Miskolci Magister Gimnázium

Miskolci Magister Gimnázium matematika 12. évfolyam 2013/2014 110/2012./VI.4./Kormányrendelet, és az 51/2012/XII.21./ EMMI kerettanterv alapján Készítette: Literáti Márta

Helyi tanterv Jelen helyi tanterv az 51/2012. (XII.21.) EMMI rendelet: 3. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9-12. évfolyama számára 3.2.04 alapján készült. A kerettanterv által biztosított 10 %-os szabad mozgástér a megtanított ismeretek elmélyítésére és a gyakorlásra kerül felhasználásra, tehát új tartalmi elemekkel a témák nem bővülnek, csak bizonyos résztémákra szánt órakeret került megnövelésre. A tantárgy heti óraszáma A tantárgy éves óraszáma 12. évfolyam 4 128 Tankönyv: Sokszínű matematika 12. Példatárak: Érettségi feladatgyűjtemény matematikából I. Érettségi feladatgyűjtemény matematikából II Segédkönyv: Négyjegyű függvénytáblázat

12. évfolyam Fejlesztési célok és feladatok A NAT bevezetőjében felsorolt célok, értékek és kompetenciák a matematika tantárgy oktatásában a következő területeken jelennek meg: A matematikatanítás elsődleges célja, feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A tanulók gondolkodásának fejlesztésében fontos szerepet kap a helyes és kreatív nyelvhasználat, a hallott és olvasott szöveg értése. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást! Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszer-, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, akár mindennapi problémák önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogatja az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, internet stb.) célszer- felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszint- érettségi vizsga sikeres letételére! A matematika helyi tanterv legfontosabb vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe.

Fejlesztési követelmények: Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A ha... az akkor és csak akkor helyes használata az élet számos területén fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszer- matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűségszámítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási m6veletek alkalmazása A 9 12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszer- tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvet7en fontos az absztrakciós képesség fejlesztése.

Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszer- modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszer- használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, a tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is. Ezen általános elveken túlmenően az egyes tantervek speciális célokat és fejlesztési követelményeket tartalmaznak. Kiemelt fontosságúnak tartjuk diákjaink továbbtanulási szándékának támogatását, a sikeres felvételire való felkészítést, illetve lehetőségeinkhez mérten a felsőoktatási intézményekben való helytállás megalapozását. Ez természetesen a különböző szint- matematikaoktatásban résztvevő diákok számára nem ugyanazt jelenti. Minden esetben nagy súlyt helyezünk azonban a vizsgaszituációk begyakorlására. Az alábbiakban külön ismertetjük az egyes csoportokra vonatkozó célokat, feladatokat és fejlesztési követelményeket, illetve a tananyag megválasztásának

Témakörök 12. osztály Óraszámok: Téma Tematikus egység Számonkérés Összesen: 1. Összefüggések, függvények, sorozatok 12 1 20 2. Geometria 20 2 38 3. Rendszerező összefoglalás 52 9 70 Összesen: 84 12 128

Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai 1. 2 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 1. Összefüggések, függvények, sorozatok Órakeret 20 óra Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése. A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az időben: lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a valóság: matematikai modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. Ismerethordozók használata. Óra Ismeretek Fejlesztési követelmények 10. 11-13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. A számsorozat fogalma. A függvény értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Számsorozatok, ismert számsorozatok.. Matematikatörténet: Fibonacci. Számtani sorozat fogalma. Az n. tag kiszámítása. Az első n tag összege. Matematikatörténet: Gauss. Gyakorló feladatok. Mértani sorozat fogalma. Az n. tag kiszámítása. Az első n tag összege. Gyakorló feladatok. Kamatoskamat-számítás. Gyakorló feladatok. Gyakorló feladatok. Érdekes kamatszámítási feladatok. Vegyes feladatok a sorozatok a számtani és mértani sorozatok, a kamatos kamat témaköréből. Összefoglalás. Az I. Témazáró dolgozat írása. Sorozat megadása rekurzióval és képlettel. A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során. A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során. A számtani sorozat mint lineáris függvény és a mértani sorozat mint exponenciális függvény összehasonlítása. Modellek alkotása: befektetés és hitel; különböző feltételekkel meghirdetett befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel költségei, a törlesztés módjai. Az egyéni döntés felelőssége: az eladósodás veszélye. Korábbi ismeretek Kapcsolódási pontok Informatika: problémamegoldás informatikai eszközökkel és módszerekkel: algoritmusok megfogalmazása, tervezése. Fizika; kémia, biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok vizsgálata. Technika, életvitel és gyakorlat: alapvető adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíjés társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek. Földrajz: a világgazdaság szerveződése és működése, a pénztőke működése, a monetáris világ jellemző folyamatai, hitelezés, adósság, eladósodás. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Magyar nyelv és irodalom: szövegértés.

Kulcsfogalmak/ fogalmak Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység nevelésifejlesztési céljai 2. Geometria Órakeret 38 óra Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek, terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. A matematika két területének (geometria és algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.-28. 29. 30.-32. Térelemek kölcsönös helyzete, térelemek szöge Térelemek távolsága A sík és a tér felbontása A testek osztályozása Szabályos testek Terület fogalma, sokszögek területe Területszámítási feladatok A kör és részeinek területe Feladatok A problémához illeszkedő vázlatos ábra alkotása; síkmetszet elképzelése, ábrázolása. Fogalomalkotás közös tulajdonság szerint (hengerszerű, kúpszerű testek, poliéderek). Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (térgeometriai szimulációs program). Kémia: kristályok. 33-34. 35-36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51.-52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. A térfogat fogalma, a hasáb és a henger térfogata Feladatok a kockára. Feladatok a négyzetes oszlopra és a téglatestre. Feladatok a paralelepipedonra. Hengerre vonatkozó feladatok. Hengerre vonatkozó feladatok. Gyakorló feladatok a hasábok és hengerek köréből. Ellenőrző számonkérés. A gúla felszíne. A gúla térfogata. Térfogat és felszínszámítási feladatok a gúlára. A kúp felszíne. A kúp térfogata. Feladatok a kúpra. A csonka gúla felszíne és térfogata A csonka gúla felszíne és térfogata. Feladatok a csonka testekre. A gömb és részeinek felszíne és térfogata Feladatok a gömbre. Egymásba írt testek Összetett feladatok Összefoglalás. A II. témazáró dolgozat írása Térben való tájékozódás. Modellek alapján való eligazodás. Mértani formák a valós életben. Vízuális kultúra. Informatika. Kulcsfogalmak/ fogalmak Felszín, térfogat. Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás A tematikai egység Rendszerező összefoglalás A középiskolai matematika anyaga. A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Órakeret 70 óra

nevelési-fejlesztési céljai Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése. Óra Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Halmazok. 59. Halmazok fogalma. Műveletek halmazokkal. 60. Részhalmaz, 61. komplementerhalmaz. Számhalmazok és 62-63. ponthalmazok. 64. 65. Kombinatorika Kiválasztás, sorrend, kiválasztás és 66.-69. sorrend Feladatok a permutációra, kombinációra és 70.-74 variációra. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81.-85. 86. 87.-89. 90. 91.-92. 93. 94-100. Valószínűségszámítás Összetett feladatok a valószínűségszámítás témaköréből. Ellenőrző számonkérés. Számok és műveletek Számelmélet, oszthatóság Hatvány, gyök, logaritmus Gyakorló feladatok. Racionális kifejezések Egyenletek, egyenlőtlenségek Egyenletrendszerek. Egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Algebrai megoldás, grafikus megoldás. Ekvivalens egyenletek, ekvivalens átalakítások. A megoldások ellenőrzése. Elsőfokú és egyszerű másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Gondolkodási és megismerési módszerek A problémának megfelelő szemléltetés kiválasztása (Venn-diagram, számegyenes, koordináta-rendszer). Sorbarendezési és kiválasztási problémák felismerése. Gondolatmenet szemléltetése gráffal. Adathalmazok jellemzése önállóan választott mutatók segítségével. A reprezentatív minta jelentőségének megértése. A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése. Kerekítés, közelítő érték, becslés. Számológép használata, értelmes kerekítés. Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Az önellenőrzésre való Fizika; kémia; biológia-egészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata Magyar nyelv és irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése Filozófia: logika - a következetes és rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: Egy

101. 102. 103. 104-105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. A III. témazáró dolgozat írása A függvény fogalma, grafikonja, egyszerű tulajdonságai Műveletek függvényekkel Függvénytulajdonságok Alapvető geometriai fogalmak Geometriai transzformációk Vektorok, szögfüggvények Nevezetes síkidomok tulajdonságai Nevezetes tételek háromszögekre, négyszögekre. Sokszögekre vonatkozó tételek. Ellenőrző számonkérés. Koordinátageometria Szakasz hossza, felezőpontja, harmadolópontja. Az egyenes egyenletei. A kör egyenlete. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. Gyakorló feladatok. képesség. Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás. Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és geometriai transzformációk Függvények használata valós folyamatok elemzésében. Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében. Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak alkalmazása konkrét feladatokban. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai. bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása, elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése. Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata. 118. Érettségi próbadolgozat 119. Állítások logikai értéke. Logikai műveletek. 120. A halmazelméleti és a logikai ismeretek kapcsolata. 121. Definíció és tétel. A tétel bizonyítása. A tétel megfordítása. 122.- 123. 124.- 125. Bizonyítási módszerek. Kombinatorika: leszámlálási feladatok. Egyszerű feladatok megoldása gráfokkal. Szövegértés. A szövegben található információk összegyűjtése, rendszerezése. Halmazok eszközjellegű használata. Emlékezés a tanult definíciókra és tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során. Direkt és indirekt bizonyítás közötti különbség megértése. Néhány tipikusan hibás következtetés bemutatása, elemzése. 126. Műveletek értelmezése és Absztrakt fogalom és annak Filozófia: szillogizmusok.

127.- 128. műveleti tulajdonságok. Az éves munka értékelése. konkrét megjelenései: valós számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel.

Kulcsfogalmak/ fogalmak Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési tartomány. Művelet, műveleti tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. Ellenőrzés. Véletlen, valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell. A fejlesztés várt eredményei a két évfolyamos ciklus végén Gondolkodási és megismerési módszerek A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában. Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is. Számtan, algebra A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete. A logaritmus fogalmának ismerete. A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából. Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése. A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával. Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban. Összefüggések, függvények, sorozatok Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása. Függvénytranszformációk végrehajtása. Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete. Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése. A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások. Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról. Geometria Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében. A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása. Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása. A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek 13

ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. Valószínűség, statisztika Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. A valószínűség matematikai fogalma. A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. Mintavétel és valószínűség. A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni. Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét. Összességében A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni. Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire. 14

Továbbhaladás feltételei Ismeri és alkalmazza a tanult halmazműveleteket. Képes adott véges halmazok esetén kiszámítani a számosságokat. Tud egyszerű (matematikai) szövegeket értelmezni. Megfelelően alkalmazza az ítélet fogalmát. Egyszerű feladatokban alkalmazza a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel. Különbséget tud tenni definíció és tétel között. Használja és alkalmazza feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltételt. Tud egyszerű kombinatorikai feladatokat megoldani. Tud konkrét szituációkat szemléltetni gráfok segítségével. Tud prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű feladatokat megoldani. Ismeri a való számkör felépítését. Ismeri és használja a hatványozás azonosságait. Ismeri és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait. Tud algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni. Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, jól alkalmazza a százalékszámítást. Algebrai és grafikus módon is tud első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket, valamint elsőfokú egyenletrendszereket megoldani. Képes nagyon egyszerű abszolútértékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket megoldani. Tud értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikonról. Képes jellemezni grafikonnal megadott egyszerű függvényeket. Ki tudja számítani számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit. Helyesen alkalmazza feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definíciókat. Felismeri és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. Ismeri a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vonalait és pontjait. Képes alkalmazni a Thalész- és a Pitagorasz-tételt. Ismeri a négyszögek fajtáit és tulajdonságait. Helyesen alkalmazza a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket egyszerű feladatokban. Képes háromszögek hiányzó adatainak kiszámítására szögfüggvények, illetve szinuszés koszinusztétel segítségével. Érti a vektor koordinátáinak fogalmát. Jól tudja különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni. Képes egyenesek metszéspontját kiszámolni. Képes statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt kiolvasni. Meg tudja határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát. Képes adathalmazokat összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével. 15