STATISZTIKA 8. Előad adá Megbíhat tartomáyok (Kofidecia itervallumok) (Kofidecia itervallumok) Sir Iaac Newto, 1643-177 177 Philoohiae Naturali Priciia Mathematica (A terméetfilo etfiloófia fia matematikai alaelvei, 1687) A Föld F ály lyája a Na körülk TAVASZ TAVASZI NAPÉJEGYENLŐSÉG Márc. 1. TÉL NYÁRI NAPFORDULÓ Jú.. NAPTÁVOL 15 000 000 km NAP NAPKÖZEL 147 000 000 km TÉLI NAPFORDULÓ Dec. 1. ŐSZ NYÁR ŐSZI NAPÉJEGYENLŐSÉG Set. 3. Pierre-Simo Lalace (1749-187) 187) Tudomáyo determiimu Werer Karl Heieberg, 1901-1976. 1976. 1
Határoatla roatlaági reláci ció,, 197. Nem mérhetm rhető meg egyerre otoa egy réecke r térbeli t helye é imulua Imulu = tömeg t * ebeég Ite em vet kockát Határoatla roatlaági elv gyakorlati eredméyei Potbeclé itervallumbeclé A relatív v gyakoriág ˆ = Biomiáli elol k li elolát t feltételeve televe Nem túl t l kici mitaagyág, g, é em túl t él lőége relatív v gyakoriág g (>5( é (1-)>5 )>5) Várható érték: E() = Sórá: D() = ( 1 ) A relatív v gyakoriág megbíhat tartomáya 1. k ˆ = Köelíté ormáli elolá egít tégével Biomiáli elolát t feltételeve televe Nem túl t l kici mitaagyág, g, é em túl t él lőége relatív v gyakoriág g (>5( é (1-)>5 )>5) k 0,5 ˆ(1 ˆ ) k 0,5 ˆ(1 ˆ ) 1,96 < π < + 1,96
Doháy yá relatív v gyakoriága ga = 100 k = 30 = 30/100 = 0,3 Várható érték k = 30 Sórá = 100 0,3(1 0,3) 4, 6 95%-o megbíhat tartomáya k 0,5 ˆ(1 ˆ) k 0,5 ˆ(1 ˆ ) 1,96 < π < + 1,96 ˆ(1 ˆ ) 0,3(1 0,3) 1,96 = 1,96 0,0898 100 Aló éle: 0,05 Felő éle: 0,385 A relatív v gyakoriág megbíhat tartomáya. A π-re voatkoó otoabb érték, külööe <5,, vagy (1-)<5 eeté, a F-elolá egít tégével k ( k + 1) Fν 1, ν, α π k + ( k + 1) F k + ( k + 1 F bal oldalo: jobb oldalo: ν, ν, α ) 1 ν1, ν, α ν = ( k + 1), ν k 1 = ν1 = ( k + 1), ν = ( k) F-elolá Két t adathalma variaciájáak ak öehaolíta A F-értF rték k a két k t variacia háyadoah Sáml mláló abadágfoka = DF 1 Neveő abadágfoka = DF F=var 1 /var F-elolá (DF1=1, DF=1) F-elolá (DF1=1, DF=1) Deity 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 Cumulative Probability 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 0 4 6 8 10 0 4 6 8 10 3
F-elolá (DF1=7, DF=11) F-elolá (DF1=7, DF=11) Deity 0.0 0. 0.4 0.6 Cumulative Probability 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 0 4 6 8 10 0 4 6 8 10 F-elolá (DF1=30, DF=30) F-elolá (DF1=30, DF=30) Deity 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 1. Cumulative Probability 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 3 4 5 0 1 3 4 5 Sir Roald Aylmer Fiher 1890-196 196 4
Ecel F.ELOSZLÁS S függvf ggvéy Sitai F.ELOSZLÁS(;abad S(;abadágfok1;abadágfok) gfok) X: A a érték, amelyél l a függvf ggvéy értékét t ki kell ámítai. Sabadágfok1: Sabadágfok: A áml mláló abadágfoka. A eveő abadágfoka. A relatív v gyakoriág megbíhat tartomáya. A π-re voatkoó otoabb érték, külööe <5,, vagy (1-)<5 eeté, a F-elolá egít tégével k ( k + 1) Fν 1, ν, α π k + ( k + 1) F k + ( k + 1 F bal oldalo: jobb oldalo: ν, ν, α ) 1 ν1, ν, α ν = ( k + 1), ν k 1 = ν1 = ( k + 1), ν = ( k) 95%-o megbíhat tartomáy alfa = 0,05 Baloldali ű1 1 = 14 ű = 60 F = 1,45 C.I. 95% = 0, Jobboldali ű1 1 = 6 ű = 140 F = 1,41 C.I. 95% = 0,38 A mediá megbíhat tartomáya 1,, 3,, agyág g erit övekvő orredbe redeett Normáli elolá em feltétel tel =1,63; 1,96;,58 h cak egé ám lehet h h + 1 = Me 1 h 95%-o megbíhat tartomáy A ámtai átlag eloláa a = 101 Me = 51. adat értéke h = 40 C.I. 95% aló = 41. adat értéke C.I. 95% felő = 61. adat értéke N, σ 45% 35% 5% 15% 5% -4-3 - -1 0 1 3 4 5
A köéértk rték k megbíhat tartomáya Imert σ: 1,96σ 1,96σ P µ + = 0,95 Imeretle σ: t 0,05 P µ t + = 0,95 0,05 0,40 0,30 0,0 0,10 0,00 Studet-féle t-elolá fg= fg=30 fg=4-3,00 -,00-1,00 0,00 1,00,00 3,00 t-elolá űrűégf gfüggvéye William Sealy Goet,, 1876-1937. 1937. t = µ / f t ( ) = f + 1 ahol: 1 f=-1 abadágfok + K t f K: a mita elemámától () függő kota Studet,, 1908 A köéértk rték k 68%-o megbíhat tartomáya σ imert P µ + = 0,68 45% 35% 5% 15% 5% ±1 1 óráyi yi távolt volág -4-3 - -1 0 1 3 4 6
±1 1 óráyi yi tartomáyba eé való íűége 10 9 8 7 6 5 84 16 68-4 -3 - -1 0 1 3 4 A köéértk rték k 95%-o megbíhat tartomáya σ imert P 1,96 µ + 1,96 = 0,95 45% 35% 5% 15% 5% ±1,96 óráyi yi távolt volág -4-3 - -1 0 1 3 4 ±1,96 óráyi yi tartomáyba eé való íűége 10 9 8 7 6 5,5 97,5-4 -3 - -1 0 1 3 4 95 A köéértk rték k 99%-o megbíhat tartomáya σ imert P,58 µ +,58 = 0,99 45% 35% 5% 15% 5% ±,58 óráyi yi távolt volág -4-3 - -1 0 1 3 4 7
±,58 óráyi yi tartomáyba eé való íűége 10 9 8 7 6 5 0,5 99,5-4 -3 - -1 0 1 3 4 99 Gyakorlati alkalmaá Miőítő vigálatok Sabváy teljeítée e Etaloho haolítá Teljeíti ti-e e a előírát? Kefir írtartalma 3% Ői búa b hektolitertömege 80 kg =30 átlag= 3,% =0,5% = 0,091% kofidecia it(95%) = ± 1,96 C. I. aló éle = 3, C. I. felő éle = 3,38% = ± 0,18% =30 átlag=75 kg = 15 kg =,74kg kofidecia it(95%) = ± 1,96 C. I. aló éle = 69,63kg C. I. felő éle = 80,37kg = ± 5,37kg A köéértk rték k megbíhat itervalluma vége v okaágba Vége korrekció faktor Ha /N>0,05 N N P 1,96 1,96 µ + = 0,95 1 1 N N fc = N N 1 8
A köéértk rték k megbíhat itervalluma vége v okaágba Sokaág g köéértk rtéke: 59 075 kg Véletle 11 elemű mita Mita köéértk rtéke: 61 155 kg Mita óráa: a: Mita S.E.: 7 658 kg 6 605 kg Mita fc: 0,964 P P A köéértk rték k megbíhat itervalluma vége v okaágba ( 61155 1,96 6605 0,964 µ 61155+ 1,96 6605 0,964) = 0, 95 ( 4916 µ 73148) = 0, 95 Sokaág g köéértk rtéke: 59 075 kg A órá megbíhat tartomáya 1. A órá-égyet eloláa a 1 χ α /, 1 < σ < 1 χ 1 α /, 1 χ σ 1, 1 A khi-égyet elolá ChiSquared Ditributio: Degree of freedom=1 A khi-égyet elolát t okták Pearoféle eloláak, ak, ill. Helmert-féle le eloláak ak i evei. A khi-égyet elolá ármatat rmatatáa a ormáli eloláb ból Haáljuk ormáli é em ormáli eloláú mitaelemek eeté Deity 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 0 4 6 8 10 1 9
ChiSquared Ditributio: Degree of freedom=3 ChiSquared Ditributio: Degree of freedom=10 Deity 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.5 Deity 0.00 0.0 0.04 0.06 0.08 0.10 0 4 6 8 10 1 0 5 10 15 0 5 30 Ecel KHI.ELOSZLÁS S függvf ggvéy Sitai A órá megbíhat tartomáya 1. KHI.ELOSZLÁS(;abad S(;abadágfok) X: A a érték, amelyél l a elolát t ki kell ámítai. 1 χ α /, 1 < σ < 1 χ 1 α /, 1 Sabadágfok: A abadágfokok áma. Sórá 95%-o megbíhat tartomáy 1. 1000 alfa 0,05 /, 1 18,4 χ1 α /, 1 73,36 órá 10 χ α C.I.aló 8,78 C.I.felő 11,6 A órá megbíhat tartomáya. Köelíté ormáli eloláal < σ < 1 α / 1 α / 1+ 1 ( 1) ( 1) 10
Sórá 95%-o megbíhat tartomáy. 1000 alfa 0,05 1,959 órá 10 C.I.aló 8,78 C.I.felő 11,6 A variacia megbíhat tartomáya 1 1 < σ < χα /, 1 χ1 α /, 1 Variacia 95%-o megbíhat tartomáy = 1000 alfa = 0,5 χα /, 1 18,4 χ1 α /, 1 73,36 variacia =100 C.I.aló 77,09 C.I.felő 134,95 11