MATEMATIKA évfolyam. Óratervi táblázat a hatévfolyamos osztályok számára:

MATEMATIKA 7. 12. évfolyam Óratervi táblázat a hatévfolyamos osztályok számára: Évfolyam 7. 8. 9. 10. 11. 12. Heti óraszám 3 3 3 3 3 4 Éves óraszám 111 111 111 111 111 108 Célok és feladatok A matematikatanítás célja, hogy a gondolkodás örömének és hasznosságának felfedeztetésével párhuzamosan megismertesse a tanulókat környezetük mennyiségi és térbeli viszonyaival, megalapozza a korszerű, a mindennapi életben, a többi tantárgy tanulása során és különböző probléma-szituációkban jól használható, továbbfejlesztésre alkalmas matematikai műveltségüket. Ezen cél megvalósításának folyamatában elsősorban a matematikai kompetencia különböző komponenseit fejlesztjük, valamint a matematikai nevelés folyamatában rejlő lehetőségeket kihasználva hozzájárulunk a többi kulcskompetencia (anyanyelvi kommunikáció, idegen nyelvi kommunikáció, természettudományos kompetencia, digitális kompetencia, a hatékony, önálló tanulás, szociális és állampolgári kompetencia, kezdeményezőkészség és vállalkozói kompetencia, esztétikai-művészeti tudatosság és kifejezőképesség) megerősítéséhez. A fenti célok megvalósításának komplex folyamata biztosítja a kulcskompetenciákra épülő kiemelt fejlesztési feladatok (énkép, önismeret, hon- és népismeret, európai azonosságtudat-egyetemes kultúra, aktív állampolgárságra, demokráciára nevelés, gazdasági nevelés, környezettudatos nevelés, a tanulás tanítása, testi és lelki egészség, felkészülés a felnőtt lét szerepeire) megvalósítását is. A matematikatanítás feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez, gazdasági, pénzügyi kérdések áttekintéséhez, helyes döntések meghozatalához. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat, ezzel hozzájárul a digitális kompetencia kifejlődőséhez. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. A tananyag egyes részleteinek kooperatív, csoport-munkában való feldolgozása, a feladatmegoldások megbeszélése az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztésének, a reális önértékelés kialakulásának fontos 1

területei. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika tanulása járuljon hozzá helyes pályaválasztási irány megtalálásához és megalapozásához. A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Az egyes témákban szerepeltetett különböző nehézségű problémák természetesen nyújtják a differenciálás lehetőségét. A fokozott szaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetősége biztosítsák az esélyegyenlőséget. A matematikai kompetencia kialakítása Fejlesztési követelmények Készségek Gondolkodási képességek Kommunikációs képességek Tudásszerző képességek Tanulási képességek számlálás, számolás, mennyiségi következtetés, becslés, mérés, mértékegységváltás, szövegesfeladatmegoldás rendszerezés kombinativitás deduktív következtetés induktív következtetés valószínűségi következtetés érvelés, bizonyítás relációszókincs szövegértés, szövegértelmezés térlátás, térbeli viszonyok ábrázolás, prezentáció problémaérzékenység probléma-reprezentáció eredetiség, kreativitás problémamegoldás metakogníció figyelem rész egész észlelés emlékezet feladattartás feladatmegoldási sebesség Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos ismeretek megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti 2

a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit, s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A ha..., akkor... az akkor és csak akkor helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a többféle nézőpont érvényesítésének, a komplex problémakezelésnek a képességét is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területeken bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A 9 12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Ezek az eljárások biztosítják sokoldalú kommunikációs formák közül a megfelelő kiválasztásának és alkalmazásának képességét. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban és szóban egyaránt. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A tanítás során felhasznált tankönyveinket, feladatgyűjteményeinket igyekszünk egy tankönyvcsaládból kiválasztani. A képzésben használjuk a matematikai-logikai kompetencia fejlesztésre kidolgozott munkafüzeteket, szemléltető anyagokat. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet 3

tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is. 4

Fejlesztési célok és kompetenciák 1. Tájékozódás térben, időben, a világ mennyiségi viszonyaiban 7-8.évfolyam A térbeliség ábrázolása. Az időtartam mérése, különböző kultúrák időmérése. A távolság és a számok abszolút értékének kapcsolata. 9-12.évfolyam A térbeliség ábrázolása. Mérési elvek azonos és különböző mennyiségekkel. (Szögek mérése) 2. Megismerés Tapasztalatszerzés, képzelet, emlékezés, gondolkodás, az ismeretek rendszerezése, ismerethordozók használata. 7-8.évfolyam 9-12.évfolyam Modellezés, fogalmak, összefüggések megjelenítése. Kísérletek végzése, megfigyelés. Geometriai transzformációk elvégzése Diagram, műveleti jelek értelmezése Képzeletben történő mozgatás, átdarabolás. Az ismeretek tudatos memorizálása.(tények, eljárások, állítások, gondolatmenetek) Állítások értelmezése. Bizonyítások. Analógia, absztrakció Matematikai jelek szerepe, a matematikai logika nyelvének használata. Lexikonok, könyvek számológép, internet, aktív tábla használata. Matematikai modell választása: rajz, táblázat, gráf készítése. Esetfelsorolás, diszkusszió. Képzeletben történő mozgatás, átdarabolás. Az ismeretek tudatos memorizálása.(tények, eljárások, állítások, gondolatmenetek) Bizonyítási módszerek. A fogalmak egymáshoz való viszonyainak megértése. Gondolatmenet követése. Bizonyítások több lépésben is. Analógia, absztrakció A matematika területei közti kapcsolatok tudatosítása. Lexikonok, könyvek számológép, internet, aktív tábla használata. 3. Az ismeretek alkalmazása 7-8.évfolyam Alkalmazás a problémamegoldásban. A gyakorlati életben.(százalékszámítás) Más tantárgyak keretében. (kémiai számítások) Bizonyítások megfogalmazásában. 9-12.évfolyam Alkalmazás a problémamegoldásban. A gyakorlati életben.(százalékszámítás) Más tantárgyak keretében. (kémiai számítások) Bizonyítások megfogalmazásában. 5

4. Problémakezelés és megoldás 7-8.évfolyam Az ismert és ismeretlen elemek felderítése. A probléma vállalása, esetleges kudarc után is. A problémához hasonló probléma keresése. A matematikai modell kiválasztása, megoldási módok keresése. Az eredmény összevetése a becsléssel. A lehetőségek számbavétele, válasz a problémára. 9-12.évfolyam Az ismert és ismeretlen elemek felderítése. A probléma vállalása, esetleges kudarc után is. A problémához hasonló probléma keresése. A matematikai modell kiválasztása, megoldási módok keresése. Az eredmény összevetése a becsléssel. A lehetőségek számbavétele, válasz a problémára. 5. Alkotás és kreatív képességek 7-8.évfolyam Fogalmak alkotása. Egy-egy fogalom bővítése. Elnevezések, szimbólumok alkotása. Számrendszeres gondolkodás tudatosítása. Sorozatok alkotása. Táblázatok készítése, az adatok közti kapcsolat keresése. Modellek készítése. (valószínűségi, kombinatorikai) Gondolatmenet kiépítése a probléma megoldására. 9-12.évfolyam Fogalmak alkotása. Egy-egy fogalom bővítése. Elnevezések, szimbólumok alkotása. Számrendszeres gondolkodás tudatosítása. Sorozatok alkotása. Táblázatok készítése, az adatok közti kapcsolat keresése. Modellek készítése. (valószínűségi, kombinatorikai) Gondolatmenet kiépítése a probléma megoldására. 7-8.évfolyam 6. Akarati, érzelmi önfejlesztő képességek Kommunikáció, együttműködés, motiváltság, önismeret 9-12.évfolyam A matematikai szaknyelv használata, ismerete. Mások gondolatainak megértése, saját gondolatok kifejezése és megértetésére való törekvés. A közös munka tervezése, a feladatok szétosztása, vitakészség, együttműködő képesség. A világ, a matematika megismerésének igénye. A saját képességek fejlesztésének igénye. Önismeret, önértékelés, önellenőrzés. A matematikai szaknyelv használata, ismerete. Mások gondolatainak megértése, saját gondolatok kifejezése és megértetésére való törekvés. A közös munka tervezése, a feladatok szétosztása, vitakészség, együttműködő képesség. A világ, a matematika megismerésének igénye. A saját képességek fejlesztésének igénye. Önismeret, önértékelés, önellenőrzés. 6

7-8.évfolyam 7. A matematika épülésének elveiben való tájékozottság 9-12.évfolyam Modellek alkotása a matematikán belül. A matematikán kívüli problémák modellezése. Szemléletes fogalmak használata, definíciók alkotása. A minden esetre való alkalmazhatóság, a különös esetekre való kiterjesztés. Axiomatizálás egyszerű példán. 7.-8. évfolyam Ennek a szakasznak a legfontosabb feladata az, hogy az algebra, a függvények, a geometria tanításához konkrét tapasztalatokra támaszkodó, mélyen megértett és alaposan begyakorolt alapokat hozzunk létre. A hangsúly ezeken a területeken nem a mennyiségen, hanem az elsajátítás minőségén van. Miközben folytatódik a tevékenységeken, tapasztalatszerzésen keresztül történő fogalomépítés, egyre nagyobb hangsúlyt kap a rendszerezés, pontos megfogalmazás, az összefüggések felismerése, a következtetésen alapuló okoskodás. Az ismeretszerzés folyamatában az induktív gondolkodás még mindig vezető szerepet játszik, azonban egyre jelentősebb szerepet kapnak a deduktív következtetések. Ennek a szakasznak nagyon fontos feladata még a szociális kompetenciák Ebben az életkorban is a gyerekek szívesen tevékenykednek, és már hatékonyan tudnak dolgozni csoportmunkában, projekteken. Ezért is láttuk jónak a kompetencia alapú oktatás bevezetését ezen az évfolyamon. Iskolánk sikeresen pályázott a HEFOP 3.1.3. pályázaton, így lehetőségünk nyílt arra, hogy a matematikailogikai kompetenciafejlesztő programot először a 7. és a 9. évfolyamon kipróbáljuk, majd bevezessük a tanítási gyakorlatunkba. A bevezetés fokozatosan történik, a megszerzett tapasztalatok alapján minden évfolyamon javaslatot teszünk azokra az anyagrészekre, ahol különösen jól lehet a kooperatív technikák alkalmazásával a tanulókat fejleszteni. Ezek az anyagrészek az egyes évfolyamok fejlesztési feladatainál külön is szerepelnek. 7. évfolyam Gondolkodási módszerek (3 óra + folyamatosan beépül a teljes tananyagba) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Pozitív motiváció kialakítása. Kommunikációs készségek Tartalom Matematikatörténeti érdekességek a tananyaghoz kapcsolva. Könyvtár és elektronikus eszközök felhasználása információk gyűjtésére, feldolgozására. A továbbhaladás feltételei A nyelv logikai elemeinek helyes használata. Az és, vagy, ha, akkor, nem, van olyan, minden kifejezések jelentése. Érettségi témakör: 1.2 Gondolatok (állítások, feltételezések, választások, stb.) világos, érthető szóbeli és írásbeli közlése. 7

A halmazszemlélet Szövegelemzés, lefordítás a matematika nyelvére, ellenőrzés. Egyszerű ( minden, van olyan típusú) állítások igazolása, cáfolata konkrét példák kapcsán. Érettségi témakör: 1.2 Példák konkrét halmazokra: részhalmaz, kiegészítő halmaz, unió, metszet. Érettségi témakör: 1.1 Szöveges feladatok megoldása. Érettségi témakör: 1.2 Egyszerű állítások igazságának eldöntése. A kombinatorikus gondolkodás Tapasztalatszerzés az összes eset rendszerezett felsorolásában. Változatos kombinatorikai feladatok megoldása különféle módszerekkel. Sorba rendezés, kiválasztás néhány elem esetén. Érettségi témakör: 1.3 Sorba rendezés, kiválasztás legfeljebb 4 elem esetén. Számtan, algebra (33 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Műveletek gyakorlása a racionális számkörben. Zsebszámológépek használata. Tartalom Műveletek a racionális számok körében (rendszerezés). Érettségi témakör: 2.3 A továbbhaladás feltételei Alapműveletek helyes elvégzése kis abszolút értékű egészek, törtek, tizedes törtek körében egyszerű esetekben. A bizonyítási igény A hatványozás fogalma pozitív egész kitevőre. A hatványozás azonosságai konkrét példákon. Normálalak. Érettségi témakör: 2.5 10 pozitív egész kitevőjű hatványai, 10-nél nagyobb számok normálalakja. Következtetési képesség fejlesztése összetettebb feladatokban. Arány, aránypár, arányos osztás gyakorlati esetekben. Százalékszámítási és egyszerű kamatszámítási feladatok. (pl. árképzés, gazdaságosság, termékek anyag-összetétele, időbeosztás) Érettségi témakör: 2.7 Egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása egyszerű konkrét feladatokban. Egyszerű százalékszámítási feladatok. 8

Matematikatörténeti érdekességek megismerése. Mindennapi szituációk összefüggéseinek leírása a matematika nyelvén, képletek értelmezése. Tapasztalatgyűjtés a mérlegelvvel kapcsolatban. Prímszám, prímtényezős felbontás. Két szám legnagyobb közös osztója, legkisebb közös többszöröse. Egyszerű oszthatósági szabályok (3- mal, 9-cel, 8-cal, 125-tel, 6-tal). Érettségi témakör: 2.2 Számrendszerek Érettségi témakör: 2.2 Egyszerű algebrai egész kifejezések, helyettesítési értékük. Érettségi témakör: 2.6 Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása következtetéssel, mérlegelvvel. Érettségi témakör: 2.8 Osztó, többszörös, két szám közös osztóinak, néhány közös többesének megkeresése. Egyszerű elsőfokú egy ismeretlenes egyenletek megoldása. Szövegértelmezés. Szöveges feladatok megoldása. Érettségi témakör: 2.8 Egyszerű szöveges feladatok megoldása következtetéssel is. Összefüggések, függvények, sorozatok (12 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Táblázatok, grafikonok készítése konkrét hozzárendelések esetén. Tájékozódás a síkon a derékszögű koordinátarendszer segítségével. Tartalom Két halmaz közötti hozzárendelések megjelenítése konkrét esetekben. Egyértelmű hozzárendelések ábrázolása a derékszögű koordinátarendszerben. Érettségi témakör: 31., 3.2 A továbbhaladás feltételei Lineáris függvények. Példák nem lineáris függvényekre (pl.: 1/x függvény). Érettségi témakör: 3.2 Lineáris függvények ábrázolása értéktáblázattal egyszerű esetekben. Számolási készség fejlesztése a racionális számkörben. Sorozatok vizsgálata (számtani sorozat). Érettségi témakör: 3.3 Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint, néhány taggal megadott sorozat esetén szabály (ok) keresése. Geometria (30 óra) 9

Fejlesztési feladatok, tevékenységek Fejlesztés a gyakorlati mérések, és a mértékegységváltások helyes elvégzésében. Tartalom Mértékegységek átváltása konkrét gyakorlati példák kapcsán a kibővült számkörben. Érettségi témakör: 4.1, 4.3, 4.7, 4.8 A továbbhaladás feltételei Szög (fok), hosszúság, terület, térfogat, tömeg, űrtartalom, idő mérése a szabványos mértékegységeinek ismerete. Állítások megfogalmazása, és igaz vagy hamis voltának eldöntése. Megoldási terv készítése kerület-, területszámítási feladatoknál. Transzformációs szemlélet Háromszögek magasságvonala, területe. Érettségi témakör: 4.3, 4.7 Paralelogramma, trapéz, deltoid tulajdonságai, kerülete, területe. Érettségi témakör: 4.3, 4.7 Kör kerülete, területe. Érettségi témakör: 4.7 Szögpárok (egyállású szögek, váltószögek, kiegészítő szögek). Érettségi témakör: 4.1 Háromszögek területének kiszámítása. Szerkesztési eljárások gyakorlása. Középpontos tükrözés. Érettségi témakör: 4.2 Középpontosan szimmetrikus alakzatok a síkban. Érettségi témakör: 4.2 Szabályos sokszögek. Érettségi témakör: 4.3 Nevezetes szögek szerkesztése. Háromszög szerkesztése alapesetekben. A háromszög egybevágóságának alapesetei. Érettségi témakör: 4.2 Adott pont középpontos tükörképének megszerkesztése. Szögfelező szerkesztése. Háromszöggel kapcsolatos legegyszerűbb szerkesztések. A bizonyítási igény felkeltése. A háromszög belső és külső szögeinek összege. A négyszögek belső szögeinek összege. Érettségi témakör: 4.3 Háromszögek és konvex négyszögek belső szögeinek összege. Térszemlélet Három- és négyszögalapú egyenes hasábok, forgáshenger hálója, tulajdonságai, felszíne, térfogata. Érettségi témakör: 4.8 Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok valamint a forgáshenger felismerése, jellemzése. 10

Valószínűség, statisztika (6 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Valószínűségi és statisztikai szemlélet Tartalom Valószínűségi kísérletek egyszerű konkrét példák esetében. Érettségi témakör: 5.2 A továbbhaladás feltételei Gyakoriság, relatív gyakoriság fogalma, tulajdonságai. Érettségi témakör: 5.1 A gyakoriság fogalma. Statisztikai adatok elemzése, értelmezése. Adatok gyűjtése, rendszerezése, adatsokaság szemléltetése, grafikonok készítése. Érettségi témakör: 5.1 Egyszerű grafikonok olvasása, készítése. A kipróbálást követően, a következő modulok beépítését javasoljuk a 7. évfolyamon: 071. modul Hatványozás, normálalak 072. modul Geometriai transzformációk, középpontos tükrözés 075. modul Sokszögek, kör 076. modul Területszámítás 078. modul Hasáb és a henger 8. évfolyam Gondolkodási módszerek (3 óra + folyamatosan beépül a teljes tananyagba) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az igényes szóbeli és írásbeli közlés A bizonyítási igény Ellenpéldák szerepe a cáfolásban. Könyvtár és egyéb informatikai eszközök használata. Tartalom Gondolatok helyes szóbeli és írásbeli kifejezése. Érettségi témakör: 1.2 A matematikai bizonyítás előkészítése: sejtések, kísérletezés, módszeres próbálkozás, cáfolás. Érettségi témakör: 1.2 Híres magyar matematikusok. A továbbhaladás feltételei Szabatos, pontos írásbeli és szóbeli fogalmazás. 11

Szövegelemzés, értelmezés, lefordítás a matematika nyelvére. Az ellenőrzés, önellenőrzés igényének Szöveges feladatok értelmezése, megoldási terv készítése, a feladat megoldása és szöveg alapján történő ellenőrzése. Érettségi témakör: 1.2 Szövegértelmezés egyszerű esetekben. Rendszerszemlélet A tanult ismeretek közötti összefüggések felismerése, azok értő alkalmazása Elemek halmazokba rendezése, halmazok elemeinek felsorolása konkrét példák kapcsán. A tanult halmazműveletek alkalmazása konkrét feladatokban. Érettségi témakör: 1.1 A tanult halmazműveletek felismerése két egyszerű, konkrét halmaz esetén. Kombinatorikus gondolkodás Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása változatos módszerekkel (fadiagram, táblázatok készítése). Érettségi témakör: 1.3 Sorba rendezés, kiválasztás legfeljebb 4-5 elem esetén, az összes eset felsorolása. Számtan, algebra (30 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tartalom Racionális szám fogalma (véges, végtelen tizedes törtek), példák nem racionális számra, négyzetgyök fogalma. Érettségi témakör: 2.3 A továbbhaladás feltételei A rendszerező képesség A természetes, egész és racionális számok halmazának kapcsolata. Érettségi témakör: 2.4 Számítások egyszerűsítése például azonosságok felismerésével. Zsebszámológépek alkalmazása. A helyettesítési érték célszerű kiszámítása. Műveletek racionális számkörben. Eredmények becslése. Algebrai egész kifejezések, egyszerű képletek átalakításai. Szorzattá alakítás kiemeléssel egyszerű esetekben. Algebrai egész kifejezések szorzása egyszerű esetekben. Érettségi témakör: 2.6 Alapműveletek helyes sorrendű elvégzése egyszerű esetekben, a racionális számkörben. Egyszerű algebrai egész kifejezések, helyettesi értékének kiszámítása. 12

Ellenőrzés igényének Elsőfokú illetve elsőfokúra visszavezethető egyszerű egyenletek, elsőfokú egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. Érettségi témakör: 2.8 Elsőfokú egyenletek megoldása. Szövegértelmezés, lefordítás a matematika nyelvére. Szöveges feladatok megoldása. (pl. gazdaságossági számítások, adó kiszámítása, termékek összetétele, közlekedési problémák) Érettségi témakör: 2.8 Egyszerű szöveges feladatok megoldása következtetéssel, egyenlettel. Összefüggések, függvények, sorozatok (12 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényszemlélet Táblázatok, grafikonok készítése konkrét függvények esetén. Grafikus megoldási módszerek alkalmazása (lehetőség szerint számítógépen is). Tartalom Függvények és ábrázolásuk a derékszögű koordinátarendszerben. x x 2 ; x x Konkrét, egyszerű feltételnek eleget tevő pontok a koordinátarendszerben. Érettségi témakör: 3.2 Egy-ismeretlenes egyenletek grafikus megoldása. Sorozatok és vizsgálatuk (mértani sorozat). Kamatos kamat számítása egyszerű konkrét adatokkal. Érettségi témakör: 3.3 A továbbhaladás feltételei x a x+b függvény és ábrázolása konkrét racionális együtthatók esetén. Geometria (20 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A halmazszemlélet és a térszemlélet Zsebszámológép használata. A tanultak alkalmazása más tantárgyak és a mindennapi élet problémáinak megoldása során. Tartalom A tanult testek áttekintése, ismerkedés a forgáskúppal, gúlával, gömbbel. Érettségi témakör: 4.3 Eltolás a síkban. Érettségi témakör: 4.2 Vektor, mint irányított szakasz. Két vektor összege, különbsége. Érettségi témakör: 4.4 A továbbhaladás feltételei Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok felszíne és térfogata. Adott pont eltolása adott vektorral. 13

A transzformációs szemlélet Középpontos nagyítás és kicsinyítés konkrét arányokkal. Szerkesztési feladatok. Érettségi témakör: 4.2 Kicsinyítés és nagyítás felismerése hétköznapi szituációkban. A bizonyítási igény Pitagorasz tétele. Érettségi témakör: 4.3 Pitagorasz-tétel ismerete (bizonyítás nélkül). Számolási készség Egyszerű számításos feladatok a geometria különböző területeiről. Érettségi témakör:4.1-4.4 Valószínűség, statisztika (6 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Valószínűségi és statisztikai szemlélet Adatsokaságban való eligazodás képességének Tartalom Valószínűség előzetes becslése, szemléletes fogalma. Érettségi témakör: 5.2 Adathalmazok elemzése (módusz, medián) és értelmezése, ábrázolásuk. Grafikonok készítése, elemzése. Érettségi témakör: 5.1 A továbbhaladás feltételei Relatív gyakoriság. Leggyakoribb és középső adat meghatározása kisszámú konkrét adathalmazban. Grafikonok készítése, olvasása egyszerű esetekben. A következő modulok feldolgozását javasoljuk: 076. modul: Területszámítás 077. modul: Algebra, egyenletek 078. modul: Hasáb, henger 079. modul: Hozzárendelések 9. évfolyam Gondolkodási módszerek (7 óra + folyamatosan beépül a tananyagba) A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása. A megismert számhalmazok, ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma. Érettségi témakör: 1.1, 2.1-2.4 Tájékozottság a racionális számkörben. 14

Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége. Érettségi témakör: 1.1 Egyszerű kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése. Érettségi témakör: 1.3 Az akkor és csak akkor használata (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos). Érettségi témakör: 1.2 Számtan, algebra (34 óra) Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége. A fogalom célszerű kiterjesztése, a A hatványozás értelmezése 0 és számok nagyságrendjének tudása. negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai (legalább egy azonosság bizonyítása); számok abszolút értéke, normál alakja. Érettségi témakör: 2.5 Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b) 2, a 2 b 2 szorzat alakja, (a ± b) 3, a 3 b 3 szorzat alakja. Érettségi témakör: 2.6 Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata. Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás. Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai egészekkel és törtekkel végzett műveleteknél. Érettségi témakör: 2.6 Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. Elsőfokú két ismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás. Gazdaságosság, veszteség, nyereség elemzése a feladatok kapcsán. Érettségi témakör: 2.8 Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása. A négy alapművelet egyszerű algebrai kifejezésekkel. Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban. 15

A rendszerező-képesség A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek. Érettségi témakör: 2.8 Relatív prímek, oszthatósági feladatok. példa számrendszerekre. Érettségi témakör: 2.2 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. 2-es alapú számrendszer kapcsolata a 10-es alapú számrendszerrel. Függvények, sorozatok (18 óra) A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A távolság és az abszolútérték kapcsolata A megfelelő modell megkeresése Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban. Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása. A transzformációk, mint függvények értelmezése, megmaradó és változó tulajdonságok a transzformációkban. A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, gyakorlati példák további függvényekre, a fordított arány,. A vizsgált függvények elemi tulajdonságai. Érettségi témakör: 3.1 Geometria (27 óra) Geometriai alapfogalmak, háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Érettségi témakör: 4.3 A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, körülírt köre. (Legalább egy tétel bizonyítása.) Érettségi témakör: 4.3 Thalész tétele, a kör és érintői. Érettségi témakör: 4.3 A tengelyes és középpontos tükrözés, az eltolás áttekintése, rendszerezése, pont körüli elforgatás és tulajdonságai. Érettségi témakör: 4.2 Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével. Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. A nevezetes vonalak és a háromszög beírt és köré írt körének ismerete. A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete. Az eltolás és tükrözések tulajdonságainak felhasználása egyszerű feladatokban. 16

Síkbeli tájékozódás, tervezés, a A forgásszög fogalma, ívmérték, a konstrukciós, analizáló képesség kör középponti szöge. A körív és a diszkussziós igény hossza, körcikk kerülete, területe kialakítása, sokoldalú (képletek használata). szemléltetés, szerkesztőprogramok Érettségi témakör: 4.3 megismerése. Egyszerű szerkesztési feladatok. Valószínűség, statisztika (6 óra) A statisztikai adatok helyes értelmezése. Képi információ és a matematikai tartalom kapcsolata. Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; szórás. Környezetvédelmi, népesedési, fogyasztásról szóló adatok szerepeltetése. Érettségi témakör: 5.1 Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése. Ezen az évfolyamon a következő modulok beépítését javasoljuk: 7. modul: A háromszögek. 8. modul: A négyszögek. 11. modul: Lineáris függvények. 12. modul: Abszolút érték függvény. 13. modul: Másodfokú függvény. 10. évfolyam Gondolkodási módszerek (6 óra+ folyamatosan beépül a tananyagba) A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. A bizonyítási igény további A követő képzelet fejlesztése a tanult bizonyítások felidézésével. Tétel és megfordítása. Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya-elv). Érettségi témakör: 1.2 Változatos kombinatorikai feladatok. Érettségi témakör:1.3 A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése. Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén. 17

A permanencia elve a számfogalom bővítésében. A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algoritmikus gondolkodás A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. A szöveg felidézése, vázlat, rajz készítése a problémához. A megfelelő rögzítési mód megtalálása. Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál. Célszerű módszerek megválasztása: algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban. Számtan algebra (35 óra) A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedes tört alakja, példák irracionális számokra. Érettségi témakör: 2.3, 2.4 A négyzetgyök azonosságainak használata egyszerű esetekben, az n-edik gyök. Érettségi témakör: 2.5 A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet, gyöktényezős alak, összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Érettségi témakör: 2.8 Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok. (Egyszerű gazdaságossági számítások, mozgási feladatok, tréfás feladatok, stb.) Érettségi témakör: 2.8 Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Érettségi témakör:2.8 Egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása. Érettségi témakör:2.8 Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyök azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma. Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása. Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése. 18

Függvények, sorozatok (13 óra) Új függvénytulajdonságok megismerése, a periodicitás, mint időbeli és térbeli jelenség. Függvénytranszformációk alkalmazása. A négyjegyű függvénytáblázatok és matematikai összefüggések célszerű használata. A négyzetgyök függvény. A tanult függvények néhány egyszerű transzformációja. A forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, összefüggés a szög szögfüggvényei között. A szögfüggvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérus helyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. Érettségi témakör: 3.2 Geometria (33 óra) A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x sinx és x cosx függvények ábrázolása és tulajdonságai. A transzformációs szemlélet Hasonlósági kapcsolatok keresése a mindennapi életben. Kreatív problémamegoldás. Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata. A hasonlósági transzformáció fogalma. Érettségi témakör: 4.2 A háromszögek hasonlósága, alapeseteinek ismerete és alkalmazása egyszerű esetekben. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben. (Legalább egy tétel bizonyítása.) Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének, illetve a szögfüggvényeknek alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. Érettségi témakör: 4.3 A vektorok további alkalmazása. A vektor szorzása számmal, vektor felbontása síkban. Érettségi témakör: 4.4 A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az alapesetek ismerete. A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál. 19

Valószínűség, statisztika (7 óra) A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése. Kísérletek elvégzése és számítógépes modellezése. Valószínűségi kísérletek. A valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása egyszerű esetekben. Érettségi témakör: 5.1 Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján. Ezen az évfolyamon a következő modulok beépítését javasoljuk: 2. modul: A négyzetgyök fogalma, azonosságai. 3. modul Algebrai azonosságok és másodfokú egyenletek. 6. modul: Másodfokúra visszavezethető problémák. 8. modul: Hasonlóság és alkalmazásai. 11. modul: Kombinatorika és valószínűség számítás. 11. évfolyam Gondolkodási módszerek (10 óra + folyamatosan beépül a tananyagba) A kombinatív készség A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. becslés, a becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása. Modell megtalálása a matematikán belüli problémánál. A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Vegyes kombinatorikai feladatok. Binomiális együtthatók. Érettségi témakör: 1.3 Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal. Érettségi témakör: 1.4 Számtan, algebra (24 óra) Másodfokúra visszavezethető egyszerű egyenletek. Érettségi témakör: 2.8 A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozás azonosságai és alkalmazásuk. Érettségi témakör: 2.5 Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása. A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai. A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevő esetén. 20

Bizonyítás iránti igény mélyítése. A logaritmus értelmezése. Matematikatörténeti vonatkozások A logaritmus azonosságai. megismerése (könyvtár- és Érettségi témakör: 2.5 internethasználat). Az absztrakciós és szintetizáló képesség Az önellenőrzés igényének A definíciókon és a megismert azonosságokon alapuló exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. Érettségi témakör: 2.8 A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben. Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlet egyszerű konkrét feladatokban. Függvények, sorozatok (12 óra) A függvényfogalom Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban. A 2 x, a 10 x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze. Érettségi témakör: 3.1, 3.2 A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás). Függvény- transzformációk: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(c x). Érettségi témakör: 3.1 Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték). Geometria, mérés (35 óra) A térszemlélet A vektorokról tanultak áttekintése Pontos fogalomalkotásra törekvés. A vektorműveletek tulajdonságai. Bizonyítás iránti igény Két vektor skaláris szorzata. tovább A skaláris szorzat A fizika és a matematika tulajdonságainak felsorolása. termékeny kapcsolatának Érettségi témakör: 4.4 megmutatása.. Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek. Érettségi témakör: 4.5 Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Vektorok alkalmazásai. A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). 21

A matematika gyakorlati felhasználása. Tervszerű munkára nevelés. Gazdaságossági kérdések. Az esztétikai érzék fejlesztése A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. Távolság, szög, terület meghatározása gyakorlati feladatokban (fizikában). Számítások terep-mérési adatokkal, úthálózatokkal. Érettségi témakör: 4.1 Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Érettségi témakör: 4.4, 4.6 A bizonyítási készség Szakasz felezőpontja, harmadolópontja. A háromszög súlypontja. Érettségi témakör: 4.6 Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenletei. Érettségi témakör: 4.6 Adott probléma többféle megközelítése. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, ezek kapcsolata. Az egyenes egyik egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör adott pontjához tartozó érintője. Érettségi témakör:4.6 Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata. Valószínűség, statisztika (12 óra) A körülmények kellő figyelembe vétele. Közvélemény kutatási, egészségügyi, vásárlással kapcsolatos események valószínűsége. Előzetes becslés összevetése a számításokkal. Egyszerű valószínűség-számítási problémák. A binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel). Eseményekkel végzett műveletek egyszerű, konkrét feladatokban. Érettségi témakör: 5.2 22

Modellalkotásra nevelés. Relatív gyakoriság. Érettségi témakör: 5.1 A valószínűség klasszikus modellje. Érettségi témakör: 5.2 A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása. A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Statisztikai mintavétel. a gyakorlati életben. Érettségi témakör: 5.1 12. évfolyam Gondolkodási módszerek (15 óra + folyamatosan beépül a tananyagba) Az ismeretek rendszerezése: A matematika területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A döntési képesség fejlesztése, állítások igazságértékének megállapítása. A deduktív gondolkodás további Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és internet-használat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása. Tartalom Ekvivalencia, implikáció. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. Érettségi témakör:. 1 A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése. Érettségi témakör: 1.3, 1.4 Számtan, algebra (22 óra) Rendszerező összefoglalás Számhalmazok Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. Érettségi témakör: 2.2-2.4 A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. 23

Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés. Az önellenőrzés fontossága. A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Első- és másodfokú egyenlet és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenletek és azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyszerű két ismeretlenes elsőfokú és másodfokú egyenletrendszer. Érettségi témakör:2 Szöveges feladatok. Érettségi témakör: 2 Függvények, sorozatok (24 óra) A matematika alkalmazása a gyakorlati életben. Matematikatörténeti feladatok. Egyszerű gazdaságossági problémák áttekintése. Az absztrakciós készség A függvényszemlélet A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban. A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege. Kamatoskamat-számítás. Érettségi témakör: 3.3 Rendszerező összefoglalás A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvény transzformációk. Függvényvizsgálat függvényábrák segítségével. Érettségi témakör: 3.1, 3.2 Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. 24

Geometria, mérés (40 óra) A térszemlélet Az esztétikai érzék A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában. Sík- és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése. A függvényszemlélet A deduktív gondolkodás A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Érettségi témakör: 4.1 A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A tanult poliéderek felszíne, térfogata. A forgáshenger és a forgáskúp felszíne és térfogata. A csonka gúla, a csonka kúp, a gömb térfogata, felszíne. Érettségi témakör: 4.7, 4.8 Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Érettségi témakör: 4.1 Egybevágósági és hasonlósági transzformációk áttekintése. Érettségi témakör:4.2 Háromszögekre, négyszögekre és a körre vonatkozó tanult tételek és alkalmazásaik. Érettségi témakör: 4.3 Vektorok, vektorok koordinátái. Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Érettségi témakör: 4.4 Derékszögű koordináta-rendszer. Egyenes és kör egyenlete. Érettségi témakör: 4.6 Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik. Érettségi témakör: 4.5 Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete. A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban. 25

Valószínűség, statisztika (10 óra) A leíró statisztika és a valószínűség számítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Adatkezelésnél osztályba sorolás. Terjedelem. Érettségi témakör: 5.1 Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani Egyszerű klasszikus közép, mértani közép, súlyozott valószínűség-számítási közép, medián, módusz, szórás. feladatok megoldása. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell. Érettségi témakör: 5.2 Szempontok a tanulók teljesítményének értékeléséhez Az értékelés célja a tanuló előrehaladásának, illetve a tanári közvetítés eredményességének vizsgálata. Az iskola pedagógiai programjában meghatározott módon értékeljünk. A továbbhaladás feltételei című fejezet felsorolja azokat a kiemelt területeket, amelyekben a tanulóknak fejlődést kell elérniük. Ebben az alapvető ismeretelemek mellett olyan tanulói képességekkel összefüggő tevékenységek szerepelnek, amelyek szükségesek ahhoz, hogy a tanulók a következő évfolyam tananyagát sikeresen elsajátíthassák. A fejlesztendő képességek rendszerezve a következők: Megjegyzés, reprodukció: tények, elemi információk megjegyzése, lejegyzése, rendszerezése, fogalmak felismerése, és alkalmazása, szabályok ismerete és reprodukálása. Egyszerűbb és bonyolultabb összefüggések megértése, transzformációs képességek. Ismeretek és képességek alkalmazása ismert vagy új szituációban, szóbeli (egyéni és társas) és írásbeli kommunikációs képességek továbbfejlesztése, lényegkiemelő képesség fejlesztése, mindennapos élethelyzetekben a verbális és nonverbális közlések összhangja. Önálló véleményalkotás, értékelés jelenségekről, személyekről, problémákról. A tanárnak a tanulók évközi munkáját folyamatosan figyelemmel kell kísérnie. A tanulók tevékenységének értékelése a tanulói ismeretek, tevékenységek, szóbeli és írásbeli értékelése alapján történhet: Diagnosztikus mérések (a mérések olyan információt szolgáltatnak, amelyek elemzése segítséget nyújthat a tanárnak a hiányosságok feltárásához, a hibák korrigálásához, a problémák jó megoldásának megtalálásához). Témazáró dolgozatok, felmérések (Az összeállításánál egyik fontos szempont legyen, hogy a kitűzött feladatok megoldása beleférjen a tervezett időkeretbe. A felmérést különböző nehézségű feladatokból célszerű összeállítani. Legyen köztük az adott téma alapvető ismereteire közvetlenül épülő, valamint begyakorolt típusfeladat és olyan feladat is, amelyik megoldása megfelelő nehézségű akadály elé állítja a matematikából tehetségesebb, jól felkészült tanulókat is. A két utolsó évfolyamon fontos a kitűzött feladatok között választhatót is szerepeltetni, ez az érettségi előkészítését is segíti. A tizenkettedik évfolyamon célszerű dupla órás témazárót, valamint egy próba-érettségi feladatsort is íratni.) Az írásbeli beszámolók más formái lehetnek a 10-20 perces röpdolgozatok, valamint az otthoni munkára építő házi dolgozat (kutatómunka összegezése, projekt feladat beszámolója). A szóbeli felelet lehet egy-egy probléma megoldása, kiselőadás tartása pl. matematikatöténeti 26