina épe nem illeszedi eljes ponossággal egy sía. (A ágyávolság valamivel nagyobb, ezé a épávo lság valamivel isebb, min a sí opiai engelye esõ ponja.) Kis nyílásszögû üönél és paaxiális sugaanál azonban ez a ozulás elhanyagolhaó, ehá a ép is az opiai engelye meõleges síba esi jó özelíéssel. Az elhanyagolás olyan endû, min ami az addigi egyszeûsíéseel is elöveün. Édemes ülön megjegyezni egy speciális esee: végelen ávoli, de nem az opiai engely iányába esõ ágypon épe (jó özelíéssel) a fóuszsíba esi. (Vagyis a fóuszponon á az opiai engelye meõlegesen állío síba.) Az ilyen ágyól éezõ fénysugaa egymással páhuzamosa, de az opiai engellyel nem! A ágy épé miuán meggyõzõdü aól, hogy a gömbüö ényleg épe alo óla bámely é fénysugá meszésponjaén megaphaju. Az opiai engelyen ívül esõ ágynál válaszhaju például a ábán láhaó ún. nevezees fénysugaaa. Az elsõ a fóuszon halad á, a másodi az opiai engellyel páhuzamosan éezi. A visszave fénysugá az elsõnél az opiai engellyel páhuzamos lesz, a másodinál a fóuszon megy á. Az a fénysugaa is önnyen övehejü, amelyi az opiai 7 γ ε ε 4.3. ába

8 özépponba éezi, ez i. egyszeûen üözni ell az opiai engelye. Van egy negyedi nevezees sugá is (ez nincs beajzolva); a göbülei özépponon ámenõ fénysugá önmagába veodi vissza. Ezee a f - f 4.5. ába 4.6. ába nevezees fénysugaaa ao is felhasználhaju a ép megeesésée, ha a ágyól induló sugaa özö ilyen nincsen (me pl. egy aadály iaaa, vagy me a üö csoba vagy icsi), hiszen a ép helye nem függhe aól, hogy a üöne meoa felülee vesz ész a - f - épaloásban. Egy végelen ávoli, de nem az opiai engely iányában levõ ágy épé a fóuszsíban 4.7. ába megalálhaju anna a fénysugána a segíségével, amely a fóuszponon halad á: ez az opiai engellyel páhuzamosan veõdi vissza, és a fóuszsíból imeszi a eese pono vagy anna a másina a öveésével, amely az opiai özépponba éezi. A ábá ajzai olyan éelemben ieálisa, hogy a fénysugaa nem paaxiálisa, a önnyebb láhaóság edvéé ajzolun ilyen méeee. Ugyancsa bizonyalanságo ooz a szeeszésben, hogy a üö göbüleé úlhangsúlyozu. A is nyílásszög éppen az jeleni, hogy a gömbüö síól való eléése alig lászi, szeeszésnél elhanyagolhaó. 5. Leépezés göbül öofelüleen Domboú vagy homo ú óaüveggel lezá, vízzel el n 1 ε 1 n csõe a engelyével páhuzamos 2 ε fénynyalábo bocsáva 2 γ apaszalhaju, hogy az elsõ fóuszálja a nyalábo, a mási γ széaóvá eszi. A jelenség éelmezésében is nyílásszögû gömbfelülee és paaxiális sugaaa szoí ozun. Az 5.1. ábán olyan esee 5.1. ába ábázolun, amelyben a ágyponból induló fénysugá a domboú felüle úloldalán levõ özegben ismé meszi az opiai engely. 8