Índice. 2 Volumes, 3 Pavimentos,

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Zsuzsanna Patakiné
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Índice 1 Perímetros e áreas 1. Perímetro de um polígono. Perímetro de um círculo (revisão) ---------- 6 2. Área de figuras planas (revisão) ------------------------------------------ 7.

1 Índice 1 Perímetros e áreas 1. Perímetro de um polígono. Perímetro de um círculo (revisão) Área de figuras planas (revisão) Perímetros e áreas de figuras semelhantes (revisão) Teorema de Pitágoras (revisão) Teorema de Tales (revisão) Aplicações Projeto Investigação Volumes, capacidades e empacotamentos 1. Medidas de volume e capacidade Volumes de sólidos com duas bases Volumes de cones e pirâmides Volume da esfera. Área da superfície esférica Secções em sólidos Ampliação e redução de um sólido Empacotamentos Aplicações Projeto Investigação Pavimentos, padrões e rosáceas 1. Pavimentações Polígonos regulares e pavimentações Pavimentações com polígonos regulares Pavimentações com mais do que um polígono regular Pavimentações com polígonos irregulares Isometrias Simetrias Frisos Aplicações Projeto Investigação Retas no plano. Coordenadas no espaço 1. Referencial cartesiano no plano (revisão) Referencial cartesiano no espaço Aplicações Projeto Investigação Avaliação Anexos Apresentação do GeoGebra Soluções I S B N

2 VOLUMES, CAPACIDADES E EMPACOTAMENTOS 7.

Nestes problemas procuram-se estratégias de colocação de unidades mais pequenas em unidades maiores de modo a minimizar os espaços vazios. 10 Observe a figura.

Eficácia do empacotamento: Exemplo 9 E = Espaço ocupado Espaço disponível Uma bola de bowling tem 22 cm de diâmetro e é embalada numa caixa cúbica em que cada face tem um ponto em comum com a bola.

2 2 VOLUMES, CAPACIDADES E EMPACOTAMENTOS 7. Empacotamentos Na indústria, no comércio, em transportes, coloca-se muitas vezes o problema de otimizar a ocupação de espaço, pelo que surgem os problemas de empacotamento. Nestes problemas procuram-se estratégias de colocação de unidades mais pequenas em unidades maiores de modo a minimizar os espaços vazios. 10 Observe a figura. A eficácia do empacotamento mede-se em percentagem, calculando a razão entre o espaço ocupado e o espaço disponível. Eficácia do empacotamento: Exemplo 9 E = Espaço ocupado Espaço disponível Uma bola de bowling tem 22 cm de diâmetro e é embalada numa caixa cúbica em que cada face tem um ponto em comum com a bola. Considerando desprezível a espessura da caixa, calcule a eficácia do empacotamento. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às décimas. Sabe-se que o espaço disponível na caixa é de 20 cm e que o volume da garrafa é de 1020 cm. Calcule a eficácia do empacotamento. Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às décimas. Resolução Volume da esfera = ( 4_ π 11 ) cm 5575,2798 cm Volume do cubo = 22 cm cm E = _ 5575,2798 0, Resposta: A eficácia do empacotamento é de 52,4%. 28

3 O que precisa de saber Exemplo 10 Temos cinco velas com a forma de um cilindro e pretende-se colocá-las em caixas de cartão com forma cilíndrica ou com a forma de um paralelepípedo retângulo, dispostas como é sugerido na figura. As velas têm 6 cm de diâmetro de base e 12 cm de altura. Compare a forma mais económica de embalagem, considerando a eficácia do empacotamento e o custo do cartão, sabendo que será utilizado o mesmo tipo de cartão nas duas caixas. Resolução Caixa cilíndrica Volume da caixa = = (π ) cm 05,628 cm Volume das velas = (5 π 2 12) cm 1696,460 cm Eficácia de empacotamento _ 1696,460 05,628 55,56% Área total da caixa = = (12 18 π) + (2 π 9 2 ) 1187,522 cm 2 Caixa com forma de paralelepípedo Como x = 6 2, vem que x = = 27. _ V = [ ( ) 18 12] cm 2418,69 cm Eficácia de empacotamento _ 1696, ,69 70,15% Área total da caixa = = 2 ( ) ( ) 110,769 cm 2 x 18π cm π 9 2 cm 2 6 π 9 2 cm 2 x cm 12 cm 11 Pretende-se embalar quatro velas como a que se mostra na figura. 8 cm 10 cm Será usada uma das três embalagens a seguir representadas em esquema. Compare a eficácia de empacotamento e a quantidade de cartão necessário para cada uma das opções e indique qual a forma mais económica, sabendo que em qualquer das caixas será utilizado o mesmo tipo de cartão. Conclusão: A caixa com a forma de paralelepípedo é a melhor opção, porque tem maior eficácia de empacotamento e também é mais económica relativamente à quantidade de cartão necessário para o seu fabrico. Aplicações Questões 2 a 28 (págs. 5 a 7) 29

4 PAVIMENTOS, PADRÕES E ROSÁCEAS 17 Rosáceas Quantas simetrias de reflexão e quantas simetrias de rotação pode observar em cada uma das rosáceas seguintes? Note que: Se uma figura tem n simetrias de reflexão, com n 2, também tem n simetrias de rotação. Uma figura pode ter simetrias de rotação e não ter simetrias de reflexão Identifique as simetrias que pode observar em cada um dos frisos seguintes

respetivos pontos médios dos lados do retângulo. 19.1. Quantas simetrias de rotação e quantas simetrias de reflexão pode observar na figura? 19.2.

5 Aplicações 19 Quatro lúnulas Na figura seguinte estão representadas quatro lúnulas, duas coloridas a cor verde e duas coloridas a vermelho. C D 6 A O Sabe-se que: [ABCD] é um retângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio [OB] ; BC = 6 cm CD = 8 cm 8 B as semicircunferências que também fazem parte da figura têm centro nos respetivos pontos médios dos lados do retângulo Quantas simetrias de rotação e quantas simetrias de reflexão pode observar na figura? Qual é o transformado do triângulo [OBC] por uma rotação de centro O e amplitude 180? 19.. Mostre que a área do retângulo [ABCD] é igual à área das quatro lúnulas. Hipócrates (século V a. C.) dedicou-se ao estudo da geometria e, entre outros trabalhos, ao cálculo de áreas de figuras limitadas por arcos de circunferências também conhecidas por lúnulas, por parecerem luas. 20 Guarda-chuva Na figura estão representados: uma semicircunferência de centro O e raio 9 cm ; as três semicircunferências iguais de diâmetros [AB], [BC] e [CD] ; os pontos A, B, C e D pertencentes à mesma reta. A B O C D Quantas simetrias de reflexão e quantas simetrias de rotação tem a figura? Calcule a área colorida a azul. Apresente o resultado arredondado às décimas. 57

4 RETAS NO PLANO. COORDENADAS NO ESPAÇO Projeto Investigação Cada vez mais na comunicação podemos encontrar vários tipos de publicações que expressam relações entre diversas variáveis.

utenção de resíd uos industriais bana is, uma temática em destaque em discip linas de compo nente técnica, por exempl o: Organização industrial (compone nte de formação técnica) Módulo 1 Hig iene,

6 4 RETAS NO PLANO. COORDENADAS NO ESPAÇO Projeto Investigação Cada vez mais na comunicação podemos encontrar vários tipos de publicações que expressam relações entre diversas variáveis. Contexto da sit uação-problem a geradora da in vestigação A proposta dest ina-se às profiss ões dos cursos de Manut enção Industria l Eletromecânica e visa o estudo da funç ão linear reportada à man utenção de resíd uos industriais bana is, uma temática em destaque em discip linas de compo nente técnica, por exempl o: Organização industrial (compone nte de formação técnica) Módulo 1 Hig iene, Seguranç a e Ambiente, Tecnolog ia e processos (c omponente de formaç ão técnica) M ódulo 25 Ambiente e co ntrolo da poluiçã o. A proposta de investigação seguinte diz respeito ao tratamento de resíduos industriais. Os resíduos industriais apresentam-se em estado sólido e semissólido, resultado de atividades de diferentes origens, como, por exemplo, de atividade industrial, doméstica, hospitalar, comercial, agrícola e de serviços. Fazem parte desta os lodos provenientes de sistemas de tratamento de água, gerados em equipamentos e instalações de controlo de poluição, assim como, líquidos cujas particularidades tornam inviável o seu lançamento na rede pública de esgotos ou corpos de água, facto que exige soluções técnicas e economicamente viáveis para o seu tratamento. 84 Coordenadas e equação reduzida da reta

7 EXCLUSIVO DO PROFESSOR Situação problema Um aterro dotado de uma estação de tratamento de águas residuais lixiviantes e de um sistema de lavagem dos rodados dos camiões à saída do empreendimento, com capacidade para acolher, mensalmente, cerca de 5 toneladas de resíduos, durante um período de 15 anos, solicitou aos alunos de um curso profissional que providenciassem um estudo (relatório e gráfico) sobre a lotação da capacidade (ano aproximado) do aterro de resíduos industriais banais, considerando a existência atual de cerca de 70 toneladas de resíduos. 1 Que informações determinam a lotação da capacidade do aterro de resíduos industriais banais? 2 Identifique as variáveis que estão relacionadas no problema. Que relação existe entre as variáveis que identificou? 4 Faça uma estimativa da quantidade de lixo residual existente em cada ano, completando a tabela que se segue. Anos decorridos Quantidade de resíduos industriais (toneladas) Represente graficamente a tabela anterior. 6 Recorrendo ao método algébrico, encontre a expressão que representa a quantidade de resíduos industriais daqui a n anos. 7 Faça uma previsão da lotação da capacidade do aterro de resíduos industriais banais. Use o método algébrico e o método gráfico e interprete a solução encontrada à luz do contexto do problema. 8 Elabore um relatório onde conste a explicitação de todos os itens anteriormente explorados. 85

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Escalas métricas em metal RL s s RL Índice s s RL 3 Especificações para as escalas s RL 4 RL-100-1 4 RL-100-1-LED 5 RL-100-2 5 RL-100-2-LED 6 RL-212-1 6 RL-212-1-LED 7 RL-212-2 7 RL-212-2-LED 8 RL-300-1 8 RL-300-1-LED 9 RL-300-2 9