MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! 1) Legyen f és g a valós számok halmazán értelmezett függvény: 1 ha 1 f 1 ha 1 és g 1 ha a) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben mindkét függvényt! Adja meg az egyenlet valós megoldásait! (6 pont) f g b) Számítsa ki a két függvény grafikonja által közrefogott zárt síkidom területét! (8 pont) a) A függvények ábrázolása egyenlet megoldása 1 1 1 1 feltétel esetén 1; egyenletnek nincs megoldása a egyenlet megoldása az feltétel esetén Az f g egyenletnek két megoldása van: ( pont) 1 intervallumon 1 1 és
b) Tekintsük az f és g grafikonját ahol A 1; 1, B ;1, C ;1, D ; A vizsgálandó síkidomot az AB, a BC szakaszok és az ADC parabolaív határolja Vágjuk ketté a síkidomot az y tengellyel. ABD T f g d d 1 1 DBC 5 1 T f g d d A keresett terület nagysága: 5 T T T ABCD ABD DBC 5,1 Összesen: 14 pont
) Legyen adott az függvény. a) Határozza meg az f függvény zérushelyeit! (4 pont) b) Vizsgálja meg az f függvényt monotonitás szempontjából! (6 pont) c) Adja meg az f függvény legnagyobb és legkisebb értékét! (4 pont) a) Mivel f :,5;,5, f, ezért f zérushelyei lehetnek 1 - és. ( pont) Az egyenlet mindhárom gyöke eleme az f értelmezési tartományának. ezért mindegyik zérushely jó megoldást ad b) Az f a teljes értelmezési tartományának belső pontjaiban differenciálható függvény, ezért a monotonitás megállapítása és a szélsőértékek megkeresése az első derivált előjelvizsgálatával történhet f Az első derivált értéke, ha Ezek az értékek az értelmezési tartomány elemei. Készítsünk táblázatot az 1 és f előjelviszonyai alapján az f menetének meghatározása: -,5-1 1 1-1 1 1 1,5 f pozitív negatív pozitív f növekvő f 1 csökkenő f 1 növekvő Monotonitás megállapítása a táblázat helyes kitöltése alapján. c) Az f helyi maimumot vesz fel az ) f 1, ( pont) 1 helyen, a helyi maimum értéke Az f helyi minimumot vesz fel az f 1 1 helyen, a helyi minimum értéke Mivel f,5 8,15, a legkisebb függvényérték -8,15 Mivel f,5 8,15, ezért a legnagyobb függvényérték 8,15 Összesen: 14 pont a) Ábrázolja függvény-transzformációk segítségével a ;4 intervallumon az hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! (6 pont) b) Legyen az f, a g és a h függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabályuk: f ; g, h. Képezzünk egyszeresen összetett függvényeket a szokásos módon. Például: g f g f 6 Készítse el a fenti példának megfelelően- az f, g és h függvényekből pontosan két különböző felhasználásával képezhető egyszeresen összetett függvényeket! Sorolja fel valamennyit! (6 pont)
c) Keressen példát olyan p és t, a valós számok halmazán értelmezett függvényre, amelyre! Adja meg a p és t függvény hozzárendelési szabályát! (4 pont) a) p t t p, ha, ha 1 4, ha 1 4, ha A grafikon két összetevőjének ábrázolása transzformációval ( pont) A függvény képe a megadott intervallumon ( pont) b) Összetett függvényhez a függvény közül -t kell kiválasztani a sorrendre való tekintettel, ezt 6-féleképpen tehetjük meg. (megadva) A függvények: g f g f - - 6 f g f g - 8 1 h f h f - - f h f h - - - g h g h - h g h g c) Egy egyszerű példa: konstans) p t c c p c és t c (ahol c nullától különböző t p c c Tehát p t t p
4) Egy arborétum 1969 óta figyelik a fák természetes növekedését. Úgy tapasztalták, hogy a mandzsu fűzfa magasságát közelítően jól írja le az m t 1 1 t 1 írja le a következő formula: képlet; a hegyi mamutfenyő magasságát közelítően jól 5,4t 1,4 h t Mindkét formulában t az 1969 óta eltelt időt jelöli években, és a magasságot méterben számolják. a) Szemléltesse a mandzsu fűzfa és a hegyi mamutfenyő magasságának változását, olyan közös oszlopdiagram, amely a magasság értékét az 197 és közötti időszakban 1 évenként mutatja! A diagramon tüntesse fel a számított magasságértékeket! (6 pont) b) A mamutfenyő melyik évben érte el 1,5 méteres magasságot? (4 pont) c) Indokolja, hogy nem lehet olyan fa az arborétumban, amelyek magasságát a g t t 16,5t 7t 6 képlet írja le. (A magasságot centiméterben számolják, t az 1985 óta eltelt időt jelöli években, és.) (6 pont) t 1. t 1 a) Táblázatba foglaljuk a képletek által kiszámított magasságokat az eltelt évek függvényében: ( pont) Helyes ábrázolások: 197 198 199 t 1 11 1 1 m(t) 7 11, 11,5 11,7 h(t) 6, 1, 15,7 18,7 (4 pont) b) Megoldandó a 1,5 5,4 1,4 egyenlet Rendezés után kapjuk, hogy t 7,7 ( pont) A kívánt magasságot a mamutfenyő a 8. évben, vagyis 1969 8 t 1977
c) A megadott függvény menetét előjel-vizsgálattal állapítjuk meg. A derivált: 5) g t t t 7 A derivált értéke, ha A derivált mindkét nullhelyénél előjelet vált, a két nullhely közötti t értékekre a derivált negatív, ezért a g t függvény ezen a tartományon 8 szigorú t vagy t 8 t monoton csökkenő A fa magassága nem csökkenhet az arborétumban, ezért a gt függvény egyetlen fa növekedését sem írhatja le a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a b) Ábrázolja a 6 9 5;8 kifejezés értelmezhető! intervallumon értelmezett f ( pont) : 6 9 függvény! (5 pont) c) Melyik állítás igaz és melyik hamis a fenti függvényre vonatkozóan? Válaszát írja a sor végén lévő téglalapba! (Az indoklást nem kell leírnia.) A: Az f értékkészlete: ;5 B: Az f függvény minimumát az helyen veszi fel. C: Az f függvény szigorúan monoton nő a d) Határozza meg az a) 6 9 A B C 6 9 d értékét! 4;8 intervallumon. ( pont) (6 pont) Mivel ez minden valós értékre nem negatív, ezért a legbővebb részhalmaz az. b) ( pont) ( pont)
c) A: Hamis B: Hamis C: Igaz d) 6 9 d 9 9 7 7 9 7 7 ( pont) ( pont) 7 6) Adott az f függvény: a) Határozza meg f zérushelyeit és elemezze az f függvényt monotonitás szempontjából! (7 pont) Jelölje c az f értelmezési tartományának egy pozitív elemét ;c szakasza, az f : 1;6 ; f 4 19 b) Határozza meg c értékét úgy, hogy az tengely a) A egyenletű egyenes és az f grafikonja által közbezárt síkidom területe 74 területegységnyi legyen! (9 pont) c 4 48 1;6 egyenlet intervallumba eső egyetlen megoldása a. ( pont) f deriváltjának hozzárendelési szabálya: A deriváltfüggvény 1;6 intervallumba eső egyetlen zérushelye 4. Itt a derivált előjelet vált, mégpedig pozitívból negatívba Az f függvény tehát monoton növekszik a intervallumon és 4;6 monoton csökken a b) A intervallumon ;c ezért c c f 4 19 d 74 4 19 d 96 4 4 c 4 intervallumon. f 1 19 1;4 egyenletet kell megoldani a c ;6 ( pont) intervallumon ( pont) 96 c 96c 4 c 96c 74 4 c 96c 74 Megoldóképlettel: c 8 vagy c 88 Az értelmezési tartományban az egyetlen pozitív megoldás: c 8
7) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). Számítsa ki, hogy k mely értéke esetén lesz lokális szélsőértékhelye a függvénynek! Állapítsa meg, hogy az így kapott k esetén maimumhelye vagy lokális minimumhelye! Igazolja, hogy a k ezen értéke esetén a függvénynek van másik lokális szélsőértékhelye is! (11 pont) b) Határozza meg a valós számok halmazán a g 9 képlettel értelmezett g függvény infleiós pontját! (5 pont) f k 9 1 a függvénynek 1 a függvények lokális a) A differenciálható f függvénynek az 1 akkor lehet szélsőértékhelye, ha itt az első deriváltja nulla Mivel Ezért f k 9 f 1 k 9 Innen k 6 Erre a k értékre f 1 9 ( pont) A másodfokú polinom szorzatalakja: f 1 Az ezért itt az f függvénynek lokális maimuma van A derivált helyen negatívból pozitívba vált ezért itt az f függvénynek lokális minimuma van b) Mivel Ebből 1 helyen a derivált pozitívból negatívba vált g 18 6 18 g A második derivált zérushelye Itt a második derivált előjelet vált A g függvény egyetlen infleiós pontja az 8) Adott a P ; y K t t 6t 5 polinom. Jelölje H a koordinátasík azon pontjainak halmazát, amelyekre. a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. C ; K K y Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont az ponttól egységnél nem nagyobb távolságra van? Az f függvényt a következőképpen definiáljuk: f :, f 6 5 (9 pont) b) Számítsa ki az f függvény grafikonja és az tengely által közbezárt síkidom területét! (7 pont)
K K y 6 5 y 6y 5 a) A bal oldali kifejezés teljes négyzetté kiegészítéssel a következő alakra hozható: a H halmaz a 8 y 8 ; középpontú sugarú zárt körlap A kérdéses valószínűség a geometriai modell alapján a két koncentrikus körlap területének arányaként számolható ( pont) A kedvező tartomány a középpontú, egység sugarú zárt körlap, C ; ennek területe 4 A teljes tartomány a H halmaz, ennek területe 8 Így a keresett valószínűség 4 P 8 5 1 b) Az f függvény zérushelyei és 1 Mivel f főegyütthatója pozitív, a másodfokú függvény a két zérushelye között negatív értékeket vesz fel kérdéses terület a függvény két zérushely közötti integráljának 1-szerese 1 T 6 5d 5 1 5 5 behelyettesítés után, a keresett terület nagysága ( pont). 9) Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja C ;7 pont, a szárak hossza illeszkedik az 5 1 y 4 egység. A háromszög másik két csúcsa (A, B) 1 egyenletű parabolára. a) Számítsa ki az A és a B pont koordinátáit! (6 pont) b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek és a parabolának további közös pontja D. Határozza meg a D pont koordinátáit! (4 pont) c) Mekkora területű részekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve? (6 pont) a) A keresett két csúcs rajta van a C középpontú 5 egység sugarú körön. A kör egyenlete: y 7 5 A keresett pontokat a következő egyenletrendszer megoldása adja: 1 y 1 4 y 7 5
Az első egyenlet átalakításával: 4y 4. Az kifejezést behelyettesítve a második egyenletbe kapjuk, hogy: Innen és. y1 Ezek közül csak az y 18 y 1 y ad megoldást Behelyettesítve az első egyenletbe: A keresett két pont: b) A BC egyenes egyenlete: c) A ; és 18y 4 B ; A D pont koordinátáit a 7 y 14 és a metszéspontjai adják. 1 7 1 D 1; 5 gyökei 1. Innen 1 és 7 y 14 és 1 (A másik száregyenes egyenlete: D 1; 5.) 1 y 4 1 görbék B-től különböző AC : 7 y 14, közös pont pedig AB m 4 7 Az ABC háromszög területe: c 14 A parabola két részre osztja a háromszöget. A kisebbik rész területének fele a szimmetria miatt: 1 4 1d 4 ( pont) A háromszögnek parabolaív alá eső területe: A háromszögnek a parabolaív felé eső területe: 8 (területegység) 8 14 4 (te)
1) Adott f és g függvény. f : D f \ k ; k tg ctg sin a) Igazolja, hogy az így definiált f függvény konstans! ( pont) g : D 7;7 6 g b) Számítsa ki g függvény zérushelyeit! ( pont) c) Adja meg g függvény értékkészletét! ( pont) a) Az értelmezési tartományon minden esetén b) sin cos f tg ctg sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos g 6 6 6 6, ha 7 7 ezért a g függvénynek három zérushelye van: -6; ; 6 c) A kifejezést átalakíthatjuk: g g 6 9 6 9 innen következik, hogy a legkisebb függvényérték a legnagyobb függvényérték g, ha 7 7 g 9 g g 7 7 7 ( pont) A g (folytonos) függvény értékkészlete: Rg 9;7 ( pont) 11) Legyen 4 f a a a a a) Igazolja, hogy a f d a a b) Mely pozitív a számokra teljesül, hogy f c) Az mely pozitív valós értéke lesz a lokális (helyi) minimuma? Összesen: 1 pont, ahol a pozitív valós szám és! (6 pont) a d? (4 pont) g. függvények (6 pont)
a) Az f függvény integrálható. a 4 a 4 a d a a a a a a a a a a a a a (4 pont) 4 a a a b) Megoldandó (az feltétel mellett) a egyenlőtlenség a a a a a 1 1 Mivel Az a lehetséges értékeinek figyelembe vételével: g függvény differenciálható. a, így az első két tényező pozitív, ezért 1 c) A nyílt intervallumon értelmezett 1 g A lehetséges szélsőértékhely keresése: A lehetséges szélsőértékhely: tartományban) 6 g 1 6 g Tehát az 1 lokális minimumhely. 1 1 a a 1 (benne van az értelmezési
1) Az egyenletű parabola az egyenletű körlapot két részre vágja. Mekkora a konve rész területe? Számolása során ne használja a közelítő értékét! (16 pont) y y 8 Az egyenletű kör középpontja és a parabola tengelypontja is az origó (O) ( pont) A metszéspontok meghatározása: y y y 8 y y 1 8 y 8 y 4 ( pont) amelyek közül az A CD húr a körlapból egy olyan körszeletet vág le, amelynek a középponti szöge 9 y a feladatnak megfelelő, mert az OD és OC is egy-egy négyzet átlója így a területe: 1 Tkörszelet r sin 1 8 sin 4 A parabolából a CD húr által levágott parabolaszelet területe: 1 Tparabolaszelet TABCD d 4 4 4 16 8 8 6 ( pont) (5 pont) A konve rész területe: 16 T T körszelet T parabolaszelet 4 4
1) Egy kozmetikumokat gyártó vállalkozás nagy tételben gyárt egyfajta krémet. A termelés havi mennyisége ( mennyisége) 1 és 7 kg közé esik, amelyet egy megállapodás alapján a gyártás hónapjában el is adnak egy nagykereskedőnek. A megállapodás azt is tartalmazza, hogy egy kilogramm krém eladási ára: euró. a) Számítsa ki, hogy hány kilogramm krém eladása esetén lesz az eladásból származó havi bevétel a legnagyobb! Mekkora a legnagyobb havi bevétel? (6 pont) b) Adja meg a krémgyártással elérhető legnagyobb havi nyereséget! Hány kilogramm krém értékesítése esetén valósul ez meg? ( nyereség bevétel kiadás ) (1 pont) 6, a) Az eladásból származó havi bevétel: 6, Az, 6 euró, maimummal rendelkező másodfokú függvény A függvény zérushelyei és 1 ezért a függvény maimumhelye 6 Ez az érték a feltételek szerinti intervallumba tartozik A legnagyobb bevételt tehát 6 kg termék értékesítése esetén érik el, a legnagyobb bevétel 1 8 euró b) A havi nyereség a havi bevétel és a havi kiadás különbségével egyenlő. A havi nyereséget az függvény adja meg A nyereséget leíró függvény:, 6,1,1 1,1, 66,1 1 1 7,,6 66,1 1 7,,6 66,1 1;8 8 1 7 Ez a függvény deriválható, és deriváltja az függvény A egyenletnek 4 egy negatív 1 58 és egy pozitív valós gyöke van A deriváltfüggvény a intervallumon pozitív az 8;7 intervallumon negatív tehát a nyereségfüggvény 8-ig szigorúan nő, majd szigorúan csökken A vizsgált függvénynek tehát egy abszolút maimumhelye van és az a 8 A legnagyobb függvényérték 6,4 A legnagyobb havi nyereség tehát 8 kg termék eladása esetén keletkezik, értéke 6,4 euró
14) A nyomda egy plakátot 14 4 példányban állít elő. A költségeket csak a nyomtatáshoz felhasznált nyomólemezek (klisék) darabszámának változtatásával tudják befolyásolni. Egy nyomólemez 5 Ft-ba kerül, és a nyomólemezek mindegyikével óránként 1 plakát készül. A nyomólemezek árán felül, a lemezek számától függetlenül, minden nyomtatásra fordított munkaóra további nyomdának. A ráfordított idő és az erre az időre jutó költség egyenesen arányos. a) Mennyi a nyomólemezek árának és a nyomtatásra fordított munkaórák miatt fellépő költségek összege, ha a kinyomtatásához 16 nyomólemezt használnak? (4 pont) b) A 14 4 plakát kinyomtatását a nyomda a legkisebb költséggel akarja megoldani. Hány nyomólemezt kell ekkor használnia? Mennyi ebben az esetben a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege? (1 pont) 4 Ft költséget jelent a 14 4 plakát a) 16 nyomólemez óránként 16 plakát elkészítését tesz lehetővé ezért a teljes mennyiséghez 144 9 16 óra szükséges A nyomólemezek előállítási költsége és a munkaidő további költségének összege: 16 5 9 4 4 Ft ( pont) b) Ha a nyomda darab nyomólemezt használ, akkor ennek a költsége 5 Az darab lemezzel óránként 1 darab plakát készül el, ezért a 144 darab kinyomtatásához és ez további 5,76 1 A két költség összege 6 14 4 144 1 forint, K 5,76 1 5 órát vesz igénybe 6, ahol pozitív egész Tekintsük a pozitív valós számok halmazán a K utasítása szerint értelmezett függvényt Az így megadott K függvény minimumár keressük. A K függvény deriválható 6 5,76 1 és minden esetén K 5. A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy K 6 5,76 1 5, innen 4, mert Annak igazolása, hogy az (abszolút) minimumhely: 7 1,15 1 K Azaz 48 nyomólemez alkalmazása esetén lesz minimális a költség 48 48
15) 48 darab nyomólemez alkalmazása esetén a nyomólemezekre és a ráfordított K 48 4 Ft munkaidőre jutó költségek összege: a) Két szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Számítsa ki a következő két esemény valószínűségét: A: a dobott számok összege prím B: a dobott számok összege osztható -mal (6 pont) b) Az 1,,,4,5,6 számjegyekből véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával 4-gyel osztható háromjegyű számot tudunk képezni? (5 pont) c) Az ABCD négyzet csúcsai: A ;, B ;, C ;, D ; Véletlenszerűen kiválasztjuk a négyzet egy belső pontját. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott pont a koordinátatengelyek és az f : ;, f cos tartomány egyik pontja? függvény grafikonja által határolt a) A dobott számok összege a következő esetekben lesz prím:, Az A eseményt 15 elemi esemény valósítja meg, 1 6, 5 4, 11, 1,. (5 pont) 1 4, 5 6. 11 eset kivételével mindegyik összeg kétféleképpen valósulhat meg, így az Az összes elemi esemény 6 6 6, ezért 15 P A 6 A dobott számok összege a következő esetekben lesz -mal osztható: 1,, A 4, és a 1 5 így P B 1 6, 6, 4 5, 6 6. 6 6 esetek egyféleképpen, a többi kétféleképpen valósulhat meg, b) A hat számjegyből hármat 6 különböző módon tudunk kiválasztani A 4-gyel oszthatóság szabálya alapján kedvező esetet kapunk, ha a kiválasztott három számjegy között van kettő, amelyekből 4-gyel osztható kétjegyű szám képezhető Ezek között négy olyan hármas van, amely nem tartalmaz két megfelelő számjegyet: (1,, 5); (1,, 4); (1, 4, 5); (, 4, 5). ( pont) 4 16 Így a keresett valószínűség P 4 5
c) A négyzet és az f függvény grafikonjának felvétele közelítő pontossággal A négyzet területe 4 A koordinátatengelyek és az f függvény grafikonja által határolt tartomány területe: cos d sin sin sin 1 A valószínűség kiszámításának geometriai modelljét alkalmazva, a keresett valószínűség: 1 4 P,45 4 16) Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya. f p p 6 a) Számítsa ki a f d határozott integrált, ha p (4 pont) b) Határozza meg p értékét úgy, hogy az függvénynek! ( pont) c) Határozza meg p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az =1 helyen pozitív legyen! (7 pont) a) Ha b) p, akkor 1 zérushelye legyen az f f 9 6 4 9 6 d,75 4,5 6 ( pont) 6 p p 6 Rendezve: Ennek a megoldásából adódik, hogy p vagy p 4 esetén lesz a megadott függvénynek zérushelye az 1. p p1
c) Deriváltfüggvény: 1 p p 9 f p p -hez tartozó helyettesítési érték: p15 p15 egyenlőtlenség megoldható egyenlet megoldásai és -5 p p15 ( pont) mivel bal oldalának főegyütthatója pozitív ezért az egyenlőtlenség teljesül, ha p 5 vagy p Összesen: 14 pont 17) a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az f : ; 7, f 6 5 függvényt! (4 pont) p p15 b) Adja meg az f függvény értékkészletét! ( pont) c) A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az intervallumon? (8 pont) 6 5 p egyenletnek a ;7 a) f 6 5 4 ;1 b) f értékkészlete: ( pont) ( pont) c) A lehetséges megoldások a grafikonról leolvashatók Ha p, akkor nincs megoldás Ha, akkor megoldás van Ha 4, akkor 4 megoldás van Ha, akkor megoldás van Ha 4 p 5, akkor megoldás van Ha 5 p 1, akkor 1 megoldás van Ha 1 p, akkor nincs megoldás Összesen: 14 pont p p p 4
18) Egy üzemben olyan forgáshenger alakú konzervdoboz gyártását szeretnék elkezdeni, amelynek térfogata 1 cm. A doboz aljának és tetejének anyagköltsége, cm Ft, míg oldalának anyagköltsége,1 cm Ft. a) Mekkorák legyenek a konzervdoboz méretei (az alapkör sugara és a doboz magassága), ha a doboz anyagköltségét minimalizálni akarják? Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Számítsa ki a minimális anyagköltséget is egész forintra kerekítve! (1 pont) A megtöltött konzervdobozokat tizenkettesével csomagolták kartondobozokba. Egy ellenőrzés alkalmával 1 ilyen kartondoboz tartalmát megvizsgálták. Minden kartondoboz esetén feljegyezték, hogy a benne található 1 konzerv között hány olyat találtak, amelyben a töltősúly nem érte el az előírt minimális értéket. Az ellenőrök a 1 kartondobozban rendre, 1,,,,,, 1,, ilyen konzervet találtak, s ezeket a konzerveket selejtesnek minősítették. b) Határozza meg a kartondobozonkénti selejtes konzervek számának átlagát, és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését! ( pont) a) Ha r a doboz alapkörének sugara m pedig a doboz magassága cm-ben mérve, V 1 akkor ahonnan m r r V r m Az alap- és a fedőlap együttes anyagköltsége r függvényében V A palást anyagköltsége,1 r r r A teljes anyagköltség,4r f r r r esetében, r ( pont) Az f függvénynek a pozitív számok halmazán ott lehet minimuma, ahol deriváltja. ' f r,8r r ' f r r f '' r ha 4,,8 ( pont) 4,8 ezért itt valóban minimális f értéke r Minimális anyagköltséghez tartozó magasság 1 m 17, cm r Tehát a minimális anyagköltség forintra kerekítve 7 Ft ( pont)
b) Az adatok átlaga,7 A minta átlagtól mért átlagos abszolút eltérése 6,7, 1,, 1,84 ( pont) 19) Egy teherszállító taikat üzemeltető társaság egyik, elsősorban városi forgalomban alkalmazott kocsijának teljes működtetési költsége két részből tevődik össze: az üzemeltetési költség km h átlagsebesség esetén 4,8 kilométerenként; a gépkocsivezető alkalmazása Ft óránként. a) Mekkora átlagsebesség esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége? Válaszát km h Ft -ban, egészre kerekítve adja meg! (8 pont) b) A társaság emblémájának alaprajzát az f és függvények grafikonjai által közrezárt síkidommal modellezhetjük, ahol f f : ; 6, 1 6 ha 4; 6 ha ; 4 Számítsa ki az embléma modelljének területét! f (8 pont) a) A tehertai működtetésének kilométerenkénti teljes költsége az üzemeltetésből származó 4,8 (Ft) költségből, és a vezető (Ft) munkadíjából tevődik össze km h átlagsebesség esetén. A teljes költséget 1 kilométerre forintban az f :, f 4,8 függvény adja meg. Az f-nek csak ott lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja. f,8 f pontosan akkor teljesül, ha,8. Ebből 75 5,44. Mivel 44 f", tehát a függvény második deriváltja mindenhol, így 5,44-ben is pozitív, ezért f-nek itt valóban minimuma van. Tehát (egészre kerekítve) 5 km/h átlagsebességgel esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége.
b) Jó ábra. A kérdéses terület: 4 6 1 6 T d d 4 ( pont) A zárójelben szereplő első tag primitív függvénye: a második tagé pedig: 6, 18 Alkalmazva a Newton-Leibniz tételt: 4 6 T 18 6 4 16 14 16 4 4 6 területe 4 területegység., tehát az embléma modelljének ( pont) ) Az ABCDEF szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza 5. a) Számolja ki a hatszög területének pontos értékét! (6 pont) b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje, a területű hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét képezve ezzel a t n t 1 t 1 sorozatot. Számítsa ki a határértékét! (Pontos értékkel számoljon!) t, és így tovább, lim t1 t... tn n (1 pont) a) Ha a hatszög oldalának hossza a, a rövidebb átló az a oldalú szabályos háromszög magasságának kétszerese, így, a 5 5 5 6 ahonnan a. A szabályos hatszög területe 6 darab a oldalú szabályos háromszög területének összege, így a T 6 5 4 ( pont)
b) A területű szabályos hatszög oldala az ABC háromszög AC oldalához (mely az eredeti hatszög rövidebb átlója) tartozó középvonala, t 1 hossza a 1 5 a1 75 t1 6 4 4 A következő szabályos hatszög t 1, t területét megkaphatjuk például úgy, hogy a területű hatszög szomszédos oldalfelező pontjait összekötő szakaszok által a hatszögből levágott háromszögek területének összegét levonjuk t 1 a1 sin1 75 5 t 6 16 16 A t n sorozat mértani sorozat, amelynek hányadosa t q t 1 4 t 1 -ből.. ( pont). A kérdéses határérték annak a mértani sornak az összege, amelynek első tagja Így t 1 75 4, hányadosa pedig t lim t1 t... tn n 1 q 75 1 q 4.. 1) a) Deriváltfüggvényének segítségével elemezze az f 1,5 6 f : ; ; függvényt a következő szempontok szerint: növekedés és fogyás, lokális szélsőértékek helye és értéke! (1 pont) g : ; függvényt, amelyre igaz, hogy g f b) Adja meg azt a (tehát az f függvény a g deriváltfüggvénye) és ezen kívül teljesül! g is (4 pont)
a) Az f deriváltfüggvénye: ( ) f : ; f 6. f zérushelyei: -1 és. f másodfokú függvény főegyütthatója pozitív, ezért f értékei Az esetén pozitívak, esetén negatívak, esetén pozitívak. Az f függvény menete ezek alapján: a intervallumon (szigorúan monoton) növekvő; az amelynek értéke,5; intervallumon (szigorúan monoton) csökkenő; ; 1 1 1 1 helyen (lokális) maimuma van, a 1 ; helyen (lokális) minimuma van, az amelynek értéke ; intervallumon (szigorúan monoton) növekvő. a ; f f 1 f 1 f 1 maimum f 1,5 1 f b) Mivel g az f-nek egyik primitív függvénye: 4 g c c 4 Mivel ezért g 4 4 1 c f minimum f 1 f., c 1, és így g 4 1 4 Összesen: 14 pont
) Kovács úr a tetőterébe egy téglatest alakú beépített szekrényt készíttet. Két vázlatot rajzolt a terveiről az asztalosnak, és ezeken feltüntette a tetőtér megfelelő adatait is. Az első vázlat térhatású, a második pedig elölnézetben ábrázolja a szekrényt. A tetőtér adottságai miatt a szekrény mélységének pontosan 6 cm-nek kell lennie. a) Mekkora legyen a szekrény vízszintes és függőleges mérete (azaz a szélessége és a magassága), ha a lehető legnagyobb térfogatú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A magasság, a szélesség és a mélység a szekrény külső méretei, Kovács úr ezekkel számítja ki a térfogatot.) (8 pont) A szekrény elkészült. Az akasztós részébe Kovács úr vasárnap este 7 inget tesz be, a hét minden napjára egyet-egyet. Az ingek között van fehér, világoskék és sárga. Reggelente nagyon siet, ezért Kovács úr csak benyúl a szekrénybe, és anélkül, hogy odanézne, véletlenszerűen kivesz egy inget. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hét első három napján vagy három különböző színű vagy három egyforma színű inget választ? (Ha valamelyik nap viselt egy inget, azt utána már nem teszi vissza a szekrénybe.) (8 pont) a) Ha a szekrény magassága méter, akkor szélessége az ábrán látható egyenlő szárú háromszögek miatt. ( pont) 4 A térfogata pedig:,6 4 amennyiben Az,6 4 V,. másodfokú függvénynek két zérushelye van, a és a. Így a negatív főegyüttható miatt ennek a függvénynek a maimuma a két zérushelye számtani közepénél, az helyen lesz. ( pont) Mivel a eleme a feladat értelmezési tartományának, ezért a legnagyobb térfogatú szekrény magassága körülbelül 1,41 méter, szélessége pedig körülbelül,8 méter lesz. ( pont)
b) Az azonos színű ingeket megkülönböztetve az első három napon 7 6 5 1 különböző lehetőség van a három ing kiválasztására. Kedvező esemény az, ha valamilyen sorrendben mindegyik színből pontosan egyet vagy három sárga inget választott Kovács úr. Egy adott színsorrendben különböző módon lehet három inget kiválasztani. Három adott szín sorrendje!-féle lehet, tehát három különböző színű inget különböző módon választhat ki Kovács úr. ( pont) A három sárga inget! különböző sorrendben választhatja ki. A kedvező esetek száma:. A kérdezett valószínűség tehát:! 7!! 78 78 1 1 5,71 1.