A modellezés elmélete és gyakorlata Prof. Szűcs Ervin jegyzete (http://web.axelero.hu/eszucs7/szucs.htm) és Dr. Szigeti Gyula alapján Dr. Szentesi Péter Molekuláris Biológus kurzus 2009.
Előszó 1. Gondolkodásunk tudatosan vagy ösztönösen modellekre épül. Az egyes szaktudományok is lényegében az objektív világ meghatározott szempontok szerinti modelljei. A modellezett-modell viszonyanem csak hasonlóságot, hanem különbözőséget is jelent. Fontos szerepe van a tanulás folyamatában is a hasonlóságnak. Ne feledjük Szent-Györgyi Albert szavait: A diák csak akkor tud megérteni egy új fogalmat, egy új jelenséget, ha hasonlítani tudja valamilyen általa már ismert fogalomhoz, jelenséghez és azt is megérti, hogy az új miben különbözik a már ismert régi -től. Ezt az utat követi a műszaki, a természet- és a társadalomtudományok kutatója is. A már ismerttel való megegyezésből indul ki a vizsgálat és a már ismerttől való eltérés felismerése, az ellentmondás feloldására törekvés váltja ki az új ismeretet (fölfedezést, találmányt).
Előszó 2. A világ megismerésének forrása a tapasztalat, de csak a tapasztalat nem elegendő. [ A tudomány kísérlet arra, hogy a kaotikus, sokfajta érzéki tapasztalatot valamilyen egységes gondolatrendszerrel összefüggésbe hozza. Albert Einstein] A végtelen sok tulajdonsággal rendelkező egyedi események általános, tömör jellemzését az ún. matematikai modell adja. Az összetett jelenségek, folyamatok esetén igen gyakran nem lehet egzakt matematikai megoldásra jutnunk. Szükség van arra, hogy méréssel határozzuk meg a folyamat jellemzői közötti összefüggéseket. Ilyenkor válik nélkülözhetetlenné a hasonlósági módszer.
A hasonlósági módszer A folyamatjellemzők nagy száma miatt szinte végtelen sok változat mérése látszik szükségesnek. A hasonlósági módszer választ ad: 1. Milyen jellemzőket kell mérni? 2. A mérési eredményeket milyen formában kell feldolgozni, hogy azok más rendszereknél is felhasználhatók legyenek? 3. Hogyan lehet laboratóriumi vagy félüzemi mérésekből következtetni az adott üzemi viszonyokra? A rendszerek hasonlóságának szemlélete, a közös (általános érvényű) tulajdonságok felismerése megkönnyíti a tanulást, tanítást, tájékozódást és egyben a különféle szakterületek közötti kommunikációt is.
A modell fogalma A tudomány nem próbál magyarázni, alig is próbál interpretálni, a tudomány főként modelleket állít fel. Neumann János Mit értünk modellen? a latin modus, modulus szó mértéket, módot, módozatot jelent A mindennapi életben azonban ennél jóval szélesebb körű az értelmezése. A modell szóval jelölik például azt a rendszert, amely egy másik rendszerben (a modellezettben) végbemenő jelenséghez hasonló jelenséget valósít meg; 1. egyes termékek mintáit (ruhamodell, gépmodell); 2. közlekedési eszközök kicsinyített másolatát (pl. Matchbox); 3. épületek geometriailag hű kisebbítését, makett; 4. az olyan szemléltető eszközöket, amelyek valamely nagyon nagy (vagy nagyon kicsiny) objektum oktatási bemutatására szolgálnak (pl. a hidrogénatom modellje, vagy a planetárium). Értelmezésünk szerint a modell mindig csak valamihez viszonyítva modell, és ebbe a viszonyításba nemcsak a szempontok (mi szerint?), hanem a hierarchia szint (milyen mélységig?) is beleértendő.
Mi is akkor a modell? Minden modell információt adó rendszer [de nem minden információt adó rendszer modell!] A modell tehát rendszer: 1. célja az emberi megismerési folyamat elősegítése, újabb ismeretek szerzése; 2. egymással kölcsönhatásban lévő részekből (a modell elemeiből) összeálló (összeállított) szerves egész; 3. meghatározott környezetével (az ún. modellezettel) hasonlósági összefüggésben van, nélküle nem is értelmezhető.
A hasonlóság szerepe az emberi gondolkodásban A hasonlóság fogalma az emberi gondolkodásban rendkívül fontos helyet foglal el. Szigorúan véve a világ minden jelensége (minden rendszere) különbözik egymástól, nem lehet két azonosat találni közöttük. De ugyanaz a rendszer sem azonos önmagával, ha két különböző időpontban vizsgáljuk. Ebből arra a következtetésre lehetne jutni, hogy a végtelen sok, egymástól különböző jelenség megismerése lehetetlen. Valójában ez is lenne a helyzet, ha az ember csak arra törekedne, hogy egyegy jelenséget teljességében írjon le. Az emberi gondolkodás alapja azonban az általánosítás, az absztrakció. Az ember a világ megfigyelése során igyekszik felismerni az egyes jelenségek közös tulajdonságait. Még erősebb az absztrakció a fogalmak megalkotása során, a fogalomalkotás nem más, mint halmazba rendezés. A fogalom egyben a halmaz elemeinek közös tulajdonságát is jelenti.
Hasonlóság Halmazba rendezni kétféleképpen lehet: 1. felsorolni az adott halmazba tartozó elemeket, vagy 2. rögzíteni azokat a kritériumokat, amelyek alapján bármiről eldönthető, hogy a halmazba tartozik vagy sem. Különféle dolgoknak (jelenségeknek) lehetnek közös tulajdonságaik és eszerint egy halmazba tartoznak. Különféle dolgok (jelenségek) lehetnek egymáshoz hasonlók. Ebből következik, hogy értelmetlen dolog általában hasonlóságról beszélni, mindig hozzá kell tenni: milyen szempont (ill. milyen tulajdonságok) szerinti hasonlóságról van szó. Nem mindig szükséges (általában nem is lehetséges) a modellezés során a vizsgált halmaz elemeinek valamennyi tulajdonságát figyelembe venni. A súlyosabb tévedések elkerülése érdekében ezért mindig rögzíteni kell azt az állapotteret, amelyre a hasonlóságot értelmezzük.
Analógia 1. Az analógiának az emberi gondolkodásban mindig is kitüntetett szerepe volt. A klasszikus fizika megalkotói számos példát mutattak erre. Csak vázlatosan: 1. Kepler szinte vallomásszerűen kinyilvánítja, hogy különösen szeretem a hasonlóságot, a természet titkainak legfőbb tanítóját.[ Igaz, egyes analógiái ma már mosolyt fakasztanak, mint pl. az, hogy a bolygók saját mozgásra képesek, mint az élőlények, tehát lelkük van.] 2. Descartes az élőlényeket is mechanikai (gép) analógiával magyarázza (pl. az idegek kötelek, amelyek harangot szólaltatnak meg). Mai szemmel naivnak tűnő hasonlatai pozitív szerepet is játszottak, gondoljunk csak a szem és a távcső analógiájára, a biológiai minta alapján készített technikai eszközre. 3. Newton vizsgálatait arra az axiómájára alapozza, hogy a természet hasonló jelenségeinek hasonló okai vannak. Korának optikája két egymással akkor ellentétes analógiára, a fény és a testek, illetve a fény és a hang hasonlatosságára épült. 4. Gyakran használták a folyadékáramlás szemléletességét. Ennek analógiájára magyarázta Ohm az elektromos áramot, Fourier a hőáramot. A különféle fluidumok elmélete hosszú időn keresztül uralta a természettudományokat. 5. Maxwell már tudatában volt a folyadékáram és az elektromos áram különbözőségének és előbbit csak az utóbbi szemléltetésére használta. Egyértelműen kijelentette, hogy fizikai analógián két tudományterület törvényei közötti olyan részleges (!!!) hasonlóságot értek, amelynek alapján az egyik a másiknak illusztrációja lesz.
Analógia 2. Az utóbbi évszázad során a természettudomány minden területén alapelvvé vált az analógiák kutatása, a különféle jelenségek közös törvényeinek kutatása. Egységes elmélettel magyarázhatók (ma már) a különféle rezgések, legyen az elektromágneses hullám, valamely gép vagy hang rezgése. A statisztikus fizika módszerei egyaránt alkalmazhatók különféle (nagy elemszámú) rendszerek leírására. Néhány éve a fizikai analógiák a biológiai evolúció modellezésében is segítenek. A korábban különbözőnek tekintett energetikai kölcsönhatások Lars Onsager nyomán az energodinamika egységes módszerével tárgyalhatók. Folytathatnánk tovább a példák egész sorával, a kvantumfizika eredményeivel, a térelmélet egységesítésével. De ilyen analógiás irányzatoknak kell tekintenünk a különféle interdiszciplináris törekvéseket is (pl. a kibernetikát vagy az ún. rendszerelméletet). A tudomány nemcsak felhasználja az analógiákat, hanem foglalkozik a jelenségek hasonlósági feltételének megfogalmazásával is. A XX. században a jelenségek hasonlóságával foglalkozó tudomány két irányban fejlődött tovább: egyenletanalízis: a jelenségek matematikai leírása, dimenzióanalízis: az adott jelenséget jellemző változók dimenziójának analízisére épült. Az egyenletanalízis irányzata vezetett el a hasonlósági módszer mai értelmezéséhez.
A hasonlósági reláció 1. A modell és a modellezett közötti kapcsolat hasonlósági reláció. Az előbbiek szerint a modell és a modellezett mindig csak valamilyen meghatározott szempontból hasonló, más szempontok szerint viszont különböző. Így a modell mindig csak részleges lehet. Az ún. teljes modell (olyan, ami minden szempontból hasonló) csak egy van: maga a modellezett. A minden szempontból hasonlóság ugyanis azonosságot jelent. Ennek nagyon leegyszerűsített, de szemléletes bemutatására tekintsük a 4 betűs (értelmes) magyar szavak halmazát. Értelmezzünk ezen a halmazon egy relációt, amely azokat a szavakat köti össze, melyek legfeljebb csak egy betűben különböznek egymástól. Ez a reláció reflexív és szimmetrikus. Tekinthető-e ez (az előbbiek során felsorolt követelményeknek eleget tevő) hasonlósági relációnak? Például: a HOLD -HORD -MORD -MARD -MARS szavak közötti láncban a szomszéd párok között fennáll az előbbi reláció. De: ez a reláció nyilvánvalóan nem tranzitív, s így a lánc elején álló HOLD és a végén lévő MARS szavak már egy betűjükben sem egyeznek meg.
A hasonlósági reláció 2. Lehet-e hasonlóságnak tekinteni azt a relációt, amelynek páronkénti alkalmazásával eljutunk a teljes különbözőségig? A hasonlósági reláció esetében ilyen lánc-torzulásnak nem szabad előfordulnia. Ezért pontosabban kell fogalmaznunk: nem elegendő megjelölni, hogy legfeljebb csak egy betűben különbözik, hiszen így nem rögzítettük a betű helyét. Az egyes szavakat ugyanis az jellemzi, hogy melyik helyen milyen betű áll. A különböző helyek különböző jellemzőket jelentenek. A négybetűs szavaknak négy jellemzőjük van, úgy tekinthetők, mint négy tulajdonsággal rendelkező elemek. A tulajdonság: hányadik betű a szóban. A tulajdonság értéke: melyik betű (ezen a helyen!). A hasonlósági feltétel csak úgy fogalmazható meg, ha megmondjuk, hogy mely hely(ek)en álló betű(k)ben különbözhet két szó. Így az előbbi feltételt így kell megfogalmazni: hasonlónak nevezünk két szót, ha (például) csak az első betűjében különbözik. Ilyen értelmezésben a HOLT - FOLT -VOLT - BOLT szavak egymáshoz hasonlóak. Könnyen belátható, hogy az így definiált reláció már tranzitív is, tehát ekvivalencia reláció.
Az ekvivalencia reláció A hasonlósági relációnak tehát ki kell elégítenie az ekvivalencia reláció követelményeit. Ellenkező esetben eljuthatunk odáig, hogy a modellezett modelljének a modellje már nem modellje a modellezettnek! A hasonlósági szempontokat tehát egy adott feladat (modellezés) esetén előre rögzíteni kell. De hogy melyek ezek a szempontok, az mindig a feladat jellegétől, vagyis attól függ, hogy a modellnek miben kell hasonlónak lennie a modellezetthez. A hasonlósági szempontok főbb típusai: 1. szerkezeti (vagy strukturális) 2. működési (vagy funkcionális) és 3. formai (vagy geometriai, tágabb értelemben: topológiai) hasonlóság. Ugyanazon rendszerhez a struktúra vagy a geometria vagy a funkció szerint más-más rendszerek hasonlóak: a strukturális, a funkcionális és a geometriai hasonlóság halmazai egymásnak nem részhalmazai. Lehet két rendszer geometriailag hasonló (pl. egy gépkocsi és annak makettje), anélkül, hogy funkcionálisan hasonlók legyenek. Lehet két rendszer funkcionálisan hasonló (pl. egy hőcserélő és annak villamos modellje), anélkül, hogy geometriailag hasonlók legyenek.
A modellek csoportosítása 1. A modellépítés még a nagyon egzakt tudományok területén is magas fokú kreatív tevékenységnek számít, művészetnek, nem pedig kész eredményeket felhasználó folyamatnak (Quade) A modellek csoportosításának kiterjedt irodalma van. Még ha csak a technikai rendszerek modelljeit akarnánk felsorolni, akkor is megoldhatatlan feladatra vállalkoznánk. Gondoljunk csak arra: hányféle technikai rendszer van.
A modellek csoportosítása 2.
Csoportosítási módok
Rendszertípusok 1. Közgazdasági rendszerek: nemzetközi kereskedelem és gazdaság, nemzetközi gazdaságtervezés, fejlesztés és irányítás, ágazati és ipari tervezés. Emberi és társadalmi rendszerek: népesség, városi és regionális tervezés, fejlesztés és vezetés, lakáshelyzet, oktatás, képzés, egészségügyi szolgáltatások (tervezés, szervezés, az ellátás irányítása), társadalmi és jóléti szolgáltatások, munkaerőképzés és -elhelyezés, biztonsági szolgáltatások, igazságszolgáltatás. Erőforrások és környezeti rendszerek: ásványi nyersanyagok, beleértve az energiahordozókat, vízforrások, beleértve az energetikai felhasználásokat, éghajlat, környezet, ökológia, mezőgazdaság, beleértve az erdőgazdaságot és állattenyésztést. Ipari rendszerek: kutatás és fejlesztés (beleértve az új technológiákat), tervezés és irányítás, termelés és elosztás, energiaágazat, petrolkémia, elektronika, szállítóeszközök tervezése (pl. gépkocsi, repülőgép), élelmiszerelosztás, textil - és ruházati ipar, nukleáris energia. Biológiai rendszerek: elemi biológiai rendszerek, humán biológia és pszichológia, bionika: az emberi és más biológiai funkciók modellezése.
Rendszertípusok 2. Információs és számítógép rendszerek: távközlési és számítógépes hálózatok, információtárolás és - visszakeresés, számítógép hardver és szoftver tervezés és kiválasztás, vezetési információs rendszerek. Külön csoport az ún. integrált rendszerek: mezőgazdaság - élelmiszer - népesség, energia - környezet - ipar, ipar - környezet - egészségügy, területi ipari komplexumok, globális és regionális rendszerek. A felsoroltak szinte kivétel nélkül részben vagy egészben a technikai rendszerek közé tartoznak. Mindegyikükhöz többféle modell is rendelhető.
A fontosabb anyagi modellek A geometriai modell az eredeti formáját, térbeli elhelyezkedését tükrözi. Az ilyen jellegű geometriai modelleket helyesebb makettnek nevezni. A geometriai modellt is felhasználják a műszaki életben, elsősorban a tervezésben. Bonyolult elrendezésű építmények, gyárak vagy gépcsoportok térbeli elhelyezkedését előbb geometriai modellen készítik el. Az ilyen modellezést térbeli tervezésnek is nevezik. A fizikai modell az eredetivel megegyező fizikai természetű jelenséget megvalósító rendszer. Már többször utaltunk arra, hogy az eredeti és a modell hasonlóságának feltétele, hogy matematikai leírásuk (dimenzió nélküli matematikai modelljük) megegyezzen. Az eredetinek azonban nem minden vonatkozása, tulajdonsága fejezhető ki - jelenlegi ismereteink szerint - matematikai formában. Ha nem tudjuk a modellezettben végbemenő folyamatok minden (az adott szempontok szerint) lényeges összefüggését egzakt matematikai formában megfogalmazni, akkor csak az eredeti folyamatot szabad a modellben is megválasztani. A természetes modell a természetben már meglevő objektum, amelyet különleges változtatás nélkül felhasználnak más objektumok tulajdonságainak meghatározásához. Természetes modellnek tarthatjuk a természetben végbemenő folyamatok és jelenségek adatainak általánosítását (a hasonlósági módszer segítségével, a megfelelő kritériumok alapján). De a természeti jelenségek egyszerű megfigyelése is modellezésnek tekinthető, ha a tapasztalatokat felhasználjuk akár természeti, akár technikai folyamatok előrejelzésére. Valamilyen tárgy azzal válik modellé, hogy az ember funkciót ad neki. (Az ember egyes biológiai funkcióinak vizsgálatakor gyakran állatok a modellek.)
A gondolati (eszmei) modellek Az emberi logika termékei. Módszerüket, formájukat illetően szubjektívek, de tartalmukat nézve objektívek. Nélkülözhetetlen elemei a megismerés folyamatának. Kétféle eszmei modellfajtát különböztetünk meg. 1. A fogalmi modell a közvetlen, érzéki tapasztalatok feldolgozása az absztrakt gondolkodás segítségével. Feladata a kísérletek, tapasztalatok értelmezése, a hipotézisek ellenőrzése, illetve újabb hipotézisek alkotása. Jelentős eszköze a gondolati kísérlet. Ennek során ismert természettörvények felhasználásával megalkotott fogalmi modellünket gondolatban meghatározott körülmények közé helyezzük és végigvezetjük várható viselkedését. Ilyen gondolati kísérletnek kell megelőznie minden tényleges kísérletet, ha el akarjuk kerülni, hogy durva hibákat kövessünk el. 2. A jelképes modellek is az empíria (vagy a kísérlet) adatait illetve feladatait fogalmazzák meg, de valamilyen jelrendszerben. A mérési eredmények rendszerint táblázat, grafikus ábrázolás vagy szám- (jel-) rendszer formájában adottak. Ezek közvetlenül a tudományos feldolgozás, általánosítás céljára alkalmatlanok. Van egy kínai közmondás: Egy kép felér 10000 szóval. Az előbbi kínai közmondást átalakítva: Egy egyenlet felér 10000 képpel.
Jelrendszerek A társadalom nem lehet meg jelrendszerek nélkül. 1 képmás, 2 geometriai, 3 metafora szimbolikus, 4 ikon, 5 szöveg, 6 jelkép index, 7 lenyomat, 8 művészi A verbális jelkészlettel szemben a matematikai jelekkel való leírás - amikor az egyáltalában lehetséges - egyértelmű és ellentmondásmentes. A rendszerek hasonlóságának definíciójából következik, hogy a rendszerek modelljeit is célszerű a matematikai modellek szerint csoportosítani. A matematikai modell alakja szerinti csoportosítás elvonatkoztat a konkrét jelenségtől, de éppen ez segíti elő, hogy egy-egy feladat megoldásához a legkülönfélébb jelenségek tanulmányozásából szerzett ismereteket felhasználhassuk.
Számítógépes modellek 1.
Számítógépes modellek 2. Külön említjük a modellek körében a számítógépeket. Felhasználásuk modellezési feladatokra a mikroelektronika és a számítástudomány fejlődésének köszönhetően egyre szélesebb körökben terjed. A számítógép széles körű - így modellként való - felhasználását az teszi lehetővé, hogy algoritmikus gép: vele bármilyen algoritmizálható feladat megoldható amennyiben ismerjük egy folyamat menetének algoritmusát, abból (elvben) megalkotható a számítógépes program, amelynek futtatásával az univerzális számítógép az adott folyamat modelljévé válik. A számítógépes modellezést szokás (számítógépes) szimulációnak is nevezni.
Számítógépes szimuláció 1. numerikus, amelynek során a modellezett kvantitatív jellemzőit, illetve azok változását határozhatjuk meg. Ez lehet a mérési, megfigyelési, statisztikai adatok feldolgozása (értékelése), a matematikai modellből kialakított számítási modell megoldása vagy - a kísérletekkel összekapcsolva - a mérési folyamat irányítása; ikonikus, amelynek során a modellezett rendszer formájára, szerkezeti kapcsolataira kapunk vizuálisan megfigyelhető információkat. Speciális terület az ipari formatervezés, de ide sorolható az új konstrukciók formájának és szerkezetének kialakítása, illetve előzetes ellenőrzése; verbális, amellyel a modellezett rendszer szavakban kifejezhető kapcsolatait tárjuk fel; akusztikai, amellyel bizonyos hanghatásokat ellenőrizhetjük illetve változtathatjuk. Ilyen lehetőségeket is felhasznál a művészet, pl. elektronikus zene komponálására, régi hangfelvételek feljavítására, de fontos eszköz a zajvédelmi berendezések kialakítása, termek akusztikai tervezése során; a művész eszközként használja a számítógépet, képi vagy zenei alkotások létrehozására, s így itt már szigorúan véve nem algoritmikus, hanem intuitív folyamatról van szó.
Számítógépes szimuláció 2. Fontos szerepe van a számítógépes szimulációknak a nem minden lépésükben algoritmizálható problémák (ilyenek pl. a különféle társadalmi jelenségek) vizsgálatában. A gép-ember kapcsolat interaktívitása lehetővé teszi, hogy a nem algoritmizálható csomópontokban az emberi közbeavatkozástól függően folytassa tovább a gép az algoritmust. Így a döntést igénylő lépéseket az ember teszi meg, és a szimuláció során előre ellenőrizheti döntésének várható következményeit, (szükség esetén) más döntési variációk hatását is vizsgálhatja. Ne feledjük azonban, hogy a legfejlettebb számítógép csak segíti és nem helyettesíti az embert. A kvantitatív modell is csak a rendszer tulajdonságainak egy részéről tájékoztathat. Ezért a számítógépes modellezés is legfeljebb csak döntés-előkészítő lehet.
Szakértői rendszerek, a heurisztikus modell Az utóbbi időkben egyre jelentősebb szerepe van a döntés-előkészítésben a számítógépnek. A mesterséges intelligencia (rövidítve AI, az angol Artificial Intelligence névből) kutatások eredményei alapján hozták létre az ún. szakértői (expert) rendszereket. Ezek a rendszerek az emberi döntéshozó folyamatot szimulálják (modellezik) számítógépen. interaktív kommunikáció a rendszer részei: 1. adatbázis (adatbank) - adatok (tényeket, összefüggéseket), - ha-->akkor szabályok (heurisztikus következtetéseket) 2. következtetőmű - a kiindulási adatokból a szabályok összekapcsolásával valamilyen (a témára vonatkozó) következtetésre jut A problémamegoldás módszere: keresés, de a deduktív rendszerekkel szemben nem pusztán formállogikai következtetésekkel, hanem ún. heurisztikus vezérléssel: - a beépített szabályok révén a legvalószínűbb megoldások irányában keres, - a következtetésekben tapasztalati tényeket is figyelembe vesz és minden következtetést az ember számára elfogadható formában magyaráz meg. - Amennyiben a fölhasználó a választ nem fogadja el, további kérdéseket tehet fel. A szakértői rendszer a tapasztalatokra épül (nem helyettesíti, hanem kiegészíti az emberi okoskodást).
Orvosi szakértői rendszerek A szakértői rendszerek között az egyik legelterjedtebb az orvosi. Ebben az adatbank a betegségek tüneteit (mérhető jellemzőket, pl. vérnyomás, testhőmérséklet, pulzus és szubjektív - a beteg által érzett - érzéseket) tartalmazza, valamint ezen tünetek összefüggéseit. A következtetőmű abban segít, hogy bizonyos tünetcsoportok alapján a lehetséges diagnózisokat az orvos megtalálja. Mint minden szakértői rendszer, az orvosi is mindig több választ (itt: diagnózis változatot) ad meg; ezek közül kell a probléma megoldónak (itt: az orvosnak) kiválasztania a szerinte megfelelőt. Ezek után a lehetséges terápia változatokra is javaslatot ad a rendszer.
A modellezés módszere Velünk született tulajdonságunk, hogy a dolgok kutatását ismertebbekből kiindulva folytassuk a kevésbé ismertek irányába. (Dante)
Feladat és probléma Az alkotó emberi tevékenység feladata az állapotváltoztatás, amelynek során egy rendszert valamely meglévő (az igényeknek nem megfelelő) kezdeti állapotból egy (célszerűbb) végállapotba kell eljuttatni. Azon lépések egymás utáni sorozata, amely a kezdeti és a végállapotot összeköti: a megoldás útja. A kezdeti állapotban mindig valamilyen feszültség van a meglévő lehetőségek és az igények között. A végállapotnak ezt a feszültséget kell feloldania. Megoldási út - általában - több is lehetséges, többféle módon lehet a kezdeti állapotból a célállapotba eljutni. Kétféle típust különböztetünk meg: Feladat, ha ismert a meglévő állapot, annak ellentmondásai, az igények és a lehetőségek közötti feszültség, (általában) a célállapot és (algoritmizált) a teljes megoldási út. Probléma, ha nincs (teljes) ismeretünk a meglévő helyzetről és/vagy a megoldás útjáról és/vagy a célállapotról.
A problémamegoldás folyamata A körfolyamat azt is jelenti, hogy minden megoldott probléma egyben - előbb-utóbb - egy új probléma forrása is. Tudományos módszeren az ismeretek szisztematikus megszerzésére alkalmazott eljárásokat értjük, amelyek a következő tényezőkön alapulnak: 1. a probléma felismerése és világos megfogalmazása, 2. az adatok összegyűjtése megfigyelés és - ha lehet - kísérletek útján, 3. a hipotézisek megfogalmazása logikus érvek útján, 4. a hipotézisek ellenőrzése (Selye János)
A megoldás útja A megoldás útja olyan gráffal szemléltethető, amelynek csúcsai események (a megoldás közbenső eredményei, döntési pontok), élei pedig tevékenységek (a megoldás útjának egyes szakaszai). Minden feladat- vagy problémamegoldás a helyzetelemzéssel kezdődik. Ennek során fel kell tárni a vizsgált rendszer jellemzőit, a meglévő állapot kritikus elemeit (az igények és a lehetőségek ellentmondásait, a feltételeket, a kötöttségeket stb.). Figyelmet kell fordítani egyes kvalitatív jellemzőkre is. A rendszerelemzés eredményeként létre kell hoznunk a vizsgált rendszer modelljét. A modellnek tükröznie kell nemcsak a vizsgált rendszer szerkezetét, folyamatait, hanem a meglévő állapot okozta feszültségeket is, amelyeket a megoldásnak fel kell oldania.
Feladattípusok 1. A rendszer matematikai leírása három fő részből áll: a rendszer belső tulajdonságait kifejező egyenletrendszer, az egyértelműségi feltételek, a matematikai modell megoldása (az input függvényében az állapot ill. az output változása). Amikor mindhárom részt ismerjük, teljes képünk van a rendszerről. Ilyen azonban sohasem fordul elő. (Csak a tudatlanság biztonsága okozhatja a mindent ismerünk érzését!) Problémák a matematikai modell mindig tartalmaz elhanyagolásokat, így a rendszer belső tulajdonságait csak részlegesen tükrözheti, az állandóan jelenlévő zavaró hatásokat nem ismerjük, s így összefüggéseink mindig valószínűségi jellegűek, a rendszerek szerkezete időben változhat, melynek következtében a folyamatok is változnak.
Feladattípusok 2. Feladat a rendszer transzformációs egyértelműségi Példa viselkedése tulajdonság feltételek (output) (input) Direkt? ismert adott mérés, minősítés Indirekt előírt adott? Tervezés, fejlesztés Induktív ismert? ismert Kutatás, irányítástechnika A feladatok egyfajta csoportosítását az egyszerű input-output modell alapján adhatjuk meg. Attól függően, hogy az bemenő jellemzők, a transzformáció, ill. az output közül melyik ismert vagy ismeretlen, megkülönböztetjük a direkt, az indirekt és az induktív feladatokat.
A direkt feladat Ismerjük a matematikai modellt és keressük annak megoldását. Ideális esetben: ismerjük a rendszert, annak minden (a vizsgálat szempontjából lényegesnek tartott) tulajdonságát, és valamennyi bemenő jellemzőjét. A feladat csak az, hogy ismereteket szerezzünk a rendszer viselkedéséről, arról, hogy a bemenő jellemzők nagyságának változása esetén milyen(ek) lesz(nek) a kimenő jellemző(k), a külső hatásokra hogyan fog válaszolni a rendszer. A technikában direkt feladat egy meglévő rendszer vizsgálata változó paraméterek mellett; annak meghatározása, hogy a bemenő jellemző(k) változ(tat)ásaira hogyan reagál a rendszer. Ilyen feladat pl. egy motor karakterisztikáinak a meghatározása. Szigorúan véve direkt feladat nem létezik. A külső hatások egy része ugyanis mint tudjuk sztochasztikus jellegű, nagyságuk előre nem ismeretes. Sohasem szabad elfeledkeznünk arról, hogy maga a rendszer szerkezete is sztochasztikus hatásoknak van kitéve, és ennek következtében még a transzfer is változhat; a matematikai modell mindig csak bizonyos elhanyagolások mellett tükrözi a rendszer (vizsgálat szempontjából) lényeges összefüggéseit.
Az indirekt feladat 1. Ismerjük a rendszer outputját és a benne végbemenő folyamatok törvényszerűségeit. Adott tehát egy rendszer, és az is rögzített, hogy milyen legyen annak viselkedése. Csak éppen azt nem tudjuk, hogy az adott rendszer ezt a viselkedést milyen bemenő jellemző(k) esetén produkálja. Meg kell határoznunk, hogy milyen legyen a rendszer geometriai kialakítása, szerkezete, hogyan módosítsuk a kívülről érkező hatásokat, milyen legyen a rendszer szigetelése, milyen tulajdonságú anyagi közeggel kell dolgoznunk, hogy előállíthassuk a rendszer előírt viselkedését. A technikában indirekt feladat egy új rendszer tervezése, amikor adott (előírt) a rendszer szükséges viselkedése, és azt kell meghatározni, hogy milyen formájú, anyagú, szerkezetű stb. legyen a rendszer és az előírt célokat a bemenő jellemző(k) milyen beállításával lehet elérni. Ilyen feladat pl. egy meglévő helyiség klimatizálásának tervezése, amikor előírt a helyiség légállapota és azt kell megadni, hogy milyen berendezéssel, irányítástechnikai eszközökkel, anyag- és energia-felhasználással lehet az előírt légállapotot biztosítani.
Az indirekt feladat 2. Szigorúan véve az indirekt típus már nem feladat, hanem probléma, hiszen valamilyen előírt viselkedést (outputot) általában sokféle (és előre nem mindig ismert) módon állíthatunk elő. A lehetséges és a célnak megfelelő módok közül egyéb, gyakran nem is számszerűsíthető kötöttségek, szempontok szerint kell kiválasztani a megfelelőket. Még nyilvánvalóbb, mint a direkt feladattípusnál, hogy a valóságban tiszta indirekt típus nem létezik. Az egyértelműségi feltételek egy része csak bizonyos határokon belül választható szabadon, más része (pl. a környezeti hatások) tőlünk függetlenek. Mégis közelítően indirekt feladatokat oldanak meg a rendszertervezők, a tervezőmérnökök, a kutatók, a gyártmányfejlesztők (általában mindazok, akiknek valamilyen előre megadott célt kell egy adott berendezéssel kielégíteni). Indirekt feladatok megoldására gyakran alkalmaznak próbálgatásos, heurisztikus módszereket. Ilyenkor valamilyen intuitiv meggondolással állítják be a bemenő jellemző(k) értékét, majd a kapott kimenő jellemző(k) értékelése (az előírt céltól való eltérés) figyelembevételével módosítják a bemenő jellemző(ke)t mindaddig, amíg a kimenő jellemző(k) a követelményeket ki nem elégíti(k). Az indirekt feladatok megoldását (is) segíti a kísérlettervezés módszere.
Az induktív feladat Jellemzi, hogy a rendszer transzformációs tulajdonságairól előzetes ismereteink nincsenek. Bonyolult rendszerek vizsgálatakor gyakran előfordul, hogy nem ismerjük a rendszer szerkezetét, a benne végbemenő folyamatokat; a rendszer belseje számunkra fekete doboz (black box). A vizsgálatok célja információt szerezni a rendszer viselkedéséről: (egyes mérésekből) következtetni a rendszer általános tulajdonságaira. Az egyesből az általánosra következtetést indukciónak nevezzük. A kapott eredményeket más, ismert rendszerekkel összevetve utólag (a posteriori) felismerhető, hogy vizsgált rendszerünk mely ismert rendszerhez hasonló. Ennek alapján következtethetünk a vizsgált rendszer belső felépítésére, azonosíthatjuk azt valamely ismert rendszer belső felépítésével. Az ilyen felismerő, azonosító tevékenységet identifikációnak nevezzük. Ennek alapján tekinthetjük e feladattípusokat identifikációs feladatnak is. Igen bonyolult rendszerek esetében azonban az előzetes információk nem elegendők ahhoz, hogy megbízható algoritmusokat lehessen kidolgozni. Ilyenkor kísérletsorozattal vizsgálják a bemenő jellemző(k) és a hozzá tartozó kimenő jellemző(k) változását, jól kidolgozott matematikai módszerekkel határozzák meg a bemenő jellemző(k) és a kimenő jellemző(k) közötti kapcsolat ún. empirikus függvényét. Itt különösen előnyős a kísérlettervezés módszerével dolgozni.
Feladattípusok megoldási folyamata
Megoldási módszerek A feladatok megoldási módszerei típusonként különböznek. A végső cél minden esetben az ún. működési összefüggés, amely a rendszer irányításához (illetve tervezéséhez, fejlesztéséhez) feltétlenül szükséges. Szükség van az egyértelműségi feltételek rögzítésére, a jól megszervezett kísérletekre, és a kapott megoldás értékelésére. Az értékelés szempontja: indirekt feladatoknál az optimumtól való távolság, direkt feladatoknál a hibaszázalék nagysága, induktív feladatoknál az összefüggő kísérleti adatok száma dönti el, hogy szükség van-e további kísérletekre. A feladatmegoldások egyik, de nem egyetlen módja a kísérlet. Valójában a matematikai és a kísérleti módszerek együttesével tudunk csak összetett feladatokat megoldani. A feladatmegoldások lehetséges típusai: az analitikus, a numerikus és a kísérleti módszer.
A megoldási módszerek folyamatábrája direkt feladattípus esetén
Analitikus módszer A feladatmegoldás legkevésbé költséges módja. Alkalmazásának feltétele mindössze az, hogy ismerjük a rendszer matematikai modelljét, és létezzen ennek zárt formában előállított megoldása az adott egyértelműségi feltételek mellett. Ezek szerint magától értetődőnek látszik, hogy az analitikus megoldást tekintsük az optimális módszernek. A legtöbb rendszer azonban annyira bonyolult, hogy a felírt matematikai modell közvetlenül nem integrálható, vagy csak olyan egyszerűsítésekkel, amelyek - miatt megfelelő kísérleti tapasztalatok nélkül - a megoldást már nem tekinthetjük megbízhatónak. Csak az előzetes matematikai elemzés adhat támpontot ahhoz, hogy (a kísérleti megoldás során) milyen empirikus függvénytípust keressünk a függő és független változók közötti kapcsolatra.
Összefoglalva az analitikus megoldás legfontosabb lépései: 1. a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, 2. a matematikai modell megalkotása, 3. a matematikai modell transzformációja (ill. egyszerűsítése) megoldásra alkalmas formára, 4. a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, 5. a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, 6. a megoldás ellenőrzése.
Numerikus módszer Ezek olyan eljárások, amelyek során a rendszer matematikai modelljét numerikus számításokkal oldjuk meg. A módszer lényege, hogy a differenciálást vagy az integrálást algebrai összefüggésekkel helyettesítjük, és az ezekkel végzett műveletek eredményeképpen kapjuk a megoldást. A numerikus megoldás megbízhatósága természetesen függ a matematikai modell megbízhatóságától. Minél kisebb intervallumokkal dolgozunk, annál több függvényértékkel számolunk, és ezzel csökkenthetjük a diszkretizálásból eredő hibát. Ugyanakkor azonban növeljük a számítások mennyiségét, amivel megnő a számítások ideje és költsége is. Numerikus módszereket hosszú idő óta alkalmaz a tudomány és a gyakorlat, de elterjedésüket a kielégítő pontossághoz szükséges számítási műveletek nagy száma sokáig akadályozta. Gondoljuk meg, hogy egy viszonylag durva, pl. 100 100-as felosztású négyzetrács esetében 10000 lineáris egyenletet kell szimultán megoldani. Lényeges változást csak a számítógépek elterjedése hozott, különösen azóta, amióta a RAM a személyi számítógépeknél megabyte, a professzionális számítógépeknél gigabyte nagyságrendű, és másodpercenként több millió műveletet képesek elvégezni. A számítógép természetesen nem gondolkodik, és nem mér helyettünk, csak az algoritmizálható tevékenységben nyújthat segítséget. A legtöbb feladat megoldásánál a kísérletekre mindig szükség lesz, ezért a számítógép-technika sohasem válhat a feladatmegoldások egyetlen eszközévé.
Összefoglalva a numerikus megoldás legfontosabb lépései: 1. a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, 2. a matematikai modell megalkotása, 3. a matematikai modell átalakítása numerikus megoldásra alkalmas formára (diszkretizálás), 4. a megoldás egymás utáni lépéseinek (algoritmusának) rögzítése, 5. a blokkséma összeállítása, 6. a számítási modell megoldását adó program megírása, 7. és annak futtatása, 8. a megoldás ellenőrzése.
Kísérleti megoldás Ezek olyan eljárások, amelyek során mérésekkel kapunk információt a rendszer viselkedéséről. Ne feledjük azonban, hogy a mérés önmagában még nem kísérlet. (A kísérlet - mindig! - előzetes elméleti megfontolás után kialakított elgondolás, hipotézis mérésekkel való ellenőrzése.) A kísérlet feladata lehet: a rendszer viselkedésének vizsgálata, (DIREKT) a rendszer válaszfüggvényének ill. az ún. kimeneti egyenletének (INDUKTÍV) a rendszer-működés optimális tartományának (INDIREKT) értékének meghatározása A kísérlet is megoldási módszer. Feladata: a rendszer bemenő jellemzői, állapota és kimenő jellemzői közötti kapcsolat, vagy e kapcsolat egyes paramétereinek meghatározása. Ilyen értelemben funkciója megegyezik az analitikus és a numerikus módszerek funkciójával. Van azonban egy lényeges sajátossága: Az analitikus és a numerikus megoldások eredménye pontszerű: a független változó meghatározott értékeihez a függő változó meghatározott értékeit egyértelműen rendeli hozzá. Ezzel szemben a kísérleti megoldás eredménye (a kísérletek során elkerülhetetlenül bekövetkező hibák, a sztochasztikus hatások miatt) foltszerű: a független változó meghatározott értékeihez a független változó valamilyen sávját rendeli. Ezt szem előtt kell tartani mind a kísérletek előkészítése, mind a mérési adatok értékelése során.
A kísérleti tevékenység főbb területei 1. megfigyelés, 2. kutatás-fejlesztés, 3. rutinvizsgálatok és 4. bemutatás-szemléltetés. Az egyszerű megfigyelésnél az ember a tőle függetlenül végbemenő folyamatokat regisztrálja. (Szigorúan véve ez nem is tekinthető kísérletnek.) A kutatás-fejlesztés során előzetesen elemezni kell a lehetséges hatásokat, össze kell gyűjteni korábbi kísérletek tapasztalatait, a témára vonatkozó irodalmi adatokat és - mindenek előtt - a vizsgált folyamatra vonatkozó újabb tudományos ismereteket. Ezek alapján kell (a kísérlet megkezdése előtt!) hipotézist alkotni, amelyet a kísérletekkel kell ellenőrizni. A kísérlet persze nem igazolja az elméleti megfontolásokat, csak azt, hogy e megfontolások nem hamisak. A kutatásban különösen fontos az intuíció, az analógiák felismerése, a megszokott sémáktól való eltérés bátorsága, amelynek azonban széles körű és mélyreható tudományos ismeretekre kell támaszkodnia. Ellenkező esetben a tudatlanság bátorsága értelmetlen, sőt veszélyes kísérletezgetésekhez vezethet. Bármilyen típusú legyen a kísérlet, annak megkezdése előtt a lehető legpontosabban meg kell fogalmazni a feladatot. Az előkészítéshez nem elegendő az intuíció, a nagy gyakorlati tapasztalatokon alapuló szubjektív ítélet, az ún. műszaki érzék. Előre tudnunk kell, hogy mely jellemzőket hányszor kell mérnünk. A kísérletek lehetővé teszik, hogy meghatározzuk a bemenő és a kimenő jellemzők közötti függvénykapcsolatot olyan esetben is, amikor a matematikai modell matematikai módszerrel nem oldható meg. A hasonlósági módszeren alapuló modellkísérlet információt ad olyan rendszerekről is, amelyek közvetlen mérése igen nehéz vagy éppen lehetetlen.
Összefoglalva a kísérleti megoldás legfontosabb lépései: 1. a feladat verbális (szöveges) megfogalmazása, 2. a matematikai modell megalkotása, 3. a matematikai modell hasonlósági transzformációja, a kísérleti objektum megfelelő kiválasztása és a kísérleti eredmények (későbbi) általános felhasználhatósága érdekében, 4. a kísérleti program (a kísérletterv) összeállítása, 5. a kísérletek lefolytatása és 6. értékelése alapján a matematikai modell megoldását jelentő összefüggések meghatározása, 7. a megoldás ellenőrzése.
A megoldási módszerek legfontosabb jellemzői Lépés Analitikus Kísérleti Numerikus 1. A feladat verbális megfogalmazása 2. A matematikai modell megalkotása 3. Transzformáció megoldásra Hasonlósági transzformáció Diszkretizálás alkalmas formára 4. A megoldás egymás utáni A kísérleti terv összeállítása Algoritmus és lépéseinek rögzítése blokkséma 5. A megoldást jelentő Kísérletek és azok értékelése Gépi program összefüggés meghatározása futtatása, eredménye 6. A megoldás ellenőrzése
Összetett módszerek A megoldási módszerek előbbi hármas csoportosítása a valóságban nem diszjunkt területeket jelöl. Ezeket a módszereket általában együtt kell alkalmazni. A kísérlek során minden esetben a mérési adatokból számításokkal határozzuk meg az empirikus összefüggéseket. Az aktív kísérleti terveknél számítógép segítségével értékelhetjük a közbeeső mérési eredményeket és határozhatjuk meg a következő beállítások értékeit. Az empirikus függvény típusának kiválasztására az analitikus módszerekkel kapott összefüggések adnak támpontot. Fordítva is igaz: az analitikus (és a numerikus) megoldás esetében is szükség van olyan kísérleti adatokra, amelyek például a vezetési tényező értékére adnak felvilágosítást. Összességében tehát a három módszer együttesen jelenti a megoldás lehetséges útját, és legfeljebb csak arról beszélhetünk, hogy egyik vagy másik módszernek egy adott megoldás esetében kiemelkedő szerepe van.
A modellezés célja A modellezés nyomai fellelhetők már az ókorban is. Amennyire a régészeti leletekből meg tudjuk ítélni, a kezdeti modellek elsősorban szemléltetési vagy kultikus célokat szolgáltak. Ilyennek tekinthetjük a barlangrajzokat, egyes használati eszközök (pl. szekerek) kicsinyített mását, sírokban talált szobrokat stb. Az újkori történelemben tulajdonképpen Galileitől számíthatjuk az elméletileg is megalapozott modellezés kialakulását. Azonban mindaddig, amíg a hasonlósági módszert matematikailag szabatos formában nem dolgozták ki, az összetett, bonyolult feladatok megoldására a modellezést nem lehetett használni. A hasonlósági módszer alapján kialakított modellezés lehetővé teszi nemcsak a méretarányok változtatását, de az eredetitől eltérő munkaközeg felhasználását, sőt egyik jelenségcsoport helyettesítését egy másikkal. A modellezés - az előbbiek szerint - valamely jelenség helyettesítése egy másikkal az eredeti jelenség tanulmányozása vagy bemutatása céljából. Valamely folyamatot akkor ismerünk, ha előre meg tudjuk mondani, hogy az egyértelműségi feltételek különböző értékei mellett milyen lesz a fizikai változók eloszlása a rendszeren belül, illetve a rendszer reakciója.
A modellezés fejlődése Kezdetben a modell csak szemléltető funkciót látott el, gyakran helyettesítette vagy kiegészítette a tervrajzokat. Statikus modellek. A következő szakasz, amikor a modellt meglevő berendezések hiányosságainak kijavítására használják. Ezek már dinamikus modellek. A kutatótól inkább a hasonlósági módszer bizonyítását, a modell használhatóságának igazolását várják, és nem annyira kutatási segédeszköznek, mint inkább tudományos játék -nak tekintik a modellezést. A harmadik, fejlettebb szakasz, amikor a modellezés előnyét egyértelműen elismerik. Megkezdődik a modellezés ipari felhasználása új, még meg nem lévő rendszerek előzetes ellenőrzésére. Napjainkban a modellezés már szerves részét képezi nemcsak az ipari termelésnek, hanem a gazdaságirányításnak is. A tervező a modell segítségével dolgozza ki és tökéletesíti a rendszert és annak egyes részeit. A kutatás során az egyes hipotéziseket kísérleti úton először a modellen ellenőrzik. Az egyes termelési vagy társadalmi előírások változtatásának hatását először modellen próbálják ki. Az orvostudományban széleskörűen használják az állatkísérleteket, mind a biológiai mechanizmusok, mind a gyógyszerek hatásainak előzetes modellezésére. A számítógép nyújtotta lehetőségek felhasználásával döntési modelleken vizsgálják egyes megoldási változatok várható hatását.
Modelltechnika A modelltechnika azon eszközök és eljárások összessége, amelyek segítségével egy rendszert egy hozzá hasonló rendszerrel helyettesítünk, és annak vizsgálatából következtetünk az eredetiben végbemenő folyamatokra. A modelltechnikára is érvényes a technika négy alapelve: 1. A célorientáltság magától értetődő, hiszen céltalan modell nem létezhet. A modell használatának célja valamely feladat (vagy probléma) megoldása. 2. A tervszerűség érvényesül a modell kialakításában, a modellkísérletek előkészítésében és végrehajtásában. 3. A gazdaságosság elve kétféleképpen is összefügg a modelltechnikával: az új technikai rendszerek előzetes modellezése mind a kivitel, mind az üzemeltetés várható nehézségeit és ezen keresztül költségeit csökkentheti. Ez a modellezés eredményével elérhető gazdaságosság a modellezés folyamatának gazdaságossága viszont olyan eszközök és eljárások megválasztását jelenti, amelyek a modellezés költségeit csökkentik. 4. A szervezés természetesen itt is hozzá tartozik a munka előkészítéséhez és elvégzéséhez. A modelltechnikában még a tervezés fázisát is megelőzik egyes szervezési feladatok. Már a tervezési szakaszban gondolnunk kell arra, hogy a kísérletek során kapott mérési adatokat milyen módon fogjuk feldolgozni.
Modelljellemzők megválasztásának szabadsága A matematikai modell már egyben a felhasználható modelltípusokra is felvilágosítást ad. Ezek köréből kell kiválasztani a kísérleti objektumot. Hogy éppen milyen berendezést választunk, az többek között függ a felhasználható anyagi eszközöktől és időtől, a meglevő (ill. beszerezhető) laboratóriumi felszereléstől stb. Ezek összessége dönti el, hogy milyen berendezést lehet és szükséges felhasználni, illetve, hogy milyenek legyenek e berendezés fő méretei. Mindenekelőtt azt kell meghatározni, hogy hány dimenziós modell szükséges a kísérletek lefolytatásához. Egyes esetekben még térbeli feladatok is leképezhetők egy- vagy kétdimenziós modellre. Ezután a hasonlósági kritériumok számértékeinek megvalósításához szükséges feltételeket kell megvizsgálni. A kritériumok bizonyos szabadságot engednek meg a modelljellemzők megválasztásában.
A számítógépes és a kísérleti megoldás összekapcsolása