Egy feladat megoldása Geogebra segítségével A következőkben a Geogebra dinamikus geometriai szerkesztőprogram egy felhasználási lehetőségéről lesz szó, mindez bemutatva egy feladat megoldása során. A Geogebra is, mint az összes többi dinamikus geometriai program nagyon hasznos a tanítás során, megkönnyíti a diákok dolgát egyes feladatok megoldásában. Gyorsan, pontosan lehet vele szerkeszteni, a program a szerkesztés lépéseit megjegyzi, ezáltal elérhető, hogy a bemeneti adatokat rugalmasan változtatva lehet különböző rajzokat előállítani. Ezáltal lehetőség nyílik geometriai alakzatok közvetlen tapasztalásokon alapuló tanulmányozására. Ezeknek a dinamikus rendszereknek egy másik jellemzője a nyomvonal megjelenítés. Ez azt jelenti, hogy egy bázispontot végigfuttatunk egy objektumon, és eközben egy, a futó bázisponttól valamilyen módon függő, származtatott pont nyomvonalát megjelenítjük. Ez főleg a mértani helyes feladatok megoldását, illetve a geometriai transzformációk fogalmának kialakítását könnyíti meg. Egy geometriai probléma megoldása a rajzzal kezdődik, hiszen a helyes következtetéshez pontos rajzok szükségesek. Igaz a mondás, miszerint egy jó, pontos ábra már fél siker, fél megoldás. Lássuk ezután hogyan is használjuk ki a dinamikus geometriai programok adta lehetőségeket egy konkrét feladat megoldása, tárgyalása során. A feladat : ( Egységes érettségi feladatgyűjteményből az 1773. ) Jelölje egy adott kör rögzített húrjának végpontjait A és B. A C pont mozog a körvonalon. C milyen helyzetében lesz az ABC háromszög a) területe b) kerülete maximális? A feladat megoldása : a) Mivel az AB oldal hossza állandó, ezért a háromszög területe csak az ehhez az oldalhoz tartozó magasságtól függ. A kérdés már csak annyi, hogy ez a magasság mikor lesz maximális. A magasság akkor lesz maximális, ha C pont az AB húrhoz 1/5
tartozó nem rövidebb körív F felezőpontjával azonos. Erre rájöhetünk a Geogebra segítségével is, megtapasztalás útján. Meghúzunk több magasságot, és egyszerűen lemérjük a hosszukat a distance parancs segítségével. Ezután már megsejthetjük az előbbi megállapítást. b) Mivel az ABC háromszög AB oldala rögzített, ezért a kerület akkor lesz a legnagyobb, amikor a C pont mozgása során az AC + BC összeg a legnagyobb lesz. Tegyük fel először, hogy a C pont az AB hez tartozó nagyobbik körívhez tartozik. Látnunk kéne mit is jelent az AC + BC összeg. Hogyan lehetne ezt szemléltetni? Egymás mellett, egymás meghosszabbításában kéne lássuk a két szakaszt. Mit kell ehhez tennünk? Egyszerűen felmérjük például a BC szakszt az AC meghosszabbításaként. Hogyan tehetjük ezt meg a Geogebrában? Ahol nincs vonalzónk, amivel egyszerűen megmérnénk a szakasz hosszát, majd a vonalzó segítségével a másik szakasz meghosszabbításaként odamásolnánk. Gondolkodni kell egy kicsit, hogy mit tudnánk itt felhasználni. Nem nehéz rájönni, hogy a kör tulajdonságait itt nagyon jól ki lehet használni. Ekkor meghúzzuk az A és C ponton keresztül az egyenest, majd pedig egy kört rajzolunk C középponttal, amelynek a sugara a BC szakasz hossza. 2/5
A körnek és az egyenesnek két metszéspontja van, egy a körön belül, a másik pedig a körön kívül. Amelyik a körön belül keletkezik az az AC BC különbség, a körön kívüli metszéspont pedig az általunk keresett AC + BC összeg lesz. Jelöljük ezt a metszéspontot D vel. Már csak azt kell megválaszolnunk mikor lesz az AD szakasz hossza a legnagyobb? Lássuk mit tudunk erről a szakaszról, vagy mit tudnánk megállapítani a D pont helyzetéről. Meg kéne vizsgáljuk, hogy milyen pályán mozog a D pont ha a C pont az eredeti köríven mozog. Ennek a megsejtését könnyíti meg a Geogebra program, kihasználva a nyomkövetési funkcióját. Aktiváljuk a nyomkövetési opciót a D pontra, a C pontot meg mozgatjuk az eredeti körünkön. Így a következő ábrát kapjuk : 3/5
Az ábráról könnyen leolvasható, hogy a keresett halmaz (mértani hely) kör. A dolgunk már csak ennek a belátása. Láthatjuk mennyire megkönnyíti a dolgunk egy ilyen dinamikus program használata. Mennyivel könnyebb a helyzet, hiszen tudjuk biztosan mit akarunk bebizonyítani. Sok diák be tudná látni hogy a keresett halmaz egy kör, de nem látja egyből, esetleg többszöri próbálkozás után sem mi is lehet a keresett halmaz. Ez nagyon nagy segítség a gyengébb diákok számára is, akiknek talán bátorságot ad ez a lehetőség. Miután a tehát a Geogebra segítségével megsejtettük, hogy a keresett halmaz kör, ezt be is kéne bizonyítani : Segítségképpen húzzuk be a BD szakaszt. Észrevesszük, hogy a BCD háromszög egyenlő szárú háromszög (a BC szakasz hossza megegyezik a CD szakasz hosszával, mert úgy vettük fel a D pontot.), tehát az alapon fekvő két szög egyenlő. Az ACB szög a BCD háromszög külső szöge, tehát az ACB szög megegyezik a BCD háromszög két nem mellette fekvő belső szögével. Az a két szög éppen az alapon fekvő két szög, melyek egyenlőek. Tehát ha az ACB szöget eljelöljük α - val, akkor a CBD szög és a BDC szög mértéke α /2. A C pontból az AB szakasz α szögből látszik. A C pont bárhol van ezen a köríven, minden helyzetében az AB szakasz α szögből látszik. A C pont rajta van az AB szakasz α szögű látókörívén. A D pontból az AB szakasz α /2 szögből látszik. Ha a C pont mozog a körön, akkor a D pont is egy körön mozog, mégpedig az AB szakasz α /2szögű látókörívén. Ezzel beláttuk, hogy a D pont egy körön mozog. Ekkor tehát az AD szakasz egy kör húrja. Az AD szakasz hossza akkor lesz 4/5
maximális, ha ez a húr éppen az átmérő. Ismernünk kellene még hogy hol van ennek a körnek a középpontja. Mindenképpen rajta kell legyen az eredeti körön, mivel a C ből az AB α szögből látszik, a D- ből pedig α /2 szögből. És mivel ugyanazon szakaszhoz tartozó kerületi szög mértéke éppen fele a középponti szög mértékének, ezért a C pont egy adott helyzetében van a keresett kör középpontja. A kérdés már csak az, hogy C nek melyik helyzete ez az AB szakaszhoz tartozó nagyobbik köríven. Lássuk mit tudunk még mondani erről a középpontról. Egyenlő távolságra kell legyen az A ponttól is meg a B ponttól is (mivel mindkét pont rajta kell legyen ezen a keresett látóköríven). Ez meg azt jelenti, hogy a középpont rajta kell legyen az AB szakasz felező merőlegesén. Tehát megvan két elegendő feltétel a keresett kör középpontjának a meghatározásához. Rajta van a körön és az AB szakasz felező merőlegesén, ebből következik hogy ez a pont (a keresett kör középpontja) az AB szakaszhoz tartozó nagyobbik körív felezőpontja. Fentebb már megállapítottuk, hogy AD átmérő kell legyen, tehát át kell menjen a középponton, és az A ponton. Azt kellett megválaszolnunk, hogy az AD szakasz hossza mikor maximális, ezt mostmár meg tudjuk tenni : Ha a C megegyezik az AB szakaszhoz tartozó nagyobbik körív felezőpontjával. Az eredeti kérdésre a válasz tehát : az ABC háromszög kerülete akkor maximális, ha a C pont megegyezik az AB szakaszhoz tartozó nagyobbik körív felezőpontjával. A megoldás menete ugyanez akkor is, amikor a C pont az AB hez tartozó kisebbik körívhez tartozik. Ha ennek a körívnek a felezőpontja G, akkor az ABG egyenlő szárú háromszög kerülete lesz a legnagyobb. Összegezve tehát nyilván akkor lesz az ABC háromszög kerülete a legnagyobb, amikor C az AB húrhoz tartozó nem rövidebb körív felezőpontjában van. Láthattuk mennyire megkönnyíti a feladatmegoldást egy dinamikus geometriai program alkalmazása, segíti a diákokat a gondolkodásban, illetve lehetőséget ad nekik hogy kiéljék kreativitásukat. 5/5