Matematika T POKLICNA MATURA

Átírás

1 Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus Matematika T POKLICA MATURA A tantárgyi vizsgakatalógus a 007-es tavaszi vizsgaidőszaktól kezdve alkalmazható mindaddig, amíg új nem készül. A katalógus érvényességét arra az évre, amelyben a jelölt érettségizik, a Szakmai érettségi tantárgyi vizsgakatalógus rögzíti. Ljubljana 005

2

3 TARTALOMJEGYZÉK. Bevezető 4. A vizsga céljai 5. A vizsga szerkezete és értékelése 6. A vizsga sémája 6. Feladatfajták és értékelés 6 4. A vizsgán ellenőrzött tartalmak 7 5. A különleges bánásmódot igénylő jelöltekre vonatkozó eljárások 6. Mellékletek 4 6. Matematikai jelek 4 6. A feladatlaphoz mellékelt képletek 7 6. A vizsgafeladatok mintái Az írásbeli vizsga feladatainak értékelési útmutatója Szóbeli vizsga 7 7. Ajánlott források és irodalom 8

4 . BEVEZETŐ A tantárgyi vizsgakatalógus azoknak a jelölteknek készült, akik a szakmai érettségi vizsgán a matematikát fogják harmadik tantárgyként választani. Segít azoknak a matematikatanároknak is, akik a jelölteket felkészítik a szakmai érettségi vizsgára. A szakmai érettségi vizsgakatalógus a középiskolai technikus, ill. szakmai 85 órás képzés tantárgyi vizsgakatalógusán alapul, valamint A szakmai érettségi vizsgáról szóló szabályzatokon és Az érettségi vizsgáról szóló törvényen (ZMat, Ur. List RS, št. 5/0). A matematika vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. A katalógus leírja a vizsga céljait, a vizsga szerkezetét, valamint a vizsga értékelését és osztályozását is. A tananyagot taglaló fejezet két részből áll. Baloldalt azokat a témákat és fogalmakat találjuk, amelyek a tanterv által előírt és a vizsgán ellenőrzött tananyagot határozzák meg. Jobboldalt pedig azokat, amelyeknek ismeretét ellenőrizzük. A katalógus tartalmazza a matematikai jelek listáját és a képleteket is, amelyek segíthetnek a jelöltnek a vizsgánál. Megad néhány vizsgafeladat-mintát is a megfelelő megoldásokkal, pontozásokkal és az értékelési utasításokkal együtt. A végén a különleges bánásmódot igénylő jelöltekre vonatkozó eljárásokat sorolja fel. 4 Matematika

5 . A VIZSGA CÉLJAI A vizsga felméri, hogyan képes a jelölt: a matematikai szövegeket olvasni, és az ilyen szöveget matematikai nyelvre fordítani, a matematikai terminológiát és szimbolikát alkalmazni, a matematikai feladatokat szisztematikusan, pontosan, önállóan, rendezetten felírni és megoldani, a kapott eredményt felbecslülni, a matematikát mint kommunikációs eszközt alkalmazni, számítani a számokkal, felbecsülni az eredményt és felírni meghatározott pontossággal, a számításnál a megfelelő módszert alkalmazni, a számológépet alkalmazni, az alapvető geometriai eszközöket alkalmazni, a geometriai idomok között a kölcsönös viszonyokat felismerni és alkalmazni, a matematikatudást alkalmazni mindennapi helyzetekben, indokolni, ill. argumentálni. Matematika 5

6 . A VIZSGA SZERKEZETE ÉS ÉRTÉKELÉSE. A vizsga sémája A matematika vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli rész egységes az összes jelölt számára, és a jelöltek Szlovénia-szerte ugyanabban az időben írják ezt meg. Az írásbeli és a szóbeli vizsga értékelése belső. T Írásbeli vizsga A feladatlapot a matematika szakmai érettségi tantárgyi bizottsága állítja össze, ezen kívül elkészíti a moderált pontozót és az értékelési utasításokat is. Feladatlap Megoldási idő A pontok száma Összosztályzat része 0 perc %. rész (40) (40 %). rész (0) (0 %) Az írásbeli vizsgán engedélyezett eszközök: töltőtoll, ill. golyóstoll, ceruza, radír, grafikus képernyő nélküli és szimbólumos számítás elvégzésének lehetősége nélküli zsebszámológép, körző, háromszög (geoháromszög), vonalzó és szögmérő. A feladatlap két oldal képletet is tartalmaz, amelyek segítenek a jelöltnek a feladatok megoldásában. A jelöltek kötelesek a szerkesztési feladatok megoldásakor az alapvető geometriai eszközöket alkalmazni. A megoldás világosan és pontosan mutassa be az eredményhez vezető utat a részszámításokkal és következtetésekkel együtt. T Szóbeli vizsga A szóbeli vizsga kérdéseit és a lapokat az iskolában tanító tanárok állítják össze a tantárgyi vizsgakatalógus alapján. Megoldási idő A pontok száma Összosztályzat része kérdés maimum 0 percig 0 0 % A szóbeli vizsgán engedélyezett eszközök: töltőtoll, ill. golyóstoll, ceruza, radír, grafikus képernyő nélküli és szimbólumos számítás elvégzésének lehetősége nélküli zsebszámológép, körző, háromszög (geoháromszög), vonalzó és szögmérő. A jelöltnek a szóbeli vizsgán 0 perces felkészülésre van joga.. Feladatfajták és értékelés Vizsga Feladatfajták A feladatok értékelése a feladatlap. része 9 rövidebb feladat 5 feladat 4 pontot ér, 4 feladat pedig 5 pontot a feladatlap. része összetett (választható) feladat, minden feladat 5 pontot ér amelyekből a jelölt kettőt kiválaszt, és megoldja őket Szóbeli vizsga kérdés a kérdések listájából minden kérdés 0 pontot ér 6 Matematika

7 4. A VIZSGÁ ELLEŐRZÖTT TARTALMAK TARTALMI EGYSÉGEK Számhalmazok Geometria Algebrai függvények és egyenletek Transzcendens függvények és egyenletek Sorozatok és kamatoskamat-számítás Statisztika T Számhalmazok T TARTALOM, FOGALMAK T CÉLOK Természetes számok, egész számok, racionális számok és valós számok. Az alapműveletek tulajdonságai az egyes számhalmazokban. Oszthatóság az -ben és a Z -ben. Természetes-és egész kitevőjű hatványok. S Műveletek végzése természetes, egész, racionális és valós számokkal, a számtani műveletek azonosságainak alkalmazása. S A természetes és az egész számok többszörösének és osztójának meghatározása. S Műveletek végzése természetes és egész kitevőjű hatványokkal, az azonosságok alkalmazása. Prímszámok és összetett számok. Az oszthatóság kritériumai. Többszörösök és osztók. Kifejezések. Az egyenlőség és az egyenlőtlenség tulajdonságai. A maradékos osztás alaptétele. A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös. Racionális számok és valós számok. Törtek. Rendezettség, egyenlőségek, egyenlőtlenségek és tulajdonságok. Felírás tizedes törttel. Arányok, részek, százalékok. S Műveletek algebrai kifejezésekkel (a kéttagú algebrai kifejezés hatványozása, a négyzetek különbségének tényezőkre bontása, a köbök különbségének és összegének tényezőkre bontása, Vièta tételének alkalmazása). S Az oszthatósági és a rendezettségi reláció ismerete. S A maradékos osztás alaptételének ismerete és alkalmazása. S A prímszámok és az összetett számok ismerete. S Az adott szám felírása prímtényezők szorzataként. S A legnagyobb közös osztó meghatározása. S A legkisebb közös többszörös meghatározása. S Annak megállapítása, hogy: osztható-e az adott szám -vel, -mal, 5-tel, 9-cel és 0-zel. S Műveletek törtekkel és algebrai törtekkel. S Racionális szám felírása tizedes törttel. S A periodikus tizedes törtek felírása redukált tört alakban. S A százalékszámítás alkalmazása. S A rész, az alap és a relatív rész kiszámítása. Matematika 7

8 Számegyenes. Irracionális számok. Irracionális szám felírása tizedes tört alakban. Rendezettség az R -ben (a valós számok terjedelmében). A négyzetgyök és a köbgyök. Kerekítés. A szám abszolút értéke és tulajdonságai. Racionális kitevőjű hatványok. Gyökértékes egyenletek. S A következtetési számítás alkalmazása. S Valós számok bemutatása a számegyenesen (a valós tengely). S Kerekítés. S Az eredmény megbecslése. S Gyökvonás négyzet- és köbgyökkel. S A részleges gyökvonás és a nevezők gyöktelenítése. S Egyszerűbb abszolút értékes kifejezéseket tartalmazó egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. S Műveletek racionális kitevőjű hatványokkal. S Műveletek gyökökkel. S égyzetgyököket tartalmazó egyenletek megoldása. T Geometria T TARTALOM, FOGALMAK Síkmértan Alapvető mértani fogalmak. Pontok és egyenesek a síkban és a köztük lévő kapcsolatok. Távolság, szakasz, szakaszhordozó egyenes, a szakasz felezőmerőlegese, félegyenes, szög. Háromszög, kör, sokszög. A derékszögű háromszögre vonatkozó tételek. Egybevágóság. Hasonlóság. T CÉLOK S Az egyenes, a félegyenes, a szakasz, a szakaszfelező merőleges, a szög, a kör és a körvonal, a körív, a szelő és az érintő ábrázolása. S A háromszög típusainak megkülönböztetése az oldalak és a szögek szerint. S A különböző szögtípusok ismerete (mellékes szögek, csúcsszögek, hegyesszögek, társszögek, ). S Számítás szögekkel. S A háromszögek egybevágósági definíciójának ismerete és alkalmazása. S A háromszögek egybevágósági alaptételeinek alkalmazása. S A szögmértékek egységeinek ismerete, valamint a fokok átváltása radiánba és fordítva. S A háromszög, a paralelogramma és a trapéz tulajdonságainak alkalmazása a számítási és a szerkesztési feladatokban. S A Pitagorasz-tétel alkalmazása. S A síkidomok szerkesztése (szerkesztési feladatok). S A háromszög köré írt kör és a háromszögbe írt kör rajzolása. 8 Matematika

9 S A körérintő szerkesztése (a kör tetszőleges pontjában, a kör tetszőleges külső pontjából). S Az átmérőn levő kerületi szög tulajdonságainak ismerete és alkalmazasa. S A háromszögek hasonlósági definíciójának ismerete és alkalmazása. Területek A paralelogramma, a háromszög, a trapéz, a deltoid és a kör területe. Szinusztétel. Koszinusztétel. S A területek mérésére szolgáló egységek ismerete. S A paralelogramma, a háromszög, a trapéz, a deltoid, a kör és a körcikk területének kiszámítása. S A szinusztétel alkalmazása. S A koszinusztétel alkalmazása. S A síkidom kerületének ismerete és kiszámítása, a körív hosszának kiszámítása. S A síkidom köré és a síkidomba írt kör területének, oldalának, szögének, kerületének, magasságának, sugarának kiszámítása a megfelelő adatokból. Felszínek és térfogatok Az egyenes hasáb, a körhenger, a gúla, a körkúp és a gömb felszíne és térfogata. S Az egyenes testek (hasáb, körhenger, gúla, körkúp) és a gömb tulajdonságainak ismerete és alkalmazása. S Az adott test magasságának, oldalélének, alapélének, átlójának, palástjának, a tengelymetszet területének, a felszínének és a térfogatának kiszámítása a test megfelelő adataiból. S A geometriai testek élei, ill. lapjai által bezárt szögek kiszámítása. T Algebrai függvények és egyenletek T TARTALOM, FOGALMAK T CÉLOK Lineáris függvény és lineáris egyenlet A derékszögű koordináta-rendszer a síkban. Ponthalmazok a síkban. Két pont távolsága. A háromszög területe és orientálódása. Az $ k n lineáris függvény Az egyenes egyenlete Lineáris egyenlet és lineáris egyenlőtlenség. Lineáris egyenletrendszer. S Egyszerű ponthalmazok szemléletetése a síkban. S Két pont távolságának kiszámítása a síkban. S A háromszög területének kiszámítása és orientálódásának meghatározása, ha adottak a háromszög csúcsainak a koordinátái. S A lineáris függvény grafikonjának ábrázolása. S A k és az n konstansok jelentőségének ismerete. S A függvény zérushelyének és kezdőértékének meghatározása. S Az egyenesek egyenletének felírása eplicit, implicit és tengelymetszetes alakban a síkban. Matematika 9

10 Másodfokú függvény, hatványfüggvény és másodfokú egyenlet A másodfokú függvény: $ a b c Diszkrimináns. A másodfokú függvény tengelypontja, gyökei és grafikonja. A másodfokú egyenlet. A másodfokú függvény és egyenlet alkalmazása. A másodfokú egyenlőtlenség. S Lineáris egyenletek megoldása. S Lineáris egyenlőtlenségek megoldása. S Két és három lineáris egyenlet egyenletrendszerének megoldása. S Egy szöveges feladat és egy kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása a lineáris egyenlet segítségével. S A másodfokú függvény felírása különböző adatok alapján. S A másodfokú függvény tengelypontjának, gyökeinek, az ordinátatengellyel való metszéspontjának kiszámítása és grafikonjának ábrázolása. S A másodfokú függvény felírása tengelyponti (csúcsponti), általános és gyöktényezős alakban, valamint az alakok közti átalakítások. S A másodfokú egyenletek megoldása, különböző feladatok megoldása, amelyek a másodfokú egyenletre vonatkoznak. S A parabola és az egyenes metszéspontjának kiszámítása, két parabola metszéspontjának kiszámítása. S Szöveges feladatok megoldása a másodfokú egyenlet alkalmazásával. S A másodfokú egyenlőtlenség megoldása. Polinomok és racionális törtfüggvények Hatványfüggvény. Valós együtthatós polinomok. A polinomokkal való műveletek és ezek tulajdonságai. A polinomok maradékos osztására vonatkozó alaptétel. A polinom zérushelyei (gyökei). Horner-séma. A polinom grafikonja. Racionális törtfüggvények. Racionális egyenletek és egyenlőtlenségek. S Egész kitevőjű hatványfüggvény grafikonjainak ábrázolása. S Műveletek polinomokkal (összeadás, kivonás, szorzás, osztás). S A polinom szorzattá alakítása. S A polinomok maradékos osztására vonatkozó alaptétel alkalmazása (felírni a hányadost és a maradékot az osztásnál). S A polinom gyökeinek kiszámítása. S A Horner-algoritmus alkalmazása. S A polinom grafikonjának ábrazolása. S A polinomfüggvény egyenletének felírása megadott adatokból. S A p( ) 0, p( ) 0, p( ) p 0 és a > ( ) 0 p egyenlőtlenségek megoldása. S A racionális törtfüggvény definíciójának és egyenletének ismerete. S A gyökök, a pólusok és a vízszintes aszimptota meghatározása. S Az adott racionális törtfüggvény grafikonjának ábrázolása. S Racionális egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. 0 Matematika

11 T Transzcendens függvények és egyenletek T TARTALOM, FOGALMAK T CÉLOK Eponenciális függvény és logaritmusfüggvény Az eponenciális függvény: f ( ) a, a 0, a v Az eponenciális függvény tulajdonságai és grafikonja. Eponenciális egyenlet. Logaritmus. Áttérés más alapra. Logaritmusfüggvény. A logaritmusfüggvény tulajdonságai és grafikonja. S Az eponenciális és a logaritmusfüggvény grafikonjának ábrázolása (eltolás és nyújtás nélkül). S Egyszerű eponenciális függvényeket tartalmazó egyenletek megoldása (közös alap, közös tényező kiemelése). S A logaritmus definíciójának elsajátítása. S A logaritmus azonosságainak alkalmazása. S Egyszerű logaritmikus egyenletek megoldása (zsebszámológéppel is). S A zsebszámológép alkalmazása a más alapú logaritmusra való áttérés esetén. S A tízes alapú és a természetes logaritmus ismerete. Logaritmikus egyenlet. Szögfüggvények A hegyesszögek szögfüggvényei. A szögfüggvények definíciója: f ( ) sin f ( ) cos f ( ) tg A szögfüggvények tulajdonságai. Addiciós tételek. A szögfüggvények grafikonjai. S A hegyesszög szögfüggvényei definícióinak ismerete és alkalmazása. S Az f ( ) Asin a, f( ) Acosa és az f ( ) tg függvények grafikonjainak ábrázolása. S A zérushelyek, a maimumok és a minimumok abszcisszáinak kiszámítása. S Az egyes szög, valamint a társ- és a pótszögek szögfüggvényei közti összefüggések alkalmazása. S A szinusz, koszinusz és tangens szögfüggvények periódusosságának, páratlanságának és párosságának alkalmazása. S Két egyenes hajlásszögének kiszámítása. T Sorozatok és kamatoskamat-számítás T TARTALOM, FOGALMAK Az f : l R sorozat definíciója. A sorozatok tulajdonságai (növekedés, csökkenés (fogyás), korlátosság). A számtani sorozat és a mértani sorozat tulajdonságai. T CÉLOK S Az adott sorozat tulajdonságainak meghatározása (növekedés, csökkenés (fogyás), korlátozottság) S A sorozat grafikonjának ábrázolása. S A számtani és a mértani sorozat definíciójának elsajátítása. S A számtani sorozat első n tagja összegének kiszámítása. Matematika

12 A számtani és a mértani sorozat első n tagjának összege. Kamatszámítás és kamatoskamat-számítás. S A mértani sorozat első n tagja összegének kiszámítása. S A kamatszámítás és a kamatoskamat-számítás ismerete és megkülönböztetése. S A tőke végső értékének és a kamatozás idejének kiszámítása. T Statisztika T TARTALOM, FOGALMAK T CÉLOK Statisztikai alapfogalmak. Az adatok csoportosítása és rendezése. Az adatok szemléltetése. Középérték (számtani közép) és szórás (standard eltérés). S A statisztikai alapfogalmak alkalmazása (statisztikai alapsokaság, egység, minta, statisztikai változó). S Az adatok rendezése. S Az abszolút és a relatív frekvencia fogalmának alkalmazása. S Az adatok grafikus szemléltetése (a relatív gyakoriság hisztogramja, poligonja és kördiagramja). S A középérték meghatározása számtani közép. S A variabilitás méreteinek meghatározása: variancia (szórásnégyzet) és szórás. Matematika

13 5. A KÜLÖLEGES BÁÁSMÓDOT IGÉYLŐ JELÖLTEKRE VOATKOZÓ ELJÁRÁSOK Az érettségi vizsgáról szóló törvény 4. szakasza és Az érettségi vizsgakatalógus a szakmai érettségi számára a különleges bánásmódot igénylő jelöltekre vonatkozó eljárásokról szóló fejezete kimondja, hogy a különleges bánásmódot igénylő jelöltek részére, akiket végzés alapján irányítottak az egyes képzési programokba, indokolt esetekben pedig más jelöltek számára is (sérülés, betegség), figyelembe véve hiányosságuk, korlátaik, zavaruk fajtáját és fokát, módosítani kell az érettségi vizsga lebonyolításának és tudásuk értékelésének módját. Matematika

14 6. MELLÉKLETEK 6. Matematikai jelek. Halmazok Y Š,,... eleme nem eleme az, elemek halmaza \ ; ^ minden olyan halmaza, hogy Q Z 0 Z Z Q Q Q Г Г Гd d, Гd üres halmaz a természetes számok halmaza S \ 0^ az egész számok halmaza a pozitív egész számok halmaza a negatív egész számok halmaza a racionális számok halmaza a pozitív racionális számok halmaza a negatív racionális számok halmaza R,, a valós számok halmaza R a pozitív valós számok halmaza R 0,0, a nemnegatív valós számok halmaza R Г,,0 a negatív valós számok halmaza S R \,Г <, > egyesítés metszet a halmazok különbsége b b a b zárt intervallum R ; a b a b a b intervallum R ; a b <,, <, < b R b a, b>, > a, b > intervallum ; a b R a, b, > a, b < nyílt intervallum ; a b 4 Matematika

15 . Relációk és műveletek a, b rendezett pár L egyenlő nem egyenlő közelítőleg egyenlő kisebb > kisebb vagy egyenlő F Г nagyobb nagyobb vagy egyenlő plusz (összeadás) mínusz (kivonás) szor, szer, ször (szorzás) : osztva (osztás) ab a osztója b -nek D a, b az a és a b szám legnagyobb közös osztója v a, b az a és a b szám legkisebb közös többszöröse " összegezés (szumma) jele a az a szám abszolút értéke. Geometria d A, B AB az A és B pont távolsága az AB szakasz hossza ) szög + háromszög párhuzamos? merőleges! egybevágó hasonló A (, y ) az és y koordinátájú A pont S, p terület V P R r térfogat felszín a háromszög köré írt kör sugara a háromszögbe írt kör sugara Matematika 5

16 4. Függvények f l f : A B f függvény az A halmazt a B halmazba leképező függvény (leképezés) D f $ f( ) az elemhez ( ) f -t rendeljük az f függvény értelmezési tartománya Z f az f függvény értékkészlete 5. Statisztika, középérték 6 szórásnégyzet, variancia 6 szórás, standard eltérés 6 Matematika

17 6. A feladatlaphoz mellékelt képletek. A derékszögű koordináta-rendszer a síkban Az, A y,, B y, C, y csúcsú háromszög területe ( S ): Г Г Г Г Г S y y y y k Г k Két egyenes hajlásszöge: tg K k k. Síkbeli mértan (a síkidomok területe S -sel van jelölve) Háromszög: c v c S ab sin 0 S s sгa sгb sг c, s a b c A háromszögbe írható kör sugara r és a háromszög köré írható kör sugara R : S a b c r, s abc ž s žÿ ; R 4S a a a a Egyenlő oldalú háromszög: S, v, r, R 4 6 e f Deltoid, rombusz: S a c Trapéz: S v,, * r A körív hossza: l,, 80 körcikk: r * S, 60 a b c Szinusztétel: R sin * sin + sin 0 Koszinusztétel: a b c Г bc cos*. A mértani testek felszíne és térfogata (az S az alaplap területe) Hasáb és henger: P S Spl, V S v Gúla: P S Spl, V S v Egyenes kúp: P r r s, V r v 4r Gömb: P 4r, V Matematika 7

18 4. Szögfüggvények * * sin cos sin sin cos cos sin * + * + * + tg * * * sin cos * tg o o o * cos * cos * Г sin * * * * sin sin cos cos cos * + cos * cos + sin * sin + * 5. Másodfokú függvény, másodfokú egyenlet f a b c Tengelypont:, 0 Zérushelyek: a b c T p q,, Гo b p Г, q a b b 4ac a Г Г D, 4a Г D b 4ac 6. Logaritmusok n log log log a y a y a n a log a y log a log a y log a log b log a log a log a Г log a y y b 7. Sorozatok Számtani sorozat: a a n d Mértani sorozat: n Г, s a nг d n Г a n a q, s n a n n n q q Г Г 8. Statisztika n Középérték (számtani közép): f f f k, n f f fk Variancia (szórásnégyzet): 6 ( ) ( ) ( n Г Г Г ), ± Standard eltérés (szórás): 6 n 6 6 Г Г... Г k k f f... f f f f k. k 8 Matematika

19 6. A vizsgafeladatok mintái Magyarázat: Az (*)-gyel jelölt pont eljárási pont. A jelölt akkor kapja meg, ha felírta (alkalmazta) a helyes eljárást, de hiba vagy hibás adatok miatt az eredmény nem helyes.. SZÁMHALMAZOK Г Г 4 ) Pontosan számítsa ki a ž 6 žÿ 0 kifejezés értékét! (4 pont) Az 6 4 kiszámítása, minden tag pont, összesen... pont Az eredmény: 5... pont ) Az autó ára 9 % -os hozzáadottérték-adóval (héa=ddv) együtt tollár volt. Mennyi ennek az autónak az ára ma, amikor a hozzáadottérték-adó 0 %? (4 pont) A (héa=ddv) nélküli árnak a kiszámítása: pl.: tolllár...(*+) pont, 9 Az új ár kiszámítása, pl.: , tollár... pont Válasz: Az új ár tollár... pont ) A vállalat alkalmazottai 5 % -ának általános iskolai, a felének középiskolai, a hatodának főiskolai, a többi 0 alkalmazottnak pedig egyetemi végzettsége van. Számítsa ki, hány alkalmazottja van a vállalatnak!. mód: (4 pont)... pont Az egyenlet felállítása, pl.: Az egyenlet megoldása: 0...(*+) pont Válasz: 0 alkalmazottja van a vállalatnak... pont. mód: 5... pont pont Az egyenlet megoldása: 0... pont Válasz: 0 alkalmazottja van a vállalatnak... pont Matematika 9

20 . GEOMETRIA. Síkmértan, ) Szerkessze meg és jelölje az ABC háromszöget az a 5 cm, c 8 cm és 0 60 adatokkal. Készítsen ábrát is! (4 pont) Ábra... pont Az a oldal és a 0 szög szerkesztése... pont Az adott A ponttal való háromszög szerkesztése, látható a körív... pont A kijelölt ABC háromszög... pont Tolerancia: a hosszúságokra o mm és a szögekre o,. ) A rombusz a oldala 8 cm hosszú, az * szöge pedig 0,. Készítsen ábrát, és számítsa ki a rombusz magasságának és a rövidebb átlójának a hosszát! A két kiszámított értéket kerekítse két tizedesre! (5 pont) Ábra... pont 0 Matematika

21 Magasság: A magasság kiszámítása: Átló:. mód A koszinusztétel felírása, pl.: Az átló kiszámítása: f. mód f * a sin ž žÿ Az átló kiszámítása: f v a * sin 8 4 cm... pont Г... pont f a a cos * 4,4 cm...(*+) pont... pont 4, 4 cm...(*+) pont ) Számítsa ki a 6 cm sugarú körben a 0, -os középponti szöghöz tartozó húr hosszúságát! Rajzolja meg az ábrát! (4 pont) Ábra... pont. mód A koszinusztétel figyelembevétele, pl.: AB AS BS Г AS BS cosk... pont Megoldás: AB 6 cm vagy t 0, 4 cm 0, 9 cm...(*+) pont. mód t K ž AS sin ž... pont ž Ÿ žÿ Megoldás: t 6 cm vagy t 0, 4 cm 0, 9 cm...(*+) pont. Területek ) Számítsa ki az ábrán levő síkidom kerületét és területét! (5 pont) Matematika

22 A trapéz területe: S 50 m...(*+) pont Az oldal kiszámítása: AD m...(*+) pont A trapéz kerületének a kiszámítása:... * pont o 50 m. Felszínek és térfogatok ) A papírlap téglalap alakú, az oldalai 5 cm és 0 cm hosszúak. (Összesen 5 pont) a) Ezt a papírlapot henger palástjává formáljuk úgy, hogy a téglalap rövidebb oldala a henger magassága lesz. Számítsa ki cm potossággal a henger térfogatát! (5 pont) b) A téglalap csúcsáiból kivágtunk cm oldalú négyzeteket, ahogy ez az ábrán látható. Így egy fedél nélküli doboz hálóját kaptuk. Határozza meg a doboz éleinek hosszát, és számítsa ki a doboz térfogatát! c) Számítsa ki, a doboz felszínének hány százalékát teszi ki a doboz alsó lapjának (fenekének) a területe! a) 5 pont A henger alaplapja sugarának kiszámítása: A henger térfogatának kiszámítása:, pl.: Az eredmény kikerekítése: V 79 cm r,87 cm (5 pont) (5 pont)...(*+) pont V 79, 047 cm...(*+) pont... pont b) 5 pont A doboz éleinek meghatározása: 9 cm, 4 cm, cm, mindegyik pont, összesen... pont A térfogat kiszámítása: V 08 cm...(*+) pont c) 5 pont A doboz felszínének kiszámítása: P 4 cm...(*+) pont A doboz feneke: S 6 cm... pont Százalék: p %, 6 % vagy, 57 %...(*+) pont Matematika

23 ) Az egyenes henger és a szabályos négyoldalú hasáb palástja egyforma. Mindkét palást egy 6 cm területű négyzet. (Össesen 5 pont) a) Rajzolja meg a henger ábráját, majd számítsa ki az alaplap sugarát, a henger magasságát és térfogatát! A sugarat tizedesre kerekítse (cm -ben), a térfogatot pedig egész számra köbcentiméterben! b) Rajzolja meg a hasáb ábráját, és számítsa ki a térfogatát! c) Számítsa ki, hány százalékkal kisebb a hasáb térfogata a henger térfogatánál! (6 pont) (6 pont) ( pont) a) 6 pont A henger ábrája... pont Henger A henger alaplapjának a sugara: 0,95 cm...(*+) pont A henger magassága: v 6 cm... pont A henger térfogata 7 cm...(*+) pont V r b) 6 pont A hasáb ábrája... pont Hasáb A hasáb alaplapjának éle: a,5 cm...(*+) pont A hasáb magassága: v 6 cm... pont A hasáb térfogata:, 5 cm...(*+) pont V p c) pont A térfogatok különbsége: V ГV, 5 cm... pont v p Százalék: % (0,6 vagy 0,59)...(*+) pont Válasz: Körülbelül % -kal (0,6 vagy 0,59 ) Matematika

24 . ALGEBRAI FÜGGVÉYEK ÉS EGYELETEK. Lineáris függvény és lineáris egyenlet ) Oldja meg az egyenletrendszert! y 4 y (4 pont) A megoldás eljárása... * pont Megoldás: 0, y...(+) pont ) Határozza meg az ábrán levő egyenes iránytényezőjét, majd írja fel az egyenletét! (4 pont) Az iránytényező meghatározása: k Г Az egyenes egyenletének felírása: y Г y Г y vagy (*+) pont 4 4 vagy (*+) pont 4 Matematika

25 ) A koordináta-rendszer origóján két egyenes halad át. Az egyik az A,, a másik a B 6, ponton halad át. a) Rajzola meg mindkét egyenest, és írja fel az egyenletüket! b) Számítsa ki percnyi pontossággal a két egyenes hajlásszögét! (Összesen 5 pont) c) Az OAB háromszöget a koordináta-rendszer origója, az A és a B pont határozza meg. Számítsa ki a háromszög területét! (6 pont) (6 pont) ( pont) a) 6 pont Az egyenesek megrajzolása...(+) pont Az első egyenes megrajzolása: y... pont A második egyenes megrajzolása: y... pont b) 6 pont. mód Az első egyenes hajlásszöge: * 45,... pont A második egyenes hajlásszöge: * 6, 4a... pont A közbezárt szög: K B B 8 6a... pont. mód c) pont, Г Az egyenesek iránytényezői: k, k...(+) pont A megfelelő képlet alkalmazása:... pont, A közbezárt szög: K 8 6a...(*+) pont Az OAB háromszög területe: 9 S 4, 5...(*+) pont Matematika 5

26 . Másodfokú függvény, hatványfüggvény és másodfokú egyenlet ) Adott az Г f 8 függvény. Határozza meg a függvény grafikonjának a tengelypontját és a koordinátatengelyekkel való metszéspontjait! (5 pont) A tengelypont meghatározása Tengelypont, pl.: T, 9 ali p, q 9...(*+) pont A koordinátatengelyekkel való metszéspontok Az ordinátatengellyel való metszéspont: f 0 8 vagy 0, 8... pont Zérushelyek, ill. az abszcisszatengellyel való metszéspontok a képlet alapján vagy felbontással 4, vagy A, 0, B 4, 0... pont Г Г Г Г ) Adott az f 6 és g függvény. a) Rajzolja meg közös koordináta-rendszerben mindkét függvény grafikonját! b) Számítsa ki a grafikon metszéspontjainak koordinátáit! c) Számítsa ki a két metszéspont távolságát! Vezzese le az eredmény részgyökvonását! (Összesen 5 pont) (7 pont) (5 pont) ( pont) a) 7 pont Az egyenes megrajzolása:... pont A parabola megrajzolása:... 6 pont Ennek: zérushelyei: Г,... pont tengelypontja: T žг,6 ž... pont žÿ 4 A parabola és az ordinátatengely metszéspontja: 0, 6... pont A helyes parabola... pont 6 Matematika

27 b) 5 pont A felállított egyenlet, pl.: A rendezett egyenlet, pl.: Az egyenlet megoldásai: Az ordináták kiszámítása: y y Г Г 6... pont 0 Г... pont,...(*+) pont 0, 4... pont c) pont A távolság kiszámítása:...(*+) pont Megoldás: 4... pont. Polinomok és racionális függvények ) Az ábrán egy függvény grafikonja látható. Írja fel a függvény vízszintes aszimptotájának egyenletét, a pólusát és a zérushelyét! Állapítsa meg és írja fel a függvény negatív értékeinek intervallumát! (5 pont) Matematika 7

28 Vízszintes aszimptota: y... pont Pólus: Г... pont Zérushely:... pont A függvény negatív értékei az, žг intervallumon vannak, illetve a žÿ Г -re vonatkoznak...(+) pont ) Adott a p Г polinom. (Összesen 5 pont) a) Határozza meg a polinom zérushelyeit és grafikonjának metszéspontját az ordinátatengellyel! b) Rajzolja meg a polinom grafikonját! c) Számítsa ki a polinomgrafikon és az y egyenletű egyenes metszéspontját! ( pont) (4 pont) (8 pont) a) pont Zérushelyek:, Г,... pont f 0 vagy 0,... pont b) 4 pont Grafikon:... 4 pont c) 8 pont Az egyenlet felállítása, pl.: Г... pont Az egyenlet egyszerűsítése, pl.: 4 0 Az egyenlet megoldásai:, 0, 4 Г Г... (*+) pont Г... (*+) pont P Г, 0, P 0,, P 4,0, A metszéspontok meghatározása: mindegyik pont, összesen... pont 8 Matematika

29 ) Adott az f függvény. Г a) Határozza meg a zérushelyét, pólusát, vízszintes aszimptotáját és az ordinátatengellyel való metszéspontját! b) Rajzolja meg a függvény grafikonját, majd írja fel az értelmezési tartományát és értékkészletét! c) Számítsa ki az f függvénygrafikon és az y egyenletű egyenes metszéspontját! (Összesen 5 pont) (4 pont) (7 pont) (4 pont) a) 4 pont Zérushely: Г... pont Pólus:... pont Vízszintes aszimptota:... pont b) 7 pont y Metszéspont az ordinátatengellyel: f 0 Г vagy 0, Г... pont A grafikon az M Г,0 és 0, Г pontokon halad át (a grafikon és a koordinátatengelyek metszéspontjai)... pont Mindkét aszimptota megrajzolása... pont A grafikon mindegyik ága pont, összesen... pont Az értelmezési tartomány: A valós számok halmaza az nélkül ill. a szimbólumos felírás, pl.: Df R Г \ ^... pont Értékkészlet: A valós számok halmaza a nélkül, ill. a szimbólumos felírás, pl.: R \ ^... pont Z Г f Matematika 9

30 c) 4 pont Az egyenlet felállítása, pl.:... pont Г Az egyenlet megoldása: Г...(*+) pont A metszéspont felírása:,... pont P Г 4. TRASZCEDES FÜGGVÉYEK ÉS EGYELETEK 4. Eponenciális függvény és logaritmusfüggvény Г egyenletet! ) Oldja meg a log log log 4 (5 pont) Г vagy Г 4... pont Г7Г pont, Г...(*+) pont Felírás: log log 4 rövidebben Az egyenlet rendezése, pl.: A másodfokú egyenlet megodásai: Az a megállapítás, hogy az eredeti egyenlet megoldása, az Г pedig nem... pont ) Oldja meg az egyenleteket: a) Г b) log ž žÿ 5 7 4! (5 pont) a) Eljárás, pl.: Г 5... pont Az egyenlet felállítása, pl.: Г5... pont Megoldás: 4... pont b) Eljárás: pl.:... pont 4 Megoldás: Г... pont 0 Matematika

31 ) Adott az f és g Г 6 függvény. Rajzolja meg közös koordináta-rendszerben mindkét függvény grafikonját! A képről olvassa le a metszéspontjuk koordinátáit! Ellenőrizze számítással a megoldást! (5 pont) Az eponenciális függvény grafikonjának megrajzolása... pont Az egyenes megrajzolása... pont A metszéspont meghatározása: P Kiszámítás, pl.: 4, 4... pont f és g Г pont 4. Szögfüggvények ) Rajzolja meg az f sin függvény grafikonját! (5 točk). mód A periódus fegyelembevétele:... pont Az amplitudó figyelembevétele:... pont A zérushely figyelembevétele (csak az ábrán): k, k Y Z... pont Helyes szinuszgörbe... pont. mód Kiszámított (felírt) zérushelyek, pl. :,, 0,,,... pont Kiszámított (felírt) etrémumok, pl.: Г Г -nél és -nél és (vagy) Г Г -nél és -nél... pont Az amplitudó figyelembevétele:... pont Helyes szinuszgörbe... pont Matematika