PISA2000 Nyilvánosságra hozott feladatok matematikából
Tartalom Tartalom 3 Almafák 8 Földrész területe 12 Háromszögek 14 Házak 16 Versenyautó sebessége
Almafák M136 ALMAFÁK Egy gazda kertjében négyzetrács alakzatban almafákat ültet, a kertet pedig fenyőfákkal veszi körül, hogy a gyümölcsöst megvédje a széltől. Az alábbi ábrákon ez a faültetés látható: leolvasható az almafák és a fenyőfák elhelyezkedése különböző számú fasor esetén. (n = az almafasorok száma) n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 X X X X X X X X X = fenyőfa = almafa X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Almafák 3
1. kérdés: Almafák M136Q01 Egészítsd ki a táblázatot! n Almafák száma Fenyőfák száma 1 1 8 2 4 3 4 5 A kitöltött táblázat: n Almafák száma Fenyőfák száma 1 1 8 2 4 16 3 9 24 4 16 32 5 25 40 21-es kód: Mind a 7 beírt adat helyes. Részlegesen jó válasz [Ezeket a kódokat akkor kell alkalmazni, amikor EGY hiba/hiányzó adat van a táblázatban. 11-es kódot adunk, ha EGY hiba van n=5-nél, és 12-es kódot, ha EGY hiba van n=2, 3 vagy 4 esetén.] 11-es kód: 12-es kód: Helyes adatok n=2, 3 és 4-re, de n=5 esetén EGY adat hibás vagy hiányzik. Az utolsó adat, a 40 hibás, minden más helyes. A 25 hibás, minden más helyes. Az n=5-re vonatkozó adatok helyesek, de n=2, 3 vagy 4 esetén EGY adat hibás/hiányzik. [Ezek a kódokat akkor kell alkalmazni, ha KÉT vagy több hiba van a válaszban.] 01-es kód: 02-es kód: 99-es kód: Helyes adatok n=2, 3, 4 esetén, de n=5-nél MINDKÉT adat hibás vagy hiányzik. A 25 és a 40 is hibás, minden más helyes. Más válaszok. 4 Almafák
2. kérdés: Almafák M136Q02 Az alábbi két képlettel számolható ki kertenként az almafák és a fenyőfák száma: Almafák száma = n 2 Fenyőfák száma = 8n ahol n az almafasorok számát jelöli. Egy bizonyos n érték mellett az almafák száma megegyezik a fenyőfák számával. Melyik ez az n érték? Írd le, hogyan számoltad ki!...... [Ezek a kódok a jó megoldást tartalmazó válaszokhoz tartoznak: n = 8, amely különböző megoldási módszerek alkalmazásával kapható meg.] 11-es kód: 12-es kód: 13-as kód: n = 8, algebrai módszer láthatóan végigvezetve. n 2 = 8n, n 2 8n = 0, n(n 8) = 0, n = 0 és n = 8, tehát n = 8 n=8, nem világosak a számítások vagy hiányzik a levezetés. n 2 = 8 2 = 64, 8n = 8 8 = 64 n 2 = 8n. Eszerint n = 8. 8 8 = 64, n = 8 n = 8 8 8 = 8 2 n = 8, más módszerrel, pl. a sorozat folytatásával vagy rajzolással. [Ezek a kódok azokra a válaszokra vonatkoznak, amelyek tartalmazzák az n=8 helyes választ ÉS az n = 0 választ, különböző megoldási módszerek alkalmazása esetén.] 14-es kód: 15-ös kód: Ugyanaz, mint a 11-es kód esetén (algebrai levezetés), de meg van adva mind a két válasz: n = 8 ÉS n = 0. n 2 = 8n, n 2 8n = 0, n(n 8) = 0, n = 0 és n = 8 Ugyanaz, mint a 12-es kód esetén (nincs világos algebrai levezetés), de meg van adva mind a két válasz: n = 8 ÉS n = 0 00-s kód: Más válaszok, beleértve azt is, ha csupán annyi szerepel a válaszban, hogy n = 0. n 2 = 8n (a kérdésben szereplő állítás megismétlése) n 2 = 8 n = 0. Nem lehet ugyanannyi, mert minden almafára 8 fenyőfa jut. 99-es kód: Almafák 5
3. kérdés: Almafák M136Q03 Tegyük fel, hogy a gazda sokkal nagyobb gyümölcsöst szeretne, ezért még több fát ültet. A gyümölcsös bővítése során melyik fog gyorsabban nőni: az almafák vagy a fenyőfák száma? Válaszodat indokold!...... 21-es kód: Helyes válasz (az almafák száma) megfelelő indoklással. Például: Az almafák száma = n n, a fenyőfák száma = 8 n. Mindkét képletben szerepel az n ismeretlen, de az almafák esetében még egy n szerepel szorzótényezőként, ami folyamatosan nő, míg a 8-as szorzó konstans marad. Tehát az almafák száma növekszik gyorsabban. Az almafák száma gyorsabban nő, mert a számuk mindig a négyzetére nő és nem a 8-szorosára. Az almafák száma négyzetes. A fenyőfák száma lineáris. Az almafák száma tehát gyorsabban nő. A válaszban függvény segítségével megmutatja, hogy az n 2 nagyobb, mint a 8n miután n = 8. [Akkor kell tehát 21-es kódot adni, ha a tanuló az n 2 és 8n képletekből kiindulva ad algebrai magyarázatot]. Részlegesen jó válasz 11-es kód: Helyes válasz (az almafák száma) konkrét példák vagy a táblázat folytatása alapján. Az almafák száma gyorsabban fog nőni, mert ha megnézzük a táblázatot (előző oldal), akkor látjuk, hogy az almafák száma gyorsabban nő, mint a fenyőfáké. Ez főleg az után van így, hogy az almafák száma és a fenyőfák száma egyenlő. A táblázatból látszik, hogy az almafák száma gyorsabban nő. VAGY Helyes válasz (az almafák száma) és VALAMILYEN bizonyítéka annak, hogy a tanuló megértette az n 2 és 8n közötti összefüggést, de nem írt olyan világos kifejtést, mint amilyen a 21-es kódnál szerepel. Az almafáké n > 8 után. 8 sor után az almafák száma gyorsabban fog nőni, mint a fenyőfáké. A fenyőfáké, amíg el nem érjük a 8 sort, azután az almafáké. Vissza a Tartalomhoz 6 Almafák
Földrész területe M148 Alább az Antarktisz térképe látható. FÖLDRÉSZ TERÜLETE ANTARKTISZ Déli-sark Menzies-hegy kilométer 0 200 400 600 800 1000 Földrész területe 7
1. kérdés: Földrész területe M148Q01 Mekkora a távolság a Menzies-hegy és a Déli-sark között? (A becsléshez használd a térkép méretarányát!) A A távolság 1600 km és 1799 km között van. B A távolság 1800 km és 1999 km között van. C A távolság 2000 km és 2099 km között van. D Nem lehet meghatározni. 1-es kód: B 0-s kód: Más válaszok. 9-es kód: 2. kérdés: Földrész területe M148Q02 Becsüld meg az Antarktisz területét a térképen feltüntetett méretarány segítségével! Írd le a számításaidat és azt, hogyan végezted el a becslést! (Rajzolhatsz is a térképre, ha ez segít a becslésben.) [Ezeket a kódokat akkor kell alkalmazni, ha a módszer helyes ÉS jó a válasz. A második számjegy a különböző megoldási módszerekre utal.] 21-es kód: 22-es kód: 23-as kód: 24-es kód: 25-ös kód: A becslést négyzet vagy téglalap fölérajzolásával végzi el az eredmény 12 000 000 km 2 és 18 000 000 km 2 közé esik (mértékegység nem szükséges). A becslést körré egészítéssel végzi az eredmény 12 000 000 km 2 és 18 000 000 km 2 közé esik. Geometriai alakzatok területének összeadásával végzi a becslést - az eredmény 12 000 000 km 2 és 18 000 000 km 2 közé esik. Más helyes módszerrel végzi a becslést - az eredmény 12 000 000 km 2 és 18 000 000 km 2 közé esik. Helyes válasz (12 000 000 km 2 és 18 000 000 km 2 közötti érték), de hiányzik a módszer leírása. 8 Földrész területe
Részlegesen jó válasz [Ezeket a kódokat olyan válaszok esetén kell adni, amikor a módszer helyes, DE a válasz hibás vagy hiányos. A második számjegy a különböző megoldási módszerekre utal, és megegyezik a teljes értékű válaszok kódjainak második számjegyével.] 11-es kód: 12-es kód: 13-as kód: 14-es kód: A becslést téglalap fölérajzolásával végzi helyes módszer, de hibás vagy hiányos válasz. Téglalapot rajzol fölé, megszorozza a szélességét a hosszúságával, de a válaszban alul- vagy fölülbecsüli a valódi méretet (pl. 18 200 000). Téglalapot rajzol fölé, megszorozza a szélességét a hosszúságával, de a nullák száma nem megfelelő (pl. 4000 3500 = 140 000). Téglalapot rajzol fölé, megszorozza a szélességét a hosszúságával, de elmulasztja a méretarány segítségével négyzetkilométerre való átváltást (pl. 12 cm 15 cm = 180) Téglalapot rajzol fölé és megállapítja, hogy a terület 4000 km 3500 km. A további számolás hiányzik. A becslést körré egészítéssel végzi helyes módszer de hibás vagy hiányos válasz. A becslést geometriai alakzatok területének összeadásával végzi helyes módszer, de hibás vagy hiányos válasz. Más helyes módszerrel végzi a becslést de a válasz hibás vagy hiányos. 01-es kód: 02-es kód: 99-es kód: A terület helyett a kerületet számítja ki. Pl. 16 000 km, mert az 1000 km-es lépték 16-szor érné körül a térképet. Más rossz válaszok. Pl. 16 000 km (nincs semmilyen számítás, és a válasz hibás). Földrész területe 9
ÖSSZEFOGLALÓ TÁBLÁZAT Az alábbi összefoglaló táblázat a kódok közötti kapcsolatot mutatja be: Becslési módszer helyes válasz: 12 000 000 és 18 000 000 km 2 között Kód Részlegesen jó válasz helyes módszer, de hibás vagy hiányos válasz Téglalap rajzolása 21 11 Kiegészítés körré 22 12 Szabályos alakzatok összeadása 23 13 Más helyes módszer 24 14 Hiányoznak a számítások 25 Kerület 01 Más rossz válaszok 02 Nincs válasz 99 MEGJEGYZÉS: Ennek a feladatnak a kódolásánál azon kívül, amit a tanuló a rendelkezésre álló helyre leírt, magát a térképet is meg kell nézni, nem rajzolt-e rá vagy jelölt-e rajta valamit. A tanulók gyakran nem írják le pontosan, hogy mit is csináltak, és ilyenkor segítség lehet, ha megnézzük magát a térképet. A cél nem az, hogy a tanuló szöveges kifejezőkészségét vizsgáljuk, hanem hogy megtudjuk, hogyan jutott el a megoldáshoz. Ezért, ha semmilyen magyarázat sincs leírva, de ki lehet találni a térképen látható jelekből vagy a felhasznált képletből, hogyan gondolkozott a diák, akkor ezeket magyarázatnak kell tekinteni. Vissza a Tartalomhoz 10 Földrész területe
Háromszögek M161 HÁROMSZÖGEK 1. kérdés: Háromszögek M161Q01 Karikázd be az alábbi ábrák közül azt az egyet, amelyikre igazak a következő állítások! A PQR háromszög derékszögű, és a derékszög az R csúcsnál van. Az RQ oldal rövidebb, mint a PR oldal. M jelöli a PQ oldal felezőpontját, N pedig a QR oldal felezőpontját. S a háromszög egy belső pontja. Az MN szakasz hosszabb, mint az MS szakasz. A B P Q N M M S R S Q P N R C D P R M S N S Q N R Q M P E R N S M P Q Háromszögek 11
1-es kód: D 0-s kód: Más válaszok. 9-es kód: Vissza a Tartalomhoz 12 Háromszögek
Házak M037 HÁZAK Az alábbi fényképen egy vidéki házat látsz, amelynek tetőszerkezete piramis alakú. Egy tanuló a következőképpen modellezte a ház tetőszerkezetét (méretekkel kiegészítve). T H 12 m G E F D N M C K L 12 m A 12 m B A padlástér padlózata egy négyzet, amit ABCD-vel jelölünk. A tetőszerkezetet tartó gerendák egy téglatest éleinek foghatók fel. Jelöljük ezt a térbeli alakzatot EFGHKLMN-nel! E az AT szakasz, F a BT szakasz, G a CT szakasz, H pedig a DT szakasz felezőpontja. A piramis minden éle 12 méter hosszú. Házak 13
1. kérdés: Házak M037Q01 Számold ki a padlástér padlózatának (ABCD) területét! A padlástér (ABCD) területe = m 2 1-es kód: 144 (a mértékegység már adott). 0-s kód: Más válaszok. 9-es kód: 2. kérdés: Házak M037Q02 Számold ki az EF szakasz, azaz az egyik gerenda hosszát! Az EF szakasz hossza = m 1-es kód: 6 (a mértékegység már adott). 0-s kód: Más válaszok. 9-es kód: Vissza a Tartalomhoz 14 Házak
Versenyautó sebessége M159 VERSENYAUTÓ SEBESSÉGE Az alábbi grafikon egy versenyautó sebességének változását mutatja, amikor egy 3 kilométeres vízszintes pálya második körét futja. Sebesség (km/h) A versenyautó sebessége egy 3 km-es pályán (második kör) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0,5 1,5 2,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 Startvonal Pályán megtett távolság (km) Versenyautó sebessége 15
1. kérdés: Versenyautó sebessége M159Q01 Megközelítőleg mekkora a távolság a startvonal és a pálya leghosszabb egyenes szakaszának kezdőpontja között? A 0,5 km B 1,5 km C 2,3 km D 2,6 km 1-es kód: B 0-s kód: Más válaszok. 9-es kód: 2. kérdés: Versenyautó sebessége M159Q02 A pálya mely pontján mérték a legalacsonyabb sebességet a második körben? A a startvonalnál B kb. 0,8 km-nél C kb. 1,3 km-nél D a pálya felénél 1-es kód: C 0-s kód: Más válaszok. 9-es kód: 16 Versenyautó sebessége
3. kérdés: Versenyautó sebessége M159Q03 Mit lehet mondani az autó sebességéről a 2,6 km és a 2,8 km közötti szakaszon? A Az autó sebessége állandó. B Az autó sebessége növekszik. C Az autó sebessége csökken. D Az autó sebességét nem lehet meghatározni a grafikon alapján. 1-es kód: B 0-s kód: Más válaszok. 9-es kód: Vissza a Tartalomhoz Versenyautó sebessége 17